1. Trang chủ
  2. » Vật lí lớp 11

Bài giảng Tối ưu hóa nâng cao - Chương 3: Bài toán tối ưu không ràng buộc

10 13 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 10
Dung lượng 160,33 KB

Nội dung

Hàm số dưới đây có nhiều cực tiểu địa phương và khó để tìm cực tiểu toàn cục..[r]

(1)

Bài tốn tối ưu khơng ràng buộc

Hồng Nam Dũng

(2)

Bài tốn tối ưu không ràng buộc (unconstrained)

min x f(x)

vớif :Rn→Rlà hàm trơn (smooth)

Định nghĩa

x∗ gọi làcực tiểu toàn cục f(x∗)≤f(x), ∀x

x∗ gọi làcực tiểu địa phương tồn lân cậnN x∗ cho

f(x∗)≤f(x), ∀x∈ N

x∗ gọi làcực tiểu địa phương mạnh (hay ngặt) tồn lân cậnN củax∗ cho

(3)

Bài toán tối ưu không ràng buộc (unconstrained)

min x f(x)

vớif :Rn→Rlà hàm trơn (smooth)

Định nghĩa

x∗ gọi làcực tiểu toàn cục f(x∗)≤f(x), ∀x

x∗ gọi làcực tiểu địa phương tồn lân cậnN x∗ cho

f(x∗)≤f(x), ∀x∈ N

x∗ gọi làcực tiểu địa phương mạnh (hay ngặt) tồn lân cậnN củax∗ cho

(4)

Bài toán tối ưu không ràng buộc (unconstrained)

min x f(x)

vớif :Rn→Rlà hàm trơn (smooth)

Định nghĩa

x∗ gọi làcực tiểu toàn cục f(x∗)≤f(x), ∀x

x∗ gọi làcực tiểu địa phương tồn lân cậnN x∗ cho

f(x∗)≤f(x), ∀x∈ N

x∗ gọi làcực tiểu địa phương mạnh (hay ngặt) tồn lân cậnN củax∗ cho

(5)

Bài tốn tối ưu khơng ràng buộc (unconstrained)

min x f(x)

vớif :Rn→Rlà hàm trơn (smooth)

Định nghĩa

x∗ gọi làcực tiểu toàn cục f(x∗)≤f(x), ∀x

x∗ gọi làcực tiểu địa phương tồn lân cậnN x∗ cho

(6)

Ví dụ

(7)

Điều kiện cực tiểu địa phương

Định lý (Khai triển Taylor)

Chof :Rn→Rkhả vi liên tục p ∈Rn Ta có

f(x+p) =f(x) +∇f(x+tp)Tp, vớit∈(0,1)

Nếu f khả vi liên tục hai lần f(x+p) =f(x) +∇f(x)Tp+1

2p

T∇2f(x+tp)p,

(8)

Điều kiện cực tiểu địa phương

Định lý (Khai triển Taylor)

Chof :Rn→Rkhả vi liên tục p ∈Rn Ta có

f(x+p) =f(x) +∇f(x+tp)Tp, vớit∈(0,1) Nếuf khả vi liên tục hai lần

f(x+p) =f(x) +∇f(x)Tp+1

2p

T∇2f(x+tp)p,

(9)

Điều kiện cực tiểu địa phương

Định lý (Điều kiện cần bậc nhất)

Nếux∗ cực tiểu địa phương vàf khả vi liên tục lân cận mở củax∗ ∇f(x∗) =0

Chứng minh

Giả sử∇f(x∗)6=0 Chọnp =−∇f(x∗)

pT∇f(x∗) =−k∇f(x∗)k2 <0

Từ do∇f liên tục lân cận củax∗, tồn T >0 cho

pT∇f(x∗+sp)<0, ∀s ∈[0,T]

Với mỗit ∈(0,T] theo định lý Taylor tồn tạis ∈(0,t) cho

f(x∗+tp) =f(x∗) +t∇f(x∗+sp)Tp<f(x∗),

(10)

Điều kiện cực tiểu địa phương

Định lý (Điều kiện cần bậc nhất)

Nếux∗ cực tiểu địa phương vàf khả vi liên tục lân cận mở củax∗ ∇f(x∗) =0

Chứng minh

Giả sử∇f(x∗)6=0 Chọnp =−∇f(x∗)thì

pT∇f(x∗) =−k∇f(x∗)k2 <0

Từ do∇f liên tục lân cận củax∗, tồn T >0 cho

pT∇f(x∗+sp)<0, ∀s ∈[0,T]

Với mỗit ∈(0,T] theo định lý Taylor tồn tạis ∈(0,t) cho

f(x∗+tp) =f(x∗) +t∇f(x∗+sp)Tp<f(x∗),

Ngày đăng: 09/03/2021, 04:45

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w