Động học và động lực học chất điểm

Phương trình chuyển động của chất điểm a Định nghĩa: Phương trình chuyển động là phương trình mô tả sự phụ thuộc của đại lượng cho ta xác định vị trí của vật với thời gian.. c Phương trì

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG VẬT LÝ 1

PHẦN 1: CƠ HỌC BÀI: ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM

khác nào đó làm mốc mà ta quy ước

đứng yên Hệ toạ độ gắn liền với vật

làm mốc để xác định vị trí của vật thể

khác trong không gian và chiếc đồng

hồ gắn với hệ này để chỉ thời gian gọi

là hệ quy chiếu

Cần lưu ý rằng, cùng một chuyển động nhưng sẽ xảy ra khác nhau

trong các hệ qui chiếu khác nhau

Ví dụ xét chuyển động của một điểm M nằm trên vành xe đang chạy, nếu ta chọn hệ qui chiếu là xe đạp thì ta thấy chuyển động của điểm đó là chuyển động tròn đều, còn nếu hệ qui chiếu là mặt đường thì điểm M sẽ tham gia một chuyển động phức tạp là tổng hợp của hai chuyển động : chuyển động tròn đối với xe và chuyển động thẳng của xe đối với mặt đường

Khi xét một chuyển động cụ thể người ta thường chọn hệ qui chiếu sao

y

x

z

M r

O

Hình 1-1

Hệ toạ độ thông dụng nhất là hệ toạ độ

Đề-các (Descartes) (hình 1-1) Vị trí của điểm M

là phương trình chuyển động dạng véc tơ

x(t) , y(t) , z(t) là phương trình chuyển động theo các trục toạ độ ( hình 1-2a.)

c) Phương trình chuyển động dạng tự nhiên:

Nếu ta đã biết quỹ đạo chuyển

động của chất điểm, ta cũng có thể

mô tả chuyển động của chất điểm

bằng cách xác định vị trí của chất

điểm trên quỹ đạo ở mọi thời điểm khác nhau Ta chọn một điểm O trên

quỹ đạo làm gốc và quy ước một chiều dương trên quỹ đạo (hình 1-2b)

Vị trí của chất điểm M được xác định bằng quãng đường S từ O đến

M Phương trình chuyển động của M trên quỹ đạo có dạng:

S = S(t) (1-3)

5 P hương trình quỹ đạo của chất điểm

Khi chất điểm chuyển động liên tục trong không gian nó vạch ra một

đường liên tục gọi là quỹ đạo Các phương trình mô tả quỹ đạo chuyển

động của chất điểm gọi là các phươngtrình quỹ đạo

F(x,y,z) = 0 Biết phương trình chuyển động của chất điểm ta có thể tìm được phương trình quỹ đạo của nó bằng cách khử t trong các phương trình chuyển động

II Vận tốc

1 Định nghĩa vận tốc

Xét một chất điểm chuyển động trên một quỹ đạo bất kì Tại thời điểm t1 chất điểm ở vị trí A Tại thời diểm t2 rất gần t1, nó ở vị trí B Như vậy, sau khoảng thời gian nhỏ    t t2 t1, nó đã chuyển động trên quãng đường nhỏ s, là độ dài của cung AB

Đại lượng  

 tb

s v

t được gọi là tốc độ trung bình của chất điểm trên quãng đường nhỏ từ A đến B Quãng đường s càng nhỏ thì tốc độ trung bình vtb càng mô tả chính xác hơn tính chất của chuyển động vì trên quãng đường nhỏ đó tính chất của chuyển động biến đổi rất ít Người ta gọi độ dịch chuyển s của chất điểm là một véc tơ vẽ từ điểm A đến điểm B Độ dịch chuyển sđặc trưng cho sự thay đổi vị trí của chất điểm trong khoảng thời gian  t.

Véc tơ tb  

sv

t (1-4) được gọi là vận tốc trung bình của chất điểm trên

độ Ta xác định được bán kính véc tơ của chất điểm r 1 vào thời điểm t1

và r2 vào thời điểm t2( hình 1-3) Trên hình vẽ ta thấy ngay:

Như vậy, vận tốc của chất điểm tại một điểm nào đó là một véc tơ

bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của bán kính véc tơ của chất điểm tại điểm đó

Nó xác định độ nhanh chậm của sự biến thiên tọa độ của chất điểm theo thời gian Phương của nó là phương tiếp tuyến với quỹ đạo tại điểm

đó Chiều của nó là chiều chuyển động của chất điểm trên quỹ đạo Độ lớn của nó là giá trị tuyệt đối của độ dịch chuyển ứng với đơn vị thời gian Đơn vị vận tốc là mét trên giây

vx; vy; vzlà hình chiếu của véc tơ vận tốc v xuống các trục tọa độ

Độ lớn của vận tốc:

v = 2  2  2

III Gia tốc

1 Định nghĩa gia tốc

Giả thiết tại thời điểm t, chất điểm ở vị trí M có vectơ vận tốc v

(hình 1-4): tại thời điểm t' = t + t, chất điểm ở vị trí M' có vectơ vận tốc ,

v   v v Trong khoảng thời gian tt' t, vectơ vận tốc của chất điểm biến thiên một lượng:

v v

chuyển động trong khoảng thời gian

2 Gia tốc trong hệ toạ độ Đềcac

2 y

2 z

2 2 2

2

2 2

2 2

y d dt

x d a

a a

3 Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến

Vectơ gia tốc đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc Sự biến thiên này thể hiện cả về phương, chiều và độ lớn Trong mục này ta sẽ phân tích vectơ gia tốc ra làm hai thành phần, mỗi thành phần đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc riêng về một mặt nào đó

Để đơn giản, ta giả thiết chất điểm chuyển động trên một đường tròn tâm O, tại thời điểm t, chất điểm ở vị trí M, vận tốc MA  v; tại thời điểm t' = t + t chất điểm vị trí M' (MM = s), có vận tốc

vectơ gia tốc của chất điểm tại thời điểm t

(ứng với vị trí M) sẽ có:

v a

Độ lớn của atcho bởi

Gia tốc tiếp tuyến có độ lớn bằng đạo hàm của độ lớn vận tốc đối với thời gian

Tóm lại: gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên độ lớn của

vectơ vận tốc Véc tơ này:

Vậy đến giới hạn CB vuông góc với AC, phương của anvuông góc

với AC nghĩa là vuông góc với tiếp tuyến của quỹ đạo tại M; nói cách khác phương của an là phương pháp tuyến của quĩ đạo tại M, vì vậy

t





 '

lim (1-16) Trong tam giác cân MBC ta có CB 2MC CMB 2v 

và vì  rất nhỏ khi t   t nên ta có thể viết CB 2v v

Tóm lại, vectơ gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên về

phương của vectơ vận tốc, vectơ gia tốc này:

c) Kết luận: Ta có thể phân tích vectơ gia tốc ra hai thành phần (hình

dv a

R

1 đặc trưng cho độ cong của quỹ đạo

Chúng ta hãy xét một số trường hợp đặc biệt:

a) an luôn luôn bằng không: vectơ vận tốc không thay đổi phương, chất điểm chuyển động thẳng

b) at luôn luôn bằng không: vectơ vận tốc không thay đôi chiều và giá trị, chất điểm chuyển động cong đều

c) a luôn luôn bằng không: vectơ vận tốc không đổi về phương,

chiều và giá trị, chất điểm chuyển động thẳng đều

IV Một số dạng chuyển động đơn giản

1 Chuyển động thẳng biến đổi đều

Xét một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều dọc theo trục

ox ở thời điểm t = 0 nó ở vị trí Mo có toạ độ xo và vận tốc vo, ở thời điểm t bất kì nó ở vị trí M có toạ độ x và vận tốc v

