Động học ngược tay máy chuỗi dư dẫn động: Chuyển động lặp của biến khớp

Bài viết trình bày một phương pháp giải bài toán động học ngược tay máy chuỗi dư dẫn động. Trên cơ sở phương trình động học ở mức vận tốc, véctơ vận tốc suy rộng được giải dựa trên tiêu chuẩn tối ưu. Không gian bù của ma trận Jacobi được khai thác để đảm bảo chuyển động lặp của các tọa độ khớp.

Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ Động lực học Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr 183-189, DOI 10.15625/vap.2019000276 Động học ngược tay máy chuỗi dư dẫn động: chuyển động lặp biến khớp Nguyễn Quang Hồng Bộ mơn Cơ ứng dụng – Viện Cơ khí, Đại học Bách khoa Hà Nội E-mail: hoang.nguyenquang@hust.edu.vn Tóm tắt Với tay máy đủ dẫn động, khâu cuối thực chuyển động lặp tọa độ khớp thực chuyển động lặp Tuy nhiên, tay máy dư dẫn động để tọa độ khớp thực chuyển động lặp địi hỏi phải có phương pháp xử lý tốn động học ngược Bài báo trình bày phương pháp giải toán động học ngược tay máy chuỗi dư dẫn động Trên sở phương trình động học mức vận tốc, véctơ vận tốc suy rộng giải dựa tiêu chuẩn tối ưu Không gian bù ma trận Jacobi khai thác để đảm bảo chuyển động lặp tọa độ khớp Giá trị biến khớp tìm nhờ phép tính tích phân véctơ vận tốc suy rộng Ngoài ra, để giảm sai số tích lũy phương pháp phản hồi sai số động học đưa vào Các mô số thực với tay máy phẳng bậc tự Các kết cho thấy tọa độ khớp thực chuyển động lặp khâu cuối thực chuyển động lặp đại số tuyến tính có số ẩn nhiều số phương trình Các tọa độ khớp sau nhận cách tích phân vận tốc biến khớp theo thời gian, với điều kiện đầu tương thích Để hạn chế sai số tích lũy q trình tính tích phân phương pháp phản hồi động học [10], hiệu chỉnh gia lượng sai số véctơ tọa độ suy rộng [5,6,7] thường sử dụng Trong báo này, vấn đề chuyển động lặp biến khớp quan tâm giải quyết việc sử dụng không gian bù ma trận Jacobi với véctơ tự chọn cách thích hợp Phần cịn lại báo trình bày sau: việc thiết lập phương pháp giải toán trình bày mục Mục trình bày mô số tay máy phẳng bậc tự Cuối số kết luận đưa Từ khóa: Tay máy dư dẫn động, Động học ngược, Chuyển động lặp, Phản hồi sai số động học Đặt bài toán và phương pháp giải Mở đầu So với robot đủ dẫn động, robot dư dẫn động có nhiều ưu điểm chúng cho phép tối ưu quỹ đạo chuyển động, tránh vật cản, tránh điểm kỳ dị, tránh giới hạn khớp [1, 9, 10, 11] Robot dư dẫn động có số tọa độ khớp lớn số bậc tự bàn kẹp, điều cho phép có nhiều phương án giải qút tốn động học ngược Đối với tay máy đủ dẫn động, khâu cuối thực chuyển động lặp theo chu trình, biến khớp thực chuyển động lặp tương ứng Tuy nhiên, điều khơng với tay máy dư dẫn động nếu khơng có can thiệp thích hợp tốn động học ngược Bài toán xác định chuyển động lặp biến khớp được nghiên cứu thời gian gần [12] Trong cơng trình tác giả thiết lập đưa tốn dạng quy hoạch dạng tồn phương với ràng buộc sau giải thuật tốn phức tạp Các thuật tốn khó có khả triển khai theo thời gian thực Phương án dựa ma trận Jacobi phương trình liên kết hay sử dụng nhất, tính chất đơn giản Với phương pháp ta chỉ cần giải hệ phương trình Nêu bài