BÀI tập TOÁN CAO cấp 2

1 Chuỗi số BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP CHUỖI SỐ 1.1 Tính tổng (nếu có) chuỗi số sau +∞ (2n − 1)(2n + 1) (a) n=1 +∞ (c) n=1 +∞ (e) n=1 3n2 + 3n + n3 (n + 1)3 n(n + 2) +∞ (g) ln n=1 +∞ (i) n=2 2n − 2n + +∞ (b) n=1 +∞ (d) n=1 +∞ n=1 (h) +∞ (o) n=0 p 2n với < p < − p−2n (−1)n−1 n=1 +∞ n=1 +∞ + 1)2 n2 + 2n + n2 + 2n +∞ (l) n!.π (m) sin 720 n=1 ln n=1 2n + n2 + n 2n+1 n(n + 1) n=1 (2n − +∞ (j) +∞ n 1)2 (2n n(n + 1)(n + 2) (f) n (n − 1) (n + 1)2 (k) 2n + n2 (n + 1)2 n 2n +∞ (n) sin n=1 2n+1 +∞ (p) arctan n=1 2n + n(n + 1) cos n2 2n+1 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2 1.2 Khảo sát hội tụ chuỗi số dương sau (sử dụng định lý so sánh tiêu chuẩn tích phân) +∞ (a) n+ n=1 +∞ √ +∞ n+1 n=2 +∞ (d) n=2 n − ln n (e) n=1 n=1 +∞ (ln n)ln n (c) (b) +∞ (f) n=1 +∞ +∞ (g) n − cos n n=1 +∞ (i) n=2 n ln n ln(ln n) +∞ √ √ √ ln(1 + n + − n) n (k) n=1 +∞ (m) n=1 +∞ n=1 +∞ n=1 n=1 (l) n=1 (n) +∞ (p) n=1 (w) n=1 (n!)3 nn2 với p ∈ R n.(ln n)p n ln n.[ln(ln n)]2 n1+1/n √ n+1− n ln cos n=1 +∞ n=0 +∞ p (v) n=1 +∞ (x) n=1 √ n−1 n ln n (n + 1)3 +∞ ( − 1) với p ∈ R +∞ 1 √ arctan n n3 n=2 (t) √ n n+1 − ln n n +∞ 4n − 3n 4n + 3n +∞ (u) n=2 (r) n=1 +∞ +∞ (j) arctan n √ n n (q) (s) n=2 +∞ e1/n n2 (ln n)2 n2 (o) (h) nln n n 3n + 4n 4n + 5n 1 − n sin n p với p ∈ R √ n + (−1)n n n2 + (−1)n n + 1 Chuỗi số 1.3 Khảo sát hội tụ chuỗi số dương sau +∞ (b) nn 3n n! (d) (a) n=0 +∞ (c) n=1 +∞ n4 + n2 + 3n + n=0 +∞ n=1 +∞ +∞ (e) −n arctan(e + 1) (f) n=1 n=1 +∞ (g) n=1 √ √ ( n + − n)n +∞ n2 + n2 + n + (i) n=0 +∞ (k) n=1 +∞ (m) n=1 +∞ (o) n=1 +∞ (q) n=1 +∞ n=1 +∞ n=1 +∞ (l) n=1 +∞ (n) n=1 +∞ 2n n! 5.8.11 (3n + 2) (p) √ n3 [ + (−1)n ]n 3n (r) pn + pn (s) n=1 (j) nn 2n2 n=1 +∞ n=1 n2 +∞ với p ∈ R (2n + 1)! 5n (n!)2 (3n)! n!.(n + 1)!.(n + 2)! +∞ (h) n (n!)n (nn )2 n ln n 2n (t) n=1 1− n 2n + 2n + n 3n2 (n!)n nn2 1.3.5 (2n − 1) 3n n! 12 32 52 (2n − 1)2 3n (2n)! 4.7 (3n + 1) n! nn+1/n (n + 1/n)n 1.4 Khảo sát hội tụ chuỗi số Nếu chuỗi số hội tụ, xác định chuỗi số hội tụ tuyệt đối hay hội tụ có điều kiện +∞ (a) n=1 +∞ (−1)n tan (c) n=1 +∞ (−2)n n.3n (b) n=0 n 3−n 4+n +∞ (−1)n (d) n=1 n2 n n2 + BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP +∞ (e) n=2 +∞ (g) n=2 +∞ (−1)n+1 n ln n n=1 +∞ ln n (−1)n n n=2 (−1)n ( n + n=1 +∞ (k) n=2 +∞ (m) n=1 (−1)n (h) +∞ (i) (−1)n+1 (arctan n)n (f) √ n− √ ln n n − ln n +∞ (−1)n(n−1)/2 (j) n) n=1 +∞ (−1)n , với p ∈ R [n + (−1)n ]p (l) (−1)n n(1 + 1/2 + 1/3 + · · · + 1/n) (n) n=0 +∞ n=1 1.5 Cho dãy số {an } cho chuỗi số n2015 6n (−1)n ln(en + e−n ) (−1)n , với p ∈ R n1+np +∞ +∞ a2n hội tụ Chứng minh chuỗi số n=1 n=1 an hội tụ n tuyệt đối 1.6 Cho hai chuỗi số +∞ +∞ a2n +∞ b2n hội tụ Chứng minh chuỗi số n=1 n=1 an bn hội tụ n=1 tuyệt đối 1.7 Cho hai chuỗi số dương +∞ +∞ an n=1 +∞ bn hội tụ Chứng minh chuỗi số n=1 a2n + b2n n=1 hội tụ +∞ 1.8 Cho chuỗi số +∞ a2n + b2n hội tụ Chứng minh chuỗi số n=1 +∞ an n=1 bn hội tụ n=1 tuyệt đối 1.9 Cho hai chuỗi +∞ +∞ a2n n=1 +∞ b2n n=1 số tự nhiên k ≥ 2, hội tụ hội tụ Chứng minh chuỗi số n=1 (an − bn )k , với Chuỗi hàm số CHUỖI HÀM SỐ 2.1 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm sau +∞ +∞ 2n xn nn (a) n=1 +∞ (b) n=0 (c) n=0 +∞ n=1 +∞ n=1 +∞ (−1)n − +∞ (k) n=1 +∞ n=1 (o) n=0 n=1 n=2 +∞ (h) n=2 n x 1−x (u) n=1 (−1)n−1 4n √ (2n − 1) 5n (x − 3)n n2 (−1)n (x − 3)2n √ n−1 1−x 1+x (j) n=1 +∞ (l) n=0 +∞ (n) n=1 (−1)n (x − 2)n √ 3n+1 n4 + n2 + n+1 3n + (p) n=1 x+1 +∞ n (r) n=1 +∞ (t) n=1 x+1 3−x +∞ 2n−1 (v) n=0 3n+2 (x + 3)n √ 4n+2 n3 + +∞ n (−1)n (x + 2)n √ n2 − n + +∞ (x − 2)n n4n +∞ xn (n + 1) ln(n + 1) (q) +∞ n=1 (−1)n 3n+1 √ (x + 1)n 4n+2 n + n+1 4n +∞ (s) +∞ (f) (−1)n+1 2n+1 (x − 5)n (n + 1) ln(n + 1) (m) +∞ n=1 (4x − 1)n 3n + 4n (g) n=1 (d) (−1)n−1 (x + 2)n n5n (e) (i) +∞ (x + 1)n 3n (−1)n n!(x − 1)n x n (x − 5)2n n(n−1) n! n(n + 1) (x + 1)2n−1 2n − (−1)n x2n+1 (2n + 1).(2n + 1)! BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2.2 Khai triển Maclaurin (a) f (x) = cos2 x (b) f (x) = √ (c) f (x) = 8+x x2 2009 + x 2.3 Khai triển Taylor hàm sau c 1 (a) f (x) = , c = (b) f (x) = ,c = x x + 3x + ,c = − x2 Từ tính f (2010) (c) x+1 , c = Tính f (2012) (5) (d) f (x) = x − 5x + √ (e) f (x) = 16 + x2 , c = Tính f (2020) (0) (c) f (x) = 3x − , c = Tính f (2015) (0) x2 − 4x + 2.4 Chứng minh chuỗi sau hội tụ B (f) f (x) = +∞ (a) n=1 +∞ (c) n=1 xn ,B = R (1 + x2 )n 2n−1 2x + x+2 +∞ (b) n=1 en (x2 + 1) ,B = R n , B = [−1, 1] +∞ 2.5 Cho chuỗi n=1 (xn − xn−1 ); Tìm miền hội tụ A chuỗi Chứng minh chuỗi không hội tụ A 2.6 Cho chuỗi +∞ n=1 √ (x2n − x2n−1 ); Tìm miền hội tụ A chuỗi Chứng minh chuỗi hội n tụ A 2.7 Xét hội tụ chuỗi sau B +∞ (a) n=1 (−1)n ,B = R x2n + n +∞ (b) n=1 (−1)n xn √ , B = [0, 1] 8n3 − 12 2.8 Tính chuỗi hàm sau miền (c − r, c + r), với c tâm r bán kính +∞ (a) n=1 +∞ (c) n=1 (−x)n n(n + 1) x2n+2 (2n + 1)(2n + 2) +∞ (b) 1+ n=1 3n xn