đề cương ôn tập toán cao cấp

Chương I KHÁI QUÁT CHUNG VỀ ÁNH XẠ Trong chương chúng tơi giới thiệu sơ lược tính chất ánh xạ để sử dụng cho chương sau 1.1 Các định nghĩa 1.1.1 Định nghĩa - Ánh xạ Cho tập X, Y Một ánh xạ từ tập X tới tập Y quy tắc ƒ cho tương ứng phần tử x ∈ X với phần tử y ∈ Y Khi X gọi tập nguồn, Y gọi tập đích; y gọi ảnh x, x gọi tạo ảnh (nghịch ảnh) y qua ánh xạ ƒ Ký hiệu: f :X →Y x a y = f ( x) Ví dụ Cho X = {a, b, c, d}; Y = {1, 4} Quy tắc f: a a 1; b, c, d a ánh xạ 1.1.2 Định nghĩa - Ảnh nghịch ảnh tập Cho ánh xạ f :X → Y x a y = f (x) , A ⊂ X, B ⊂ Y Khi f ( A) = { f ( x) : x ∈ A} gọi ảnh A qua ánh xạ f f −1 ( B ) = { x ∈ X : f ( x) ∈ B} gọi nghịch ảnh B qua ánh xạ f Ví dụ Cho f : R → R + , x a y = x + ánh xạ Cho A = [-1, 2] , ta có ƒ(A)=[1, 5] Cho B=[1, 10], ta có ƒ-1(B)=[-3, 3] 1.2 Đơn ánh, tồn ánh, song ánh 1.2.1 Định nghĩa Cho ánh xạ f :X →Y x a y = f ( x) Ánh xạ f gọi đơn ánh ∀ x , x ∈ X , x ≠ x ⇒ f ( x ) ≠ f ( x ) (hay f ( x ) = f ( x ) ⇒ x = x ) Ánh xạ f gọi toàn ánh f(X) = Y, tức ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X : f ( x ) = y Ánh xạ f gọi song ánh đơn ánh toàn ánh Tức ∀y ∈ Y, ∃! x ∈ X : f ( x ) = y 1.2.2 Ví dụ Ví dụ Xét ánh xạ: f :R → R x a y = f ( x) = x3 Ánh xạ f đơn ánh x13 = x23 ⇒ x1 = x2 Ánh xạ f tồn ánh ∀y ∈ R, ∃x = y cho f ( x) = y Do ánh xạ f song ánh Ví dụ Xét ánh xạ: g : R → [ −1, + ∞ ) x a y = g ( x) = x − Ánh xạ g đơn ánh g(-1) = g(1) = Ánh xạ g tồn ánh ∀y ∈ [ −1, + ∞ ) , ∃x = y + cho g(x) = y Do ánh xạ g khơng phải toàn ánh 1.3 Ánh xạ ngược Giả sử f: X → Y song ánh Khi đó, phần tử x ∈ X có ảnh xác định f ( x) ∈ Y Ngược lại, phần tử y ∈ Y có nghịch ảnh x ∈ X Vì vậy, song ánh f từ X lên Y phép tương ứng 1-1 hai chiều X Y Ánh xạ biến y ∈ Y thành x ∈ X cho ƒ(x) = y gọi ánh xạ ngược song ánh f, ký hiệu ƒ-1 Vậy ƒ-1 ánh xạ từ Y lên X, song ánh Ví dụ Ánh xạ f: R → R xác định x a f ( x) = x3 + song ánh Nó có ánh xạ ngược ƒ-1, là: f −1 : R → R xác định y a y − 1.4 Tích (hợp) hai ánh xạ Cho ba tập hợp X, Y, Z hai ánh xạ f: X → Y ; g: Y → Z Như vậy, ứng với phần tử x ∈ X , có phần tử y = f ( x) ∈ Y ứng với phần tử y ∈ Y , có phần tử z = g ( y ) ∈ Z Như vậy, ứng với phần tử x ∈ X , qua trung gian y, có phần tử z = g ( y ) = g[f ( x)] ∈ Z Ánh xạ từ X tới Z xác định bởi: x ∈ X a z = g[f ( x)] ∈ Z Gọi tích (hay hợp) ánh xạ f g, kí hiệu g f Vậy g f : X → Z , x a ( g f )( x) = g[f ( x)] Ví dụ Cho ánh xạ: f : R → [ − 1,1],x a sin x; g : R → [0, +∞],x a e x Ta có: ( g f )( x) = g[f ( x)] = esin x ; ( f g )( x) = f [g( x)] = sin e x 1.5 Bài tập Chứng minh 1) Tích đơn ánh đơn ánh 2) Tích tồn ánh tồn ánh 3) Tích song ánh song ánh Chương MA TRẬN-ĐỊNH THỨC-HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Phần đầu chương dành để trình bày khái niệm, dạng ma trận bản, phép tốn tính chất thường gặp ma trận Các khái niệm, tính chất, cách tính định thức, ma trận nghịch đảo, hạng ma trận đưa Cách giải hệ phương trình tuyến tính tổng qt trình bày cuối chương 2.1 Ma trận 2.1.1 Các định nghĩa Ma trận cỡ m×n: bảng gồm m × n số xếp thành m hàng n cột dạng sau: ⎡ a11 ⎢a 21 A = ⎢⎢ ⎢ ⎣a m1 a12 a 22 am2 a1n ⎤ a n ⎥⎥ = aij ⎥ ⎥ a mn ⎦ ( ) m× n với i số hàng, j số cột; a ij phần tử hàng i cột j Ma trận cấp n: ma trận có số hàng số cột (m = n) ⎛ a11 ⎜ ⎜ a 21 A= ⎜ : ⎜ ⎜a ⎝ n1 a12 a 22 : an a1n ⎞ ⎟ a n ⎟ = (aij ) m × n : : ⎟ ⎟ a nn ⎟⎠ Các phần tử a ij ∀i = 1, n nằm đường chéo A Các phần tử a ij ∀i + j = n + nằm đường chéo phụ A Ma trận hàng: ma trận có hàng Ví dụ A = ( )1× Ma trận cột: ma trận có cột Ví dụ A = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ x 2.1.2 Các dạng đặc biệt ma trận Ma trận không: ma trận mà tất phần tử Ví dụ ⎡0 0⎤ ⎢0 0⎥ , ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ 3×3 ⎛0 0 0⎞ , … ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠ 2× Ma trận chéo: ma trận vng có phần tử khơng nằm đường chéo Ví dụ ⎡1 0 ⎤ ⎢0 ⎥ , ⎢ ⎥ ⎢⎣0 −9 ⎥⎦3×3 ma trận khơng cấp n ma trận chéo đặc biệt Ma trận đơn vị: ma trận chéo mà tất phần tử đường chéo Ví dụ ⎡1 0 ⎤ ⎡1 ⎤ , ⎢0 0⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2×2 ⎣⎢ 0 ⎥⎦ 3×3 Ma trận tam giác (dưới): tam giác có a ij = ∀i > ( σ ( j ) cặp (σ (i),σ ( j ) ) gọi nghịch gây σ ( σ) b Ví dụ ⎞ Hốn vị σ = ⎛⎜⎜ ⎟⎟ có nghịch thế: (4,2), (4,3), (4.1), (2,1), (3,1) ⎝ 5⎠ Bài tập i− j =1(hay − 1) tuỳ theo số nghịch số {i , j } σ (i ) − σ ( j ) Giả sử σ Є Sn.Chứng minh rằng: ∏ chẵn (hay số lẻ) {i, j} chạy khắp tập hợp tập gồm phần tử Xn c Định nghĩa dấu phép i− j {i , j } σ (i ) − σ ( j ) Dấu phép σ, ký hiệu sgn σ, tính theo cơng thức: sgn σ = ∏ d Phép chẳn, phép lẻ Phép chẵn phép có dấu 1( nghĩa gây số chẵn nghịch ) Phép lẻ phép có dấu –1 ( nghĩa gây số lẻ nghịch thế) e Mệnh đề * Mọi phép chuyển trí phép lẻ * Dấu tích phép Xn tích dấu hai phép Chứng minh: Giả sử σ = (i, j ) Xét trường hợp * j = i + Khi ⎛1 i i + n ⎞ ⎟⎟ có nghịch (i+1, i) nên phép lẻ σ = ⎜⎜ ⎝1 i + i n ⎠ * j -i >1: Khi ⎛1 i − i i + σ = ⎜⎜ ⎝1 i − j i + j −1 j j −1 i j + n ⎞ ⎟ j + n ⎟⎠ σ gây nghịch sau: ( j, i+1), ( j, i+2),…, ( j, j-1), ( j, i) có j-1- i –1+1+1 = j – i nghịch ( i+1, i), (i+2, i),…, ( j-1, i) có j – – ( i+1) +1 = j – i +1 nghịch Tổng cộng σ có 2(j – i ) + nghịch nên phép lẻ a) Giả sử σ τ phần tử thuộc Sn 10 sgn( τ o σ ) = i− j = ∏ ( i , j ) (τσ )( i ) − (τσ )( j ) i− j σ (i ) − σ ( j ) ∏ σ (i ) − σ ( j ) × (τσ )( i ) − (τσ )( j ) = (i, j ) i− j σ (i ) − σ ( j ) =∏ × (i, j ) ( i , j ) ◊ (τσ )( i ) − (τσ )( j ) ( i , j ) σ (i ) − σ ( j ) σ (i ) − σ ( j ) × ∏ == sgn σ × sgn τ ( σ ( i ), σ ( j )) (τσ )( i ) − (τσ )( j ) = i− j ∏ σ (i ) − σ ( j ) × ∏ Bài tập ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ σ = ⎜⎜ Cho hoán vị S4 là: σ = ⎜⎜ ⎝ 3⎠ ⎝3 2⎠ Tìm: σ o σ , σ o σ , σ 1−1 , σ 2−1 2.2.2 Định nghĩa định thức Định nghĩa a Định thức cấp n Cho A ma trận cấp n, định thức A, ký hiệu detA, tổng có dạng sau: a11 a 21 det A = a 31 M a n1 a12 a 22 a 31 M a n2 a13 a 23 a 33 M a n3 M a1n a 2n a 3n M a nn ∑ sgn σa σ σ ∈S N (1) a 2σ ( ) a 3σ ( 3) a nσ ( n ) Tổng gồm n! số hạng, số hạng tích n phần tử ma trận A mà khơng có phần tử nằm hàng hay cột Do số phép chẵn lẻ Sn nên detA có n!/2 số hạng mang dấu cộng (+) n!/2 số hạng mang dấu trừ (-) b Minh họa Trường hợp n = 2; ⎧ ⎛1 ⎞ ⎛ ⎞⎫ ⎟⎟;σ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎬ ⎝1 ⎠ ⎝ ⎠⎭ n = 2; S = ⎨σ = ⎜⎜ ⎩ a11 a 21 a12 = sgn σ a1σ (1) a1σ ( 2) + sgn σ a1σ (1) a 2σ ( 2) = a11 a 22 − a 21 a12 a 22 S = {σ , σ , σ , σ , σ , σ } Ta có: 11 a11 a12 a21 a31 a22 a32 a13 a23 = ∑ sgn σ a1σ (1) a2σ 2) a3σ (3) anσ ( n ) = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + σ ∈S3 a33 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32 Quy tắc Sarrus a11 a12 a13 * a23 = + a33 a21 a22 a31 a32 * + * * * * + * * # − # * # # − # # − # Hay sơ đồ khác + + + a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 - - - c Ví dụ −8 = 4(−1) − 3(−8) = − + 28 = 24 −1 1) 2) = 45 + 84 + 96 − 105 − 72 − 48 = 225 − 225 = 2.2.3 Tính chất định thức Tính chất Định thức ma trận chuyển vị At định thức ma trận A, nghĩa là: detAt = detA Chứng minh: det A t = = 12 a 21 a n1 b11 b12 b1 n a 12 a 1n a 22 a 2n b a n2 = 21 a nn b n1 b 22 b2n = bn2 b nn ∑ sgn τ b τ τ ∈S N Đặt a 11 (1 ) b 2τ ( ) b n τ ( n ) = ∑ sgn τ a τ τ ∈S N (1 )1 a τ ( ) a τ ( n ) n # # b Tiêu chuẩn kẹp Cho dãy số (u n ) n∈Z , (v n ) n∈Z ( wn ) n∈Z thoả v n ≤ u n ≤ wn ∀n ∈ Z + + + + Khi đó, dãy (v n ) n∈Z ( w) n∈Z hội tụ a dãy số (un ) n∈Z hội tụ a + + + Ví dụ sin x =1 x →0 x Chứng minh lim Giải π π Vì x → nên ta cần xét x ∈ (− ; ) \ {0} 2 * Giả sử 0< x< π dt tam giác AOM < dt quạt tròn AOM < dt tam giác AOT Suy cos x < sin x N ⇒ u p − uq < ε + Ví dụ Dùng tiêu chuẩn Cauchy, chứng minh dãy số (u n ) n∈Z với u n = + + + + + phân n kỳ Giải 1 1 + + + = + 2N + 2N + 3N 2N + 1 1 1 1 N + + > + + + = = > =ε 2N + 3N 3N 3N 3N 3N ε = , ∀N , ∃p = 3N > q = N > N ⇒ u p − uq = Bài tập 1) Chứng minh điều kiện cần đủ để dãy số (un) hội tụ dãy số ( un ) 44 hội tụ a 2) Chứng minh dãy số (un) hội tụ a dãy hội tụ 3.2 GIỚI HẠN HÀM SỐ 3.2.1 Lân cận điểm δ V xδ0 = ( x0 − δ ; x0 + δ ) Lân cận tâm x0 bán kính δ x ∈ V x0 ⇔ x − x0 < δ V xδ0 \ {x } = ( x − δ ; x + δ ) \ {x } Lân cận thủng tâm x0 bán kính δ x ∈ V xδ0 \ {x }0 ⇔ < x − x < δ V xδ+ \ {x0 } = ( x0 ; x0 + δ ) Lân cận thủng bên phải tâm x0 bán kính δ x ∈Vxδ+ \ {x0 } ⇔ x0 < x < x0 + δ V xδ− \ {x0 }= ( x0 − δ ; x0 ) Lân cận thủng bên trái tâm x0 bán kính δ x ∈Vxδ− \ {x0 } ⇔ x0 − δ < x < x0 Chú ý Đối với vơ cực khơng có khái niệm lân cận, nhiên ứng với N > đủ lớn ta ký hiệu x ∈ (−∞; − N ) ⇔ x < − N x “ lân cận bên phải ’’ − ∞ x ∈ ( N ; + ∞) ⇔ x > N x “ lân cận bên trái ’’ + ∞ x ∈ −∞;− N ) ∪ ( N ; + ∞) ⇔ x > N x “ lân cận bên trái ’’ + ∞ hoặc“ lân cận bên trái ’’ + ∞ “ lân cận bên phải ’’ − ∞ 3.2.2 Giới hạn hàm số Định nghĩa a Định nghĩa Heine (theo ngôn ngữ dãy) lim f ( x) = L ⇔ ( ∀xn ⎯⎯⎯ xn ≠ x → x0 ⇒ f ( xn ) → L x → x0 (1) b Định nghĩa Cauchy (theo ngôn ngữ "ε − δ ' ' ) lim f ( x) ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > : < x − x0 < δ ⇒ f ( x) − L < ε x → x0 ( 2) Sự tương đương định nghĩa a) (1) ⇒ (2) Giả sử L giới hạn f (x) x → x0 theo Heine ∃ε > : ∀δ > 0, ∃ξ : < ξ − x0 < δ mà f (ξ ) − L ≥ ε Ta lấy dãy δ n → ⇒ ∃ (ξ n ) : < ξ n − x0 < δ n ⇒ Lim ξ n = x0 n →∞ 45 f (ξ n ) − L ≥ ε ⇒ f (ξ n ) L mâu thuẫn với giả thiết (định nghĩa Heine) b) (2) ⇒ (1) ∀x n → x0 mà x n ≠ x0 , ta chứng tỏ f ( x n ) → L Thật vậy, từ giả thiết ta có: ∀ε > 0, ∃δ > : < x − x < δ ⇒ f ( x) − L < ε Vì x n → x0 nên với δ > ∃ N : n > N ⇒ < x n − x0 < δ Vậy ∀ε > 0, ∃ N : n > N ⇒ f ( x n ) − L; < ε Các định nghĩa giới hạn khác (theo Cauchy) a Giớí hạn bên lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > : < x − x0 < δ ⇒ f ( x) − L < ε x → x0+ lim x → x0− f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > : − δ < x − x0 < ⇒ f ( x) − L < ε b Giới hạn vô cực lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃ N > : x > N ⇒ f ( x) − L < ε x →∞ lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃ N > : x > N ⇒ f ( x) − L < ε x → +∞ lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃ N > : x < − N ⇒ f ( x) − L < ε x→ − ∞ c Giới hạn vô cực lim f ( x ) = ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃δ > : < x − x0 < δ ⇒ f ( x ) > M x → x0 lim f ( x) = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃δ > : < x − x0 < δ ⇒ f ( x) > M x → x0+ lim x → x0− f ( x) = −∞ ⇔ ∀M > 0, − δ < x − x0 < ⇒ f ( x) < − M 3.2.3 Các giới hạn (1 + ) x : (Dạng 1∞ ) Giới hạn lim x →∞ x n Dựa vào giới hạn biết: Lim(1 + ) n = e n →∞ x Ta tìm lim (1 + ) x→∞ x * Xét x → +∞ : x > 0, đặt n = [x] 46 1 1 1 ≥ > ⇒1+ ≥1+ >1+ n x n +1 n x n +1 1 x ⇒ (1 + ) x ≥ (1 + ) x > (1 + ) n x n +1 ⇒ n ≤ x < n +1⇒ 1 n ⇒ (1 + ) n + `1 > (1 + ) x ≥ (1 + ) n x n +1 ⇒ (1 + ) x → e x → +∞ x * Khi x → −∞ Đặt t = -( x+1) ta đến kết lim(1 + ) x = e x →∞ x Ví dụ lim( x →∞ x + x+2 x+2 ) = lim (1 + ) Đặt = ⇒ x = 2z + x→∞ x −1 x −1 z x −1 Thay vào ta giới hạn e Suy lim(1 + α ) α = e (Đặt α = α →0 ) t Ví dụ lim(1 + sin x) x = e x →0 ln(1 + u ) ( Dạng ) u →0 u Giớí hạn lim ln(1 + u ) u lim = lim ln(1 + u ) = ln e = u →0 u →0 u ln(1 + u ) =1 u →0 u lim Suy lim x →0 log a (1 + u ) = log a e u Ví dụ ln(1 + x ) ln(1 + x ) x x = lim ( )= x→0 x→0 sin x 2x x sin x lim ex −1 Giớí hạn lim (Dạng ) x →0 x 47 x Đặt u = e − ⇒ x = ln(1 + u ) ex − u = lim =1 x →0 u → ln(1 + u ) x lim ex −1 =1 x →0 x lim Suy ax −1 = ln a x →0 x lim Ví dụ e3 x − e x e3 x − e x − e3 x − e2 x − = lim( − ) = lim( ) − lim( )= − = x →0 x→0 x →0 5x 5x 5x 3x x→0 x 5 5 lim (1 + x)α − Giớí hạn lim x→0 x Giải Đặt (1 + x) α − = a ⇒ (1 + x) α = + a ⇒ α ln(1 + x) = ln(1 + a ) Khi a (1 + x)α − a a α ln(1 + x) ln(1 + x) = = = α ⎯x⎯ ⎯→α →0 x x x ln(1 + a) x ln(1 + a) (1 + x)α − =α x →0 x lim Bài tập 1) Dùng định nghĩa, chứng minh dãy số (un ) n∈Z = (− 1)n n∈Z + phân kỳ + 2) Viết định nghĩa khác giới hạn sau lim f ( x) = ∞, lim f ( x) = + ∞, lim f ( x) = − ∞ x →∞ x→ − ∞ x→ + ∞ 3) Dùng định nghĩa Heine, chứng tỏ a) lim cos x→0 không tồn x x = x →∞ x + b) lim 3.3 VÔ CÙNG BÉ VÀ VÔ CÙNG LỚN 3.3.1 Vô bé Định nghĩa Hàm α (x) gọi vô bé (viết tắt VCB) q trình dần tới giới hạn q trình 48 Ví dụ Khi x → sinx VCB, x3 VCB Khi x → ∞ VCB x Chú ý α (x) VCB x → x0 ∀ε > 0, ∃δ > : < x − x0 < δ ⇒ α ( x) < ε Liên hệ VCB hàm có giới hạn Điều kiện cần đủ để hàm f (x) có giới hạn L trình f ( x) − L VCB q trình Các tính chất VCB a) Nếu α (x) VCB trình C số C α (x) VCB trình b) Nếu α ( x) , α ( x) , …, α n (x) số hữu hạn VCB trình tổng tích chúng VCB trình c) Nếu α (x) VCB x → x0 f(x) hàm bị chặn lân cận thủng x0 α (x) f(x) VCB x → x0 3.3.2 Vô lớn Định nghĩa Hàm số f(x) VCL q trình f(x) dần tới vơ cực trình Liên hệ VCB VCL a) Nếu