toán n Xét tay máy n bậc tự do, gọi q véctơ chứa tọa độ khớp Bàn kẹp robot vận hành m không gian thao tác, gọi x véctơ chứa vị trí m hướng bàn kẹp ( m ) Bài toán động học thuận robot giải quyết phương pháp hình học, quy tắc Denavit-Hartenberg Craig [2, 3, 4, 9, 10] Kết toán động học thuận cho ta liên hệ sau: m n f (x, q ) , (1) x, f ,q Tay máy đủ dẫn động nếu số chiều không gian thao tác số chiều không gian khớp, tức m n Bài toán ngược động học loại tay máy yêu cầu ta giải phương trình (1) tìm q (t ) cho biết x (t ) Bài toán giải phương pháp sau: Giải hệ phương trình đại số phi tuyến phương pháp lặp Newton-Raphson, Sử dụng phương pháp hình học để nhận nghiệm giải tích, Sử dụng phương pháp nhóm Tay máy dư dẫn động m n , số bậc tự tay máy lớn số bậc tự bàn kẹp Các phương pháp nêu tay máy đủ dẫn động khó áp dụng loại tay máy Thơng thường, tốn Nguyễn Quang Hồng động học ngược giải mức vận tốc Đạo hàm phương trình (1) theo thời gian ta nhận phương trình liên hệ mức vận tốc: J x x J qq , (2) với ma trận Jacobi sau J x (x, q ) f / x, Jq (x, q ) f/ q Đối với trường hợp robot phẳng, m 3, x [x, y, ]T , quan hệ (1,2) viết dạng tường minh sau: x f (q ) (3) x J (q )q (4) End-Effector z gọi ma trận tựa nghịch đảo có trọng số ma trận Jacobi J (q ) [8] Nếu chọn ma trận số ma trận đơn vị, W I , nghiệm tính theo công thức (5) có chuẩn nhỏ Nếu ý đến không gian bù ma trận Jacobi, nghiệm (4) q JW (q )x (I JW J )z , (8) n với z véctơ tùy ý Véctơ tạo chuyển động cho khâu mà không ảnh hưởng đến chuyển động bàn kẹp Thông thường véctơ chọn để khai thác thêm ưu điểm tay máy dư dẫn động tránh vật cản, tránh điểm kỳ dị, tránh va vào giới hạn khớp Thông thường người ta hay tính z theo công thức z0 T (9) với (q ) hàm mục tiêu phụ thuộc vào yêu cầu đặt Chẳng hạn để tránh điểm kỳ dị, ta chọn hàm hàm đo khả thao tác: y O (q ) q x (q ) Hình Sơ đồ tay máy chuỗi Bài toán đặt là: Cho biết chuyển động lặp bàn kẹp với chu kỳ T, tức biết hàm x (t ), x (t ) thảo mãn x (T ) x (0), x (T ) x (0) , ta cần tìm chuyển động tọa độ khớp q (t ) thỏa mãn q (T ) q (0) || q (T ) q(0) || det[J (q)J T (q )] (10) Hàm triệt tiêu điểm kỳ dị Do đó, việc cực đại hàm giúp robot tránh điểm kỳ dị trình hoạt động Để tránh va vào giới hạn khớp, người ta đưa vào hàm khoảng cách tới giới hạn khớp: Phương án giải Giả sử ma trận Jacobi J q cỡ m n có hạng đầy đủ, rank(Jq ) m Nếu biết x q từ phương trình (2) từ (4) ta giải vận tốc khớp q Sau đó, thực tích phân đạo hàm ta nhận q q Giải bài toán động học ngược tay máy dư dẫn động mức vận tốc 3.1 Tối ưu chuẩn véctơ vận tốc suy rộng Phần trình bày việc giải phương trình (4) kết hợp điều kiện chuẩn véctơ vận tốc suy rộng nhỏ Ta cần giải (4) tìm q phụ thuộc x , với điều kiện f qTWq min, W (5) Kết q JW (q )x (6) với † J (q )W W 1J T (q )[J (q )W 1J T (q )] (7) n  q − qi  (q) = −  ci  i  i =1  qiM − qim  (11) với qiM ( q im ) ký hiệu giới hạn lớn (nhỏ nhất) qi giá trị khoảng làm việc khớp; c i trọng số Do đó, cực đại hàm khoảng cách này, tính dư dẫn động khai thác để giữ cho biến khớp gần giá trị giới hạn khớp, tránh va vào giới hạn khớp Để tránh va vào