Toán cao cấp 1 2013

Ngoài cách Tx=xATTx=AxT.

GS.TSKH

T ThS

Website: http://www.hutech.edu.vn

I IV

BÀI 1 1

1.1 1

1.2 15

TÓM 24

BÀI 25

CÂU 26

BÀI 2 28

2.1 28

2.2 CÁC PHÉP B HÀNG 30

2.3 CÁC PHÉP TOÁN MA 34

2.4 MA 37

2.5 NG MA 41

TÓM 45

BÀI 46

CÂU 47

BÀI 3 N TÍNH 49

3.1 TRÌNH TÍNH 49

3.2 TRÌNH 58

3.3 CRAMER, PH PHÁP 59

TÓM 62

BÀI 62

CÂU 64

BÀI 4 KHÔNG GIAN VÉC-T 65

4.1 KHÔNG GIAN VÉC- 65

4.2 KHÔNG GIAN VÉC- CON 69

4.3 KHÔNG GIAN CON SINH 73

TÓM 79

BÀI 80

CÂU 81

BÀI 5 C KHÔNG GIAN VÉC- 82

5.1 VÉC- TÍNH 82

5.2 VÀ 87

TÓM T 93

BÀI 94

CÂU 95

BÀI 6 T - C- 96

6.1 VÉC- THEO 96

6.2 VÉC- 98

6.3 MA 104

TÓM 109

BÀI 110

CÂU 112

BÀI 7 A KHÔNG GIAN CON 113

7.1 KHÔNG GIAN HÀNG VÀ KHÔNG GIAN MA 113

7.2 VÀ KHÔNG GIAN SINH 118

7.3 KHÔNG GIAN 121

TÓM 125

BÀI 126

CÂU 128

BÀI 8 KHÔNG GIAN TÍCH VÔ H 129

8.1 KHÔNG GIAN VÉC- TÍCH VÔ 129

8.2 TÍNH GIAO 133

TÓM 140

BÀI 141

CÂU 143

BÀI 9 Á 145

9.1 VÀ VÍ 145

9.2 NHÂN VÀ 148

9.3 N MA ÁNH TÍNH 152

TÓM 160

BÀI 161

CÂU 162

BÀI 10 - 164

10.2 GIÁ RIÊNG, VÉC- RIÊNG 166

10.3 CHÉO HÓA MA 171

10.4 CHÉO HÓA GIAO 174

TÓM 177

BÀI 178

CÂU 179

BÀI 11 182

11.1 TOÀN 182

11.2 D QUÁN TÍNH, TOÀN XÁC 187

TÓM 190

BÀI 191

CÂU 192

t-

Bà

-giao

-

véc-véc- theo ình 1.2)

Hình 1.2 , z 1 z 2 , w=z 1 z 2 hay w w=z 1 +( z 2 )

Cho z 1 = r 1 (cos 1 + isin 1 ), z 2 = r 2 (cos 2 + isin 2 )

z1z2 = r1r2 (cos 1 + isin 1) (cos 2 + isin 2)

+ isin kí

sau

Cho z = r(cos + i sin ) w = = (cos + i sin ) và wn = z

n (cos n + i sin n ) = r (cos + i sin )

1.2.1

n (n=2,3) det(A), det

n

a 11, a 22 a nn) T

1.2.14 lí

chính det A = a 11 a 22 a nn

1.2.15

1.2.16

lí

,

2-

nó

2.2.9

2.2.10 lí

Chú ý

v E 1 , E 2 m A thành I g

1(A I) thành (I A 1)

2 2 1 3 3

Chú ý T

2) rank A = rank AT

Câu 5

Câu 6

A m=1; B m=-2; C m=3; D m=2

5 hàng 2

3 hàng 3

hàng 3 hàng 2

2 m 1 1 m

2 n n 2 2

22 1 21

1 n n 1 2

12 1 11

d

x

c

c

x

c

x

c

(A|b)

) ta xem

BÀI 4 KHÔNG GIAN VÉC-T

4.1.4 Ví d Cho n là m t s nguyên không âm, g i t p n[t], g c

p(t)=a0+a1 ntn, theo bi n t, có b c không quá n an b t kì, cùng

(2) Trong không gian 2

M1+M2) M A V i b t kì , A( M1) = (AM1) = (M 1 A) = ( M1)A, nên ( M1)) M A M A là m t không gian con c a n ( )

- v - x, y, z trong 3 hay không?

v = 1x + 2y + 3z, khi

(1,2,5) = 1(1,1,1) + 2(1,2,3) + 3(2,1,1) (1,2,5) = ( 1, 1, 1) + ( 2,2 2,3 2) + (2 3, 3, 3)

chúng, cho nên M Span S

x=(x1, x2, x3) = x1e1+x2e2+x3e3 Span S = 3

không gian véc-

( 1)v1 + 2v2 + + mvm = 0

1, 2, 3, 4véc- f 1 , f 2 , f 3 , f 4 trong 2[t]

5.2.10 lí Trong không gian

-gian 3 có dim( 3)=3, nên {v 1 , v 2 , v 3} 3

5.2.15 Trong không gian 2[t E={p1=1, p2=t ,p3=t2}

2[t p(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t2, a i i

p = a0p1 + a 1 p2 + a 2 p3

2[t] = Span{p1, p2, p3}

2[t]

-Bài 1 Trong không gian 3, cho ba

Bài 7 Trong không gian 4

x

6.2.4 Trong không gian 4, hãy

-6.2.5 Cho không gian

6.3

khác nhau

B C)-1 = PC B, hay (PC B)-1 = PB C

ây

6.3.5 Trong không gian 2

C

-7.1.2 A m n, A=(aij) Ai* là

véc-A và véc-A *j là

A

i m véc- A1*, A2* Am* } (c a không gian n không gian hàng A, là Row A hay Row(A),

Row A = Span{A1*, A2* Am* }

Không gian con sinh b i n véc- t {A *1 , A *2 A *n} (c a không gian m)

A là Col A hay Col(A), Col A = Span{A *1 , A *2 A *n }

7.1.5 thì Row A = Row B, nên dim Row A = dim Row B

S B, {[v1]B , [v2]B vm]B}

A = [[v1]B , [v2]B vm]B]

không gian con V

7.2.2 Trong không gian 3,

x x

W={x = (x1,x2,x3) :x1 +x2 +x3 = 0}

- dim Col(A) = dim Row(A) = rankA

Bài 1 Trong không gian 3, cho không gian con

Bài 7 Trong không gian 2[x], cho

W = Span{x 2 + 2; 2x 2 + x + 1} và U = Span{3x 2 + 2x; x 2 x + m}

W

Bài 8 Trong không gian 2(

nh s chi u và tìm m cho không gian con Span S c a 2( )

Câu 1 Trong không gian , cho các không gian con

BÀI 8 KHÔNG GIAN TÍCH VÔ

á×,×ñ X là không gian

véc-)

Khi X là không gian

véc-áx,yñ=áy,xñ, thì X không gian Euclid

Span(M), hay x Span(M)

(4) M là

(5)

8.2.3 Trong không gian 3

-8.2.5 Cho {v 1 , v 2 n - không trong

8.2.9 Trong không gian Euclid

Bài 2 Trong không gian 2 - x=(x1,x2) và y=(y1, y2) là

áx, yñ = x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 + mx2y2

m a) Cho x=(1, 2), hãy tính x

Bài 10 Trong không gian 3, cho

Câu 3 Trong

,

a) T(0x) = 0y (0x và 0y là các

b)

c) T( x) = Tx,

Còn

x 1 , x 2 KerT, ta có T (x 1 + x 2 ) = Tx 1 +Tx 2 = 0 + 0 = 0 nên x 1 + x 2 KerT KerT là không

X

y 1 , y 2 ImT, x 1 , x 2 X : y 1 = Tx 1 , y 2 = Tx 2

ð ð

9.3.11 Chú ý

(Rank T = dim (ImT)

Trong bài này, sinh viên làm quen v i m t khái ni m

1 T - X vào không gian véc- Y thì

21A

P A ( ) = 0

2- Ma

; ;

-U 1 AU = U T AU = e.

Trong bài này, sinh viên làm quen v i m t khái ni m

Bài 1 - A sau

c)

111

212

214

và véc-

, A có hai

véc-Câu 7 Cho M = , 2 M)10

= 1y1 + 2y2 nyn

11.1.4

f(x) = f(x1, x2, x3) = 3x2 + 4x1x2 2x1x3 4x2x3

1 = 2 = 1; 3 f(x) =

= 1 ta có hai véc- 1,1)T và (1,0,1)T

T

2

1,

11.1.5

1,e2 n

2 1 12 khác không

11 1