lập thànhmột dãy các số thực và ta nói đây là một dãy số thực.. Trang 9 Các hàm lượng giác• Hàm số y=sin x.. =0.1.4.4Tính giới hạn của một dãy sốTrong chương trình phổ thông, khi tính gi
ÁNH XẠ
Cho hai tập hợpE vàF, ta gọi một ánh xạ từ tập E vào tập Flà một quy luật tương ứng f sao cho với mỗi phần tử x∈ E, có duy nhất một phần tửy ∈ Fđược xác định bởiy= f(x).
Ta thường ký hiệu ánh xạ đó là f : E →F.
Cho ánh xạ f : E →F Ta nói
1 f là một đơn ánh nếu với mọiy ∈ F, có nhiều nhất mộtx ∈ Esao choy = f(x).
2 f là một toàn ánh nếu với mọiy∈ F, có ít nhất mộtx ∈ Esao choy = f(x).
3 f là một song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
4 Cho ánh xạ f : E → Fvà ánh xạg : F → G Ta nói ánh xạh= g◦ f là ánh xạ hợp của g và f nếu với mọix ∈ E, tồn tại duy nhấtz ∈ Gđược xác định bởiz = h(x) = (g◦ f)(x) g(f(x)).
5 Cho ánh xạ f : E → Flà một song ánh lúc này và ánh xạ g : F → E cũng là một song ánh sao cho với mọiy∈ F, tồn tại duy nhấtx∈ Eđược xác định bởix =g(y)với y= f(x). gđược gọi là ánh xạ ngược của f ký hiệu là g= f − 1
DÃY SỐ
Cho ánh xạ f : N → R Với n = 1, 2, 3, Ta có các giá trị f(1), f(2), f(3), lập thành một dãy các số thực và ta nói đây là một dãy số thực Nếu đặt xn = f(n), ta có dãy số x 1 ,x 2 ,x 3 , ,xn, , ký hiệu là(xn) n ∈ N hay{xn} n ∈ N
Ví dụ.Cho dãy số(xn)với xn như sau xn =1, ta có dãy1, 1, 1, , 1 xn = (−1) n , ta có dãy−1, 1,−1, ,(−1) n , xn = 1+ (−1) n n , ta có dãy0, 1, 0,1
HÀM SỐ
Hàm sơ cấp
Hàm sơ cấp là những hàm được tạo ra từ một số hữu hạn các phép lấy tổng, hiệu, tích, thương,hàm hợp của các hàm sơ cấp cơ bản và các hằng số.
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Định nghĩa
Dãy số có giới hạn hữu hạn.
Cho dãy số(xn) : x 1 ,x2,x3, ,xn, Ta nói sốL ∈ R là giới hạn của dãy số này nếu với mọi sốε >0đủ bé cho trước, tồn tại sốn ε ∈ N sao cho với mọi chỉ số n>n ε , ta có|xn−L| 0nhỏ tuỳ ý cho trước, theo định nghĩa, để |xn −1| = 1 n < ε thìn > 1 ε Như vậy chọn n ε 1 ε
+1(số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn 1 ε) thì với mọi n > n ε , ta được |xn−1| = 1 n < ε.
Tóm lại, với mọiε > 0nhỏ tuỳ ý cho trước, tồn tại sốn ε 1 ε
+1sao cho với mọi n >n ε , ta có
• Dãy số tiến ra dương vô cùng.
Cho dãy số(xn), ta nói dãy số này có giới hạn là dương vô cùng hay dần tới dương vô cùng nếu với mọi số M>0đủ lớn cho trước, tồn tại sốn M ∈ N sao cho với mọi chỉ số n>n M , ta cóxn > M Lúc này ta viếtlimxn = +∞.
• Dãy số tiến ra âm vô cùng.
Cho dãy số (x n ), ta nói dãy số này có giới hạn là âm vô cùng hay dần tới âm vô cùng nếu với mọi số M n M , ta cóxn 6M Lúc này ta viếtlimxn =−∞.
Các tính chất cơ bản
1 limA= A,trong đó Alà hằng số.
2 Cholimxn = A, limyn =B, với mọiα∈ R, ta có
Một số kết quả thông dụng
Cho dãy số(xn) Nếu tồn tại hai dãy số(yn),(zn)và sốn0∈ N sao choyn 6xn 6zn,∀n>n0 đồng thờilimyn =limzn = Lthìlimxn = L.
Tính giới hạn của một dãy số
Trong chương trình phổ thông, khi tính giới hạn của một dãy số ta thường gặp hai dạng vô định sau đây
Lúc này, ta không thể xác định được liệu là giới hạn đang xét có tồn tại hay không do đó phải tìm cách khử các dạng vô định này đi Có nhiều phương pháp để khử các dạng vô định như: Quy đồng mẫu số, nhân lượng liên hợp, đặt thừa số chung, đặt ẩn phụ, dùng các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn, dùng các giới hạn cơ bản Sau đây, ta nhắc lại một vài ví dụ cho hai dạng vô định này.
∞ Đây là dạng vô định thường gặp khi ta tính các giới hạn dạng phân thức, phương pháp chung là rút số hạng có số mũ cao nhất nằm dưới mẫu ở trên tử lẫn dưới mẫu.
Dạng∞−∞ Để giải quyết dạng này ta thường đặt thừa số chung hoặc đưa về dạng ∞
∞ bằng cách nhân lượng liên hợp.
Cách làm trên sai vì dấu bằng thứ 2, giới hạn cần tính có dạng0.∞và đây cũng là một dạng vô định Do đó, ta phải làm lại như sau
Một vài kết quả cần biết.
1 lim√ n n=1.(Đặtun = √ n n−1và dùng Định lý kẹp.)
2 limx n = 0 nếu|x| < 1 (Xét x = 0 sau đó xét x 6= 0, lúc này đặty = 1
|x| −1 > 0 rồi dùng bất đẳng thức Bernoulli.)
3 Vớip >0, ta cólim√ n p=1.(Xétp>1 Đặtxn = √ n p−1và dùng Định lí kẹp.)
(1+p) n = 0.(Ta chỉ xét α > 0 Chọn k là số nguyên nhỏ nhất lớn hơnα Xét(1+p) n >C k n p k )
5 Vớiα∈ R, ta có lim n α n! =0.(Giả sử L=lim n α n! Suy ralim(n+1) α
6 Vớix∈ R, ta cólim x n n! =0.(Tương tự câu trên.)
7 lim(sinn)vàlim(cosn)không tồn tại.
GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa
Cho hàm số f : D ⊂ R → R và điểmx0 ∈ R Điểmx0được gọi là điểm tụ của hàm số nếu với mọih>0nhỏ tùy ý, ta có(x0−h,x0+h)\{x0} ∩D 6=∅.
