lập thànhmột dãy các số thực và ta nói đây là một dãy số thực.. Trang 9 Các hàm lượng giác• Hàm số y=sin x.. =0.1.4.4Tính giới hạn của một dãy sốTrong chương trình phổ thông, khi tính gi
TOÁN CAO CẤP 1 TS BÙI THANH DUY KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Trường Đại học Kiến trúc Tp Hồ Chí Minh THS PHẠM MINH TRÍ Trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp Vĩnh Long Thành phố Hồ Chí Minh Ngày 16 tháng 10 năm 2022 Mục lục 1 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ 1 1.1 ÁNH XẠ 1 1.2 DÃY SỐ 2 1.3 HÀM SỐ 2 1.3.1 Hàm sơ cấp 5 1.4 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 5 1.4.1 Định nghĩa 5 1.4.2 Các tính chất cơ bản 6 1.4.3 Một số kết quả thông dụng 7 1.4.4 Tính giới hạn của một dãy số 7 1.5 GIỚI HẠN HÀM SỐ 9 1.5.1 Định nghĩa 9 1.5.2 Các tính chất cơ bản 11 1.5.3 Giới hạn một bên 14 1.5.4 Các dạng vô định khi tính giới hạn của hàm số 16 1.6 BÀI TẬP CHƯƠNG 1 19 2 ĐẠO HÀM HÀM MỘT BIẾN 23 2.1 ĐẠO HÀM 23 2.1.1 Đạo hàm của hàm số tại một điểm 23 2.1.2 Đạo hàm bên trái và bên phải 24 2.1.3 Đạo hàm của hàm số trên một khoảng và trên một đoạn 24 2.2 ĐẠO HÀM HÀM HỢP 25 2.3 ĐẠO HÀM HÀM NGƯỢC 25 2.4 ĐẠO HÀM CẤP CAO 25 2.5 SỰ KHẢ VI 26 2.6 CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HÀM KHẢ VI 27 2.7 XẤP XỈ TUYẾN TÍNH 27 2.8 KHAI TRIỂN TAYLOR VÀ MACLAURIN 28 2.9 BÀI TẬP CHƯƠNG 2 30 2.10 BÀI ĐỌC THÊM 34 3 TÍCH PHÂN 46 3.1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 46 3.1.1 Nguyên hàm 46 3.1.2 Cách tính nguyên hàm của một số hàm cơ bản 48 3.1.3 Tích phân xác định 51 3.2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 55 3.2.1 Tích phân suy rộng loại 1 55 3.2.2 Tích phân suy rộng loại 2 58 3.3 CÁC TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ HỘI TỤ 61 3.4 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH 63 3.4.1 Diện tích hình phẳng 63 3.4.2 Thể tích 64 3.5 BÀI TẬP CHƯƠNG 3 66 4 HÀM HAI BIẾN 75 4.1 TÍCH DESCARTES VÀ KHÔNG GIAN Rn 75 4.1.1 Tích Descartes 75 4.1.2 Không gian Rn 75 4.2 HÀM NHIỀU BIẾN 76 4.3 GIỚI HẠN CỦA HÀM HAI BIẾN 76 4.4 HÀM SỐ LIÊN TỤC 78 4.5 ĐẠO HÀM RIÊNG 79 4.6 ĐẠO HÀM CẤP CAO 81 4.7 SỰ KHẢ VI 82 4.7.1 Định nghĩa 82 4.7.2 Định lí liên quan giữa tính liên tục và khả vi 82 4.7.3 Vi phân toàn phần 83 4.8 ĐẠO HÀM HÀM HỢP 83 4.9 ĐẠO HÀM HÀM ẨN 84 4.10 CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN 85 4.10.1 Định nghĩa 85 4.10.2 Thuật toán tìm cực trị (tự do) của hàm hai biến 86 4.10.3 Cực trị có điều kiện 87 4.10.4 Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất 89 4.11 BÀI TẬP CHƯƠNG 4 91 5 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 97 5.1 MA TRẬN 97 5.1.1 Định nghĩa 97 5.1.2 Các loại ma trận 98 5.