Toán cao cấp và các dạng bài tập

Cuốn bài tập này do các giảng viên của Bộ môn Toán - Thống kê biên soạn, trên cơ sở các tài liệu đã được sử dụng giảng dạy tại trường Đại học Tài chính – Marketing trong [r]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - MARKETING KHOA CƠ BẢN

Bộ Mơn Tốn – Thống kê

BÀI TẬP

TOÁN CAO CẤP

LỜI GIỚI THIỆU

Các bạn có tay sách “Bài tập Toán cao cấp”

dành cho sinh viên hệ Đại học quy, trường Đại học Tài – Marketing Từ năm học 2015 -2016, để thống nội dung học tập, đánh giá kết giảng dạy mơn Tốn Cao Cấp, Bộ mơn Tốn – Thống kê, Khoa Cơ Bản, cho biên soạn sách Cuốn tập giảng viên Bộ mơn Tốn - Thống kê biên soạn, sở tài liệu sử dụng giảng dạy trường Đại học Tài – Marketing nhiều năm qua Hội đồng thẩm định giáo trình Nhà trường thơng qua

Nội dung tập bám sát Đề cương chi tiết nội dung lý thuyết mơn học Tốn cao cấp trường Đại học Tài – Marketing, dạng ngân hàng câu hỏi thi hết học phần mơn Tốn cao cấp

Trước phần tập chương, nêu yêu cầu sinh viên để em nắm nội dung kĩ cần rèn luyện Các tập xếp từ kiểm tra kiến thức bản, đến tập tổng hợp, có số tập nâng cao (có đánh dấu *) để sinh viên tham khảo thêm

Phần cuối sách, chúng tơi có biên soạn số đề tổng hợp để sinh viên tham khảo thử sức, tự đánh giá trình độ

Hy vọng, sách tài liệu bổ ích giúp sinh viên trường Đại học Tài – Marketing học tốt mơn Tốn cao cấp thi kết thúc học phần đạt kết cao!

Chúng xin chân thành cảm ơn trân trọng giới thiệu sách bạn!

MỤC LỤC

Lời giới thiệu

Chương Ma trận – Định thức

A Yêu cầu sinh viên

B Bài tập

Chương Hệ phương trình tuyến tính 20

A Yêu cầu sinh viên 20

B Bài tập 20

Chương Không gian vectơ 30

A Yêu cầu sinh viên 30

B Bài tập 30

Chương Phép tính vi phân hàm biến 42

A Yêu cầu sinh viên 42

B Bài tập 42

Chương Tích phân 55

A Yêu cầu sinh viên 55

B Bài tập 55

Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến 66

A Yêu cầu sinh viên 66

B Bài tập 66

Chương Phương trình vi phân 76

A Yêu cầu sinh viên 76

B Bài tập 76

Một số đề luyện tập 82

Chương

MA TRẬN – ĐỊNH THỨC A Yêu cầu sinh viên

1 Nắm vững khái niệm ma trận dạng ma trận đặc biệt; biết thực phép cộng hai ma trận cấp phép nhân ma trận với số thực Chú ý tới phép biến đổi sơ cấp ma trận

2 Nắm vững định nghĩa, cách tính định thức ma trận vng số tính chất định thức

3 Nắm vững khái niệm ma trận nghịch đảo hai phương pháp tìm ma trận nghịch đảo

4 Nắm khái niệm hạng ma trận, phương pháp tìm hạng ma trận

5 Biết vận dụng kiến thức ma trận, định thức để giải số mơ hình kinh tế

B Bài tập Bài 1:

Thực phép tính ma trận sau: Tính 5A 3B 2C  , biết :

1

A

2

 

 

  

 

 

,

1

B

3

 

 

  

  

 

2

C

4

 

 

  

 

 

2 Tính AB, BA biết:

2

A

3            

B

3



 

  

 

3 Tính AB, BA biết:

1

A

2

            

2

B

1

           Đáp số: 1) 11

5A 3B 2C 11

27 15              . 2)

1 10

15 19

AB ; BA

10

9 22 15

                       3)