Giới hạn của hàm số.
Giả sửx 0 là một điểm tụ củaD, hàm số f được gọi là có giới hạn hữu hạnLkhixtiến vềx 0 nếu với mọi sốε>0nhỏ tùy ý cho trước, tồn tại sốδ(x 0 ,ε) >0sao cho với mọi x∈ Dthỏa
00trên một lân cận củax0hoặc của∞vàlim f(x) = L>0 thìlim ln[f(x)] =ln(lim f(x)) =lnL.
• Nếu f(x) >0trên một lân cận củax 0 hoặc của∞vàlim f(x) = L >0,limg(x) Kthìlim[f(x)] g ( x ) = [lim f(x)] lim g ( x ) = L K
Ví dụ.Tính các giới hạn sau.
7 Các giới hạn thường gặp.
Ví dụ.Sử dụng giới hạn lim x → 0 sinx x =1, tính các giới hạn sau.
Giới hạn một bên
Cho hàm số f xác định trên D⊂ R vàx0∈ R
Ta nói hàm số có giới hạn bên trái là Ltạix0 nếu với mọi dãy(xn) ⊂ Dsao cho xn < x0và xn →x0, ta có f(xn)→ L Lúc này, ta viết lim x → x − 0 f(x) = L.
Ta nói hàm số có giới hạn bên phải làLtạix0nếu với mọi dãy(xn) ⊂Dsao choxn >x0và xn →x0, ta có f(xn)→ L Lúc này, ta viết lim x → x + 0 f(x) = L.
Từ định nghĩa ta suy ra Định lý xlim→ x 0 f(x) tồn tại khi và chỉ khi lim x → x 0 − f(x), lim x → x + 0 f(x) tồn tại và bằng nhau Khi đó xlim→ x 0 f(x)= lim x → x − 0 f(x)= lim x → x + 0 f(x).
1 Tính giới hạn sau: lim x → 1 + x 2 −3x+1 x−1 Ta có lim x → 1 + (x 2 −3x+1) = −1 < 0và lim x → 1 + (x−1) = 0.
Hơn nữa, dox →1 + nên x−1>0 Vậy lim x → 1 + x 2 −3x+1 x−1 =−∞.
2 Xét sự tồn tại của giới hạn tạix0của các hàm số sau
−x 2 +4,x>1 (x0 = 1) Ta có lim x → 1 − f(x) = lim x → 1 − (2x+1) = 3 Mặt khác, xlim→ 1 + f(x) = lim x → 1 + (−x 2 +4) =3 Vậy lim x → 1 − f(x) = lim x → 1 + f(x) = 3nên lim x → 1f(x) = 3.
• f(x) = |x| x (x0 = 0) Ta có lim x → 0 + f(x) = lim x → 0 + x x = 1 Mặt khác, lim x → 0 − −x x = −1 Vậy xlim→ 0 + f(x) 6= lim x → 0 − f(x)nên lim x → 0 f(x)không tồn tại.
Ví dụ.Tính các giới hạn sau (nếu tồn tại)
Ví dụ.Tính các giới hạn sau (nếu không tồn tại hãy giải thích tại sao?)
Ví dụ.Tính giới hạn các hàm số sau tại các điểmx0
Các dạng vô định khi tính giới hạn của hàm số
Khi tính giới hạn của một hàm số ta cũng thường gặp các dạng vô định sau đây
Lúc này, ta phải tìm cách khử các dạng vô định này đi để xác định giới hạn đang xét có tồn tại hay không Có nhiều phương pháp để khử các dạng vô định như đã đề cập ở phần giới hạn của dãy số Sau đây là một vài ví dụ minh họa cho các dạng vô định nói trên và cách xử lý.
Dạng này xuất hiện khi ta tínhlim u v trong đóu,v→0.
√ x x(x−1) Đặt t= 12 √ x, suy rat →1khix→1và giới hạn trên trở thành limt → 1 t 4 −t 3 t 6 (t 12 −1) =lim t → 1 t−1 t 3 (t−1)(t 11 +t 10 + +1) =lim t → 1
Dạng này xuất hiện khi ta tínhlim u v trong đóu,v→ ∞.
= −1(Lưu ýx → −∞ nênx 0, ta cóx x =e x ln x XétL= lim x → 0 + xlnx Đây là một giới hạn khó nếu chỉ dùng những biến đổi cơ bản Do đó để có thể giải quyết bài toán này, ta dùng một ứng dụng của đạo hàm trong một quy luật sau.
Giả sử các hàm f,gcó đạo hàm ở lân cận điểm x 0 vàg 0 (x) 6=0ở lân cậnx 0 Nếu lim x → x 0 f(x) g(x) có dạng 0
∞ và nếu lim x → x 0 f 0 (x) g 0 (x) tồn tại hữu hạn thì lim x → x 0 f(x) g(x) = lim x → x 0 f 0 (x) g 0 (x) Quy tắc này vẫn đúng cho trường hợpx →∞.
Quay lại ví dụ trên, ta nhận thấy giới hạn L = lim x → 0 + xlnx có dạng 0.∞ do đó để sử dụng được quy tắc L’Hospital ta viết lại giới hạn này như sau L = lim x → 0 + lnx
Dạng này xuất hiện khi ta tínhlimu v trong đóu →+∞, v→0.
Xét giới hạn lim x →+ ∞ x 1 x Với mọix>0, ta cóx 1 x =e ln x x Xét L= lim x →+ ∞ lnx x (Dạng ∞
∞) Áp dụng quy tắc L’Hospital ta đượcL = lim x →+ ∞
Chứng minh giới hạn hàm không tồn tại thông qua giới hạn dãy số.
Chứng minh lim x →+ ∞sinxkhông tồn tại.
Giới hạn đang xét có thể không tồn tại theo hai nghĩa Một là lim x →+ ∞ sinx=±∞, hai là sinxkhông tiến về giá trị nào khix → +∞ Dosinx ∈ [−1, 1] nên lim x →+ ∞sinx = ±∞là vô lý Vậy lim x →+ ∞sinx là không xác định Thật vậy, giả sử lim x →+ ∞ sinxtồn tại hữu hạn và có giá trị là L Như vậy với mọi dãy(xn) ⊂ R sao choxn → +∞, ta cósinxn → L Chọnxn = π
L = 1 Chọnxn = nπ, ta có sinxn = 0 Suy ra L = 0, điều này vô lý vì Llà duy nhất Bằng cách chứng minh tương tự ta cũng có các kết quả sau lim x →− ∞ sinx, lim x →± ∞ cosxkhông tồn tại.
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Bài 1 Tính các giới hạn sau
Bài 2 Tính các giới hạn sau
Bài 3 Tính các giới hạn sau
Bài 4.Một vật thể có khối lượng mđược thả rơi tự do từ trạng thái nghỉ Vận tốc của vật sau thời giantgiây, có tính lực cản của không khí được cho bởi công thức v= mg c (1−e − ct m ) trong đóglà gia tốc trọng trường,clà hằng số cản của không khí Biết rằng lực cản của không khí là f =cv Hãy chứng minh công thức trên Giả sử vật thể rơi trong một không gian mở (không có đáy), hãy tìm vận tốc của vật lúc này Vớitcho trước, tính lim c → 0 + vqua đó ta có nhận xét gì về hiện tượng này. ĐẠO HÀM HÀM MỘT BIẾN
ĐẠO HÀM
Đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cho hàm số f xác định trên(a,b)vàx0∈ (a,b) Xét một số∆xsao cho|∆x|nhỏ tuỳ ý đểx0+∆x∈ (a,b). Đạo hàm tại một điểm
∆x tồn tại hữu hạn thì ta nói hàm số có đạo hàm tạix 0 và kí hiệu f 0 (x 0 ) = lim
Ví dụ.Tính đạo hàm của hàm sốy= f(x) = x 2 tạix 0 =1 Xét
Nếu đặtt=x 0 +∆xthìt →x 0 khi∆x →0 Vậy ta cũng có định nghĩa sau f 0 (x0) = lim t → x 0 f(t)−f(x0) t−x 0
Ví dụ.Với mọix∈ R Tính đạo hàm của hàm sốy = f(x) =e x Ta có f 0 (x) = lim t → x f(t)− f(x) t−x =lim t → x e t −e x t−x =lim t → xe x e t − x −1 t−x
Đạo hàm bên trái và bên phải
Cho hàm số f xác định trên(a,x 0 ] Xét một số∆x 0nhỏ tuỳ ý đểx 0 +∆x ∈[x 0 ,b) Nếu
∆x tồn tại hữu hạn thì giới hạn này gọi đạo hàm bên phải của hàm số f tại điểmx 0 và ta kí hiệu là f 0 (x 0 + ). Định lý
Cho hàm số f xác định trên(a,b)vàx0 ∈ (a,b) f 0 (x0) tồn tại khi và chỉ khi f 0 (x 0 − ), f 0 (x + 0 ) tồn tại Hơn nữa, ta có f 0 (x0) = f 0 (x − 0 ) = f 0 (x + 0 ).
Ví dụ.Cho hàm sốy = f(x) = |x|, hỏi f 0 (0)có tồn tại hay không? Câu trả lời là không vì f 0 (0 + ) = lim
Suy ra f 0 (0 + )6= f 0 (0 − )nên f 0 (0)không tồn tại.
Đạo hàm của hàm số trên một khoảng và trên một đoạn
Hàm số f được gọi là có đạo hàm trên(a,b) nếu f 0 (x) tồn tại với mọi x ∈ (a,b) Hàm số f được gọi là có đạo hàm trên[a,b]nếu f 0 (x)tồn tại với mọix ∈(a,b)và f 0 (a + ), f 0 (b − )tồn tại.
ĐẠO HÀM HÀM HỢP
Nếu hàm z = u(x) có đạo hàm tại x ∈ D 1 và y = f(z) có đạo hàm tại z ∈ D2 thì hàm y = f[u(x)]có đạo hàm tạix ∈ D1và
Tính f 0 (x) Đặt u(v) = √ v, v(x) = 1+x 2 Ta có f(x) sin{u[v(x)]} Suy ra f 0 (x) = (sinu) 0 (u(v)) 0 (v(x)) 0 = (cosu)
ĐẠO HÀM HÀM NGƯỢC
Cho hàm số f : D → R , giả sử f có đạo hàm tại x ∈ D, f 0 (x) 6= 0 và f có hàm ngược f − 1 : f(D) →D Lúc này f − 1 có đạo hàm tạiy = f(x)∈ f(D)và
Ví dụ.Hàmy = a x có hàm ngược làx = log a ynên (log a y) 0 = 1
(a x ) 0 = 1 a x lna = 1 ylna Suy ra (log a x) 0 = 1 xlna,∀x>0.
Cho hàm số f có đạo hàm với mọix∈ (a,b) Lúc này f 0 (x)được gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số f Nếu ta coi f 0 (x)là một hàm số mới xác định trên(a,b)và nếu f’(x) có đạo hàm với mọix∈ (a,b) thì ta nói f có đạo hàm cấp 2 và kí hiệu f 00 (x) là đạo hàm cấp 2 của hàm số f Tương tự như vậy ta định nghĩa được đạo hàm cấp 3,4, của hàm số f và các đạo hàm này gọi là đạo hàm cấp cao của hàm số f. Đạo hàm cấp cao.
Ta kí hiệu đạo hàm cấpncủa hàm số f là f ( n ) Ta có f ( n ) (x) = (f ( n − 1 ) (x)) 0 ,n=3, 4,
SỰ KHẢ VI
Cho hàm số f xác định trên(a,b)vàx0∈ (a,b) Xét một số∆xsao cho|∆x|nhỏ tuỳ ý đểx0+∆x∈ (a,b).
Ta nói hàm số f khả vi tạix0nếu tồn tại hằng số Avà hàm sốε(∆x)sao cho f(x0+∆x)− f(x0) = A∆x+ε(∆x). và lim
Mối liên hệ giữa tính khả vi và đạo hàm
Cho hàm số f xác định trên (a,b) vàx0 ∈ (a,b) Hàm số f khả vi tạix0khi và chỉ khi f có đạo hàm tạix 0 Lúc này f(x 0 +∆x)− f(x 0 ) = f 0 (x 0 )∆x+ ε (∆x)với lim
Vi phân.Cho hàm số f khả vi với mọix ∈ (a,b) Nghĩa là ta có f(x+∆x)− f(x) = f 0 (x)∆x+ε(∆x) với lim
Lúc này ta gọi đại lượng f 0 (x)∆xlà vi phân của hàm số f tạixvà kí hiệu làd f(x) Vậy d f(x) = f 0 (x)∆x là vi phân của hàm số f tạix Nếu ta xét hàm số f(x) = x Hàm số này khả vi với mọi x ∈ R và f 0 (x) =1,∀x∈ R Do đó, ta suy rad f(x) = ∆xhay dx=∆x.
Nếu một hàm sốy = f(x) khả vi tạixthì ta có vi phân của hàm số tạix sẽ được cho bằng công thức dy= f 0 (x)dx.
Công thức tính gần đúng f(x0+∆x) ≈ f(x0) + f 0 (x0)∆x.
Ví dụ.Tính gần đúngsin 29 0 Ta có sin 29 0 =sin
180 Lúc này ta có sinπ
CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HÀM KHẢ VI
Định lý Fermat. Định lý 2.6.1 Cho hàm số f xác định trên(a,b) Nếu f có đạo hàm tạix0 ∈ (a,b)và đạt cực trị địa phương tại x0 thì f 0 (x) =0. Định lý Rolle. Định lý 2.6.2 Cho hàm số f liên tục trên[a,b]và có đạo hàm trên(a,b) Nếu f(a) = f(b)thì tồn tạic∈ (a,b)sao cho f 0 (c) = 0. Định lý Cauchy. Định lý 2.6.3 Cho hai hàm liên tục f,gtrên[a,b]và có đạo hàm trên(a,b) Tồn tạic∈ (a,b)sao cho[g(b)−g(a)] f 0 (c) = [f(b)− f(a)]g 0 (c). Định lý Lagrange Định lý 2.6.4 Cho hàm số f liên tục trên[a,b]và có đạo hàm trên(a,b) Tồn tạic∈ (a,b)sao cho f(b)− f(a) = (b−a)f 0 (c).
XẤP XỈ TUYẾN TÍNH
Ta thấy một đường cong nằm rất gần tiếp tuyến của nó tại tiếp điểm Thực tế khi phóng to tại tiếp điểm, đồ thị hàm số sẽ trùng với tiếp tuyến của nó Quan sát này là cơ sở cho phương pháp tính gần đúng giá trị hàm số.
Ví dụ.Cho hàm số f(x) = x 2 và tiếp tuyến tại điểm(1, 1)làL(x) =2x−1 Tính và so sánh f(1.1) với L(1.1), f(1.01)với L(1.01) Ta tính và so sánh các kết quả như sau f(1.1) = 1, 21 ≈ L(1.1) 1, 2;f(1.01) = 1, 0201≈ L(1, 01) =1, 02
Tổng quát, đồ thị hàm sốy= f(x)và tiếp tuyếnL(x) f(a) + f 0 (a)(x−a)rất gần nhau khix gần bằnga Vậy ta suy ra khixgầnathì f(x)≈ L(x) ⇔ f(x)≈ f(a) + f 0 (a)(x−a).
L(x)cho chúng ta một xấp xỉ tốt của f(x) trên một lân cận củaa.
Ta có công thức của xấp xỉ tuyến tính như sau.
Nếu hàm sốy = f(x)có đạo hàm tại x=athì f(x)≈ f(a) + f 0 (a)(x−a) gọi là xấp xỉ tuyến tính của f tạia Điểmx =alà tâm của xấp xỉ.
Ví dụ.Viết xấp xỉ tuyến tính của hàm số f(x) = √ x+3tạia =1 Tính gần đúng√
Ta xem hình ảnh sau.
4 vào công thức, ta được f(x) ≈ f(1) + f 0 (1)(x−1) =2+1
4. Xấp xỉ tuyến tính cần tìm khixgần1
Tương tự tính gần đúng√
KHAI TRIỂN TAYLOR VÀ MACLAURIN
Cho hàm f khả vi mọi cấp trên lân cậnVcủa điểma Giả sử với mọik ∈ N, tồn tại sốM>0sao cho|f ( k ) (x)| 6M,∀x ∈ V Lúc này, với mọix∈ V, ta có f(x) = a0+a1(x−a) +a2(x−a) 2 +a3(x−a) 3 + +an(x−a) n +
Ta chứng minh được an = f
( n )(a) n! ,n = 0, 1, 2, Khai triển này gọi là khai triển Taylor của f tại lân cận điểmx =a Tức là
Khai triển Taylor của hàm f lân cận điểmx =alà f(x) = f(a) + f 0 (a)(x−a)
Ví dụ.Viết khai triển Taylor của hàm f(x) = 1 x tại điểma=2. Đạo hàm: x − 1 −x − 2 2!x − 3 −3!x − 4 ã ã ã
2 4 ã ã ã Khai triển Taylor tạia =2là f(x) = 1
Nếua=0, khai triển trên gọi là khai triển Maclaurin f(x) = f(0) + f 0 (0)x
Ví dụ.Viết khai triển Maclaurin của hàm f(x) = e x Đạo hàm: e x e x e x e x e x e x e x e x e x e x ã ã ã Tại x =0 : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ã ã ã Khai triển Maclaurin cần tìm là e x =1+x+ x
Ví dụ.Tìm khai triển Taylor của hàm f(x) = 1 x trên một lân cận củax0 =2.
Ta có khai triển Taylor của f trên lân cậnx0=2là f (x) + ∞ n ∑ = 0 f ( n ) (2) n! (x−2) n ,∀x ∈ (2−h, 2+h).
Bảng khai triển Maclaurin các hàm thông dụng
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Bài 1.Với mọix∈ R Chứng minh bằng định nghĩa của đạo hàm
Bài 2.Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng công thức
1 Cho0 0,p ∈ R, khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng sau
1 x α dx. Để kiểm tra tích phân suy rộng này hội tụ hay phân kỳ, với mọi t > pta xét tích phân
1 x α dxvà chia thành hai trường hợp sau.
Trường hợp 1:α =1, ta có tích phân I(t) t
1 xdx=ln|t| −ln|p|. Suy ra lim t →+ ∞ I(t) = +∞nên tích phân suy rộng đang xét phân kỳ.
Trường hợp 2:0< α 6=1, ta có tích phânI(t) Zt p
1 x α dxhội tụ và có giá trị là p 1 − α α−1 nếuα >1và phân kỳ nếuα 61. a
− ∞ f(x)dx Với mọi t 6 a, xét tích phân xác định I(t) a
Z t f(x)dx Nếu t →−lim∞I(t) tồn tại hữu hạn và có giá trị bằngL thì ta nói
− ∞ f(x)dx hội tụ và có giá trị bằng L Ngược lại ta nói tích phân suy rộng này phân kỳ.
Ví dụ.Tính tích phân suy rộng
1+x 2 dxhội tụ và có giá trị bằng π
Ví dụ.Dự đoán sự hội tụ, phân kỳ của các tích phân sau thông qua đồ thị
− ∞ f(x)dxhội tụ nếu và chỉ nếu cả hai tích phân a
Ví dụ.Tính tích phân suy rộng
Tích phân này được viết lại như sau
1+x 2 dx Tương tự như trên ta cũng chứng minh được lim t →+ ∞ I(t) = π
1+x 2 dxhội tụ và có giá trị bằng π
1+x 2 dxhội tụ và có giá trị làπ.
Tích phân suy rộng loại 2
Zb a f(x)dx trong đó hàm f có điểm gián đoạn vô cùng trong miền lấy tích phân. alà điểm gián đoạn vô cùng.
1 Nếux = a là điểm gián đoạn vô cùng Với mọit ∈ (a,b), ta xét I(t) b
Z t f(x)dx Nếu tlim→ a + I(t)tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân
Zb a f(x)dxhội tụ, ngược lại ta nói tích phân phân kỳ.
0 lnxdx Điểm gián đoạn vô cùng là x = 0 vì lim x → 0 + lnx = −∞ Với mọi t ∈ (0, 1), ta xét I(t) Z1 t lnxdx Ta có I(t) = (xlnx)| 1 t −
Z1 t dx = −tlnt−1+t Vì tlim→ 0 + I(t) = lim t → 0 +
0 lnxdxhội tụ và có giá trị là−1.
1−x 2 dx Điểm gián đoạn vô cùng làx =−1vì lim x →− 1 +
1−x 2 dxhội tụ và có giá trị là π
2. blà điểm gián đoạn vô cùng.
2 Nếu x = b là điểm gián đoạn vô cùng Với mọi t ∈ (a,b) nhỏ tuỳ ý ta xét I(t) t
Z a f(x)dx.Nếu lim t → b − I(t)tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân b
Z a f(x)dxhội tụ, ngược lại ta nói tích phân phân kỳ.
1−x 2 dx Điểm gián đoạn vô cùng là x = 1 vì lim x → 1 −
1−x 2 dx Ta có I(t) = arcsinx| t 0 = arcsin(t) Vì tlim→ 1 − I(t) = π
1−x 2 dxhội tụ và có giá trị là π
0 lnx x dx Điểm gián đoạn vô cùng là x = 0 vì lim x → 0 + lnx x = −∞ Với mọi t ∈ (0, 1), ta xét I(t) 1
Z t lnx x dx Đặt u = lnx Suy ra I 0
2 Suy ra tlim→ 0 + I(t) =−∞nên tích phân
3 Nếux =clà điểm gián đoạn vô cùng trong(a,b) Lúc này b
Z a f(x)dxhội tụ khi và chỉ khi c
1 x+1 x−2dx Điểm gián đoạn vô cùng làx=2vìlim x → 2 x+1 x−2 =∞ Ta có
1 x+1 x−2dxphân kỳ vậy ta không cần đánh giá
2 x+1 x−2dxvà có thể kết luận
1 x+1 x−2dxphân kỳ Lưu ý đừng nhầm lẫn tích phân đang xét là tích phân xác định như sau
Cách làm này là sai vì hàm đang xét không xác định tạix=2trong miền lấy tích phân.
1−x 2 dx Tương tự, ta có
Ví dụ.Tính tích phân suy rộng
CÁC TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ HỘI TỤ
1 x p dxhội tụ khi và chỉ khi p>1.
1 x p dxhội tụ khi và chỉ khip ∈ (0, 1).
3 Tiêu chuẩn hội tụ do tính bị chặn.
Zb a f(x)dx(với lim x → a + f(x) = +∞) hội tụ⇔ ∃M>0,∀t∈ (a;b],
Ví dụ.Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau
4 Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối.
• Giả sử f liên tục hoặc liên tục từng khúc trên [a,+∞) Nếu
• Giả sử f liên tục hoặc liên tục từng khúc trên(a,b]vàx = alà điểm gián đoạn vô cùng của f Nếu
• Giả sử f là một hàm không âm, liên tục hoặc liên tục từng khúc trên [a,+∞). Nếu có hàm g không âm, liên tục hoặc liên tục từng khúc trên [a,+∞) sao cho f(x)>g(x),∀x>avà
• Giả sử f là một hàm không âm, liên tục hoặc liên tục từng khúc trên(a,b]vàx= a là điểm gián đoạn vô cùng của f Nếu có hàm gkhông âm, liên tục hoặc liên tục từng khúc trên (a,b] sao cho f(x) 6 g(x),∀a < x 6 b và
• Giả sử f là một hàm không âm, liên tục hoặc liên tục từng khúc trên(a,b]vàx= a là điểm gián đoạn vô cùng của f Nếu có hàm gkhông âm, liên tục hoặc liên tục từng khúc trên(a,b] sao cho f(x) > g(x),∀a < x 6 b và
Ví dụ.Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau
√1+x 8 dxhội tụ theo tiêu chuẩn so sánh Suy ra
√1+x 8 dx. hội tụ theo tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối.
Ví dụ.Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau
1−x 2 dxhội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.
Ví dụ.Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau
√ x 4x 2 +3x+1dx.Với mọix>1, ta có
√ x 4x 2 +3x+1dxphân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh.
• Giả sử f,glà các hàm dương, liên tục hoặc liên tục từng khúc trên [a,+∞) Nếu x →+lim ∞ f(x) g(x) tồn tại và bằng một sốL >0thì
Z + ∞ a g(x)dxcùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
• Giả sử f,glà các hàm dương, liên tục hoặc liên tục từng khúc trên(a,b] vàx = a là điểm gián đoạn vô cùng của f,g Nếu lim x → a + f(x) g(x) tồn tại và bằng một số L > 0 thì
Z b a g(x)dxcùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau
√1+x 3 dx Với mọi x > 1, ta xét f(x) xarctanx
√1+x 3 và g(x) = √1 x đều là những hàm không âm Nhận xét rằng lim x →+ ∞ f(x) g(x) = π
1 f(x)dxphân kỳ theo tiêu chuẩn giới hạn.
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH
Diện tích hình phẳng
• Diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi đồ thị của các hàm f,g, đường thẳng x = a,x = b trong đó f,g liên tục trên [a,b] và f(x) >g(x),∀x ∈[a,b]được cho bởi công thức
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y= f(x) = x 2 +1,y= x,x =0,x =1.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y = f(x) = x 2 ,y=g(x) = 2x−x 2
•Diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi đồ thị của các hàm f,g, đường thẳngx=a,x=btrong đó f,gliên tục trên[a,b], được cho bởi công thức
Ví dụ Tính diện tích hình giới hạn bởi các đường cong y =sinx,y =cosx,x=0,x = π
Thể tích
1 Xác định thể tích của một khối bằng cách cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox Cắt khối bằng các mặt cắt vuông góc trục Ox, khối bị chia thành nhiều khối lăng trụ Thể tích mỗi khối lăng trụ bằngA(x ∗ i )∆x, với A(x)là diện tích của mặt cắt.
Thể tích khối giới hạn bởi mặt x =a,x =bvới diện tích mặt cắt vuông góc trụcOxtại xlà A(x)bằng
2 Thể tích khối tròn xoay quanhOx.Xoay miền phẳng bị giới hạn bởi các đườngy = f(x),x a,x = b quanh trụcOx được khối có thể tíchV Lúc này mặt cắt vuông góc vớiOx tại x là một hình tròn có bán kínhr(x) = f(x)và có diện tíchA(x) = πr 2 (x).
Ví dụ.Tính thể tích khối tạo ra khi quay hình phẳng bị giới hạn bởi y = √ x,y = 0,x = 0,x = 1, quanh trụcOx.
3 Thể tích khối tròn xoay quanhOy.Xoay miền phẳng bị giới hạn bởi các đườngx= g(x),y c,y = d quanh trụcOy được khối có thể tích V Lúc này mặt cắt vuông góc vớiOy tại y là một hình tròn có bán kínhr(y) = g(y)và có diện tích A(x) = πr 2 (y).
Ví dụ Tính thể tích khối tạo bởi mặt phẳng: y= x 3 ,y =8,x =0khi xoay quanh trụcOy.
4 Xác định thể tích khối tròn xoay quanhOykhi cắt bởi một mặt trụ vuông góc vớiOx.
Xoay miền phẳng bị giới hạn bởi các đường y = f(x),y = 0,x = a,x = b quanh trục Oy
(0 6 a 6 b) được khối có thể tíchV Lúc này mặt trụ có trục làOy cắt theo phương vuông góc vớiOxtạix>0có bán kính đáy làxvà chiều cao là f(x)có diện tích làA(x) =2π x f(x).
Ví dụ.Tính thể tích khối, khi xoay hình phẳng bị giới hạn bởiy=2x 2 −x 3 ,y=0quanh trục Oy.
5 Độ dài đường cong. Đường cong trơn: x= x(t),y=y(t),t∈ [a,b]có độ dài
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Bài 1.Tìm các họ nguyên hàm sau.
Bài 2.Tìm các họ nguyên hàm sau.
Bài 3.Tìm các họ nguyên hàm sau.
Bài 4.Tìm các họ nguyên hàm sau.
Bài 5.Tính các tích phân sau.
Bài 6.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
Bài 7.Tính các tích phân suy rộng sau.
Bài 8.Choa0} = {(x,y)/x 2 +y 2 6 9}là một hình tròn tâmO(0, 0) bán kínhr =3 Miền giá trị
GIỚI HẠN CỦA HÀM HAI BIẾN
Cho hàm hai biến f xác định trên một tậpD ⊂ R 2 vàM0(x0,y0) ∈ R 2 là một điểm tụ củaD.
Giới hạn hàm hai biến.
Ta nói hàm f có giới hạn làLkhiM(x,y)tiến về M 0 (x 0 ,y 0 )nếu với mọi sốε>0đủ bé cho trước, tồn tại một sốδ(ε,M0) >0sao cho00,A>0nên(−1,−1)là điểm cực tiểu.
Cực trị có điều kiện
Tìm cực trị của hàmz = f(x,y) thỏa điều kiệnΓ : g(x,y) = 0, trong đó gx(x,y),gy(x,y)không đồng thời bằng không.
Phương pháp nhân tử Lagrange
2 Tìm điểm dừng(x 0 ,y 0 )trênΓthỏa
3 Tại(x0,y0), tính vi phân cấp hai d 2 L(x0,y0) = Lxx(x0,y0)dx 2 +2Lxy(x0,y0)dxdy+Lyy(x0,y0)dy 2 , với điều kiệndg(x0,y0) = gx(x0,y0)dx+gy(x0,y0)dy =0 (dx 2 +dy 2 >0).
• Nếud 2 L(x0,y0)>0,hàm số đạt cực tiểu tại(x0,y0).
• Nếud 2 L(x0,y0)0(dx 2 >0vì nếudx =0thìdy =0vô lý dodx 2 +dy 2 >0).
TạiN(−2, 3), tương tự ta cũng cód 2 L(−2, 3) >0 Do đóM,Nlà các điểm cực tiểu của hàm số với điều kiện4x 2 +y 2 %.
2dx Tương tự, tạiQ,dg
< 0 Do đó P,Qlà các điểm cực đại của hàm số với điều kiện4x 2 +y 2 %.
Ví dụ tương tự.Tìm cực trị của hàm số f(x,y) =4x 2 +4xy+y 2 với điều kiện16x 2 +y 2 =9.
Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất
Nếu f liên tục trên miền đóng và bị chặn D trong không gianR 2 thì f đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhấtmtại điểm(x 1 ,y 1 )và(x2,y2)trongD.
Tìm GTLN-GTNN của hàm f trên miền đóng và bị chặn Dcó biên ∂D : g(x,y) =0.
• Tìm điểm dừng của f hoặc những điểm mà tại đó các đạo hàm riêng không tồn tại thuộc miền trong của D.
• Tìm điểm dừng của bài toán cực trị có điều kiện f trên ∂D (Phương pháp nhân tử Lagrange).
• Giá trị lớn nhất của hàm số ở hai bước trên là GTLN Giá trị nhỏ nhất của hàm số ở hai bước trên là GTNN.
Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x,y) = xy 2 trên hình tròn D {(x,y)/x 2 +y 2 61}.
Ta thấy f liên tục trênDnên đạt giá trị lớn nhấtM, và giá trị nhỏ nhấtmtrênD Ta tìmM,mnhư sau
• Tìm điểm dừng thuộc miền trong củaD Ta có fx =y 2 , fy =2xy.
Giải hệ fx = fy = 0 được các điểm dừng bên trong hình tròn là là (0, 0) và (a, 0) với a ∈ (−1, 1)và ta có f(0, 0) = f(a, 0) =0.
• Trên biên của D là đường tròn∂D : g(x,y) = x 2 +y 2 −1=0 Ta xét hàm Lagrange sau đây
L = f(x,y) +λg(x,y) = xy 2 +λ(x 2 +y 2 −1). Giải hệLx =Ly = g(x,y) = 0ta được các điểm dừng sau
• So sánh các giá trị của hàm số tại các điểm dừng ta suy ra M= 2
Lưu ý Nếu bài toán trên chỉ xét trên biên của D : ∂D : g(x,y) = x 2 +y 2 −1 = 0 thì hàm số f(x,y) = xy 2 cũng đạt GTLN và GTNN trên∂Dvì∂Dcũng là một tập đóng và bị chặn trongR 2 Lúc này ta chỉ cần làm như sau.
L = f(x,y) +λg(x,y) = xy 2 +λ(x 2 +y 2 −1). Giải hệLx =Ly = g(x,y) = 0ta được các điểm dừng sau
• So sánh các giá trị của hàm số tại các điểm dừng ta suy raGTLN = 2
Tìm GTLN-GTNN của hàm f trên miền đóng và bị chặnDcó biên ∂Dbất kỳ.
• Tìm điểm dừng của f hoặc những điểm mà tại đó các đạo hàm riêng không tồn tại thuộc miền trong của D.
• Tìm GTLN-GTNN của f trên∂D.
• Giá trị lớn nhất của hàm số ở hai bước trên là GTLN Giá trị nhỏ nhất của hàm số ở hai bước trên là GTNN.
Ví dụ.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x,y) = x 2 −2xy+2ytrên hình chữ nhật
Ta thấy f liên tục trênDnên đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trênD.
• Tìm điểm dừng thuộc miền trong củaD Ta có fx =2x−2y, fy =−2x+2.
Cho đạo hàm riêng fx =0, fy =0được điểm dừng(1, 1)và f(1, 1) = 1.
• Tìm cực trị trên biên:L1,L2,L3,L4.
Do f tăng trênL1nên fmax = f(3, 0) =9, fmin = f(0, 0) =0.
Do f giảm trên L 2 nên fmax = f(3, 0) =9, f min = f(3, 2) =1.
Khảo sát hàm ta được fmax = f(0, 2) =4, fmin = f(2, 2) = 0.
Khảo sát hàm ta được fmax = f(0, 2) =4, f min = f(0, 0) = 0.
• So sánh f(1, 1), f(3, 0), f(0, 0), f(3, 2), f(0, 2), f(2, 2) Ta được fmax =9, f min =0.
BÀI TẬP CHƯƠNG 4
Bài 1.Tính các đạo hàm riêng cấp một của các hàm số sau
Bài 2.Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau tại các điểm đã cho.
Bài 3.Tính đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau
Bài 4.Tính đạo hàm riêng cấp cao của các hàm số sau
1 Cho hàmz =z(x,y) =arctanx y,y6=0 TínhP=yzx−xzy.
2 Cho hàmz =z(x,y) = x x 2 +y 2 ,x,y 6=0 TínhQ =xzx+yzy+z.
3 Cho hàmz =z(x,y) = x+ (y−1)arcsin rx y Tínhzx(t, 1),∀t ∈ R
Bài 6.Cho hàm số f = f(x,y,z) =ln x 3 +y 3 +z 3 −3xyz
1 Cho hàm sốz = f(x 2 +y 2 )trong đó f(u)là hàm khả vi với mọiu∈ R TínhA =yzx−xzy.
2 Cho hàm số z = y f(x 2 −y 2 ) trong đó f(u) là hàm khả vi với mọiu ∈ R TínhB = 1 xzx+ 1 yzy− z y 2 với x,y6=0.
3 Cho hàm sốz= x+ f(xy)trong đó f(u)là hàm khả vi với mọiu ∈ R TínhC= xzx−yzy− x+1.
4 Cho hàm số z = y f(cos(x−y)) trong đó f(u) là hàm khả vi với mọi u ∈ R Tính D y(zx+zy)−z.
5 Cho hàm số z = y f(x 2 −y 2 ) trong đó f(u) là hàm khả vi với mọi u ∈ R Tính E = 1 xzx+ 1 yzy− z y 2 với x,y6=0.
Bài 8.Cho phương trìnhF(x,y) =0vớiF(x,y) = 1+xy+ln e xy +e − xy
Giả sử từ phương trình này ta xác định được một hàm ẩny= f(x) Tính f 0 (x), f 00 (x).
Bài 9.Tính đạo hàm riêng của hàm f theo biếnx, dy dx, tại các điểm đã cho.
Bài 10.Tính đạo hàm riêng của hàmz, ∂z
∂y tại các điểm đã cho.
4 xe y +ye z +2 lnx−2−3 ln 2=0,(1, ln 2, ln 3).
Bài 10.Cho phương trình F(x,y) = 0với F(x,y) = ysinx−cos(x−y) Giả sử từ phương trình này ta xác định được một hàm ẩny= f(x)và f(0) = π
Bài 11.Tìm cực trị tự do của các hàm hai biến sau
Bài 12.Tìm cực trị của các hàm số sau đây với điều kiện được cho.
Bài 13.Tìm Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số thỏa điều kiện được cho.
Bài 14.Tìm điểmMthỏa yêu cầu.
1 Thuộc mặtx+2y+3zgần điểm(1, 1, 1)nhất.
2 Thuộc mặtx 2 +y 2 +z 2 =4xa điểm(1,−1, 1)nhất.
3 Thuộc mặtx 2 +y 2 −z 2 =1gần gốc tọa độ nhất.
4 Thuộc mặtz= xy+1gần gốc tọa độ nhất.
5 Thuộc mặtz 2 =xy+4gần gốc tọa độ nhất.
6 Thuộc mặtxyz =1gần gốc tọa độ nhất.
7 Thuộc mặtxy 2 =54gần gốc tọa độ nhất.
8 Thuộc mặtx 2 y =2gần gốc tọa độ nhất.
Bài 15.Tìm Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số thỏa điều kiện được cho.
MA TRẬN, ĐỊNH THỨC, HỆ PHƯƠNG
MA TRẬN
Định nghĩa
Một ma trậnmdòng vàncột là một bộ gồmm.nphần tử (thuộcRhoặc thuộcC) được sắp xếp theo một trình tự nhất định trên khung hình chữ nhậtm dòngn cột Số dòngm và số cộtngọi là kích cỡ của ma trận.
Ta kí hiệu ma trận bởi các chữA,B,C, hoặcAm × n,B n × k, Ta cũng thường kí hiệu ma trậnAm × n là Am × n( R )hoặc làAm × n( C )để chỉ các phần tử của ma trận là thuộcRhoặc thuộcC.
Ví dụ.Cho ma trận 4 hàng và 5 cột như sau
Cho ma trậnAm × n như sau
Phần tử ở dòngi(16i6m), cột j(16 j6n)được kí hiệu làa ij Các phần tửa ii trong ma trận gọi là đường chéo chính của ma trận Ta cũng có thể ký hiệu một ma trận thông qua các phần tử của nó như sau(aij),(bij)(cij),
Các loại ma trận
1 Ma trận không kí hiệu làOlà ma trận mà các phần tử của nó đều là 0.
2 Ma trận vuông là ma trận có số dòng bằng số cột (bằngn) Lúc này ta gọi là ma trận vuông cấpn, kí hiệuAn,Bn,Cn,
3 Ma trận đơn vị cấpnlà ma trận vuông cấpn, kí hiệu làIn Các phần tử của ma trận này thỏa a ij ( 0, i6=j,
4 Ma trận chuyển vị của ma trận A, kí hiệu A T là ma trận chuyển dòng thành cột.
5 Ma trận tam giác trên là ma trận vuông mà tất cả các phần tử dưới đường chéo chính đều bằng 0 Ta định nghĩa tương tự cho ma trận tam giác dưới.
Tập hợp các ma trận.
Ta kí hiệuM m × n ( R )là tập hợp các ma trậnmdòngncột với các phần tử đều thuộcR.
Vết của ma trận vuông.
ChoAlà một ma trận vuông, ta định nghĩavếtcủa ma trậnA, ký hiệutr(A), là tổng của các phần tử trên đường chéo chính Nếu ma trận không vuông thì ta không có định nghĩavết của ma trận.
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
Phép nhân hai ma trận
Điều kiện thực hiện phép nhân.
Phép nhân của hai ma trận chỉ thực hiện được nếu số cột của ma trận trước bằng số dòng của ma trận sau.
Cho hai trậnAm × n vàB n × k Ta chỉ thực hiện được phép nhân như sau Am × n.B n × k.
Kết quả là một ma trậnC m × k trong đó c ij =a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj , ∀i=1,m, ∀j=1,k.
Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.
Lũy thừa ma trận
Lũy thừa của ma trận vuông.
Cho ma trậnAlà một ma trận vuông cấpnvà một số tự nhiênm Ta quy ước A 0 = In và
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN DÒNG
Cho ma trận Am × n, m > 2, ta kí hiệu d i là dòng thứicủa ma trận A Ta có các phép biến đổi sơ cấp trên dòng sau đây để thực hiện trên ma trận A
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Định nghĩa
Cho ma trận vuông A cấpn Gọi In là ma trận đơn vị cấpn Khi đó một ma trận vuông B thỏa A.B = B.A = In, được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A Lúc này ma trận B được kí hiệu là A − 1 vàAlúc này được gọi là khả nghịch. Đương nhiên nếuB = A − 1 thì có nghĩa là A=B − 1 Vậy ta suy ra(A − 1 ) − 1 = A.
Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Lập ma trận mở rộng(A|In) Sau đó bằng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng ta đưa(A|In) thành (In|B) Lúc này B = A − 1 Trong quá trình biến đổi nếu ma trận bên trái xuất hiện ít nhất một dòng bằng không thì ta kết luận A − 1 không tồn tại tức là Akhông khả nghịch.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Ma trận bậc thang và phép khử Gauss
Ma trận bậc thang là một ma trận có tất cả các dòng khác không nằm ở phía trên các dòng bằng không và trong các dòng khác không thì phần tử đầu tiên khác không của dòng dưới nằm bên phải phần tử đầu tiên khác không của dòng ngay trên nó.
Một quá trình thực hiện liên tiếp các phép biến đổi dòng để biến một ma trận biểu diễn thành ma trận bậc thang được gọi là phép khử Gauss.
Cho ma trậnA Hạng của ma trận A, kí hiệu làr(A)là số dòng khác không của một ma trận bậc thangBcó được từ Asau một số phép biến đổi sơ cấp trên dòng.
Hệ phương trình tuyến tính
Cho hệ phương trình gồmmphương trình vànẩn số như sau
Hệ (5.1) được gọi là hệ phương trình tuyến tínhn ẩn x1,x2, , ,xn Hệ (5.1) tương đương với một phương trình ma trậnAX =B, trong đó
Giải hệ bằng phương pháp Gauss. Để giải hệ (5.1), ta xét ma trận mở rộng(A|B)rồi dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận(A|B)về một ma trận bậc thang.
Sau đó biện luận nghiệm của hệ bằng định lý sau Định lý Kronecker Capelli
1 Nếur(A|B) >r(A)thì hệ (5.1) vô nghiệm.
2 Nếur(A|B) = r(A) = nthì hệ (5.1) có nghiệm duy nhất.
3 Nếur(A|B) =r(A) = k 3, ta xét ma trận M ij là ma trận có được từ ma trận Abằng cách xoá đi dòngi và cột j.
Lúc này, nếu xét cột jthì vớii =1, 2, ,nta định nghĩa det(A) ∑ n j = 1 a ij (−1) i + j det M ij
Hoặc nếu chọn dòngithì vớij=1, 2, ,nta cũng có det(A) ∑ n i = 1 aij(−1) i + j det M ij
Các tính chất
1 NếuAcó ít nhất một dòng hay một cột bằng không thìdet(A) = 0.
7 NếuAlà ma trận tam giác thìdet(A)bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.
Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức
Tínhdet(A) Nếudet(A) =0thìA − 1 không tồn tại.
Nếudet(A) 6=0thì A − 1 tồn tại và
A − 1 = 1 det(A)adj(A), trong đóadj(A) = (C ij ) T với
vàC ij = (−1) i + j det M ij gọi là phần bù đại số củaa ij
Phương pháp Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính
Cho hệ phương trìnhnẩn,nphương trình như sau
Hệ tương đương với một phương trình ma trậnAX =B, trong đó
• Nếudet(A) 6=0thì hệ phương trình có nghiệm duy nhấtX = (x1,x2, ,xn)với x k = det(A k ) det(A) , k =1, ,n với A k là ma trận có được bằng cách thay cột thứkcủa ma trậnAbằng ma trậnB.
• Nếu det(A) = 0 và tồn tại 1 6 k 6 n sao cho det(A k ) 6= 0 thì hệ phương trình vô nghiệm.
• Nếudet(A) (A k ) =0với mọik =1, ,nthì hệ phương trình vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm.
Tính những ma trận sau (nếu được).
Bài 6.Cho A(α) = cos α −sinα sinα cosα
Bài 7.Tìm hạng của các ma trận sau đây
Bài 8.Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của các ma trận sau bằng biến đổi sơ cấp trên dòng.
Bài 9.Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss.
Bài 10.Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Gauss.
Bài 11.Sử dụng kĩ thuật thích hợp để tính định thức ma trận vuông cấp 2 và cấp 3.
Bài 12.Tìm tất cả các giá trị củaλthỏa điều kiệndet(A) = 0.
Bài 13.Hãy tìm dấu và phần bù đại số của những ma trận sau.
Bài 16.Hãy tính định thức ma trận theo dòng hoặc cột hợp lí nhất.
Bài 17.Tính định thức ma trận sau bằng các phép biến đổi trên dòng.
Bài 18.Cho ma trận thỏa a b c d e f g h i
=−6.Hãy tính định thức của những ma trận sau
Bài 19.Các ma trận sau có khả nghịch không?
Bài 20.Tìm giá trị củakđể các ma trận sau khả nghịch.
Bài 21.Xét tính khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) bằng định thức.
Bài 22.Sử dụng phương pháp Cramer giải hệ phương trình sau.
Bài 23.Cho hệ phương trình sau.
1 Giải bằng phương pháp Cramer.
2 Giải bằng phương pháp khử Gauss.
3 So sánh khối lượng tính toán của hai phương pháp trên.