Điều khiển ổn định và động lực học ngược tay máy robot một khâu đàn hồi

Trong bài viết này, lý thuyết điều khiển ổn định phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn được sử dụng để đảm bảo chuyển động thực của robot có khâu đàn hồi sai khác chuyển động mong muốn của khâu thao tác nhỏ như có thể.

Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ Động lực học Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr 167-176, DOI 10.15625/vap.2019000274 Điều khiển ổn định động lực học ngược tay máy robot khâu đàn hồi Nguyễn Văn Khang1), Đinh Công Đạt 1,2), Nguyễn Sỹ Nam3) 1) Bộ môn Cơ học ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 2) Bộ môn Cơ lý thuyết, Trường Đại học Mỏ - Địa Chất 3) Bộ môn Cơ lý thuyết, Trường Đại học Xây dựng E-mail: khang.nguyenvan2@hust.edu.vn Tóm tắt Động lực học ngược robot có khâu đàn hồi toán quan tâm nghiên cứu Trong báo này, lý thuyết điều khiển ổn định phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn sử dụng để đảm bảo chuyển động thực robot có khâu đàn hồi sai khác chuyển động mong muốn khâu thao tác nhỏ Thí dụ mơ số thực cho thấy hiệu phương pháp đề xuất Từ khóa: Robot đàn hồi, động lực học ngược, phân tích dao động, tuyến tính hóa, hệ quy chiếu đồng hành Mở đầu Mơ hình hóa điều khiển robot đàn hồi tốn có ý nghĩa khoa học thực tiễn, quan tâm nghiên cứu [1-4] Trong tốn động lực học ngược robot đàn hồi tốn có ý nghĩa kỹ thuật không đơn giản [5-11] Trong báo trình bày việc áp dụng phương pháp hệ quy chiếu đồng hành (Floating frame of reference approach) [12-13] thiết lập phương trình chuyển động robot có khâu đàn hồi Tương tự ý tưởng H Asada [5] toán động lực học ngược tay máy robot đàn hồi tính theo ba bước: Bước 1, xác định chuyển động khâu rắn mômen khâu dẫn Bước hai thiết lập phương trình dao động khâu đàn hồi dựa theo chuyển động khâu rắn khả dĩ, phân tích biến dạng động khâu đàn hồi cho chuyển động khâu không xa khỏi chuyển động khâu cứng ảo Bước ba từ chuyển động khâu cứng ảo biến dạng đần hồi ta tính mơ men khâu dẫn cho thực chuyển động khâu thao tác Trong việc tính tốn hai bước ba ngun tắc khơng có khó khăn Việc tính tốn bước hai tốn khó cịn cần nghiên cứu tiếp Trong báo trình bày ý tưởng giải khâu hai tốn động lực học ngược robot có khâu đàn hồi quy chiếu đồng hành để thiết lập phương trình vi phân chuyển động tay máy robot đàn hồi khâu Xét mơ hình tay máy hình Tay máy OE xem đàn hồi, chiều dài chưa biến dạng l Đầu O gắn cứng vào khâu O (bao gồm động cơ) quay quanh trục O, đầu E mang khối lượng mE Thanh xem đồng chất, thiết diện A, mật độ khối ρ Mômen phát động động τ Hệ tọa độ Ox 0y hệ tọa độ cố định, hệ tọa độ đồng hành Oxy hệ tọa độ động, chuyển động quay đồng thời với robot rắn Xét trường hợp OE đàn hồi thực