Bồi dưỡng năng lực giao tiếp toán học cho học sinh miền núi trong dạy học toán 10

Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THANH THỦY BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIAO TIẾP TOÁN HỌC CHO HỌC SINH MIỀN NÚI TRONG DẠY HỌC TOÁN 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THANH THỦY

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIAO TIẾP TOÁN HỌC CHO HỌC SINH MIỀN NÚI TRONG DẠY HỌC TOÁN 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2023

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THANH THỦY

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIAO TIẾP TOÁN HỌC CHO HỌC SINH MIỀN NÚI TRONG DẠY HỌC TOÁN 10

Ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 8140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Thị Phương Thảo

THÁI NGUYÊN - 2023

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tôi cam đoan đã thực hiện việc kiểm tra mức độ tương đồng nội dung đề tài/khóa luận tốt nghiệp/luận văn/luận án qua phần mềm Turnitin một cách trung thực và đạt kết quả mức độ tương đồng là 27% Bản luận văn kiểm tra qua phần mềm là bản cứng đã nộp để bảo vệ trước hội đồng Nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm

Thái Nguyên, tháng 12 năm 2023

Học viên

Nguyễn Thanh Thuỷ

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo, các em học sinh của trường Trung học phổ thông tỉnh Cao Bằng đã giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn những tình cảm quý báu của người thân, bạn bè, đồng nghiệp đã cổ vũ, động viên, góp ý và tiếp thêm động lực để tôi hoàn thành luận văn này

Mặc dù có nhiều cố gắng, nhưng do thời gian có hạn và năng lực của bản thân còn nhiều hạn chế trong kinh nghiệm nghiên cứu, nên luận văn không tránh khỏi những thiếu xót Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp, chỉ bảo của các thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 12 năm 2023

Tác giả luận văn

Nguyễn Thanh Thuỷ

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT iv

DANH MỤC CÁC BẢNG v

DANH MỤC CÁC HÌNH vi

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu 3

4 Giả thuyết khoa học 3

5 Phương pháp nghiên cứu 4

6 Cấu trúc của luận văn 4

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu vấn đề 5

1.1.1 Trên thế giới 5

1.1.2 Ở Việt Nam 8

1.2 Một số khái niệm 11

1.2.1 Năng lực 11

1.2.2 Năng lực toán học 12

1.2.3 Năng lực giao tiếp 17

1.2.4 Giao tiếp toán học 18

1.2.5 Năng lực giao tiếp toán học 21

1.3 Mối liên hệ giữa năng lực giao tiếp toán học với một số năng lực khác cần đạt ở học sinh THPT 27

1.3.1 Năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học 27

1.3.2 Năng lực biểu diễn toán học 30

1.5 Một số đặc điểm về năng lực giao tiếp của học sinh miền núi 33

1.6 Khái quát về mục tiêu, nội dung chương trình môn Toán 10 trong chương trình giáo dục phổ thông 2018 39

1.7 Thực trạng bồi dưỡng năng lực giao tiếp toán học cho học sinh miền núi trường THPT Thông Huề tỉnh Cao Bằng 40

1.7.1 Mục đích và đối tượng khảo sát 40

1.7.2 Nội dung khảo sát 41

1.7.3 Phương pháp khảo sát 41

1.7.4 Kết quả khảo sát 41

Tiểu kết chương 1 46

Chương 2 BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIAO TIẾP TOÁN HỌC CHO HỌC SINH MIỀN NÚI TRONG DẠY HỌC TOÁN 10 47

2.1 Định hướng xây dựng các biện pháp bồi dưỡng năng lực giao tiếp toán học cho học sinh miền núi trong dạy học toán học 10 47

2.1.1 Định hướng 1: Các biện pháp phát triển NLGT toán học cho HS cần phù hợp với đặc điểm nhận thức của học sinh miền núi 47

2.1.2 Định hướng 2: Các biện pháp phát triển NLGT toán học phải triển khai được thường xuyên trong mỗi tiết học, mỗi bài học toán 47

2.1.3 Định hướng 3: Các biện pháp phải đảm bảo đạt được mục tiêu dạy học môn toán và hướng đến việc phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh miền núi 47

2.2 Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực giao tiếp toán học cho học sinh vùng núi trong dạy học Toán 10 47

2.2.1 Biện pháp 1: Tổ chức các hoạt động bồi dưỡng kĩ năng nghe hiểu, đọc và ghi chép các thông tin toán học 48

2.2.2 Biện pháp 2: Tổ chức các hoạt động theo nhóm nhằm bồi dưỡng kĩ năng sử dụng NNTH trình bày thảo luận các nhiệm vụ học tập 61

2.2.3 Biện pháp 3: Tổ chức dạy học toán qua hoạt động trải nghiệm nhằm bồi dưỡng năng lực giao tiếp cho học sinh miền núi 73

Tiểu kết chương 2 81

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 82

3.1 Mục đích thực nghiệm 82

3.2 Đối tượng thực nghiệm 82

3.3 Phương pháp và quy trình thực nghiệm 82

3.4 Nội dung thực nghiệm 83

3.5 Phân tích đánh giá kết quả 83

3.5.1 Phân tích định tính 83

3.5.2 Phân tích định lượng 84

3.6 Kết luận thực nghiệm sư phạm 87

Tiểu kết chương 3 88

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 89

1 Kết luận 89

2 Khuyến nghị 89

TÀI LIỆU THAM KHẢO 90 PHỤ LỤC

DANH MỤC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT

BĐTD : Biểu đồ tư duy BDTH : Bồi dưỡng toán học

ĐC : Đối chứng GTTH : Giao tiếp toán học

GV : Giáo viên

HĐ : Hoạt động

HS : Học sinh KNTT : Kết nối tri thức NCBH : Nghiên cứu bài học NCTM : Hội giáo viên toán của Mỹ

NL : Năng lực NLGT : Năng lực giao tiếp NNTH : Ngôn ngữ toán học PISA : Chương trình đánh giá học sinh Quốc tế PPDH : Phương pháp dạy học

SGK : Sách giáo khoa THPT : Trung học phổ thông

TN : Thực nghiệm

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Các thành tố của năng lực toán học 14

Bảng 1.2 Các thành tố và biểu hiện của NL GTTH 22

Bảng 1.3 Các tiêu chí của NLGTTH 23

Bảng 1.4 Bản mô tả các mức độ về NLGTTH của HS miền núi 36

Bảng 1.5 Các biện pháp sư phạm đề xuất để phát triển NLGT toán học cho HS miền núi 43

Bảng 1.6 Những khó khăn của học sinh của học sinh miền núi khi giao tiếp bằng ngôn ngữ toán học 44

Bảng 3.1 Thống kê điểm kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 84

DANH MỤC CÁC HÌNH

Biểu đồ 1.1 Các yếu tố ảnh hưởng đến NLGT toán học 42

Biểu đồ 1.2 Mức độ bồi dưỡng NLGT toán học 43

Biểu đồ 1.3 Những khó khăn của học sinh trong quá trình học tập 44

Biểu đồ 1.4 Mức độ phát biểu ý kiến của HS trong giờ học 45

Biểu đồ 1.5 Đánh giá của GV và tự đánh giá của HS về NLGT toán học 45

Biểu đồ 3.1 Kết quả bài kiểm tra 85

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Năng lực giao tiếp được xem là một trong những năng lực quan trọng của con người trong xã hội hiện đại Giao tiếp với người khác sẽ tạo cơ hội trao đổi và phản ánh về ý tưởng Hành động xây dựng ý tưởng để chia sẻ thông tin hoặc lập luận để thuyết phục người khác là một phần quan trọng trong học tập Vì lẽ đó, giáo dục phát triển năng lực giao tiếp học sinh ngày nay đã trở thành xu hướng của giáo dục thế giới

Ở Việt Nam, sự phát triển mạnh mẽ của xã hội và đất nước đang đòi hỏi cấp bách phải nâng cao chất lượng của giáo dục và đào tạo Trong những năm gần đây, phong trào đổi mới phương pháp dạy học đã được quan tâm nhiều hơn trong xã hội và trong ngành giáo dục Các lý thuyết về phương pháp dạy học tích cực đã được nhiều chuyên gia, các nhà giáo dục nghiên cứu vận dụng vào thực tiễn dạy học ở trường phổ thông Trong bối cảnh đó, ngày 26 tháng 12 năm 2018, Bộ GD&ĐT đã ban hành chương trình giáo dục phổ thông kèm theo thông tư số 32/2018/TT- Bộ GD&ĐT Trong chương trình Giáo dục phổ thông 2018 nói chung và chương trình cho học sinh THPT nói riêng đã được xây dựng theo tiếp cận phát triển năng lực học sinh nên đòi hỏi giáo viên phải đổi mới phương pháp dạy học và hình thức tổ chức dạy học

