Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 54 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
54
Dung lượng
803,93 KB
Nội dung
NGUYỄN QUỐC TIẾN BÀI GIẢNG TOÁNCAOCẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011 Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN CHƯƠNG GIỚI HẠN-TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1.1 Giới hạn hàm số 1.1.1 Định nghĩa Cho hàm số f ( x ) xác định lân cận x0 (có thể trừ x0 ) Số L gọi giới hạn hàm số f ( x ) x dần đến x0 nếu: 0, 0, x D : (0 x x0 f ( x) L ) kí hiệu lim f ( x) L hay f ( x ) L x x0 x x0 Giới hạn hàm số f ( x ) x dần đến x0 định nghĩa thơng qua giới hạn dãy số sau: lim f ( x) L xn : xn x0 f ( xn ) L x x0 1.1.2 Định lí Cho f ( x ), u ( x), v( x ) xác định lân cận x0 trừ x0 Nếu u ( x) f ( x) v( x) với x thuộc lân cận lim u ( x) lim v ( x ) L x x0 x x0 lim f ( x) L x x0 Ví dụ Chứng minh lim x0 Thật x :0 x lim sin x x 0 sin x 1 x sin x ta có bất đẳng thức cos x , mà lim cos x suy x 0 x 1 x 1.1.3 Một số tính chất giới hạn hàm số i) Nếu lim f ( x) L giới hạn x x0 ii) lim C C (C : số) x x0 iii) Nếu f ( x) g ( x), x thuộc lân cận x0 vơ cực lim f ( x) lim g ( x) (nếu giới hạn tồn tại) x x0 x x0 Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN iv) Nếu f ( x) g ( x) h( x), x thuộc lân cận x0 vơ cực lim f ( x) L lim h ( x) lim g ( x) L x x0 x x0 x x v) Giả sử hàm số f ( x), g ( x) có giới hạn x x0 ta có kết sau : lim ( f ( x) g ( x )) lim f ( x ) lim g ( x ) x x0 x x0 x x0 lim kf ( x) k lim f ( x) x xo x xo lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) x xo lim x x0 x xo x xo f ( x) f ( x) xlim x , lim g ( x ) g ( x ) lim g ( x) x x0 x x0 1.2 Vô bé Giả sử ta xét hàm trình, chẳng hạn x xo (Những kết đạt trình khác) 1.2.1 Định nghĩa Hàm ( x) gọi vô bé (VCB) trình x xo lim ( x ) x x0 Ví dụ sin x, tgx, cos x VCB x , x 1 VCB x x2 1.2.2 So sánh hai VCB Cho ( x) ( x ) hai VCB trình (chẳng hạn x xo ) Khi tốc độ tiến chúng đơi có ý nghĩa quan trọng Cụ thể ta có định nghĩa: Nếu lim ( x) ta nói ( x) VCB bậc cao VCB ( x) q trình ( ( x) ( x) dần tới nhanh ( x ) x xo ) Nếu lim ( x) L ta nói ( x) ( x ) hai VCB ngang cấp q trình ( ( x) ( x) ( x ) dần tới ngang x xo Đặc biệt L ta nói ( x) ( x ) hai VCB tương đương, kí hiệu ( x) ( x) 1.2.3 Một số VCB tương đương x sin x x tgx x arctgx x; arcsin x x Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN cos ax (ax )2 log (1 x) x a ln a a x -1 x ln a 1 x 1 x ln(1 x) x an x n an 1 x n 1 a p x p a p x p , (n p, a p 0) e x -1 x Sinh viên tự kiểm tra tương đương (xem tập) Ví dụ So sánh cấp VCB: ( x) sin x tgx; ( x) cos x , x Ta có: ( x) sin x tgx lim lim lim x 0 ( x) x cos x x 0 sin x cos x lim 0 x cos x cos x sin x Do đó, ( x) VCB cấpcao ( x ) Ví dụ So sánh cấp VCB: ( x) cos x, ( x) x , x Ta có: lim x 0 ( x) lim ( x) cos x x x 0 0 Do đó, ( x ) ( x) hai VCB cấp 1.2.4 Quy tắc ngắt bỏ VCB cấpcao i) Nếu ( x ) 1 ( x) ( x) 1 ( x) trình trình lim ( x) ( x) lim ( x) 1 ( x ) ii) Cho ( x ) ( x) hai VCB q trình ( x ) có cấpcao ( x) Khi ( x ) ( x) ( x) Từ hai kết ta suy quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: Giả sử ( x ) ( x) hai VCB q trình ( x ) ( x) tổng nhiều VCB Khi giới hạn tỉ số ( x) giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp ( x) ( x ) ( x) Ví dụ Tìm giới hạn sau: 1) lim x 3sin x sin x x x3 x8 x 0 Ta có lim x 3sin x sin x 5x x x x 0 2) lim x 0 x 1 x 1 lim x 0 x 5x Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN Khi x ta có x (1 x) Suy x 1 3) Khi x x 1 Vậy lim x 0 x 1 x 1 1 x ; x (1 x) x 3 tgx sin x x 0 x lim , ta có: tgx sin x x x tgx sin x x Do lim 2 x 0 x x x tgx sin x sin x x 0 x3 4) Tính lim Ta có x x sin x(1 cos x ) tgx sin x x3 x cos x Do tgx sin x sin x 3 x x x3 x 2 3 x tgx sin x sin x Suy x x x Vậy tgx sin x sin x x x0 x3 lim 1.3 Hàm số liên tục 1.3.1 Các định nghĩa Hàm số y f ( x) gọi liên tục xo D lim f ( x ) f ( x0 ) Khi x0 gọi x x0 điểm liên tục hàm f ( x ) Hàm số y f ( x) gọi liên tục (a, b) f ( x ) liên tục điểm thuộc (a, b) Hàm số y f ( x) gọi liên tục bên trái (bên phải) x0 D lim f ( x ) f ( x0 ) ( lim f ( x) f ( x0 ) ) x x0 x x0 Hàm f ( x ) gọi liên tục [a, b] f ( x ) liên tục (a, b) liên tục bên phải a, bên trái b 1.3.2 Tính chất hàm số liên tục Giả sử f ( x), g ( x) hai hàm liên tục [a, b] Khi đó: Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN i) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) liên tục [ a, b] , g ( x) f ( x) g ( x) liên tục [a, b] ii) f ( x) liên tục [ a, b] iii) Nếu u ( x ) liên tục x0 f (u ) liên tục u0 u ( x0 ) hàm f 0u ( x) liên tục x0 iv) f ( x) liên tục [a, b] đạt giá trị lớn nhất, giá trị bé đoạn 1.3.3 Điểm gián đoạn Nếu f ( x ) không liên tục x0 D ta nói f ( x ) gián đoạn x0 điểm x0 gọi điểm gián đoạn Hàm f ( x ) gián đoạn tai x0 tồn giới hạn f(x) x0 , x0 x0 gọi điểm gián đoạn loại Các điểm gián đoạn khác gọi điểm gián đoạn loại Ví dụ Xét tính liên tục hàm 1, x 1) f ( x ) sin x , x Ta có sin x lim f ( x ) lim x 0 f (0) x x 0 Vậy f ( x) gián đoạn x ,và x điểm gián đoạn loại 1 x, x 2) f ( x) -1 x, x Hàm số gián đoạn x lim f ( x) 1, lim f ( x ) 1 x 0 x 0 nên x điểm gián đoạn loại 3) f ( x ) 2x x2 , có điểm gián đoạn x0 Ta có lim f ( x ) lim f ( x ) x 2 x 2 Suy x0 điểm gián đoạn loại BÀI TẬP CHƯƠNG I Câu Tìm miền xác định hàm số Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN a) y ln x d) e x x 1 b) y arctan c) x 1 sin x c) f) 1 x x x 1 1 x x2 x x 2x Câu Tính giới hạn dãy số sau: a) lim ( n n n ) ; ds n n4 n n ;ds n n2 1 d) lim n 1.2 2.3 n.( n 1) b) lim 3n n ;ds n 2n n c) lim Câu Tính giới hạn hàm số sau: x 1 x2 x x a) lim b) lim x x 1 x x 2x2 x x4 a4 xa x3 a 2x 1 a) lim x 4 x4 e) lim d) lim x 1 f) lim( x x x ) x 1 x 1 g) lim(2 x x x ) x x x 2 x 4 x 3x d) lim b) lim x 1 x 1 x 1 Câu Tính giới hạn hàm số sau: (1 cos x)2 cos x a) lim ; ds 1/4 b) lim ; ds x x sin x tan x x 0 sin x sin 3x tgx sin x c) lim ; ds 3/2 d) lim ; ds ½ x 0 ln(2 x 1) x 0 x3 Câu Tính giới hạn hàm số sau: a) lim(s in x cos x)cot x ; ds e b) lim x ln x ; ds x 0 x x c) lim xe ; ds x e) lim x 0 x sin x tan x ;ds 1/3 3x x x d) lim x 2( x 1) x 1 ; ds e f) lim(cos x) x x 0 Câu Tìm a để hàm số sau liên tục tập xác định chúng 1 cos x ( x 0) 1 x ( x 0) x ln x ( x 0) a) y x b) y c) y a ( x 0) a a x ( x 0) ( x 0) Câu Tìm điểm gián đoạn hàm số chúng thuộc loại sin x ( x 0) 0 x x 1 x2 x a) y b) y c) y y x 2x x2 1 x a ( x 0) Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2.1 Đạo hàm 2.1.1 Đạo hàm điểm Cho hàm số y f ( x) xác định x0 lân cận x0 Khi tỉ số f ( x ) f ( x0 ) x x0 có giới hạn x x0 ta nói f ( x ) khả vi x0 hay f ( x ) có đạo hàm x0 giới hạn gọi đạo hàm f ( x) x0 Ký hiệu f '( x0 ) hay y '( x0 ) Vậy f '( x) lim x x0 f ( x ) f ( x0 ) x x0 Nếu đặt x x0 x x x x0 x x0 x Lúc f '( x0 ) lim x f ( x0 x ) f ( x0 ) x Hàm số y f ( x) gọi có đạo hàm khoảng (a, b) có đạo hàm điểm x0 ( a , b) Khi đạo hàm hàm số f ( x ) hàm số xác định (a, b) Cho nên ký hiệu đạo hàm y f ( x) (a, b) f '( x) y ' Vậy y ' f '( x) lim f ( x x ) f ( x) x x Ví dụ Xét hàm số y f ( x) x Ta có miền xác định hàm số R Đạo hàm hàm số tập xác định y ' lim x lim x f ( x x ) f ( x ) lim x x ( x x x )( x x x ) x ( x x) x x lim (2 x x) x x Do y ' f '( x) ( x ) ' x Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN 2.1.2 Bảng đạo hàm C' ( C const ) ( x ) ' x 1 , R n ' x n n x n 1 ln x ' 1x (log a x ) ' x ln a ( e) ' e x (sin x) ' cos x (cos x)' -sin x (tgx)' tg x cos x (cot gx) ' (1 cot g x) sin x 2.1.3 Các quy tắc tính đạo hàm Nếu hai hàm u ( x) v ( x) có đạo hàm điểm x tổng, hiệu, tích, thương chúng có đạo hàm điểm x và: (u v ) ' u ' v ' (ku ) ' ku ', k R (u.v ) ' u ' v uv ' u u ' v - uv ' ( )' , v0 v v2 2.1.4 Đạo hàm hàm hợp Xét hàm hợp y y u ( x) hàm y y(u ) có đạo hàm u u u ( x) có đạo hàm x y y u ( x) có đạo hàm x y '( x ) y '(u ).u '( x) Ví dụ Xét hàm số y (1 x )10 Ta có y ' 10(1 x3 )9 (1 x ) ' 10(1 x )9 x 30 x (1 x ) Ví dụ Giả sử ( x), ( x) có đạo hàm với x R Tính đạo hàm hàm y ( x) ( x) Đặt u ( x) ( x) y u Ta có Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN y '( x ) y '(u ).u '( x) 2 ( x) '( x) 2 ( x) '( x) u ( x) '( x) ( x) '( x) ( x) ( x) 1 Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau: y 1 x x Ta có ln y x ln(1 ) x Lấy đạo hàm hai vế ta được: y' 1 ln(1 ) y x x 1 x 1 1 Suy y ' ln(1 ) x x x 2.1.5 Đạo hàm cấpcao Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f '( x) Hàm số f '( x) gọi đạo hàm cấp f ( x) Nếu f '( x) khả vi đạo hàm f '( x) gọi đạo hàm cấp hai f ( x ) ký hiệu f ''( x) Vậy f ''( x) f '( x ) ' Tổng quát, đạo hàm đạo hàm cấp n f ( x ) gọi đạo hàm cấp n f ( x) ký hiệu f ( n ) ( x) f ( n ) ( x) f ( n 1) ( x) ' Ví dụ Tìm đạo hàm cấp n y f ( x ) xe x Ta có y ' e x xe x (1 x)e x y " e x (1 x)e x (2 x )e x Chứng minh quy nạp ta đến kết sau y ( n ) ( n x)e x 2.1.6 Vi phân Cho hàm số y f ( x) xác định (a, b) x (a, b) , hàm số y f ( x) khả vi điểm x số gia hàm số x viết dạng f ( x) f ( x x) - f ( x) f '( x)x o(x ) với o (x) VCB cấpcao x x Biểu thức f '( x).x gọi vi phân f ( x ) x Ký hiệu: df ( x) dy ( x) tức df ( x) f '( x).x Xét hàm y f ( x) x ta có f '( x) nên df ( x) dx 1.x x từ ta có Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN 1 1 0 0 0 0 0 ; Ví dụ I ; I I 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 5.1.3 Các phép toán ma trận 1) Hai ma trận Hai ma trận cấp A M nm ( R ) B M nm ( R ) gọi phần tử tương ứng chúng nhau, tức là: A B aij bij (i, j ) 1 2 Ví dụ Cho A ,B Tìm a, b cho A B a a b 2 1 Theo định nghĩa giải a 2, b 1 2) Phép nhân số với ma trận Cho c ma trận A aij m n M mn ( R ) Khi : cA (caij )mn 3 Ví dụ Cho A Khi 2 0 2 4 6 2 A 2 4 2 1 2 3 3 9 A A 2 1 0 3) Phép cộng hai ma trận Cho A aij m n B bij m n cij aij bij , i 1, m, j 1, n Tổng A B ma trận C cij m n xác định sau: 3 1 1 1 Ví dụ Với A B , C Khi 1 0 0 4 3 A B ; A B 2C 2 1 4 Nhận xét Phép cộng hai ma trận thực hai ma trận cấp 4) Phép nhân hai ma trận Cho A M mk ( R ) B M k n ( R ) Gọi A1, A2, , Am m dòng A; B (1) , B (2) , , B ( n ) n cột B Ta viết: 39 Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN A1 A A B B (1) Am Với Ai ai1 B (2) B ( n ) aik B ( j ) b1 j b 2j bkj Khi C = AB gọi ma trận tích A với B phần tử cij C xác định sau cij Ai B ( j ) ai1b1 j 2b2 j aik bkj Nhận xét Phép nhân hai ma trận AB thực số cột ma trận A số dòng ma trận B Với A M mk ( R) B M k n ( R) C M mn ( R) Nói chung AB BA Trường hợp AB BA ta nói A B hai ma trận giao hốn 1 1 2 1 3 2 Ví dụ Cho A B Khi AB BA 1 1 1 0 2 4 Ví dụ Cho A 3 , B 4 Ta có: A1 1 , A2 3 , A3 1 2 3 4 B(1) , B (2) , B (3) , B( 4) Khi ma trận AB xác định : 2 1 0 3 1 c11 A1 B (1) 1 1.1 2(2) 3 , tương tự 2 c12 4, c13 3, c14 10, c21 3, c22 6, c23 9, c24 12 c31 6, c32 8, c33 6, c34 20 3 10 Vậy AB 3 6 9 12 6 20 1 3 14 Ví dụ A , B Khi AB ; BA không thực 3 14 6 2 40 Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN 5) Ma trận chuyển vị Chuyển vị ma trận A ma trận có từ A cách viết hàng ma trận A theo thứ tự thành cột, ký hiệu At 1 4 1 5 t Ví dụ Cho A Khi A 2 5 3 4 3 5.1.4 Các tính chất phép tốn ma trận Phép cộng hai ma trận có tính chất sau: Cho A, B M mn ( R ) , R \ {0} Ta có : 1) A B B A 2) ( A B) C A ( B C ) 3) Omn A A Omn A 4) A ( A) Omn 5) ( ) A ( A) 6) ( A B ) A B 7) ( ) A A A 8)1A A, A Phép nhân hai ma trận có tính chất sau: 1) A( B C ) AB AC , 2) A( BC ) ( AB)C , 3) ( AB)t Bt At , 4) c( AB) (cA) B A(cB) 5.1.5 Các phép biến đổi sơ cấp dòng Các phép biến đổi biến ma trận A thành ma trận A’ sau gọi phép biến đổi sơ cấp dòng Loại : Đổi chỗ hai dòng cho nhau, ký hiệu : d d i j A A' Loại : Biến dòng i thành c lần dòng i (c 0) , ký hiệu : di cdi A A' Loại : Biến dòng i thành dòng i cộng c lần dòng j (c 0, i j ) , ký hiệu : d d cd i i j A A' 3 Ví dụ Cho ma trận A Ta có 7 9 3 1 d d2 A A ' 10 12 7 9 7 41 Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN 3 1 d d2 d1 A A ' 12 9 7 3 6 d2 d1 A A ' 9 7 9 5.1.6 Ma trận bậc thang Ma trận bậc thang ma trận có đặc điểm sau: 1) Phần tử khác dòng nằm bên trái so với phần tử khác dòng 2) Dòng (nếu có) nằm phía so với dòng khác Ta dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa ma trận dạng bậc thang Ví dụ Hãy đưa ma trận A dạng bậc thang dòng bậc thang dòng 3 A 10 1 15 Dùng phép biến đổi dòng đưa ma trận A dạng bậc thang dòng sau: 3 3 d3 d3 d d d2 d1 A 0 d3 d d1 0 0 3 0 0 4 2 B 5 7 Ví dụ Các ma trận sau ma trận bậc thang: 1 3 0 A 6; B 0 0 0 0 4 0 0 1 5.1.7 Hạng ma trận Cho A M mn ( R ) B ma trận bậc thang nhận từ A số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp Khi số dòng (số cột) khác không B gọi hạng A, kí hiệu rank(A) r(A) 3 Ví dụ Tìm hạng ma trận A 3 42 Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận A dạng bậc thang: 3 1 1 d3 d3 d2 d d2 d1 ' A d3 d3 d1 3 6 3 6 A 3 18 0 0 Ma trận bậc thang A’ có hai dòng khác nên rank ( A) 5.2 Định thức 5.2.1 Định thức cấp Cho A aij M ( R ) , định thức cấp ma trận A xác định ký hiệu sau det A A a11 a12 a21 a22 a11a22 a21a12 2 Ví dụ Cho A ta có : det A 1 (3) 3 3 5.2.2 Định thức cấp Cho A aij M ( R) định thức cấp ma trận A xác định ký hiệu sau : a11 a12 a13 det A a21 a31 a22 a32 a23 a11a22 a33 a12 a23 a31 a21a32 a13 a13 a22 a31 a12 a21a33 a23 a32 a11 a33 5.2.3 Các tính chất định thức Dựa vào định nghĩa định thức ta suy tính chất sau: 1) Nếu đổi dòng thành cột, cột thành dòng định thức khơng thay đổi , tức det A det At 2) Nếu đổi chỗ hai dòng cho định thức đổi dấu, tức là: d d i j A A ' det( A) det( A ') 3) Từ dòng (một cột) ta cộng vào dòng khác (cột khác) sau nhân số c định thức không đổi d d cd i i j A A ' det( A ') det( A) 4) Ta đưa thừa số chung c định thức, tức là: di cdi A A ' det( A ') c det( A) 5) Cho A, B M n ( R ) det AB det A det B Nhận xét 1) Dựa vào tính chất trên, ta dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để tính định thức 43 Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN cấp n 5 Ví dụ Cho A 1 Khi : 1 h2 h2 h1 h3 h3 h1 1 3 det( A) 1 1 3 6 1 2) Cho A aij m n Hạng ma trận cấpcao định thức khác 3) Cho A aij ma trận vng cấp n Khi rank ( A) n det A n 3 Ví dụ Cho ma trận A Tìm hạng ma trận A theo m 3 m Ta có det A m Nếu m rank ( A) ; m rank ( A) 5.3 Ma trận nghịch đảo 5.3.1 Định nghĩa Cho ma trận A M n ( R) Ta nói ma trận A khả nghịch B M n ( R ) thoả mãn: BA AB I n Ta nói B (tồn nhất) ma trận nghịch đảo A Ký hiệu B A1 5.3.2 Tính chất ma trận nghịch đảo Nếu A, B M n ( R) hai ma trận khả nghịch : 1) ( A1 )1 A 2) ( AB)1 B 1 A1 3) ( At ) 1 ( A1 )t 4) (cA)1 5) Nếu A khả nghịch det A1 det A 1 A c 1 6) Cho A M n ( R ) Khi A khả nghịch det A 5.3.3 Tìm ma trận nghịch đảo phép biến đổi sơ cấp Người ta chứng minh kết sau: Cho A M n ( R) ma trận khả nghịch Khi phép biến đổi sơ cấp dòng biến A thành In chúng biến In (theo thứ tự đó) thành A1 Từ ta có phương pháp tìm ma trận nghịch đảo sau: Để tìm ma trận A1 với 44 Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN a11 a A 21 an1 a12 a22 an a1n a2 n ann Ta lập ma trận A I n a11 a 21 an1 a12 a22 an a1n a2 n ann 0 Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng A I n để biến A thành In In biến thành A1 1 Ví dụ Tìm A với A 1 1 3 1 Ta có : 1 0 d d d 1 0 d 22 d 22 d11 A I3 1 1 1 3 0 0 1 0 3 2 1 I3 A1 0 1 d1 d1 d3 d1 d1 d 3 2 Vậy A 1 1 1 5.3.4 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo nhờ định thức Ta gọi ma trận phụ hợp PA ma trận A ma trận xác định sau: PA ij Aji ; i, j 1, n Để tìm A1 ta thực hai bước Bước Tính D det A Nếu det A A khơng khả nghịch Nếu det A A khả nghịch, chuyển sang bước Bước Lập ma trận phụ hợp PA Khi đó: A1 PA D 45 Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN 1 Ví dụ Dùng phương pháp định thức tìm A A 1 3 1 Ta có: D det A A11 (1)11 A21 (1) 21 A31 (1)31 3 6; A12 (1)1 2 1; A13 (1) 13 1; 2 3; A22 (1)2 1; A23 (1)2 3 0; 3 3 2; A32 (1)3 2 0; A33 (1)33 1 3 2 Khi đó: A PA 1 D 1 1 BÀI TẬP CHƯƠNG V Câu Thực phép toán ma trận 4 1 a ) 1 3 0 5 2 1 3 b) 5 0 2 1 4 c) 1 3 3 0 1 d) 1 2 1 3 2 1 1 1 Câu Cho A , B , C Tính 2 1 a) 3A+2BT b) AB c) AB-BA d) BC e) ABC f) BA-3C+I3 1 2 Câu Cho f ( x) x x 1, g ( x) x x , A Tính f ( A), g ( A) x 2 5 1 a 1 a 1 n 10 2011 Câu Cho A , B , C Tính A , B , C 1 a 46 Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN 3 2 1 Câu Cho A 1 , B Tìm ma trận nghịch đảo A1 , B 1 (nếu có) 2 2 phương pháp học Câu Tính định thức sau: a) e) 3 b) 1 2 4 f) 4 3 m 11111 g) 1111 b b a c 1 d)B 2 c) 1 , 2 a b c a c b c a 11 Câu Giải phương trình sau: 3 a ) 3 5 5 1 b) 8 3 0 1 c) 1 2 2 0 1 Câu Tìm hạng ma trận sau: 3 A 2 2 1 3 C 1 3 5 10 15 1 B 5 2 1 11 1 1 D 1 1 1 1 1 11 1 47 Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 6.1 Hệ phương trình tuyến tính 6.1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình gồm m phương trình n ẩn có dạng: a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 am1 x1 am x2 amn xn bm (3.1) gọi hệ phương trình tuyến tính tổng qt.Trong aij , bi R , x1 , x2 , , xn ẩn số Ta đặt a11 a A 21 am1 a12 a22 am a1n a2 n amn gọi ma trận hệ số (3.1) b1 x1 b2 x B : cột hệ số tự do, X : cột ẩn số bm xn a11 a A B 21 am1 a12 a22 am a1n b1 a2 n b2 gọi ma trận bổ sung (mở rộng) hệ (3.1) amn bm Với cách đặt hệ (3.1) viết lại : AX B Khi B=0 hệ (3.1) gọi hệ phương trình tuyến tính Ngược lại ta gọi hệ không 6.1.2 Nghiệm hệ phương trình c1 c Nghiệm hệ (3.1) số C cho AC B Quá trình tìm tập nghiệm hệ cn phương trình tuyến tính gọi giải hệ phương trình tuyến tính 48 Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN Hai hệ phương trình tuyến tính có số ẩn (số phương trình khác nhau) gọi tương đương chúng có tập hợp nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính sau: x1 x2 x3 x1 x2 x3 (1) x 3x 3x Ma trận hệ số hệ phương trình tuyến tính là: 1 A 1 3 Ma trận nghịch đảo A (đã có từ Ví dụ trước) 3 2 A 1 1 1 3 2 6 Hệ (1) AX B X A B 1 1 1 x1 6 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x2 x 2 Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính sau: x1 x2 x3 x1 x2 x3 x x 3x m 1 Hệ phương trình tương đương At X C X At C X A 1 t 1 1 m C 3 2 m 2 m 6.1.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 6.1.4 Phương pháp Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính (3.1) gọi hệ Cramer m n det A 49 Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 (3.2) an1 x1 an x2 ann xn bn Đặt D det( A) D j ( j 1, n) định thức có cách thay cột j D cột tự Khi hệ phương trình Cramer có nghiệm xác định theo cơng thức: x1 D D1 D , x2 , , xn n D D D x1 x2 x3 Ví dụ Giải hệ phương trình : x1 x2 x3 3 x x x 1 1 Ta có : A 6 1 , D det( A) 11 , 3 1111 D1 6 1 8 , D2 1 7 , D3 6 26 Vậy hệ có nghiệm : x1 26 , x2 , x3 11 11 11 6.1.5 Định lý Kronecker – Capelli Hệ (3.1) có nghiệm r ( A) r ( A B ) Hơn i) r ( A) r ( A B ) n : hệ (3.1) có nghiệm ii) r ( A) r ( A B ) n : hệ (3.1) có vơ số nghiệm phụ thuộc (n r ) tham số iii) r ( A) r ( A B ) : hệ (3.1) vô