vật cản, ta sử dụng hàm khoảng cách tới vật cản (q ) p(q ) o (12) với o véctơ vị trí điểm thích hợp chướng ngại vật (ví dụ tâm trường hợp mơ hình vật cản hình cầu) p(q ) véctơ vị trí suy rộng cấu trúc robot Do đó, cực đại khoảng cách giúp robot tránh vật cản trình hoạt động Trên thực tế robot khơng gian, việc mơ hình vật cản xác định giá trị hàm phức tạp Trong báo này, để tọa độ khớp lặp lại sau chu kỳ di chuyển bàn kẹp, hàm mục tiêu tránh va vào giới hạn khớp (11) chỉnh lại thành Động học ngược tay máy chuỗi dư dẫn động: chuyển động lặp biến khớp n  q − qi (0)  (q) = −  ci  i  i =1  qiM − qim  trình (13) Khi x Jq (q )q e Jq (q )q x e (16) Khi nghiệm (8) trở thành z0 (q ) q T K (q q (0)) (14) với Kii = ci /(qiM − qim )2 , i = 1, 2, , n Sự lựa chọn theo (14) đảm bảo nghiệm q (t ) tuần hoàn x (t ) tuần hoàn, q (t ) bị hút lân cận q (0) tránh tăng giảm liên tục biến khớp tránh va chạm vào giới hạn khớp 3.2 Xác định giá trị xuất phát q (0) Việc tích phân q từ (8) để nhận q (t ) ta cần phải có giá trị xuất phát q (0) ứng với x (0) Do số ẩn nhiều số phương trình nên (3) có vơ số nghiệm Ở ta tìm nghiệm q (0) cho tọa độ khớp gần với giá trị trung bình biến khớp Như thế tốn tìm giá trị ban đầu trở thành việc tìm nghiệm tốn tối ưu có ràng buộc sau: cực tiểu hóa hàm (q ) tính theo (11) với ràng buộc (3) Bài tốn dễ dàng giải cơng cụ phần mềm Một phương án khác để xác định giá trị xuất phát sử dụng phương pháp lặp Newton-Raphson Theo ta chọn xấp xỉ thơ ban đầu q (0) sau lặp để hiệu chỉnh dựa tựa nghịch đảo ma trận Jacobi 3.3 Ổn định hóa phản hồi sai số động học Do có sai số phương pháp sai số làm tròn trình tìm q (t ) từ phương trình (6) (8) phương pháp số, nghiệm q (t ), q (t ) tìm khơng cịn thỏa mãn phương trình liên kết (3) Trong phần trình bày phương pháp phản hồi sai số động học x (t ) x (t ) x(0) Tính q s q Tìm q(0) Hình Sơ đồ khối phương pháp Xét phương trình động học sai số e e, 0, (15) với e x f (q ) Rõ ràng nghiệm (15) có dạng e(t ) e(0) exp( t ) thế e(t ) t tăng đủ lớn Bằng cách ta giải tìm q từ phương q JW (q )[x e] (I JW J )z , (17) Sơ đồ khối mơ thuật tốn giải tốn động học ngược thể Hình Mô phỏng số Trong phần này, kết mô số đưa Đối tượng khảo sát tay máy phẳng bậc tự với khớp quay chuyển động mặt phẳng đứng Mô hình thơng số tay máy đưa Hình Bảng B y q3 C q2 g q4  A q1 E q5 O x Hình Tay máy phẳng bậc tự Bảng Các thông số tay máy khâu i l [m] 0.55 0.50 0.45 0.40 0.20 Kết toán động học thuận cho ta phương trình sau x f (q ) , k với f (q ) k Lk sin( i k qi ), k Lk cos( i T qi ), i qi x [x, y, ]T véctơ chứa vị trí (x , y ) hướng bàn kẹp ; q [q1 q2 q q q5 ]T véctơ chứa biến khớp Các mô thực với dạng quỹ đạo điểm cuối: chuyển động tiến lui quỹ đạo đoạn thẳng, cung tròn, chuyển động lặp đường tròn Chuyển động tiến – lui đoạn thẳng, cung tròn Giả sử điểm cuối cần di chuyển từ A đến B quay lại A đoạn thẳng cung tròn, vận tốc A B Thời gian cho chu trình chuyển động T quãng đường dịch chuyển từ A đến B quay lại A 2L Ở ta chọn luật vận tốc có dạng hình sin, từ suy luật chuyển động sau: Nguyễn Quang Hoàng v(t ) v0 sin s(t ) v0 t , T T cos v0 L /T, t T Hình Dạng đồ thị vận tốc dịch chuyển theo thời gian Hình Các cấu hình tay máy di chuyển Trong trường hợp khảo sát ma trận trọng số ma trận đơn vị Các ma trận K biểu thức (14) (17) chọn K diag(50, 50, 50, 50, 50) diag(10, 10, 10, 10, 10) Điểm cuối chuyển động cung tròn Xét trường hợp cung tròn có tâm C rC (0.5, 0.5), rad Kết điểm xuất phát A rA (1.2, 0.5), góc qt mơ đưa Hình 8-14 Điểm cuối chuyển động đoạn thẳng Xét trường hợp xuất phát từ A đến B quay lại A, với rA (1.2, 0.5), rB (0.5,1.2), 0.2 rad Kết mô đưa Hình 5, 6, Hình Đồ thị biến khớp theo thời gian q(t) Hình Đồ thị biến khớp theo thời gian q(t) Hình Quỹ đạo pha biến khớp Hình Quỹ đạo pha biến khớp Động học ngược tay máy chuỗi dư dẫn động: chuyển động lặp biến khớp Hình 14 Quỹ đạo pha biến khớp [K = 0,  = 10] Hình 10 Các cấu hình tay máy di chuyển Hình 11 Quỹ đạo pha biến khớp, K= 6, z0 = K(q - q0) Hình 12 Quỹ đạo pha biến khớp, K = 6, z0= K(q - q_) Nhận xét: đồ thị quỹ đạo pha khép kín chứng tỏ chuyển động góc khớp lặp lại, trừ trường hợp Hình 12, chuyển động lặp lại sau số chu trình Hình 13 Hình 14 cho thấy, trường hợp bàn kẹp chuyển động tiến lui ta không cần phải sử dụng đến không gian bù ma trận Jacobi phản hồi sai số động học nếu số chu trình lặp lại khơng lớn Do chuyển động lui ngược với chuyển động tiến trình giải theo chuẩn tối ưu vận tốc suy rộng cực tiểu, nên chuyển động lặp lại Để thấy ảnh hưởng điều kiện đầu q(0), ta xét trường hợp điều kiện đầu q(0) tìm phương pháp lặp Newton-Raphson với xấp xỉ thơ ban đầu Trong q trình hiệu chỉnh ta sử dụng tựa nghịch đảo ma trận Jacobi Các mô thực cho hai z0 K (q q ) trường hợp ứng với z0 K (q q(0)) Quỹ đạo pha đưa Hình 15 Hình 16 Hình 15 Quỹ đạo pha biến khớp z0 = K(q - q_), K = 10 Hình 13 Quỹ đạo pha biến khớp, [K = 0,  = 0] Hình 16 Quỹ đạo pha biến khớp, z0 = K(q-q(0)), K = 10 Nguyễn Quang Hồng Nhận xét: Hình 15 cho thấy chuyển động biến khớp di chuyển gần với giá trị trung gian biến khớp Sau đường quỹ đạo pha đóng kín thực chuyển động lặp Hình 16 cho thấy quỹ đạo pha biến khớp đường khép kín, điều cho thấy biến khớp thực chuyển động tuần hoàn 0.2 m, điểm xuất phát A(1.2, 0.5), thời gian chuyển động vòng T = s Trong mô thứ nhất, ta cho - tức không gian bù ma trận Jacobi véctơ z khơng sử dụng, cịn mơ thứ ta cho z0 K (q q(0)) Kết hai trường hợp đưa Hình 17-19 Chuyển động chu trình chiều đường (trịn) khép kín Giả sử thời gian chuyển động chu trình T chiều dài quãng dịch chuyển L Đặc điểm dạng chuyển động quỹ đạo sau: x (0) s(0) x (T ), 0, x (0) s(T ) x (T ) L, 0, s(0) s(T ) Luật di chuyển quỹ đạo chọn đa thức bậc 3, 5, 7, chọn với profile vận tốc dạng hình tam giác cân, hình thang, … Ở ta chọn luật vận tốc có dạng hình sin, từ suy luật chuyển động sau: v0 v(t ) L / 2T , v0 sin t , s(t ) T v0 T cos t T H Cấu hình tay máy chuyển động lặp, z0 =-K(q-q0) Nhận xét: Hình 18 cho thấy, khơng sử dụng đến z0 chuyển động biến khớp bị trơi sau chu trình, góc khớp khơng thực chuyển động lặp Trái lại, Hình 18 cho thấy quỹ đạo pha đường đóng kín – tức khớp chuyển động lặp Kết luận Hình 17 Quỹ đạo pha biến khớp, [K = 0,  = 0] Bài báo tập trung giải quyết toán động học ngược robot dư dẫn động dựa phương trình liên kết mức vận tốc Trên sở khảo sát lặp lại biến khớp khâu cuối thực chuyển động lặp theo chu trình Phương pháp phản hồi sai số động học đưa vào để giảm sai số tích lũy tích phân Ngồi ra, khơng gian bù ma trận Jacobi khai thác để đảm bảo cho biến khớp không tăng khâu cuối thực chuyển động lặp Tính đắn tin cậy phương pháp khẳng định thông qua mô số tay máy phẳng bậc tự Tài liệu tham khảo [1] Nakamura Y.: Advanced Robotics/Redundancy and Optimization Addison-Wesley Publishing Company, Reading 1991 [2] Nguyễn Thiện Phúc: Robot công nghiệp Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 2004 [3] Nguyễn Văn Khang: Động lực học hệ nhiều vật Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 2007 [4] Nguyễn Văn Khang, Chu Anh Mỳ: Cơ sở robot công nghiệp Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 2011 [5] Nguyễn Văn Khang, Lê Đức Đạt, Trần Hoàng Nam Về thuật toán giải toán động học ngược robot dạng Hình 18 Quỹ đạo pha biến khớp, z0 =-K(q-q0) Hai mô thực cho điểm cuối di chuyển trường tròn tâm C(1.0, 0.5) m, bán kính r = Động học ngược tay máy chuỗi dư dẫn động: chuyển động lặp biến khớp chuỗi Tuyển tập Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ VIII, Tập 1, Hà Nội 2008 [6] Nguyen Van Khang, Nguyen Quang Hoang, Tran Hoang Nam: On an efficient method for improving the accuracy of the inverse kinematics of robotic manipulators Int Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA 2010), Hanoi, July 1-2, 2010, pp 186-194 [7] Nguyen Quang Hoang, Nguyen Van Khang: On kinematic inverse and control of redundant manipulators under consideration of jammed joint Proceed Iftomm International Symposium on Robotics and Mechatronics, 2009, Hanoi, Vietnam, pp.201-207 [8] Rao, C.R.: Generalized Inverse of Matrices and its Applications New York, Wiley, 1971 [9] Spong M W.; Hutchinson S and Vidyasagar M.: Robot Modeling and Control John Wiley & Sons, New York, 2006 [10] Sciavicco L., Siciliano B.: Modelling and Control of Robot Manipulators, 2nd Edition, Springer-Verlag, London, UK, 2000 [11] Zhang Y and Wang J.: Obstacle Avoidance for Kinematically Redundant Manipulators Using A Dual Neural Network IEEE Transactions on systems, man, and cybernetics–part b: cybernetics, vol 34, no 1, february 2004 [12] Yunong Zhang & Zhijun Zhang: Repetitive Motion Planning and Control of Redundant Robot Manipulators Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013  ... biến khớp theo thời gian q(t) Hình Đồ thị biến khớp theo thời gian q(t) Hình Quỹ đạo pha biến khớp Hình Quỹ đạo pha biến khớp Động học ngược tay máy chuỗi dư dẫn động: chuyển động lặp biến khớp. .. chuyển bàn kẹp, hàm mục tiêu tránh va vào giới hạn khớp (11) chỉnh lại thành Động học ngược tay máy chuỗi dư dẫn động: chuyển động lặp biến khớp n  q − qi (0)  (q) = −  ci  i  i =1  qiM... tốn động học ngược robot dạng Hình 18 Quỹ đạo pha biến khớp, z0 =-K(q-q0) Hai mô thực cho điểm cuối di chuyển trường trịn tâm C(1.0, 0.5) m, bán kính r = Động học ngược tay máy chuỗi dư dẫn động: