Động học và động lực học chất điểm

Phương trình chuyển động của chất điểm a Định nghĩa: Phương trình chuyển động là phương trình mô tả sự phụ thuộc của đại lượng cho ta xác định vị trí của vật với thời gian.. c Phương trì

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG VẬT LÝ 1

Chuyển động của một vật là sự thay đổi vị trí của vật đó so với các vật khác theo thời gian

2 Hệ quy chiếu

Để nghiên cứu chuyển động của vật thể, người ta chọn những vật thể khác nào đó làm mốc mà ta quy ước đứng yên Hệ toạ độ gắn liền với vật làm mốc để xác định vị trí của vật thể khác trong không gian và chiếc đồng hồ gắn với hệ này để chỉ thời gian gọi là hệ quy chiếu

Cần lưu ý rằng, cùng một chuyển động nhưng sẽ xảy ra khác nhau

trong các hệ qui chiếu khác nhau

Ví dụ xét chuyển động của một điểm M nằm trên vành xe đang chạy, nếu ta chọn hệ qui chiếu là xe đạp thì ta thấy chuyển động của điểm đó là chuyển động tròn đều, còn nếu hệ qui chiếu là mặt đường thì điểm M sẽ tham gia một chuyển động phức tạp là tổng hợp của hai chuyển động : chuyển động tròn đối với xe và chuyển động thẳng của xe đối với mặt đường

Khi xét một chuyển động cụ thể người ta thường chọn hệ qui chiếu sao

Hệ toạ độ thông dụng nhất là hệ toạ độ

Đề-các (Descartes) (hình 1-1) Vị trí của điểm M

bất kì được xác định bằng bán kính véc tơ r

r x.i y j z.k (1-1)

3 Chất điểm

Chất điểm là một vật có kích thước nhỏ không đáng kể so với những khoảng cách, những kích thước mà ta đang khảo sát

4 Phương trình chuyển động của chất điểm

a) Định nghĩa:

Phương trình chuyển động là phương trình mô tả sự phụ thuộc của đại lượng cho ta xác định vị trí của vật với thời gian

b) Trong hệ toạ độ Đề các: r =r (t) (1-2)

là phương trình chuyển động dạng véc tơ

x(t) , y(t) , z(t) là phương trình chuyển động theo các trục toạ độ ( hình 1-2a.)

c) Phương trình chuyển động dạng tự nhiên:

Nếu ta đã biết quỹ đạo chuyển động của chất điểm, ta cũng có thể mô tả chuyển động của chất điểm bằng cách xác định vị trí của chất

điểm trên quỹ đạo ở mọi thời điểm khác nhau Ta chọn một điểm O trên

quỹ đạo làm gốc và quy ước một chiều dương trên quỹ đạo (hình 1-2b)

Vị trí của chất điểm M được xác định bằng quãng đường S từ O đến M Phương trình chuyển động của M trên quỹ đạo có dạng:

S = S(t) (1-3)

5 Phương trình quỹ đạo của chất điểm

Khi chất điểm chuyển động liên tục trong không gian nó vạch ra một

đường liên tục gọi là quỹ đạo Các phương trình mô tả quỹ đạo chuyển

động của chất điểm gọi là các phươngtrình quỹ đạo

F(x,y,z) = 0

Biết phương trình chuyển động của chất điểm ta có thể tìm được phương trình quỹ đạo của nó bằng cách khử t trong các phương trình chuyển động

II Vận tốc 1 Định nghĩa vận tốc

Xét một chất điểm chuyển động trên một quỹ đạo bất kì Tại thời điểm t1 chất điểm ở vị trí A Tại thời diểm t2 rất gần t1, nó ở vị trí B Như vậy, sau khoảng thời gian nhỏ   tt2 t1, nó đã chuyển động trên quãng đường nhỏ s, là độ dài của cung AB

t được gọi là tốc độ trung bình của chất điểm trên quãng đường nhỏ từ A đến B Quãng đường s càng nhỏ thì tốc độ trung bình vtb càng mô tả chính xác hơn tính chất của chuyển động vì trên quãng đường nhỏ đó tính chất của chuyển động biến đổi rất ít

Người ta gọi độ dịch chuyển s của chất điểm là một véc tơ vẽ từ điểm A đến điểm B Độ dịch chuyển sđặc trưng cho sự thay đổi vị trí của chất điểm trong khoảng thời gian t.

độ Ta xác định được bán kính véc tơ của chất điểm r1 vào thời điểm t1

và r2 vào thời điểm t2( hình 1-3) Trên hình vẽ ta thấy ngay:

Như vậy, vận tốc của chất điểm tại một điểm nào đó là một véc tơ

bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của bán kính véc tơ của chất điểm tại điểm đó

Nó xác định độ nhanh chậm của sự biến thiên tọa độ của chất điểm theo thời gian Phương của nó là phương tiếp tuyến với quỹ đạo tại điểm đó Chiều của nó là chiều chuyển động của chất điểm trên quỹ đạo Độ lớn của nó là giá trị tuyệt đối của độ dịch chuyển ứng với đơn vị thời gian Đơn vị vận tốc là mét trên giây

III Gia tốc 1 Định nghĩa gia tốc

Giả thiết tại thời điểm t, chất điểm ở vị trí M có vectơ vận tốc v

(hình 1-4): tại thời điểm t' = t + t, chất điểm ở vị trí M' có vectơ vận tốc ,

v   vv Trong khoảng thời gian tt't, vectơ vận tốc của chất điểm biến thiên một lượng: được gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian

Gia tốc của chất điểm tại một điểm nào đó là một véc tơ bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vận tốc chất điểm tại điểm đó Nó xác

định mức độ nhanh hay chậm của sự biến thiên vận tốc của chất điểm theo thời gian

Đơn vị gia tốc là mét trên giây bình phương ( m/s2

2 Gia tốc trong hệ toạ độ Đềcac

3 Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến

Vectơ gia tốc đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc Sự biến thiên này thể hiện cả về phương, chiều và độ lớn Trong mục này ta sẽ phân tích vectơ gia tốc ra làm hai thành phần, mỗi thành phần đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc riêng về một mặt nào đó

Để đơn giản, ta giả thiết chất điểm chuyển động trên một đường tròn tâm O, tại thời điểm t, chất điểm ở vị trí M, vận tốc MAv; tại thời điểm t' = t + t chất điểm vị trí M' (MM = s), có vận tốc

vectơ gia tốc của chất điểm tại thời điểm t (ứng với vị trí M) sẽ có:

Phương của atlà phương củaACtức là phương của tiếp tuyến với quĩ đạo tại M: vì vậy at được gọi là gia tốc tiếp tuyến

Chiều của atlà chiều củaAC nghĩa là cùng chiều với chiều chuyển động khi v' > v (vận tốc tăng) và ngược chiều với chiều chuyển động

Gia tốc tiếp tuyến có độ lớn bằng đạo hàm của độ lớn vận tốc đối với thời gian

Tóm lại: gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên độ lớn của

vectơ vận tốc Véc tơ này:

Vậy đến giới hạn CB vuông góc với AC, phương của anvuông góc

với AC nghĩa là vuông góc với tiếp tuyến của quỹ đạo tại M; nói cách khác phương của an là phương pháp tuyến của quĩ đạo tại M, vì vậy

a được gọi là gia tốc pháp tuyến Chiều của an là chiều của CB, luôn luôn quay về tâm của vòng tròn nghĩa là quay về phía lõm của quĩ đạo, do đó ancòn gọi là gia tốc hướng tâm Độ lớn của ancho bởi:

và vì  rất nhỏ khi t t nên ta có thể viết CB2vv

Từ (1-17) ta suy ra rằng vectơ gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi phương của vectơ vận tốc Quả vậy, ứng với một trị số của v xác định, an càng lớn thì R càng nhỏ; khi đó quỹ đạo càng cong nhiều, kết quả là phương của vectơ vận tốc thay đổi nhiều; nếu trị số của R xác định, ancàng lớn khi v càng lớn, khi đó trong một đơn vị thời gian, chất điểm sẽ đi được một quãng đường dài trên quỹ đạo tròn nghĩa là phương của vec tơ vận tốc thay đổi nhiều