biến dạng uốn ngang (bỏ qua biến dạng dọc thanh) Xét điểm P vị trí x thanh, gọi w (x , t ) chuyển vị ngang điểm P 2.1 Động robot Động hệ gồm động khâu đàn hồi OE, động khâu quay động khối lượng mE T = TOE + T1 + TE (1) Trong động khâu quay T1 = J 1qa2 (2) J mơ men qn tính khâu (bao gồm động Thiết lập phương trình chuyển động robot đàn hồi khâu phương pháp hệ quy chiếu đồng hành cơ) điểm O Động đàn hồi OE bị uốn Trong [12, 13] Shabana trình bày số phương pháp thiết lập phương trình vi phân chuyển động hệ nhiều vật đàn hồi Trong có phương pháp hệ quy chiếu đồng hành Trong báo áp dụng phương pháp hệ Xét điểm P* cách đầu O đoạn x, sau biến dạng đến vị trí P ta có xP = -xqa sin qa - w sin qa - wqa cos qa l TOE = rAvP2 dx ò0 (3) Nguyễn Văn Khang, Đinh Công Đạt, Nguyễn Sỹ Nam yP = xqa cos qa + w cos qa - wqa sin qa l Vận tốc điểm P  a vP2 = xP2 + yP2 = w + x qa2 + w + 2xwq ( ) P2 = mE gyE + ò yP mgdx (4) Thay (4) vào (3) ta l TOE = l ) ) l = = mE g (l sin qa + wE cos qa ) + l 1 rAqa2 ò x 2dx + rAò w 2dx 2 0 l  a dx + rAò w 2qa2 + 2xwq ( l Do +ò (x sin qa + w cos qa ) mgdx  a dx rA w + x qa2 + w + 2xwq ò0 (( ò x dx = ) l3 , (5) ( ) ( +mg cos qa ị (6) Trong wE độ võng E, wE = w (l, t ) Động tải trọng E TE = mE vE2 Từ (4) ta suy ) vE2 = wE2 + l qa2 + w E + 2lw E qa (13) Trong m = rA phân bố khối lượng đơn vị dài (kg/m) Vậy hệ m gl sin qa P = mE g (l sin qa + w E cos qa ) + OE l l  a dx + rAò w 2qa2 + 2xwq 2 +mg cos qa ò wdx nên từ (5) ta suy biểu thức 1 TOE = rAl 3qa2 + rAò w 2dx mOE gl sin qa l động OE l = mE g (l sin qa + wE cos qa ) (7) l æ ả 2w wdx + EI ũ ỗỗỗ ữữữ dx ỗ ảx ữ ố ứ 2.3 Phương trình vi phân chuyển động robot Theo phương pháp Ritz-Galerkin, chuyển vị uốn ngang tương đối w (x , t ) hệ toạ độ đồng hành Oxy , có trục Ox quay quanh O khâu rắn khai triển biểu thức sau N w(x , t ) = å Xi (x )qe (t ) Thay (8) vào (7) ta TE = mE éêl 2qa2 + wE2 qa2 + w E + 2lw E qa ùú (9) ë û Thay (2), (6) (9) vào (1) ta có biểu thức động nng ca robot ổ1 1 T = ỗỗỗ J + mE l + rAl ÷÷÷qa2 çè 2 ø÷ l 1 + mE éêwE2 qa2 + w E + 2lw E qa ùú + rAò w 2dx ë û 2 l l  + rAqa2 ò w 2dx + rAqa ò xwdx (10) 0 2.2 Thế robot Thế biến dạng đàn hồi thành OE tính theo cơng thức [13, 14] l ổ ả2w ửữ ỗ Pdh = ũ EI ỗỗ ữữ dx (11) ốỗ ảx ữứ Trong E mơ đun đàn hồi vật liệu, I mơ men qn tính mặt cắt ngang, Giả thiết đồng chất thiết diện khơng đổi, ta có biểu thức đàn hồi: l ỉ ¶ 2w ữ ỗ Pdh = EI ũ ỗỗ ữữ dx (12) ỗ ảx ữ ố ø Để tính trọng lực, ta chọn gốc đường ngang qua trục Ox0 Do ta có (15) i i =1 (8) (14) Trong đó: w(x, t) chuyển vị uốn ngang vị trí x, thời điểm t, Xi (x ) hàm thỏa mãn điều kiện biên đàn hồi, qe (t ) tọa độ dạng phụ i thuộc vào thời gian đại lượng chưa xác định Trong trường hợp OE đầu ngàm đầu tự phương trình đặc trưng dầm