Hình học affine và hình học euclid văn như cương, tạ mân

không gian vecta và Dại số tuyến tỉnh.. Dế giáo trình trà thành một cuốn sách dộc lập và có hê ''''hòng, một vài vấn đè tuy dã dược hoe ó ĩhàn Dại cương nhưng ''''-TỈ71 dược trinh bày lại.. Sa

TRƯỜNG ĐẠI S ư PHẠM - ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

VÃN NHƯ C Ư Ơ N G - T Ạ M Â N

HÌNH H Ọ C AFIN

VÀ HÌNH HỌC ƠCLÍT

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI"- 1998

Chịu trách nhiệm xuất bản:

G i á m dóc Nguyền Vãn Thoa Tổng biên tập Nghiêm Đình Vỹ

Người nhận xét:

GS Đ o à n Q u ý n h PTS P h ạ m K h á c Ban PTS N g u y ề n Anh Kiet

Biên lập và sửa bản in: H à C ư ơ n g

Trìu ti bày bìa: Đ i n h Quang H ù n g

H Ì N H H Ọ C A F I N V À H Ì N H H Ọ C Ơ C L Í T

Mã ri(i: 01.14-. ĐĨI9S - 221.98 '

in 11100 cuốn t ạ i Nhà in Dai học Quốc gia Hà Nôi

sỏ xuất bản 2 2 1; C x 8 Số trích ngangzo K H / X B

L Ò I N Ó I ĐAU

Giáo trình này dành cho sinh i-iẻn khoa Toán Trương Dai hoe

Sư phạm, sau giai đoạn hoe táo ỏ trường Dại hoe Dai cương

Dế tiếp thu dẻ dàng giáo trĩnh này, người dọc càn có những hiểu biết tuông dối VP không gian vecta và Dại số tuyến tỉnh

Dế giáo trình trà thành một cuốn sách dộc lập và có hê 'hòng, một vài vấn đè tuy dã dược hoe ó ĩ)hàn Dại cương nhưng '-TỈ71

dược trinh bày lại

Sau mỏi chương đều có DÌĩân bài 'ộp, nhưng không có ì ói giải /toạc đáp số Chúng tôi hi vong sau giảo trinh nàv ỉ ũ có

Các tác giả chăn thành cám mi GS Đoàn QuVilli, PTS Phàm Khác Ban PTS Nguyen Anh Ki ót dã dóc bàn thào và tóp những

V kiên xác á á / t ơ

Các tác ẹià

C H Ư Ơ N G I

KHÔNG GIAN A F I N

§ 1 ĐINH NGHÍA KHÔNG GIAN AFIN

Ì - Đ ị n h n g h ĩ a : Cho k h ô n g gian vectơ V t r ẽ n t r ư ờ n g

Không gian afin ( A , <p, V ) còn gọi là khàng gian afin A

liên kết với không gian véctơ V, còn gọi tát là k h ô n g gian

a f i n A trên trường K (hoặc K - không gian afin A ) K h ô n g gian véctơ liên k ế t V thường được kí hiệu là A

Không gian afin A gọi là n chiều (kí hiệu dimA = ri) : n ế u dimV = n

Khi trường K là trường số thực R , ta nói A là k h ô n g -gian afm thực, khi K = C, ta nói A là không gian a f i n

; phữc

2. C á c v ỉ d ụ

a) Không gian Euciid 2 chiểu E2 và ba chiều E3 đ ã học (ở trường phổ t h ô n g trung học là những không gian a f i n Hiên kết với không gian véctơ (tự do) hai chiều, ba chiểu ờ Ịphổ thông t r u n g học

5

AiAị, A A - I - AiAi + i > •••> AịKn c ủ n s đ ộ c l âP t u y ế n t ỉ n h

-P h á n chứng minh này dành- cho bạn đọc

Dinh lý Nếu A là không gian afin n chiêu thi trong A luôn có những hệ m điểm dộc lập uới 0 í m sỉ n + 1 Moi hệ điểm nhiều han n + Ì điềm đêu là không dộc lập

