Phương pháp nhiễu của nửa nhóm và ứng dụng trong mô hình quần thể sinh học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - ĐINH THỊ HẠNH PHƯƠNG PHÁP NHIỄU CỦA NỬA NHĨM VÀ ỨNG DỤNG TRONG MƠ HÌNH QUẦN THỂ SINH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - ĐINH THỊ HẠNH PHƯƠNG PHÁP NHIỄU CỦA NỬA NHÓM VÀ ỨNG DỤNG TRONG MƠ HÌNH QUẦN THỂ SINH HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - 2014 Mục lục Nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử sinh 1.1 1.2 1.3 Bài tốn nhiễu nửa nhóm liên tục mạnh 2.1 2.2 2.3 2.4 Nửa nhóm liên tục mạnh 1.1.1 1.1.2 Tốn tử sinh nửa nhóm liên tục 1.2.1 1.2.2 Giải thức 1.3.1 1.3.2 Bài toán Cauchy đặt chỉnh Nhiễu bị chặn nửa nhóm liên t Sự tồn nghiệm phương trìn Họ tốn tử tiến hóa liên tục mạnh Dáng điệu tiệm cận phương trình tiến hóa tuyến tính ứng dụng 3.1 Sự tương đương tiệm cận 3.1.1 3.1.2 3.1.3 Một số ứng dụng mô hình qu 3.2.1 3.2.2 3.2 Mở Đầu Trong thời gian gần yêu cầu đòi hỏi từ mơ hình ứng dụng, lý thuyết định tính phương trình vi phân khơng gian Banach phát triển mạnh mẽ Các kết nhận tính ổn định phương trình vi phân khơng gian Banach ứng dụng cho việc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân hàm, đồng thời sử dụng việc nghiên cứu mơ hình ứng dụng như: mơ hình quần thể sinh học, mạng nơron thần kinh, vật lý học Một vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, tính chất nghiệm phương trình tiến hóa trừu tượng bị nhiễu mối tương quan họ tốn tử tiến hóa liên tục mạnh khơng gian Banach Mục đích luận văn sử dụng phương pháp nhiễu nửa nhóm việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận phương trình tiến hố trừu tượng, để từ đưa ứng dụng vào mơ hình dân số Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày định nghĩa, tính chất nửa nhóm liên tục mạnh số định lý quan trọng toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh ([1, 2, 5, 9, 10]) Chương hai trình bày tốn nhiễu nửa nhóm, định nghĩa tính chất họ tốn tử tiến hóa liên tục mạnh đủ tốt ([6, 7, 8, 12]) Chương ba trình bày tương đương tiệm cận định lý liên quan; Từ đưa mơ hình dân số phụ thuộc vào tuổi ([3, 4, 11, 13]) Bản luận văn thực hướng dẫn PGS TS Đặng Đình Châu Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, người dành nhiều công sức thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tơi việc hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo thầy khoa Tốn - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Tơi xin cảm ơn phịng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi việc hoàn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Cám ơn thầy bạn seminar Phương trình vi phân động viên ý kiến trao đổi q báu thân tơi thời gian qua Cuối tơi muốn tỏ lịng biết ơn gia đình, người thân chỗ dựa tinh thần vật chất cho sống học tập Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận góp ý quý thầy, cô bạn Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Đinh Thị Hạnh Chương Nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử sinh 1.1 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Một họ (T (t))t≥0 tốn tử tuyến tính bị chặn không gian Banach X gọi nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C0− nửa nhóm) thỏa mãn điều kiện sau: T (t + s) = T (t)T (s) với t, s ≥ T(0) = I lim T (t)x = x với x ∈ X t→0+ Chú ý 1.1 Nếu (T (t))t∈R ⊂ L(X) thỏa mãn điều kiện với t, s ∈ R ta có nhóm liên tục mạnh Nếu (T (t))t≥0 C0− nửa nhóm ánh xạ t + T (t)x liên tục R với x ∈ X Ví dụ 1.1 Xét nửa nhóm (T (t))t≥0 không gian C0 = C0(R), xác định bởi: C0(R) = {f ∈ C(R) : lim f (s) = 0} s→±∞ Với chuẩn ||f || = sup |f (s)| Ta có (C0, ||.||) không gian Banach s∈R ∀t ≥ 0, ta định nghĩa: (Tl(t)f )(s) = f (t + s), ∀f ∈ C0, ∀s ∈ R (Tr(t)f )(s) = f (s − t), ∀f ∈ C0, ∀s ∈ R Khi (Tr(t))t≥0 (Tl(t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh C0, gọi tương ứng nửa nhóm dịch chuyển phải trái C0 Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp nửa nhóm dịch chuyển trái, trường hợp nửa nhóm dịch chuyển phải chứng minh tương tự Trước hết ta chứng minh (Tl(t))t≥0 nửa nhóm Thật vậy: ∀t, h ≥ 0, ∀f ∈ C0, s ∈ R, ta có: (Tl(t + h)f )(s) = f (t + h + s) = (Tl(t)f )(h + s) = (Tl(t)Tl(h))f (s), suy Tl(t + h) = Tl(t)Tl(h) Tiếp theo chứng minh tính liên tục mạnh (Tl(t))t≥0; Tức là, ta cần với f ∈ C0 lim ||Tl(t)f − f || = lim sup |f (t + s) − f (s)| = t→0+ Vì f ∈ C0 suy f liên tục R tồn giới hạn lim f (s) = nên f s→±∞ liên tục R Do đó: ∀ǫ > 0, ∃δ > cho : ∀s1, s2 : |s1 − s2| < δ ta có: |f (s1) − f (s2)| < ǫ Khi đó, với t mà ≤ t < δ, |t + s − s| < δ, ta có: |f (t + s) − f (s)| < ǫ, ∀s ∈ R Từ suy sup |f (t + s) − f (s)| ≤ ǫ, ∀t : ≤ t < δ s∈R Theo định nghĩa giới hạn ta có: lim sup |f (t + s) − f (s)| = t→0+ s∈R Vậy (Tl(t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh 1.1.2 Các tính chất sơ cấp Bổ đề 1.1 ([8]) Giả sử X không gian Banach F hàm từ tập compact K ⊂ R vào L(X) Khi khẳng định sau tương đương (a) F liên tục với tơ pơ tốn tử mạnh, tức ánh xạ K ∋ t F (t)x ∈ X liên tục ∀x ∈ X (b) F bị chặn K ánh xạ K ∋ t D trù mật X F (t)x ∈ X liên tục ∀x ∈ D ⊂ X, (c) F liên tục tôpô hội tụ tập compact X, tức ánh xạ K × C ∋ (t, x) F (t)x ∈ X liên tục tập compact C X Định lý 1.1 Cho nửa nhóm (T (t))t≥0 khơng gian Banach X Khi tính chất sau tương đương: (a) Nửa nhóm (T (t))t≥0 liên tục mạnh (b) lim T (t)x = x, ∀x ∈ X t→0+ (c) Tồn δ > 0, M ≥ tập trù mật D ⊂ X cho: i.||T (t)|| ≤ M, ∀t ∈ [0, δ], ii lim T (t)x = x, ∀x ∈ D t→0+ Chứng minh (a) ⇒ (c.ii) Vì (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh không gian Banach nên ta có: lim T (t)x = T (0)x = x, ∀x ∈ D (D trù mật X) + t→0 + (a) ⇒ (c.i) Giả sử ngược lại, tức tồn dãy (δn)n∈N ⊂ R hội tụ đến thỏa mãn ||T (δn)|| → ∞ n → ∞ Theo nguyên lý bị chặn đều, tồn x ∈ X thỏa mãn (||T (δn)x||)n∈N không bị chặn Điều mâu thuẫn với T (.)x liên tục t = (do (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh) (c) ⇒ (b) Đặt K = {tn : n ∈ N} ∪ {0} với dãy (tn)n∈N ⊂ [0, ∞) hội tụ đến Khi K ⊂ [0, ∞) compact, T (.)|K x liên tục ∀x ∈ D Do đó, áp dụng bổ đề 1.1 (b) ta T (.)|K x liên tục ∀x ∈ X, tức là: lim T (tn)x = x, ∀x ∈ X n→∞ Vì (tn)n∈N chọn tùy ý nên (b) chứng minh (b) ⇒ (a) Giả sử t0 > x ∈ X Khi đó: lim ||T (t0 + h)x − T (t0)x|| ≤ ||T (t0)||.|| lim ||T (h)x − x|| = 0, h→0+ h→0+ suy (T (t))t≥0 liên tục phải Với h < 0, ta có: ||T (t0 + h)x − T (t0)x|| ≤ ||T (t0 + h)||.||x − T (−h)x||, từ dẫn đến tính liên tục trái, ||T (t)|| bị chặn ∀t ∈ [0, t0] Vậy (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh Định lý 1.2 Với nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 tồn số w ∈ R M ≥ cho: wt (1.1) ||T (t)|| ≤ M e , ∀t ≥ Chứng minh Chọn M ≥ thỏa mãn ||T (s)|| ≤ M, ∀0 ≤ s ≤ Với t ≥ lấy t = s + n, ∀n ∈ N ≤ s < Khi đó: ||T (t)|| = ||T (s + n)|| = ||T (s).T (n)|| ≤ ||T (s)||.||T (n)|| ≤ ||T (s)||.||T (1)|| ≤M n+1 =Me n n ln M wt ≤Me , với w = ln M t ≥ Định nghĩa 1.2 Cho nửa nhóm liên tục mạnh T = (T (t))t≥0, số ω0 định nghĩa sau: wt ω0 = ω0(T) = inf{w ∈ R : tồn Mw ≥ thỏa mãn ||T (t)|| ≤ Mwe , ∀t ≥ 0} goi cận tăng trưởng nửa nhóm Xét trường hợp đặc biệt: Nếu w = 0, nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi nửa nhóm bị chặn Nếu w = M = 1, nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi là nửa nhóm co - Nếu ||T (t)x|| = ||x||, ∀t ≥ x ∈ X, nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi nửa nhóm đẳng cự Ví dụ 1.2 Theo đinh lý (1.2) ta ln có ω < +∞ ω0 = −∞ Chẳng hạn: Trong không gian L [0;1], T (t)f (s) = ta xét nửa nhóm tịnh tiến trái xác định bởi: f (t + s) s + t ≤ s + t > Ta có: T (t) = 0, ∀t > Với t thỏa mãn ≤ t ≤ 1, ta có ||T (t)f || = || Từ suy ||T (t)|| ≤ Với ω < cố định, chọn M cho M ≤ e −ω T (t)f (s)ds|| ≤ ||f || Khi đó: ω ωt ||T (t)|| < ≤ M.e ≤ M.e , ∀t ≥ Vậy ω0 = −∞ 1.2 Tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh 1.2.1 Định nghĩa tính chất tốn tử sinh Để xây dựng khái niệm toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh, trước hết ta chứng minh bổ đề sau 46 trực giao X, giao hoán với T(t) thỏa mãn điều kiện: a) (T (t)P )t≥0 nửa nhóm ổn định mũ b) (T (t)(I − P ))t≥0 nửa nhóm song ổn định + Khi tồn t0 ∈ R cho ánh xạ F : X → X xác định bởi: ∞ F:x→ t0 T (t0 − τ )(I − P )B(τ )U(τ, t0)xdτ ánh xạ tuyến tính giới nội thỏa mãn điều kiện: ||F||∞ ≤ α < Định lý 3.4 Giả sử (T (t))t≥0 nửa nhóm giới nội sinh A ∈ L(X) thỏa mãn điều kiện a) b) Định lý (3.3) Khi (T (t))t≥0 (U(t, ∞ s))t≥s tương đương tiệm cận không gian L ([0, t1], L(X)) 3.1.3 Sự tương đương tiệm cận họ tốn tử tiến hố Giả sử X khơng gian Banach, xét phương trình tiến hóa sau: dx(t) dy(t) = A (t)x(t), t ≥ 0, dt = [A (t) + B(t)]y(t), t ≥ 0, dt đó: B(.) : [0, ∞) → L(X) liên tục mạnh thỏa mãn điều kiện: (3.6) (3.7) (3.8) ∞ ||B(τ )||dτ < +∞ Ký hiệu (U1(t, s))t≥s≥0 (U2(t, s))t≥s≥0 họ tốn tử tiến hóa tương ứng với phương trình (3.6) (3.7) Khi mối quan hệ chúng xác định phương trình sau: t U2(t, s)x = U1(t, s)x + U1(t, τ )B(τ )U2(τ, s)xdτ, x ∈ X, s t ≥ s ≥ Định nghĩa 3.4 Họ tốn tử tiến hóa (U1(t, s))t≥s (U2(t, s))t≥s gọi tương đương tiệm cận với x ∈ X tồn y ∈ X ngược lại cho: lim ||U1(t, t0)x − U2(t, t0)y|| = 0, t→∞ + với t0 ∈ R cố định 47 Định nghĩa 3.5 Giả sử (U(t, s))t≥s≥0 họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh khơng gian Banach Khi (U(t, s))t≥s≥0 gọi song ổn định sup {||U(t, s)||, ||U(s, t)||} < +∞ t≥s≥0 Từ định nghĩa ta thấy (U(t, s))t≥s≥0 họ tốn tử tiến hóa liên tục mạnh song ổn định (U(t, s))−∞