có dạng [14] + cos l cosh l = (16) Giải hệ phương trình (16) ta nhận trị riêng li (i=1, 2, …) Từ hàm X i (x ) có dạng [14] ỉ l x ư÷ ỉ l x ư÷ X i (x ) = cos ỗỗỗ i ữữ - cosh ççç i ÷÷ ÷ çè l ÷ø çè l ø÷÷ + ỉl x ỉ l x ưư cos li + cosh li ổỗ ỗỗ- sin ỗỗỗ i ữữữ + sinh ỗỗỗ i ữữữữữữ ữ ỗố l ữữứ ỗố l ữữữ sin li + sinh li ỗố ứứ (17) X i (l ) = cos (li ) - cosh (li ) + cos li + cosh li sin li + sinh li (- sin (l ) + sinh (l )) i (18) i Từ (15) ta suy N wE (t ) = å X i (l )qe (t ) i =1 i (19) Từ (15) thực phép đạo hàm, bình phương, tích phân thay vào công thức (10) (14) ta biểu thức động cho tay máy ỉ1 1 T = ỗỗỗ J + mE l + rAl ữữữqa2 ữứ ỗố 2 Điều khiển ổn định động lực học ngược tay máy robot khâu đàn hồi N é N N ù êq å å X (l ) X (l )q q + 2lq å X (l )q ú a i j ei e j a i ei ú ê i =1 ú + mE ê iN=1 jN=1 ê ú ê+å å X i (l ) X j (l )qe qe ú i j ê i =1 j =1 ú ë û N N N + rAqa2 å å mij qe qe + rAqa å Diqe i j i i =1 j =1 i =1 (20) N N + rAå å mij qe qe i j i =1 j =1 N ỉ m gl sin qa P = mE g ỗỗỗl sin qa + å X i (l )qe (t ) cos qa ữữữ + OE i ỗố ứữ i =1 N N N +mg cos qa å C iqe + EI å å kij qe qe i i j i =1 i =1 j =1 (21) ò X dx Ci = i i mij = ò ò X i¢¢X j¢¢dx (22) tọa độ suy rộng qj Lực hoạt động tác dụng vào hệ có mơmen phát động τ có lực suy rộng Qa* = τ ứng với tọa độ suy rộng qa Phương trình vi phân cho tọa độ khâu dẫn qa có dạng N N é ù êJ + m l + rAl + rAå å m q q ú E ij ei e j ú ê i =1 j =1 ê ú q N N ê ú a ê+mE å å X i (l ) X j (l )qe qe ú i j ê ú i =1 j =1 ë û N N N N é ù + êê2mE å å X i (l ) X j (l ) + 2rAå å mij úú qa qe qe i j i =1 j =1 i =1 j =1 ëê ûú N N +rAå Diqe + mE l å X i (l )qe i i i =1 N ổ = -mE g ỗỗỗl cos qa - X i (l )qe sin qa ữữữ i ữứ ỗố i =1 (23) N m glcosqa - OE + mg sin qa å C iqe + τ i i =1 Nếu ta chọn N tọa độ đàn hồi qei, phương trình vi phân tọa độ đàn hồi qei có dạng N N mE å å X i (l ) X j (l )qej +mE l å X i (l )qa i =1 j =1 N i =1 N N N N +rAå Diqa + rAå å mij qe + EI å å kijqe i =1 N i =1 i =1 (24) Trường hợp sử dụng khai triển đầu cho biến dạng đàn hồi (tức N = 1), ta thu hệ phương trình vi phân chuyển động robot đàn hồi sau é ù êJ + m l + rAl + m X (l )q + rAm q ú q 1 11 E E e e ê ú a ë û ( ) + éê2mE X12 (l ) + 2rAm11 ùú qa qe1qe1 + rAD1qe ë û mOE glcosqa +mE lX (l )qe + - mg sin qaC 1qe1 ) (25) 1 a = -mE gX1 (l ) cos qa - mg cos qaC 1 (26) Trong Q j* lực suy rộng khơng ứng với N N j -m q X (l )qe - rAq m11qe + EIk11qe Để thiết lập phương trình vi phân chuyển động tay máy, ta sử dụng phương trình Lagrange loi vit cho h hụlụnụm d ổỗỗ ảT ửữữ ảT ảP =+ Q j* , j=1,2,,n ữỗ dt ỗỗố ảq j ứữữ ảq j ảq j i =1 i =1 j =1 = -mE g å X i (l )cos qa - mg cos qa å C i E a l2 X i X jdx ; kij = j i =1 j =1 l2 N mE X12 (l )qe1 + mE lX1qa + rAD1qa + rAm11qe ò xX dx ; N ( l2 ; Di = N = -mE