Bài giảng cơ học chất chương 3 pgs ts lê song giang

ĐỘNG HỌC LƯU CHẤT1.. Hai phương pháp mô tả chuyển động của lưu chất2.. Phân loại chuyển động4.. Gia tốc toàn phần của phần tử lưu chất5.. HAI PHƯƠNG PHÁP MÔ TẢ CHUYỂN ĐỘNG 2/21.2 Phương

Chương 3 ĐỘNG HỌC LƯU CHẤT

1 Hai phương pháp mô tả chuyển động của lưu chất

2 Các khái niệm

3 Phân loại chuyển động

4 Gia tốc toàn phần của phần tử lưu chất

5 Phương trình liên tục

6 Phân tích chuyển động của phần tử lưu chất

1 HAI PHƯƠNG PHÁP MÔ TẢ CHUYỂN ĐỘNG (1/2)

1.1 Phương pháp Lagrange

Chuyển động của thể tích lưu chất được mô tả bởi quỹ đạo

của các phần tử của thể tích:











































































dt

du a

dt

du a

dt

du a

dt

dz u

dt

dy u

dt

dx u

t , z , y , x z z

t , z , y , x y y

t , z , y , x x x

z z

y y

x x

z y x

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Ưu điểm: mô tả chuyển động một cách chi tiết

Khuyết điểm:

• số lượng phương trình phải giải quá lớn (3n);

• không thể mô tả cùng một lúc quỹ đạo của nhiều phần tử

Khả năng áp dụng: phòng thí nghiệm

Pgs.Ts

1 HAI PHƯƠNG PHÁP MƠ TẢ CHUYỂN ĐỘNG (2/2)

1.2 Phương pháp Euler

Chuyển động của thể tích lưu chất được quan niệm là trường

vận tốc và được mơ tả bởi hàm vector vận tốc liên tục theo

khơng gian và thời gian:

























đạo Quỹ

tốc Gia

t z y x u u

t z y x u u

t z y x u u

z z

y y

x x

, , ,

, , ,

, , ,

99 101 103 105 107 109 111 113 115 117 -3

-1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

25

Th¸ng 1

VËn tèc trªn bỊ mỈt

0.1m/s 0.5m/s

Scale

0.05m/s 0.01m/s

V

iệ t n am

Trung quốc

Ưu điểm: chỉ cĩ 3 phương trình

=> PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG: EULER

Khuyết điểm: khơng cho phép thấy rõ cấu trúc của chuyển động

Khả năng áp dụng: tính tốn

Pgs.Ts

2 CÁC KHÁI NIỆM (1/3)

2.1 Đường dòng

Đường dòng Là đường cong vạch ra trong lchất chuyển động sao cho

vector vận tốc của các phần tử lưu chất chuyển động trên đó tiếp tuyến

với nó

Có thể thay đổi theo thời gian

Phương trình:

z y

dz u

dy u

dx





u

u

2.2 Ống dòng, dòng chảy

Ống dòng là bề mặt dạng ống tạo bởi vô số các đường dòng cùng đi

qua một chu vi khép kín

Dòng chảy là khái niệm dùng để chỉ lưu chất chuyển động bên trong

ống dòng

Ví dụ: mặt trong của đường ống; bề mặt lòng sông cùng với mặt

thoáng… là các ống dòng

Pgs.Ts

2 CÁC KHÁI NIỆM (2/3)

2.3 Mặt cắt ướt, chu vi ướt, bán kính thủy lực

Mặt cắt ướt (A) là mcắt ngang dòng chảy sao cho trực giao với các

đường dòng và nằm bên trong ống dòng

Chu vi ướt (P) là phần chu vi của mcắt nơi dòng chảy tiếp xúc với

thành rắn (0)

P

Ví dụ:

2 0

.R

A

R0

0

2 R

P  

2

0

R

R 

h b

A

h b

P   2

b

h

P

A

R 

Pgs.Ts

2 CÁC KHÁI NIỆM (3/3)

2.4 Lưu lượng, vận tốc trung bình mcắt

Lưu lượng (Q) là thể tích lchất chuyển động ngang qua mcắt ướt

trong một đvị thời gian

Vận tốc trung bình mcắt (V):

A Q

V 

A





A

udA Q





































2

0

0 1

R

r u

u

Ví dụ: Tính Q và V trong ống, biết phân bố vận tốc

u0

r

O

Giải

u

dr r R

r u

udA Q

R

R

A

0

2 0 0 0

2 0 0

0

2 0 0

2

1

2

1

1 2

2 1

0 0



























0

2

1

u A

Q

Ghi chú: ta có thể tính đơn giản và nhanh hơn nếu sử dụng ý nghĩa hình học của các t.phân.

