Đại học vinh nhóm và nửa nhóm

Học xong chương này, sinh viên có thể:• Trình bày được định nghĩa, ví dụ và các tính chất cơ bản củanửa nhóm, nhóm, nhóm con, nhóm con chuẩn tắc và nhómthương;• Chứng minh được Định lý L

lOMoARcPSD|17683069 Chương Giáo trình - Khoa học Xã Hội (Đại học Vinh) Studocu is not sponsored or endorsed by any college or university Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 CHƯƠNG NỬA NHÓM VÀ NHÓM Mục tiêu chương Chương nhằm trang bị kiến thức sở nửa nhóm nhóm Học xong chương này, sinh viên có thể: • Trình bày định nghĩa, ví dụ tính chất nửa nhóm, nhóm, nhóm con, nhóm chuẩn tắc nhóm thương; • Chứng minh Định lý Lagrange hệ nó; • Trình bày định nghĩa, ví dụ đồng cấu nhóm, tính chất đồng cấu nhóm, Định lý đồng cấu nhóm định lý đẳng cấu nhóm; Áp dụng để mơ tả nhóm xyclic, nhóm thương; • Trình bày định nghĩa nhóm đối xứng, nhóm phép bậc n, tích trực tiếp tổng trực tiếp nhóm; • Trình bày khái niệm nhóm đối xứng hố vị nhóm giao hốn; Áp dụng để xây dựng nhóm cộng số nguyên Z nhóm nhân số hữu tỷ đương Q+ ; • Nhìn nhận theo quan điểm nửa nhóm nhóm tập hợp số đề cập đến chương trình tốn phổ thơng với phép tốn thơng thường 39 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 2.1 Nửa nhóm 2.1.1 Khái niệm nửa nhóm 2.1.1.1 Định nghĩa (1) Một tập hợp khác rỗng trang bị phép tốn có tính chất kết hợp gọi nửa nhóm (2) Một nửa nhóm mà phép tốn có tính chất giao hốn gọi nửa nhóm giao hốn (3) Một nửa nhóm mà phép tốn có đơn vị gọi vị nhóm 2.1.1.2 Ví dụ (1) Các tập hợp số N, Z, Q, R, C với phép nhân số thơng thường ví dụ nửa nhóm giao hốn, vị nhóm với đơn vị Tương tự vậy, tập hợp số N, Z, Q, R, C với phép cộng số thơng thường vị nhóm giao hốn với đơn vị (2) Giả sử n số nguyên dương cho trước Tập hợp tất ma trận vuông cấp n phần tử thực với phép nhân ma trận  lập vị nhóm khơng giao hốn có đơn vị ma trận In =  thành   (3) Tập hợp số tự nhiên khác không N∗ với phép cộng nửa nhóm giao hốn khơng phải vị nhóm (4) Tập hợp N∗ với phép mũ hóa khơng phải nửa nhóm phép tốn khơng có tính chất kết hợp (5) Cho X tập hợp Khi P(X) với phép giao tập hợp vị nhóm giao hốn với đơn vị X P(X) với phép hợp tập hợp vị nhóm giao hốn với đơn vị tập hợp rỗng ∅ 40 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 (6) Cho X tập hợp Khi tập hợp m(X) ánh xạ từ X đến X với phép hợp thành ánh xạ vị nhóm khơng giao hốn với đơn vị ánh xạ đồng 1X 2.1.2 Nửa nhóm 2.1.2.1 Định nghĩa Giả sử X nửa nhóm A tập ổn định phép tốn nửa nhóm X Khi A với phép tốn cảm sinh nửa nhóm gọi nửa nhóm nửa nhóm X 2.1.2.2 Ví dụ Ta có dãy nửa nhóm lồng (N, +) ⊆ (Z, +) ⊆ (Q, +) ⊆ (R, +) ⊆ (C, +) Cũng kết luận ta thay phép cộng (+) phép nhân (.) Ký hiệu 2N + tập tất số tự nhiên lẻ 2N + khơng phải nửa nhóm nửa nhóm cộng (N, +) Tuy nhiên 2N + nửa nhóm nửa nhóm nhân (N, ) 2.1.3 Một số tính chất nửa nhóm Từ sau, để thuận tiện, trừ trường hợp cụ thể nói riêng, nghiên cứu tính chất chung nửa nhóm ta ln ký hiệu phép tốn theo lối nhân Trong nửa nhóm X, phép tốn có tính chất kết hợp nên người ta ký hiệu giá trị chung hai vế đẳng thức (xy)z = x(yz) xyz Cũng vậy, ta đặt xyzt := (xyz)t Một cách tổng quát tích n phần tử xác định sau: x1 xn−1 xn := (x1 xn−1 )xn 41 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 Định lý sau cho thấy, ta bỏ dấu ngoặc vào biểu thức x1 xn cách tùy ý với ý khơng đảo vị trí phần tử 2.1.3.1 Định lý (Định lý kết hợp) Giả sử x1 , , xn (n ≥ 3) n phần tử (phân biệt khơng) nửa nhóm X Khi x1 xn = (x1 xi )(xi+1 xj ) (xm+1 xn ), với < i < j < m < n Chứng minh Ta chứng minh định lý qui nạp theo n Với n = định lý đúng, phép tốn nửa nhóm X có tính chất kết hợp Giả sử định lý với k phần tử, ≤ k ≤ n − 1, ta chứng minh định lý với n phần tử Ta có (x1 xi )(xi+1 xj ) (xm+1 xn ) = [(x1 xi )(xi+1 xj ) (xe+1 xm )](xm+1 xn ) = (x1 xm )(xm+1 xn ) = (x1 xm )[(xm+1 xn−1 )xn ] = [(x1 xm )(xm+1 xn−1 )]xn = (x1 xn−1 )xn = x1 xn Định lý chứng minh Trong nửa nhóm giao hốn X , tích hai ba phần tử không phụ thuộc vào thứ tự nhân tử Cụ thể, xy = yx xyz = xzy = zxy = zyx = yxz = yzx, ∀x, y, z ∈ X Tổng quát hơn, định lý sau nhóm giao hốn ta viết thứ tự nhân tử xi biểu thức x1 xn cách tùy ý 42 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 2.1.3.2 Định lý Trong nửa nhóm giao hốn X , tích x1 xn khơng phụ thuộc thứ tự nhân tử Chứng minh Ta chứng minh định lý qui nạp theo n Với n = 2, định lý X nửa nhóm giao hốn Giả sử định lý với k với ≤ k ≤ n − 1, ta chứng minh định lý với n, tức ta cần chứng minh x1 xn = xi1 xin , với hoán vị (i1 , , in ) (1, , n) Giả sử (i1 , , in ) hoán vị tùy ý (1, , n) xik = xn Ta có xi1 xik−1 xik xik+1 xin = (xi1 xik−1 xik )(xik+1 xin ) = ((xi1 xik−1 )xik )(xik+1 xin ) = (xi1 xik−1 )(xik (xik+1 xin )) = (xi1 xik−1 )((xik+1 xin )xik ) = ((xi1 xik−1 )(xik+1 xin ))xn ) = (xi1 xik−1 xik+1 xin )xn = (x1 xn−1 )xn = x1 xn Vậy định lý chứng minh 2.2 2.2.1 Khái niệm nhóm Định nghĩa ví dụ 2.2.1.1 Định nghĩa Nhóm tập hợp G 6= ∅ trang bị phép toán ∗ thỏa mãn điều kiện sau: (1) Phép tốn ∗ có tính chất kết hợp: (a∗b)∗c = a∗(b∗c), ∀a, b, c ∈ G; 43 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 (2) Phép tốn ∗ có đơn vị: ∃e ∈ G cho a ∗ e = a = e ∗ a, ∀a ∈ G; (3) Mọi phần tử G có nghịch đảo G: với a ∈ G, ∃a′ ∈ G cho a ∗ a′ = e = a′ ∗ a Như vậy, nhóm vị nhóm mà phần tử có nghịch đảo Theo Chú ý 1.3.3.3 Chú ý 1.3.3.5, nhóm G có phần tử đơn vị phần tử G có phần tử nghịch đảo Nếu phép tốn nhóm G có tính chất giao hốn G gọi nhóm giao hốn hay nhóm Abel Khi đó, ∀a, b ∈ G người ta thường ký hiệu a/b := ab−1 gọi thương a b (nếu phép toán G phép cộng ký hiệu a − b := a + (−b) gọi hiệu a b) Nhóm G gọi nhóm hữu hạn tập hợp G hữu hạn Khi đó, số phần tử G gọi cấp nhóm G, ký hiệu |G| Nếu G tập hợp vơ hạn ta nói nhóm G nhóm vơ hạn 2.2.1.2 Ví dụ (1) (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) nhóm Abel vơ hạn với đơn vị Chú ý Z, Q, R, C không nhóm phép nhân số khơng có nghịch đảo Tuy nhiên, Q∗ , R∗ , C∗ lại nhóm phép nhân Đây nhóm Abel vơ hạn với đơn vị (2) Cho n > số nguyên dương Ký hiệu GL(n, R) tập tất ma trận vuông cấp n không suy biến với phần tử thực Khi đó, GL(n, R) với phép nhân ma trận lập thành nhóm khơng   giao hốn có đơn vị ma trận đơn vị In =   Với A ∈ GL(n, R), phần tử nghịch đảo ma trận nghịch đảo A−1 44 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 (3) Cho X tập hợp Tập hợp m(X) ánh xạ từ X đến X với phép hợp thành ánh xạ vị nhóm khơng giao hốn, khơng phải nhóm Tập S(X) m(X) gồm song ánh từ X đến X với phép hợp thành ánh xạ nhóm khơng giao hốn (khi |X| > 1) Trong nhóm này, nghịch đảo phần tử f ∈ S(X) ánh xạ ngược f −1 2.2.2 Các tính chất nhóm Do nhóm vị nhóm nên có đầy đủ tính chất vị nhóm Ngồi nhóm cịn có tính chất sau 2.2.2.1 Mệnh đề (Luật giản ước) Trong nhóm G, phần tử qui, luật giản ước thực hiện: (1) Luật giản ước trái: xy = xz =⇒ y = z, ∀x, y, z ∈ G; (2) Luật giản ước phải: yx = zx =⇒ y = z, ∀x, y, z ∈ G Chứng minh Do xy = xz ⇒ x−1 (xy) = x−1 (xz) ⇒ (x−1 x)y = (x−1 x)z ⇒ ey = ez ⇒ y = z, ∀x, y, z ∈ G Tương tự yx = zx ta có y = z, ∀x, y, z ∈ G 2.2.2.2 Mệnh đề Trong nhóm G, phương trình ax = b (hoặc xa = b) có nghiệm x = a−1 b (hoặc x = ba−1 ) với a, b ∈ G Chứng minh Xét phương trình ax = b Ta thấy x = a−1 b nghiệm a(a−1 b) = (aa−1 )b = eb = b Nếu c nghiệm phương trình ax = b ac = b Do đó, a−1 (ac) = a−1 b, hay (a−1 a)c = a−1 b Suy c = a−1 b Vậy phương trình ax = b có nghiệm x = a−1 b Chứng minh tương tự phương trình xa = b 45 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 2.2.2.3 Mệnh đề Trong nhóm G ta có (x−1 )−1 = x, ∀x ∈ G Chứng minh Với x ∈ G ta có x−1 ∈ G xx−1 = e = x−1 x Do x phần tử nghịch đảo x−1 2.2.2.4 Mệnh đề Trong nhóm G, ta có (xy)−1 = y −1 x−1 , ∀x, y ∈ G Chứng minh Rõ ràng y −1 x−1 ∈ G Mặt khác (xy)(y −1 x−1 ) = x(yy −1 )x−1 = xex−1 = xx−1 = e tương tự, (y −1 x−1 )(xy) = e nên y −1 x−1 = (xy)−1 2.2.2.5 Chú ý Mệnh đề mở rộng cho tích n phần tử −1 (x1 xn )−1 = x−1 n x1 Nói riêng, ta có (xn )−1 = (x−1 )n , ∀n ∈ N∗ Ta qui ước viết phần tử dạng x−n qui ước thêm x0 = e Như ta hoàn thành việc xác định xn cho số nguyên n: xn =  x x    | {z } n > 0, n lần e    −(−n) x n = 0, n < 0, Ta có cơng thức: xm xn = xm+n (xm )n = xmn , ∀m, n ∈ Z Đối với phép cộng thay cho xn ta viết nx, ∀n ∈ Z ta có cơng thức mx + nx = (m + n)x m(nx) = (mn)x, ∀m, n ∈ Z 46 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 2.2.3 Các định nghĩa tương đương nhóm Ta dùng phát biểu tương đương định lý sau định nghĩa nhóm 2.2.3.1 Định lý Giả sử G nửa nhóm Khi G nhóm hai điều kiện sau thỏa mãn: (1) G có đơn vị trái e; (2) Mỗi phần tử x ∈ G tồn x′ ∈ G cho x′ x = e (x′ gọi phần tử nghịch đảo trái x) Chứng minh Nếu G nhóm hiển nhiên điều kiện (1) (2) thỏa mãn Ngược lại, giả sử G nửa nhóm thỏa mãn điều kiện (1) (2) Lấy tùy ý x ∈ G Theo (2), ∃x′ ∈ G cho x′ x = e Cũng theo (2), ∃x′′ ∈ G cho x′′ x′ = e Do đó, xx′ = e(xx′ ) = (x′′ x′ )(xx′ ) = x′′ (x′ x)x′ = x′′ ex′ = x′′ x′ = e Mặt khác, ta lại có xe = x(x′ x) = (xx′ )x = ex = x Vậy e đơn vị phải đơn vị phép tốn G x′ nghịch đảo x Vì vậy, G nhóm Ta có phát biểu tương tự định lý thay “đơn vị trái” “đơn vị phải” phần tử nghịch đảo trái x′ điều kiện (2) phần tử nghịch đảo phải 47 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 2.9.4.1 Mệnh đề Nhóm cộng số nguyên Z nhóm xyclic với phần tử sinh -1 Phát biểu sau chứng minh Ví dụ 2.3.1.4 2.9.4.2 Mệnh đề Mỗi nhóm nhóm cộng số nguyên Z có dạng mZ với m số ngun khơng âm Phát biểu sau chứng minh Ví dụ 2.5.2.3 2.9.4.3 Mệnh đề Mỗi nhóm thương nhóm cộng số nguyên Z Z nhóm có phần tử {Z} nhóm cộng số ngun mơđun m với m > số nguyên dương Nhắc lại rằng, nhóm H gọi ảnh đồng cấu nhóm Z tồn tồn cấu từ nhóm Z lên nhóm H Theo Định lý đồng cấu nhóm ảnh đồng cấu nhóm Z đẳng cấu với nhóm thương Z Vì vậy, tất ảnh đồng cấu nhóm Z gồm có Z, {Z} Zm với m = 2, 3, TÀI LIỆU ĐỌC THÊM CHƯƠNG Ayman Badawwi (2001), Abstract Algebra Manual: Problems and Solutions, Nova Science Publishers, Inc Huntington, NY Bùi Huy Hiền (2000), Bài tập Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục Nguyễn Hữu Việt Hưng (2000), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục 112 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 Lê Thị Thanh Nhàn Vũ Mạnh Xuân (2010), Giáo trình lý thuyết nhóm, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội Hồng Xn Sính (2000), Đại số đại cương, hà xuất Giáo dục 113 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 THẢO LUẬN CHƯƠNG Các nội dung thảo luận: Định nghĩa, ví dụ, tính chất, nhận biết cấu trúc: nửa nhóm, vị nhóm, nhóm, nửa nhóm con, nhóm con, nhóm chuẩn tắc; Tính chất vị nhóm cộng số tự nhiên vị nhóm nhân số tự nhiên; Lớp ghép, số nhóm con, xây dựng nhóm thương, mơ tả nhóm thương; Định lý Lagrange: phát biểu, chứng minh định lý hệ quả; Đồng cấu nhóm: định nghĩa, tính chất, ví dụ, định lý đồng cấu đẳng cấu nhóm Chứng minh đồng cấu, đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Tìm đồng cấu, tự đồng cấu; Ảnh, hạt nhân đồng cấu nhóm: định nghĩa, tính chất, ví dụ; Tìm ảnh hạt nhân; Nhóm xyclic: định nghĩa, ví dụ, xác định nhóm xyclic, chứng minh nhóm xyclic; Nhóm đối xứng, nhúng nhóm vào nhóm đối xứng; Tích trực tiếp tổng trực tiếp nhóm; 10 Xây dựng nhóm cộng số nguyên Z, nhóm nhân số hữu tỷ dương; 11 Tính chất nhóm cộng số nguyên Z 114 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 CHƯƠNG 2.2 Khái niệm nhóm Bài 2.1 (2) Với n > ta có (ab)n = (ab)n−1 (ab) Theo quy nạp ta có (ab)n−1 = an−1 bn−1 nên (ab)n = an−1 bn−1 ab = an−1 bn−2 (ba)b = an−1 bn−2 (ab)b = · · · = an bn Bài 2.2 (3) Chú ý z1 z2 hai số phức có mơđun tích z1 z2 có mơđun Tính chất kết hợp suy từ tính kết hợp phép nhân số phức Phần tử đơn vị z = Nếu z phần tử có mơđun z −1 có mơđun Vậy tập số phức có mơđun với phép nhân số phức nhóm Chú ý nhóm nhân giao hốn √ (8) Tập X = {a + b | a, b ∈ Q, a2 + b2 6= 0} với phép nhân nhóm Thật vậy, trước hết tập X đóng phép nhân.Tính chất kết hợp suy từ tính chất kết hợp phép nhân số phức √ √ Phần tử đơn vị = + Với x = a + b ∈ X, ta có phần tử √ (a − b 3) nghịch đảo x−1 = a − 3b2 Bài 2.4 (2) Tập X = {e, a, b} với phép nhân ⋆ nhóm trường hợp sau ⋆ e a b e e a b a a b e b b e a Bài 2.5 (1) (Q, ∗) nhóm −1 ∈ Q khơng có phần tử nghịch đảo 236 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 (2) Chứng minh (Q \ {−1}, ∗) nhóm cách kiểm tra điều kiện sau: tính ổn định phép tốn, tính chất kết hợp, phần tử −a đơn vị 0, với a ∈ Q \ {−1} có phần tử nghịch đảo b = a+1 Bài 2.6 Phần tử đơn vị nhóm G (0, 1) Với x = (a, b) ∈ G, ta có −a , ) phần tử nghịch đảo x−1 = ( b b Bài 2.7 Kiểm tra điều kiện: tính chất kết hợp phép tốn, đơn vị (1, 0), với Với x = (a, b) ∈ G, ta có phần tử nghịch đảo x−1 = ( , −y) x Bài 2.8 Vì a2 = e với a, nên ta có (ab)(ba) = a(bb)a = aa = e Mặt khác, (ab)(ab) = e nên ta có (ab)(ab) = (ab)(ba) Suy ab = ba Bài 2.9 Giả sử G nhóm Khi đó, với a ∈ G ta chứng minh aG = G Ga = G Ngược lại, aG = Ga = G, ∀a ∈ G suy phương trình ax = b xa = b có nghiệm G với a, b ∈ G Do G nhóm Bài 2.10 Điều kiện cần hiển nhiên Điều kiện đủ: giả sử G nửa nhóm hữu hạn luật giản ước thực với phần tử thuộc G Khi ta có aG = G = Ga với a ∈ G Áp dụng Bài tập 2.9 ta suy G nhóm Kết luận khơng G nửa nhóm vơ hạn Thật vậy, nửa nhóm nhân N∗ số tự nhiên khác thỏa mãn luật giản ước với phần tử khơng phải nhóm, vị nhóm cộng số tự nhiên N thỏa mãn luật giản ước khơng nhóm Bài 2.11 (1) Tập hợp Z∗n = {a ∈ Zm | (a, m) = 1} với phép nhân nhóm Thật với (a, m) = (b, m) = ta có (ab, m) = nên 237 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 phép nhân đóng kín tập Z∗m Tính chất kết hợp hiển nhiên tính chất kết hợp phép nhân số thông thường Đơn vị nhóm (Z∗m , ) Với a cho gcd(a, m) = 1, tồn s, t cho as + mt = Do a s = (mod m) Vậy s nghịch đảo a (2) Do lớp tương đương s t xác định theo a nên phần tử nghịch đảo a ka′ Bài 2.12 Nếu = ′ , p | a′ kéo theo p | a Vậy ta giả b kb a sử phân số tối giản b 1 1 1 1 + + ··· + = ( + )+( + ) + · · · + ( p−1 + p+1 ) p−1 p−1 p−2 2 p p p + + · · · + p−1 p+1 = 1(p − 1) 2(p − 2) 2 Các mẫu thức chia hết cho p, nên p | a Bài 2.13 Ta có p − phần tử nghịch đảo nhóm nhân Z∗p Phương trình x2 = có hai nghiệm Z∗p p − Với số nguyên a thoả mãn ≤ a ≤ p − tồn số nguyên b cho ≤ b ≤ p − a 6= b a.b = Theo Bài tập 11 (2), ≤ a 6= a′ ≤ p − hai nghịch đảo tương ứng phân biệt, nên tập 2, 3, , p − nhóm thành (p − 3)/2 cặp nghịch đảo Vì 2.3 (p − 2) ≡ (mod p), 1.2 (p − 1) ≡ p − (mod p) Hay nói cách khác 1.2 (p − 1) ≡ −1 (mod p) 2.3 Nhóm Bài 2.16 (3) Nếu A ⊆ B B ⊆ A rõ ràng A ∪ B nhóm G Ngược lại, giả sử A ∪ B nhóm G Nếu A * B chứng minh B ⊆ A 238 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 Bài 2.17 (2) (A−1 )−1 = A (a−1 )−1 = a với a ∈ A Do (ab)−1 = b−1 a−1 nên (AB)−1 = B −1 A−1 (3) Rõ ràng A−1 ⊆ A A nhóm Mặt khác (a−1 )−1 = a với a ∈ A nên A ⊆ A−1 Suy A−1 = A (4) Nếu AA−1 = A suy A nhóm G theo Hệ 2.3.1.3 Ngược lại, A nhóm G theo (3) ta có A−1 = A Do AA−1 ⊆ A Mặt khác, ta dễ chứng minh A ⊆ AA−1 nên AA−1 = A Bài 2.19 Chú ý xA lớp ghép trái A phần tử x xA = A x ∈ A Bài 2.20 Ký hiệu A tập tất phần tử có cấp hữu hạn nhóm Abel G Nếu a, b ∈ A ta có (ab−1 )n = an b−n = e n bội cấp phần tử a b Suy A nhóm G Bài 2.21 Điều kiện cần hiển nhiên Để chứng minh điều kiện đủ, cần phải a ∈ S kéo theo a−1 ∈ S Điều có nhờ xét dãy phần tử {a, a2 , , an , } S Nếu G nhóm vơ hạn khẳng định khơng cịn nữa, nhiều ví dụ Bài 2.22 Gọi H nhóm nhóm nhân số hữu tỷ dương sinh tập tất số nguyên tố Khi ∈ H , n ∈ H với số nguyên dương n Từ suy m n ∈ H với số nguyên dương m, n Vì Q+ ⊆ H Q+ = H Bài 2.23 Ký hiệu G = hxi Nếu G nhóm hữu hạn cấp G số ngun dương n bé cho xn = G = {e, x, x2 , , xn−1 } Vì vậy, để xác định G, cần xác định số nguyên dương 239 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 n bé cho xn = (1) Tính tốn trực tiếp cho thấy n = Vì G = {xn | n = 0, 1, , 7} (2) Số nguyên dương n bé cho xn = số nguyên 5nπ dương n bé cho bội 2π Do n = 14 ta suy G = {xn | n = 0, 1, , 13} Bài 2.24 Cn nhóm xyclic sinh ǫ = cos 2π 2π + i sin n n Bài 2.25 Sử dụng phương pháp phản chứng với ý G nhóm xyclic vơ hạn nên am = an m = n với m, n ∈ Z Bài 2.27 (1) Cấp phần tử a nhóm cộng Zn số nguyên dương m nhỏ để ma = (2) Chú ý Z6 Z12 nhóm xyclic nên nhóm chúng nhóm xyclic Bài 2.28 (1) Giả sử ord(a) = n, ord(a−1 ) = m với m < n Khi đó, an−m = e nên n < n − m Từ suy m < điều khơng thể (2) Vì ak an−k = an = e nên an−k nghịch đảo ak Do đó, theo (1), chúng có cấp Bài 2.29 Chứng minh (ab)n = e (ba)n = e Từ suy ab ba có cấp Bài 2.31 (1) Ký hiệu H = hai ∩ hbi Cho c ∈ H Khi hci vừa nhóm hai, vừa nhóm hbi Từ suy H = {e} (2) Gọi k = ord(ab) Vì ab = ba nên (ab)rs = e Do k ước rs Mặt khác, từ (ab)rk = e ark = e suy brk = e Vì vậy, s ước 240 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 rk Từ đây, ta suy s ước k gcd(r, s) = Tương tự, ta có r ước k Suy ra, rs ước k gcd(r, s) = Vì vậy, k = rs n Bài 2.32 Cho G = hai nhóm xyclic cấp n Ta có H = d i n nhóm xyclic Nhóm có cấp d d = n Hơn b = ak , với k d đó, phần tử thỏa mãn bd = e, ta có akd = e Do n | (kd) n hay | k , nên b ∈ H d Bài 2.33 Chứng minh phản chứng Giả sử G = hai nhóm xyclic vơ hạn tồn phần tử khác e G b = ak có cấp m Khi ta có bm = e điều dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết Bài 2.34 Áp dụng Mệnh đề 2.3.3.3 Bài tập 2.33 ta có điều phải chứng minh Cũng chứng minh phản chứng sau: Giả sử G = hai H = hak i với k số nguyên dương cấp H m Khi chứng minh cấp a ước km Từ suy G = hai nhóm hữu hạn Bài 2.35 (1) Phản chứng Giả sử tồn i k , i < k cho hai i = hak i G Điều dẫn đến ord(a) hữu hạn, mâu thuẫn với giả thiết (2) Phản chứng Giả sử G nhóm vơ hạn G có hữu hạn nhóm H1 , H2 , , Hn Khi áp dụng (1), ta có phần tử G có cấp hữu hạn Do đó, Hi nhóm hữu hạn với i = 1, , n Vì G n vơ hạn nên tồn phần tử b ∈ G \ ∪ Hi Vì ord(b) hữu hạn nên hbi i=1 nhóm hữu hạn khác với tất nhóm Hi , điều mâu thuẫn 241 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 2.4 Lớp ghép, Định lý Lagrange Bài 2.37 Có bốn lớp ghép trái (phải) H Z + 4Z, + 4Z, + 4Z + 4Z Bài 2.39 Áp dụng Định lý 2.4.2.1 Hệ 2.4.2.4 Bài 2.40 Áp dụng Định lý 2.4.2.1 với ý H ∩ K vừa nhóm H vừa nhóm K Bài 2.41 (1) Phản chứng Giả sử tồn a ∈ G cho a2 = e Khi G có nhóm cấp {e, a} Điều mâu thuẫn với cấp G số lẻ (2) Từ (1) suy ra, G khơng có phần tử khác e mà có nghịch −1 đảo Vì vậy, G có dạng G = {e, a1 , a−1 , , am , am } Bài 2.42 Giả sử ngược lại aH = a−1 H Từ suy a2 = h với h ∈ H Do a2p = hp = e Vì ord(a) ước 2p Mặt khác a 6= e ord(a) số lẻ cấp G số lẻ Từ suy ord(a) = p Vì ord(a2 ) ước ord(a) nên ord(a2 ) = p cấp H Do hai = ha2 i = H Ta suy a ∈ H , điều trái với giả thiết 2.5 Nhóm chuẩn tắc, nhóm thương Bài 2.43 (1) Vì [G : H] = nên có hai lớp ghép trái {eH, xH} với x ∈ / H Ta có xH = G \ H Tương tự Hx = G \ H , xH = Hx hay H ⊳ G Chú ý |G/H| = nên với a ∈ G, ta có (aH)2 = eH Do đó, a2 H = eH ta suy a2 ∈ H (2) Tương tự (1) cấp nhóm G/H m ta có (aH)m = eH Nên am H = eH , hay am ∈ H 242 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 Bài 2.44 Gọi n = ord(a) Khi (aH)n = an H = eH = H Do đó, ord(aH) ước n Bài 2.45 Do ord(aH) = nên (aH)5 = a5 H = H Suy a5 ∈ H (a5 )4 = e Vì ord(a) ước khác 20 Bài 2.46 G/G = {G} G/{e} ∼ = G Bài 2.47 (1) 3Z/15Z = {0, 3, 6, 9, 12} (2) 4Z/24Z = {0, 4, 8, 12, 16, 20} (3) R∗ /R+ = {1, −1} Bài 2.51 Nếu G = hxi G/H = hxHi Do G/H nhóm xyclic 2.6 Đồng cấu nhóm Bài 2.59 Vì G tập hợp hữu hạn nên để chứng minh f : G → G song ánh, cần chứng minh f đơn ánh Vì gcd(m, n) = nên tồn số nguyên t, s cho tm + sn = Với x ∈ Kerf ta có xm = e xn = e Do đó, x = xtm+sn = e Vậy Kerf = {e} f đơn cấu Bài 2.60 Gọi n cấp nhóm G Vì G khơng chứa phần tử cấp nên n không chia hết cho (ở ta sử dụng tính chất: số nguyên tố p ước |G| tồn phần tử G có cấp p) Do gcd(n, 2) = Áp dụng Bài tập 2.59 ta có f tự đẳng cấu nhóm G Bài 2.61 Sử dụng tính chất Kerf nhóm khác {0} Z13 13 số nguyên tố 243 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 Bài 2.62 Đơn cấu f : Zn → Zm xác định f (a + nZ) = a m + mZ n Bài 2.64 Điều kiện cần dễ kiểm tra Để chứng minh điều kiện đủ, cần ab = ba, với a, b ∈ G Điều suy từ (ab)−1 = a−1 b−1 ϕ tự đồng cấu nhóm G Bài 2.65 Chú ý rằng, tự đồng cấu f song ánh f đơn ánh Kerf = {0} gcd(k, n) = Bài 2.66 Chú ý rằng, f : G → G′ đồng cấu khơng tầm thường từ nhóm xyclic G đến nhóm xyclic G′ x phần tử sinh G f (x) phần tử sinh G′ Vì (Z, +) nhóm xyclic có hai phần tử sinh −1 Nên có hai tự đẳng cấu 1Z −1Z Bài 2.67 Chú ý rằng, nhóm xyclic vơ hạn đẳng cấu với nhóm cộng số nguyên Z Bài 2.68 Điều kiện đủ dễ kiểm tra Để chứng minh điều kiện cần, cần số a ∈ Q Gợi ý a = f (1) Bài 2.69 (1) Chỉ có đồng cấu khơng f = θ: Q → Z Điều f (1) = f ( ) ∈ Z với số nguyên dương n suy từ f (1) = 0, n n Đồng cấu θ đẳng cấu nên Q ∼ = Z (2) Đồng cấu ϕ : R → R+ , x 7→ 10x đẳng cấu Bài 2.70 (1) Đồng cấu f cảm sinh toàn cấu g : H → f (H) xác định g(x) = f (x) với x ∈ H Khi theo Định lý đồng cấu nhóm ta có H/Kerg ∼ = f (H) Chú ý H f (H) nhóm hữu hạn theo Định lý Lagrange ta có cấp f (H) ước cấp H (2) Gọi H = hxi Khi H có cấp m f (H) = hf (x)i có cấp ord(f (x)) Do theo (1), ord(f (x)) ước m 244 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 Bài 2.71 Vì Z8 nhóm xyclic Z8 = h1i nên đồng cấu nhóm f : Z8 → Z6 xác định f (1) Vì f (1) ∈ Z6 nên cấp f (1) ước Mặt khác, theo Bài tập 2.70 (2) cấp f (1) ước Vì cấp f (1) Vì f (1) = f (1) = Bài 2.72 (1) Một đồng cấu f từ nhóm xyclic cấp n, G = hai | i = 0, 1, , n − 1i xác định f (a) ảnh phần tử sinh Vì f (a) nhận n giá trị nên G có n tự đồng cấu xác định fi (a) = , i = 0, 1, , n − (2) Một đồng cấu f từ nhóm xyclic cấp n, G = hai, vào nhóm xyclic cấp m, G′ = hbi, cần thỏa mãn điều kiện cấp phần tử f (a) vừa ước m vừa ước n Do ord(f (a)) ước chung m n Bài 2.73 (2) Kerf = Ri C/Kerf = C/Ri (3) Mỗi phần tử C/Ri, u = (a + bi) + Ri = a + Ri, đường thẳng song song với trục ảo Đẳng cấu f : C/Ri → R xác định f (a + Ri) = a biến đường thẳng song song với trục ảo thành giao điểm đường thẳng với trục thực Bài 2.74 Tương tự Bài 2.73 Bài 2.75 (2) Ánh xạ f : G → R+ xác định x 7→ | det(x)| tồn cấu nhóm Ker(f ) = A Vậy theo Định lý đồng cấu nhóm ta có G/A ∼ = R+ (3) G/B ∼ = {1, −1} (4) Tương tự câu (2) Bài 2.76 (1) Phần tử đơn vị (0, 0, 0), với x = (k1 , k2 , k3 ) x−1 = 245 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 ((−1)k3 +1 k1 , −k2 , −k3 ) (2) A = h(1, 0, 0)i = {(n, 0, 0) | n ∈ Z} (3) Áp dụng Định lý Đồng cấu nhóm ánh xạ f : G → Z[i], xác định f (k1 , k2 , k3 ) = k2 + k3 i Bài 2.77 Nhắc lại H nhóm chuẩn tắc G fx (h) = x−1 hx ∈ H với x ∈ G h ∈ H Do fx (H) = H với x ∈ G H nhóm chuẩn tắc G Ngược lại, H nhóm chuẩn tắc, ta có fx (h) = x−1 hx ∈ H nên fx (H) ⊆ H Với h ∈ H , ta có fx−1 (h) = xhx−1 ∈ H Vậy fx (fx−1 (h)) = h, fx (H) = H Bài 2.78 Phép hợp thành ánh xạ Int(G) có tính chất kết hợp, có phần tử đơn vị fe , phần tử nghịch đảo fx fx−1 Xét đồng cấu ϕ : G → Int(G), x 7→ fx Chứng minh ϕ toàn cấu Ker(ϕ) = C(G) Áp dụng Định lý Đồng cấu nhóm, ta có điều cần chứng minh Bài 2.81 Hiển nhiên ta có H(K ∩ L) ⊆ HK ∩ L H ⊆ L Xét a ∈ HK ∩ L, ta có a = bc với b ∈ H, c ∈ K Do đó, b−1 a ∈ L ∩ K H ⊆ L Vậy a ∈ H(K ∩ L) 2.7 Nhóm đối xứng Bài 2.82 (1) Có 15 nghịch thế, dấu phép σ lẻ (2) (1 5)(3 6) (3) (1 9)(8 9)(5 8)(3 4)(4 6) Bài 2.85 Các vịng xích độc lập đơi giao hoán, tức σi σj = σj σi Nếu σi có độ dài ti σiti = e Từ thấy cấp σ = σ1 σ2 σk bội chung nhỏ cấp σi 246 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|17683069 2.8 Tích trực tiếp tổng trực tiếp nhóm Bài 2.88 Chứng minh tương ứng Z[i] → Z × Z, a + bi 7→ (a, b) đẳng cấu nhóm Bài 2.90 Giả sử X = hai có cấp m Y = hbi có cấp n Khi với phần tử (ar , bs ) ∈ X × Y , q = BCNN(m, n) ta có (ar , bs )q = (arq , bsq ) = (eX , eY ) Do đó, cấp phần tử ước q Vì vậy, gcd(m, n) 6= X × Y khơng thể xyclic khơng có phần tử có cấp cấp X ×Y Nếu gcd(m, n) = ta có (a, b)t = (at , bt ), nên (a, b)t = (eX , eY ) t chia hết cho m n Vậy cấp (a, b) mn = X × Y Do đó, X × Y nhóm xyclic Bài 2.91 (1) Hiển nhiên (2) Áp dụng Bài 2.90 Bài 2.92 Giả sử G nhóm cấp Khi đó, phần tử khác đơn vị G có cấp Nếu G chứa phần tử cấp G nhóm xyclic G ∼ = Z4 Nếu G khơng có phần tử cấp 4, phần tử (khác đơn vị) G có cấp Giả sử G = {e, a, b, c} Khi a2 = b2 = c2 = e ánh xạ G → hai × hbi, xác định e 7→ (ea , eb ), a 7→ (a, 0), b 7→ (0, b), c 7→ (a, b) đẳng cấu nhóm Do đó, hai × hbi ∼ = Z2 × Z2 Bài 2.94 Ánh xạ F : G → G/A × G/B xác định F (x) = (xA, xB) đồng cấu nhóm Chú ý F (x) phần tử đơn vị nhóm G/A × G/B x ∈ A x ∈ B Vì Ker(F ) = A ∩ B Do F cảm sinh đồng cấu f : G/(A ∩ B) → G/A × G/B xác định f (x(A ∩ B)) = (xA, xB) đơn cấu Khẳng định lại hiển nhiên 247 Downloaded by ??NG TR??NG H?U (stu725101057@hnue.edu.vn)