Chứng minh G i ả sử A là k h ô n g gian véctơ liên k ế t với

không gian afin A và {ẽ*\ là một cơ sờ nào đó của A v ì A

không rỗng nên ta có t h ế chọn m ộ t đ i ể m A0 n à o đó của A

sau đó chọn các đ i ế m Aị sao cho AjjAj = ej, i = Ì, 2, n

Rõ r à n g hệ n + Ì đ i ể m A„, A j , An là độc lập Ngoai ra nếu ta lấy m đ i ể m AD, A | , Am_ ! (0 sỉ m í n+1) của h ệ

Cho không gian afin n chiểu A liên kết với k h ô n g gian

véctơ A Gọi E = {ép e2: en} là một cơ sờ của A và o

là m ộ t đ i ế m t h u õ c A Khi đ ó t ậ p h ơ p { 0 ; ĩ } hay { 0 ; ẽT, ẽT e } g ọ i là m ộ t múc tiêu a fin c ủ a A 0 gọi là điếm gốc của m ụ c tiêu, ej gọi là vécta ca sò thứ I của m ú c tiêu

2 Đ ị n h nghĩa t ọ a đ ộ c ủ a đ i ế m

Trong không gian afin n chiếu A cho mục tiêu a f i n { O ẽ|*, ẽT, , ẽ ^ } Với mỗi điểm X C Ả t a Cũ véctơ o x e Ạ

7

B i ế u t h ứ c t r ê n g ọ i là công thức dồi múc tiêu

G ọ i c = (C|j) là ma trận chuyền từ cơ sỏ C sang cơ sở

§ 3 C Á C P H A N G T R O N G KHÔNG GIAN AFIN

1 Đ ị n h n g h ĩ a Cho k h ô n g gian a f i n A liên k ế t v ớ i

N ế u ã* có số c h i ê u b ằ n g m t h ì a g ọ i là phảng ni chiểu hay còn gọi là m - phàng)

2 - Đinh lý Nếu a là m-phảng của không gian afin Á

có phương ã* thi a là không gian afin ni chiêu liên kết vói không gian uẻct-a ã*

H ệ p h ư ơ n g t r ì n h t r ê n gọi là phương trinh tham số của

Dó là p h ư ơ n g t r ì n h của đường t h ả n g đi qua đ i ể m K b j ,

i n , bn) và có phương là k h ô n g gian véctơ m ộ t chiều sinh

b ờ i véctơ a = ('aJ, a-,, an)

Nếu các aj đêu khác không, ta khử t từ hệ (2) sẽ được

Trong k h ô n g gian a f i n n chiều An cho mục tiêu afin

{ 0 ; c } G i ả sử a là m - p h ả n g đi qua đ i ể m ì và có phương

là ã* Ta chọn trong ã* m véctơ độc ìập tuyến tính:

i - ? - m + 1 , ẽ^n-m+2 •••» ẽ^n v à b ổ 3 u ns v à o v é ^ ơ :

ẽ*,, e*n-m đ ế được m ộ t cơ sở £' = { ẽ ^ , ã*"-,, ẽ*"n} của

A Như vậy ta được mục tiêu a f i n {ì, £ ' }

Với mỗi đ i ể m X e An ta gọi ( xt, X - , , xn) là tọa độ cùa X đói với mục tiêu ( 0 ; £) và gọi ( x ' j , x '2, x 'n) là

X , mà hạng của ma t r ậ n các hệ số của các biến l à n - m

Ngược l ạ i hệ phương t r ì n h đó là hệ phương t r ì n h xác định một m-phẳng

Dặc biệt mỗi siêu phảng t r o n g An có p h ư ơ n g tinh dạng:

at X i + a - , X ọ + + an x n + b = 0

trong đó hạng của ma t r ậ n ( a | a T an) b à n g Ì, tức là có ít nhất một a| * 0

13

Theo t r ê n thì mối m - p h ẳ n g có p h ư ơ n g t r ì n h t ố n g q u á t

là một hệ gốm n - m phương t r ì n h tuyến tỉnh nên ta suy ra: Trong k h ô n g gian aíĩn An mọi m - p h ẳ n g đ ể u có t h ế xem như là giao của n - m siêu phang nào đó (ỏ đây "giao" h i ế u theo nghĩa của lý thuyết tập hợp)

§4 VI TRÍ TƯƠNG ĐỐI CÙA CÁC PHÀNG

Ì - Đ ị n h n g h í a Trong không gian a f i n An cho

p-phảng a và q-phảng /3 (với p í q) l ầ n lượt có p h ư ơ n g là

là ã* và Ị*

a) Các phảng a và p gọi là cát nhau nếu c h ú n g có !iểm chung

b) Cái phảng" a gọi là song song với (ỉ nếu ã* là k h ô n g

•Gcian con cùa /J*

Ù: Các phảng a và p gọi là chéo nhau nếu c h ú n g k h ô n g ca* nhau và không song song với nhau

di Giao a n / j hiểu theo nghĩa t h ô n g t h ư ứ n g của lý

thuyết tậD hóp và gói là giao của hai cái phảng a và p

e) Tổng a + P là giao của t ấ t cá các phảng chứa a và

•J, a + Ịi gọi là tổng của hai cái phảng a và ịi

2 Định lý: Gi ao'hai cái phảng a và ịi lioặc Là táp rỗng, roăc là mót cai phàng có phương là ã* n p*

Chứng minh Nếu a n /ỉ * 0 , t h i c h ú n g có ít n h ấ t

mót điếm chung ì Gọi ỏ là cái phảng qua đ i ế m ì và có phương ỳ* = ã* n b* Một đ i ể m M G a n ỊỈ khi và chi khi

M £ a và M £ p tức I M G ã* và I M e ,7* tức khi và chi khi IM £ ã* n M e ỗ Như vậy a n ịi là cái phảng ỗ

có phương là a* n Ẹ*

Hệ quà 1 Nếu phàng a song song vói phảng ộ thi hoặc chúng không có điếm chung hoặc a nám trong 3

T h ậ t vậy n ế u a song song với ệ> thì ã* c ịi Nếu c h ú n g

có đ i ể m chung thì theo định lý 2, giao a n 8 là cái phảng

có p h ư ơ n g là ã* n P* = ã* Suy ra a n /3 = a hav a c /3

Hê q u à 2 Qua m ộ i đ i ế m 7 đã cho có một m - phảng

duy nhát song song với ìn - phàng dã cho a

T h ậ t vậy gọi à là m - phang đi qua đ i ế m ì và có phương là phương ã*của a K h i đó à song song với a N ế u

có m ó t m - p h à n g a" cũng đi qua ì và song song với a thì rõ r à n g à và a" cũng song song với nhau và vì c h ú n g

có đ i ể m chung và á" = ã* nên chúng t r ù n g nhau

3 Đ ị n h lý: Hai phàng á uà Ịỉ cát nhau khi uà chi khi

với mọi điểm ỉ £ a, mọi điềm J G ổ ta có I J s a*+ ịỉ

Chứng minh N ế u a và Ịì cát nhau và M là một đ i ế m

chung của c h ú n g t h ỉ I M G õf M J 6 /?f do đó

LĨ = I M + MJ E 5*+ jST Ngược l ạ i nếu I J £ ã * + /ĩ* thì IJ = u - Ì - V trong đó

Ĩ T G ã ! V s P* Trong a ta lấv điếm M sao cho D Ĩ = ũT trong Ịỉ ta lấy đ i ể m N sao cho J N = - V Khi đó IJ = I M -

•ÌN tức u + J N = I M h a v I N = I M Từ đ ó S U Y ra hai đ i ể m

M và N t r ù n g nhau và là điểm chung của (í và ịi

4 Đ ị n h lý v ế s ố c h i ể u c ủ a giao v à t ổ n g c ủ a hai cái p h ă n g

Đ ị n h lý: Trong không gian afin A" cho hai cái phàng

a uà Ị3 có phương Lần Lượt là ã * Lí à p*

dim(a + fỉ) = dime + dim/3 - dim(a n (ỉ)

N ế u a và ậ không cất nhau thỉ

dim ia + /3) = dime + dim/3 - dim(õ* n pT + 1

15

Chứng minh N ế u a và ị5 cát nhau thi giao a n /3 ià

cái phảng có p h ư ơ n g là ã* n /5* Ta lấv I s a n và gọi •/

là cái p h à n g qua ì và có p h ư ơ n g là ỹ* = ã* + Ẹ* Rõ r ằ n g ;/ chứa a và li Ngoài ra nếu có một phảng y' chứa a và

thì nó phải chứa đ i ể m ì và p h ù o n g của n ó phải chứa ã* và

5f lức chứa ã*+ p* Nói cách khác ỵ' phải chứa •/ Từ đó 3 U V

ra ••' = Li + 3 Vẫy

dimia + Ịỉ) = d i m ( õ * + py = d i m õ * + d i m / ĩ * - dim(ă* n Ịĩĩ

= dima + dim/3 - dim(a n Ịi)

Bâv giờ nếu a và (ỉ không cắt n h a u Theo định lý 3 có

đ i ế m I s a có điể*n J s ịi sao cho I J Ể õ * + p r Gói 7* là

không gian véctơ một chiểu sinh ra bời véctơ IJ Ta lấy

mót điểm E nào đó cùa phang ư và gọi / là cái phảng qua

đ i ế m s có p h ư ơ n g là ỹ * = (ã* + pj Q õ* Phảng V dĩ nhiên

chứa a chứa Ịi và chứa đường t h ẳ n g qua ĩ và J Giả

phương j ủ a nó phải chứa õT /ĩ* v à 0 * Từ đ ó suV ra •/ chứa V

v à do đó V = a + 8 Vâv:

di 111 (à- - y"> = dim((õ*-r- P? © o i = dinnõ*-?- p ĩ -í- đimS*

= dim ã*+ dim dim {ã* n oT -1- Ì

= di ma dim/i? - dim(ã* n /J7 + 1

Đinh lý dã được chứng minh

5 Đ ị n h lý: Một siêu phảng a uà ni - phàng ộ -rong

không gian a fin An thi hoặc (ỉ song song vói a ìioãc cát J theo mót ''m-li phằhg: 'Ì tỉm tin-ỉ)

Chứng minh Nếu a và (ỉ cát nhau t h i có thể xàv ra

hai trường hóp

1 ộ c a khi đó Ịì và a song song với nhau

2 Nếu fì <t a thì a + /ỉ = An và á p dung công thức cùa định lý 4, ta có:

n = m + n - l - dim ta n /3)

16

.rọi là :.rung đ i ể m của cỉp đ i ể m ' P j , p ọ

3 - Đ ị n h l ý Tập hop tất cả các tâm ti cu cùa ho

liềm p,, Pj, P ) , Pị f vói các ho hẻ số khác nham là cái

•Jtiang )é nhát chứa các diêm áy

Chúng minh Gói a là cái p h a n g bé n h á t chứa c á c đ i ể m

rủa / l ọ điềm dó (gàn ươi các họ hê sổ khác nhau)

4 - Đ ị n h lý Cho m-phằng a di qua ni + Ì điềm dóc lập P0, Pị, Pin và một diêm 0 tùy ý Diêu kiên càn và

19

2 - T ậ p l ố i :

M ộ t t á p X trong k h ô n g gian a i m thực gọi là tập lòi

nếu với mọi hai đ i ể m p , Q thuộc X thì đoạn t h ả n g PQ

n á m h o à n t o à n trong X

Ví du a) M ỗ i m - p h ẳ n g a trong không gian aíìn thực A

là t ậ p l ố i vi nếu p, Q là hai đ i ể m phân biệt thuộc a thì

t ấ t cả đường t h ẳ n g PQ, do đó đoạn thảng PQ nằm trong a

b) Gọi a là một siêu phảng trong A Ta chia tập A\ a

t h à n h hai tập, m ỗ i tập gọi là m ộ t nữa không gian mà b à n g

Trước hết ta chứng minh X là tập l ố i Chọn trong

không gian a f i n một mục tiêu K h i đó siêu phảng a có

X j- A x ° n X i - A x f ' = T ^ T v à f , a ' " w - + b = 0 h a y

Vậy điểm M cũng thuộc tập đó, nên tập nàv là tập l ố i

Tập X u a, Y u a gọi là các nửa không gian đóng của

kkhông gian afin A Dễ thấy c h ú n g là những tập l ố i

3 - Đơn h ì n h

Cho m + Ì điểm độc lập PQ, Pj, Pm Ta biết r ằ n g

m i - p h ả n g a đi qua m + Ì đ i ể m đó gốm những đ i ế m M sao

G i ả sử M e S(PU, PL, pk + 1) t ứ c là

26

C H Ư Ơ N G l i

ÁNH XẠ A F I N VÀ BIÊN Đ ổ i A F I N

§ 7 ÁNH XẠ AF1N

Ì - Đ ị n h n g h í a Cho hai không gian a f i n t r ê n trường

K là A và A ' liên kết với không gian véctơ A và A '

Ánh xa f: A —» A ' được gọi là ảnh xạ afin n ế u có ánh

xạ tuyến tính f: A - * A' , sao cho vfii m ọ i cặp đ i ể m M , N £

A và ảnh M = f(M), N = f(N) ta có wĩỉ'' = F t M N )

Ánh xạ tuyến tính f: A —» A ' được gọi là ánh xạ tuyển

tinh Liên kết với f

2 VÍ d ụ : a) f: A - * A' biến m ọ i đ i ế m M G A t h à n h

m ó t điếm ì cố định thuộc A ' là á n h xa afin với á n h xạ

t u y ế n tính liên kết của nó là á n h xạ Ti* A —- A ' m à f(v'=Õ*

với mọi véctơ V G A

Ánh xạ f như vậy gọi là ánh xạ hằng

b) Ánh xa I dA: A —» A là á n h xạ afin liên k ế t với ánh

b) ứng vói mỗi ánh xạ tuyến tính - JT A —* Á" và vói

mòi cặp điềm ỉ GA, ì' £ A' có duy nhất một ánh xạ a f i n

f: A — » A' có ánh xạ tuyến tinh Liên kết là ỉ uà f ( l ) =

e) Nếu f: A — » A', g: A' —* A" là những ảnh xạ a f i n liên

kết vói Ị và g thì gof củng Là ảnh xạ a f i n và ánh xạ tuyến

tinh Liên kết của nó là go/T tức là = gaf*

M' n trong không gian A' Khi dó có mót và chi một ánh

xạ afin duy nhát f: A —* 4' sao cho f(Mịj = M',, 1=0,Ì, ,n

l i ê n k ế t l à f R õ r à n g f ( M j ) = M ' | v à á n h x ạ f l à d u y n h ấ t

4 Ánh v à tạo ả n h c ủ a p h ả n g qua á n h x ạ a f i n

Cho á n h xạ a f i n f: A -» A' liên kết với á n h xạ tuyến tính í * A — A'

a) Nếu a là cái phàng trong A có phương ã* thi f(a) là

cái phảng trong A' với phương là IfaX

Chứng minh Lấy một đ i ể m ì £ A, đặt r = f(I) và gọi

à là cái phảng qua r có phương a^*= f(a) K h i đó

M' 6 Keo «=* 3M G a, f(M) = M' » l i e ? f(M)=M'

» I ' M * = H I N ) e flflft

Vậy f(a) = a', nghĩa là ĩ(a) là cái phảng với phương

6J Nếu a ' /à cái phảng trong A' với phương = à và

nếu f~'(a') Tí 0 thi f^Ha') là cái phàng có phương (ĩ)~!Caj Chứng minh Vì f ~l( a ' ) ^ 0 nên có I E A sao cho f ( I )

= r G à Gọi a là cái phảng qua đ i ể m ì và có phương là

Tỉ số dơn của ba điểm phân biệt thảng h à n g p, Q, R

là sổ À £ trường K sao cho RP = ÀRQ, và kí hiệu là [P,

Q, R]

Dinh Lý cơ bản cùa ánh xạ afin

Dơn ảnh Ị: A —* Ả' của hai không gian afin A uà A' là mót ánh xạ afin khi và chi khi f bào tòn tính chát ' thằng hàng của các điểm uà bảo tòn ù số don của các hệ ba điếm thảng hàng (nghĩa là nếu P' = f(P), Q' = f(Q), R' = f(R)

29

và p, Q, R t h ẳ n g h à n g t h ì p \ Q', R' t h ẳ n g h à n g v à [P, Q, R] = [ P ' , Q', R ' ] )