Tóm lại, vectơ gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên về

phương của vectơ vận tốc, vectơ gia tốc này:

c) Kết luận: Ta có thể phân tích vectơ gia tốc ra hai thành phần (hình

Trong trường hợp tổng quát quỹ đạo của chất điểm là một đường cong bất kì, người ta chứng minh được rằng tại mỗi vị trí, vectơ gia tốc

a cũng có thể phân tích ra hai thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến, cho bởi cùng những biểu thức như trên, nhưng ở đây ta chú ý rằng trong biểu thức (1-17) R là bán kính cong của quỹ đạo tại M (tức là bán kính của vòng tròn mật tiếp của quỹ đạo tại M) Hình học vi phân đã chứng minh rằng R càng nhỏ thì quỹ đạo càng cong nhiều và ngược lại; nói cách khác

1 đặc trưng cho độ cong của quỹ đạo

Chúng ta hãy xét một số trường hợp đặc biệt:

a) an luôn luôn bằng không: vectơ vận tốc không thay đổi phương, chất điểm chuyển động thẳng

b) at luôn luôn bằng không: vectơ vận tốc không thay đôi chiều và giá trị, chất điểm chuyển động cong đều

c) a luôn luôn bằng không: vectơ vận tốc không đổi về phương,

chiều và giá trị, chất điểm chuyển động thẳng đều

IV Một số dạng chuyển động đơn giản 1 Chuyển động thẳng biến đổi đều

Xét một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều dọc theo trục ox ở thời điểm t = 0 nó ở vị trí Mo có toạ độ xo và vận tốc vo, ở thời

- Chuyển động thẳng nhanh dần đều thì avà v0cùng chiều - Chuyển động thẳng chậm dần đều thì avà v0 ngược chiều

O Mo M x

Hình 1-7

ovv

a, vo, v là hình chiếu của các véc tơ a v v,0, xuống trục ox

2 Chuyển động tròn

Trong chuyển động tròn, người ta còn dùng các đại lượng vận tốc góc và gia tốc góc để đặc trưng cho chuyển động ấy

a) Vận tốc góc

Giả thiết quỹ đạo là vòng tròn tâm O bán kính R Trong khoảng thời gian tt't giả sử chất

điểm đi được quãng đường  sMM ứng với góc quay của bán kính MOM (hình 1-8) Theo định nghĩa đại lượng

Giá trị của tbbiểu thị góc quay trung bình của bán kính trong đơn vị thời gian Nếu cho t0theo định nghĩa

lim gọi là vận tốc góc của chất điểm tại lúc t, và được kí hiệu

Vận tốc góc có giá trị bằng đạo hàm của góc quay đối với thời gian

Vận tốc góc đo bằng rađian trên giây, kí hiệu ra: rad/s

Đối với chuyển động tròn đều constngười ta còn định nghĩa chu

kì là thời gian chất điểm đi được một vòng:

tốc góc, nằm trên trục của vòng tròn quỹ đạo, thuận chiều đối với chiều quay của chuyển động và có giá trị bằng (hình.1-9).

Hệ quả 1 Liên hệ giữa vectơ vận tốc góc và vectơ vận tốc dài

, (theo thứ tự đó) tạo thành một tam diện thuận ba mặt vuông; ngoài ra căn cứ thêm vào hệ thức (1-27) ta có thể kết luận

 (1-28)

Hệ quả 2 Liên hệ giữa anvà 

Theo (1-17) và (1-27) ta suy ra:  

Giả thiết trong khoảng thời gian tt't, vận tốc góc của chất điểm chuyển động tròn biến thiên một lượng ', theo định nghĩa lượng

Giá trị của tb biểu thị độ biến thiên trung bình của vận tốc góc trong đơn vị thời gian

Nếu cho t0, theo định nghĩa

lim gọi là gia tốc góc của chất điểm lúc t và được kí hiệu là:

Vậy: Gia tốc góc có giá trị bằng đạo hàm của vận tốc góc đối với

thời gian và bằng đạo hàm bậc hai của góc quay đối với thời gian

Gia tốc góc đo bằng radian trên giây bình phương (rad/s2

Trong trường hợp  = const, ta có chuyển động tròn thay đổi đều Tương tự

- Nằm trên trục của quỹ đạo tròn

- Cùng chiều với  khi > 0 và ngược chiều với  khi v<0

Hệ quả: Liên hệ giữa vectơ gia tốc gócvà vetơ gia tốc tiếp tuyến:

