bài tập toán cao cấp 3

Để đạt được lợi nhuận cao nhất thì bao nhiêu sản phẩm của mỗi loại cần được sản xuất biết tổng số sản phẩm của nhà máy sản xuất ra là 42 sản phẩm.. d) Một nông dân muốn dựng hai trại chă[r]

(1)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP KHOA SƯ PHẠM TOÁN - TIN

BÀI TẬP

(2)

MỤC LỤC

1 Giới hạn đạo hàm hàm nhiều biến

1.1 Không gianRn hàm nhiều biến

1.1.1 Không gianRn

1.1.2 Hàm nhiều biến

1.1.3 Bài tập

1.2 Giới hạn liên tục hàm nhiều biến

1.2.1 Giới hạn hàm nhiều biến

1.2.2 Sự liên tục hàm nhiều biến

1.2.3 Bài tập

1.3 Đạo hàm riêng vi phân

1.3.1 Đạo hàm riêng hàm nhiều biến

1.3.2 Vi phân hàm nhiều biến

1.3.3 Bài tập

1.4 Áp dụng

1.4.1 Khai triển Taylor hàm nhiều biến

1.4.2 Cực trị hàm nhiều biến

1.4.3 Bài tập

2 Tích phân bội 10 2.1 Tích phân phụ thuộc tham số 10

2.1.1 Tích phân phụ thuộc tham số với cận hữu hạn 10

2.1.2 Tích phân phụ thuộc tham số với cận vô hạn 10

2.1.3 Bài tập 10

2.2 Tích phân lớp 11

2.2.1 Khái niệm tính chất 11

(3)

2.2.2 Cách tính tích phân lớp 11

2.2.3 Bài tập 11

2.3 Tích phân lớp 13

2.3.1 Khái niệm tính chất 13

2.3.2 Cách tính tích phân lớp 13

2.3.3 Bài tập 13

2.4 Áp dụng 15

2.4.1 Áp dụng hình học 15

2.4.2 Áp dụng vật lí 15

2.4.3 Bài tập 15

3 Tích phân đường tích phân mặt 17 3.1 Lí thuyết trường 17

3.1.1 Trường vô hướng 17

3.1.2 Trường vectơ 17

3.2 Tích phân đường 18

3.2.1 Tích phân đường loại 18

3.2.2 Tích phân đường loại 18

3.3 Tích phân mặt 20

3.3.1 Tích phân mặt loại 20

3.3.2 Tích phân mặt loại 20

3.4 Áp dụng 22

3.4.1 Áp dụng hình học 22

(4)

CHƯƠNG 1

GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM

NHIỀU BIẾN

1.1

Không gian

R

và hàm nhiều biến

1.1.1

Không gian

R

1.1.2

Hàm nhiều biến

Bài

tập

,

Bài

1.1.2.

Tính

các

giới

hạn

sau

a)

n→+∞

nsinn, n

2n+

.

b)

n→+∞

1 +

2n

.

c)

n→+∞

n2+ 1

n , ncos n, −1 n

.

d)

n→+∞

n en1 −1

3

√

n3+n+ 1

1−2n3

.

Bài 1.1.3.

Tìm miền xác định hàm số sau

a)

2+y2

x2−y2

.

b)

2+y2

x+y−2

.

c)

s

1− x

2

4 −

y2

9

.

(5)

5 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP

1.2

Giới hạn liên tục hàm nhiều biến

1.2.1

Giới hạn hàm nhiều biến

1.2.2

Sự liên tục hàm nhiều biến

1.2.3

Bài tập

Bài 1.2.1.

Chứng minh giới hạn sau không tồn tại

a)

(x,y)→(0,0)

x+y

x−y

.

b)

x2+y2+x−y x+y

.

Bài 1.2.2.

Tính giới hạn hàm số sau

a)

(x,y)→(3,+∞)

xy−1

y+

.

b)

(x,y)→(2,0)

ln x+ ey

p

x2+y2

.

c)

(x,y)→(0,1) x

2+y2

.

d)

(x,y)→(1,π)

xcosxy x2+y2

.

Bài 1.2.3.

a)

(x,y)→(0,1)

sinxy x

.

b)

(x,y)→(0,0)

xy

√

xy+ 1−1

.

c)

(x,y)→(0,0)

1 +x2+y2

x2 (1−cos 2x)

.

d)

(x,y)→(1,0)

ln(1 + sinxy)

y

.

