Chương 2. Đối ngẫu tựa liên hợp cho bài toán không lồi
2.1. Điều kiện tối ưu
Trong lý thuyết tối ưu lồi, các điều kiện tối ưu thường được phát biểu dưới dạng nguyên lý Fermat mở rộng hay điều kiện KKT qua khái niệm dưới vi phân ([4]). Trong phần này, chúng tôi trình bày khái niệm tựa dưới gradient và một số tính chất quan trọng của khái niệm này.
Với h⋄(p) được định nghĩa bởi (1.1), chúng ta gọi một véc tơ p ∈ Rn+ một tựa dưới gradient của h tại x nếu
⟨p, x⟩ = 1 and h(x)h⋄(p) ≤ 1.
Tựa dưới vi phân của h tại x, được ký hiệu bởi ∂⋄h(x), là tập hợp tất cả các tựa dưới gradient của h tại x. Nếu ∂⋄h(x) là khác rỗng thì h được gọi là khả dưới vi phân tại x.
Theo định nghĩa của hàm tựa liên hợp, ta có thể chỉ ra được
h(x)h⋄(p) ≥ 1 ∀(x, p) ∈ Rn+× Rn+ với điều kiện ⟨p, x⟩ ≥ 1. (2.1)
Thực vậy, cho x ∈ X và p∈ P. Khi đó ta có pTx ≤ 1. Nếu f (x) = 0, ta có ngay f (x)g(p) = 0 ≤ 1. Giả sử f (x) > 0 khi đó từ pTx ≤1 và định nghĩa của hàm tựa liên hợp ta nhận được
f (x)g(p) = f (x) 1
sup{f (x′) : pTx′ ≤ 1, x′ ≥ 0}
≤f (x) 1 f (x)
= 1,
và do đó
f (x)g(p) ≤ 1, ∀x ∈ X, ∀p ∈ P.
Điều này cùng với định nghĩa của tựa dưới vi phân dẫn đến khẳng định rằng x ∈ ∂⋄h(x) tương đương với ⟨p, x⟩ = 1 và h(x)h⋄(p) = 1.
Định lý 2.1.1. Nếu h : Rn+ → R+ là hàm đơn điệu tăng ngặt, liên tục, tựa lồi và 0 = h(0) < h(x) với mọi x ̸= 0, thì ∂⋄h(x) là tập lồi khác rỗng với mọi x ∈ Rn+\{0}. Ngoài ra,
p ∈ ∂⋄h(x) ⇔ x ∈ ∂⋄h⋄(p).
Chứng minh. Cho x ∈ Rn+\{0}. Vì h là tựa lồi, liên tục, tăng ngặt trênRn+ và h(x) > 0 nên Lh(x) là một tập lồi, đóng với phần trong khác rỗng. Giả sử có một tập mở B tâm x sao cho B ⊂ Lh(x). Khi đó, tồn tại xˆ ∈ B sao cho x > xˆ . Vìh là tăng ngặt, chúng ta có h(ˆx) > h(x), điều này mâu thuẫn với xˆ∈ Lh(x). Suy ra x là một điểm biên củaLh(x). Rõ ràng,x cũng là điểm biên của Lh(x) − Rn+ bởi tính đơn điệu tăng của h. Theo định lý tách, tồn tại một véc tơ q ̸= 0 và số τ ∈ R sao cho
⟨q, z⟩ ≤ τ ∀z ∈ Lh(x) − Rn+, (2.2)
⟨q, x⟩ = τ. (2.3)
Từ (2.2), ta suy ra rằng q ≥ 0, và vì thế τ > 0 (bởi vì intLh(x) ̸= ∅). Đặt p = 1τq , chúng ta có p≥ 0 và
⟨p, z⟩ ≤ 1 ∀z ∈ Lh(x), (2.4)
⟨p, x⟩ = 1. (2.5)
Từ (2.4) và Bổ đề 1.2.4 chúng ta có p ∈ L⋄1 h(x)
, và vì thế h⋄(p)h(x) ≤ 1. Điều này cùng với (2.5) suy ra p∈ ∂⋄h(x). Tính lồi của ∂⋄h(x) là hiển nhiên.
Theo Bổ đề 1.2.5 ta có hcũng là tựa liên hợp của h⋄, và vì thếp ∈ ∂⋄h(x) tương đương với x∈ ∂⋄h⋄(p).
Từ chứng minh trên chúng ta thu được mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1.2. Cho h : Rn+ → R+ là hàm đơn điệu tăng ngặt, liên tục, tựa lồi và 0 = h(0) < h(x) với mọi x ̸= 0. Điều kiện đủ để p ∈ ∂⋄h(x) là
⟨p, x⟩ = 1 và ⟨p, z⟩ ≤ 1 với mọi z ∈ Lh(x).
Cho h là một hàm bất kỳ trong Rn. Nhắc lại rằng một véc tơ p được gọi là dưới gradient của h tại x nếu ⟨p, x−x⟩ ≤ h(x)−h(x) với mọi x ∈ Rn. Ký hiệu ∂h(x) là tập tất cả các dưới gradient của h tại x. Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa hai khái niệm dưới gradient và tựa dưới gradient.
Định lý 2.1.3. Nếu h : Rn+ → R+ là hàm đơn điệu tăng ngặt, liên tục, lồi và 0 = h(0) < h(x) với mọi x ̸= 0 thì với mỗi x ∈ Rn+\{0} chúng ta có
p∈ ∂h(x)∪(Rn+\{0}) ⇒ 1
⟨p, x⟩p ∈ ∂⋄h(x).