Ở bậc THPT, theo chương trình 2018, môn Toán được xây dựng theo định hướng phát triển năng lực người học với các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán Trong

đó, năng lực giao tiếp toán học là một trong những thành tố cốt lõi Bởi lẽ, thông qua giao tiếp toán học, học sinh sẽ khám phá và lĩnh hội những tri thức, kinh nghiệm từ các nguồn học liệu, từ thầy cô giáo và bạn bè để hình thành kiến thức cho bản thân mình Đồng thời, nhờ giao tiếp toán học, học sinh có thể đối chiếu sự hiểu biết của bản thân đối với kiến thức từ thầy cô và trao đổi, so sánh với bạn, từ đó các em sẽ tự đánh giá được bản thân Việc xây dựng và tổ chức các tình huống học tập để học sinh hoạt động giao tiếp toán hoặc không chỉ khích lệ các hoạt động học tập cho học sinh, mà còn làm

rõ thêm định hướng đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực toán học cho người học

Tuy nhiên, trong thực tế triển khai dạy học môn Toán ở trường phổ thông nói chung, và môn Toán 10 nói riêng, mặc dù đã có sự quan tâm đến việc bồi dưỡng năng lực giao tiếp toán học cho học sinh, tuy nhiên giáo viên dạy Toán thường chưa có nhiều các biện pháp cụ thể để phát triển năng lực này cho người học Đối với học sinh, các

em thường chỉ quan tâm đến kết quả mà chưa chú trọng vào việc biểu diễn chính xác các kí hiệu toán học, và cách trình bày lập luận logic, chặt chẽ, khoa học

Cao Bằng là một trong các tỉnh miền núi của Việt Nam với đa số học sinh là người dân tộc thiểu số, điều kiện kinh tế còn nghèo, giao thông đi lại khó khăn Hầu hết các trường THPT có cơ sở hạ tầng, vật chất, thiết bị phục vụ việc dạy và học còn nhiều thiếu thốn Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh ở Cao Bằng nói chung và trường THPT Thông Huề nói riêng phần lớn là người dân tộc tày, nùng năng lực giao tiếp của các em còn nhiều hạn chế Hơn nữa, đối với học sinh lớp 10 mới chuyển

từ THCS lên THPT nên tâm lý còn rụt rè Học sinh thiếu chủ động, không tự tin khi tham gia giao tiếp và tự mình trình bày các kiến thức toán học Khả năng nói và viết toán của học sinh còn nhiều hạn chế, lúng túng trong việc dùng các kí hiệu toán học Bên cạnh đó, nhiều giáo viên cũng chưa có biện pháp hiệu quả để tổ chức cho học sinh tham gia các hoạt động học tập nói chung, các hoạt động giao tiếp toán học nói riêng

Do vậy, cần phải nghiên cứu, bổ sung, rút kinh nghiệm để kịp thời đáp ứng yêu cầu, đòi hỏi cấp thiết của thực tiễn giáo dục địa phương

Xuất phát từ những lý do khoa học và thực tiễn nêu trên tôi chọn nghiên cứu đề

tài “Bồi dưỡng năng lực giao tiếp toán học cho học sinh miền núi trong dạy học Toán 10” làm luận văn cao học của mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu lý luận và thực tiễn năng lực giao tiếp toán học của học sinh dân tộc thiểu số lớp 10 ở miền núi theo chương trình giáo dục phổ thông 2018, đề tài đề xuất một số biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực giao tiếp toán học cho học sinh, qua đó giúp các em tự tin phát huy tính tích cực, chủ động trong học tập, nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán 10, góp phần thực hiện thành công chương trình giáo dục phổ thông 2018

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Xuất phát từ mục đích trên, luận văn phải thực hiện những nhiệm vụ sau:

- Nghiên cứu một số vấn đề lý luận về giao tiếp toán học, ý nghĩa của giao tiếp toán học và việc bồi dưỡng năng lực giao tiếp toán học cho học sinh trong dạy học Toán

- Nghiên cứu thực trạng bồi dưỡng năng lực giao tiếp toán học cho học sinh miền núi trong dạy học toán 10 ở trường THPT Thông Huề theo chương trình giáo dục phổ thông 2018

- Đề xuất một số biện pháp sư phạm để góp phần bồi dưỡng năng lực giao tiếp toán học cho học sinh miền núi trong dạy học Toán 10 theo chương trình giáo dục phổ thông 2018

- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính hiệu quả và tính khả thi của các biện pháp đã đề xuất

3 Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Biện pháp sư phạm bồi dưỡng năng lực giao tiếp toán

học cho học sinh miền núi trong dạy học Toán lớp 10 ở trường THPT theo chương trình giáo dục phổ thông 2018

- Khách thể nghiên cứu: Quá trình bồi dưỡng năng lực giao tiếp toán học cho

học sinh miền núi trong dạy học Toán 10 ở trường THPT

- Phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 10 ở trường THPT

+ Giới hạn nội dung nghiên cứu: Luận văn tập trung nghiên cứu một số cơ sở lý

luận và thực tiễn để thực hiện các biện pháp bồi dưỡng năng lực giao tiếp toán học cho học sinh miền núi trong dạy học Toán 10 (trường hợp trường THPT Thông Huề)

- Giới hạn khách thể điều tra: Khảo sát thực trạng năng lực giao tiếp toán học

và việc bồi dưỡng năng lực giao tiếp toán học cho học sinh lớp 10 ở trường THPT Thông Huề (tỉnh Cao Bằng) Các đối tượng bao gồm: Cán bộ quản lý 4 người (hiệu trưởng, hiệu phó, tổ trưởng chuyên môn), giáo viên giảng dạy môn Toán các trường THPT ở Cao Bằng và các em học Thời gian khảo sát năm học 2022 - 2023

- Giới hạn thực nghiệm sư phạm: Học sinh lớp 10 ở trường THPT Thông Huề

4 Giả thuyết khoa học

Nếu làm rõ các biểu hiện của năng lực giao tiếp toán học của học sinh miền núi, đề xuất được các biện pháp sư phạm thích hợp thì có thể bồi dưỡng được năng lực giao tiếp

toán học cho học sinh miền núi, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu về năng lực, năng lực

giao tiếp, năng lực giao tiếp toán học, bồi dưỡng năng lực giao tiếp toán học Đặc điểm học sinh miền núi (phía bắc) Tìm hiểu chương trình môn toán 2018, làm rõ cơ hội bồi dưỡng năng lực giao tiếp toán học cho học sinh miền núi trong dạy học toán 10 Kết quả có được là cơ sở lí luận để đề xuất các biện pháp sư phạm bồi dưỡng năng lực giao tiếp toán học cho học sinh miền núi của đề tài

- Phương pháp điều tra - quan sát: Điều tra hoạt động dạy của giáo viên, hoạt

động học của học sinh bằng phiếu hỏi nhằm đánh giá thực trạng của học sinh và tìm hiểu nhận thức của giáo viên về năng lực giao tiếp toán học, những khó khăn trong bồi dưỡng năng lực giao tiếp toán học, những cách thức bồi dưỡng năng lực giao tiếp toán học cho học sinh miền núi

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Dạy học thực nghiệm tại trường THPT

Thông Huề để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất Kết quả thực nghiệm sẽ được phân tích về các biểu hiện của năng lực giao tiếp toán học của học sinh, về sự hợp lý hay còn cần điều chỉnh của các biện pháp sư phạm, từ đó đưa

ra những kết luận sư phạm về việc xây dựng, sử dụng các biện pháp sư phạm trong dạy học toán 10 nhằm mục đích phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh

- Phương pháp thống kê toán học: Sử dụng các công thức toán thống kê và các

phần mềm tin học để xử lý số liệu thu được và đưa ra kết luận về kết quả nghiên cứu của luận văn

- Phương pháp nghiên cứu trường hợp: phân tích đánh giá kết quả đạt được đối

với một số đối tượng học sinh

6 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo, phụ lục, luận

văn được trình bày trong 3 chương

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu vấn đề

Trong nhiều năm qua, năng lực giao tiếp toán học của học sinh đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều học giả ở trong và ngoài nước Các nghiên cứu đã đề cập đến những khía cạnh khác nhau của năng lực giao tiếp toán học, ở nhiều cấp học khác nhau

