Đối ngẫu tựa liên hợp cho bài toán tối ưu không lỗi

Trang 2 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMPHETSAMAI VILAIPHONEĐỐI NGẪU TỰA LIÊN HỢP CHO BÀI TỐN TỐI ƯUKHƠNG LỒINgành: Tốn giải tíchMã số: 8460102LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNgười hướ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS TRẦN VĂN THẮNG

Thái Nguyên - 2023

Lời cam đoan

TTôi cam đoan đã thực hiện việc kiểm tra mức độ tương đồng nội dungluận văn qua phần mềm Turnitin một cách trung thực và đạt kết quả mức

độ tương đồng 17 % Bản luận văn kiểm tra qua phần mềm là bản cứng đãnộp để bảo vệ trước hội đồng Nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm

Thái Nguyên, tháng 12 năm 2023Người viết luận văn

Phetsamai Vilaiphone

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Văn Thắng, người

đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, nhiệt tình chỉ bảo, tạo điều kiện thuận lợi,hợp lý giúp tôi hoàn thành nội dung của luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể cácthầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toánhọc và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã truyền thụ cho tôi những kiếnthức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng gópquý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm giúp đỡ,động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2023Người viết luận văn

Phetsamai Vilaiphone

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt iv

Mở đầu 1

Chương 1 Phép biến đổi tựa liên hợp 4

1.1 Một số kiến thức cơ sở 4

1.2 Phép biến đổi tựa liên hợp 7

Chương 2 Đối ngẫu tựa liên hợp cho bài toán không lồi 15

2.1 Điều kiện tối ưu 15

2.2 Đối ngẫu tựa liên hợp cho bài toán tối ưu vô hướng 19

2.3 Đối ngẫu tựa liên hợp cho bài toán tối ưu đa mục tiêu 22

Kết luận 29

Tài liệu tham khảo 30

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

Rn không gian véctơ Euclide n− chiều

Rn+ tập các véctơ không âm của Rn

{xn} dãy số thực hay dãy véctơ

N (x, X) nón véctơ pháp tuyến của tập X tại điểm x

∂⋄f (x) tựa dưới vi phân

intX phần trong của tập X

Mở đầu

Theo G Dantzig, lý thuyết đối ngẫu được phỏng đoán bởi J V Neumanntrong lý thuyết trò chơi ngay sau khi G Dantzig đưa ra các vấn đề về quyhoạch tuyến tính Năm 1951, A W Tucker và các cộng sự đã đưa ra mộtchứng minh khá đầy đủ về đối ngẫu cho bài toán quy hoạch tuyến tính.Nhận thấy vai trò quan trọng của lý thuyết đối ngẫu cả về phương diện lýthuyết lẫn tính toán ứng dụng thực tế nhiều nhà toán học đã dành nhiềuthời gian quan tâm nghiên cứu, trong đó có các nhà toán học như R T.Rockafellar, Hoàng Tụy, Y Sawaragi, J P Penot, Phan Thiên Thạch, Z

M Li, S Suzuki, T Tanino Tuy nhiên, cho đến nay, chúng ta chưa thuđược đối ngẫu cho bài toán tối ưu tổng quát và đây vẫn còn là bài toán mởcần được nghiên cứu Trong một số trường hợp riêng, các nhà toán học đãthu được một số kết quả nhất định như: đối ngẫu Lagrange hay đối ngẫuliên hợp Fenchel cho lớp các bài toán tối ưu lồi ([4, 5]); đối ngẫu tựa liênhợp cho một số lớp bài toán tối ưu tựa lồi với một số kết quả hay được nóiđến là của Phan Thiên Thạch ([7, 8]), Z M Li ([2]) hay của J P Penot([3]) Đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu, việc xây dựng sơ đồ đối ngẫu trởlên khó khăn hơn, dẫn tới các kết quả đối ngẫu cho lớp bài toán này cònchưa nhiều và chủ yếu dựa vào các phương pháp đối ngẫu Lagrange hay đốingẫu liên hợp Fenchel Bài toán đối ngẫu thu được theo các phương phápnày thường là bài toán tối ưu vô hướng hay tối ưu đa trị và sơ đồ đối ngẫuthu được là không đối xứng Hơn nữa, để có đối ngẫu mạnh thì bài toánban đầu thường phải là bài toán tối ưu lồi ([5, 6])

Trong lý thuyết đối ngẫu liên hợp, bài toán đối ngẫu của một bài toángốc trong không gian H:

sup{f (x)| ⟨p, x⟩ ≤ 1, x ≥ 0} ∀p ∈ Rn+,

năm 2011, T.V Thắng và P.T Thạch thu được sơ đồ đối ngẫu mạnh vàđối xứng cho một lớp bài toán tối ưu vô hướng, tối ưu đa mục tiêu với hàmmục tiêu là lõm, đa diện, đơn điệu tăng và thuần nhất dương ([8]) Năm

2014, các tác giả đã ứng dụng sơ đồ đối ngẫu ở trên để nghiên cứu một

số bài toán trong kinh tế như bài toán phân bổ nguồn lực, bài toán tối ưuhai cấp, kết quả nghiên cứu của họ được công bố trong bài báo [9] Nhậnthấy lớp các hàm đa diện lõm thuần nhất dương và đơn điệu tăng là trườnghợp riêng của lớp các hàm tựa lõm và đơn điệu tăng ngặt (lớp các hàm nàykhông lồi và bao hàm phần lớn các hàm sản xuất trong các mô hình kinh

tế, chẳng hạn như các hàm sản xuất Leontief, Cobb-Douglas, Leontief mởrộng, Cobb-Douglas mở rộng) T.V Thắng đã tiếp tục mở rộng các kết quảnghiên cứu về đối ngẫu tựa liên hợp cho lớp hàm này trong bài báo [10]

Trong bài báo [7], P.T Thạch đưa ra sơ đồ đối ngẫu mạnh và đối xứngcho một lớp bài toán tối ưu vô hướng, tối ưu đa mục tiêu lồi bằng cách sử

dụng phép biến đổi liên hợp sau:

inf{h(x) : ⟨p, x⟩ ≥ 1, x ≥ 0} ∀p ∈ Rn+

Chúng ta biết rằng lớp các hàm tựa lồi là khá rộng, nó bao hàm lớp các hàmlồi và thường được thấy trong các bài toán tối ưu, trong đó điển hình là bàitoán toán cực tiểu hàm chi phí Do đó, T.V Thắng và P.N Anh đã tiếp tục

có các nghiên cứu về phép biến đổi tựa liên hợp, điều kiên tối ưu và sơ đồđối ngẫu cho lớp các bài toán tối ưu vô hướng, đa mục tiêu mà các hàm mụctiêu chỉ là tựa lồi Các kết quả nghiên cứu của các tác giả được đăng trênbài báo "Optimality condition and quasi-conjugate duality with zero gap innonconvex optimization, Optimization Letters, 14, 2021-2037 (2020)" Mụcđích của luận văn là trình bày các kết quả trong công trình này

Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và tàiliệu tham khảo

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản và cần thiết cho luận văn vềgiải tích lồi, định nghĩa về phép biến đổi tựa liên hợp và một số tính chất

về phép biến đổi liên hợp như tính hữu hạn, tính đơn điệu, tính thuần nhất,tính phản xạ

Chương 2 trình bày khái niệm tựa dưới vi phân, điều kiện để một hàm

là khả tựa dưới vi phân và và định lý điều kiện cần và đủ tối ưu dưới dạngnguyên lý Fecma mở rộng, đối ngẫu mạnh và đối xứng cho một lớp bài toántối ưu vô hướng tựa lồi và lớp bài toán tối ưu đa mục tiêu tựa lồi

Chương 1

Phép biến đổi tựa liên hợp

Phần đầu của chương này trình bày một số kiến thức cơ bản của Giảitích giúp cho việc chứng minh các kết quả chính trong luận văn Sau đó,chúng tôi trình bày khái niệm phép biến đổi tựa liên hợp và một số tínhchất quan trọng của khái niệm này

1.1 Một số kiến thức cơ sở

Trong luận án này, với hai véctơ bất kỳ x = (x1, x2, , xn)T, x′ =(x′1, x′2, , x′n)T thuộc không gian các véc tơ thựcRn, ký hiệux ≤ x′ (x < x′)được hiểu là xi ≤ x′i (xi < x′i) với mọi i = 1, 2, , n

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một tập con của Rn Tập X được gọi là tậplồi nếu

Mệnh đề 1.1.3 (xem [4]) Tập liên hợp dưới (trên) của một tập lồi là tậplồi.

