Bài tập toán cơ sở cho sinh viên kinh tế Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2

Xin chào. Đây là tài liệu mà mình đã sưu tầm được trong quá trình học Toán cao cấp cho sinh viên kinh tế. Toán cao cấp 1 và toán cao cấp 2 có cả hướng dẫn cách làm và đáp án rất chi tiết của thầy Phạm Bá Thuấn. Hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học và ôn thi. Xin chân thành cảm ơn.

Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Mơn Tốn Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn BÀI TẬP CHƯƠNG I ỨNG DỤNG HÀM SỐ MỘT BIẾN TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ x Bài Cho f ( x)  x , g ( x)  Hãy tìm f  g ( x) , f  f  x  , g  g  x  g  f  x  Đáp số f  g  x    x , g  f  x    x , f  f  x   x , g  g  x   22 x Bài Tìm miền xác định hàm số a y  ( x  2) 1 x 1 x b y   x   10  x sin  x d y  lg  lg x  c y  arcsin  lg Đáp số a  1;1 c 1;100 b  0,   \ d 1;  Bài Cho hàm cung hàm cầu sản phẩm QS  p  QD  113  p Tìm giá cân thị trường hàng hóa đó? Bài Cho hàm cung hàm cầu loại hàng hóa QS  0,1p2  p 10 QD  50 p2 Chứng tỏ tồn giá cân khoảng  3;5 Bài Cho hàm doanh thu doanh nghiệp TR(Q)  1200Q  3Q ; Q  Xác định hàm doanh thu bình quân doanh nghiệp hàm cầu hàng hóa ? Hướng dẫn AR(Q)  TR(Q) Q ; Q0 p  D 1 (QD )  TR(Q) Q Bài Trong điều kiện lãi suất 0,9% tháng, cho biết: a Giá trị tương lai triệu đồng bạn có hơm sau năm ? b Giá trị khoản tiền triệu đồng bạn nhận sau năm ? Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Mơn Tốn Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn Đáp số a FV36  PV 1  r 36  1  0,009 36  1,009 36 triệu đồng b PV  FV48 1  r  48  1  0, 009  48  1, 009  48 triệu đồng Bài Một dự án đòi hỏi vốn đầu tư ban đầu $6000 đem lại $10000 sau năm Trong điều kiện lãi suất tiền gửi ngân hàng 9% năm, có nên đầu tư vào dự án hay khơng? Tính NPV dự án ? Đáp số Giá trị ròng =giá trị khoản tiền thu tương lai-chi phí Ta có, NPV  PV  C  FV5 1  r  n C  10000 1  0, 09   6000  449,3  5 Nên thực dự án Bài Tính giá trị khoản tiền $1000 sau năm lãi tính gộp liên tục với lãi suất 10% năm Hướng dẫn FV3  PV 1  r   1000 1  0,1 n Bài Một cơng ty đề nghị bạn góp vốn $3500 đảm bảo trả cho bạn $750 năm liên tiếp năm Bạn có chấp nhận góp vốn hay không với lãi suất 9% năm ? Hướng dẫn PV   FV3 FV7 FV1 FV2     1  r  1  r  1  r  1  r  750 750 750 750     1  0, 09  1  0, 09  1  0, 09  1  0, 09   1 1   750       1, 09    1, 09  1, 09  1, 09   100   100 7    1      109   109     750   100 1   109     NPV  PV  C  chấp nhận dự án Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Môn Toán Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn Bài 10 Một dự án đòi hỏi chi phí ban đầu 40 triệu đồng đem lại 10 triệu sau năm, 20 triệu sau năm 30 triệu sau năm Dự án có lợi mặt kinh tế hay không lãi suất hành 10% năm ? Hướng dẫn PV  10 20 30 ,    0,1 1  0,1 1  0,13 NPV  PV  C  PV  40  nên thực dự án Bài 11 Một dự án đòi hỏi phải đầu tư ban đầu $7500 sau năm đem lại cho bạn $2000 năm, liên tiếp năm Hãy tính giá trị ròng dự án điều kiện lãi suất 12% năm Có nên thực dự án hay khơng? Hướng dẫn PV  2000 2000 2000 2000      0,12 1  0,12  1  0,12  1  0,12  NPV  PV  C  PV  7500  không nên thực dự án Bài 12 Chứng minh hàm số   x sin x  f ( x)   x  x  liên tục khơng có đạo hàm điểm x  Hướng dẫn f liên tục điểm x  x  :  x sin x sin Suy ra, lim x 0 1  x   lim x sin  lim x  x 0 x x x 0 1    lim  x sin   x  x x  Do đó, lim f ( x)  f (0)  hay f liên tục x  x 0 f đạo hàm điểm x  Theo định nghĩa f ( x)  f (0) lim  lim x 0 x 0 x0 0 x  lim sin x  x0 x x sin Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Mơn Tốn Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn n  Đặt x  un   0, n  n * x đó, lim sin  lim sin x 0 n  n   lim sin   nên giới hạn n  2 1 n khơng tồn Vậy hàm số f khơng có đạo hàm điểm x  Bài 13 Chứng minh hàm số  x   x sin f ( x)   x  x   có đạo hàm điểm x tính đạo hàm f '  x  Hướng dẫn Tại điểm x  , hàm số f ( x)  x sin liên tục có đạo hàm x f '  x   x sin 1  cos x x Xét x  : f liên tục điểm x  x  :  x sin x sin Suy ra, lim x 0 1  x   lim x sin  lim x  x 0 x x x 0 1    lim  x sin   x 0 x x  Do đó, lim f ( x)  f (0)  hay f liên tục x  x 0 f có đạo hàm điểm x  Theo định nghĩa f ( x)  f (0) lim  lim x 0 x 0 x0 0 1  x  lim  x sin   x  x0 x  x sin Vậy hàm số f có đạo hàm điểm x  : f '    Bài 14 Tính đạo hàm hàm số sau a y  2e x  x   ln x Hướng dẫn a  b y  ln x  x   c y  a x x   a  1, x  *   Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Mơn Tốn Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn y'     2e x  x    ln x   ' ' 2e x  x ln 3  2e x  x  1 2  ' x x  5ln x ln x e       5ln x  x b y'    x 1 x  ' x  x2    ' 1 x  1    x  x2   x2    x  1   x  x2   x2   1 x2  c ln y  ln  a x x   x ln a   ln x y'       ln a   y '  y  ln a    a x x  ln a   y x x x   Bài 15 Cho f ( x)  ln  x Hãy tính f ''   , f '' 1 Hướng dẫn f ( x)  ln 1  x  ' 1 2x f '  x   x2    1 x 1  x  2 '  '  x 1  x   x 1  x    x f  x   2  1  x 2 3  x     '' Suy ra, f ''    , f '' 1  Bài 16 Tính đạo hàm cấp n hàm số a y  x.e b y  x x 1 Đáp số a y n  e  x  n ; x b y  n  1 n !  n 1  x  1 n Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Mơn Tốn Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn điểm x  x  0, 01 x Bài 17 Tính vi phân hàm số y  Hướng dẫn dy  x0   y '  x0  x   x x x  dy    y '   x   9  0,01  2700 Bài 18 Tìm biểu thức vi phân hàm số y  ln  x 1 x Hướng dẫn Ta có,   x   x  2   1 x  y   ln     x     x2  1 x    x   x 1  x  1 x ' ' ' Biểu thức vi phân dy  y ' dx   dx  x2 Bài 19 Xác định khoảng tăng giảm hàm số x a y  x  ln x b y  x e Đáp số     a Khoảng tăng  ;   ; khoảng giảm  0;  2   2 1 b Khoảng tăng  0;  ; khoảng giảm  ;0   2;  Bài 20 Tìm cực trị hàm số a y  x x 4 b y  ln x x Đáp số a   ymax  y 2   ,   ymin  y  b ymax  y  e   e Bài 21 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số a y  x ln x Đáp số đoạn 1,e b y  arctan  x đoạn 0,1 1 x Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Mơn Tốn Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn a max y  e2 , b max y   , y  y  Bài 22 Xác định khoảng lồi lõm tìm điểm uốn đồ thị hàm số x a y  (1  x )e b y  ln(1  x ) Đáp số a y'   x  12 e x ; y ''   x  1 x  3 e x Khoảng lồi:  ; 3  1;   , Khoảng lõm:  3; 1 , Điểm uốn:  1; y  1   3; y  3  b 2x y   x2 ' ;y  '' 1  x  1  x  2 , Khoảng lồi:  1;1 , Khoảng lõm:  ; 1 1;  , Điểm uốn:  1; y  1  , 1; y 1  Bài 23 Tìm hàm chi phí bình qn hàm chi phí cận biên, cho biết hàm tổng chi phí a TC (Q)  3Q  7Q  12 b TC (Q)  35  5Q  2Q  2Q3 Hướng dẫn Hàm chi phí bình qn: AC (Q)  TC (Q) , Q Hàm chi phí cận biên: MC (Q)  TC ' (Q) Bài 24 Tìm hàm doanh thu bình quân hàm doanh thu cận biên, cho biết hàm tổng doanh thu TR(Q)  12Q  Q Hướng dẫn Hàm doanh thu bình quân: AR(Q)  TR(Q) Q Hàm doanh thu cận biên: MR(Q)  TR ' (Q) Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Mơn Tốn Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn Bài 25 Tìm hàm lợi nhuận bình quân hàm lợi nhuận cận biên, cho biết hàm tổng lợi nhuận :   Q   Q2  13Q  78 Hướng dẫn Hàm lợi nhuận bình quân: A  Q    Q  , Q Hàm lợi nhuận cận biên: M   Q   A '  Q  Bài 26 Tìm hàm doanh thu cận biên, cho biết hàm cầu a Q  36  p b Q  44  p Hướng dẫn a Hàm cầu ngược: p  D 1  Q   18  Q ,   Q Hàm doanh thu: TR(Q)  p  Q  Q  18   Q ,  Hàm doanh thu cận biên: MR  Q   TR'  Q   18  Q b Tương tự Bài 27 Tìm hàm chi phí cận biên, cho biết hàm chi phí bình qn 46 AC (Q)  Q   ,  Q   Q Hướng dẫn Hàm tổng chi phí: TC (Q)  AC (Q).Q Hàm chi phí cận biên: MC (Q)  TC ' (Q) Bài 28 Cho biết hàm tổng chi phí TC (Q)  Q3  5Q  60Q Xác định mức sản lượng Q để chi phí bình qn nhỏ ? Hướng dẫn Chi phí bình qn AC (Q) nhỏ MC (Q)  AC (Q) Bài 29 Cho biết hàm tổng chi phí hàm tổng doanh thu Hãy xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa: a TC  Q   Q3  6Q2  140Q  750 TR(Q)  1400Q  7,5Q Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Mơn Tốn Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn b TC  Q   Q3  5,5Q2  150Q  675 TR(Q)  4350Q  13Q Hướng dẫn Bước 1: Lập hàm lợi nhuận   TR(Q)  TC (Q) Bước 2: Điều kiện cần Mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa (nếu có) nghiệm dương phương trình:  '   MR(Q)  MC (Q) Bước 3: Điều kiện đủ Tại mức sản lượng Q0  thỏa mãn điều kiện cần ta chứng tỏ  ''  Q0   điều thỏa mãn cho phép ta kết luận Q0 mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa  max    Q0  Bài 30 Cho hàm cầu Q  20  p Tính hệ số co dãn mức giá p = 2, p = Hướng dẫn  D p   p0   D'  p  Tại mức giá p2 p p  5 D  p 20  p hệ số co dãn cầu theo giá là:  D p     D '   2  5  1 D  2 20  5.2 Ý nghĩa: Tại mức giá p  giá thay đổi 1% lượng cầu thay đổi (ngược chiều) lượng xấp xỉ 1% Tại mức giá p  hệ số co dãn cầu theo giá là:  D  p   3  D '  3 3  5  3 , D  3 20  5.3 Ý nghĩa: Tại mức giá p  giá thay đổi 1% lượng cầu thay đổi ( ngược chiều) lượng xấp xỉ 3% Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Mơn Tốn Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn 10 CHƯƠNG II HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ x2  y Hãy tính f  2, 3 f (1, 0) xy Bài Cho hàm số f ( x, y)  Đáp số f  2, 3   13 f 1,0  không tồn 4 2 Bài Cho hàm số f ( x, y )  x  y  x  xy  y Hãy tính f (0, 0) f ( 2,  2) Đáp số f  0,0   f  2,    8 Bài Cho hàm số f ( x, y)  xy  y Tìm biểu thức hàm số sau x y f ( y, x), f (  x,  y ), f (1, t ), f (1, ) ? x Đáp số x y x f  y, x   yx  ; f   x,  y     x   y    xy  ; y x y y  y y y f 1, t   t  t  2t ; f 1,     x  x x x Bài Cho hàm số f ( x, y)  a f ( x, y )  f ( y, x) , b f (tx, ty)  f ( x, y ) xy Chứng minh x  y2 với t  Hướng dẫn a Ta có, f (y, x)  yx xy  2  f  x, y  y x x y b f (t x, t y)  2txty  tx    ty  2  xy  f  x, y  x  y2 10 Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Mơn Tốn Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn 47 y'  y  2 y x Bài Giải phương trình vi phân tồn phần a ( x  y )dx  ( x  y ) dy  2 b ( x  y  x)dx  xydy  , 2 c ( x  3xy  2)dx  (3x y  y )dy  , e d xdx  ydy  xdx y  3x  dy  y3 y4 xdy  ydx x2  y , f (2 xy  y )dx  (7  3xy )dy  Hướng dẫn a Kiểm tra điều kiện:   x  y   x  2y 1 y x nên phương trình cho phương trình vi phân tồn phần x y x y 0 0 U  x, y    M  x,  dx   N  x, y  dy   xdx    x  y  dy  x x   xy  y  0y  x  xy  y 2 Tích phân tổng quát phương trình là: x  xy  y  C ; C số tùy ý b Kiểm tra điều kiện:   x2  y  2x  y  2y    xy  x nên phương trình cho phương trình vi phân tồn phần x y x y 0 0 U  x, y    M  x,  dx   N  x, y  dy    x  x  dx    xy  dy 1    x3  x  0x   xy  0y  x  x  xy 3  Tích phân tổng qt phương trình là: x  x  xy  C ; C số tùy ý 47 Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Mơn Tốn Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn 48 2 2 c ( x  3xy  2)dx  (3x y  y )dy   ( x  3xy  2)dx  (3x y  y )dy  Kiểm tra điều kiện:   x3  3xy   y  6 xy    3x y  y  x nên phương trình cho phương trình vi phân tồn phần y x x y 0 U  x, y    M  x,  dx   N  x, y  dy   2dx    xy  dy   x    xy x  y  x  xy Tích phân tổng quát phương trình là: 2x  xy  C ; C số tùy ý d xdx  ydy    xdy  ydx y  x  x dx   y   dy  2  x y x y  x  y2    Kiểm tra điều kiện:   y  x   x   y  2  2 x y  x  y  x y     y x  x2  y2  nên phương trình cho phương trình vi phân toàn phần x x  x  U  x, y    M  x,  dx   N  x, y  dy   xdx    y   dy x  y2  0 0 y 1 y 1  1   x  0x   y  arctan  0y  x  y  arctan x 2 x 2  2 y y Tích phân tổng quát phương trình là: 2 y x  y  arctan  C ; 2 x C số tùy ý e Kiểm tra điều kiện: 48 Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Mơn Tốn Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn 49  2x     y   6 x  y y4  y  3x    y4   x nên phương trình cho phương trình vi phân tồn phần   2x U  x, y    M  x,  dx   N  x, y  dy   dx     dy y y  1 x2   1 y y y x x y Tích phân tổng qt phương trình là: x2   C ; C số tùy ý y3 y f (2 xy  y3 )dx  (7  3xy )dy  Đặt M ( x, y)  xy  y N ( x, y )   3xy Ta có M   xy  y  N   xy  y ;  3 y y y x Do khơng phải phương trình vi phân tồn phần Ta đưa phương trình vi phân tồn phần cách đặt: M N  x, y    x, y  y x   y   M  x, y  y Nhân hai vế phương trình với hàm số:   y  e   y dy e 2ln y 2  eln y  y 2 Ta có phương trình vi phân toàn phần:    x  dy  y   x  y  dx   Tích phân tổng quát phương trình là: x  3xy   C ; với C số tùy ý y Bài Bài tập tổng hợp 49 Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Mơn Tốn Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn 50 2 b ( x y  x)dy  ( xy  y )dx  a (2  y)dx  (3  x)dy  c y '  xy  y x2 e y ' y  14e g x y y '   xe d x 4x f  y dx  ( x2  25)dy x2  y  y ( x  0) x h y '  y'  x y dy 1 y2  i dx (1  x ) xy k dy  ny  x n e x dx x l ( x  y )dx  ( y  x) dy  Hướng dẫn a  x  : thỏa mãn phương trình,  y  2 : thỏa mãn phương trình,  x  3; y  2 : phương trình tương đương với y'  y x 3 x 3 2 2 b ( x y  x)dy  ( xy  y)dx   ( xy  y)dx  ( x y  x)dy  Ta thấy,   xy  y  y  xy     x2 y  x  x nên phương trình cho phương trình vi phân toàn phần c   thỏa mãn phương trình, x  0; y  : ta có phương trình Bernoulli x  0; y  : y'  y  x 2 y x d Ta giải phương trình tuyến tính y'  x y  xe x e Ta có phương trình tuyến tính 50 Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Mơn Tốn Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn 51 y ' y  14e4 x f  y dx  ( x2  25)dy  x  5 : thỏa mãn phương trình  y  0; x  C : thỏa mãn phương trình  y  0; x  5 : ta viết phương trình dạng phân ly biến số  x  25 y' y2    dx   x  25 y' y2  dx g Ta có phương trình tuyến tính y'  x y h ' ' Với x  đặt y  u.x  y  u x  u phương trình cho trở thành: u ' x  u   u  u  u ' x   u  i Với điều kiện xy  u' 1 u2  x phương trình cho tương đương với: y y y'   y ' dx   dx 2 1 y 1 y x 1  x  x 1  x  k x  : phương trình viết lại dạng phương trình tuyến tính y'  n y  xne x x l  x  0; y  C : thỏa mãn phương trình  y  0; x  C : thỏa mãn phương trình  y  x : phương trình cho viết dạng phương trình y'  x y x y ' ' Đặt y  u.x  y  u x  u phương trình trở thành: 51 Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Mơn Tốn Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn 52 1  u  u '   1  u  u ' dx  1 u x  1 u  x dx Bài Bài tập tổng hợp a y '    y b y '  y  1 x c x d y '  2 xy2 y '  xy 1 x e y '  x 2 y f y '  y x 1 x g yy '   y Hướng dẫn a   thỏa mãn phương trình x  1; y  : phương trình viết lại dạng phân ly sau x  1; y  1 ' 1 ' y   y dx    dx 1 y 1 x 1 y 1 x b,c,d,e,f g Tương tự câu a Bài 10 Tìm nghiệm tốn Cauchy sau 1 b x( x  1) y ' y  0; y    2 a xy ' y  ; y (1)  c y '  x y ; y(0)  d yy ' 3x  0; y (0)  e yy '   y ; y(1)  e4  Hướng dẫn e Ta có yy '   y  yy ' yy '     y dx  1dx 1 y2   y  Ce x ;  C   Với điều kiện ban đầu y (1)  e4    y (1) 2   e4  1 ta được: 52 Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Môn Toán Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn 53   y 1  Ce1;  C    C  thỏa mãn tốn Vậy nghiệm tốn Cauchy cần tìm là: e4 x  y  Bài tập a,b,c d giải tương tự Bài 11 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân sau: a y ' y  sin x b y ' y  e 2 x c y ' x  y  Hướng dẫn a y  e x  e x sin xdx b y  e x  e x dx c y  e x  xe x dx Bài 12 Tìm nghiệm toán