q trình đó, hàm f(x) VCB ln khác khơng VCL f ( x) trình b) Ngược lại, q trình hàm f(x) VCL VCB f ( x) trình 3.3.3 So sánh VCB Các cấp so sánh Giả sử α (x) β (x) VCB trình Khi đó, a) Nếu tỉ số α ( x) dần tới ta nói α (x) VCB cấp cao β (x) hay β (x) β ( x) VCB cấp thấp α (x) , ký hiệu α (x) = ο ( β ( x)) Ví dụ 1-cosx VCB cấp cao x 49 b) Nếu tỉ số α ( x) dần tới số khác ta nói α (x) β (x) VCB β ( x) cấp Ví dụ Khi x → 1-cosx x2 hai VCB cấp c) Nếu α (x) VCB cấp với ( β (x) )k với k > ta nói α (x) VCB cấp k so với VCB β (x) Ví dụ Khi x → – cosx VCB cấp so với VCB x d) Nếu tỉ số α ( x) khơng có giới hạn ta nói VCB α (x) β (x) không so sánh với β ( x) e) Nếu tỉ số α ( x) β ( x) dần tới vơ cực dần tới ta trở lại trường hợp β ( x) α ( x) VCB tương đương a Định nghĩa α ( x) có giới hạn β ( x) q trình ta nói α (x) β (x) VCB tương đương Giả sử α (x) β (x) VCB trình Nếu tỉ số Ký hiệu α (x) ~ β (x) Ví dụ Khi x → sinx~x, ln(1+x) ~ x, ex – 1~x Chú ý Nếu α (x) ~ β (x) β (x) ~ α (x) b Ứng dụng VCB tương đương để khử dạng vô định Nếu α (x) ~ α ( x) β (x) ~ β ( x) lim α ( x) α ( x) = lim β ( x) β ( x) Ví dụ sin x 5x = lim = x → sin x x →0 x lim c Vô bé tương đương tổng VCB đồng thời Nếu α (x) β (x) VCB trình α (x) có cấp thấp α (x) + β ( x ) ~ α (x) Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao 50 Giả sử α (x) β (x) VCB trình đó, α (x) β (x) tổng α ( x) giới hạn tỷ số hai VCB cấp thấp nhiều VCB Khi giới hạn tỷ số β ( x) tử số mẫu số Ví dụ x + sin x + tg x x lim = lim = x→ 2x + x + 4x 2x Phần VCB Giả sử α (x) β (x) VCB trình α (x) ~ C β k (x) ( k > 0, C ) C β k (x) gọi phần VCB α (x) so với VCB β (x) Ví dụ Khi x dần tới – cosx vô bé cấp cao VCB x So với x phần VCB 1- cosx x 3.3.4 So sánh vô lớn (VCL) Các cấp so sánh Giả sử A(x) B(x) VCL trình Khi đó, A( x) dần tới ∞ ta nói A(x) VCL cấp cao B(x) hay B(x) VCL B( x) cấp thấp A(x) a) Nếu tỉ số Ví dụ Khi x → ∞ x + VCL cấp cao VCL x lim x →∞ x3 + x = lim x →∞ x3 x + lim x →∞ x =∞ A( x) dần tới số k khác ta nói A ( x ) B(x) VCL ngang B( x) cấp Đặc biệt, k = ta nói A ( x ) B(x) VCL tương đương b) Nếu tỉ số c) Nếu tỉ số A( x) B( x) dần tới dần tới ∞ ta trở lại trường hợp a) B ( x) A( x) d) Nếu tỉ số A( x) khơng có giới hạn ta nói VCL A ( x ) B(x) không so sánh B ( x) với Ứng dụng VCL để khử dạng vô định a VCL tương đương 51 Nếu A(x) ~ A(x) B(x) ~ B(x) lim A( x) A( x) = lim B( x) B( x) b VCL tương đương tổng VCL đồng thời Nếu A(x) B(x) VCB q trình A(x) có cấp thấp A(x) + B(x) ~ B(x) 3.Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp Giả sử A(x) B(x) VCB q trình đó, A(x) B(x) tổng nhiều VCB Khi giới hạn tỷ số A( x) giới hạn tỷ số hai VCB cấp B( x) thấp tử số mẫu số Ví dụ 6x 6x − 5x + = lim = lim = 2 x→∞ x + x + x→∞ x x→∞ lim 3.3.5 Khử dạng vô định 1) lim x →3 sin( x − 3) 1 x−3 lim lim = = = x − x + x→3 ( x − 3)( x − 1) x→3 x − 5x 5 sin x = lim = lim = x→0 ln(1 + x ) x→0 x x→0 4 2) lim + x + x2 − x + x2 1+ x = lim = lim = x→0 x→0 sin x x→0 sin x sin x 2 4( + x + x + 1) x( + x + x + 1) 4x 4x 1+ = lim = x→0 1.4( + + + 1) 3) lim / ) lim (1 − x)tg πx x =1− x x→1 π = lim x/ → sin x/ π = cos x/ x / →0 π x/ x2 5) limπ (cos x ) x→ Đặt A = lim (cos x →0 52 lim xtg x x) π = π π (1 − x / ) = lim x / cot g / x →0 π x/ = ln A = ln lim (cos x) x x →0 cos x − = lim lim x→0 x→0 x2 = lim [ln(cos x) x x →0 ln(cos x) ln[1 + (cos x − 1) = lim x →0 x →0 x2 x2 ] = lim x = − lim = − ⇒ A = e − 2 x→0 ⎛x⎞ 4⎜ ⎟ ⎝2⎠ − sin Bài tập Tìm giới hạn sau tg x 1) limπ (tgx ) x→ tg 2) limπ (sin x) x→ 3) lim x →0 2x cos x − cos x sin x ⎞ 4) lim ⎛⎜ x → ⎝ ln cos x ⎟ ⎠ ln cos x 3.4 HÀM SỐ LIÊN TỤC 3.4.1 Hàm số liên tục Định nghĩa a Liên tục điểm * Giả sử hàm y = f (x) xác định lân cận điểm x0 Hàm f(x) gọi liên tục taị điểm x0 lim f ( x) = f ( x ) x → x0 * Giả sử hàm y = f(x) xác định lân cận bên phải điểm x = x0 Hàm f(x) gọi liên tục bên phải taị điểm x0 lim+ f ( x) = f ( x ) x→ x0 * Giả sử hàm y = f(x) xác định lân cận bên trái điểm x = x0 Hàm f(x) gọi liên tục bên trái phải tạị điểm x0 lim− f (x) = f (x0 ) x→x0 b Liên tục khoảng, đoạn * Giả sử hàm y = f(x) xác định (a,b) Hàm f gọi liên tục (a,b) f liên tục điểm thuộc (a,b) * Giả sử hàm y = f(x) xác định [a,b] Hàm f gọi liên tục [a,b] f liên tục điểm thuộc (a,b), f liên tục bên phải a bên trái b 53 Chú ý * Điều kiện cần đủ để hàm f liên tục điểm x = x0 liên tục bên điểm * Một hàm số sơ cấp xác định khoảng liên tục khoảng * Tổng, hiệu, tích, thương hàm hợp hàm liên tục hàm liên tục Ví dụ Xác định a để hàm số sau liên tục R ⎧ arctg ( x − x) ⎪ f ( x) = ⎨ 3x ⎪a x = ⎩ x ≠ Giải * Với x ∈ (−∞;0) ∪ (0;+∞ ) : Hàm f (x) hàm sơ cấp nên liên tục * Tại x = f(0) = a * arctg ( x − x) x − 2x x 2 = lim = lim( − ) = − lim f ( x) = lim x →0 x →0 x →0 x →0 3x 3x 3 f liên tục ∇ ⇔ f liên tục x = ⇔ a = − 3 Tính chất hàm liên tục đoạn Nếu hàm số y = f (x) liên tục đoạn [ a, b ] a) Thì f bị chặn đoạn đó, nghĩa là: ∃M > : f ( x ) ≤ M ∀x ∈ [a, b] (Định lý Weirestrass I) y f(x)=x^3-4x^2+3 f(x)=7 M f(x)=-7 B x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 A -4 -6 -M -8 54 b) Thì f đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [ a, b] , nghĩa ∃x0 ∈ [ a , b ] : f ( x0 ) = max f ( x ) ∃x1 ∈ [a, b] : f ( x1 ) = f ( x) [ ab ] [ ab ] (Định lý Weirestrass II) y f(x)=x^3-3x^2+4 x(t)=-1.5 , y(t)=t x(t)=3 , y(t)=t a -8 -6 -4 x -2 b -2 -4 -6 -8 c) f (a ) f (b) < ∃c ∈ (a, b) : f (c ) = , nghĩa phương trình f ( x) = có nghiệm khoảng (a, b) (Định lý Bolzano-Cauchy I) y f(x)=x^3-3x^2+4 x(t)=1 , y(t)=t x(t)=-1.5 , y(t)=t x a -8 -6 -4 -2 c b -2 -4 -6 -8 d) Thì f đạt giá tri trung gian gồm giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn đó, nghĩa là: ∀μ ∈ [m, M ], ∃ξ ∈ [a, b] : f (ξ ) = μ 55 (Định lý Bolzano-Cauchy II) y f(x)=x^3-3x^2+4 f(x)=2 μ x -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8 3.4.2 Điểm gián đoạn hàm số Định nghĩa Điểm x = x0 gọi điểm gián đoạn hàm số y = f(x) f không liên tục x = x0 Các trường hợp gián đoạn a Hàm f khơng xác định điểm x = x0 Ví dụ Hàm số y = gián đoạn điểm x = x b Hàm f xác định điểm x = x0 khơng có giới hạn x → x0 Ví dụ ⎧ x > ⎪ Hàm số f ( x) = ⎨ x = khơng có giới hạn x → nên gián đoạn điểm ⎪− x < ⎩ c Hàm f xác định x = x0, có giới hạn x → x0 giới hạn khác với f ( x0 ) Ví dụ 56 ⎧ ln( + x ) ⎪ x ≠ Hàm số f ( x ) = ⎨ điểm x = có giới hạn x ⎪⎩ x = x → , f(0) = ⇒ f (x) gián đoạn điểm x = Phân loại điểm gián đoạn a Điểm gián đoạn loại x0 điểm gián đoạn loại hàm f f gián đoạn điểm tồn ± giới hạn f(x) x → x0 hiệu f(x0+) - f(x0-) gọi bước nhảy f điểm x = x0 Ví dụ Hàm số ví dụ có gián đoạn loại điểm x = với bước nhảy Đặc biệt Nếu có thêm điều kiện f(x0+) = f(x0-) điểm gián đoan loại x0 gọi điểm gián đoạn bỏ Ở ví dụ x = điểm gián đoạn bỏ Ví dụ Hàm số ví dụ có gián đoạn bỏ điểm x = Hàm số ví dụ có gián đoạn loại điểm x = với bước nhảy b Điểm gián đoạn loại x0 điểm gián đoạn khơng thuộc loại gọi loại Đặc biệt lim f ( x ) = ∞ x0 gọi điểm gián đoạn vô cực hàm f x → x0 Ví dụ Hàm số f ( x ) = có x = điểm gián đoạn vơ cực x Bài tập 1)Khảo sát liên tục gián đoạn hàm số sau R a) ⎧1 − cos x x > ⎪ x2 ⎪ f ( x) = ⎨ x = ⎪ x ⎪ sin 3x x < ⎩ b) ⎧ x ≤ x ≤ f ( x) = ⎨ ⎩2 − x < x ≤ c) ⎧ x f ( x) = ⎨ ⎩ khi x ≤1 x >`1 57 d) π ⎧ ⎪ − sin x x ≤ − ⎪⎪ π π f ( x) = ⎨ A sin x + B − < x < 2 ⎪ π ⎪ cos x x ≥ ⎪⎩ 2) Chứng tỏ hàm số sau liên tục R ⎧1 − ⎪⎪ f ( x) = ⎨ ⎪ ⎪⎩ 1− x x ≠ x x = 3) Cho hàm số π ⎧ ⎪( x + 1) sin x ≠ −1 f ( x) = ⎨ x +1 ⎪⎩ a x = −1 Tìm a để hàm số f (x) liên tục R 4) Tìm a để hàm số sau liên tục x = ⎧ arctg ( x + x) ⎪ f ( x) = ⎨ 5x ⎪⎩2a + x≠0 x=0 5) Tìm a b để hàm số sau liên tục R x ≤1 ⎧ x−3 ⎪ 2 f ( x ) = ⎨a x + bx 1< x < ⎪ x≥2 ⎩ 58