Cho h : X → R là một hàm số bất kỳ

Định nghĩa 1.1.4 Hàm h được gọi là lồi trên tập lồi X nếu

h(λx1 + (1 − λ)x2) ≤ λh(x1) + (1 − λ)h(x2) ∀x1, x2 ∈ X , ∀λ ∈ [0; 1]

Hàm h được gọi là lõm trên tập lồi X nếu −h là lồi trên X

Định nghĩa 1.1.5 Hàm h được gọi là lồi chặt trên tập lồi X nếu

h(λx1 + (1 − λ)x2) < λh(x1) + (1 − λ)h(x2) ∀x1 ̸= x2 ∈ X , ∀λ ∈ (0; 1)

Hàm h được gọi là lõm chặt trên tập lồi X nếu −h là lồi chặt trên X.Định nghĩa 1.1.6 Hàm h được gọi là tựa lồi trên tập lồi X nếu

h(λx1 + (1 − λ)x2) ≤ max{h(x1); h(x2)} ∀x1, x2 ∈ X, ∀λ ∈ [0; 1]

Hàm h được gọi là tựa lõm trên tập lồi X nếu −h là tựa lồi trên X

Định nghĩa 1.1.7 Hàm số h trên Rn+ được gọi là bức trên Rn+ nếu

h(x) → +∞ khi x ∈ Rn+, ||x|| → +∞

Mệnh đề 1.1.8 (xem [4]) Hàm h tựa lồi trên tập lồi X khi và chỉ khi vớimọi α ∈ R tập mức dưới {x ∈ X | h(x) ≤ α} là tập lồi Hàm h tựa lõm trêntập lồi X khi và chỉ khi với mọi α ∈ R tập mức trên {x ∈ X | h(x) ≥ α} làtập lồi

Định nghĩa 1.1.9 Hàm h được gọi là thuần nhất dương bậc τ > 0 trên X

nếu

h(kx) = kτh(x), ∀x ∈ X , ∀k > 0

Định nghĩa 1.1.10 Hàm h được gọi là đơn điệu tăng trên X nếu:

h(x1) ≤ h(x2) ∀x1, x2 ∈ X , x1 ≤ x2

Hàm h được gọi là đơn điệu tăng chặt trên X nếu:

Nếu h là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) tại mọi điểm thuộc X, thì h

được gọi là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) ở trên X

Định nghĩa 1.1.12 Hàm h(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu h(x) đồngthời là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x0 Nếu h liên tục tại mọiđiểm thuộc X, thì h được gọi là liên tục ở trên X

Mệnh đề 1.1.13 (xem [4]) Hàm h(x) là nửa liên tục dưới ở trên tập đóng

X khi và chỉ khi với mọi α ∈ R tập mức dưới {x ∈ X | h(x) ≤ α} là tậpđóng Hàm h(x) nửa liên tục trên ở trên X khi và chỉ khi với mọi α ∈ R

1.2 Phép biến đổi tựa liên hợp

Phần này, chúng tôi trình bày một số tính chất của phép biến đổi tựaliên hợp của hàm h Từ đây cho đến hết chương ta luôn giả thiết rằng h(x)

hàm số không âm, nhận giá trị hữu hạn, tựa lồi, tăng ngặt, liên tục trên

Rn+ và 0 = h(0) < h(x) với mọi x ∈ Rn+\{0} Dễ thấy, nếu h(x) nhận giátrị hữu hạn, thuần nhất dương và tăng ngặt trên Rn+ thì h(x) tăng ngặt và

0 = h(0) < h(x) với mọi x ∈ Rn+\{0}

Ký hiệu tập mức dưới của h tại α là

Lα = {x ∈ Rn+ : h(x) ≤ α}

Hàm tựa liên hợp của hàm h được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.2.1 Hàm h⋄ được gọi là tựa liên hợp của h nếu

h⋄(p) := inf{τ ≥ 0| p ∈ (L1

τ)⋄} ∀p ∈ Rn+, (1.1)(quy ước +∞1 = 0, L1

Rn+\{0} Nếu h⋄(p) = 0 thì ta nhận được h⋄(p) < ϵ với mọi ϵ > 0, điềunày kéo theo tồn tại τ > 0 sao cho τ < ϵ và

⟨p, xk⟩ > 1, và vì thế h(xk) > τ1 với mọi k ∈ N bởi (1.2) Cho k → +∞ tanhận được h(x) ≥ 1τ Vì thế h(x) ≥ 1τ với mọi x ≥ 0 thỏa mãn ⟨p, x⟩ ≥ 1

Điều này tương đương với

Bây giờ chúng ta chứng minh rằng h⋄(p) là nhận giá trị hữu hạn trong

Rn+ Giả sử rằng h⋄(p) = +∞ với p ∈ Rn+\{0} Khi đó không tồn tại một

trong Rn+ sao cho ⟨p, xk⟩ = 1 và h(xk) ≤ τ1k

Nếu p > 0 thì chúng ta có thể giả thuyết rằng xk → ¯x (bởi vì tập {x ∈

Rn+| ⟨p, x⟩ = 1} là compact) Cho k → +∞ trong đẳng thức ⟨p, xk⟩ = 1 tanhận được ⟨p, ¯x⟩ = 1 Từ h(xk) ≤ τ1k và tính liên tục của h(x) chúng ta có

Suy ra x = 0¯ , điều này mâu thuẫn với thực tế rằng ⟨p, ¯x⟩ = 1.

Giả sử p là véc tơ không dương, ta đặt I = {i| pi = 0, i = 1, 2, 3, , n}

và chọn yk sao cho yik = 0 với mọi i ∈ I, yki = xki với mọi i /∈ I Khi đó, vớimọi k chúng ta có

ta có thể thu được y = 0¯ và ⟨p, ¯y⟩ = 1, điều này vô lý

Ký hiệu L⋄α là tập mức dưới của h⋄ tại α, nghĩa là

⊂ {p ∈ Rn+ : ⟨p, x⟩ ≤ 1 ∀x ∈ Lα}

Ngược lại, cho p ∈ {p ∈ Rn+ : ⟨p, x⟩ ≤ 1 ∀x ∈ Lα} thì p ∈ (Lα)⋄ = (L 1

α−1

)⋄.Điều này suy ra rằng

⊃ {p ∈ Rn+ : ⟨p, x⟩ ≤ 1 ∀x ∈ Lα}

Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng Lα là liên hợp dưới của L⋄1

Mệnh đề 1.2.5 Hàm h cũng là tựa liên hợp của h⋄, tức là

h(x) = inf{τ ≥ 0| x ∈ (L⋄1

τ

)⋄}

Chứng minh Chúng ta có h(x) = inf{τ ≥ 0| x ∈ Lτ} Áp dụng Bổ đề1.2.4, chúng ta có

h(x) = inf{τ ≥ 0| x ∈ (L⋄1

τ

)⋄}

Mệnh đề được chứng minh

Mệnh đề 1.2.6 Hàm h⋄ là đơn điệu tăng, nửa liên tục dưới và tựa lồi trên

với mọi ϵ > 0 Khi đó tồn tại τ ≥ 0 sao cho τ < α + ϵ và

⟨p, xk⟩ > 1 và do đó h(xk) > τ1 với mỗi k ∈ N bởi (1.11) Cho k → +∞,chúng ta nhận đượch(x) ≥ τ1 Điều này cùng với (1.11) suy ra rằngh(x) ≥ 1τ

với mọi x ≥ 0 thỏa mãn ⟨p, x⟩ ≥ 1 hay tương đương với

Cho x ≥ 0, x ̸= 0 thỏa mãn h(x) ≤ α1 Nếu x > 0 thì dãy {xk = (1 − 1k)x}

thỏa mãn xk → x vàh(xk) < h(x) ≤ α1 với mọi k (bởi vì h tăng ngặt), và vìthế ⟨p, xk⟩ < 1 bởi (1.12) Cho k → +∞, chúng ta nhận được ⟨p, xk⟩ ≤ 1

