Dưới vi phân của ánh xạ đa trị cận biên cho bài toán tối ưu đa mục tiêu

Dưới vi phân của ánh xạ đa trị cận biên cho bài toán tốiưu đa mục tiêu.. 38 Trang 3 Danh mục ký hiệuR trường số thực∅ tập rỗng∀ x với mọi x∃ x tồn tại xM ∩ N giao của hai tập hợp M và N

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Mục lục

Mở đầu 4

Lời cảm ơn 7

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 8

1.1 Ánh xạ đa trị lồi 8

1.2 Bài toán tối ưu đa mục tiêu 11

1.3 Một số kết quả bổ trợ 17

Chương 2 Dưới vi phân của ánh xạ đa trị cận biên cho bài toán tối ưu đa mục tiêu 23

2.1 Dưới vi phân của ánh xạ đa trị 23

2.2 Quy tắc tính dưới vi phân của tổng hai ánh xạ đa trị 27

2.3 Công thức đánh giá trên cho dưới vi phân của ánh xạ đa trị cận biên 34

Kết luận 38

Tài liệu tham khảo 39

M ∩ N giao của hai tập hợp M và N

|x| giá trị tuyệt đối của x

∥x∥ chuẩn của véctơ x

⟨x, y⟩ tích vô hướng của hai véctơintA phần trong của tập A

∂f (x) dưới vi phân của hàm lồi f tại x

dS hàm khoảng cách

A∗ toán tử liên hợp của toán tử A

F : X ⇒Y ánh xạ đa trị

dom F miền xác định của ánh xạ đa trị F

gph F đồ thị của ánh xạ đa trị F

epi F trên đồ thị của ánh xạ đa trị F

D∗F (x, y) đối đạo hàm của ánh xạ đa trị F tại (x, y)

∂WF (¯x, ¯y) dưới vi phân yếu đối với y¯ của F tại x¯

Mở đầu

Các hàm giá trị cận biên/tối ưu (marginal/optimal value function) làmột trong những đối tượng nghiên cứu cơ bản nhất của giải tích biến phân.Các hàm này chưa bao giờ được nghiên cứu nghiêm túc trong khuôn khổcủa giải tích cổ điển do tính không trơn nội tại của chúng Sẽ không quálời khi nói rằng các hàm cận biên thể hiện bản chất của các kỹ thuật hiệnđại trong giải tích biến phân liên quan đến các quá trình nhiễu và xấp xỉvới việc chuyển tiếp đến giới hạn

Các nghiên cứu về tính chất khả vi của hàm giá trị cận biên trong tối

ưu có tham số được xếp vào chủ đề tính ổn định vi phân của các bài toántối ưu Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của rấtnhiều nhà toán học trong và ngoài nước từ thập niên 70 của thế kỷ trước.Dưới vi phân của hàm giá trị cận biên đánh giá sự thay đổi theo tham

số nhiễu của hàm giá trị cận biên Bên cạnh các vấn đề về phân tích độnhạy thì việc đánh giá dưới vi phân của các hàm giá trị cận biên đã đượccông nhận là một công cụ quan trọng để nghiên cứu độ nhớt và nghiệm cựctiểu của phương trình Hamilton-Jacobi, quy hoạch động xác định và ngẫunhiên, thiết kế điều khiển phản hồi, lý thuyết trò chơi, tối ưu ngẫu nhiên,điều khiển, lập trình hai cấp độ, mô hình tăng trưởng kinh tế, v.v.(xem [7,

tr 188])

Trong nhiều tình huống thực tế, chúng ta thường gặp các bài toán khôngchỉ liên quan đến một mục tiêu mà đòi hỏi phải tối ưu đồng thời nhiều

mục tiêu xung đột (conflict) với nhau Với các bài toán như vậy, chúng takhông thể mô hình hoá nó dưới dạng một bài toán tối ưu một mục tiêucũng như không thể tìm được phương án nào đáp ứng được tất cả các tiêuchí Vì vậy khái niệm tối ưu theo nghĩa thông thường không thể áp dụngcho các bài toán tối ưu có nhiều mục tiêu.

Khái niệm nghiệm hữu hiệu/tối ưu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu đượcđưa ra đầu tiên bởi một nhà kinh tế học người Ý, V Pareto (1848-1923),

từ năm 1906 Một phương án được gọi là một cải thiện/cải tiến Paretocủa một phương án cho trước nếu nó cải tiến được ít nhất một tiêu chuẩncủa phương án này nhưng không làm cho các tiêu chí khác trở nên xấu/tồi

tệ hơn Một phương án được gọi là hữu hiệu hay tối ưu Pareto nếu khôngcòn một cải thiện Pareto nào khác của nó

Trong đề án, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định vi phân của bài toántối ưu đa mục tiêu có tham số với ràng buộc là ánh xạ đa trị theo như cáckết quả trong bài báo [11] Lưu ý rằng giá trị tối ưu của bài toán tối ưu

đa mục tiêu có tham số là một ánh xạ đa trị Do đó các kĩ thuật và công

cụ để xử lí vấn đề ở đây phức tạp hơn nhiều so với bài toán tối ưu (mộtmục tiêu) có tham số

Mục đích của đề án này là trình bày các công thức ước lượng dưới viphân cho ánh xạ đa trị cận biên của bài toán tối ưu đa mục tiêu trên cơ

sở đọc hiểu các nội dung liên quan trong bài báo [11] Bên cạnh việc biêndịch, sắp xếp lại một cách có hệ thống các kết quả trong bài báo [11],chúng tôi cũng trình bày chi tiết và rõ ràng hơn các lập luận chứng minhcủa Định lý 2.2 và Định lý 2.4

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục ký hiệu và danh mục tài liệutham khảo Nội dung đề án được viết trong hai chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị nhắc lại một số khái niệm và tínhchất cơ bản về ánh xạ đa trị lồi, anh xạ đa trị lồi theo nón, các khái niệm

nghiệm tối ưu Pareto và nghiệm tối ưu Pareto yếu của của bài toán tối ưu

đa mục tiêu Trong phần cuối của chương chúng tôi thu thập các kết quả

bổ trợ liên quan đến nón pháp tuyến của tập lồi, dưới vi phân của hàmlồi, mối liên hệ giữa nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu và bài toántối ưu vô hướng tương ứng

Chương 2 Dưới vi phân của ánh xạ đa trị cận biên cho bàitoán tối ưu đa mục tiêu, trong chương này đầu tiên chúng tôi nhắc lạiđịnh nghĩa dưới vi phân của ánh xạ đa trị và quy tắc tính dưới vi phân củatổng hai ánh xạ đa trị Nội dung chính của chương được trình bày trongmục 2.3 Cụ thể dựa vào quy tắc tính dưới vi phân của tổng hai ánh xạ đatrị ta thu được công thức đánh giá trên cho dưới vi phân của ánh xạ đa trịcận biên của bài toán tối ưu đa mục tiêu đang xét Ngoài điều kiện chínhquy để đảm bảo cho quy tắc dưới vi phân của một tổng, ta cần thêm tínhchất minicomplete của ánh xạ đa trị cận biên

Lời cảm ơn

Đề án được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên dưới sự hướng dẫn của TS Dương Thị Việt An, Trường Đại họcKhoa học, Đại học Thái Nguyên và TS Vũ Thị Hướng, Viện Toán học,Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam Tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới hai Cô, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướngdẫn để tôi hoàn thành đề án này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các Thầy, Cô giáo dạy caohọc chuyên ngành Toán ứng dụng, trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành đề án.Xin cảm ơn những người thân trong gia đình và tất cả những người bạnthân yêu đã hết sức thông cảm, chia sẻ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi

để tôi có thể học tập, nghiên cứu và thực hiện đế án của mình

Xin chân thành cảm ơn

Thái Nguyên, tháng 01 năm 2024

Người viết đề án

Nguyễn Thị Thương

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Cho X, Y, U là các không gian Banach với không gian liên hợp tươngứng là X∗, Y∗ và U∗ Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thứcchuẩn bị liên quan đến ánh xạ đa trị lồi, ánh xạ đa trị lồi theo nón, phátbiểu bài toán tối ưu đa mục tiêu, định nghĩa nghiệm Pareto, nghiệm Paretoyếu và một số kết quả bổ trợ nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết quảchính ở chương sau Nội dung của chương được tham khảo trong các tàiliệu [1, 2, 3, 5, 6, 8] và [10]

- Nón C được gọi là có đỉnh (pointed) nếu C ∩ (−C) = {0}

Cho Y+ ⊂ Y là một nón lồi Trong đề án này ta xét một quan hệ thứ

tự "≤Y+" tương ứng với nón lồi Y+ như sau

x ≥Y+ y nếu và chỉ nếu x − y ∈ Y+,

x >Y+ y nếu x ≥Y+ y và không có y ≥Y+ x,Khi int Y+ khác rỗng

x ≫Y+ y có nghĩa x >K y với K = {0} ∪ int Y+

Ví dụ 1.1 Xét Y = Rn và Y+ = Rn+ (nón orthant không âm) Với mọivéctơ x = (x1, x2, , xn) và y = (y1, y2, , yn) ta có

• x ≥Y+ y nếu và chỉ nếu xi ≥ yi, với mọi i = 1, 2, , n

• x >Y+ y nếu và chỉ nếu xi ≥ yi với i = 1, 2, , n và có ít nhất một bấtđẳng thức là chặt

• x ≫Y+ y nếu và chỉ nếu xi > yi với i = 1, 2, , n

Cho F là một ánh xạ đa trị từ không gian Banach X vào không gianBanachY Đối với một nón đóngD củaY, ta kí hiệu nón cực âm (negativepolar) của D là D◦, tức là

D◦ := {y∗ ∈ Y∗ : ⟨y∗, y⟩ ≤ 0, ∀y ∈ D}

Miền hữu hiệu dom F, đồ thị gph F và trên đồ thị epi F củaF lần lượt

là các tập

dom F := {x ∈ X : F (x) ̸= ∅},

gph F := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x), x ∈ dom F },

epi F := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x) + Y+, x ∈ dom F }

Ánh xạ F được gọi là chính thường nếu dom F ̸= ∅

Định nghĩa 1.1 Cho F : X ⇒ Y là một ánh xạ đa trị và Y+ là một nóntrong Y

(i) F được gọi là lồi nếu đồ thị gph F là một tập lồi trong X × Y, tức

Ánh xạ profile của F là F + Y+ : X ⇒ Y được cho bởi (F + Y+)(x) =

F (x) + Y+ với mọi x ∈ X Khi đó, ta có gph (F + Y+) = epi F

Mệnh đề sau đây cho ta mối quan hệ giữa ánh xạ đa trị lồi và ánh xạ

đa trị lồi theo nón

Mệnh đề 1.1 Cho F : X ⇒ Y là một ánh xạ đa trị và Y+ là một nóntrong Y Nếu F là ánh xạ đa trị lồi thì F là ánh xạ Y+-lồi

Chứng minh Giả sử F là ánh xạ đa trị lồi Lấy bất kỳ x1, x2 ∈ X và

λ ∈ (0, 1) Vì F là ánh xạ đa trị lồi nên

Ví dụ 1.2 Cho X = R, Y = R2, Y+ = R2+ Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Yđược xác định bởi F (x) = (|x|, |x|) Khi đó F là ánh xạ Y+- lồi nhưng Fkhông lồi Thật vậy, với x1 = 1 ∈ R, x2 = −1 ∈ R và λ = 1