g l cos qa - X1 (l )qe1 sin qa + τ Trong ta sử dụng ký hiệu sau l2 N -mE qa2 å å X i (l ) X j (l )qe - rAqa2 å å mij qe i =1 j =1 j i =1 j =1 Tuyến tính hóa phương trình chuyển động robot đàn hồi quanh chuyển động Để tuyến tính hóa phương trình chuyển động robot đàn hồi, ta cần xác định chuyển động Trong cơng trình chuyển động robot xem khâu rắn xem chuyển động robot đàn hồi 3.1 Động lực học ngược robot rắn Khi hệ rắn, vị trí khâu thao tác E xác định công thức sau x E = l cos qa , yE = l sin qa (27) Ký hiệu JOE mơmen qn tính OE điểm O Khi OE đồng chất, thiết diện khơng đổi ta có 1 JOE = mOE l = rAl (28) 3 Ký hiệu J E mơmen qn tính khối lượng mE điểm O Xemvật nặng chất điểm ta có J E = mE l (29) Từ (28) (29) ta suy JO = rAl + mE l + J (30) Tay máy robot vật rắn quay quanh trục cố định, áp dụng định lý biến thiên mômen động lượng ta có m gl cos qa JOqa = τ(t ) - OE - mE glcosqa ổ1 ỗỗ rAl + m l + J ÷÷q = ÷ a 1ữ E ỗỗố ứ j = -mOE g l cosqa - mE glcosqa + τ(t ) (31) Nguyễn Văn Khang, Đinh Công Đạt, Nguyễn Sỹ Nam Giả sử quy luật chuyển động khâu dẫn có dạng p p qa (t ) = + sin (2pt ) (32) 2 Đạo hàm biểu thức (32) thay vào (31) ta ỉ1 τ(t ) = -2p ççç rAl + mE l + J ữữữ sin (2pt ) ốỗ ứữ ổ p p l +mOE g cos ỗỗỗ + sin (2pt )ữữữ (33) ốỗ 2 ứữ ổp p +mE glcos ỗỗỗ + sin (2pt )ữữữ ữứ ỗố 2 Tọa độ điểm thao tác E có dạng ỉp p ö x E = l cos (qa ) = l cos ỗỗỗ + sin (2pt )ữữữ ữứ ỗố 2 æp p ö yE = l sin (qa ) = l sin ỗỗỗ + sin (2pt )ữữữ ữứ ỗố 2 Hình 3a Tọa độ xE (34) Để tính tốn mô số, ta cho biết tham số động học động lực học robot dạng bảng sau Bảng Các tham số rắn Thông Giá trị Đơn vị số l 0.9 m A 1x10-4 m2 r 2700 kg/m2 I 2.0834x10-10 m4 m kg 0.972 J1 kg.m2 5.86x10-5 mE 0.1 kg Với bảng thơng số tính tốn trên, sử dụng chương trình Matlab cho ta kết tọa độ khâu thao tác mơmen khâu dẫn hình vẽ 2, 3a, 3b, 3c Hình 3b Tọa độ yE Hình 3c Quỹ đạo điểm E 3.2 Tuyến tính hóa phương trình chuyển động robot đàn hồi quanh chuyển động Hệ phương chuyển động (25), (26) trường hợp riêng hệ phương trình [15] M(s)s = p1 (s, s, t, t ) (35) Ta khai triển phương trình (35) quanh chuyển động sR (t ), τ R (t ) Trong sR (t ) chuyển Hình Mơ men phát động cấu rắn động robot khâu rắn é q R (t )ù éq R (t )ù sR (t ) = êê aR úú = êê a úú , ú q t û ëê e ( )ûú ëê é q R (t )ù é q R (t )ù s R (t ) = êê a úú , sR (t ) = êê a úú êë úû êë úû τ R (t ) mô men khâu rắn (36) Điều khiển ổn định động lực học ngược tay máy robot khâu đàn hồi é τR ù é τR ù τ R (t ) = êê aR úú = êê a úú êë τe úû êë úû Ta đưa vào ký hiệu sau s (t ) = sR (t ) + Ds (t ) = sR (t ) + y (t ) s (t ) = s R s (t ) = sR τ ( 2) (37) 4.1 Điều khiển ổn định (38) (t ) + Ds (t ) = s (t ) + y (t ) (t ) + Ds (t ) = s (t ) + y (t ) (t ) = τ R R (39) R (40) Để đơn giản biến đổi ta viết