Tuy nhiên, vẫn chưa có công trình nào nghiên cứu về bồi dưỡng năng lực giao tiếp cho học sinh miền núi Những biểu hiện về NL GTTH của HS miền núi chưa được quan tâm nghiên cứu Và chưa có những biện pháp cụ thể để đi sâu bồi dưỡng phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh miền núi Do đó, trong đề tài này, tôi phân tích đặc điểm về NLGT của HS miền núi và đưa ra một số biện pháp sư phạm để bồi dưỡng NLGT cho học sinh miền núi

1.1.1 Trên thế giới

Năm 1996, Cai, J., Jakabcsin, M S., & Lane, S trong công trình “Assessing students' mathematical communication” đã chỉ rõ việc đánh giá khả năng giao tiếp toán học của học sinh thông qua việc sử dụng các nhiệm vụ mở và quy trình chấm điểm được đề cập, cũng như việc sử dụng các nhiệm vụ kết thúc mở để đánh giá khả năng giao tiếp toán học của học sinh bằng cách tạo cơ hội cho học sinh thể hiện tư duy và suy luận toán học của mình Ngoài ra, hai quy trình cho điểm (quy trình cho điểm tổng thể định lượng và quy trình cho điểm phân tích định tính) được mô tả để kiểm tra kỹ năng giao tiếp của học sinh Một trong những cách hiệu quả cho phép HS GTTH thông qua hình thức viết là GV sử dụng các nhiệm vụ mở yêu cầu HS trình bày và giải thích cách thức giải quyết [32]

Pugalee, D K (2004) “A comparison of verbal and written descriptions of

students’ problem solving practices” đã khẳng định hai hình thức giao tiếp bằng lời

nói và giao tiếp viết đều quan trọng, nhưng giao tiếp viết có thể hiệu quả hơn trong việc thúc đẩy hiểu biết toán và tư duy của HS vì cho phép hỗ trợ các quá trình siêu nhận thức, giúp phát triển các ý tưởng phức tạp Do vậy, Pugallee cho rằng cần có nhiều

nghiên cứu hơn liên quan đến giao tiếp nói chung và giao tiếp viết nói riêng trong dạy học toán để có thể hiểu rõ hơn về đóng góp của giao tiếp trong việc thúc đẩy tư duy toán học [46]

Thompson, D R., & Chappell, M F (2007) Communication and representation

as elements in mathematical literacy đã nhấn mạnh vai trò và ý nghĩa của năng lực

GTTH trong việc hỗ trợ tư duy toán học và kĩ năng giải quyết vấn đề của HS Trong lớp học toán, học sinh cần được khuyến khích sử dụng kỹ năng nói, nghe, đọc và viết

để truyền đạt hiểu biết của mình về các từ, ký hiệu và khái niệm toán học Ngoài ra,

họ nên được khuyến khích sử dụng nhiều cách biểu diễn (chẳng hạn như sơ đồ) để di chuyển trôi chảy giữa các dạng khái niệm toán học bằng lời nói, biểu tượng, đồ họa và số [48]

Tác giả Lim chap Sam - Chiew Chin Mon - Chew Cheng Meng (2008) với công

trình “Promoting Mathematical Thinking and Communication in a Bilingual

Classroom” (Thúc đẩy tư duy toán học và giao tiếp trong lớp học song ngữ) đã trao

đổi về kinh nghiệm phát huy tư duy và giao tiếp toán học của một số giáo viên dạy toán tiểu học thông qua nghiên cứu bài học Phản hồi từ các giáo viên tham gia thể hiện những phản hồi tích cực như (i) giáo viên hiểu rõ hơn về các khái niệm và quá trình tư duy và giao tiếp toán học; (ii) tăng cường sự tự tin và hứng thú trong việc thúc đẩy tư duy toán học và giao tiếp thông qua quá trình nghiên cứu bài học Công trình cũng nhấn mạnh vai trò quan trọng của trình độ ngôn ngữ trong tư duy và giao tiếp toán học đối với cả giáo viên và học sinh [38]

Theo Isoda (2008) ISODA Masami, (2008), Japanese Problem Solving

Approach for Developing Mathematical Thinking and Communication: Focus on Argumentation with representation and reasoning, “Giao tiếp toán học thúc đẩy tư duy

toán học bằng hình vẽ, bài viết, bằng đồ thị, biểu bảng và những thiết bị khác Tất cả những dạng khác nhau của giao tiếp này là quan trọng khi HS tự mình tìm tòi và khám phá kiến thức” [37]

Giao tiếp có thể có nhiều hình thức, giao tiếp diễn ra khi HS được phép có tiếng nói trong lớp học Làm cho HS nói trở thành một phần quan trọng trong bài học của

GV Điều này có thể xảy ra thông qua tương tác với GV, thông qua làm việc theo nhóm

nhỏ, hoặc đứng trước lớp để trình bày nhằm làm rõ một ý tưởng được tìm thấy GV có thể cho HS “đối mặt và thảo luận” nhằm khuyến khích các em nói lên ý tưởng của mình

và dành thời gian để các em thảo luận với người xung quanh; điều này đặc biệt có lợi cho những HS kém tự tin khi chia sẻ ý kiến trước cả lớp Như vậy, giao tiếp trong lớp học toán là sự tương tác giữa HS-HS và HS-GV, thông qua hoạt động giao tiếp bằng lời nói, sử dụng ngôn ngữ hàng ngày

Giao tiếp là một thành phần quan trọng và cần thiết trong việc học toán, làm toán và hiểu toán vì người học phải sử dụng thuật ngữ, kí hiệu và cấu trúc toán học để hiểu cũng như diễn đạt các ý tưởng và mối quan hệ toán học Thông qua giao tiếp, GV

có nguồn thông tin về cách HS suy nghĩ và tư duy, cho phép GV điều chỉnh cách giảng dạy và hỗ trợ HS khi cần thiết Giao tiếp toán học bao gồm việc chia sẻ và giải thích các ý tưởng bằng lời nói và bằng văn bản (NCTM, 2000) [41]

Năm 2014, Morgan, C và cộng sự với công trình “Language and communication

in mathematics education: An overview of research in the field” đã nghiên cứu tổng quan

về ngôn ngữ và giao tiếp trong dạy học toán học Trên cơ sở đó, nghiên cứu đã khẳng định giao tiếp toán học không phải là một hoạt động đơn giản và dễ quan sát, HS có xu hướng giao tiếp mơ hồ, không rõ ràng Nhóm tác giả đã xác định bốn nội dung quan tâm lớn trong

giáo dục toán học được giải quyết bằng nghiên cứu định hướng ngôn ngữ: “phân tích sự

phát triển kiến thức toán học của học sinh; hiểu sự định hình của hoạt động toán học; hiểu các quá trình dạy và học liên quan đến các tương tác xã hội khác; và bối cảnh đa ngôn ngữ Một lĩnh vực khác chưa nhận được sự quan tâm đáng kể trong nghiên cứu giáo dục toán học là sự phát triển các năng lực ngôn ngữ và kiến thức cần thiết để tham gia vào các hoạt động toán học” [40]

Năm 2019, Rohid, N., Suryaman, S., & Rusmawati, R D với công trình

“Students’ mathematical communication skills in solving mathematics problems: A case in Indonesian Context” đã chỉ rõ, kỹ năng giao tiếp toán học đề cập đến khả năng của học sinh trong việc (1) sắp xếp và liên kết tư duy toán học của mình thông qua giao tiếp; (2) truyền đạt tư duy toán học logic và rõ ràng của mình cho bạn bè, giáo viên và những người khác; (3) phân tích và đánh giá tư duy toán học và các chiến lược được người khác sử dụng; và (4) sử dụng ngôn ngữ toán học để diễn đạt ý tưởng toán học

một cách chính xác Vấn đề phát triển năng lực giao tiếp toán học cần được giáo viên dạy Toán quan tâm để không chỉ dạy toán mà còn kích thích kỹ năng giao tiếp toán học của học sinh thông qua các hoạt động học tập sáng tạo, đổi mới [47]

Năm 2020, Maulyda, M A., Annizar, A M., Hidayati, V R., & Mukhlis, M (2020) đã công bố công trình Analysis of students’ verbal and written mathematical communication error in solving word problem” Maulyda và cộng sự đã tìm hiểu cách

HS THCS kích hoạt năng lực GTTH trong việc giải các bài toán đố và nhận ra những khó khăn mà HS gặp phải liên quan đến việc chuyển đổi các câu văn trong bài toán thành các mô hình toán học Lỗi giao tiếp bằng văn bản của học sinh là trong việc chuyển đổi các câu vấn đề thành các mô hình toán học Bài viết của học sinh chưa theo thứ tự, chưa mạch lạc Kết quả nghiên cứu chỉ ra rằng kỹ năng giao tiếp bằng lời nói của học sinh tốt hơn kỹ năng giao tiếp bằng văn bản cách giải quyết vấn đề viết của các em vẫn chưa theo thứ tự hoặc mạch lạc [39]