Gia tốc của chất điểm:

xo

) ( x - xo = vot + a.t2/2

- Chuyển động thẳng nhanh dần đều thì avà v0cùng chiều

- Chuyển động thẳng chậm dần đều thì avà v0 ngược chiều

O Mo M x

Hình 1-7

o

v v

a, vo, v là hình chiếu của các véc tơ a v v , 0 , xuống trục ox

2 Chuyển động tròn

Trong chuyển động tròn, người ta còn dùng các đại lượng vận tốc

góc và gia tốc góc để đặc trưng cho chuyển động ấy

a) Vận tốc góc

Giả thiết quỹ đạo là vòng tròn tâm O bán kính R

Trong khoảng thời gian tt' t giả sử chất

điểm đi được quãng đường   s MM ứng với

góc quay của bán kính MOM  (hình 1-8)

Theo định nghĩa đại lượng

t



  gọi là vận tốc góc trung bình trong khoảng thời gian tvà

được kí hiệu là:

t tb





 

 (1-24)

Giá trị của tbbiểu thị góc quay trung bình của bán kính trong đơn vị

thời gian Nếu cho t 0theo định nghĩa

Vận tốc góc có giá trị bằng đạo hàm của góc quay đối với thời gian

Vận tốc góc đo bằng rađian trên giây, kí hiệu ra: rad/s

Đối với chuyển động tròn đều   constngười ta còn định nghĩa chu

kì là thời gian chất điểm đi được một vòng:

Người ta biểu diễn vận tốc góc bằng một vectơ  gọi là vectơ vận

s

 M

tốc góc, nằm trên trục của vòng tròn quỹ đạo, thuận chiều đối với chiều quay của chuyển động và có giá trị bằng (hình.1-9).

Hệ quả 1 Liên hệ giữa vectơ vận tốc góc và vectơ vận tốc dài

Ta có: MM'  sR  dođó:

t

R t

R



  (1-28)

Hệ quả 2 Liên hệ giữa a n và 

Theo (1-17) và (1-27) ta suy ra:  

R

R R

hay theo (1-25)

2 2

dt

d dt

d 

Vậy: Gia tốc góc có giá trị bằng đạo hàm của vận tốc góc đối với

thời gian và bằng đạo hàm bậc hai của góc quay đối với thời gian

Gia tốc góc đo bằng radian trên giây bình phương (rad/s2

) Khi > 0,  tăng, chuyển động tròn nhanh dần

< 0, giảm, chuyển động tròn

chậm dần

= 0,  không đổi, chuyển động

tròn đều

Trong trường hợp  = const, ta có

chuyển động tròn thay đổi đều Tương tự

- Nằm trên trục của quỹ đạo tròn

- Cùng chiều với  khi > 0 và ngược chiều với  khi v<0

Hệ quả: Liên hệ giữa vectơ gia tốc gócvà vetơ gia tốc tiếp tuyến:

Thay vR  vào (1-15) ta được:

Hình 1-10

 

dt

d R dt

R

d

a t     , do đó theo (1-31) thì: a tR (1-36)

Ta thấy rằng do quy ước về chiều của các vectơ  và at theo hình

(1-10), trong mọi trường hợp ba vectơ at, ,

R (theo thứ tự đó) luôn luôn tạo thành một tam diện thuận ba mặt vuông; ngoài ra căn cứ thêm vào (1-35) ta có thể kết luận rằng:

at  R



3 Chuyển động của vật bị ném

Ta hãy khảo sát chuyển động của một chất

điểm xuất phát từ một điểm O trên mặt đất với

vectơ vận tốc ban đầu lúc (t = 0) là vo hợp với

mặt phẳng nằm ngang một góc (hình.1-11)

(bài toán bắn pháo)

Ở đây chọn mặt phẳng hình vẽ là mặt phẳng thẳng đứng chứa vo; đó cũng là mặt phẳng chứa quỹ đạo chất điểm, hai trục toạ độ Ox nằm ngang, Oy thẳng đứng hướng lên trên Tại thời điểm t, chất điểm ở vị trí

M toạ độ x, y, có gia tốc là vectơ a g song song với Oy hướng xuống dưới Do đó hai thành phần của a trên hai trục là:

C v v

y x

o x

v gt v

v v

cos

o

o

v gt dt dy

v dt dx

Lại lấy nguyên hàm theo t ta được: 2 3

cos 1

sin 2

1

cos

2

t v gt y

t v x M

2

Căn cứ vào phương trình (1-41) ta kết luận rằng quỹ đạo là một parabol OSA (h.1-11) đỉnh S, trục song song với trục tung, quay phần lõm về phía dưới hình vẽ

BÀI TẬP

1 Các khái niệm cơ bản

1.1.Phương trình chuyển động của một chất điểm có dạng:

a) Xác định dạng quỹ đạo chuyển động của chất điểm

b) Tính vận tốc v và gia tốc toàn phần a tại thời điểm t = 1s 1.2. Phương trình chuyển động của một xe trượt tuyết có dạng:

2

x( t )18 12t 1,2.t ( m )  , t tính theo giây Xác định vị trí, vận tốc,

gia tốc của xe ở thời điểm t = 2s

1.3.Phương trình chuyển động của một chất điểm có dạng:

2 Chuyển động thẳng biến đổi đều

1.4. Một vật được thả rơi từ một khinh khí cầu đang bay ở độ cao 300m

Hỏi sau bao lâu vật rơi tới mặt đất, nếu:

a) Khí cầu đang bay lên theo hướng thẳng đứng với vận tốc 5m/s

b) Khí cầu đang hạ xuống theo hướng thẳng đứng với vận tốc 5m/s

c) Khí cầu đang đứng yên Lấy g =9,8m/s2

1.5. Một chiếc xe chuyển động với vận tốc 72km/h, khi hãm nó chuyển động

chậm dần đều với gia tốc 0,4m/s2 Tìm thời gian hãm và quãng đường nó

đi được từ lúc hãm tới khi ngừng hẳn

1.6. Đầu của búa máy rơi từ độ cao 2,5m xuống đất, sau đó nó được nâng lên

độ cao ban đầu Thời gian để đầu búa từ đất đạt tới độ cao ban đầu lớn

gấp đôi thời gian đầu búa từ độ cao đó rơi xuống đất Tìm số lần đập của

búa trong một phút, nếu coi đầu búa rơi tự do Lấy g = 10m/s2

theo phương thẳng đứng với vận tốc vo

a) Hỏi vận tốc vo phải bằng bao nhiêu để hai vật gặp nhau ở

a) Quãng đường mà vật rơi được trong 0,1 giây đầu và 0,1 giây cuối của thời gian rơi

b) Thời gian cần thiết để vật đi hết 1m đầu và 1m cuối của

sẽ giảm với gia tốc không đổi có độ lớn bằng 5,0m/s2

Hãy xác định chiều dài của đường băng cần phải có để phi công có thể ngừng cất cánh vào đúng thời điểm máy bay đạt tốc độ bay mà không bị lao ra ngoài

3 Chuyển động tròn biến đổi đều

1.10. Vận tốc của một êlectron trong nguyên tử hiđrô

1.12. Một bánh xe có bán kính R = 10cm lúc đầu đứng yên,

sau đó quay xung quanh trục của nó với gia tốc góc

bằng 3,14 rad/s2 Hỏi, sau giây thứ nhất:

a) Vận tốc góc và vận tốc dài của một chất điểm trên vành bánh xe ?

b) Gia tốc pháp tuyến, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc toàn phần của một điểm trên vành bánh xe?

c) Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe (ứng với cùng một điểm trên vành bánh xe)?

1.13. Một bánh xe đang quay với vận tốc 300 vòng/phút thì bị hãm

và bắt đầu quay chậm dần đều Sau 1 phút bánh xe có vận tốc

180 vòng/phút Hãy xác định:

a) Gia tốc góc của bánh xe trong thời gian bị hãm

b) Số vòng bánh xe quay được sau 1 phút kể từ khi bắt đầu

bị hãm

1.14. Một bánh xe có bán kính 10cm, lúc đầu đứng yên và sau đó quay quanh trục của nó với gia tốc góc bằng 1,57 rad/s2

Hãy tính:

a) Vận tốc góc và vận tốc dài của một điểm trên vành bánh xe sau 1 phút

b) Gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến, gia tốc toàn phần của một điểm trên vành bánh xe sau 1 phút

c) Số vòng bánh xe đã quay được sau một phút

b) Tính bán kính cong của quỹ đạo tại điểm quả bóng chạm đất

1.16. Ném một hòn đá theo phương nằm ngang từ độ cao h với vận tốc vo= 15m/s Tính gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến của hòn đá và bán kính cong của quỹ đạo sau lúc ném 1 giây Lấy g

