Dưới vi phân của ánh xạ đa trị cận biên cho bài toán tốiưu đa mục tiêu.. 38 Trang 3 Danh mục ký hiệuR trường số thực∅ tập rỗng∀ x với mọi x∃ x tồn tại xM ∩ N giao của hai tập hợp M và N
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ THƯƠNG DƯỚI VI PHÂN CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ CẬN BIÊN CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1 TS DƯƠNG THỊ VIỆT AN 2 TS VŨ THỊ HƯỚNG THÁI NGUYÊN - 2024 Mục lục Mở đầu 4 Lời cảm ơn 7 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 8 1.1 Ánh xạ đa trị lồi 8 1.2 Bài toán tối ưu đa mục tiêu 11 1.3 Một số kết quả bổ trợ 17 Chương 2 Dưới vi phân của ánh xạ đa trị cận biên cho bài toán tối ưu đa mục tiêu 23 2.1 Dưới vi phân của ánh xạ đa trị 23 2.2 Quy tắc tính dưới vi phân của tổng hai ánh xạ đa trị 27 2.3 Công thức đánh giá trên cho dưới vi phân của ánh xạ đa trị cận biên 34 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 1 Danh mục ký hiệu R trường số thực ∅ tập rỗng ∀x với mọi x ∃x tồn tại x M ∩N giao của hai tập hợp M và N |x| giá trị tuyệt đối của x ∥x∥ chuẩn của véctơ x ⟨x, y⟩ tích vô hướng của hai véctơ int A phần trong của tập A A¯ bao đóng của tập A D◦ nón cực âm của nón D N (Ω; x¯) nón pháp tuyến của Ω tại x¯ ψΩ hàm chỉ của tập Ω epi f trên đồ thị của hàm f dom f miền hữu hiệu của hàm f ∂f (x) dưới vi phân của hàm lồi f tại x dS hàm khoảng cách 2 A∗ toán tử liên hợp của toán tử A F :X⇒Y ánh xạ đa trị dom F miền xác định của ánh xạ đa trị F gph F đồ thị của ánh xạ đa trị F epi F trên đồ thị của ánh xạ đa trị F D∗F (x, y) đối đạo hàm của ánh xạ đa trị F tại (x, y) ∂W F (x¯, y¯) dưới vi phân yếu đối với y¯ của F tại x¯ 3 Mở đầu Các hàm giá trị cận biên/tối ưu (marginal/optimal value function) là một trong những đối tượng nghiên cứu cơ bản nhất của giải tích biến phân Các hàm này chưa bao giờ được nghiên cứu nghiêm túc trong khuôn khổ của giải tích cổ điển do tính không trơn nội tại của chúng Sẽ không quá lời khi nói rằng các hàm cận biên thể hiện bản chất của các kỹ thuật hiện đại trong giải tích biến phân liên quan đến các quá trình nhiễu và xấp xỉ với việc chuyển tiếp đến giới hạn Các nghiên cứu về tính chất khả vi của hàm giá trị cận biên trong tối ưu có tham số được xếp vào chủ đề tính ổn định vi phân của các bài toán tối ưu Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước từ thập niên 70 của thế kỷ trước Dưới vi phân của hàm giá trị cận biên đánh giá sự thay đổi theo tham số nhiễu của hàm giá trị cận biên Bên cạnh các vấn đề về phân tích độ nhạy thì việc đánh giá dưới vi phân của các hàm giá trị cận biên đã được công nhận là một công cụ quan trọng để nghiên cứu độ nhớt và nghiệm cực tiểu của phương trình Hamilton-Jacobi, quy hoạch động xác định và ngẫu nhiên, thiết kế điều khiển phản hồi, lý thuyết trò chơi, tối ưu ngẫu nhiên, điều khiển, lập trình hai cấp độ, mô hình tăng trưởng kinh tế, v.v.(xem [7, tr 188]) Trong nhiều tình huống thực tế, chúng ta thường gặp các bài toán không chỉ liên quan đến một mục tiêu mà đòi hỏi phải tối ưu đồng thời nhiều 4 mục tiêu xung đột (conflict) với nhau Với các bài toán như vậy, chúng ta không thể mô hình hoá nó dưới dạng một bài toán tối ưu một mục tiêu cũng như không thể tìm được phương án nào đáp ứng được tất cả các tiêu chí Vì vậy khái niệm tối ưu theo nghĩa thông thường không thể áp dụng cho các bài toán tối ưu có nhiều mục tiêu Khái niệm nghiệm hữu hiệu/tối ưu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu được đưa ra đầu tiên bởi một nhà kinh tế học người Ý, V Pareto (1848-1923), từ năm 1906 Một phương án được gọi là một cải thiện/cải tiến Pareto của một phương án cho trước nếu nó cải tiến được ít nhất một tiêu chuẩn của phương án này nhưng không làm cho các tiêu chí khác trở nên xấu/tồi tệ hơn Một phương án được gọi là hữu hiệu hay tối ưu Pareto nếu không còn một cải thiện Pareto nào khác của nó Trong đề án, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định vi phân của bài toán tối ưu đa mục tiêu có tham số với ràng buộc là ánh xạ đa trị theo như các kết quả trong bài báo [11] Lưu ý rằng giá trị tối ưu của bài toán tối ưu đa mục tiêu có tham số là một ánh xạ đa trị Do đó các kĩ thuật và công cụ để xử lí vấn đề ở đây phức tạp hơn nhiều so với bài toán tối ưu (một mục tiêu) có tham số Mục đích của đề án này là trình bày các công thức ước lượng dưới vi phân cho ánh xạ đa trị cận biên của bài toán tối ưu đa mục tiêu trên cơ sở đọc hiểu các nội dung liên quan trong bài báo [11] Bên cạnh việc biên dịch, sắp xếp lại một cách có hệ thống các kết quả trong bài báo [11], chúng tôi cũng trình bày chi tiết và rõ ràng hơn các lập luận chứng minh của Định lý 2.2 và Định lý 2.4 Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục ký hiệu và danh mục tài liệu tham khảo Nội dung đề án được viết trong hai chương Chương 1 Kiến thức chuẩn bị nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản về ánh xạ đa trị lồi, anh xạ đa trị lồi theo nón, các khái niệm 5 nghiệm tối ưu Pareto và nghiệm tối ưu Pareto yếu của của bài toán tối ưu đa mục tiêu Trong phần cuối của chương chúng tôi thu thập các kết quả bổ trợ liên quan đến nón pháp tuyến của tập lồi, dưới vi phân của hàm lồi, mối liên hệ giữa nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu và bài toán tối ưu vô hướng tương ứng Chương 2 Dưới vi phân của ánh xạ đa trị cận biên cho bài toán tối ưu đa mục tiêu, trong chương này đầu tiên chúng tôi nhắc lại định nghĩa dưới vi phân của ánh xạ đa trị và quy tắc tính dưới vi phân của tổng hai ánh xạ đa trị Nội dung chính của chương được trình bày trong mục 2.3 Cụ thể dựa vào quy tắc tính dưới vi phân của tổng hai ánh xạ đa trị ta thu được công thức đánh giá trên cho dưới vi phân của ánh xạ đa trị cận biên của bài toán tối ưu đa mục tiêu đang xét Ngoài điều kiện chính quy để đảm bảo cho quy tắc dưới vi phân của một tổng, ta cần thêm tính chất minicomplete của ánh xạ đa trị cận biên 6 Lời cảm ơn Đề án được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS Dương Thị Việt An, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên và TS Vũ Thị Hướng, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới hai Cô, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành đề án này Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các Thầy, Cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán ứng dụng, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành đề án Xin cảm ơn những người thân trong gia đình và tất cả những người bạn thân yêu đã hết sức thông cảm, chia sẻ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi để tôi có thể học tập, nghiên cứu và thực hiện đế án của mình Xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng 01 năm 2024 Người viết đề án Nguyễn Thị Thương 7 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Cho X, Y, U là các không gian Banach với không gian liên hợp tương ứng là X∗, Y ∗ và U ∗ Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức chuẩn bị liên quan đến ánh xạ đa trị lồi, ánh xạ đa trị lồi theo nón, phát biểu bài toán tối ưu đa mục tiêu, định nghĩa nghiệm Pareto, nghiệm Pareto yếu và một số kết quả bổ trợ nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết quả chính ở chương sau Nội dung của chương được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 3, 5, 6, 8] và [10] 1.1 Ánh xạ đa trị lồi Cho C là tập con của X, ta kí hiệu phần trong, bao đóng của C tương ứng là int C và C¯ Ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản sau: - C được gọi là một nón (cone), có đỉnh tại gốc, nếu λx ∈ C với mọi x ∈ C và λ ≥ 0 - C được gọi là một nón lồi (convex cone) nếu λ1x1 + λ2x2 ∈ C với mọi λ1, λ2 ≥ 0, x1, x2 ∈ C - Nón C được gọi là có đỉnh (pointed) nếu C ∩ (−C) = {0} Cho Y + ⊂ Y là một nón lồi Trong đề án này ta xét một quan hệ thứ 8 tự "≤Y +" tương ứng với nón lồi Y + như sau x ≥Y + y nếu và chỉ nếu x − y ∈ Y +, x >Y + y nếu x ≥Y + y và không có y ≥Y + x, Khi int Y + khác rỗng x ≫Y + y có nghĩa x >K y với K = {0} ∪ int Y + Ví dụ 1.1 Xét Y = Rn và Y + = Rn+ (nón orthant không âm) Với mọi véctơ x = (x1, x2, , xn) và y = (y1, y2, , yn) ta có • x ≥Y + y nếu và chỉ nếu xi ≥ yi, với mọi i = 1, 2, , n • x >Y + y nếu và chỉ nếu xi ≥ yi với i = 1, 2, , n và có ít nhất một bất đẳng thức là chặt • x ≫Y + y nếu và chỉ nếu xi > yi với i = 1, 2, , n Cho F là một ánh xạ đa trị từ không gian Banach X vào không gian Banach Y Đối với một nón đóng D của Y , ta kí hiệu nón cực âm (negative polar) của D là D◦, tức là D◦ := {y∗ ∈ Y ∗ : ⟨y∗, y⟩ ≤ 0, ∀y ∈ D} Miền hữu hiệu dom F , đồ thị gph F và trên đồ thị epi F của F lần lượt là các tập dom F := {x ∈ X : F (x)̸ = ∅}, gph F := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x), x ∈ dom F }, epi F := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x) + Y +, x ∈ dom F } Ánh xạ F được gọi là chính thường nếu dom F̸ = ∅ Định nghĩa 1.1 Cho F : X ⇒ Y là một ánh xạ đa trị và Y + là một nón trong Y 9