Năm 2021, Baran, A., & Kabael, T thông qua nghiên cứu “An investigation of

eighth grade students’ mathematical communication competency and affective characteristics” đã điều tra năng lực giao tiếp toán học của học sinh, các đặc điểm tình

cảm và sự khác biệt về các đặc điểm tình cảm giữa các mức độ năng lực giao tiếp của

họ Kết quả cho thấy, khó khăn chủ yếu của học sinh có năng lực từ mức 0 trở xuống

là hiểu ý nghĩa của phát biểu/câu hỏi, diễn giải ý tưởng về vấn đề [30] Các học sinh có trình độ năng lực là cấp 1 và cấp có trọng số 1, gặp khó khăn trong việc giải thích một kết quả toán học hoặc trình bày lời biện minh/bằng văn bản Cuối cùng, sự tự tin vào năng lực bản thân, sự lo lắng và cởi mở trong việc giải quyết vấn đề của những học sinh có năng lực từ mức 0 trở xuống khác biệt đáng kể so với những học sinh khác

Trên thế giới, các nghiên cứu về năng lực giao tiếp toán học được nhiều học giả quan tâm ở nhiều quốc gia và nhiều cấp học khác nhau Các nghiên cứu đều chỉ ra vai trò của giao tiếp toán học trong dạy học toán học và phát triển năng lực tư duy của học sinh các cấp

1.1.2 Ở Việt Nam

Ở Việt Nam, trong những năm gần đây, nghiên cứu về bồi dưỡng năng lực giao tiếp toán học cũng thu hút sự quan tâm chú ý của nhiều nhà khoa học Các nghiên cứu

đã phân tích biểu hiện của năng lực giao tiếp toán học và những hạn chế trong giao tiếp

của HS từ đó đưa ra các biện pháp để phát triển năng lực GTTH cho HS

Hoa Ánh Tường (2014) với luận án “Sử dụng nghiên cứu bài học để phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh trung học cơ sở” quan tâm đến việc sử dụng nghiên cứu bài học thiết kế các kế hoạch bài học có sử dụng bài toán kết thúc mở, biểu

diễn toán học để phát triển năng lực GTTH cho HS trung học cơ sở [29]

Trịnh Thị Phương Thảo (2017) trong “Năng lực giao tiếp toán học của học sinh trường Trung học phổ thông Thái Nguyên” tổng quan lại các nghiên cứu về NLGTTH Nghiên cứu đã chỉ rõ các biểu hiện năng lực giao tiếp toán học, các mức độ về NLGTTH của HS và một số nhận xét khi bước đầu tìm hiểu NLGTTH của HS trường trung học phổ thông Thái Nguyên [27]

TS Nguyễn Thị Ngọc (2018), Báo cáo đề tài khoa học và công nghệ “Phát triển

kỹ năng giao tiếp cho học sinh trung học cơ sở người dân tộc thiểu số khu vực miền núi phía Bắc Việt Nam thông qua hoạt động trải nghiệm sáng tạo.” đã chỉ ra những hạn chế trong giao tiếp của học sinh miền núi và xây dựng các hoạt động trải nghiệm nhằm phát triển kỹ năng giao tiếp cho học sinh [21]

Lê Thái Bảo Thiên Trung và Vương Vĩnh Phát (2019) đã vận dụng những giai đoạn khác nhau của phương pháp ACODESA dựa trên học tập hợp tác, tranh luận khoa học và tự suy xét để thiết kế tình huống dạy học giúp HS hiểu rõ hơn ý nghĩa hình học của đạo hàm và góp phần phát triển năng lực GTTH [28]

Vương Vĩnh Phát (2019), “Nghiên cứu một tình huống dạy học hàm số liên tục thông qua tranh luận khoa học nhằm phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh trung học phổ thông” Tác giả đã nghiên cứu một quy trình dạy học hàm số liên tục có pha tranh luận khoa học nhằm phát triển năng lực giao tiếp toán học của HS Kết quả nghiên cứu chỉ ra rằng, nếu giáo viên thường xuyên tổ chức các hoạt động thảo luận, tranh luận trên lớp học sẽ giúp học sinh hiểu sâu kiến thức và phát triển được năng lực giao tiếp toán học [22]

Phạm Duy Hiển (2020), “Bồi dưỡng năng lực củng cố kiến thức cho học sinh trung học phổ thông miền núi phía Bắc trong dạy học Đại số lớp 10” đã tìm hiểu thực

điểm tâm lý của học sinh miền núi Từ đó đề xuất bốn biện pháp bồi dưỡng NL củng

cố kiến thức môn Toán cho HS [11]

Nguyễn Thị Tâm An, Nguyễn Trung Chánh (2022), “Đánh giá năng lực giao tiếp toán học của học sinh thông qua nhiệm vụ mở về chủ đề vectơ” Nghiên cứu đã cho thấy, năng lực giao tiếp toán học của học sinh chủ yếu ở mức trung bình (mức 2),

số học sinh đạt mức thấp 0 và 1 chiếm khoảng 1/3 và mức khá (mức 3) là 1/4 Ngoài

ra, học sinh không thể giải thích các kết quả toán học ở dạng nói cũng như ở dạng viết Bên cạnh đó, các bài tập mở đã tạo ra môi trường giao tiếp, từ đó bộc lộ những sai lầm trong việc hiểu kiến thức về véc tơ của học sinh [1]

Trong đề tài nghiên cứu:”Bồi dưỡng năng lực biểu diễn toán học và năng lực giao tiếp toán học cho HS trong dạy học môn toán lớp 6, lớp 7” tác giả Vũ Thị Bình cho rằng để bồi dưỡng năng lực giao tiếp toán học cho HS lớp 6, 7 trong dạy học toán cần: 1 Tăng cường các hoạt động nghe hiểu, đọc hiểu (các văn bản, mô hình, sơ đồ, hình vẽ, ) và ghi chép (nội dung nghe hiểu, đọc hiểu) bằng NNTH trong dạy học môn toán; 2 Hướng dẫn HS quá trình tạo lập các ngôn phẩm nói hoặc viết toán trong DH khái niệm, định lí, qui tắc và phương pháp toán học; 3 Xây dựng, lựa chọn và tổ chức cho HS thực hiện các hoạt động GTTH trong quá trình giải quyết các tình huống toán học hóa; 4 Tổ chức các hoạt động học tập tương tác (theo nhóm, theo cặp hoặc thảo luận chung) trong thực hiện các nhiệm vụ học tập đa dạng về lời giải, có yếu tố thực tiễn, có nhiều cách biểu diễn phù hợp với HS trong nhận thức, thực hành, ghi nhớ và GTTH; 5 Xây dựng và tổ chức học theo dự án theo hướng tăng cường các hoạt động GTTH trong từng bước thực hiện dự án [2]

Tổng quan các tài liệu về GTTH cho thấy có sự gia tăng các nghiên cứu liên quan đến GTTH dưới hình thức nói và viết ở các cấp độ học tập khác nhau Các tác giả quan tâm đến việc phát triển NLGT toán học cho người học thông qua các biện pháp như: nghiên cứu bài học, dạy học dự án, tranh luận khoa học, tổ chức hoạt động trải nghiệm, Các nghiên cứu cũng đưa ra quan niệm về ngôn ngữ toán học, giao tiếp toán học, những khó khăn của HS trong giao tiếp toán học, ý nghĩa của ngôn ngữ trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông; Đồng thời khẳng định việc rèn luyện và phát triển

năng lực giao tiếp cho học sinh thông qua dạy học toán là một biện pháp tích cực để nâng cao chất lượng học tập toàn diện cho các em Nhưng những biểu hiện về NL GTTH của HS miền núi chưa được quan tâm nghiên cứu Và chưa có những biện pháp

cụ thể để đi sâu bồi dưỡng phát triển năng lực giao tiếp toán học dựa trên đặc điểm của học sinh miền núi

1.2 Một số khái niệm

1.2.1 Năng lực

Hiện nay, trên thế giới và ở Việt Nam có nhiều quan niệm về năng lực Theo Từ

điển Tiếng Việt “Năng lực là khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để

thực hiện một hoạt động nào đó hoặc phẩm chất tâm lý và sinh lý tạo cho con người khả năng hoàn thành một công việc nào đó với chất lượng cao” [23] Hoàng Phê

(2003) Từ điển tiếng Việt NXB Đà Nẵng

Theo Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế (OECD): “Năng lực là khả năng

đáp ứng một cách hiệu quả những yêu cầu phức hợp trong một bối cảnh cụ thể” [45]

CTGD Qúebec của Canada đã định nghĩa: “năng lực như là một khả năng hành

động hiệu quả bằng sự cố gắng dựa trên nhiều nguồn lực Những khả năng này được sử dụng một cách phù hợp, bao gồm tất cả những gì học được từ nhà trường cũng như những kinh nghiệm, những kĩ năng, thái độ và sự hứng thú ngoài ra còn có những nguồn bên ngoài ” [49]

Theo tác giả Vũ Thị Bình (2016), “năng lực là thuộc tính cá nhân, được hình

thành, bộc lộ và thể hiện qua một số hoạt động cụ thể nhằm bảo hoạt động có hiệu quả, đạt kết quả như mong muốn” [2]

Theo Chương trình giáo dục phổ thông mới năm 2018 ở Việt Nam: “Năng lực

là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” [4] Đây

cũng là quan niệm về năng lực phù hợp với hướng nghiên cứu của đề tài luận văn

Do đó, năng lực được xem xét nhiều chiều, bao gồm yếu tố như tổng hợp kiến

thức, kỹ năng, thái độ phương thức hoạt động, kết quả đạt được

1.2.2 Năng lực toán học

Trong bối cảnh phát triển và hội nhập quốc tế ở Việt Nam hiện nay, chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 2018 chú trọng phát triển năng lực toán học của người học

NL toán học (mathematical competence) là một loại hình NL chuyên môn, gắn liền với môn học Có nhiều quan niệm khác nhau về NL toán học Chương trình PISA

định nghĩa: “Năng lực toán học là khả năng của một cá nhân thiết lập công thức, vận

dụng và giải thích toán học trong nhiều ngữ cảnh khác nhau; bao gồm suy luận toán học và sử dụng các khái niệm, phương pháp, sự việc và công cụ để mô tả, giải thích

và dự đoán các hiện tượng nhằm giúp cho các cá nhân nhận ra vai trò của toán học trên thế giới, đưa ra ý kiến và quyết định từ những góp ý, tham gia và suy ngẫm của công dân” [44]

Ở Việt Nam, trong những năm gần đây, các nhà nghiên cứu thường nhắc tới quan niệm NL toán học của các nhà giáo dục toán học Đan Mạch và đề xuất của tác giả Trần Kiều (Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam)

Theo Blomhøj & Jensen (2007) [31]: “NL toán học là khả năng sẵn sàng hành

động để đáp ứng với thách thức toán học của các tình huống nhất định” Theo Niss

(1999) “NL toán học như khả năng của cá nhân để sử dụng các khái niệm toán học

trong một loạt các tình huống có liên quan đến toán học, kể cả những lĩnh vực bên trong hay bên ngoài của toán học (để hiểu, quyết định và giải thích)” [43]

Niss cũng xác định tám thành tố của NL toán học: NL tư duy toán học

(mathematical thinking competency); NL giải quyết vấn đề toán học (problems tackling competency); NL mô hình hóa toán học (modelling competency); NL suy luận toán học (reasoning competency) NL biểu diễn (representing competency); NL sử dụng ngôn ngữ kí hiệu, hình thức (symbols and formalism competency); NL giao tiếp toán học (communicating competency); NL sử dụng công cụ, phương tiện học toán (aids and tools competency Tám NL đó tập trung vào những gì cần thiết để cá nhân có thể học tập và ứng dụng toán học Các NL này không hoàn toàn độc lập mà liên quan chặt chẽ

và có phần giao thoa với nhau [43]

Theo tác giả Trần Kiều (2014): “Các NL cần hình thành và phát triển cho người

học qua dạy học môn Toán trong trường phổ thông Việt Nam là: NL tư duy; NL giải quyết vấn đề; NL mô hình hóa toán học; NL giao tiếp; NL sử dụng các công cụ, phương tiện học toán; NL học tập độc lập và hợp tác” [17]

Như vậy, có thể hiểu đơn giản năng lực toán học là khả năng vận dụng vốn kiến thức toán học vào giải quyết các vấn đề gặp phải trong học tập nói chung, trong môn toán nói riêng và trong thực tiễn cuộc sống

Xuất phát từ quan niệm: mục đích then chốt của việc học toán là để trở thành những con người “thông minh hơn”, biết cách suy nghĩ giải quyết các vấn đề trong học tập và đời sống Muốn vậy, mỗi người cần biết cách “chuyển dịch”, mô tả các tình huống (có ý nghĩa toán học) đặt ra trong các vấn đề thực tiễn phong phú sang một bài toán hay một mô hình toán học thích hợp, tìm cách giải quyết các vấn đề toán học trong

mô hình được thiết lập, từ đó đối chiếu, giải quyết các vấn đề thực tiễn đề ra Mặt khác, việc giải quyết các vấn đề toán học gắn liền với việc đọc hiểu, ghi chép, trình bày, diễn đạt các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác (thảo luận, tranh luận, phản biện) với người khác, gắn liền với việc sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường hoặc động tác hình thể Hơn nữa, NL toán học còn được thể hiện ở việc sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ và phương tiện học toán, đặc biệt là phương tiện khoa học công nghệ để tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học

Cùng với những phân tích ở trên, để đưa ra quan niệm về NL toán học, chúng

tôi chọn cách tiếp cận phổ biến của các tổ chức và các quốc gia trên thế giới, đó là tiếp

cận theo cách nghiên cứu các thành tố của NL toán học Theo CTGD phổ thông tổng

thể (2018) [4], các năng lực toán học cần hình thành và phát triển cho HS bao gồm các thành phần cốt lõi như sau:

Bảng 1.1: Biểu hiện của các thành tố của năng lực toán học

1 Năng lực tư duy

và lập luận toán

học

 So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hóa, khái quát hóa; tương tự; quy nạp; diễn dịch

 Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp

lí trước khi kết luận

 Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học

2 Năng lực mô hình

hóa toán học

 Sử dụng các mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,…) để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế

 Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập

để giải quyết vấn đề đặt ra

 Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hóa cho vấn đề tương tự

4 Năng lực giao tiếp

toán học

 Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các thông tin toán học cần thiết được trình bày dưới dạng văn bản toán học hay do người khác nói hoặc viết ra

 Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác (với yêu cầu thích hợp

về sự đầy đủ, chính xác)

 Sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học (chữ số,

STT Năng lực toán học Biểu hiện

chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic,…) kết hợp với ngôn ngữ thông thường hoặc động tác hình thể khi trình bày, giải thích và đánh giá các ý tưởng toán học trong sự tương tác (thảo luận, tranh luận) với người khác

 Sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ, phương tiện học toán, đặc biệt phương tiện khoa học công nghệ để tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học (phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa tuổi)

 Chỉ ra được các ưu điểm, hạn chế của những công cụ, phương tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp lí

Ví dụ 1.1: Để hình thành “định lí sin” cho HS, GV có thể sử dụng “kĩ thuật mảnh ghép”

Hình 1 Hình 2 Học sinh làm việc và ghi lại những ý kiến của nhóm mình Qua việc sử dụng

được các kiến thức, kĩ năng toán học để giải quyết vấn đề thể hiện năng lực giải quyết

vấn đề toán học

Vòng 2: nhóm các mảnh ghép

GV tách các nhóm thành 4 nhóm mới (nhóm A, B, C, D) sao cho mỗi nhóm

gồm 2-3 thành viên của nhóm: 1, 2, 3, 4 Các chuyên gia sẽ trình bày ý kiến của nhóm mình ở vòng 1

GV giao nhiệm vụ mới:

Nhiệm vụ 1: Hãy so sánh kết quả sản phẩm của các tổ?

Nhiệm vụ 2:

a Giải tam giác ABC, biết c14,A60 , B40 ?

b Cho tam giác ABCcó A135 , C15 và b 12 Tính a c R, , và số đo góc B? Nhiệm vụ 3: Ngắm Tháp Rùa từ bờ, chỉ với những dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn

bị, làm thế nào để xác định khoảng cách từ vị trí ta đứng tới Tháp Rùa?