Trong khi đó,

F (λx1 + (1 − λ)x2) = (|λx1 + (1 − λ)x2|, |λx1 + (1 − λ)x2| = (0, 0).Vậy λF (x1) + (1 − λ)F (x2) ̸⊂ F (λx1 + (1 − λ)x2) Do đó F không lồi

Cho F1 : X ⇒ Y và F2 : X ⇒ Y là các ánh xạ đa trị Tổng của haiánh xạ đa trị F1 và F2 được định nghĩa như sau:

Cho F là một ánh xạ đa trị từ không gian Banach X vào không gianBanach Y, và Y+ ⊂ Y là một nón lồi, đóng, nhọn (Y+∩ −Y+ = {0}) vớiphần trong khác rỗng xác định một quan hệ thứ tự bộ phận trong Y.Cho V là một tập con khác rỗng của X, ta kí hiệu

(ii) y¯được gọi là một điểm cực tiểu Pareto yếu của A theo Y+ nếu

(A − ¯y) ∩ (− int Y+) = ∅

Kí hiệu WMinY+A là tập hợp tất cả các điểm cực tiểu Pareto yếu của A

Ta có định nghĩa cực tiểu Pareto và cực tiểu Pareto yếu (xem [6, nition 2.1]) tương ứng như sau

Defi-Định nghĩa 1.3 Cho A là một tập con khác rỗng của Y và y ∈ Y.¯(i) y ∈ Min¯ Y+A nếu và chỉ nếu không có phần tử y ∈ A nào mà

Bao hàm thức trên có thể chặt Ta xét một số ví dụ minh hoạ sau

Ví dụ 1.3 Xét A là tam giác được tạo bởi a = (0, 0)T, b = (1, 0)T và

c = (0, 1)T trong R2, Y+ = R2+ là nón orthant không âm trong R2 Khi

đó MinR2

+A = Min A = {a} và WMinR2

+A = WMin A = [a, b] ∪ [a, c]

Ví dụ 1.4 Trong không gian R2 với nón Y+ = R2+, cho

A = {(x, y) ∈ R2 : x2+y2 ≤ 1, y ≤ 0}∪{(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, 0 ≥ y ≥ −1}

Khi đó

MinR2A = MinA ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1, 0 > x, 0 > y}

∪ {(0, −1)} ∪ {(−1, 0)}

WMinR2A = WMinA ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1, 0 > x, 0 > y}

∪ {(0, −1)} ∪ {(−1, 0)} ∪ {(x, y) : y = −1, x > 0}

y

x 0

1

−1 MinA

y

x

W M inA

0 1

−1

Hình 1.3: Hình minh hoạ các tập nghiêm Pareto cho Ví dụ 1.4

Cho E là một tập con khác rỗng của X, xét bài toán

¯

y ∈ Min F (V ∩ E)(tương ứng, y ∈ WMin F (V ∩ E)).¯

(ii) Một điểm (¯x, ¯y) ∈ gph F với x ∈ E được gọi là một điểm cực tiểuPareto toàn cục (tương ứng, điểm cực tiểu Pareto toàn cục yếu) theo Y+

của bài toán (P) nếu

¯

y ∈ Min F (E)(tương ứng, y ∈ WMin F (E)).¯

Nhận xét 1.1 Từ định nghĩa trên, một điểm (¯x, ¯y) ∈ gph F với x ∈ Eđược gọi là một điểm cực tiểu Pareto địa phương (tương ứng, điểm cựctiểu Pareto địa phương yếu) theo Y+ của bài toán (P) nếu tồn tại một lâncận V của x¯ sao cho với mọi x ∈ V ∩ E ta có

Giả sử (¯x, ¯y) là cực tiểu Pareto yếu địa phương của (P) Khi đó tồn tạilân cận V của x¯ sao cho

F (x) ⊂ ¯y + Y \ (− int Y+) với mọi x ∈ V ∩ E (1.1)

Giả sử rằng (¯x, ¯y) không phải là cực tiểu Pareto yếu toàn cục của (P) Khi

đó tồn tại x0 ∈ E, y0 ∈ F (x0) sao cho

Bây giờ ta xét bài toán tối ưu đa mục tiêu có tham số,

Minimize G(u, x) với điều kiện x ∈ H(u), (Pu)

ở đó G : U × X → Y và H : U ⇒ X, x là biến, u là tham số của bài toán

Ta có thể định nghĩa một ánh xạ đa trị F : U ⇒ Y bởi

F (u) := G(u, H(u)) = {y ∈ Y : ∃x ∈ H(u), y = G(u, x)}

khi đó F được gọi là ánh xạ mục tiêu (objective map)

Ánh xạ đa trị cận biên (marginal multifunction) M : U ⇒ Y của bàitoán (Pu) được định nghĩa bởi

M (u) = MinY+ F (u) = MinY+ G(u, H(u)) với mọi u ∈ U

Ánh xạ M cũng được gọi là ánh xạ nhiễu (perturbation map) hay ánh xạđiểm hữu hiệu (frontier map) Theo [10, Proposition 3.1.2] ta có

M (u) = MinY +F (u) = MinY +(F (u) + Y+) = MinY +(F + Y+)(u).Trong tối ưu vô hướng thông thường, ở đó Y = R, K = R+ và f là ánh

xạ đơn trị, khi đó M là hàm đơn trị và được biết đến là hàm giá trị cậnbiên/hàm giá trị tối ưu

m(u) := min{f (u, x) : x ∈ C(u)}

Như đã giới thiệu ở phần mở đầu, các nghiên cứu về dưới vi phân của hàmgiá trị cận biên có nhiều ứng dụng và thu hút sự quan tâm nghiên cứu củanhiều nhà toán học từ thập niên 70 của thế kỷ trước.

Mục đích của đề án là nghiên cứu các công thức đánh giá trên cho dưới

vi phân yếu của ánh xạ đa trị cận biên M

x ∈ dom f Khi đó f đạt cực tiểu tại x¯ nếu và chỉ nếu 0 ∈ ∂f (¯x)

Mệnh đề 1.6 (xem [8, Theorem 3.48]) Cho f1 : X → R và f2 : X → R

Hàm chỉ của tập C ,C là tập lối, được định nghĩa bởi

N (D1∩ D2; ¯x) = ∂ψD1∩D 2(¯x) = ∂(ψD1+ ψD2)(¯x) = N (D1; ¯x) + N (D2; ¯x).Chú ý rằng ta luôn có

N (D1; ¯x) + N (D2; ¯x) ⊂ N (D1 ∩ D2; ¯x),với mọi x ∈ D¯ 1 ∩ D2 mà không cần điều kiện chính quy nào Điều kiệnchính quy int D1 ∩ D2 ̸= ∅ hay D1 ∩ int D2 ̸= ∅ để đảm bảo cho bao hàmthức ngược lại

Ta xét một ví dụ đơn giản sau để thấy vai trò của điều kiện chínhquy này

Ví dụ 1.5 Cho D1 và D2 là hai tập con trong R2 được xác định như sau:

D1 := {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x2},

D2 := {(x, y) ∈ R2 : y ≤ −x2}

Xét tại (¯x, ¯y) = (0, 0), ta có D1 ∩ D2 = {(0, 0)}, do đó ta có

Trong các phần tiếp theo, ta sử dụng một hàm đặc biệt được giới thiệutrong tối ưu bởi Hiriart-Urruty [5] Hàm này có các tính chất tốt cho phép

ta vô hướng hóa bài toán (P) Đối với tập con S của Y, hàm này được xácđịnh bởi công thức

∆S(y) := dS(y) − dY \S(y),với dS(·) là hàm khoảng cách thông thường

dS(y) = inf{∥ u − y ∥: u ∈ S}

Sau đây là một số tính chất của hàm ∆S trong tài liệu [3].

Mệnh đề 1.8 Cho S ⊂ Y là tập lồi với phần trong khác rỗng và S ̸= Y.Khi đó ∆S là hàm lồi, Lipschitz với hằng số 1 Hơn nữa, ∆S nhận giá trịdương trên Y \ S, nhận giá trị âm trên int S và bằng 0 trên S¯.

Ta có các kết quả sau đây suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 1.8

Mệnh đề 1.9 Giả sử S là nón lồi bất kì của Y với phần trong khác rỗng.Khi đó với mọi x nằm trên biên của S thì 0 /∈ ∂∆S(x), ở đó ∂∆S(·) làdưới vi phân theo nghĩa giải tích lồi của hàm ∆S

Bổ đề sau đây được chứng minh bởi Amahroq và Taa [2] sẽ được sửdụng trong chứng minh ở chương sau

Bổ đề 1.1 Giả sử (¯x, ¯y) ∈ gph F với x ∈ C¯ Nếu (¯x, ¯y) là một điểm cựctiểu Pareto địa phương yếu của (P) theo Y+ thì (¯x, ¯y) là điểm cực tiểu địaphương của bài toán không ràng buộc

Min [f (x, y) + d(C×Y )∩gph F((x, y))], (P1)

trong đó f (x, y) := ∆− int Y+(y − ¯y)

Chứng minh Giả sử (¯x, ¯y) là một điểm cực tiểu Pareto địa phương yếucủa (P) theo Y+ Khi đó tồn tại lân cận V của x¯ sao cho

Vì ∆− int Y+(0) = 0 nên (¯x, ¯y) là nghiệm cực tiểu của bài toán vô hướng

Min f (x, y) với điều kiện (x, y) ∈ gph F ∩ (C × Y )

Chú ý rằng hàm f (x, y) := ∆− int Y+(y − ¯y) là Lipschitz, nên theo Mệnh

đề 2.4.3 trong [4], ta có (¯x, ¯y) là nghiệm cực tiểu của bài toán (P1)

Mệnh đề 1.10 Cho S là tập con lồi khác rỗng của X Khi đó

vi phân của tổng hai ánh xạ đa trị Nội dung của chương được trình bày

và diễn giải chi tiết từ các nội dung tương ứng trong bài báo của Taa [11]

Đầu tiên chúng tôi nhắc lại khái niệm dưới vi phân yếu cho ánh xạ đatrị trong tài liệu [9]

Định nghĩa 2.1 Cho F là một ánh xạ đa trị từ C ⊂ X vào Y, x ∈ C¯ và

Tập hợp tất cả các dưới gradient yếu đối với y¯của F tại x¯ được gọi làdưới vi phân yếu đối với y¯của F tại x¯ và được kí hiệu là ∂WF (¯x, ¯y).

Nhận xét 2.1 (i) F được gọi là khả dưới vi phân yếu tại x¯ nếu với mọi

F (x) nếu và chỉ nếu 0 ∈ ∂WF (¯x, ¯y)

Nhận xét 2.2 Nếu F : X → R là một ánh xạ đơn trị lồi, khi đó từ địnhnghĩa dưới vi phân yếu ta có

F (x) − F (¯x) − T (x − ¯x) ̸< 0, ∀x ∈ X,hay

F (x) ≥ F (¯x) + T (x − ¯x), ∀x ∈ X

Khi đó, trong trường hợp đặc biệt này dưới gradient yếu là dưới gradientnhư đã biết trong giải tích lồi

Sau đây là một số ví dụ tính toán dưới vi phân yếu

Ví dụ 2.1 Lấy X = R, Y = R, Y+ = R+ Xét F : R →R được cho bởi