Thay vR. vào (1-15) ta được:

Hình 1-10

Ta thấy rằng do quy ước về chiều của các vectơ  và at theo hình

(1-10), trong mọi trường hợp ba vectơ at, ,

R (theo thứ tự đó) luôn luôn tạo thành một tam diện thuận ba mặt vuông; ngoài ra căn cứ thêm vào

Ta hãy khảo sát chuyển động của một chất điểm xuất phát từ một điểm O trên mặt đất với vectơ vận tốc ban đầu lúc (t = 0) là vo hợp với mặt phẳng nằm ngang một góc (hình.1-11) (bài toán bắn pháo)

Ở đây chọn mặt phẳng hình vẽ là mặt phẳng thẳng đứng chứa vo; đó cũng là mặt phẳng chứa quỹ đạo chất điểm, hai trục toạ độ Ox nằm ngang, Oy thẳng đứng hướng lên trên Tại thời điểm t, chất điểm ở vị trí M toạ độ x, y, có gia tốc là vectơ a g song song với Oy hướng xuống dưới Do đó hai thành phần của a trên hai trục là:

Căn cứ vào phương trình (1-41) ta kết luận rằng quỹ đạo là một parabol OSA (h.1-11) đỉnh S, trục song song với trục tung, quay phần lõm về phía dưới hình vẽ

BÀI TẬP 1 Các khái niệm cơ bản

1.1.Phương trình chuyển động của một chất điểm có dạng:

a) Xác định dạng quỹ đạo chuyển động của chất điểm

b) Tính vận tốc v và gia tốc toàn phần a tại thời điểm t = 1s 1.2. Phương trình chuyển động của một xe trượt tuyết có dạng:

x( t )18 12t 1,2.t ( m ) , t tính theo giây Xác định vị trí, vận tốc,

gia tốc của xe ở thời điểm t = 2s

1.3.Phương trình chuyển động của một chất điểm có dạng:

2 Chuyển động thẳng biến đổi đều

1.4. Một vật được thả rơi từ một khinh khí cầu đang bay ở độ cao 300m

Hỏi sau bao lâu vật rơi tới mặt đất, nếu:

a) Khí cầu đang bay lên theo hướng thẳng đứng với vận tốc

1.5. Một chiếc xe chuyển động với vận tốc 72km/h, khi hãm nó chuyển động

chậm dần đều với gia tốc 0,4m/s2 Tìm thời gian hãm và quãng đường nó

đi được từ lúc hãm tới khi ngừng hẳn

1.6. Đầu của búa máy rơi từ độ cao 2,5m xuống đất, sau đó nó được

theo phương thẳng đứng với vận tốc vo

a) Hỏi vận tốc vo phải bằng bao nhiêu để hai vật gặp nhau ở

a) Quãng đường mà vật rơi được trong 0,1 giây đầu và 0,1 giây cuối của thời gian rơi

b) Thời gian cần thiết để vật đi hết 1m đầu và 1m cuối của độ cao h

1.9. Giả sử bạn cần phải thiết kế đường băng để dùng cho một loại máy bay phản lực đặc biệt nào đó Trên đường chạy lấy đà, tốc độ của máy bay tăng với gia tốc không đổi có độ lớn bằng 4,0m/s2 cho đến khi nó được nâng lên không ở tốc độ 85m/s Nếu phi công được yêu cầu huỷ cất cánh, thì tốc độ của máy bay sẽ giảm với gia tốc không đổi có độ lớn bằng 5,0m/s2

Hãy xác định chiều dài của đường băng cần phải có để phi công có thể ngừng cất cánh vào đúng thời điểm máy bay đạt tốc độ bay mà không bị lao ra ngoài

3 Chuyển động tròn biến đổi đều

1.10. Vận tốc của một êlectron trong nguyên tử hiđrô

v2,8.10 ( cm / s ) Tính vận tốc góc và gia tốc pháp tuyến của êlectron nếu xem quỹ đạo của nó là một vòng tròn bán kính

R0,5.10 ( cm )

1.11. Tìm vận tốc dài của chuyển động quay của một điểm trên mặt đất tại Hà Nội Biết rằng vĩ độ của Hà Nội là  = 21o

Cho bán kính Trái Đất R = 6400km

1.12. Một bánh xe có bán kính R = 10cm lúc đầu đứng yên, sau đó quay xung quanh trục của nó với gia tốc góc bằng 3,14 rad/s2 Hỏi, sau giây thứ nhất:

a) Vận tốc góc và vận tốc dài của một chất điểm trên vành bánh xe ?

b) Gia tốc pháp tuyến, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc toàn phần của một điểm trên vành bánh xe?

c) Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe (ứng với cùng một điểm trên vành bánh xe)?

1.13. Một bánh xe đang quay với vận tốc 300 vòng/phút thì bị hãm và bắt đầu quay chậm dần đều Sau 1 phút bánh xe có vận tốc 180 vòng/phút Hãy xác định:

a) Gia tốc góc của bánh xe trong thời gian bị hãm

b) Số vòng bánh xe quay được sau 1 phút kể từ khi bắt đầu bị hãm

1.14. Một bánh xe có bán kính 10cm, lúc đầu đứng yên và sau đó quay quanh trục của nó với gia tốc góc bằng 1,57 rad/s2

Hãy tính:

a) Vận tốc góc và vận tốc dài của một điểm trên vành bánh xe sau 1 phút

b) Gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến, gia tốc toàn phần của một điểm trên vành bánh xe sau 1 phút

c) Số vòng bánh xe đã quay được sau một phút

a) Hỏi quả bóng rơi cách chỗ đánh bao xa? Biết rằng nơi đánh và nơi quả bóng rơi có cùng bình độ Lấy g = 10m/s2

b) Tính bán kính cong của quỹ đạo tại điểm quả bóng chạm đất

1.16. Ném một hòn đá theo phương nằm ngang từ độ cao h với vận tốc vo= 15m/s Tính gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến của hòn đá và bán kính cong của quỹ đạo sau lúc ném 1 giây Lấy g =9,8m/s2

1.17. Người ta ném một quả bóng với vận tốc vo = 10m/s theo phương hợp với mặt nằm ngang một góc  = 40o Giả sử quả bóng được ném từ mặt đất Hỏi:

a) Độ cao lớn nhất mà quả bóng có thể đạt được b) Tầm xa của quả bóng

c) Thời gian từ lúc ném bóng tới lúc chạm đất Lấy g =9,8m/s2

1.18. Từ đỉnh một tháp cao H = 25m, người ta ném một hòn đá lên phía trên với vận tốc vo = 15m/s theo phương hợp với mặt phẳng nằm ngang một góc  = 30o Xác định:

a) Thời gian chuyển động của hòn đá

b) Khoảng cách từ chân tháp đến chỗ rơi hòn đá

a) Thời gian để hòn đá rơi tới mặt đất kể từ khi ném b) Khoảng cách từ chân tháp đến chỗ rơi hòn đá

c) Viết phương trình quỹ đạo của hòn đá Lấy g =9,8m/s2

1.20. Hỏi phải ném một vật theo phương hợp với mặt phẳng nằm ngang một góc  bằng bao nhiêu để với một vận tốc ban đầu cho trước, tầm xa của vật là cực đại

1.21. Cho một băng truyền đổ vật liệu từ chân A của đỉnh băng truyền đến nơi đổ vật liệu B Lấy g =

1.22. Cho một băng truyền đổ vật liệu chuyển động với vận tốc v0, được đặt nằm ngang ở độ cao

h = 5m (Hình1-12) Tính vận tốc chuyển động của băng truyền để vật liệu rơi xuống điểm B cách

1.6 Hướng dẫn: Do chuyển động xuống của đầu búa coi như chuyển động rơi tự do nên thời gian đầu búa rơi từ độ cao h là:

1.7 Hướng dẫn: a) Chọn hệ quy chiếu là trục Ox có gốc tại mặt đất, chiều dương hướng lên trên

Phương trình chuyển động của vật rơi tự do: 2