Bài viết này trình bày việc mô hình hóa tay máy phẳng có khâu đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn và phương trình Lagrange loại 2. Trên cơ sở phương trình vi phân chuyển động nhận được, các bộ điều khiển PD cho bài toán vị trí và bộ điều khiển dựa trên động lực học ngược tay máy rắn cho bài toán điều khiển quĩ đạo được thiết kế.
HỘI NGHỊ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TỒN QUỐC VỀ CƠ KHÍ LẦN THỨ V - VCME 2018 Mơ hình hóa điều khiển dựa động lực học ngược tay máy phẳng hai khâu đàn hồi Modeling and inverse dynamic based control of a two-link flexible planar manipulator Nguyễn Quang Hồng1,*, Trương Quốc Chiến1, Đinh Cơng Đạt1,2,*, Thân Văn Ngọc1,3 Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Khoa Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Mỏ - Địa chất Khoa Cơ điện công trình, Trường Đại học Lâm nghiệp Email: hoang.nguyenquang@hust.edu.vn; dinhcongdat@humg.edu.vn Tóm tắt Từ khóa: Mơ hình hóa; Phương pháp phần tử hữu hạn; Điều khiển chuyển động; Tay máy đàn hồi; Mơ số Vì lý tiết kiệm vật liệu giảm thời gian tăng tốc, tay máy robot ngày thiết kế mảnh tính đàn hồi khâu khơng thể bỏ qua việc khảo sát động lực học thiết kế điều khiển chuyển động Do biến dạng khâu chuyển động nên toán điều khiển chuyển động trở nên phức tạp khó đảm bảo để điểm cuối bám theo quĩ đạo mong muốn Bài báo trình bày việc mơ hình hóa tay máy phẳng có khâu đàn hồi phương pháp phần tử hữu hạn phương trình Lagrange loại Trên sở phương trình vi phân chuyển động nhận được, điều khiển PD cho tốn vị trí điều khiển dựa động lực học ngược tay máy rắn cho toán điều khiển quĩ đạo thiết kế Các mô số thực tay máy phẳng để minh họa cho thuật giải đề xuất Abstract Keywords: Modeling; Finite element method; Motion control; Flexible robot manipulators; Numerical simulation Ngày nhận bài: 30/7/2018 Ngày nhận sửa: 14/9/2018 Ngày chấp nhận đăng: 15/9/2018 Due to material savings and acceleration time reducing, robot manipulators are designed to be slender Therefore, the elasticity of links couldn’t be neglected in dynamic analysis and control design Due to the elastic deformation of links, the motion control problem becomes complicated and it is difficult to ensure that the end-effector follows the desired trajectory This paper presents the modeling of flexible manipulators by finite element methods and the Lagrangian formulation Based on equations of motion, a PD controller and controller based on inverse dynamics of rigid manipulator for a flexible manipulator are designed Numerical simulations are implemented for a two degree of freedom flexible planar manipulator to illustrate the proposed algorithm HỘI NGHỊ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TỒN QUỐC VỀ CƠ KHÍ LẦN THỨ V - VCME 2018 GIỚI THIỆU Ngày nay, tay máy robot sử dụng rộng rãi hầu hết lĩnh vực công nghiệp, y tế, hàng không,… Để bỏ qua biến dạng đàn hồi, tay máy robot truyền thống thiết kế có độ cứng cao, mơ hệ vật rắn tuyệt đối liên kết khớp quay khớp tịnh tiến để thuận tiện cho việc điều khiển hệ thống Để tăng độ cứng tay máy, nhà chế tạo thường tăng kích thước Điều làm tăng khối lượng khâu làm tăng kích thước cấu dẫn truyền động, dẫn tới tăng lượng tiêu thụ lượng cho robot Việc chế tạo tay