1 5 29 55 27

AB 10 ; BA 17 36 19

2 14 25 11

                         . Bài 2: Cho

2

A

0

 

 

  

  

 

Đáp số :  

3

6

3

f A

  

 

   

 

 

 



Bài 3:

Cho ma trận:

2

A

0



 

  

 ,

2

B

1



 

 

  

  

 

, C 1

 

  

 

1 Có thể thành lập tích ma trận ma trận

2 Tính AB, ABC

3 Tính  AB , C3 n với n

4 Tìm ma trận chuyển vị A tính AT C Đáp số:

1) AB, BC, CB, CA;

2) AB , ABC

2 2

   

   

   

   ;

3) (AB)3 11 15

10

 

  

 ;

4) T

2

A 1

3

 

 

  

 

 

, T

2

A C

3

 

 

  

 

 

Bài 4:

Cho ma trận

1

A

2



 

 

  

  

 

Tìm ma trận X cho

3 3A2XI

Đáp số :

1

X 12

3

 

 

 

   

  

 

Bài 5:

Tính định thức sau:

1

2

3

1



 

2

1 0

3

4



3

1

2

3

4

4

1 a

2 b

3 c

d 0

5

x a b c

0 y 0 d

0 e z f

g h k u l

0 0 v

2 1 1

1 1

1 1

1 1

7

3

1 m

4

2

  



8

2

1 m

3 1

2



 

Đáp số:

1)5; 2) 10; 3) 160; 4) abcd;

5) xyzuv; 6) 394; 7) 29m 145 ; 8)3429m 551 Bài 6:

Chứng tỏ định thức sau không

1

a b c

b c a

c a b

  

x p ax bp

y q ay bq

z r az br

  

3

 

 

 

2

2

2

2

2

2

ab a b a b

bc b c b c

ca c a c a

 

 

 

a b c

b c a

c a b

cb ba ac

Hướng dẫn : 1) Lấy cột cộng cột 2; 2) Từ cột 3, ta tách làm hai ma trận có cột ; 3) Lấy cột cộng lần cột 1; 4) Lấy cột cộng cột cột

Bài 7: Chứng minh rằng:

   

2 2

1 a a

1 b b b a c a c b

1 c c

   

Bài 8:

Tìm x cho:

2

1 x x x

1

=

1 27

1 16 64

Đáp số : x    2 x x 4 Bài 9:

Tính định thức cấp n sau:

1

1 n

1 n

1 n

1



 

  

a 1

1 a 1

1 a

1 1 a

3

1 2

2 2

2

2 2 n

1 1 n

2 2 n

n n n n

a + 2b a + 2b a + 2b

a + 2b a + 2b a + 2b

a + 2b a + 2b a + 2b

Bài 10:

Các phần tử ma trận vuông cấp nhận giá trị Tìm giá trị lớn định thức

Đáp số : Bài 11:

Tính định thức ma trận vuông cấp n, biết rằng: aij min(i, j) aij max(i, j)

Đáp số: 1) 1; 2) n ( 1)  n Bài 12:

Cho A

1

 

  

 

1

B

1



 

  

  Tính B AB , n1 n  suy An Đáp số :  

n n n

n

1 n

n n

3 3

B AB ; A

2

0 3

       

   

 

   

Bài 13:

Cho A M 2

4

 

 

 

 

Chứng minh :

2

A 2A I Suy A 1

Bài 14:

Tìm a để ma trận sau khả nghịch tính A 

1

A a

0

 

 

  

 

 

Đáp số : a 3;

a 1

1

A 1

a

2 a



 

 

 

    

    

 

Bài 15:

Tìm m cho ma trận sau khả nghịch

1

1 2

2 m m

m m

 

   

 

  

 

2

1 1 m

1 m

1 m 1

m 1

 

 

 

 

 

 

Đáp số : 1) m m  3; 2) m m   3 Bài 16:

Tìm x cho:

2

5 100

1 x x -1 x +

0 x -1

=

x x x -

0 x +1 x

Bài 17:

Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau (nếu có ):

1

1 1

1

2

          

