Toán cao cấp 3

ng khác nhau.. y, khi hàm véc- i thì và vuông góc nhau.. Tính tích phâphân.. trình bày trong giáo trình này.. Tính ng th ng.. Khai tri n Fourier hàm trên.

I H C CÔNG NGH TP.HCM

Biên

3

M C L C

M C L C I

H III

BÀI 1 1

1.1 VÉC-T TRONG KHÔNG GIAN CÁC TÍCH VÉC-T 1

1.2 HÀM VÉC-T 5

1.3 TÍCH PHÂN 13

1.4 TÍCH PHÂN 18

TÓM 21

BÀI 22

BÀI 2 23

2.1 TÍCH PHÂN HAI 23

2.2 CÔNG GREEN 29

2.3 TÍCH PHÂN HAI KHÔNG TÍCH PHÂN 32

TÓM 39

BÀI 40

BÀI 3 42

3.1 TÍCH PHÂN 42

3.2 TÍCH PHÂN HAI 46

3.3 LÝ GAUSS - OSTROGRATSKI 52

3.4 LÝ STOKES 53

TÓM 55

BÀI 56

BÀI 4 58

4.1 THÔNG L , PHÂN TR VÉC-T 58

4.2 HOÀN L U VÀ VÉC-T XOÁY TR VÉC-T 61

4.3 VÀI TR 65

4.4 TR HÒA, PH NG TRÌNH LAPLACE, HÀM HÒA 69

TÓM 71

BÀI 72

BÀI 5 73

5.1 LÝ C PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN, CÔNG NEWTON - LEIBNITZ 73

5.2 TÍCH PHÂN SUY 1 TÍCH PHÂN VÔ 77

5.3 TÍCH PHÂN SUY 2 (HÀM D TÍCH PHÂN KHÔNG 81

TÓM 85

BÀI 86

BÀI 6 87

6.1 87

6.2 KHÔNG ÂM 91

6.3 CÓ 97

TÓM 100

BÀI 101

BÀI 7 103

7.1 103

7.2 105

TÓM 110

BÀI 111

BÀI 8 FOURIER 112

8.1 TAYLOR 112

8.2 C L GIÁC, FOURIER 115

8.3 KHAI FOURIER HÀM 118

TÓM 125

BÀI 125

BÀI 9 PH HÀM RIÊNG 126

9.1 CÁC KHÁI CHUNG 126

9.2 PH NG TRÌNH 128

9.3 PH NG PHÁP TÁCH PH NG TRÌNH 130

TÓM 138

BÀI 139

BÀI 10 PH NG TRÌNH SÓNG PH NG TRÌNH LAPLACE 140

10.1 PH NG TRÌNH SÓNG 140

10.2 PH NG TRÌNH LAPLACE 144

TÓM 147

BÀI 148

tích phân Maclaurin

B

Bài 8

do

BÀI 1 TÍCH PHÂN

ng khác nhau

cung ph ng và cung trong không gian

TÍCH

m t h thu n theo qui t c bàn tay ph i (ho c qui t c

c): Khi n m bàn tay ph i sao cho b n ngón tay nh xoay

Thay bi u th c t vào, v i m t vài n, d th y hai

Ø4²¸ ïòïé

Ñ

Ta có ,

( là véc- h ng) (1.5)

véc-

(1.7) (1.6) và (1.7) vào (1.5)

hay

§

¨ ß

Ø4²¸ ëòï

N u cung thu c m t ph ng và hàm s là hàm hai bi n , ta có th

Khi y t n t m thu c cung y sao cho

ng h p trong m t ph ng, ta có

¨

1.4 T

V y n u cung ng ch t, , thì (v i dài cung

ng tâm có th vi t

b i m t cung không c t tr c và xoay quanh

Ví d 1.4.1 Tìm tr ng tâm c a n a trên vòng tròn tâm

1.4.3 ng tâm c a cung trong không gian

công th c

ph ng và cung trong không gian

là

(2.1)

.1.1 N u các hàm s liên t c trong mi n m ch a cung

2.1.4 i hai

n th ng b) Theo parabol

gian

Cho là mi i n i trong m t ph ng v i biên t ng khúc Các

trình bày trong giáo trình này

Ví d 2.2.1 Ki m tra công th c Green cho hàm , v i là

ng h p là chu tuy n kín bao g c t

2.3

2.3.1

Ch ng minh 1) 2) Ta c n tìm hàm sao cho

ßø¨ ô § ÷ ± ±

Ýø¨ ô § ÷ï ±Þø¨ ô § ÷ï ï

§

ø¨ ô § ô ¦ ÷ï ± ±

1) nh trên cung thu c m t

hàm s o hàm riêng c a chúng liên t c trong mi n m

BÀI T P

Bài 8 Dùng công th c Green tính tích phân

c g i là tích phân m t lo i m t, hay là tích phân m t theo di n tích c a hàm

(3.1)

V y, m t (3.4) o hàm riêng

c g i là tích phân m t lo i hai c a các hàm trên m ng Tích

D1, D2 là các hình chi u c a các m t ph ng và ng,

ch n d u + ho c tùy theo các góc và là nh n ho c tù

Xem là hình tròn v ng tròn

1 là h c a hàm

trên m t ,

Bài 10 - Ostrogratxki tính tích phân

4.1.2 ng véc- v n t c c a m t dòng ch ng ti p tuy i v i dòng ch y y

đứểữ

nh lý Stokes Cho m ng khúc S v i bi n là chu tuy n

ch ph thu c biên

Th t v y cho S1, S2 cùng có biên nh lý Gauss Ostrogratski (v i

(New Leibnitz) Cho hàm f(x) 1-

Xét cosî

î ð

Tích phân

b) 0 < K < +

c) K = +

inh

ïî

² ´² ²

Xét h , hàm này 1 (có 0) và

+Chú thích 2

Bài 6

0

21

n n

Bài 7 Tính

N u , chu i (3) phân k ho c dùng tiêu chu V y

h i t N u chu i phân k v i thì ta cho , n u chu i h i t v i , ta cho

7.2.2

n n

a a

0, 1 , 0

x n

Ta có , cho nên kho ng h i t c a chu i là

n

c g i là chu i Taylor c a hàm trong lân c n

Cho M t khác V y,

Các hàm s

V y

8.3 KHAI TRI N FOURIER C A HÀM S

8.3.2 Khai tri n Fourier c a hàm ch n, l

, n u l thì nên ta có khai tri n theo các hàm

8.3.4 Khai tri n Fourier hàm có chu k b t k

(1)

và v i , ta có chu i Fourier c a theo các hàm sin

m cosin (khi dùng thác tri n

ch n)

TÓM T T

Qua bài h c này, h c viên bi t v

Xét ph n dây n m gi a hai thi t di n và vuông góc Cho thi t di n có t a

S truy n nhi t tuân theo các nguyên t c sau:

l là (ph thu c vào v t li u dây)

là di n tích m t thi t di n , d u - là do nguyên t c th hai

hay là

s truy n nhi t trong m t m nh ph ng trong m t ph ng

N NHI T

n nhi t m t chi u t ng quát có d ng

th hi n ngu n nhi t có trong thanh N u

- Xét

9.3.1

(1)

(2) (3)

Th các tr riêng a c

V y

1 Ph o hàm riêng ng trình ch o hàm riêng c a hàm nhi u bi n ch a bi t

th hi n ngu n nhi t có trong thanh

Tìm nghi m d ng tách bi n

,

Ta tìm nghi m bài toán d ng là các hàm c n tìm

(6)

n u th a mãn các tính ch t h i t s th a (1) - th a (4) ta c n

(12)

V y