Cauchy sau a y ' y  0; y (1)  , x b y ' y  e ; y (2)  Đáp số x 3 a y  2.e b y   x   e x  3e x2 xe x Bài 14 a Giải phương trình vi phân y '  y b Tìm nghiệm riêng phương trình y ' y  13cos x với điều kiện y(0)  Hướng dẫn a y  e x  2 b Nghiệm tổng quát y  13e3 x  e3 x cos xdx Từ ta tìm nghiệm riêng Bài 15 Tìm nghiệm tốn Cauchy 1 y '  ( y cos t  cos t ); y (0)  y Hướng dẫn Giải phương trình phân ly biến số: 2y ' 2y ' y  cos t   y  y dt   cos tdt y2 1 53 Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Mơn Tốn Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn 54 Ta đươc nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu y (0)  là: y   2esin t Bài 16 Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp a y''  y '  y  b y''  y  '' ' ' c y  y  15  0; y    0; y        d y ''  y  0; y    0; y '    1 3 3 '' ' x f y  y  y  e e y''  y'  y  '' ' g y  y  y   x '' h y  y  x.cos x '' ' ' i y  y  y  sin x; y (0)  1; y (0)  k y ''  y   x; y (0)  ; y ' (0)   13 4 Hướng dẫn a Bước Phương trình đặc trưng   5    1  2  2  3 Bước Nghiệm tổng quát y  C1e2 x  C2e3x ; với C1 , C2 hai số tùy ý b Bước Phương trình đặc trưng     1  3i  2  3i Bước Nghiệm tổng quát y  e0 x  C1 cos3x  C2 sin 3x   C1 cos3x  C2 sin 3x ; với C1 , C2 hai số tùy ý c Bước Phương trình đặc trưng   8  15   1   2  Bước Nghiệm tổng quát 54 Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Mơn Tốn Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn 55 y  C1e3x  C2e5 x ; với C1 , C2 hai số tùy ý Bước Tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu y    0; y'    Ta có y  C1e3x  C2e5 x ; y'  3C1e3x  5C2e5 x Do đó,  y     C1  C2   C1  1    '  y    3C1  5C2  C2  Vậy, nghiệm toán Cauchy là: y  e3 x  e x d Tương tự e Bước Phương trình tuyến tính liên kết y''  y'  y  Phương trình đặc trưng:       1   2  3 suy nghiệm tổng quát phương trình là: y  C1e2 x  C2e3x Bước Sử dụng phương pháp biến thiên số Xem C1 , C2 hàm số theo x , tìm nghiệm tổng quát phương trình khơng có dạng: y  C1  x  e2 x  C2  x  e3 x Bước Tìm C1  x  , C2  x  cách giải hệ phương trình 2 x  '  C  x  e C1  x    e 2 x  C1    e x C1'  x   e 3 xC2'  x      10    2x ' 3 x ' e C x  e C x   1  2   C '  x    e3 x C  x    e3 x  C 2   5   55 Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Mơn Tốn Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn 56 Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: y  C1e x  C2 e 3 x  với C1 , C2 hai số tùy ý Bài 17 Giải phương trình vi phân ' x y a y  e c  3x2  xy  dx   x2 y  y3  dy  b  xy  y  dx   y  x  y  dy  ' d y  xy  xy e y '  y   x  13 ; y (0)  ' f y  cos( x  y) x 1 Hướng dẫn ' x y a y  e dy x y  e e  e y dy  e x dx phương trình phân li biến số Lấy tích dx phân hai vế ta được: ' x y Ta thấy, y  e  e y dy   e x dx  e y  e x  C e y '  y   x  13 ; y (0)  x 1 Với x  1 ta giải phương trình tuyến tính y'  dy dy y0  y  dx x 1 dx x  y x 1 Đây phương trình phân li biến số, lấy tích phân hai vế ta được: dy dy 2  dx    dx  ln y  ln x   C1  y  C  x  1 y x 1 y x 1 Nghiệm tổng quát phương trình khơng có dạng y  C  x  x  1 Ta có, dC  x  dC  x    x  1   x  1 C ( x) vào phương trình khơng trở dx dx thành: dC ( x)  x   dC ( x)  ( x  1)dx   dC ( x)   ( x  1)dx  C ( x )   x  1  C dx Suy ra, nghiệm tổng qt phương trình khơng là: 56 Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Mơn Tốn Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn 57 2 1  y ( x)    x  1  C   x  1   x  1  C  x  1 ; C số 2  Với điều kiện ban đầu y    nên C=0 Vậy nghiệm toán Cauchy y  x   x  1 d Phương trình Bernoulli ' f y  cos( x  y) Đặt u  x  y suy du dy  1 Khi phương trình cho viết lại: dx dx  du du du   cos u    cos u   dx dx dx  cos u Lấy tích phân bất định hai vế phương trình ta được: du   cos u   dx   du u 2sin 2   dx   cot u  xC Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: cot x y   x  C ; với C số Bài 18 Giải phương trình vi phân a dy  y   xy b  x  y  dx  xydy  0; y(1)  c y  y  cos x ex d y  y  x e 1 dx x '' '' Hướng dẫn a,b Phương trình Bernoulli Bài 19 Giải phương trình vi phân ' 2 a xyy  x  y  b x dy  xy  y  0; y (1)   c  xy  y  dx  xdy  0; y(0)  ' d x y  xy   dx Hướng dẫn 57 Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Mơn Tốn Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn ' 2 a xyy  x  y   xy 58 dy   x2  y dx Với điều kiện xy  ta có:  y 1    2 dy  x  y x   y dx xy x Đặt u  du y ta có  x dx x x dy y du dy dy du dx x  u   x  u vào phương trình x dx dx dx dx du 1  2u du u  u dx u  x   du  dx u dx u u 1 x Đây phương trình phân li biến số, lấy tích phân hai vế ta có u dx d  u  1 dx  u  du   x   u    x  ln u   ln x  C1 b,c Phương trình Bernoulli ' d x y  xy   Với điều kiện x  phương trình cho viết lại dạng phương trình tuyến tính cấp 1: 1 y'  y   x x Giải phương trình tuyến tính cấp liên kết với phương trình trên: y'  C y   y  ; C x x Sử dụng phương pháp biến thiên số, nghiệm tổng quát có dạng: y ( x)  dy ( x) C ( x) ta có  x dx x dC ( x)  C ( x) dx thay vào phương trình tuyến tính cấp x2 khơng ta được: dC ( x)   suy dx x  dC ( x)    xdx  C ( x)   ln x  C 58 Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Môn Toán Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn Vậy nghiệm tổng quát là: y  x    59 ln x x C ; với C số x Bài 20 Giải phương trình vi phân sau a  x  y  dy  ydx 2 ' ' b y  x y  xyy ; y(0)  c  x  1 y '  x  y d y 1  xy  dx  xdy  0; y (1)  x  y 1 x y3 y e2  x ln x; y (e)  e xy  ln x ' f y  ' 2 g xyy  x  y  0; y(1)  h xydx   x  1 dy  ' i l y (1  xy )dx  xdy  0; y (1)  k dy x2  xy  dx xy  y dy x  y   dx x  y  Bài 21 Giải phương trình vi phân '' ' a y  y  y  x '' b y  y  sin t '' c y  y  sin(2t ) d y ''  y  sin t  sin  t  Bài 22 Giải phương trình vi phân y dy  y a x  y  x cos   dx x dy y  x  e b dx x xy  dy  2  x y c  dx  y (0)     cos x  y  cos x d  dx  dy   y ( )  59 Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Mơn Tốn Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn 60 60 Đại Học Kinh Tế Huế Bộ Mơn Tốn Kinh Tế Giảng viên Trần Bá Thuấn 61 61