=9,8m/s2

1.17. Người ta ném một quả bóng với vận tốc vo = 10m/s theo phương hợp với mặt nằm ngang một góc  = 40o Giả sử quả bóng được ném từ mặt đất Hỏi:

a) Độ cao lớn nhất mà quả bóng có thể đạt được

a) Thời gian chuyển động của hòn đá

b) Khoảng cách từ chân tháp đến chỗ rơi hòn đá

c) Vận tốc của hòn đá lúc chạm đất Lấy g =9,8m/s2

1.19. Từ đỉnh một tháp cao H = 30m, người ta ném một hòn đá xuống đất với vận tốc vo = 10m/s theo phương hợp với mặt phẳng nằm ngang góc  = 30o

Tìm:

a) Thời gian để hòn đá rơi tới mặt đất kể từ khi ném

b) Khoảng cách từ chân tháp đến chỗ rơi hòn đá

c) Viết phương trình quỹ đạo của hòn đá Lấy g =9,8m/s2

1.20. Hỏi phải ném một vật theo phương hợp với mặt phẳng nằm ngang một góc  bằng bao nhiêu để với một vận tốc ban đầu cho trước, tầm xa của vật là cực đại

1.21. Cho một băng truyền đổ vật liệu

từ chân A của đỉnh băng truyền

đến nơi đổ vật liệu B Lấy g =

1.22. Cho một băng truyền đổ vật liệu

chuyển động với vận tốc v0,

được đặt nằm ngang ở độ cao

h = 5m (Hình1-12) Tính vận tốc

chuyển động của băng truyền để

vật liệu rơi xuống điểm B cách

chân A một đoạn S = 4m

Lấy g = 10m/s2

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ 1.1 a) Quỹ đạo chuyển động là đường elíp

h

10

5 , 2 2 2

1.7 Hướng dẫn: a) Chọn hệ quy chiếu là trục Ox có gốc tại mặt đất, chiều dương hướng lên trên

Phương trình chuyển động của vật rơi tự do: 2

1

2

1

gt h H

x    Phương trình chuyển động của vật ném lên: 2

g h H h H t v h H x x

2 ) ( ) ( )

b) Hệ quy chiếu quán tính

Vật chuyển động theo quán tính đang đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều trong hệ quy chiếu nào? Một người đang đứng yên trong hệ

quy chiếu gắn với toa tầu, người đó bị hất về phía trước đoàn tầu khi đoàn tầu đột ngột hãm máy lại Trạng thái chuyển động quán tính bị phá

vỡ, mặc dù không có lực nào tác dụng vào người đó Khi đoàn tầu đang chuyển động thẳng đều, hoặc khi nó dừng lại hoàn toàn, trạng thái chuyển động quán tính được giữ nguyên Như vậy định luật quán tính chỉ nghiệm đúng trong những hệ quy chiếu nào đó Hệ quy chiếu mà định luật quán tính nghiệm đúng được gọi là hệ quy chiếu quán tính Niutơn chọn hệ quy chiếu có gốc tại tâm Mặt Trời, và có các trục đi qua ba ngôi sao coi là cố định trên bầu trời Coi hệ quy chiếu này đứng yên, thì định luật quán tính được nghiệm đúng trong toàn bộ hệ Mặt Trời

Để giải phần lớn các bài toán kĩ thuật với độ chính xác đủ dùng trong thực tế, ta có thể xem hệ quy chiếu gắn liền với Trái Đất là hệ quy chiếu quán tính (Trừ khi ta xét ở phạm vi rộng như gió hay dòng hải lưu)

2 Định luật Niutơn thứ 2

a) Phát biểu

1 Chuyển động của một chất điểm chịu tác dụng của các lực có tổng

2 Gia tốc chuyển động của chất điểm tỉ lệ với tổng hợp lực tác dụng

m

F k a