Bài 1.2.4.

a)

(x,y)→(0,0)

x3+y3 x2+y2

.

b)

(x,y)→(0,0)

x2y x2+y2

.

c)

(x,y)→(+∞,+∞)

(x2+y2)e−(x+y)

.

d)

(x,y)→(0,1)xarctan

y x

.

(6)

Bài 1.2.6.

Xét tính liên tục hàm số sau

a)

x−2y

.

b)

p

.

c)











(x2+y2) sin

x2+y2

nếu

0

nếu

.

d)











2xy

x2+y2

nếu

0

nếu

.

Bài 1.2.7.

Tìm

để hàm số sau liên tục tại

a)











1−cos(2x2+ 2y2)

x2+y2

nếu

a−3

nếu

.

b)











ln(1 +x2+y2)

x2+y2

nếu

2a−3

nếu

.

1.3

Đạo hàm riêng vi phân

1.3.1

Đạo hàm riêng hàm nhiều biến

1.3.2

Vi phân hàm nhiều biến

1.3.3

Bài tập

Bài 1.3.1.

Tính đạo hàm riêng vi phân toàn phần hàm số sau

a)

.

b)

p

x2+y2

.

(7)

a)











2x3−y3

x2+ 3y2

nếu

0

nếu

.

b)











x3y−y3x

x2+y2

nếu

0

nếu

.

Bài 1.3.3.

Chứng minh rằng

a)

thoả mãn hệ thức

xz x+ yz y = z y2

.

b)

2z

∂x2+

∂2z ∂y2= 0

.

c)

p

x2+y2

với

2+y2 6= 0

2z

∂x2+

∂2z ∂y2 = 0

.

d)

∂x+y ∂u ∂y+z

∂u ∂z = 2u

.

Bài 1.3.4.

Tính đạo hàm hàm hợp sau

a) Cho

,

Tính

dt

.

b)

p

,

Tính

dt

.

c)

,

v

,

Tính

∂z ∂u

và

∂z ∂v

.

d)

,

y

Tính

∂z ∂u

và

∂z ∂v

.

Bài 1.3.5.

Xét tính khả vi hàm số sau tại

a)











x3+y3

p

x4+y4

nếu

2+y2 >0

0

nếu

.

(8)

1.4

Áp dụng

1.4.1

Khai triển Taylor hàm nhiều biến

1.4.2

Cực trị hàm nhiều biến

1.4.3

Bài tập

Bài 1.4.1.

Áp dụng vi phân tính gần giá trị sau

a)

p

.

b)

.

c)

p

.

d)

p

1,022+ 0,052

.

Bài 1.4.2.

Khai triển Taylor hàm sau lân cận điểm cho

a)

tại

.

b)

tại

.

c)

tại

.

d)

tại

.

Bài 1.4.3.

Tìm cực trị hàm số sau

a)

.

b)

.

c)

.

d)

.

Bài 1.4.4.

Tìm cực trị có điều kiện hàm số sau

a)

với điều kiện

.

b)

.

c)

.

d)

.

Bài 1.4.5.

a) Giá thuê lao động công ty cho hàm

(9)

trong đó

là số ngày làm việc cơng nhân có tay nghề cao,

là số ngày

làm việc cơng nhân có tay nghề thấp Tìm giá trị

,

để giá thuê lao

động thấp nhất.

b) Một trang trại muốn trồng hai loại A B với số lượng là

triệu cây

và

triệu Hàm lợi nhuận liên kết với số lượng hai loại là

f(x, y) = 60x+ 34y−6x2−3y2−4xy

Để đạt lợi nhuận cao trang trại phải trồng loại bao nhiêu

cây ?

c) Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm với số lượng tương ứng mỗi

loại là

và

Hàm lợi nhuận liên kết chúng cho bởi

f(x, y) =x2+ 3xy−6y

Để đạt lợi nhuận cao sản phẩm loại cần

được sản xuất biết tổng số sản phẩm nhà máy sản xuất 42 sản

phẩm.

d) Một nơng dân muốn dựng hai trại chăn ni có kích thước dọc theo

bờ rào khu đất ông ta Nếu tìm 720

rào kích thước

phải để diện tích tồn khu trại lớn nhất.

e) Một trung tâm thương mại nhận thấy doanh thu trung tâm phụ

thuộc vào thời lượng quảng cáo đài phát (

phút) truyền

hình (

phút) với hàm doanh thu sau

f(x, y) = 320x−2x2−3xy−5y2+ 540y+ 2000