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 98 5.2.1 Phép nhân hai ma trận 98 5.2.2 Lũy thừa ma trận 99 5.3 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN DÒNG 99 5.4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 99 5.4.1 Định nghĩa 99 5.5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 100 5.5.1 Ma trận bậc thang và phép khử Gauss 100 5.5.2 Hệ phương trình tuyến tính 100 5.6 ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG 101 5.6.1 Định nghĩa 101 5.6.2 Các tính chất 102 5.6.3 Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức 102 5.6.4 Phương pháp Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính 102 5.7 BÀI TẬP CHƯƠNG 5 103 Chương 1 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ 1.1 ÁNH XẠ Định nghĩa Cho hai tập hợp E và F, ta gọi một ánh xạ từ tập E vào tập F là một quy luật tương ứng f sao cho với mỗi phần tử x ∈ E, có duy nhất một phần tử y ∈ F được xác định bởi y = f (x) Ta thường ký hiệu ánh xạ đó là f : E → F Các loại ánh xạ Cho ánh xạ f : E → F Ta nói 1 f là một đơn ánh nếu với mọi y ∈ F, có nhiều nhất một x ∈ E sao cho y = f (x) 2 f là một toàn ánh nếu với mọi y ∈ F, có ít nhất một x ∈ E sao cho y = f (x) 3 f là một song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh 4 Cho ánh xạ f : E → F và ánh xạ g : F → G Ta nói ánh xạ h = g ◦ f là ánh xạ hợp của g và f nếu với mọi x ∈ E, tồn tại duy nhất z ∈ G được xác định bởi z = h(x) = (g ◦ f )(x) = g( f (x)) 5 Cho ánh xạ f : E → F là một song ánh lúc này và ánh xạ g : F → E cũng là một song ánh sao cho với mọi y ∈ F, tồn tại duy nhất x ∈ E được xác định bởi x = g(y) với y = f (x) g được gọi là ánh xạ ngược của f ký hiệu là g = f −1 1 https://sites.google.com/uah.edu.vn/b-thanhduy551986 TOÁN CAO CẤP 1 1.2 DÃY SỐ Định nghĩa Cho ánh xạ f : N → R Với n = 1, 2, 3, Ta có các giá trị f (1), f (2), f (3), lập thành một dãy các số thực và ta nói đây là một dãy số thực Nếu đặt xn = f (n), ta có dãy số x1, x2, x3, , xn, , ký hiệu là (xn)n∈N hay {xn}n∈N Ví dụ Cho dãy số (xn) với xn như sau xn = 1, ta có dãy 1, 1, 1, , 1 xn = (−1)n, ta có dãy −1, 1, −1, , (−1)n, 1 + (−1)n 1 1 + (−1)n xn = n , ta có dãy 0, 1, 0, 2 , , n , 1.3 HÀM SỐ Định nghĩa Một hàm số f là một ánh xạ đi từ một tập con D của R vào chính nó D được gọi là miền xác định của hàm số và tập f (D) = { f (x) : x ∈ D} gọi là miền giá trị của hàm số Phần tử x ∈ D gọi là biến số của hàm Các hàm sơ cấp cơ bản Hàm lũy thừa Là hàm số có dạng y = f (x) = xα trong đó α ∈ R Hàm số này có miền xác định phụ thuộc vào α Đồ thị hàm y = xα trong một số trường hợp TS Bùi Thanh Duy 2 duy.buithanh@uah.edu.vn https://sites.google.com/uah.edu.vn/b-thanhduy551986 TOÁN CAO CẤP 1 Ta xét các trường hợp sau • Nếu α = 0, 1, 2, thì miền xác định là D = R • Nếu α = −1, −2, thì miền xác định là D = {x ∈ R : x = 0} • Nếu α = 1, 1, 1 thì miền xác định là D = [0, +∞) 248 • Nếu α = − 1, − 1, − 1 thì miền xác định là D = (0, +∞) 248 • Nếu α = 1, 1, 1 thì miền xác định là D = R 357 • Nếu α = − 1, − 1, − 1 thì miền xác định là D = {x ∈ R : x = 0} 357 • Nếu α là số vô tỉ và α > 0 thì D = [0, +∞), α < 0 thì D = (0, +∞) • Nếu α ∈ R thì D = (0, +∞) Hàm mũ Là hàm số có dạng y = f (x) = ax trong đó 0 < a = 1 Hàm số này có miền xác định là D = R và miền giá trị f (D) = (0, +∞) Hàm số tăng khi a > 1 và giảm khi a ∈ (0, 1) Đồ thị hàm y = ax Hàm logarit Là hàm số có dạng y = f (x) = logax trong đó 0 < a = 1 Hàm số này có miền xác định là D = (0, +∞) và miền giá trị f (D) = R Hàm số tăng khi a > 1 và giảm khi a ∈ (0, 1) Đồ thị hàm y = loga x TS Bùi Thanh Duy 3 duy.buithanh@uah.edu.vn https://sites.google.com/uah.edu.vn/b-thanhduy551986 TOÁN CAO CẤP 1 Các hàm lượng giác • Hàm số y = sin x Tập xác định của hàm số này là D = R và tập giá trị là R = [−1, 1] • Hàm số y = cos x Tập xác định của hàm số này là D = R và tập giá trị là R = [−1, 1] • Hàm số y = tan x Tập xác định của hàm số D = {x ∈ R, cos x = 0} và tập giá trị là R • Hàm số y = cot x Tập xác định của hàm số D = {x ∈ R, sin x = 0} và tập giá trị là R Đồ thị hàm sin, cos, tan, cot 1 1 y = cos(x) y = sin(x) −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 1234 −1 y = tan(x) y = cot(x) −1 Các hàm lượng giác ngược 1 Hàm số y = arcsin x Hàm số này có miền xác định D = [−1, 1] và miền giá trị R = − π , π Với mọi x ∈ (−1, 1), ta có (arcsin x) = √ 1 22 1 − x2 2 Hàm số y = arccos x Hàm số này có miền xác định D = [−1, 1] và miền giá trị R = [0, π] Với mọi x ∈ (−1, 1), ta có (arccos x) = − √ 1 1 − x2 3 Hàm số y = arctan x Hàm số này có miền xác định D = R và miền giá trị R = ππ 1 − , Với mọi x ∈ R, ta có (arctan x) = 2 22 1+x 4 Hàm số y = arccotx Hàm số này có miền xác định D = R và miền giá trị R = (0, π) 1 Với mọi x ∈ R, ta có (arccotx) = − 2 1+x Chú ý: TS Bùi Thanh Duy 4 duy.buithanh@uah.edu.vn https://sites.google.com/uah.edu.vn/b-thanhduy551986 TOÁN CAO CẤP 1 • y = arcsin x ⇔ x = sin y, • y = arctan x ⇔ x = tan y, • y = arccos x ⇔ x = cos y, • y = arccot x ⇔ x = cot y Tính các giá trị sau 1 6 arctan tan 3π 8 tan arcsin 2 √ 3 arctan √ 4 3 1 arcsin 3 3 7 cos arcsin 1 √ 2 4 arctan 1 2 9 sin 2 arctan 2 √ 1 2 arccos 3 5 arcsin √ 2 2 Đồ thị các hàm lượng giác ngược 1.3.1 Hàm sơ cấp Hàm sơ cấp là những hàm được tạo ra từ một số hữu hạn các phép lấy tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp của các hàm sơ cấp cơ bản và các hằng số 1.4 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1.4.1 Định nghĩa Dãy số có giới hạn hữu hạn Cho dãy số (xn) : x1, x2, x3, , xn, Ta nói số L ∈ R là giới hạn của dãy số này nếu với mọi số ε > 0 đủ bé cho trước, tồn tại số nε ∈ N sao cho với mọi chỉ số n nε, ta có |xn − L| < ε Lúc này ta ký hiệu L = lim xn Nói một cách dễ hiểu hơn, số L ∈ R là giới hạn của dãy số (xn) nếu |xn − L| tiến về 0 khi n tiến ra vô cùng TS Bùi Thanh Duy 5 duy.buithanh@uah.edu.vn