Các nhóm thực hiện nhiệm vụ mới và trình bày kết quả

Ở nhiệm vụ 1: HS thảo luận, so sánh, phân tích và nhận ra với góc tù hay góc

nhọn thì cách tính đều giống nhau Từ đó hình thành nên Định lí sin:

Trong tam giác ABC:

Nhiệm vụ 2: HS trao đổi, nhận biết vấn đề cần giải quyết là vận dụng định lí Sin

để làm bài tập Thể hiện Năng lực tư duy và lập luận toán học, Năng lực giải quyết vấn

Trong quá trình giải quyết bài toán HS thể hiện năng lực giao tiếp toán học thông qua hoạt động cá nhân đọc hiểu, trình bày lời giải bài toán Thể hiện ở hoạt động trao

đổi thảo luận và thuyết trình sản phẩm của nhóm mình

1.2.3 Năng lực giao tiếp

Theo [4, tr.40], “Hoạt động trao đổi thông tin, tiếp xúc tâm lí, hiểu biết giữa

người nói và người nghe nhằm đạt mục đích mong muốn là quá trình giao tiếp Qua giao tiếp ý tưởng trở thành đối tượng phản ánh, sàng lọc, thảo luận, sửa đổi, giúp xây dựng ý nghĩa lâu dài cho các ý tưởng và làm cho chúng trở nên công khai”

Trong quyển “Những vấn đề cơ bản về chương trình và quá trình dạy học”, NXB

Giáo dục, theo Nguyễn Hữu Châu: “Trong dạy học giáo viên là nguồn của giao tiếp;

Giáo viên sử dụng sử dụng ngôn ngữ, lời nói, chữ viết, các công cụ dạy học, phương tiện dạy học, để truyền tải ý tưởng, kiến thức, trong khoảng thời gian bài giảng cho học sinh; Học sinh với tư cách là người nhận, sẽ nghe và suy diễn, đánh giá theo sự hiểu biết và kinh nghiệm của mình; Sau khi nhận thông tin, học sinh sẽ có phản hồi lại như: lắng nghe, ghi chép, trả lời, nhận xét, ” [5]

Theo Nguyễn Văn Đồng (trong quyển: Tâm lí học giao tiếp, NXB chính trị -

Hành chính) giao tiếp có 4 chức năng chính: “chức năng thông tin, chức năng nhận

thức, chức năng trao đổi cảm xúc, chức năng phối hợp hoạt động và thiết lập, vận hành quan hệ liên nhân cách” [7]

Trong cuộc sống hằng ngày, giao tiếp có một vai trò quan trọng, là cầu nối để

tiếp, xã hội không tồn tại nếu cộng đồng con người không có sự liên kết lẫn nhau Do

đó giao tiếp là điều kiện tồn tại của cá nhân và xã hội Ở đâu có con người thì ở đó

có giao tiếp, con người mới sinh ra và khi đã trưởng thành đều có nhu cầu giao tiếp, giao tiếp giúp truyền đạt những kinh nghiệm giải quyết các vấn đề gặp trong học tập và đời sống Từ khi bắt đầu tồn tại cho đến khi mất đi, giao tiếp là một nhu cầu sớm nhất của con người Nhiều nhà tâm lý học khẳng định: Nếu không có sự giao tiếp thì một đứa trẻ không thể phát triển tâm lý và không có được một nhân cách tốt Trong quá trình giao tiếp, mỗi cá nhân tự đánh giá hành vi của mình, tự ý thức nhìn nhận những ưu nhược điểm của bản thân để hạn chế những mặt yếu kém và phát huy những mặt tích cực Từ đó điều chỉnh hành vi sao cho phù hợp với chuẩn mực đạo đức xã hội, đồng thời tiếp thu những tinh hoa văn hóa của nhân loại để làm kinh nghiệm tích lũy của bản thân

Trên cơ sở các nghiên cứu nói trên, luận văn xác định:“Hoạt động trao đổi thông tin, tiếp xúc tâm lí, hiểu biết giữa người nói và người nghe nhằm đạt mục đích mong muốn” [4] là quá trình giao tiếp Vì vậy qua giao tiếp con người tham gia vào các mối

quan hệ xã hội, tiếp thu lĩnh hội hình thành năng lực tự ý thức

1.2.4 Giao tiếp toán học

Khái niệm giao tiếp toán học đã được một số tác giả trong và ngoài nước nghiên

cứu, có thể kể đến một số quan điểm như sau:

“Giao tiếp toán học là một hình thức của giao tiếp nhằm thuyết phục người khác

về những ý tưởng, suy nghĩ, câu hỏi hay giả thuyết toán học của mình để chia sẻ ý tưởng và làm rõ sự hiểu biết về những vấn đề toán học đó Thông qua thảo luận và đặt câu hỏi, các ý kiến toán học được: Phản ánh, thảo luận và chỉnh sửa Quá trình HS lập luận, phân tích một cách có hệ thống giúp các em củng cố kiến thức và hiểu biết toán một cách sâu sắc hơn Thông qua giao tiếp, HS giải quyết vấn đề hiệu quả hơn, có thể

lí giải các khái niệm toán học và có kĩ năng giải toán” [38]

Giao tiếp toán học thúc đẩy tư duy toán học Theo Isoda (2008) “Con người có

thể giao tiếp tư duy toán học của mình với người khác bằng lời nói và điệu bộ, với những mô hình thực hay ảo của khoa học công nghệ, bằng hình vẽ, bài viết, bằng đồ thị, biểu bảng và những thiết bị khác Tất cả những dạng khác nhau của giao tiếp này

là quan trọng khi HS tự mình tìm tòi và khám phá kiến thức” [37]

Còn Emori (2008) cho rằng “Tất cả các kinh nghiệm về toán học được thực

hiện thông qua giao tiếp Giao tiếp toán học cần thiết để phát triển tư duy toán học bởi vì sự phát triển tư duy được lí giải bởi ngôn ngữ của chủ thể và những cách

thức của giao tiếp” [35]

Giao tiếp có thể có nhiều hình thức, giao tiếp diễn ra khi HS được phép có tiếng nói trong lớp học Làm cho HS nói trở thành một phần quan trọng trong bài học của

GV Điều này có thể xảy ra thông qua tương tác với GV, thông qua làm việc theo nhóm nhỏ, hoặc đứng trước lớp để trình bày nhằm làm rõ một ý tưởng được tìm thấy GV có thể cho HS “đối mặt và thảo luận” nhằm khuyến khích các em nói lên ý tưởng của mình

và dành thời gian để các em thảo luận với người xung quanh; điều này đặc biệt có lợi cho những HS kém tự tin khi chia sẻ ý kiến trước cả lớp Như vậy, giao tiếp trong lớp học toán là sự tương tác giữa HS-HS và HS-GV, thông qua hoạt động giao tiếp bằng

lời nói, sử dụng ngôn ngữ hàng ngày [29]

Nhiều nhà giáo dục toán học cho rằng: Trong giáo dục toán học, giao tiếp là một phần thiết yếu không thể thiếu trong quá trình giáo dục, việc học tích cực được được tạo ra nhờ có các cuộc hội thoại, thảo luận, trao đổi, đưa ra và giải quyết vấn đề, sự khám phá tri thức mang ý nghĩa cộng tác Quá trình học sinh xây dựng và chiếm lĩnh tri thức toán luôn gắn với hoạt động GTTH; GTTH trong dạy học toán có một số đặc điểm sau:

- Nội dung giao tiếp là các kiến thức, tư tưởng toán học

- Tiếp nhận và hiểu nội dung toán học bằng NNTN, NNTH

- Chủ thể trong giao tiếp: Giáo viên và học sinh như là chủ thể và đối tác (hoặc cùng là chủ thể) trong dạy và học toán

Từ các đặc điểm trên thì: GTTH là hoạt động giao tiếp diễn ra giữa giáo viên với học sinh, giữa học sinh với học sinh trong dạy học toán; Phương tiện chủ yếu để giao tiếp là NNTH dùng để chuyển tải và tiếp nhận các tri thức, tư tưởng toán học nhằm giải quyết vấn đề đặt ra trong quá trình học tập toán

Như vậy, giao tiếp toán học là một hình thức của giao tiếp mà một người cố

gắng để thuyết phục những người khác về những ý tưởng, suy nghĩ, câu hỏi hay giả thuyết toán học của mình nhằm chia sẻ ý tưởng và làm rõ sự hiểu biết về những vấn đề toán học đó Thông qua thảo luận và đặt câu hỏi, các ý kiến toán học được: phản ánh,

em củng cố kiến thức và hiểu biết toán một cách sâu sắc hơn Thông qua giao tiếp, học sinh giải quyết vấn đề hiệu quả hơn, có thể lý giải các khái niệm toán học và có kỹ năng giải toán (Lim, 2008)

Ví dụ 1.2: khi dạy bài “Giá trị lượng

giác của một góc từ 00 đến 1800 ” GV

đưa câu hỏi gợi mở: Em đã biết tỉ số

lượng giác của một góc nhọn Đối với

góc tù thì sao? (nguồn: https://hanhtrangso.nxbgd.vn)

GV phát phiếu học tập cho HS làm theo nhóm:

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1

Tam giác ABC vuông tại A có góc nhọn ABC  Hãy nhắc lại định nghĩa các

tỉ số lượng giác của góc nhọn  đã học ở lớp 9 ?

HS làm việc theo nhóm đã phân công

GV gọi đại diện học sinh lên bảng trình bày câu trả lời của mình

Các nhóm khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời

GV Đặt vấn đề: Nếu góc  là góc tù thì tỉ số lượng giác xác định như thế nào?

HS sẽ trao đổi thảo luận đưa ra ý kiến riêng, ta đã biết tỉ số lượng giác của một góc nhọn, nhưng góc tù không nằm trong tam giác vuông Từ đó, mở rộng khái niệm giá trị lượng giác của một góc nhọn tới một góc bất kì từ 00 đến 1800 Trong quá trình học bài mới HS sẽ nhận ra sự thống nhất giữa các trường hợp góc tù và góc nhọn

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho nửa đường tròn tâm O, bán kính bằng1 (nửa đường tròn đơn vị) nằm phía trên trục hoành Với mỗi góc  bất kỳ 0   180 ,

ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM 

Giả sử điểm M có tọa độ M x y o; o Khi đó:

 sincủa góc  là y o, ký hiệu sin  y o;

 côsin của góc  là x o của điểm, ký hiệu

cos x o;

 tang của góc  là o  0

o o

y x

x y

học bài mới HS sẽ nhận ra sự thống nhất giữa các trường hợp góc tù và góc nhọn 1.2.5 Năng lực giao tiếp toán học

Một trong những tiêu chuẩn để thiết kế chương trình và tổ chức hoạt động học tập môn Toán theo NCTM (2000) là thúc đẩy giao tiếp toán học Theo NCTM (2000), năng lực giao tiếp toán học là khả năng của HS trình bày, diễn đạt, giải thích, chia sẻ các nội dung toán học và khả năng tiếp nhận phần trình bày, diễn đạt, giải thích, chia

sẻ các nội dung toán học [41]

Nghĩa là chương trình môn toán nên được thiết kế sao cho mọi HS đều có cơ hội:

- Tổ chức và củng cố ý tưởng toán học của họ thông qua giao tiếp;

- Giao tiếp các ý tưởng toán học của mình một cách chặt chẽ và rõ ràng với các bạn học, GV và những người khác;

- Phân tích và đánh giá các ý tưởng toán học và các chiến lược của người khác;

- Sử dụng NNTH để truyền đạt một cách chính xác các ý kiến toán học

Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2018) đã nêu bốn thành tố của

năng lực giao tiếp toán học và biểu hiện cụ thể đối với HS cấp THPT được thể hiện

trong bảng sau [3]:

Bảng 1.2: Các thành tố và biểu hiện của NL GTTH

STT Các thành tố của NL GTTH theo

chương trình giáo dục phổ thông 2018 Biểu hiện cấp THPT

1

Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các

thông tin toán học cần thiết được trình bày

dưới dạng văn bản toán học hay do người

khác nói hoặc viết ra

Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép (tóm tắt) được tương đối thành thạo các thông tin toán học cơ bản, trọng tâm trong văn bản nói hoặc viết Từ đó phân tích, lựa chọn, trích xuất được các thông tin toán học cần thiết từ văn bản nói hoặc viết

2

Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được

các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học

trong sự tương tác với người khác (với yêu

cầu thích hợp về sự đầy đủ, chính xác)

Lí giải được (một cách hợp lí) việc trình bày, diễn đạt, thảo luận, tranh luận các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác

3

Sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học (chữ

số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các

liên kết logic, ) kết hợp với ngôn ngữ

thông thường hoặc động tác hình thể khi

trình bày, giải thích và đánh giá các ý

tưởng toán học trong sự tương tác (thảo

luận, tranh luận) với người khác

Sử dụng được một cách hợp lí ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường để biểu đạt cách suy nghĩ, lập luận, chứng minh các khẳng định toán học

4

Thể hiện được sự tự tin khi trình bày, diễn

đạt, thảo luận, tranh luận các nội dung, ý

tưởng liên quan đến Toán học

Thể hiện được sự tự tin khi trình bày, diễn đạt, thảo luận, tranh luận, giải thích các nội dung toán học trong nhiều tình huống không quá phức tạp Như vậy, chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2018) đã mô tả NLGTTH thông qua các thuật ngữ như: nghe hiểu, đọc hiểu; ghi chép được; trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được; sử dụng hiệu quả ngôn ngữ khi trình bày, giải thích và đánh giá các ý tưởng toán học (Đỗ Đức Thái et al., 2020, tr.16)

Trong luận văn này tác giả đề cập đến năng lực GTTH là khả năng hiểu được các vấn đề toán học qua giao tiếp bằng viết, nói, vẽ , khả năng sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học trong mối liên hệ chặt chẽ với ngôn ngữ tự nhiên để trao đổi, trình bày, giải thích, lập luận, chứng minh toán học một cách logic, chính xác làm rõ các ý tưởng toán học

Dựa trên định nghĩa NLGTTH của NCTM (2000) và các thành tố về năng lực giao tiếp toán học mô tả trong chương trình giáo dục phổ thông môn Toán

(2018), chúng tôi hiểu năng lực giao tiếp toán học của HS thể hiện qua các tiêu chí

trong bảng sau:

Bảng 1.3 Các tiêu chí của NLGTTH Các thành tố của

thạo các thông tin

toán học cơ bản,

thông tin toán học

cần thiết từ văn bản

nói hoặc viết

1.1 Nghe hiểu, đọc hiểu và tóm tắt được các thông tin toán học cơ bản

1.2 Biết phân tích, trích xuất được thông tin Toán học cần thiết

VD 1.3: trong dạy học bài “Tập hợp và các phép

toán trên tập hợp” SGK KNTT toán 10 có hoạt động mở đầu:

HĐ2: xác định số phần tử của các tập hợp A,B

2.2 Tham gia thảo luận các

Thực hiện nhóm:

HĐ3: Xác định tập hợp C là những thành viên tham gia cả 2 chuyên đề, D là tập hợp các thành viên tham gia Chuyên đề 1 hoặc Chuyên đề 2 HĐ4: Xác định số phần tử của tập hợp C, D ?

2.3 Biết sử dụng NNTH tranh luận các nội dung toán học để bảo vệ quan điểm

để biểu đạt suy nghĩ, lập luận của bản thân

3.2 Sử dụng hợp lí NNTH

để chứng minh các khẳng định toán học

HĐ5: Xác định số thành viên vắng mặt trong cả hai chuyên đề?

4 Thể hiện được

sự tự tin khi trình

bày, diễn đạt, thảo

luận, tranh luận,

giải thích các nội

4.1 Tự tin trình bày các nội dung toán học

4.2 Tự tin giải thích, tranh luận

HĐ6: Trình bày bằng biểu đồ Ven các tập hợp:

, , / , /

AB AB A B B A

Phân tích: Thông qua việc thực hiện các hoạt động ở ví dụ trong bảng 1.3 HS thể hiện các tiêu chí tương ứng của NL GTTH Cụ thể:

(Vở ghi bài của em Hoàng Ngọc Q lớp 10B trường THPT Thông Huề)

+ HS đọc hiểu nội dung đề bài cho biết Câu lạc bộ có 12 thành viên, tổ chức 2 chuyên đề danh sách thành viên tham gia hiển thị trên màn hình Từ đó suy ra tập hợp

A và tập hợp B

A={ Nam, Tú, Khánh, Hương, Bình, Chi, Ngân}

B={Hương, Khánh, Hiền, Chi, Bình, Lam, Tú, Hân}

 Biểu hiện tiêu chí 1.1

+ Sau khi liệt kê danh sách tập hợp A và B học sinh đếm được số phần tử của tập hợp A là 7, số phần tử của tập hợp B là 8

 Biểu hiện tiêu chí 1.2

+ Khi thực hiện hoạt động nhóm, HS thảo luận xác định được tập hợp C là những thành viên tham gia cả 2 chuyên đề, tập hợp D là các thành viên tham gia Chuyên đề 1 hoặc Chuyên đề 2

 Biểu hiện tiêu chí 2.1 và 2.2

Từ đó xác định được:

C={ Tú, Khánh, Hương, Bình, Chi}

D={Hương, Khánh, Hiền, Chi, Bình, Lam, Tú, Hân, Nam, Ngân }

Vậy số phần tử của tập hợp C là 5, số phần tử của tập hợp D là 10

 Biểu hiện tiêu chí 2.3

+ HS nhận xét trong Câu lạc bộ có 12 thành viên nhưng chỉ có 10 bạn tham gia chuyên đề 1 hoặc chuyên đề 2 do đó 2 thành viên không có mặt trong cả hai chuyên đề

 Biểu hiện tiêu chí 3.1 và 3.2

+ HS trình bày bằng biểu đồ Ven các tập hợp: AB A, B A B B A, / , /

HS tự tin trình bày cách xác định các tập hợp AB A, B A B B A, / , /

 Biểu hiện tiêu chí 4.1 và 4.2

1.3 Mối liên hệ giữa năng lực giao tiếp toán học với một số năng lực khác cần đạt

ở học sinh THPT

1.3.1 Năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học

NNTH vừa có đặc điểm chung của hệ thống ngôn ngữ (tiếng Việt), vừa có những tính chất chuyên biệt, đặc thù Sử dụng NNTH có thể hiểu là: Dùng NNTH làm phương

tiện phục vụ cho việc giao tiếp, giảng dạy, học tập và nghiên cứu Toán học

Lê Văn Hồng khi đề cập đến NL giao tiếp trong chương trình môn Toán phổ

thông mới, đã coi NL giao tiếp toán học và NL biểu diễn toán học thuộc phạm trù NL

sử dụng NNTH [13]

Theo Vũ Thị Bình: NL sử dụng NNTH của HS là khả năng làm chủ và vận dụng

hiệu quả NNTH để thực hiện thành công các hoạt động ngôn ngữ trong quá trình học tập và nghiên cứu toán học, cũng như trong đời sống xã hội nói chung NL sử dụng

NNTH gồm: 1) Khả năng tiếp nhận và hiểu các kiến thức, kĩ năng về NNTH; 2) Khả năng tạo lập, vận dụng, thực hành hiệu quả NNTH trong giao tiếp và tư duy; 3) Khả

năng lựa chọn, chuyển đổi ngôn ngữ trong học tập và thực tiễn [2]

Trên cơ sở đó, “NL sử dụng NNTH là khả năng thu nhận và xử lí thông tin, khả

năng vận dụng NNTH trong học tập, giao tiếp, biểu diễn toán học, nghiên cứu toán học và sử dụng linh hoạt NNTH trong đời sống thực tiễn” [2]

Trong dạy học toán, giao tiếp là một chức năng quan trọng Có nhiều thông tin

được trao đổi giữa giáo viên và tập thể lớp, giữa giáo viên với HS, giữa từng HS với tập thể lớp, giữa các học sinh với nhau Chất lượng học tập của HS có liên quan đến chất lượng giao tiếp với GV, bởi giao tiếp là một phương tiện để đạt tới sự hiểu biết về toán học của HS Không có ngôn ngữ thì không có quá trình giao tiếp, không có thông tin trao đổi thì lớp học sẽ không diễn ra

Dạy học về mệnh đề và tập hợp (SGK Toán 10 tập 1-KNTT), GV cho HS thực hiện hoạt động:

Ví dụ 1.4 Quan sát biển báo trong hình bên

Khoa nói: “Đây là biển báo đường dành

cho người đi bộ”

An không đồng ý với ý kiến của Khoa

Hãy phát biểu ý kiến của An dưới dạng

Ví dụ 1.5 Cặp từ quan hệ nào sau

đây phù hợp với vị trí bị che khuất

trong câu ghép ở hình bên?

A Nếu … thì …

B Tuy … nhưng … (nguồn: https://hanhtrangso.nxbgd.vn)

GV cho HS đọc câu ghép theo hai phương án và nhận xét câu nào phù hợp Dự kiến câu trả lời của HS ‘‘Nếu sử dụng rượu bia khi tham gia giao thông thì

có thể bị xử phạt hành chính hoặc xử lí hình sự tuỳ theo mức độ vi phạm’’

Từ đó nhận biết khái niệm mệnh đề kéo theo có dạng ‘‘Nếu P thì Q’’

Ngoài ra, có thể thấy mô hình hoá và giao tiếp toán học có mối liên hệ chặt chẽ với nhau Sử dụng các mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, sơ đồ, bảng biểu, đồ thị ) để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế, từ đó đưa ra các cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập Giúp HS biết kết hợp ngôn ngữ tự nhiên với ngôn ngữ toán học, rèn cho HS kĩ năng trình bày vấn đề toán học

Quá trình mô hình hoá một vấn đề thực tiễn theo Coulange (1997) gồm 4 giai đoạn [33]:

Giai đoạn 1: Chuyển hệ thống ngoài toán học thành một mô hình trung gian Giai đoạn 2: Chuyển mô hình trung gian thành mô hình toán học

Giai đoạn 3: Sử dụng các công cụ toán học để giải quyết mô hình toán học

Giai đoạn 4: Phân tích và kiểm định kết quả trả lời cho vấn đề thực tiễn

NL mô hình hóa toán học thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:

- Xác định được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị ) để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế

- Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập

- Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp

Ví dụ 1.6 (SGK Toán 10 tập 2-KNTT) Bác An dùng 20 m lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau Bác An có thể rào thành mảnh vườn

có diện tích bằng 2

21 m được không?

Giải

Bước 1 Chuyển hệ thống ngoài toán học thành một mô

hình trung gian (Diễn tả mô hình bằng lời)

Ta biết rằng:

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật = chiều rộng x chiều dài

Bước 2 Chuyển mô hình trung gian thành mô hình toán học

Có hai đại lượng thay đổi là chiều rộng và chiều dài Vì ta muốn lập hàm số chỉ phụ thuộc vào một biến số ta chọn, chẳng hạn x = chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật

Ta cần tính chiều dài của mảnh vườn hình chữ nhật theo x Do chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật không đổi bằng 20 m và nửa chu vi bằng tồng của chiều rộng và chiều dài nên chiều dài của mảnh vườn sẽ là 10x  m

Bước 3 Sử dụng các công cụ toán học để giải quyết mô hình toán học

Diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật là

Như vậy, ở đây diện tích S x  của mảnh vườn là hàm số của chiều rộng x

Ta có thể sử dụng mô hình đã thiết lập để tìm chiều rộng x của mảnh vườn sao cho

  21

S x  hay   x2 10 x  21, hay x2 10 x  21 0 

Giải phương trình bậc hai này ta được hai nghiệm x3 và x7

Bước 4 Phân tích và kiểm định kết quả trả lời cho vấn đề thực tiễn

Vì chiều rộng phải nhỏ hơn hoặc bằng chiều dài nên chỉ có nghiệm x3 là thoả mãn Khi đó mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng là 3 m và chiều dài là

1.3.2 Năng lực biểu diễn toán học

Một phần quan trọng của việc học toán là học để sử dụng ngôn ngữ, quy ước,

và BDTH Biểu diễn giúp mô tả các mô hình, các hiện tượng thực tế một cách trực quan Khi sử dụng các biểu diễn khác nhau, HS có thể tìm thấy những lời giải khác nhau, hỗ trợ các cách suy nghĩ khác nhau và thao tác trên các đối tượng toán học Các biểu diễn tạo điều kiện cho suy luận và là công cụ của chứng minh Nó là thành phần

then chốt của giao tiếp và hỗ trợ phát triển sự hiểu biết toán học

BDTH được xem là một trong những công cụ giúp phát triển NLGTTH của HS nên vai trò của BDTH trong dạy học toán ngày càng được quan tâm nghiên cứu trong

những năm gần đây

Vũ Thị Bình (2016) đã định nghĩa biểu diễn toán học như sau: “Biểu diễn toán

học là việc sử dụng, sắp xếp các thuật ngữ, kí hiệu, hình ảnh (sơ đồ, biểu đồ, hình vẽ, đồ thị, dấu hiệu trên giấy, phác thảo hình học, ) hay các đối tượng cụ thể hàm chứa nội dung toán học để mô tả, tượng trưng hoặc đại diện cho một đối tượng, quan hệ hay

một quy trình toán học” [2]

Theo Goldin & Shteingold (2001), “biểu diễn bên ngoài bao gồm ký hiệu, từ,

biểu thức hoặc hình vẽ, còn biểu diễn bên trong tượng trưng cho cấu trúc cá nhân của người học và ý nghĩa của các ký hiệu toán học, ngôn ngữ tự nhiên, hình ảnh trực quan

và chiến lược GQVĐ của HS Việc sử dụng các biểu diễn bên ngoài là trung tâm trong việc học toán” [36] Như De Bock, Van Dooren & Verschaffel (2015) lưu ý, vì các

khái niệm toán học về bản chất rất trừu tượng, biểu diễn là cách để tiếp cận ý nghĩa của