Chứng minh. Cho p∈ ∂h(x)∪(Rn+\{0}). Khi đó
⟨p, x−x⟩ ≤ h(x)−h(x) ∀x ∈ Lh(x),
suy ra
⟨p, x⟩ ≤ ⟨p, x⟩ ∀x ∈ Lh(x). (2.6) Bởi intLh(x) ̸= ∅ chúng ta có ⟨p, x⟩ > 0. Điều này cùng với (2.6) suy ra
1
⟨p,x⟩⟨p, x⟩ ≤ 1 với mọi x ∈ Lh(x). Điều này cùng với Bổ đề 2.1.2 dẫn tới
1
⟨p,x⟩p ∈ ∂⋄h(x). Định lý được chứng minh.
Tiếp theo, chúng ta xét bài toán tối ưu sau:
minh(x), với x ∈ X, (2.7)
trong đó h : Rn+ → R+ là hàm đơn điệu tăng ngặt, bức, liên tục, tựa lồi và 0 = h(0) < h(x) với mọi x ̸= 0; X ⊂ Rn+ là một tập hợp lồi khác rỗng trong Rn+ và 0∈ X/ .
Vì h liên tục, bức và X là tập đóng khác rỗng nên bài toán (2.7) có nghiệm tối ưu và giá trị tối ưu của nó là dương. Nếu X là tập tập các phương án sản xuất và h là hàm chi phí sản xuất thì lời giải của bài toán trên là phương án sản xuất sao cho chi phí sản xuất là nhỏ nhất. Do lớp các hàm tựa lồi là khá rộng nên bài toán (2.7) có nhiều ứng dụng trong nhiều vấn đề trong thực tế. Trong bài báo [7], P. T. Thạch đã đưa ra đối ngẫu tựa liên hợp cho bài toán (2.7) khi h là hàm đơn điệu tăng, bức, liên tục, lồi và nhận giá trị hữu hạn trên Rn+.
Sau đây, chúng ta sử dụng tựa dưới vi phân để đưa ra điều kiện cần và đủ tối ưu cho (2.7). Với mỗi véc tơ x ∈ X ta ký hiệu N(x,X) nón pháp tuyến của X tại x, nghĩa là
N(x,X) ={p: ⟨p, x−x⟩ ≤ 0 ∀x ∈ X }.
Định lý 2.1.4. Véc tơ x ∈ X là nghiệm tối ưu của (2.7) nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn điều kiện KKT sau
0 ∈ ∂⋄h(x) +N(x,X). (2.8)
Chứng minh. Giả sử x ∈ X và (2.8) thỏa mãn. Khi đó, tồn tại một véc tơ p ∈ ∂⋄h(x) sao cho−p∈ N(x,X). Vì p∈ ∂⋄h(x), chúng ta có ⟨p, x⟩ = 1 và h⋄(p)h(x) = 1. Do −p ∈ N(x,X) nên ta có ⟨p, x−x⟩ ≥ 0 với mỗi x ∈ X, và vì thế ⟨p, x⟩ ≥ 1 với mọi x ∈ X. Bởi (2.1), chúng ta có
h⋄(p)h(x) = min{h⋄(p)h(x) : x ∈ X } = h⋄(p) min
x∈X h(x), suy ra h(x) = minx∈X h(x).
Giả sử x là nghiệm của (2.7). Vì h là tựa lồi, liên tục, tăng ngặt trong Rn+ và h(x) > 0 nên Lh(x) tập lồi đóng với phần trong khác rỗng. Chúng ta chứng minh rằng
intX ∩intLh(x) = ∅.
Thực vậy, giả sử có một tập mở B tâm x0 sao cho B ⊂ X ∩ Lh(x). Khi đó h(x) = h(x) với mọi x ∈ B. Mặt khác, cho x⋄ ∈ B sao cho x⋄ <
x0, chúng ta sẽ có h(x⋄) < h(x0) = h(x) (bởi vì h là tăng ngặt), đây là một sự mâu thuẫn. Bởi vì h là tăng ngặt nên dễ dàng chứng minh được int(X +Rn+)∩intLh(x) = ∅ và do đó theo định lý tách có một q ∈ Rn+\{0}
và một số thực τ sao cho
⟨q, x⟩ ≤ τ ∀x ∈ Lh(x); (2.9)
⟨q, x⟩ ≥ τ ∀x ∈ X +Rn+. (2.10) Từ (2.10) chúng ta cóq ≥ 0. Từ (2.9) chúng ta thu đượcτ > 0bởiintLh(x) ̸=
∅. Đặt p = 1τq, từ (2.9) và (2.10) chúng ta có thể viết
⟨p, x⟩ ≤ 1 ∀x ∈ Lh(x); (2.11)
⟨p, x⟩ ≥ 1 ∀x ∈ X. (2.12) Từ đây suy ra rằng ⟨p, x⟩ = 1. Điều này cùng với (2.11) và Bổ đề 2.1.2 suy ra p ∈ ∂⋄h(x). Từ (2.12) và ⟨p, x⟩ = 1 suy ra −p ∈ N(x,X). Như vậy, chúng ta thu được
0 ∈ ∂⋄h(x) +N(x,X).
Định lý được chứng minh.