= xT Ỉ N = Ax* t h ỉ M , I , N t h ằ n g h à n g v à [ N; M , I ] = Ả Suy ra N M ' , r t h ả n g h à n g v à [ N \ M ' ì ' ] = Ả hay l à

Đ ị n h Ú: Cho 4 uà A' là các không gian afin thục n

chiều <n > ì) uà song ảnh f: A —* A' Nếu f biến ba điềm thầnq !:àns bát kì thành ba diêm thảng hàng thi f là phép afin

bi f biến dường tháng thành dường thẳng

T h ậ t v ậ y , cho đ ư ờ n g t h ả n g d t r o n g A đi qua h a i đ i ế m

A B và gọi d ' là đ ư ờ n g t h ả n g t r o n g A ' đi q u a á n h A ' , B '

của A B N ế u M t h u ộ c d t h ì ả n h M ' của n ó t h u ộ c d ' v à

31

nếu M ' thuộc d' thì theo t í n h chất a) tạo ả n h M của no' thuộc d, tức là f(d) = d'

c) Ị biến hai dường thảng song song thành hai đường thằng song song

T í n h chất này h i ể n nhiên do f là song á n h Từ đ ó suy ra:

d) Ị biến 4 dính của một kinh bính hành thành 4 dinh của hình binh, hành

e) Nếu fbien 4 điềm A, B, c, p thành 4 điếm A', B',

c, D' mà AB = CD thì ÃĨ3' = CD'

f ) Nếu dã cho f thì có song ánh f: A —» A' sao cho vói moi cặp diêm M, N của A và ảnh cùa chúng M', N' ta có

f{MN) = M'.vv Anh xạ f dó là cộng tỉnh, tức là

T h á t vậy, với m ọ i véc tơ ũ* G A, ta lấy hai đ i ế m M , N

e A sao cho M N = ũ* N ế u M ' , N ' là ảnh của M , N t h ì ta

đ ặ t f(u) = M ' N ' Theo tính chất e) cách xác định f(u.) như

t h ế không phụ thuộc vào việc chọn cặp điểm M , N Dễ rháv f là song á n h

gỉ Anh xa Ị nói trên có tinh chát: có phép tư dằng cấu

õ: R —* R sao cho vói mọi uécta u ta có f(ui — aíkì.u

k ' f f u j Ta hãy chứng tỏ r à n g k' không phu thuộc vào vectơ

3 2

ũ * T h ậ t vậy, hay thay u b ằ n g V rói bằng u + V v à g i ả sử

f f k ụ ĩ = k"ĩ&ĩ và WL(U + = k " ' ĩ t u * + vT Vi f cộng t í n h

n ê n :

= k ' " f f i T + ^7T = k " ' ĩ T ĩ n + k " * ? ^ ! Nếu ũ * và V * k h ô n g cộng tuyến thì f(u) và f(v) cũng không cộng t u y ế n , nên từ đ ẳ n g thức trên ta 3 U V ra k' =

k " = k ' " , tức là số k' k h ô n g thay đ ổ i khi ta thay u bời V Còn nếu u và V cộng tuyến thì ta lấy thêm một vectơ w sao cho u và w không cộng tuyến (do đó w và V c ù n g không cộng tuyến) thì số k' k h ô n g thay đ ố i khi ta thay u bởi w và thay w bởi V T ó m l ạ i số k ' không phụ thuộc vectơ u Bởi vậy nếu đ ặ t ơ(k) = k', thi ta có á n h xạ

õ: R —»• R' Sau đây ta chứng minh rằng 5 là tớ đ ẳ n g cấu

Vậy: ữ(k + í) = ổik) + ơ(l)

L ạ i có: ff(kl)ffuT = Kk(iu)) = ỡ(k)ĩẫ^ = ơ(k).ơ(\)ĩ(u)

p h é p c h i ế u song song l ê n đườ,ng -thảng d ' theo p h ư ơ n g ]ĩ*

b.) H a i k h ô n g gian a f i n đ ả n g c ấ u v ớ i nhau khi v à chì

k h i hai k h ô n g gian v é c t ơ l i ê n k ế t của c h ú n g đ ằ n g c ấ u v ớ i

e) Quan hệ đẳng cấu giữa cái k h ô n g gian a f i n t r ê n

không gian a f i n A lên chính nó được gọi là m ộ t biến dổi

afin hav cho gọn là phép afin

Sau đây ta đưa ra các ví dụ vẽ biến đổi a f i n :

a) Phép tinh tiến: Cho k h ô n g gian a f i n A liên kết với

không gian véctơ A Cho V cố định trong; A và xét á n h xể f: A -» A sao eho nếu M ' = f(M) thỉ M M ' = V * P h é p f như

t h ế gọi là phép tịnh tiến theo véctơ V và kí (liêu là tr?

P h é p cịnh t i ế n tụ* là một biến đ ổ i a f i n vói á n h x ể tuyến tinh liên kết là Iđ^

T h á t Vày với mọi M, N G A , tỆ> (MN) = Id^CMN) = M N

á n h xể f: A —» A biến mỗi đ i ế m M t h à n h đ i ể m M ' sao cho

O M ' = kOM P h é p f như t h ế gọi là phép Ui tự tăm o ti số

h

P h é p vị tự t â m 0 t i số k f: A —» A là một b i ế n đ ổ i

a i m với á n h x ạ tuyến tính liên k ế t là f = klđ^

T h ậ t vậy với mọi đ i ế m M , N E A,

= k l đ ^ (OM) = kOM, tức f là phép vị tự t â m 0 t i so k

4 Đ ị n h lý Cho hai hệ điềm dộc lập của An: Af„ Aj, An uà A'u, Ả'Ị, A'.J thi có mót phép biến dổi afin

duy nhát Ị: A" —> Ả" mà fAị) = A) uới í = 0,l, ,n Nói

cách k h á c : phép afin hoàn toàn được xác định khi biết ảnh của n + ì đ i ể m độc láp trong An

Đinh lý này là hệ qua trực tiếp của lính chất d) của

á n h xa a f i n và múc 2a) của §8 ,

5 Đ ị n h lý Tập hợp các biến dổi afin cùa không gian

afin A Dơi phép toán lấy tích các ánh xạ làm thành mót

nhóm, gói là nhóm afin của không gian afin A và ki hiệu

ỉa Af(A)

6 B i ể u t h ứ c t ọ a đ ộ c ủ a á n h x ạ a f i n f: À" —* A "

Cho á n h xạ afin f: An —* An của không gian a f i n An

vào chính n ó Ta hãy chọn một mục tiêu afin {O; ÍT}, C =

{e]t e->, en) Với moi đ i ể m X gọi ( x j , X T , xn) là tọa độ của X, ( x ' | , x '2, x 'n) là tọa độ của điếm X' = f ( x ) ; (b),

37

b-,, bn) là tọa độ của đ i ế m 0 ' = f ( 0 ) Gọi ( a j j , a2j ,

a ) là tọa độ của véctơ f(ep đ ố i với cơ sở £ Ta có:

Công thức (1) nói t r ẽ n gọi là'biếu thức tọa dô của ánh

xa aịin Ị trong mục tiêu { 0 ; £ }

Rõ ràng PỊ + Ap2 (A 0 là biến đổi tuyến tính của A N

nên f là biến đổi afin

Nếu ta chọn mục tiêu afin { 0 ; ej, e2, en| c ủ a An sao

cho 0 nám trên a, các véctơ ej, e2, e các véctơ

~ m + l ' = m + 2, E p*thì vì f(0) = 0 và

Ke-) = (Pj + Ap2)(ẽj) =

ẽị với i = 1,2, m

Ẳei với i = m+1, n nên phép thấu xạ afĩn f có biểu thức tọa đô sau đây:

a - Dinh nghía Trong không gian aim An cho siêu

phảng a và không gian vectơ một chiêu p t.huộc không gian chi phương ã* của siêu phang a

Biến đổi afin f của An g i ữ b ấ t đông mọi điếm của a và

nếu mọi điểm M £ An thỉ Mf(M) G ậ gọi là tháu xạ trượt

afin co sỏ a, vói phương ộ

b - Dinh lí Trong không gian afin An cho siêu phàng

a và hai điềm N, N' không phụ thuộc a nhưng jViV e CL