Hàm số dưới đây có nhiều cực tiểu địa phương và khó để tìm cực tiểu toàn cục..[r]
(1)Bài tốn tối ưu khơng ràng buộc
Hồng Nam Dũng
(2)Bài tốn tối ưu không ràng buộc (unconstrained)
min x f(x)
vớif :Rn→Rlà hàm trơn (smooth)
Định nghĩa
x∗ gọi làcực tiểu toàn cục f(x∗)≤f(x), ∀x
x∗ gọi làcực tiểu địa phương tồn lân cậnN x∗ cho
f(x∗)≤f(x), ∀x∈ N
x∗ gọi làcực tiểu địa phương mạnh (hay ngặt) tồn lân cậnN củax∗ cho
(3)Bài toán tối ưu không ràng buộc (unconstrained)
min x f(x)
vớif :Rn→Rlà hàm trơn (smooth)
Định nghĩa
x∗ gọi làcực tiểu toàn cục f(x∗)≤f(x), ∀x
x∗ gọi làcực tiểu địa phương tồn lân cậnN x∗ cho
f(x∗)≤f(x), ∀x∈ N
x∗ gọi làcực tiểu địa phương mạnh (hay ngặt) tồn lân cậnN củax∗ cho
(4)Bài toán tối ưu không ràng buộc (unconstrained)
min x f(x)
vớif :Rn→Rlà hàm trơn (smooth)
Định nghĩa
x∗ gọi làcực tiểu toàn cục f(x∗)≤f(x), ∀x
x∗ gọi làcực tiểu địa phương tồn lân cậnN x∗ cho
f(x∗)≤f(x), ∀x∈ N
x∗ gọi làcực tiểu địa phương mạnh (hay ngặt) tồn lân cậnN củax∗ cho
(5)Bài tốn tối ưu khơng ràng buộc (unconstrained)
min x f(x)
vớif :Rn→Rlà hàm trơn (smooth)
Định nghĩa
x∗ gọi làcực tiểu toàn cục f(x∗)≤f(x), ∀x
x∗ gọi làcực tiểu địa phương tồn lân cậnN x∗ cho
(6)Ví dụ
(7)Điều kiện cực tiểu địa phương
Định lý (Khai triển Taylor)
Chof :Rn→Rkhả vi liên tục p ∈Rn Ta có
f(x+p) =f(x) +∇f(x+tp)Tp, vớit∈(0,1)
Nếu f khả vi liên tục hai lần f(x+p) =f(x) +∇f(x)Tp+1
2p
T∇2f(x+tp)p,
(8)Điều kiện cực tiểu địa phương
Định lý (Khai triển Taylor)
Chof :Rn→Rkhả vi liên tục p ∈Rn Ta có
f(x+p) =f(x) +∇f(x+tp)Tp, vớit∈(0,1) Nếuf khả vi liên tục hai lần
f(x+p) =f(x) +∇f(x)Tp+1
2p
T∇2f(x+tp)p,
(9)Điều kiện cực tiểu địa phương
Định lý (Điều kiện cần bậc nhất)
Nếux∗ cực tiểu địa phương vàf khả vi liên tục lân cận mở củax∗ ∇f(x∗) =0
Chứng minh
Giả sử∇f(x∗)6=0 Chọnp =−∇f(x∗)
pT∇f(x∗) =−k∇f(x∗)k2 <0
Từ do∇f liên tục lân cận củax∗, tồn T >0 cho
pT∇f(x∗+sp)<0, ∀s ∈[0,T]
Với mỗit ∈(0,T] theo định lý Taylor tồn tạis ∈(0,t) cho
f(x∗+tp) =f(x∗) +t∇f(x∗+sp)Tp<f(x∗),
(10)Điều kiện cực tiểu địa phương
Định lý (Điều kiện cần bậc nhất)
Nếux∗ cực tiểu địa phương vàf khả vi liên tục lân cận mở củax∗ ∇f(x∗) =0
Chứng minh
Giả sử∇f(x∗)6=0 Chọnp =−∇f(x∗)thì
pT∇f(x∗) =−k∇f(x∗)k2 <0
Từ do∇f liên tục lân cận củax∗, tồn T >0 cho
pT∇f(x∗+sp)<0, ∀s ∈[0,T]
Với mỗit ∈(0,T] theo định lý Taylor tồn tạis ∈(0,t) cho
f(x∗+tp) =f(x∗) +t∇f(x∗+sp)Tp<f(x∗),