máy robot nhẹ mảnh có chi phí vật liệu lượng thấp hơn, việc giảm khối lượng khâu dẫn đến việc giảm độ cứng khâu Khi đó, tay máy trở nên dễ biến dạng khó khăn để điều khiển xác Bởi vậy, toán động lực học ngược điều khiển robot có khâu mảnh, nhẹ cấu chuyển động với vận tốc gia tốc lớn, tải trọng làm việc lớn, tính chất đàn hồi khâu khơng thể bỏ qua Loại tay máy đàn hồi thường ứng dụng lĩnh vực thám hiểm không gian, tự động hóa sản xuất, xây dựng, mỏ, nơi mà địi hỏi tay máy có khối lượng nhỏ khơng gian làm việc lớn Việc nghiên cứu tay máy đàn hồi thu hút quan tâm nhà khoa học khoảng ba thập niên gần Đã có nhiều cơng trình nghiên cứu động lực học điều khiển tay máy có khâu đàn hồi Các cơng trình tổng hợp nghiên cứu tổng quan [1-4, 12, 13] Nhìn chung cơng trình tập trung vào việc mơ hình hóa thiết kế điều khiển cho tay máy đàn hồi Trong năm phương pháp sử dụng để mơ hình hóa khâu đàn hồi, bao gồm: phương pháp tham số tập trung (lumped parameter method, LPM) [15], phương pháp sai phân hữu hạn (finite difference method, FDM), phương pháp khai triển theo hàm riêng giả định hay phương pháp Ritz-Galerkin (Assumed mode method, AMM) [9, 10, 11], phương pháp phần tử hữu hạn (finite difference method, FEM) [14, 16], phương pháp phần tử hữu hạn rắn (rigid finite element method, RFEM) hay gọi phương pháp hệ nhiều vật rắn (Multibody System, MBS) [19] Mỗi phương pháp có ưu nhược điểm, với phương pháp sai phân hữu hạn đạo hàm riêng theo biến không gian thay cơng thức sai phân Khó khăn phương pháp tham số tập trung việc xác định thơng số lị xo cản nhớt tương đương Đối với phương pháp Ritz-Galerkin ta cần phải xác định hàm riêng giả định, thường mơ hình khâu phần tử dầm hai đầu lề đầu ngàm đầu tự Trái lại, với phương pháp phần tử hữu hạn hàm dáng cho trước với tồn lớp tốn đưa mơ hình dầm Euler - Bernoulli Bên cạnh việc mơ hình hóa, luật điều khiển vị trí quĩ đạo khâu quan tâm nghiên cứu Rất nhiều luật điều khiển từ tuyến tính, phi tuyến, bền vững, thích nghi, logic mờ, sử dụng mạng nơ ron,… thiết lập áp dụng tay máy đàn hồi [7, 8-10, 18, 19] Trong báo này, phương pháp phần tử hữu hạn phương trình Lagrange loại sử dụng để xây dựng mơ hình động lực cho tay máy phẳng dạng chuỗi có hai khớp tịnh tiến quay với khâu đàn hồi Trên sở phương trình vi phân chuyển động nhận được, cho phép thiết kế điều khiển PD cho tốn vị trí điều khiển dựa động lực học ngược tay máy rắn cho toán điều khiển quĩ đạo Bố cục báo gồm phần: phần tổng quan, phần trình bày việc áp dụng phương pháp FEM vào việc xây dựng phương trình vi phân chuyển động cho hệ tay máy phẳng hai khâu Phần trình bày hai luật điều khiển đơn giản cho hai loại nhiệm vụ khác Phần trình bày kết mơ số hai luật điều khiển chuyển động Cuối phần kết luận HỘI NGHỊ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TỒN QUỐC VỀ CƠ KHÍ LẦN THỨ V - VCME 2018 XÂY DỰNG MƠ HÌNH ĐỘNG LỰC HỌC TAY MÁY ĐÀN HỒI HAI KHÂU 2.1 Mơ hình động lực học cho tay máy phần tử hữu hạn Phương trình vi phân chuyển động tay máy chuỗi đàn hồi thiết lập phương pháp FEM phương trình Lagrange loại có dạng ma trận sau M(q) q C(q, q )q Dq Kq g(q) B , (1) với q [qTr , qTf ]T véc tơ tọa độ suy rộng chứa tọa độ suy rộng rắn tọa độ suy rộng đàn hồi, M(q) ma trận khối lượng suy rộng, K ma trận độ cứng suy rộng, D ma trận cản, C(q, q ) ma trận Côriôlis ly tâm, g(q) ma trận lực suy rộng trọng lực Chi tiết việc xây dựng phương trình tham khảo tài liệu [1, 17, 20, 21] 2.2 Phương trình vi phân chuyển động tay máy đàn hồi T-R Xét tay máy hai khâu đàn hồi có khớp tịnh tiến quay Hình Thơng số khâu cho bảng Thông qua số kết [20], [22] ta thấy lấy số phần tử khâu 1, 2, 3, dẫn đến kết không khác biệt nhiều khối lượng tính tốn tăng đáng kể, ta sử dụng mơ hình phần tử cho khâu Các tọa độ suy rộng cho khâu u24 u23 m2B u14 EI1,L1 q [qr 1, u13, u14 ] (2) q [yO ,2 , u23, u24 ]T , (3) qr2 m1A u2 m1B u1 T EI2,L2 m2A u13 x qr1 yO qr u13, 2 qr u14 Hình Tay máy khâu T-R Và tọa độ suy rộng chung cho tay máy sau q [ qr qr u13 u14 u23 u24 ]T (4) Trong u13 , u14 , u23, u24 biến dạng dài uốn điểm cuối Bảng Các thông số tay máy hai khâu đàn hồi Thông số rho = 8000 (kg/m3); b = 0,02 (m); h = 0,005 (m); A = b*h (m^2); E = 2x10^10 (N/m^2); Hệ số cản hai khớp: d1 = 0,10, d2 = 0,10; Hệ số cản Rayleigh delta = 0,0005; Damp = delta*K; Khâu L1 = 0,5 (m); N1 = 1; m1 = rho*A*L1 (kg); me1 = m1/N1 (kg); m1A = 0,05*m1 (kg); m1B = 0,05*m1 (kg); I1A = 0,0001 (m^4); I1B = 0,0001 (m^4); L1e = L1/N1 (m); I1 = b*h3/12 (m^4); EI1 = E*I1 (N,m^2) Khâu L2 = 0,40 (m); N2 = 1; m2 = rho*A*L2 (kg); m2A = 0,05*m2 (kg); me2 = m2/N2 (kg); m2B = 0,05*m2 (kg); I2A = 0,0001 (m^4); I2B = 0,0001 (m^4); L2e = L2/N2 (m); I2= b*h3/12 (m^4); EI2 = E*I2 (N, m^4); HỘI NGHỊ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ TỒN QUỐC VỀ CƠ KHÍ LẦN THỨ V - VCME 2018 Sử dụng phần mềm Maple ta nhận ma trận khối lượng độ cứng cho khâu tay máy sau: m1e m1A m1B M1 dx 13 35 m1e m1B m1e m1B 121 m1el1e EI 11 210 m1el1e , K1 l1e m l e e 1 105 0 12 6l 1e 6l1e , 4l12e (5) Ma trận khối lượng M2 cỡ 44 đối xứng có phần tử nửa tam giác sau: m2e m2A m2e m2B l2e cos q m2B (1 / 3)m2el2e I 2A m2Bl2e I 1B M2 dx 0 0 0 EI 0 K2 l2e 0 12 6l2e 0 6l2e 4l2e m2e m2B cos q m2el2e m2Bl2e 20 13m2e m 2B 35 m2el2e cos q2 12 m l 2e 2e I 2B 20 11m2el2e 210 m2el2e I 2B 105 (6) (7) Với khối lượng chiều dài phần tử mle ml / N l , lle Ll / N l , l 1, Ghép nối ma trận khối lượng độ cứng khâu lại ta thu ma trận khối lượng M(q) ma trận độ cứng K hệ cỡ 6x6 dạng đối xứng với phần tử: M 11 m1e m1A m1B m2e m2 A m2B ; M 12 M 13 M 14 M 15 M 22 M 24 m2el2e cos(qr u14 ) m2Bl2e cos(qr u14 ) m1e m1B m2e m2A m2B m l m l cos(qr u14 ) 1e 1e 2e 2e m2Bl2e cos(qr u14 ) ; 12 m2e cos(qr u14 ) m l cos(qr u14 ) m2B cos(qr u14 ) ; M 16 2e 2e 12 m2el2e m l cos(qr u14 ) I A l22e m2 B I 2B ; M 23 2e 2e m2B cos(qr u14 )l2e m2el22e 7(m2e l2e +l2e m2B ) m l2 I 2A l22em2B I 2B ; M 25 ; M 26 2e 2e I 2B 20 20 HỘI NGHỊ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TỒN QUỐC VỀ CƠ KHÍ LẦN THỨ V - VCME 2018 M 33 M 34 M 35 M 44 M 46 13m1e m1B m2e m2A m2B 35 11m1el1e m2el2e cos(qr u14 ) m2B cos(qr u14 )l2e 210 m2e cos(qr u14 ) m l cos(qr u14 ) m2B cos(qr u14 ) ; M 36 2e 2e 12 m1e (l1e ) m (l ) 7m2el2e I 1B 2e 2e I 2A l22em2B I 2B ; M 45 m2Bl2e 105 20 m l2 13m2e 11m2el2e m l2 2e 2e I 2B ; M 55 m2B ; M 56 ; M 66 2e 2e I B 20 35 210 105 Ma trận độ cứng tổng thể có dạng 0 0 0 K 0 0 0 0 0 12I 1E1 l13e 6I 1E1 l12e 0 6I 1E1 l12e 4I 1E1 l1e 0 0 0 0 0 12I 2E2 l23e 6I 2E l22e 0 6I 2E2 l22e 4I 2E2 l2e (8) Ma trận Coriolis ly tâm C(q, q ) xác định từ ma trận khối lượng M(q) theo cơng thức Christoffel [22] sử dụng tích Kronecker [6] Bỏ qua cản vật liệu khâu, ma trận cản D có cản nhớt khớp dẫn động Véc tơ lực suy rộng g(q) có từ biểu thức trọng lực, g(q) = tay máy chuyển động mặt phẳng ngang ĐIỀU KHIỂN TAY MÁY CÓ KHÂU ĐÀN HỒI Nhiệm vụ toán điều khiển tay máy đàn hồi đưa qui luật lực/mô men dẫn động tác dụng làm cho điểm cuối tay máy đạt đến vị trí mong muốn hay quĩ đạo mong muốn với độ xác cao tốt So với điều khiển tay máy cứng, việc điều khiển tay máy đàn hồi gặp nhiều khó khăn hơn, trình chuyển động khâu tay máy thường bị kích thích dao động tính đàn hồi Ở ta xét tốn điều khiển tay máy khơng gian khớp Hai tốn đặt đây: điều khiển vị trí q r q r ,d const ; điều khiển bám quĩ đạo q r (t ) q r ,d (t ) 3.1 Điều khiển vị trí: điều khiển PD Luật điều khiển PD+ bù trọng lực áp dụng tay máy sau: Kp (q r ,d q r ) Kd (0 q r ) gr (q r , q f 0) HỘI NGHỊ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ TỒN QUỐC VỀ CƠ KHÍ LẦN THỨ V - VCME 2018 với ma trận vuông Kp , Kd có cỡ số khớp tay máy Tính ổn định hệ khảo sát nhờ hàm trữ sau V T q M(q)q (q ) (q r ,d q r )T Kp (q r ,d q r ) 2 Lưu ý / q Kq g(q) Đạo hàm V theo thời gian sử dụng tính chất phản đối (q) 2C(q, q )] , ta V q T D K q xứng ma trận [M r r d r Sơ đồ khối điều khiển PD thể hình gr (q r , q f 0) q dr q d r + + - e r q f , q f Kd er Kp τ PD - qr Tay máy đàn hồi q r , q r q r Hình Sơ đồ điều khiển PD + bù trọng lực 3.2 Điều khiển PD tăng cường dựa mơ hình động lực tay máy rắn Giả sử biến dạng khâu nhỏ, ta sử dụng mơ hình động lực ngược tay máy rắn sở để tính lực/mơ men dẫn động Theo ứng với chuyển động cho trước khớp qdr (t ) ta xác định lực/mô men sau: rd (t ) Mr (q dr ) qdr Cr (q dr , q rd )q dr Dr q dr gr (q dr ) (9) Để khâu dẫn tay máy đàn hồi chuyển động bám theo luật chuyển động đề làm giảm dao động tay máy, đề xuất thêm mô men điều khiển tăng cường dạng PD sau: C Kp er Kd e r , với er qdr q r (10) Như mô men tác dụng lên cấu đàn hồi a rd (t ) C rd (t ) Kp er Kd e r , (11) với Kp , Kd ma trận xác định dương cỡ n n Sơ đồ khối điều khiển dựa động lực học ngược tay máy rắn thể hình Theo sơ đồ điều khiển này, ta đo chuyển động biến dạng HỘI NGHỊ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TỒN QUỐC VỀ CƠ KHÍ LẦN THỨ V - VCME 2018 dr q q Mô hình tay máy rắn d r τdr (t ) q f , q f qdr (t) e r + + - er Kd Kp τC Tay máy đàn hồi q r , q r q r - qr Hình Sơ đồ điều khiển dựa vào động lực học ngược + PD tăng cường KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN 4.1 Mơ số tốn điều khiển vị trí Thực triển khai sơ đồ điều khiển PD + bù trọng lực (hình 2) Matlab/simulink với thơng số tay máy đàn hồi bảng Mục tiêu muốn điểm cuối di chuyển đến vị trí mong muốn rE [0.7787, 0.7869]T Điều kiện đầu tọa độ suy rộng chọn T T q r (0) 0, 0 , q f (0) 0, 0, 0, 0 Các thông số điều khiển chọn: Kp = 400*diag([1,1]), Kd = 120*diag([1,1]) Thực mô phần mềm MATLAB, kết mô số trường hợp đưa hình đến Hình Đồ thị tọa độ khớp rắn theo thời gian HỘI NGHỊ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TỒN QUỐC VỀ CƠ KHÍ LẦN THỨ V - VCME 2018 Hình Đồ thị biến dạng uốn biến dạng góc mặt cắt ngang cuối khâu theo thời gian Hình Đồ thị tọa độ điểm cuối theo thời gian Nhận xét: Chuyển động tọa độ khớp tương đối trơn tru đạt đến vị trí mong muốn sau khoảng 1,5(s) Đồ thị hình cho thấy điểm tác động cuối tiệm cận đạt đến vị trí mong muốn Tuy nhiên, có chuyển động biến dạng nên trình chuyển động dao động hệ xuất tắt dần Từ kết thấy với điều khiển PD vị trí mong muốn điểm cuối đạt 4.2 Mơ số toán điều khiển quĩ đạo Thực triển khai sơ đồ điều khiển dựa động lực học ngược tay máy rắn + PD tăng cường (hình 3) Matlab/simulink Mục tiêu muốn tọa độ khớp chủ động q r chuyển động theo qui luật mong muốn cho hàm liên tục theo thời gian q r (t ) [0, sin(4 t / 2), 0, sin(2 t )]T Các thông số điều khiển chọn: Kp = 400*diag([1,1]), Kd = 120*diag([1,1]) T Điều kiện đầu tọa độ suy rộng chọn q r (0) 0, 0.2 , q f (0) 0, 0, 0, 0T Thực mô phần mềm MATLAB, kết mô số trường hợp đưa hình HỘI NGHỊ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TỒN QUỐC VỀ CƠ KHÍ LẦN THỨ V - VCME 2018 Hình Đồ thị tọa độ khớp rắn theo thời gian Hình Đồ thị biến dạng uốn biến dạng góc mặt cắt ngang cuối khâu theo thời gian Nhận xét: Các đồ thị qr1(t) qr2(t) hình cho thấy chuyển động cho trước khớp dẫn điều khiển bám theo chuyển động mong muốn sau thời gian khoảng 1(s) Khi chuyển động khớp dẫn bám theo chuyển động mong muốn chuyển động đàn hồi xuất dao động bình ổn Hiện tượng chuyển động đặt cho khớp chuyển động tuần hoàn KẾT LUẬN Bài báo trình bày mơ hình động lực tay máy phẳng hai khớp tịnh tiến quay (T-R) có khâu đàn hồi Phương trình vi phân chuyển động tay máy đàn hồi có dạng tương tự tay máy tồn khâu rắn Từ phương trình vi phân chuyển động đáp ứng hệ mô Matllab/simulink với hai điều khiển: PD cho điều khiển vị trí PD kết hợp với động lực học ngược tay máy cứng Các kết mơ cho thấy với tốn điều khiển vị trí, điều khiển truyền thống PD đáp ứng Tuy nhiên, thời gian để dao động tắt cịn tương đối lớn Với tốn điều khiển bám quĩ đạo, báo áp dụng trường hợp cho trước chuyển động khớp dẫn Bài tốn điều khiển bám quĩ đạo khơng gian thao tác quan tâm thời gian tới HỘI NGHỊ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TỒN QUỐC VỀ CƠ KHÍ LẦN THỨ V - VCME 2018 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ahmed A Shabana (1997): Flexible Multibody Dynamics: Review of Past and Recent Developments Multibody System Dynamics 1: 189–222 [2] Santosha Kumar Dwivedy and Peter Eberhard (2006): Dynamic analysis of flexible manipulators, a literature review Mechanism and Machine Theory 41 749–777 [3] K Lochan, B.K Roy, B Subudhi (2016): A review on two-link flexible manipulators Annual Reviews in Control, Volume 42, Pages 346-367 [4] Yanqing Gao, Fei-Yue Wang, Zhi-Quan Zhao (2012): Flexible Manipulators: Modeling, Analysis and Optimum Design, Academic Press [5] Nguyen Van Khang (2007): Dynamics of Multibody Systems (in Vietnamese) Science and Technics Publishing House, Hanoi [6] Nguyen Van Khang (2011): Kronecker product and a new matrix form of Lagrangian equations with multipliers for constrained multibody systems Mechanics Research Communications 38, 294-29 [7] Zhi-Cheng Qiu (2012) Adaptive nonlinear vibration control of a Cartesian flexible manipulator driven by a ballscrew mechanism Mechanical Systems and Signal Processing, 30, pp 248–266 [8] Dadfarnia, M., Jalili N., Xian B., Dawson