lại phương trình (35) dạng (42) f1 (s, s) = M(s)s Trong đó: f1 Ỵ Â f , p1 Î Â f Khai triển Taylor hàm f1 (s, s) p1 (s, s, τ, t ) quanh chuyển động sR , s R , sR , τ R [15, 16], bỏ qua Trong yh (t ) nghiệm phương trình (43) ( ) ) ( ) phần tử đường chéo số dương Phương trình tuyến tính hóa lúc trở thành  + CL (t ) y + KL (t ) y ML (t ) y (46) () (2) (2) = h L (t ) - KD y - KP y Trong ék 0ùú (2) éêkP 0ùú (2) KD = êê D ú ; KP = ê 0ú êë 0úû êë úû Chuyển biến đổi ta  + éêCL (t ) + K(D ) ùú y ML (t ) y ë û (2) (2) + éê KL (t ) + KP ùú y = h L (t ) ë û (47) (2)  + C(2) M(2) t y t y + K(2) t y = h L (t ) L ( ) L ( ) L ( ) (48) Với (2) ML (t ) = ML (t ) (49) (2) (2) (2) (2) (2) KL (t ) = KL (t ) + KP CL (t ) = CL (t ) + KD é ù ê ú ê ú h L (t ) = ê éê-mE gX1 (l ) cos qaR - mg cos qaRC ùú ú êê úú ê ê-mE lX1qaR - rAD1qaR úû úû ëë (2) (50) (2)  + CL (t ) y + KL (t ) y = ML (t ) y (54) Để biến đổi phương trình vi phân (54) hệ phương trình bậc nhất, ta đặt y2 = y ; y1 = y Khi hệ phương trình (54) có dạng y = y2 () () () () y = -ML -1 (t ) CL (t ) y2 - ML -1 (t ) KL (t ) y1 Chú ý biểu thức gia lượng Dτ (41) thành phần mômen bổ xung mômen phát động động Người ta thường chọn mômen bổ xung thêm dạng (44) Dτa = - éêKD q a - q Ra + KP q a - q Ra ùú ë û éDτ ù é-K q - q R - K q - q R ù a a a ú P Dτ = êê a úú = êê D a ú (45) 0 ê úû ëê ûú ë Trong KD KP ma trận đường chéo với ) ( số hạng phi tuyến, phương trình vi phân (35) trở thành  + CL (t ) y + KL (t ) y = h L (t ) ML (t ) y (2) Như trên, phương trình chuyển động tuyến tính của robot đàn hồi (47) hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hồn Nghiệm (47) có dạng y (t ) = yh (t ) + y* (t ) (53) (41) + Δτ ( Điều khiển ổn định phân tích dao động đàn hồi tuyến tính 2 (55) Đặt éy ù z = êê úú y ëê ûú é ù E ú A (t ) = êê (2)-1 (2) (2)-1 (2) M K M C y t t t t êë () L () ( ) L ( ) úúû L L Hệ (55) trở thành z = A (t ) z (56) (57) (58) Bài toán ổn định yêu cầu ta phải chọn KP KD cho nghiệm yh (t) tiến tới nhanh, nghiệm y (t )  y* (t ) nhanh [18] Để tính tốn mơ số ta đưa thơng số tính tốn bảng Bảng Các tham số cấu đàn hồi Thông Giá trị Đơn vị số l 0.9 m A 1x10-4 m2 r 2700 kg/m2 2.0834x10-10 m4 I kg m 0.972 N/m E 7.11x1010 kg.m2 J1 5.86x10-5 kg mE 0.1 p p + sin (2pt rad qa 2 (51) (52) Chọn ma trận KP , KD khảo sát ổn định hệ thông qua số mũ Floquet [17,18] Nguyễn Văn Khang, Đinh Công Đạt, Nguyễn Sỹ Nam Trường hợp é 0.5 0ù é ù ú ; K = ê 0.6 0ú (59) KP = êê D ú ê 0ú 0úú ëê û ëê û Tính số mũ Floquet phương trình (58) ta l1 = 0.6059 + 0.0000i l2 = -4.8623 + 0.0000i (60) l3 = -9.5721 + 0.0000i l4 = -17.7524 + 3.1416i Có phần thực dương nên hệ không ổn định Trường hợp é0.95 ù é ù ú ; K = ê0.1 0ú (61) KP = êê ê 0ú úú D êë êë úû û Tính số mũ Floquet phương trình (58) ta l1 = -0.3292 + 0.3345i l2 = -0.3292 - 0.3345i (62) l3 = -8.9079 + 3.1416i l4 = -14.0069 + 0.0000i Tất phần thực âm, hệ ổn định Trường hợp é 0ù é ù ú ; K = ê2 0ú (63) KP = êê D ú ê 0ú 0úú ëê û ëê û Tính số mũ Floquet phương trình (58) ta l1 = -0.0369 + 0.0000i l2 = -10.6635 + 0.0000i (64) l3 = -10.8238 + 3.1416i l4 = -15.0181 + 0.0000i Tất phần thực âm, hệ ổn định Trường hợp é 0ù é ù ú ; K = ê10 0ú KP = êê (65) ú D ê 0ú êë 0úû êë úû Tính số mũ Floquet phương trình (58) ta l1 = -0.4071 + 0.0000i l2 = -12.2119 + 3.1416i (66) l3 = -2.5532 + 0.6076i l4 = -2.5532 - 0.6076i Tất phần thực âm, hệ ổn định 4.2 Chuyển động đàn hồi ổn định Trong trường hợp hệ ổn định theo tiêu chuẩn số mũ Floquet, ta tiến hành tìm nghiệm riêng phương trình (2)  + C(2) M(2) t y t y + K(2) t y = h L (t ) L ( ) L ( ) L ( ) (67) Sử dụng cơng thức tích phân Newmark, GS Nguyễn Văn Khang cộng đưa thuật tốn tìm điều kiện đầu nghiệm tuần hồn phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn [17, 18] Dưới ta nhặc lại số kết Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hồn có dạng M(t )q + C(t )q + K(t )q = f (t ), (68) Trong M(t), C(t), K(t) ma trận cấp n ´ n , f(t) véctơ lực mở rộng Các ma trận hàm tuần hồn với chu kỳ T M(t+T) = M(t), C(t+T) = C(t), (69) K(t+T) = K(t), f(t+T) = f(t) Nghiện tuần hoàn phương trình (68) có chu kỳ T thỏa mãn điều kiện đầu sau q(0) = q(T ), q (0) = q (T ), q(0) = q(T ) (70) Sử dụng thuật tốn trình bày [17, 18] ta tìm nghiệm phương trình (67), ta có y* = éê y1* y*2 ùú (71) ë û Khi chọn KP KD cho hệ ổn định nhanh nghiệm y* » y (72) Khi ta có tọa độ khớp quay trở thành qa (t ) = qaR (t ) + y1 (t ) (73) Chuyển vị đàn hồi điểm cuối w (l, t ) = X1 (l ) y2 (t ) (74) Tọa độ điểm thao tác E ( ) ( ) = l sin (q (t )) + w (l, t ) cos (q (t )) x E = l cos qa (t ) - w (l, t ) sin qa (t ) (75) yE (76) a a Tính tốn số cho trường hợp 2, 3,4 ta Trường hợp é0.95 ù é ù ú ; K = ê0.1 0ú (77) KP = êê ê 0ú 0 úú D ëê û ëê ûú Điều khiển ổn định động lực học ngược tay máy robot khâu đàn hồi Hình 5a Tọa độ xE hệ rắn đàn hồi Hình 5b Tọa độ yE hệ rắn có xét đến tính đàn hồi Hình 5c Quỹ đạo điểm E hệ rắn có xét đến tính đàn hồi Hình Tọa độ khớp hệ rắn có xét đến tính đàn hồi Trường hợp é 0ù é ù ú ; K = ê2 0ú KP = êê (78) D ú ê 0ú 0úú ëê û ëê û Hình 7a Sai lệch tọa độ rắn Hình 7b Chuyển vị đàn hồi Hình 8a Tọa độ xE hệ rắn tính đến đàn hồi Hình 8b Tọa độ yE hệ rắn có xét đến tính đàn hồi Nguyễn Văn Khang, Đinh Công Đạt, Nguyễn Sỹ Nam Hình 8c Quỹ đạo điểm E hệ rắn có xét đến tính đàn hồi Hình 8c Quỹ đạo điểm E hệ rắn có xét đến tính đàn hồi Hình Tọa độ khớp hệ rắn có xét đến tính đàn hồi Trường hợp é 0ù é ù ú ; K = ê10 0ú KP = êê (79) ê 0ú 0úú D ëê û ëê ûú Hình 10a Sai lệch tọa độ rắn Hình 7b Chuyển vị đàn