nghiệm 6.1.6 Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính Để giải hệ (3.1) ta thực bước: Bước 1: Lập ma trận mở rộng A: a11 a A B 21 am1 a12 a22 am a1n b1 a2 n b2 amn bm 50 Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN Bước 2: Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận ( A B ) ma trận ( A' B ' ) , A' ma trận bậc thang (rút gọn) Dựa vào Định lý Kronecker – Capelli để kết luận nghiệm x1 x2 x3 Ví dụ Giải hệ phương trình : x1 x2 x3 x x x 2 Ma trận hố hệ phương trình ta thu : 1 1 7 0 40 1 1 15 1 4 2 2 3 0 11 0 11 Hệ có nghiệm : x1 40, x2 15, x3 11 Ví dụ Giải hệ phương trình : x1 x2 x3 x4 3 x1 x2 x3 x4 4 x 3x 8x x Ta có 1 1 A B 1 3 4 0 0 2 Suy : r ( A B ) Mà r ( A) r ( A B) Vậy hệ vơ nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình : x1 x2 x3 x1 x2 x3 1 1 1 1 Ta có : A B 5 5 Suy : r ( A) r ( A B ) n , hệ có vơ số nghiệm Ta viết hệ thành x1 x3 x1 x3 x2 x3 x2 x3 x1 4t Vậy tập nghiệm hệ có dạng x2 5t (t R) x t 51 Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN BÀI TẬP CHƯƠNG VI Câu Giải hệ phương trình tuyến tính sau: x1 x2 x3 a ) x1 x2 x3 x x 2 x y z 2t c ) x y z t 1 2 x y z 5t x1 x2 x3 b) 3 x1 x2 x3 5 x x 7x x y z 2t x y 3z 2t c) 16 x y z 3t 3 x y 7t z 1 Câu Cho ma trận A 1 Tìm A1 , giải hệ phương trình sau: 1 2 x z 1 a) x y z x y z 5 x y z 1 b) y z m x y z x z 1 c) x y z x y z 5 Câu Trong ngày, phần ăn người cần có 80g Protit, 50g Lipit, 450g Gluxit Hàm lượng chất có 1g thức ăn A B sau: Chất dinh dưỡng Thức ăn A B Protit (g) 0,1 0,2 Lipit (g) 0,2 0,3 Gluxit (g) 0,6 0,4 Hãy lập phương trình ma trận cho toán Hãy cho biết ẩn số phương trình ma trận cho biết điều gì? 52 Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN MỤC LỤC 1 CHƯƠNG GIỚI HẠN-TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1.1 1.2 1.3 CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2.1 2.2 Hàm nhiều biến 30 Đạo hàm riêng 31 Vi phân toàn phần 32 Cực trị hàm hai biến 34 CHƯƠNG MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 37 5.1 5.2 5.3 Nguyên hàm 16 Tích phân xác định 17 Hai phương pháp tính tích phân 18 Tích phân suy rộng 22 Các tiêu chuẩn hội tụ 24 Ứng dụng tích phân 26 CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 30 4.1 4.2 4.3 4.4 Đạo hàm Ứng dụng đạo hàm 11 CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 16 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Giới hạn hàm số Vô bé Hàm số liên tục Ma trận 37 Định thức 43 Ma trận nghịch đảo 44 CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 48 6.1 6.2 Hệ phương trình tuyến tính 48 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 49 53 Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN