TOÁN CAO cấp

9/5/2019 Kiểm tra, đánh giá kết quả: TOÁN CAO CẤP GV Phan Trung Hiếu 45 tiết LOG O -Điểm chuyên cần (hệ số 0.1): Dự lớp đầy đủ: 10 điểm Vắng ngày trễ ngày: trừ điểm Chỉ vắng ngày có phép -Bài kiểm tra kì (hệ số 0.3): Tự luận, khơng sử dụng tài liệu -Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6): Tự luận, không sử dụng tài liệu Điểm cộng, trừ tập: -Điểm cộng vào kiểm kỳ: 1 lần xung phong lên bảng làm câu:+0,5 điểm (nếu làm sai khơng trừ điểm) Chỉ cộng tối đa điểm Điểm cộng, trừ tập: -Điểm trừ vào kiểm kỳ: Khi SV +2 điểm mà tự ý lên làm bài: -0,5 điểm/lần Khi khơng có SV xung phong lên làm GV gọi SV lên làm theo danh sách thứ tự từ xuống: -Nếu SV làm +0,5 điểm/lần, -Nếu làm sai khơng biết làm -0,5 điểm/lần Tải giảng xem thông tin môn học: sites.google.com/site/sgupth Nội dung: Chương 1: Giới hạn liên tục hàm biến số Chương 2: Phép tính vi phân hàm biến Chương 3: Phép tính tích phân hàm biến số Chương 4: Chuỗi số 9/5/2019 Tài liệu học tập: [1] Bài giảng lớp [2] Nguyễn Đình Trí, Tốn cao cấp tập Phép tính giải tích hàm biến, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Đình Trí, Bài tập Tốn cao cấp (tập 2), NXB Giáo dục Các tài liệu tham khảo khác Dụng cụ hỗ trợ học tập: Máy tính FX 500MS, FX 570MS, FX 570ES, FX 570ES Plus Chương 1: Giới hạn liên tục hàm biến số GV Phan Trung Hiếu §1 Giới hạn dãy số §1 Giới hạn dãy số §2 Giới hạn hàm số §3 Phương pháp tính giới hạn hàm số §4 Hàm liên tục LOG O 10 I Các định nghĩa dãy số thực: Định nghĩa 1.1 Dãy số thực (dãy số) ánh xạ f : *   n  f (n)  xn Kí hiệu: {xn }  {x1 , x2 , , xn , }, đó: x1 , x2 , , xn , số hạng, xn số hạng tổng quát dãy số Nhận xét 1.2 Dãy số hoàn toàn xác định biết số hạng tổng qt 11 Ví dụ 1.1: Dãy số {xn }, với xn  Khi n 1 1 x1  , x2  , x3  , Ví dụ 1.2: Dãy số {xn }, với xn  n! n Khi 1 x3  , x4  , x5  , 20 115 12 9/5/2019 Ví dụ 1.3: Dãy số {xn }, với Ví dụ 1.4: Dãy số {xn }, với xn      n Tính x1 , x2 , x3  1    xn  1  1          n  Tính x3 Giải Giải x1  1, x2    3, x3     6,  1  x3  1  1       13 14 Ví dụ 1.5: Dãy số {xn }, với  x1   ,n   x2  x  x  x  n n 1 n Khi (Dãy Fibonacci) Chú ý: Một dãy số minh họa cách vẽ số hạng trục số, vẽ đồ thị n Ví dụ, xét dãy số {xn}, với xn  n 1 x3  x2  x1  2, x4  x3  x2    3, x5  x4  x3    5, x6  x5  x4    8, {xn }  1,1, 2,3,5,8,13,21,  15 16 Định nghĩa 1.6 Số a   gọi giới hạn dãy số {xn}   0, n0   : xn  a   , n  n0 n Ký hiệu lim xn  a hay xn   a n 17 18 9/5/2019 Chú ý 1.7: Một số kết giới hạn cần nhớ: -Nếu a số hữu hạn ta nói dãy {xn} hội tụ đến a -Nếu a không tồn a   ta nói dãy {xn} phân kỳ 1) lim k  k ( k  ) n 1 2) lim   0,   0; lim n  0,   n  n n  pn 3) lim  0, (p  0); n  n! n lim n  0, (  , p  1) n p 0 4) lim a n   n  19 5) lim n a  1, a  a  Định lý 2.1 6) lim n n  n  n  a 7) lim 1    ea (a  ) n   n 8) lim xn  a  lim( xn  a)  n 9) lim xn   lim xn  n  20 II Các phép toán giới hạn dãy số: n n  a  1, n  ▪Nếu dãy số có giới hạn giới hạn ▪Nếu dãy số hội tụ bị chặn ▪Nếu dãy số tăng bị chặn hội tụ ▪ Nếu dãy số giảm bị chặn hội tụ 10) lim xn  lim xn , xn  n  n 21 22 Định lý 2.2 Nếu dãy số {xn} {yn} có giới hạn Định lý 2.3 (Định lý kẹp): Cho dãy số {xn}, {yn}, {zn} Nếu  yn  xn  zn , n  * , lim y  lim z  a n n n n i) lim( xn  yn )  lim xn  lim yn n  n n  ii) lim( xn yn )  lim xn lim yn n  iii) lim n  n n  lim xn xn n  (lim yn  0) yn lim yn n lim xn  a n  n  23 24 9/5/2019 Chú ý 2.4: Một vài quy tắc với  : a  ( )  ( )  a  , a  (  )  (  )  a  ,  , a  0, a.( )  ( ).a    , a  0,  , a.( )  ( ).a    , a  0, a  25  a  : 0  ()  ( )  , ( ).()  ().()  , ()  ()  , ().( )  ( ).( )    n  * , ta có ( ) n  ,  n chẵn, () n    n lẻ  a    26 a > mẫu > a < mẫu < a > mẫu < a < mẫu >  ,  ,  ,   27 §2 Giới hạn hàm số 28 G  ( x, f ( x)) x  D : Đồ thị hàm số f I Hàm số: 1.1 Định nghĩa: Một hàm số f xác định tập hợp D   quy tắc đặt tương ứng số x  D với số thực y xác định f : D   x  y  f ( x) D: tập xác định (TXĐ) hàm số f x: biến độc lập (biến số) y: biến phụ thuộc (hàm) f(x): giá trị hàm số f x f ( D )  { y   y  f ( x ), x  D}: Tập giá trị (TGT) hàm số f 29 30 9/5/2019 Ví dụ 2.1: Đồ thị cho thấy mức tiêu thụ điện ngày vào tháng San Francisco (P tính MW, t tính giờ, bắt đầu vào lúc nửa đêm) a) Mức tiêu thụ điện vào lúc 6h sáng 6h tối bao nhiêu? b) Hãy cho biết tập xác định tập giá trị hàm số P(t) c) Mức tiêu thụ điện thấp nhất? Cao nhất? Thời gian có hợp lý khơng? 31 a) Tìm dân số giới vào năm 1950? P(1950) = 2560 (triệu) b) Tìm t cho P(t) = 4450? 33 Hàm số xác định khúc: Hàm số ví dụ sau xác định công thức khác khúc khác tập xác định 35 1.2 Các phương pháp biểu diễn hàm số:  Biểu diễn hàm số biểu thức: Ví dụ 2.2: Diện tích S hình trịn phụ thuộc vào bán kính R hình trịn Ta có S   R ( R  0) Biểu diễn hàm số dạng bảng số liệu: Ví dụ 2.3: Dân số giới P phụ thuộc vào thời gian t 32 Biểu diễn hàm số lời, đồ thị: Ví dụ 2.4: Khi bật bình đun nước nóng lên, nhiệt độ nước (T) bình phụ thuộc vào thời gian đun (t) Ta có đồ thị nhiệt độ nước bình sau Đồ thị cho biết: Nhiệt độ ban đầu nước gần với nhiệt độ phòng Khi ta bật cơng tắc điện, nhiệt độ bình tăng lên nhanh chóng Khi ta ngắt cơng tắc điện, nhiệt độ bình giảm khơng đáng kể Khi ta tháo nước khỏi bình, nhiệt độ nước lại giảm nhanh đến nhiệt độ nước ban đầu 34 Ví dụ 2.5: Một hãng cho thuê xe ô tô với giá 3ngàn/km quãng đường chạy xe không 100 km Nếu qng đường chạy xe vượt q 100 km ngồi số tiền phải trả cho 100 km đầu phải trả thêm 1,5 ngàn/km Gọi x số km xe thuê chạy C(x) chi phí thuê xe Viết hàm số C(x) 36 9/5/2019 II Các hàm số bản: 2.1 Các hàm số sơ cấp bản: Hàm hằng: y  C  Hàm lũy thừa: y  x (   ) x Hàm mũ: y  a (0  a  1) Hàm logarit: y  log a x (0  a  1) Hàm lượng giác: y  sin x, y  cos x, y  tan x, y  cot x Hàm lượng giác ngược: y  arcsin x, y  arccos x, y  arctan x, y  arccot x 37 2.2 Các hàm số sơ cấp: hàm số tạo thành số hữu hạn phép toán cộng, trừ, nhân, chia hàm số sơ cấp Ví dụ 2.6: Ta thường gặp dạng hàm số sơ cấp sau Hàm đa thức (hàm nguyên): Chú ý:  sin(arcsin x )  x arcsin(sin x)  x (1  x  1)     x    2   cos(arccos x)  x ( 1  x  1) arccos(cos x)  x  tan(arctan x )  x (0  x   ) arctan(tan x )  x  cot(arc cot x)  x ( x  )     x    2  ( x   ) arccot(cot x)  x (0  x   ) 38 Định nghĩa 2.3: ▪Hàm số y=f(x) gọi hàm chẵn f ( x)  f ( x), x  D ▪Hàm số y=f(x) gọi hàm lẻ f ( x)   f ( x), x  D y  an x n  an1 x n1   a0 Hàm phân thức (hàm hữu tỷ): y P ( x) Q ( x) P(x) Q(x) đa thức 39 Định nghĩa 2.4 Giả sử y=f(u) hàm số biến số u, đồng thời u=g(x) hàm số biến số x Khi đó, y=f(u)=f(g(x)) hàm số hợp biến số x thông qua biến số trung gian u Ký hiệu 40 III Định nghĩa giới hạn hàm số: Ví dụ 2.8: Xét hàm số f ( x)  x  x  giá trị x gần Bảng đây, cho thấy giá trị hàm f(x) x tiến dần không ( f  g )( x)  f  g ( x)  Ví dụ 2.7: Cho hàm số f ( x)  x , g ( x)  x  Tìm f  g g  f 41 42 9/5/2019 Định nghĩa 3.2 (Giới hạn phía): ▪ Nếu f(x) có giới hạn L x  x0 x  x0 ta nói f(x) có giới hạn bên phải x0 Ký hiệu Định nghĩa 3.1 Cho hàm số f(x) xác định tập D x0  D x0  D Ta nói hàm số f(x) có giới hạn L x  x0 ký hiệu lim f ( x )  L lim f ( x)  L x  x0 x  x0 Với điều kiện ta làm cho giá trị f(x) gần L, giữ chúng nằm gần đó, cách lấy x đủ gần x0 khơng x0 Ngồi ra, ta cịn ký hiệu f ( x)  L x  x0 đọc f(x) tiến dần L x tiến dần x0 Ví dụ 2.9: Dự đoán giá trị a) lim x 1 x 1 x2  b) lim 43 x  ▪ Nếu f(x) có giới hạn L x  x0 x  x0 ta nói f(x) có giới hạn bên trái x0 Ký hiệu lim f ( x)  L x x0 Định lý 3.3: Giới hạn hàm số (nếu có)  x8  x  x  Chú ý:  x  x0  x  x0  x  x0  x  x0 x  x0  x  x0  x  x0 x  x0  lim f ( x )  L  lim f ( x )  lim f ( x )  L x x0  x x0 44 Ví dụ 2.10: Một bệnh nhân đồng hồ phải tiêm mũi thuốc 150 mg Đồ thị cho thấy lượng thuốc f(t) máu bệnh nhân sau t f (t ) lim f (t ) giải thích ý Tìm tlim 12 t 12 nghĩa giới hạn   x x0 lim f ( x )  L1   lim f ( x)  L2   lim f ( x) không tồn x  x0  x  x0 L1  L2  x  x0 45 Định nghĩa 3.4 (Giới hạn vô cùng): ▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn x  x0 lim f ( x)   xx ▪ Nếu f(x) giảm mà không bị chặn x  x0 lim f ( x)   x x Ví dụ 2.11: 0 lim x 0   x2 46 Định nghĩa 3.5 (Giới hạn vơ cùng): ▪ Nếu f(x) có giới hạn L x tăng không bị chặn với giá trị dương lim f ( x)  L x  ▪ Nếu f(x) có giới hạn L x giảm khơng bị chặn với giá trị âm lim f ( x)  L x  Ví dụ 2.12: lim f ( x)  x lim f ( x )  x  47 48 9/5/2019 ▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn x tăng không bị chặn với giá trị dương lim f ( x)   x  ▪ Nếu f(x) giảm mà không bị chặn x giảm khơng bị chặn với giá trị âm Ví dụ 2.13: lim f ( x)   x n lẻ: ▪ Nếu f(x) giảm mà không bị chặn x tăng không bị chặn với giá trị dương lim f ( x)   x  ▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn x giảm khơng bị chặn với giá trị âm lim f ( x )   Ví dụ 2.14: x  n chẵn: lim x   lim x n   n x  x  x  x  lim x n   lim x n   49 IV Định nghĩa xác giới hạn: Định nghĩa 4.1 Cho hàm số f(x) xác định tập D x0  D x0  D Ta nói hàm số f(x) có giới hạn L x  x0 (L, x0 hữu hạn), ký hiệu lim f ( x )  L 50 Ví dụ 2.15: Sử dụng đồ thị f cho để tìm số  cho x    f ( x)   0,2 x  x0    0,   : x  D,  x  x0    f ( x)  L   51 V Giới hạn hàm số sơ cấp bản: 5.1 Giới hạn điểm thuộc TXĐ: Giới hạn hàm số sơ cấp điểm x0 thuộc TXĐ tính theo cơng thức lim f ( x )  f ( x0 ) x  x0 Ví dụ 2.16: Tính giới hạn sau a ) lim( x  x  2) x 1 b) lim x 0 sin x  cos x c) lim x  52 Ví dụ 2.17: Cho 1  x x  1, f ( x)   x   2, Tìm lim f ( x ), lim f ( x), lim f ( x ) x 1 x 1 x 1 Ví dụ 2.18: Tìm m để hàm số sau có giới hạn x  2  x  mx  x  f ( x)    x  x  x  x2 53 54 9/5/2019 5.2 Một số kết giới hạn hàm sơ cấp V Một số kết giới hạn cần nhớ: bản: VI Một số định lý giới hạn hàm số: ĐL 6.1: lim k  k (k  ) x x0 ĐL 6.2: Giả sử lim f ( x)  A, lim g ( x)  B x x Xem Bảng x x 0 Khi đó: i ) lim  k f ( x)   k lim f ( x) (k  ) x  x0 x x0 ii ) lim  f ( x)  g ( x)   A  B x  x0 iii ) lim  f ( x).g ( x)   A.B x  x0  f ( x)  A  ( B  0) iv) lim  x  x0 g ( x )    B g ( x) v) lim  f ( x)   A B (0  A  1) x  x0 55 ĐL 6.3: i ) lim f ( x )   lim f ( x)  x  x0 ii ) Nếu x x0  g ( x)  f ( x)  h( x ), x  ( x0   , x0   ),  lim g ( x )  lim h( x )  L x  x0  x x0 lim f ( x)  L x  x0 56 Chú ý 6.4: Trong tính tốn giới hạn hàm số, có ta gặp dạng sau gọi dạng vô định:  , , 0.,   , 00 ,  ,1  Khi đó, ta dùng định lý 6.2, mà phải dùng phép biến đổi để khử dạng vơ định 57 VII Vô bé (VCB): Định nghĩa 7.1 Hàm số f(x) gọi vô bé x  x0 (x0 vơ cùng) lim f ( x )  x  x0 Ví dụ 2.19: a ) sin x, tan x,  cos x VCB x  b) x  3sin x VCB x   c) cos x, cot x VCB x  x 1 d) VCB x   x 2 59 58 Định lý 7.2 lim f ( x)  L   ( x )  f ( x)  L VCB x  x0 x  x0 Tính chất 7.3 1) Tổng, hiệu, tích hai VCB VCB 2) Tích VCB hàm bị chặn VCB 3) Thương hai VCB chưa VCB 60 10 9/5/2019 Định nghĩa 7.4 (So sánh VCB): Cho f(x) g(x) hai VCB x  x0 Xét f ( x) lim  k x  x0 g ( x ) -Nếu k  ta nói f(x) VCB bậc cao g(x) Ký hiệu:f ( x )  o  g ( x ) , nghĩa f ( x)  nhanh g(x) -Nếu k   ta nói f(x) VCB bậc thấp g(x) -Nếu k  0, k   ta nói f(x) g(x) hai VCB bậc Ký hiệu: f ( x )  O  g ( x )  -Đặc biệt, k  ta nói f(x) g(x) hai VCB tương đương Ký hiệu: f ( x)  g ( x) Một số vô bé tương đương thường gặp (Xem Bảng 1) VIII Vô lớn (VCL): Định nghĩa 8.1 Hàm số f(x) gọi vô lớn x  x0 (x0 vơ cùng) lim f ( x)   x  x0 Ví dụ 2.20: 1 a) , , cot x VCL x  x sin x b) x , x  VCL x   61 Định nghĩa 8.2 (So sánh VCL): Cho f(x) g(x) hai VCL x  x0 Xét f ( x) lim  k x  x0 g ( x ) -Nếu k  ta nói f(x) VCL bậc thấp g(x) Ký hiệu:f ( x )  o  g ( x ) , nghĩa f ( x)   chậm g(x) -Nếu k   ta nói f(x) VCL bậc cao g(x) -Nếu k  0, k   ta nói f(x) g(x) hai VCL bậc Ký hiệu: f ( x )  O  g ( x )  -Đặc biệt, k  ta nói f(x) g(x) hai VCL tương đương Ký hiệu: f ( x)  g ( x) 62 Tính chất 8.3: Quan hệ ~ VI VII quan hệ tương đương, có tính chất sau 1) f ( x )  f ( x ) 2) f ( x )  g ( x )  g ( x )  f ( x )  f ( x )  g ( x)  f ( x)  h( x) 3)   g ( x )  h ( x) 63 64 f ( x) : Phương pháp tính xlim  x0 Thế x0 vào f(x) §3 Phương pháp tính giới hạn hàm số số cụ thể  biện luận xem ? vô định  , , 0., , 00, 0,1  khử 65 66 11 9/5/2019 3.1 Khử dạng  : Chú ý 3.2:  Giả sử f ( x), f1 ( x), g ( x), g1 ( x) VCB (hoặc VCL) x  x0 Khi  f (x)  g(x)  lim f (x)  lim g(x) 1)  lim g(x) ton taiï xx0 xx0 xx0 f ( x ) g ( x )  f  1( x).g1(x)  f (x)  f1(x)    f (x) f1(x) 2)  g(x)  g1(x)  g(x)  g (x)   f ( x)  f1 ( x)  f ( x )  g ( x )  f1 ( x)  g1 ( x )    g ( x)  g1 ( x)  f ( x )  g ( x)  f1 ( x)  g1 ( x)  f ( x)  g ( x) k k   f ( x)    g ( x )  3)   g ( x )  4) Trong 3) : k   n f ( x)  n g ( x) n 67 68 Ví dụ 3.1: Cho f ( x)  x  g ( x)   x  Tính: a) lim x f ( x) g ( x) b) lim  f ( x )  g ( x ) x Ví dụ 3.2: Tính giới hạn sau x2  2x x0 x3  x a) lim x2  2x  x  x  x  b) lim ( x  2)( x  x  1) d ) lim x  x  x( x  2) c) lim 2x  3x  5x  x2 x 0 arcsin 3x 7x arctan h) lim 2 x x 0 e 1 sin x x 0 x e) lim f ) lim  cos3 x x 0 x2 g ) lim i ) lim x 0 1 2x 1 tan 3x j ) lim x 0  cos x x  ( x   ) ln(cos x) x 0 x2 l ) lim k ) lim 69 ln(1  x)  e3 x 70 Chú ý 3.3 (Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao): Nếu  ( x),  ( x) tổng VCB khác Hệ quả: Cho f(x) g(x) hai VCB x  cho  ( x) cấp giới hạn tỉ số x  x0  ( x) Khi đó: giới hạn tỉ số hai VCB cấp bé  ( x),  ( x) f ( x)  ax m , g ( x)  bx n axm neáu m  n  n f (x)  g(x)  bx neáu m  n (a  b)xm neáu m  n, a  b   Nếu m  n, a  b  ta khơng thể viết f ( x)  g ( x)  71 72 12 9/5/2019 Ví dụ 3.3: a) f ( x)  2x2 , g( x)  4x4  f ( x)  g(x)  2x2 b) f ( x)  2x4 , g( x)  4x4  f (x)  g(x)  2x4 cấp giới hạn tỉ số Ví dụ 3.4: Tính x  3sin x  4sin x x  x3  x8 a) lim x0 Chú ý 3.4 (Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp): Nếu  ( x),  ( x)đều tổng VCL khác giới hạn tỉ số hai VCL cấp lớn tan x  sin x c ) lim x 0 x3 e3 x  e5 x b) lim x 0 x  ( x),  ( x) 73 74 Ví dụ 3.5: Tính Hệ quả: Cho f(x) g(x) hai VCL x   cho Khi đó: lim f ( x)  ax m , g ( x)  bx n x  ax neáu m  n  n f (x)  g(x)  bx neáu m  n (a  b)xm neáu m  n, a  b   m Nếu m  n, a  b  ta khơng thể viết f ( x)  g ( x)  Ví dụ 3.7: Tính giới hạn sau   x  x 1  b) limsin   tan x1 2   g ( x) 0  3.4 Dạng ,  ,1 : Giới hạn có dạng lim  f ( x) x  x0  ln a  lim ln  f ( x)  ln a  lim g ( x ) ln f ( x )  b x  x0  a  eb Ví dụ 3.8: Tính a) lim(1  x) x 0 77  Ví dụ 3.6: Tính giới hạn sau  x3 x2  a) lim    b) xlim  x x  3x      x2  x   x Ví dụ 3.9: Tính a ) lim n  n  (3 n  1)(2 n  2)( n  1) (2  n )(2 n  n  1) 3n   n  n  4n  3n  n 1  n   e ) lim  cos n  c ) lim  n  n n   2.5 n  n 6n     12 n   d ) lim ln   n   9  4n  b ) lim g (x) x  x0 x 3.5 Định lý: Nếu lim f ( x )  L f ( n )  x n x   lim x n  L 2x 1 a) lim ( x  1) x  x  x2 x  x0 x2   x 76 3.3 Dạng  : biến đổi đưa dạng Đặt a  lim  f ( x)  x2   x  x 3.2 Khử dạng    : Phương pháp: Quy đồng nhân chia với lượng liên hợp để đưa dạng  75 g ( x)  ( x) x  x0  ( x) x  3 b) lim 1   x   x 78 13 9/5/2019 I Hàm số liên tục điểm: Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f(x) xác định khoảng chứa x0 Ta nói: (i) f(x) liên tục bên trái x0 §4 Hàm liên tục lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0 (ii) f(x) liên tục bên phải x0 lim f ( x )  f ( x0 ) x  x0 79 80 (iii) f(x) liên tục x0 lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0 Nói cách khác, f(x) liên tục x0 thỏa điều sau:  f(x) xác định x0  lim f ( x ) tồn x  x0 Hàm số f(x) không liên tục x0 gọi gián đoạn x0 xảy điều sau:  f(x) không xác định x0  f(x) xác định x0, lim f ( x ) không tồn x  x0 lim f ( x) không tồn x  x0 lim f ( x)  lim f ( x ) x  x0  lim f ( x )  f ( x0 ) x  x0  f(x) xác định x0, lim f ( x) tồn tại, x  x0 x  x0 lim f ( x)  f ( x0 ) x x0 81 82 Phân loại điểm gián đoạn: Tại điểm gián đoạn x0 : Nếu lim f ( x) lim f ( x) tồn hữu hạn x0 Định lý 1.2 Nếu f g liên tục x0 điểm gián đoạn loại f(x) Nếu hai giới hạn lim f ( x), lim f ( x) Ví dụ 1.1: Xét tính liên tục hàm số sau x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 khơng tồn  x0 điểm gián đoạn loại f(x) 83 f  g , f g , f ( g  0) liên tục x0 g  sin 3x x   a ) f ( x)   x 3 x   x2  x  1  b) f ( x)   x2 x  1  2 x0  x0  1 84 14 9/5/2019 Ví dụ 1.2: Cho hàm số Ví dụ 1.4: Tìm m n để hàm số x tan x f ( x)  , x  k 2 (k  )  cos x Tìm f(0) để hàm số liên tục x0  Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số  ex 1 x   f ( x )   ln(1  x ) liên tục x0     m x  85 1 e x x liên tục x0  86 Ví dụ 1.5: Tìm điểm gián đoạn hàm số sau x3  a) f ( x )  x1   1 arctan  x  x  0,   b) f (x)    x   c) f (x)   3mx x  3,  f (x )   x  n x  3, x2 x   II Hàm số liên tục khoảng, đoạn: Định nghĩa 2.1 Hàm số f(x) liên tục (a,b) f(x) liên tục điểm thuộc (a,b) Định nghĩa 2.2: f(x) liên tục (a,b)   f ( x)  f (a) f(x) liên tục [a,b]   xlim a  f ( x )  f (b)  xlim b   87 88 Chú ý 2.3: Hàm f(x) liên tục [a,b] có đồ thị đường liền nét (khơng đứt khúc) đoạn a a b Ví dụ 2.1: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định  x  x   x  f ( x )  1  x  x   b Không liên tục Liên tục 89 90 15 9/5/2019 Ví dụ 2.2: Tìm m để hàm số mx  x x  f ( x)    x  mx x  liên tục  Ví dụ 2.3: Tìm m n để hàm số 1 x   f ( x)  mx  n  1 x  x  1 1  x  x  liên tục  2 91 16 Bài tập Toán cao cấp Chương Một số kết giới hạn thường gặp , lim a x   x  0,  0, lim a x   x  , , n chaün  lim x n   ; lim x n   x  x  , n leû a 1  a 1 a 1  a 1  lim ln x  ; lim ln x    lim tan x  , lim  tan x     lim cot x  , lim cot x    lim arctan x    lim arc cot x  0, lim arc cot x   ln x x  Nếu   1,   lim   lim x  x  x x   x  x 0 x x  x   x  x0  lim 1  u ( x)  u ( x )  e u ( x)  0 x  x0 x x  x  x 0     lim    x  x0  u( x)     u ( x) e  u ( x)    x  x0 Bảng 1: Một số hàm tương đương thường gặp STT Hàm tương đương Với m  n, an  0, am  : ▪ Khi x  : an x n  an 1 x n 1   am x m  am x m ▪ Khi x   : an x n  an 1 x n 1   am x m  an x n   x  x0 0 sin u ( x)  u ( x ) u ( x)  x  x0 arcsin u ( x)  u ( x ) u ( x )  0 x  x0 0 tan u ( x)  u ( x ) u ( x )  x  x0 arc tan u ( x )  u ( x) u ( x)  0        0 ln 1  u ( x)  u ( x )  u ( x)  x  x0 log a 1  u ( x )    u ( x) x  x0 u ( x )  0 ln a    x  x0 eu ( x )   u ( x ) u ( x )  0 x  x0 au ( x )   u ( x ).ln a u ( x)  0 10 x x u ( x)  u ( x)   0 1  u( x)    ฀   u ( x)  11  cos u ( x )    u( x)  0 x  x0 17 Bài tập Toán cao cấp Chương Bài 1: Chiều cao h (cm) hoa hướng dương theo thời gian t (ngày) biểu diễn hàm số h(t) có đồ thị hình vẽ a) Tìm chiều cao ngày thứ 40 b) Tìm tập xác định tập giá trị hàm số h(t) Từ đó, biết thơng tin chiều cao hoa hướng dương? Bài 2: Ở tiểu bang, vận tốc tối đa cho phép đường cao tốc 65 dặm/h tối thiểu 40 dặm/h Tiền phạt vi phạm quy định 15 USD cho dặm/h vượt mức tối đa dặm/h thấp mức tối thiểu Biểu diễn số tiền phạt F dạng hàm số vận tốc x đồ thị F(x) với  x  100 Bài 3: Số lượng gấu y (con) khu vực theo thời gian t (tháng) biểu diễn đồ thị hình bên a) Tìm lim y(t ), lim y(t), lim y(t ) t  0.6 t  0.6 t  0.6 b) Tìm lim y(t), lim y(t ), lim y(t) t  0.8 t  0.8 t  0.8 Bài 4: Tính giới hạn sau 1) lim x0 x 10  3x  x x  4x  x x2  4) lim x  x3  x2  x  2) lim x  x  sin 5) lim x 0 3x 2x  3) lim x  x  x 6) lim x 0 t an5x 6) lim x 0 s in3x  cos x 7) lim x 0 s in4x ln(1  3x ) 9) lim x 0 sin (3 x ) 10) lim 12) lim x 0  cos x tan x sin x  cos x  x Bài 5: Tính giới hạn sau 14) lim  x x 0 esin x  8) lim x 0 x 1 x 1 1 x 1 11) lim x 0 (1  x  x )3  x 0 sin x e x 1  15) lim x 1 ln x 2) lim (1   x )(1  cos x ) 3) lim x 0 ln(1  x )arcsin x (1  e x )(1  cos x ) 4) lim x 0 x  sin x x 0  cos x x s in3x sin(sin x ) sin x 13) lim (x  1)(1  x )5 1) lim x  x7  x  5) lim arcsin x x x 0 6) lim x 0 sin( x )ln(1  3x ) (arctan x )2 ( e x  1) ln(1  x sin x ) s in(x ) tan x 18 x  x   8x 7) lim x  9) lim x 0  x4 Bài tập Toán cao cấp Chương e x  cos x 8) lim x 0 x2 s in2x  arcsin x  arctan x 3x  x 10) lim  cos x  sin x  sin x  x  3x tan x  sin x  x  5x 12) lim arctan(2  x )  sin( x  2) x2  x 0 x2 x2 x 0  x sin x  cos x x cos  x  sin 13) lim x 1 ( x  1)2 11) lim 2 x  3x 14) lim x x 0 (2  x )2 15) lim x 0 Bài 6: Tính giới hạn sau    cot x  1) lim  x 0 s in2x   2) lim x   x   2x  2) lim   x  x  x 1    x  x2   x  x2 3) lim x    6) lim (1  x ) tan x 1 8) lim x0 x  x2  2x  x  x  x 7) lim 2 x.sin x   x2 x2 x2 x2    cos cos cos cos  x3  4  2x   10) lim   x  x       sin x  5) lim   tan x x   cos x  4) lim x x  x  x  cos x  cos x sin x 3x     x   9) lim x   arctan  x  x1 4 11) lim   x   x cot x x 0 x 12) lim 1  sin( x  x ) x 0   tan x  sin x 13) lim   x0   sin x  x  sin x x  x   sin x Bài 7: Tính giới hạn sau 14) lim  3n  n   1) lim   n  n  n    3) lim n  n2   n n3  n  n 2) lim n  2.7 n   n  n  3.5n 4) lim n  n2  n3  n n2  n  n ( 1)n n.sin n n  n1 5) lim 19 Bài tập Toán cao cấp Chương Bài 8: Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0 cho trước  ln(1  x )  arcsin( x  x ) x  x    1) f ( x)   2) f ( x )    e x2 x0  x0  3x 2 /  x  x   2 ln x  ln Bài 9: Cho hàm số f ( x)  , x  Tìm f(2) để hàm số liên tục x  x2 Bài 10: Xác định m để hàm số sau liên tục điểm x0   tan x  sin x  2) f ( x )   2x m   ln(2  cos(mx )) x   1) f ( x)   x  x2 m x  x  x    m sin x x  0,  x  Bài 11: Tìm m n để hàm số f ( x)  2 liên tục điểm x0  x  0,   2n  x  x   x  Bài 12: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định  x  sin( x ) x  x   cos 2) f ( x)   1) f ( x )   x    x  x   x 1   Bài 13: Xác định m để hàm số sau liên tục tập xác định  e5 mx  cos x x   1) f ( x )   x m  x    (1  cos(mx)).(e x  e5 x ) x   2) f ( x )   x  x3 3m  x   Bài 14: Tìm điểm gián đoạn hàm số sau  sin2x x   1) f ( x )   x 1 x  x3  3) f ( x )  x 1 x 5) f ( x)  sin x  arctan 3( x  1) x   x 1 2) f ( x)   x 3ln  x   x  4) f ( x)  e x2 20 ... x)  0 x  x0 17 Bài tập Toán cao cấp Chương Bài 1: Chiều cao h (cm) hoa hướng dương theo thời gian t (ngày) biểu diễn hàm số h(t) có đồ thị hình vẽ a) Tìm chiều cao ngày thứ 40 b) Tìm tập... x, y  arccot x 37 2.2 Các hàm số sơ cấp: hàm số tạo thành số hữu hạn phép toán cộng, trừ, nhân, chia hàm số sơ cấp Ví dụ 2.6: Ta thường gặp dạng hàm số sơ cấp sau Hàm đa thức (hàm nguyên): Chú... (Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao) : Nếu  ( x),  ( x) tổng VCB khác Hệ quả: Cho f(x) g(x) hai VCB x  cho  ( x) cấp giới hạn tỉ số x  x0  ( x) Khi đó: giới hạn tỉ số hai VCB cấp bé  ( x),  (