Nếuxkhông phải là véc tơ dương thì dãy {xk},xk = k1x+(1−ˆ 1k)x vớix > 0ˆ

và h(ˆx) ≤ α1 (chúng ta có thể chọn xˆ bởi tính liên tục của h và h(0) = 0)thỏa mãn xk > 0 và h(xk) ≤ α1 (vì h là tựa lồi) Bằng cách lập luận tương

tự như trên, chúng ta chứng minh được rằng ⟨p, xk⟩ ≤ 1 với mỗi k Cho

k → +∞ trong các bất phương trình ⟨p, xk⟩ ≤ 1 và h(xk) ≤ α1, chúng tanhận được ⟨p, x⟩ ≤ 1 và h(x) ≤ α Vì vậy, chúng ta có ⟨p, x⟩ ≤ 1 ∀ x ≥ 0

thỏa mãn h(x) ≤ α1 Điều này tương đương với p ∈ (L1

α)⋄ = L⋄α Suy ra

L⋄α = L⋄α

Vậy đẳng thức (1.9) được chứng minh Bằng các lập luận tương tự như trên,chúng ta có thể thu được đẳng thức (1.10) Mệnh đề được chứng minh.Mệnh đề 1.2.8 Nếu h thuần nhất dương bậc τ > 0, thì h⋄ cũng thuầnnhất dương bậc τ

2.1 Điều kiện tối ưu

Trong lý thuyết tối ưu lồi, các điều kiện tối ưu thường được phát biểudưới dạng nguyên lý Fermat mở rộng hay điều kiện KKT qua khái niệmdưới vi phân ([4]) Trong phần này, chúng tôi trình bày khái niệm tựa dướigradient và một số tính chất quan trọng của khái niệm này

Với h⋄(p) được định nghĩa bởi (1.1), chúng ta gọi một véc tơ p ∈ Rn+

một tựa dưới gradient của h tại x nếu

⟨p, x⟩ = 1 and h(x)h⋄(p) ≤ 1

Tựa dưới vi phân của h tại x, được ký hiệu bởi ∂⋄h(x), là tập hợp tất cảcác tựa dưới gradient của h tại x Nếu ∂⋄h(x) là khác rỗng thì h được gọi

là khả dưới vi phân tại x

Theo định nghĩa của hàm tựa liên hợp, ta có thể chỉ ra được

h(x)h⋄(p) ≥ 1 ∀(x, p) ∈ Rn+× Rn+ với điều kiện ⟨p, x⟩ ≥ 1 (2.1)

Thực vậy, cho x ∈ X và p ∈ P Khi đó ta có pTx ≤ 1 Nếu f (x) = 0, ta cóngay f (x) g (p) = 0 ≤ 1 Giả sử f (x) > 0 khi đó từ pTx ≤ 1 và định nghĩacủa hàm tựa liên hợp ta nhận được

p ∈ ∂⋄h(x) ⇔ x ∈ ∂⋄h⋄(p)

Chứng minh Cho x ∈ Rn+\{0} Vì h là tựa lồi, liên tục, tăng ngặt trênRn+

và h(x) > 0 nên Lh(x) là một tập lồi, đóng với phần trong khác rỗng Giả

sử có một tập mở B tâm x sao cho B ⊂ Lh(x) Khi đó, tồn tại x ∈ Bˆ saocho x > xˆ Vìh là tăng ngặt, chúng ta có h(ˆx) > h(x), điều này mâu thuẫnvới x ∈ Lˆ h(x) Suy ra x là một điểm biên củaLh(x) Rõ ràng,x cũng là điểmbiên của Lh(x) − Rn+ bởi tính đơn điệu tăng của h Theo định lý tách, tồntại một véc tơ q ̸= 0 và số τ ∈ R sao cho

Từ (2.4) và Bổ đề 1.2.4 chúng ta có p ∈ L⋄1

h(x)

, và vì thế h⋄(p)h(x) ≤ 1 Điềunày cùng với (2.5) suy ra p ∈ ∂⋄h(x) Tính lồi của ∂⋄h(x) là hiển nhiên.Theo Bổ đề 1.2.5 ta có hcũng là tựa liên hợp của h⋄, và vì thếp ∈ ∂⋄h(x)

tương đương với x ∈ ∂⋄h⋄(p)

Từ chứng minh trên chúng ta thu được mệnh đề sau

Mệnh đề 2.1.2 Cho h : Rn+ → R+ là hàm đơn điệu tăng ngặt, liên tục,tựa lồi và 0 = h(0) < h(x) với mọi x ̸= 0 Điều kiện đủ để p ∈ ∂⋄h(x) là

⟨p, x⟩ = 1 và ⟨p, z⟩ ≤ 1 với mọi z ∈ Lh(x)

Cho h là một hàm bất kỳ trong Rn Nhắc lại rằng một véc tơ p được gọi

là dưới gradient của h tại x nếu ⟨p, x − x⟩ ≤ h(x) − h(x) với mọi x ∈ Rn

Ký hiệu ∂h(x) là tập tất cả các dưới gradient của h tại x Định lý sau đâycho ta mối quan hệ giữa hai khái niệm dưới gradient và tựa dưới gradient.Định lý 2.1.3 Nếu h : Rn+ → R+ là hàm đơn điệu tăng ngặt, liên tục, lồi

và 0 = h(0) < h(x) với mọi x ̸= 0 thì với mỗi x ∈ Rn+\{0} chúng ta có

trong đó h : Rn+ → R+ là hàm đơn điệu tăng ngặt, bức, liên tục, tựa lồi

và 0 = h(0) < h(x) với mọi x ̸= 0; X ⊂ Rn+ là một tập hợp lồi khác rỗngtrong Rn+ và 0 /∈ X

Vì h liên tục, bức và X là tập đóng khác rỗng nên bài toán (2.7) cónghiệm tối ưu và giá trị tối ưu của nó là dương Nếu X là tập tập cácphương án sản xuất và h là hàm chi phí sản xuất thì lời giải của bài toántrên là phương án sản xuất sao cho chi phí sản xuất là nhỏ nhất Do lớp cáchàm tựa lồi là khá rộng nên bài toán (2.7) có nhiều ứng dụng trong nhiềuvấn đề trong thực tế Trong bài báo [7], P T Thạch đã đưa ra đối ngẫu tựaliên hợp cho bài toán (2.7) khi h là hàm đơn điệu tăng, bức, liên tục, lồi vànhận giá trị hữu hạn trên Rn+

Sau đây, chúng ta sử dụng tựa dưới vi phân để đưa ra điều kiện cần và

đủ tối ưu cho (2.7) Với mỗi véc tơ x ∈ X ta ký hiệu N (x, X ) nón pháptuyến của X tại x, nghĩa là

h⋄(p)h(x) = 1 Do −p ∈ N (x, X ) nên ta có ⟨p, x − x⟩ ≥ 0 với mỗi x ∈ X,

và vì thế ⟨p, x⟩ ≥ 1 với mọi x ∈ X Bởi (2.1), chúng ta có

h⋄(p)h(x) = min{h⋄(p)h(x) : x ∈ X } = h⋄(p) min

x∈X h(x),

suy ra h(x) = minx∈X h(x)

Giả sử x là nghiệm của (2.7) Vì h là tựa lồi, liên tục, tăng ngặt trong

Rn+ và h(x) > 0 nên Lh(x) tập lồi đóng với phần trong khác rỗng Chúng tachứng minh rằng

intX ∩ intLh(x) = ∅