Pgs.Ts

3 PHÂN LOẠI CHUYỂN ĐỘNG (1/2)

Theo ảnh hưởng của độ nhớt:

• Chuyển động của lưu chất lý tưởng ( = 0)

• Chuyển động của lưu chất thực (  0)

Theo ảnh hưởng của khối lượng riêng:

• Chuyển động của lưu chất không nén được ( = const)

• Chuyển động của lưu chất nén được ( = var)

Theo không gian của chuyển động:

• Chuyển động 1 chiều (u  0; v = w = 0)

• Chuyển động 2 chiều (u  0; v  0; w= 0)

• Chuyển động 3 chiều (u  0; v  0; w  0)

Theo ảnh hưởng của lực q.tính:

• Chuyển động ổn định ( )

• Chuyển động không ổn định ( )

0





 t

0





 t

Q*

Pgs.Ts

3 PHÂN LOẠI CHUYỂN ĐỘNG (2/2)

Theo trạng thái chảy:

• Chuyển động tầng: là trạng thái chảy mà ở đó các phần tử lưu chất chuyển động trượt trên nhau

từng tầng, từng lớp, không xáo trộn lẫn nhau

• Chuyển động rối: là trạng thái chảy mà ở đó các phần tử lưu chất chuyển động hỗn loạn, các lớp lưu

xáo trộn vào nhau

Mực màu

Tia mực

Thí nghiệm Reynolds

Tầng

Chớm rối

Rối

Thay đổi trạng thái:

• V tăng: tầng → rối, xảy ra khi ReD > Regh’= 4.000-40.000

• V giảm: rối → tầng, xảy ra khi ReD < Regh’’= 2.300

ReD  VD 

Pgs.Ts

4 GIA TỐC TOÀN PHẦN CỦA PTỬ LƯU CHẤT (1/1)

Xét phần tử lưu chất chuyển động trên quỹ đạo của nó

(dùng pp mô tả Lagrange), gia tốc của ptử :

0

u

s

Quỹ

u

t0,x0,y0,z0 



































z z

z

y y

y

x x

x

t t

t

0 0 0

0

t

u u dt

u d a











0 0

lim









z z

u y

y

u x

x

u t

t

u u













































0

Chuyển qua dùng pp mô tả Euler Theo pp này, vận

tốc là hàm theo không gian và thời gian => vận tốc u

được tính theo u0 bằng chuỗi Taylor:



















































z z

u t

y y

u t

x x

u t

u a

t











0

lim

Thay vào biểu thức giới hạn:

z

u u y

u u x

u u t

u



































và thực hiện phép tính giới hạn:

Gia tốc cục bộ Gia tốc đối lưu

Pgs.Ts

5 PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC (1/3)

2.1 Phương trình liên tục

Định luật bảo toàn khối lượng: tốc độ gia tăng của khối lượng của một hệ vật chất bằng khối lượng chuy

động vào hệ trong 1 đơn vị thời gian



V

dV



V

S

u

u n

u n .dS

n 

Áp dụng cho lưu chất trong thể tích kiểm soát:

• Klượng lưu chất trong thể tích:



S

n dS u



• Klượng lchất cđộng ra khỏi thể tích:

0













S

n V

dS u

dV





t







Theo ĐL bảo toàn:

Đối với lưu chất không nén được, =const:































0

z

u y

u x

0



u

 u  0

div 

hay

Pgs.Ts

5 PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC (2/3)

2.2 Phương trình liên tục cho dòng chảy ổn định của lc không nén được

Xét thể tích kiểm soát là đoạn dòng chảy giữa hai mcắt 1-1 và 2-2

2

2 1

1

S n

A 1

u n =0

n 

u 

Diện tích tích kiểm soát:

S = A 1 + A 2 + S n

0





S

n dS u

Trong trường hợp lưu chất không nén được, chuyển

động ổn định ptrình liên tục dưới dạng tích phân

được rút gọn còn:

0

2 1







n

S

n A

n A

u

Tách thành tổng của 3 tích phân:

0

2

1  

Q Q  Q1  Q2  Q  const

Hai tích phân đầu cho lưu lượng ngang qua các mcắt 1-1 và 2-2, còn tích phân thứ 3 bằng không:

Trường hợp tổng quát:

0



Pgs.Ts

5 PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC (3/3)

Ví dụ: Nước chảy từ ống có đường kính D qua ống có đường kính d Biết D=10cm, d=8cm và V1=1,2m/s

V2?

Giải:

D

V1

d 1

1

2

2

4 4

2 2

2 1

d V

D



Pt liên tục:

Q1 = Q2 => V1A1 = V2A2

s

m d

D V

2 1















Ví dụ: Nước chảy trong ống có đường kính D1 tới ngã 3 thì tách vào 2 ống có đường kính D2 và D3

D1=10cm, D2=8cm, D3=6cm và V1=1,2m/s, V3=1,4m/s Hỏi V2?

Giải:

D1

V1

D2 1

1

2

2

D3

V3 4

4 4

2 3 3

2 2 2

2 1 1

D V

D V

D





Pt liên tục:

Q1 = Q2 + Q3 => V1A1 = V2A2 + V3A3

s

m D

D V D

D V

2

2

3 3 2

2

1 1



























Pgs.Ts

6 PHÂN TÍCH CHUYỂN ĐỘNG CỦA PHẦN TỬ LƯU CHẤT (1/5)

Xét ptử lưu chất Điểm M0 là tâm của ptử Giả sử vận tốc tại M0

đã biết, vậy vận tốc tại điểm M sẽ thế nào?

z

y

M 0

x

z

0

u 

u 

z z

u y

y

u x

x

u u

x























Sử dụng chuỗi Taylor, bỏ qua số hạng vô cùng nhỏ bậc cao,

thành phần vận tốc u x tại điểm M:



























x

u y

x

2 1

Cộng và trừ vào vế phải của biểu thức trên số hạng:

z x

u z

u y

x

u y

u z

x

u z

u y

x

u y

u x

x

u u

x















































































































2

1 2

1 2

1 2

1

0

Sắp xếp lại:

θy

θz

εx

Công thức tính thành phần vận tốc u x:

 y z  y z

x u

u x  0x x  z y  z y

y u

u y  0y y  x z  x z

z u

u z  0z z  y x  y x

















































i

j k

j

i i

j k

i

i i

x

u x

u x

u x

u

2

1

; 2

1



Với:

Pgs.Ts

6 PHÂN TÍCH CHUYỂN ĐỘNG CỦA PHẦN TỬ LƯU CHẤT (2/5)

Ý nghĩa các số hạng:

z

M 0

M

u x -u 0x

+  x :

Giả sử mặt trái và mặt phải của ptử chỉ chuyển động theo trục

x Mặt trái có vận tốc u0x của điểm M0 và mặt phải có vận tốc

uxcủa điểm M Do có sự khác biệt vận tốc, sau 1 đơn vị thời

gian, ptử dài ra một đoạn là: u x -u 0x

u x u0x x

Do đó tốc độ giãn dài tương đối của ptử là:

Khi x 0, ta có:

 i - tốc độ giãn dài tương đối của ptử theo trục x i

x x

x x

x

u x

u

u













Pgs.Ts

6 PHÂN TÍCH CHUYỂN ĐỘNG CỦA PHẦN TỬ LƯU CHẤT (3/5)

+  z và z :

y

u y

u











1



x

y

M 0

M

u x -u 0x

u x

u 0x

Giả sử mặt trên và mặt dưới của ptử chuyển chuyển động theo

trục x với vận tốc u0x và ux tương ứng của điểm M0 và M Do có

sự chênh lệch vận tốc, sau 1 đơn vị tgian, ptử sẽ bị đổ nghiêng

với góc:

x

y

M 0

M

u y

u y

u 0y x

u x

u











2



Tương tự, do có sự chênh lệch thành phần vận tốc trên phương

y giữa mặt trái và mặt phải mà ptử cũng sẽ bị đổ nghiêng với

góc:

Pgs.Ts

6 PHÂN TÍCH CHUYỂN ĐỘNG CỦA PHẦN TỬ LƯU CHẤT (4/5)

Nếu cả 2 chuyển động đồng thời xuất hiện, ptử sẽ bị thay đổi như hình:

y

M 0

x

y

1

M

2

(2 - 1 )/2

Định lý Hemholm: Cđộng của ptử lưu chất bao gồm 2 c.động: cđộng của vật rắn (theo tâm và quay quanh

à cđộng biến dạng (bdạng dài và bdạng góc)

y

u x

u





























2

1 2

1

1 2

Trong 1 đơn vị thời gian ptử quay đi một góc:

 z - tốc độ quay của ptử quanh trục z.

 u rot u

k j

i y z

x













2

1 2

1















Vector quay trường vận tốc:

Phân loại chuyển động: chuyển động có vector được gọi là chuyển động có thế.  0

y

u x

u





























2

1 2

1

1 2

 z - tốc độ bdạng góc của ptử quanh trục z.

Trong 1 đơn vị thời gian ptử bị biến dạng một góc:

Pgs.Ts

6 PHÂN TÍCH CHUYỂN ĐỘNG CỦA PHẦN TỬ LƯU CHẤT (5/5)

Ví dụ: Hãy phân tích tính chất của chuyển động 2 chiều của lưu chất với các thành phần v tốc như sau:

 





























xy xy

x

xy y

y y

x x

y

u x

u u

5

2 2





u x

2 3

2







u y

Giải

=> Đây là chuyển động của lưu chất không nén được

2

2 2

2 2

2















































y x

y y

y

x y

x

xy x

y

u x

z



=> Đây không phải là chuyển động có thế

Lưu ý: 1/ Để một vector bằng 0 thì cả ba thành phần của nó phải đồng thời bằng 0

2/ Trong t/hợp chuyển động 2 chiều, ta luôn có ωx=ωy=0

Pgs.Ts