1

2

2

            

0 1

0

1 0

0 1

             

1 1

1 1

1 1

1 1

                 

Đáp số :

1)

1

A

1 1

               

; 2)

3

1

2

A

5 2                     ;

3)

1

1

2

1

0

2

A 1 0 2 1 0 2                           

; 4)

1 1

4 4

1 1

4 4

A

1 1

4 4

1 1

4 4

Bài 18:

Cho ma trận

-3

1 -1

A = 1 ; B = ; C

7

0

2 -3 -4

 

   

  

   

     

 

 

1 Tìm ma trận X cho : XAB Tìm ma trận Y cho BYC Đáp số : 1) X 11

2

 

  

  ;2)

15 4m 4n

Y 2m 2n

m n

 

 

 

   

 

 

Bài 19:

Cho A ma trận vng cấp n, n1 tìm hạng ma trận phụ hợp trường hợp sau:

1 rank(A)n rank(A) n rank(A) n Đáp số :1 *

rank(A )n; rank(A )* 0 ;3.rank(A )* 1 Bài 20:

Cho ma trận A sau:

2

1

A

3 2

1 4

 

 

  

 



  

   

2 Tìm ma trận phụ hợp A

Đáp số : rank(A)2 ;2 A* 0 (ma trận O cấp n) Bài 21:

Tính hạng ma trận sau:

1

1

2

5 1

4 10

              

3 1

1

1

12 2 10

                    

1

2

5 1

4 10

             

0

1

3 12

4 5

                

Đáp số:1) 3; 2) 2; 3) 2; 4) Bài 22:

Tùy theo m, tìm hạng ma trận sau:

1

m 5m m

2m m 10m

m 2m 3m

            

3 1

m 10

1 17

2

           

1

2

3

4 m

           

1 1

m 1 1

1 m 1

1 2 1

                 

2) m0, rank02; m0, rank 3; 3) m7, rank2; m7, rank3; 4) m 1, rank 3; m 1, rank 4

Bài 23*:

Tính An, biết rằng:

1 A cos x sin x

sin x cos x



 

  

 

3 A

0

 

  

 

2 A

1        1 A

1

2                 Đáp số:

1) An cos nx sin nx

sin nx cos nx

       ; 2) n n n n n

3

1 A

2 3

   

    

 ;

3)

n n n

n

n

4

A         ; 4) n

n n n

cos sin 2sin

6 6

A

n n n

sin cos sin

6 6

Bài 24*:

Tìm a, b cho

4

a b

b a 1 3

 

 

 

  

   

   

Đáp số : a 42 cos k ; b 42 sin k

24 24

   

   

       

   

Bài 25*:

Cho hai ma trận

2 0

A 1 ; B

0 0

   

   

   

   

   

Chứng minh n n

det(A B ) chia hết cho 2n 1 Hướng dẫn :

1 0 0 0 1

A 1 0 ; B 0 0

0 0 0 0

       

       

       

       

       

Bài 26:

Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật A ma trận cầu cuối B sau:

0,1 0,3 170

A ; B

0,5 0, 280

   

   

   

Đáp số : X 385,96 591, 21

 

  

 

Bài 27:

Cho ma trận hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị năm t là:

  0, 0,3

A t 0,1 0,1 0,1

0, 0, 0,1

 

 

  

 

 

1 Tìm ma trận hệ số chi phí tồn năm t

2 Biết x(t)800,1500,700,tìm sản lượng ngành năm t

Hướng dẫn:

a) C I A(t)1; b) X(t) I A(t)1x(t) Bài 28:

Cho ma trận hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị năm t sau:

0,3 0, 0,3

A 0,1 0,3 0,

0,3 0,3 0,

 

 

  

 

 

1 Tìm ma trận hệ số chi phí tồn dạng giá trị năm t Giải thích ý nghĩa kinh tế phần tử dòng cột ma trận

2 Năm (t 1) nhu cầu sản phẩm cuối ngành

180,150,100 (tỷ VNĐ) Tính giá trị sản lượng ngành, 

Hướng dẫn: