bài tập toán cao cấp 3

Để đạt được lợi nhuận cao nhất thì bao nhiêu sản phẩm của mỗi loại cần được sản xuất biết tổng số sản phẩm của nhà máy sản xuất ra là 42 sản phẩm.. d) Một nông dân muốn dựng hai trại chă[r]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP KHOA SƯ PHẠM TOÁN - TIN

BÀI TẬP

TOÁN CAO CẤP 3

MỤC LỤC

1.1 Không gian Rn và hàm nhiều biến 4

1.1.1 Không gian Rn 4

1.1.2 Hàm nhiều biến 4

1.1.3 Bài tập 4

1.2 Giới hạn và sự liên tục của hàm nhiều biến 5

1.2.1 Giới hạn của hàm nhiều biến 5

1.2.2 Sự liên tục của hàm nhiều biến 5

1.2.3 Bài tập 5

1.3 Đạo hàm riêng và vi phân 6

1.3.1 Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến 6

1.3.2 Vi phân của hàm nhiều biến 6

1.3.3 Bài tập 6

1.4 Áp dụng 8

1.4.1 Khai triển Taylor của hàm nhiều biến 8

1.4.2 Cực trị của hàm nhiều biến 8

1.4.3 Bài tập 8

2 Tích phân bội 10 2.1 Tích phân phụ thuộc tham số 10

2.1.1 Tích phân phụ thuộc tham số với cận hữu hạn 10

2.1.2 Tích phân phụ thuộc tham số với cận vô hạn 10

2.1.3 Bài tập 10

2.2 Tích phân 2 lớp 11

2.2.1 Khái niệm và tính chất 11

2

2.2.2 Cách tính tích phân 2 lớp 11

2.2.3 Bài tập 11

2.3 Tích phân 3 lớp 13

2.3.1 Khái niệm và tính chất 13

2.3.2 Cách tính tích phân 3 lớp 13

2.3.3 Bài tập 13

2.4 Áp dụng 15

2.4.1 Áp dụng trong hình học 15

2.4.2 Áp dụng trong vật lí 15

2.4.3 Bài tập 15

3 Tích phân đường và tích phân mặt 17 3.1 Lí thuyết trường 17

3.1.1 Trường vô hướng 17

3.1.2 Trường vectơ 17

3.2 Tích phân đường 18

3.2.1 Tích phân đường loại 1 18

3.2.2 Tích phân đường loại 2 18

3.3 Tích phân mặt 20

3.3.1 Tích phân mặt loại 1 20

3.3.2 Tích phân mặt loại 2 20

3.4 Áp dụng 22

3.4.1 Áp dụng hình học 22

3.4.2 Áp dụng vật lí 22

CHƯƠNG 1

GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM

NHIỀU BIẾN

1.1.1 Không gian Rn

1.1.2 Hàm nhiều biến

Bài tập

,

Bài 1.1.2 Tính các giới hạn sau

n→+∞

1

nsin n,

n 2n + 1



n→+∞



1 + 1

2n

n

, 1 2nπ



n→+∞



√

n2+ 1

1

ncos

1

n,

− 1 n



n→+∞



n en1 − 1

, 1,

3

√

n3+ n + 1

1 − 2n3

 Bài 1.1.3 Tìm miền xác định của các hàm số sau

a) f (x, y) = x

2+ y2

x2− y2.

b) f (x, y) = x

2+ y2

x + y − 2.

c) f (x, y) =

s

1 − x

2

4 − y

2

9.

d) f (x, y) = ln(1 − x2− y2).

4

5 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 3

1.2.1 Giới hạn của hàm nhiều biến

1.2.2 Sự liên tục của hàm nhiều biến

1.2.3 Bài tập

Bài 1.2.1 Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại

(x,y)→(0,0)

x + y

(x,y)→(0,0)

x2+ y2+ x − y

x + y Bài 1.2.2 Tính các giới hạn hàm số sau

(x,y)→(3,+∞)

xy − 1

y + 1.

(x,y)→(2,0)

ln x + ey

p

x2+ y2

.

(x,y)→(0,1) x2+ y2
x

2 y 2

.

(x,y)→(1,π)

x cos xy

x2+ y2 Bài 1.2.3 Tính các giới hạn hàm số sau

(x,y)→(0,1)

sin xy

x .

(x,y)→(0,0)

xy

√

xy + 1 − 1.

(x,y)→(0,0)

1 + x2+ y2

x2 (1 − cos 2x).

(x,y)→(1,0)

ln(1 + sin xy)

Bài 1.2.4 Tính các giới hạn hàm số sau

(x,y)→(0,0)

x3+ y3

x2+ y2.

(x,y)→(0,0)

x2y

x2+ y2.

(x,y)→(+∞,+∞)

(x2+ y2)e−(x+y).

(x,y)→(0,1)x arctany

x Bài 1.2.5 Xét giới hạn lặp và giới hạn tại (0,0) của các hàm số sau

6 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 3

Bài 1.2.6 Xét tính liên tục của các hàm số sau

a) f (x, y) = x + y

x − 2y b) f (x, y) =p4 − x2− y2+px2+ y2− 1.

c) f (x, y) =







(x2+ y2) sin 1

x2+ y2 nếu (x, y) 6= (0, 0)

.

d) f (x, y) =







2xy

x2+ y2 nếu (x, y) 6= (0, 0)

0 nếu (x, y) = (0, 0)

.

a) f (x, y) =







1 − cos(2x2+ 2y2)

x2+ y2 nếu (x, y) 6= (0, 0)

.

b) f (x, y) =







ln(1 + x2+ y2)

x2+ y2 nếu (x, y) 6= (0, 0) 2a − 3 nếu (x, y) = (0, 0)

.

1.3.1 Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến

1.3.2 Vi phân của hàm nhiều biến

1.3.3 Bài tập

Bài 1.3.1 Tính đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của các hàm số sau a) f (x, y) = ex(cos y + x sin y).

b) f (x, y) = p xy

x2+ y2.

c) f (x, y, z) = xey+ yez + xex.

d) f (x, y, z) = xpx2+ y2+ z2 Bài 1.3.2 Tính đạo hàm riêng các hàm số sau

7 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 3

a) f (x, y) =







2x3− y3

x2+ 3y2 nếu (x, y) 6= (0, 0)

0 nếu (x, y) = (0, 0)

.

b) f (x, y) =







x3y − y3x

x2+ y2 nếu (x, y) 6= (0, 0)

0 nếu (x, y) = (0, 0)

.

Bài 1.3.3 Chứng minh rằng

a) z = y ln(x2− y2) thoả mãn hệ thức 1

xz

0

x+ 1

yz

0

y = z

y2.

b) z = x2− y2− 2xy thoả mãn hệ thức ∂

2z

∂x2+∂

2z

∂y2= 0.

x2+ y2 với x2+ y2 6= 0 thoả mãn hệ thức ∂

2z

∂x2+ ∂

2z

∂y2 = 0.

d) u = x2+ yz thoả mãn hệ thức x∂u

∂x+ y

∂u

∂y+ z

∂u

∂z = 2u Bài 1.3.4 Tính đạo hàm các hàm hợp sau

a) Cho z = ex−2y, x = sin t, y = t3 Tính dz

dt.

b) z = xp1 + y2, x = te2t, y = e−t Tính dz

dt.

c) z = x2ln y, x = u

v, y = 3u − 2v Tính ∂z

∂u và ∂z

∂v.

d) z = ln(u2+ v2), u = xy, v = x

y Tính ∂z

∂u và ∂z

∂v.

a) f (x, y) =







x3+ y3

p

x4+ y4 nếu x2+ y2 > 0

0 nếu x2+ y2 = 0

.

(

xy cospx2+ y2 nếu x2+ y2 6= 0

8 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 3

1.4.1 Khai triển Taylor của hàm nhiều biến

1.4.2 Cực trị của hàm nhiều biến

1.4.3 Bài tập

Bài 1.4.1 Áp dụng vi phân tính gần đúng các giá trị sau

a) p(2, 01)2+ (1, 96)2.

b) (0, 97)1,05.

c) ln(p1, 013+√4

0, 98 − 1) d) p3

1, 022+ 0, 052 Bài 1.4.2 Khai triển Taylor của các hàm sau trong lân cận của điểm đã cho a) f (x, y) = 2x2− xy − y2− 6x − 3y + 5 tại (1, −2).

b) f (x, y) = x3+ y3− 3xy tại (1, 1).

c) f (x, y) = sin(x2+ y2) tại (0, 0).

d) f (x, y) = excos y tại (0, 0).

Bài 1.4.3 Tìm cực trị của các hàm số sau

a) f (x, y) = 2x2+ y2− 4x + 3.

b) f (x, y) = 4x + 2y − x2− y2.

c) f (x, y) = x3+ y3− 3xy d) f (x, y) = 2x3+ xy2+ 5x2+ y2 Bài 1.4.4 Tìm các cực trị có điều kiện của các hàm số sau

a) f (x, y) =√

xy với điều kiện 2x + y = 2 b) f (x, y) = x2+ y2 với điều kiện x + y = 1.

c) f (x, y) = x2+ 3xy − 5y2 với điều kiện 2x + 3y = 6.

d) f (x, y) = xy với điều kiện x2+ y2 = 4.

Bài 1.4.5 a) Giá thuê lao động của một công ty được cho bởi hàm

f (x, y) = x2+ y3− 6xy + 3x + 6y − 5

9 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 3

động là thấp nhất.

và y triệu cây Hàm lợi nhuận liên kết với số lượng hai loại cây là

f (x, y) = 60x + 34y − 6x2− 3y2− 4xy

Để đạt lợi nhuận cao nhất thì trang trại phải trồng mỗi loại bao nhiêu cây ?

c) Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm với số lượng tương ứng của mỗi

f (x, y) = x2+ 3xy − 6y

Để đạt được lợi nhuận cao nhất thì bao nhiêu sản phẩm của mỗi loại cần được sản xuất biết tổng số sản phẩm của nhà máy sản xuất ra là 42 sản phẩm.

d) Một nông dân muốn dựng hai trại chăn nuôi có cùng kích thước dọc theo

phải là bao nhiêu để diện tích toàn bộ khu trại là lớn nhất.

e) Một trung tâm thương mại nhận thấy rằng doanh thu của trung tâm phụ thuộc vào thời lượng quảng cáo trên đài phát thanh (xphút) và trên truyền

f (x, y) = 320x − 2x2− 3xy − 5y2+ 540y + 2000

Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu đồng và trên truyền hình là 4 triệu đồng Ngân sách chi cho quảng cáo là 180 triệu