hồi Hình 11a Tọa độ xE hệ rắn tính đến đàn hồi Hình 11b Tọa độ yE hệ rắn có xét đến tính đàn hồi Hình 11c Quỹ đạo điểm E hệ rắn có xét đến tính đàn hồi Điều khiển ổn định động lực học ngược tay máy robot khâu đàn hồi Hình Tọa độ khớp hệ rắn có xét đến tính đàn hồi Từ két mơ trên, ta thấy vị trí điểm thao tác khâu dẫn khâu đàn hồi gần vị trí điểm thao tác khâu rắn xem khâu rắn Hình 12b Mơ men hệ rắn có xét đến tính đàn hồi trường hợp Động lực học ngược robot đàn hồi Sử dụng kết toán điều khiển ổn định, ta tính tốn mơmen phát động cho biết chuyển động khâu đàn hồi nhờ vào phương trình (25) Ta tính tốn với trường hợp 2,3 Trường hợp Chọn é0.95 ù é ù ú ; K = ê0.1 0ú KP = êê (80) D ú ê ú 0ú êë êë 0úû û Trường hợp Chọn é 0ù é ù ú ; K = ê2 0ú (81) KP = êê D ú ê ú êë 0úû êë0 0úû Trường hợp Chọn é 0ù é ù ú ; K = ê10 0ú (82) KP = êê ê 0ú 0úú D ëê û ëê ûú Kết mơ số trình bày hình 12a, 12b, 12c Hình 12a Mơ men hệ rắn có xét đến tính đàn hồi trường hợp Hình 12c Mơ men hệ rắn có xét đến tính đàn hồi trường hợp Từ hình vẽ ta thấy phương trình vi phân tuyến tính (54) ổn định động lực tốt mơmen khâu dẫn đàn hồi mômen khâu dẫn xem rắn sai khác Mơmen bổ sung nhỏ Kết luận Bài toán động lực học ngược tay máy đàn hồi toán quan tâm nghiên cứu Trong báo trình bày thuật tốn tìm nghiệm gần chuyển động khâu robot Sau dựa vào phương trình vi phân robot có khâu đàn hồi ta dễ dàng tìm biểu thức gần tính mơmen khâu dẫn Phương pháp trình bày báo phương pháp tổng quát khâu dẫn quay robot rắn dao động phụ khâu đàn hồi nhỏ Khi tính tốn, ta xem chuyển động robot chuyển động robot khâu khâu rắn tuyệt đối Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa thiết lập phương trình vi phân dao động quanh chuyển động Khi khâu dẫn quay ta nhận hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hồn Sử dụng lý thuyết Floquet ta tìm điều kiện ổn định robot đàn hồi Với giả thiết gần đúng, xem chuyển động đàn hồi nhỏ, Nguyễn Văn Khang, Đinh Công Đạt, Nguyễn Sỹ Nam chuyển động thực gần khâu robot tổng chuyển đông khâu rắn tuyệt đối chuyển động đàn hồi Từ đề xuất phương án tính tốn động lực học ngược robot có khâu đàn hồi [13] A A Shabana, Computational Continuum Mechanics, Cambridge University Press, 2008 [14] Nguyễn Văn Khang, Dao động kỹ thuật (in lần thứ 4), NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội 2005 [15] Nguyễn Văn Khang, Động lực học hệ nhiều vật (in lần thứ Lời cảm ơn 2), NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội 2017 Bài báo hoàn thành với tài trợ Quỹ Phát triển Khoa học Cơng nghệ Quốc gia (NAFOSTED) [16] Nguyễn Dỗn Phước, Phân tích điều khiển hệ phi tuyến, NXB Bách khoa Hà Nội, 2015 [17] Nguyen Van Khang, Nguyen Phong Dien (2012): Parametric Tài liệu thamkhảo [1] M Benosman, G.L Vey, Control of flexible manipulators: A survey, Robotica 22 (2004), pp 533-545 [2] S.K Dwivedy, P Eberhard, Dynamic analysis of flexible manipulators, a literature review, Mechanism and Machine Theory 41 (2006), pp 740-777 [3] H, N Rahimi, M Nazemizadeh, Dynamic analysis and intelligent control techniques for flexible manipulators: a review, Advanced Robotics, Vol.28 (2), pp.63-76, 2014 [4] K Lochan, B.K Roy, B Subudhi, A review on two-link flexible manipulators, Annual Reviews in Control, Vol 42, pp 346-367, 2016 [5] H Asada, Z.-D Ma, H Tokumaru, Inverse dynamics of flexible robot arms: Modeling and computation for trajectory control, ASME-Journal of Dynamic Systems, Meassurement, and Control, Vol 112(1990), pp 177-185 [6] E Bayo, H Moulin, An efficient computation of the inverse dynamics of flexible manipulators in the time domain, Proc IEEE Conference on Robotics and Automation, Scottsdale, Arizona, 1989, pp 710-715 [7] E Bayo, Ph Papadopoulos, J Stubbe, M.A Serna, Inverse dynamics and kinematics of multi-link elastic robots: An iterative frequency domain approach, The International Journal of Robotics Research, Vol 8, No.6, pp 49-62, 1989 [8] W Khalil, F Boyer, An efficient calculation of computed torque control of flexible manipulators, Proc of the IEEE International Conference on Robotics and Automation 1, 1995, pp 609-614 [9] vibration analysis of transmission mechanisms using numerical methods In: Advances in E Carrera, M.A Serna, Inverse dynamics of flexible robots, Mathematics and Computers in Simulation, Vol.41 (1996), pp 485-508 [10] F Boyer, W Khalil, An efficient calculation of flexible manipulator inverse dynamics, The International Journal of Robotics Research, Vol 17, No.3, pp 282-293, 1998 [11] R Seilfred, Dynamics of Underactuated Multibody Systems, Springer, Switzerland 2014 [12] A A Shabana, Flexible Multibody Dynamics: Review of Past and Recent Developments, Multibody System Dynamics, Vol.1 (1997), pp.189–222 Vibration Engineering and Structural Dynamics, Edited by F.B Carbajal, Intech, Croatia, pp.301-331 [18] Nguyễn Văn Khang, Dao động phi tuyến ứng dụng, NXB Bách khoa Hà Nội, 2016  ... tính đến đàn hồi Hình 11b Tọa độ yE hệ rắn có xét đến tính đàn hồi Hình 11c Quỹ đạo điểm E hệ rắn có xét đến tính đàn hồi Điều khiển ổn định động lực học ngược tay máy robot khâu đàn hồi Hình... êê ê 0ú 0 úú D ëê û ëê ûú Điều khiển ổn định động lực học ngược tay máy robot khâu đàn hồi Hình 5a Tọa độ xE hệ rắn đàn hồi Hình 5b Tọa độ yE hệ rắn có xét đến tính đàn hồi Hình 5c Quỹ đạo điểm... phương, tích phân thay vào công thức (10) (14) ta biểu thức động cho tay máy ổ1 1 T = ỗỗỗ J + mE l + rAl ữữữqa2 ữứ ỗố 2 Điều khiển ổn định động lực học ngược tay máy robot khâu đàn hồi N é N N ù êq