D M (2004): Lyapunov-Based Vibration Control of Translational Euler-Bernoulli Beams Using the Stabilizing Effect of Beam Damping Mechanisms Journal of Vibration and Control, 10, pp 933–961 [9] Benosman M., Le Vey G (2002) Joint trajectory tracking for planar multi-link flexible manipulator IEEE Int Conference on Robotics and Automation, Washington D.C., pp 2461–2466 [10] Yang H., Krishnan H., Ang Jr M (1997): A simple rest-to-rest control command for a flexible link robot IEEE Int Conference on Robotics and Automation, Albuquerque New Mexico, pp 3312–3317 [11] Benosman M., Le Vey G., Lanari L., De Luca A (2001): Rest-to-Rest Motion for Planar Multi-Link Flexible Manipulator Through Backward Recursion Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 126(1), pp 115-123 [12] R E Valembois, P Fisette, and J C Samin (1997): Comparison of Various Techniques for Modelling Flexible Beams in Multibody Dynamics Nonlinear Dynamics 12: 367–397 [13] Tamer M Wasfy and Ahmed K Noor (2003): Computational strategies for flexible multibody systems Appl Mech Rev vol 56, no 6, pp.533-613 [14] Javier García de Jalón, Eduardo Bayo (1994): Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems, The Real-Time Challenge Springer-Verlag NewYork, Inc [15] Sang-Myeong Kim (2015): Lumped Element Modeling of a Flexible Manipulator System IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, VOL 20, NO 2, 967-974 [16] Usoro, P.B., Nadira, R., and Mahil, S.S (1986) A Finite Element/Lagrange Approach to Modeling Lightweight Flexible Manipulators ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control 108: 198-205 HỘI NGHỊ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ TỒN QUỐC VỀ CƠ KHÍ LẦN THỨ V - VCME 2018 [17] Seifried, R (2014): Dynamics of Underactuated Multibody Systems - Modeling, Control and Optimal Design Solid Mechanics and Its Applications, Vol 205, Springer [18] Lammerts, I M M (1993) Adaptive computed reference computed torque control of flexible manipulators Eindhoven: Technische Universiteit Eindhoven, DOI: 10.6100/IR402510 [19] Yuangang Tang, Fuchun Sun, Zengqi Sun (2006): Neural network control of flexiblelink manipulators using sliding mode Neurocomputing 70, 288–295 [20] Hoang N Q., (2017) Ảnh hưởng luật chuyển động đến mô men dẫn động dao động tay máy có khâu đàn hồi Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ X, Tập Động lực học điều khiển, Hà Nội [21] Ahmed A Shabana: Dynamics of Multibody Systems Cambridge University Press 2005 [22] L Sciavicco and B Siciliano(2012) Modelling and control of robot manipulators Springer Science & Business Media, 2012 ... kết luận HỘI NGHỊ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ TỒN QUỐC VỀ CƠ KHÍ LẦN THỨ V - VCME 2018 XÂY DỰNG MƠ HÌNH ĐỘNG LỰC HỌC TAY MÁY ĐÀN HỒI HAI KHÂU 2.1 Mơ hình động lực học cho tay máy phần tử hữu hạn Phương... cứng, việc điều khiển tay máy đàn hồi gặp nhiều khó khăn hơn, q trình chuyển động khâu tay máy thường bị kích thích dao động tính đàn hồi Ở ta xét toán điều khiển tay máy khơng gian khớp Hai tốn... q Mơ hình tay máy rắn d r τdr (t ) q f , q f qdr (t) e r + + - er Kd Kp τC Tay máy đàn hồi q r , q r q r - qr Hình Sơ đồ điều khiển dựa vào động lực học ngược + PD tăng cường KẾT QUẢ VÀ THẢO