Phương trình vi phân cấp PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 3.1 Giải phương trình vi phân có biến phân ly (a) y ′ cos x = y ln y (b) y ′ + sin(x + y) = sin(x − y) (c) 5ex tan ydx + (1 − ex )(tan2 y + 1)dy = (d) (x − 1)e1+x tan ydx − e2x dy = 0; (e) y ′ + cos(x + 2y) = cos(x − 2y); (f) y ′ = y(0) = π π 2x + y − (g) y ′ = (h) y ′ = y(1) = (4x − y + 1)2 x−y−1 x−y−2 (i) y ′ = sin(y − x − 1) (j) x2 (y + 5)dx + (y + 5)y 2dy = 0; y(0) = (k) (1 + e2x )y dy = ex dx; y(0) = √ √ (l) xydx + (1 + y ) + x2 dy = 0; y( 8) = (m) y ′ = − (n) y = ˆ 3x + 3y − ; 2(x + y) x ydx + (o) y = x + (p) y = y(0) = ˆ x ˆ x √ y dx x ydx 3.2 Giải phương trình vi phân đẳng cấp (a) xy ′ ln y y = x + y ln x x BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP (b) y ′ = 2xy − y2 x2 y y (c) x sin y ′ + x = y sin x x y y (d) y ′ = e x + + x y (e) xy ′ = x sin + y x y (f) xy ′ + x tan − y = x (g) x2 y ′ + y + xy + x2 = y (h) xydy − y dx = (x + y)2 e− x dx (i) (x2 + xy)y ′ = x x2 − y + xy + y y (j) xy ′ = y ln ; y(1) = x √ (k) ( xy − x)dy + ydx = 0; (l) (y + y(1) = x2 + y 2)dx − xdy = 0; y(1) = (m) (x − 2y + 3)dy + (2x + y − 1)dx = (n) y ′ = x+y−3 1−x+y (o) (x + y − 1)2 dy = 2(y + 2)2 dx 3.3 Giải phương trình tuyến tính cấp (a) y ′ − 2x y = + x2 (b) y ′ + y = 4x (c) y ′ + 2xy = xe−x (d) y ′ + (e) y ′ − xy = arcsin x + x − x2 y = x ln x; x ln x (f) y ′ − 2xy = 3x2 − 2x4 (g) y ′ + y cos x = e− sin x y(e) = e2 Phương trình vi phân cấp (h) y ′ + y tan x = sin 2x; (i) y ′ − y(0) = y = x2 x (j) y ′ cos2 x + y = tan x; y(0) = Giải phương trình tuyến tính cấp xem x hàm theo y (k) y ′(x + y 2) = y (l) (2xy + 3)dy − y dx = (m) 2ydx = (2y − x)dy (n) ydx − (x + y sin y)dy = (o) (1 + y 2)dx = (arctan y − x)dy √ (p) y ′ − x2 + y = (arctan y − x)dy (q) y ′ = y ; 2y ln y + y − x y(1) = 3.4 Giải phương trình Bernoulli sau y = x2 y x √ (b) y ′ + y = e x y (a) y ′ + (c) y ′ + 2xy = 2x3 y (d) y ′ + 2y = ex y (e) xy ′ + y = y ln x (f) xy ′ − y(2y ln x − 1) = (g) y ′ − 2y tan x + y sin2 x = (h) x2 y 2y ′ + xy = Giải phương trình Bernoulli xem x hàm theo y (i) ydx + (x + x2 y )dy = (j) y ′ = x2 2x cos y + sin 2y (k) xy ′ + y = 2x2 y ln y.y ′ BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 10 (l) y ′ + 3x2 y = y (x3 + 1) sin x; x3 + (m) 3dy + (1 + 3y 3)y sin xdx = 0; (n) (y + 2y + x2 )y ′ + 2x = 0; (o) ydx + (x − x3 y)dy = 0; y(0) = π y = y(1) = y = 3.5 Giải phương trình vi phân tồn phần (a) (x2 + y)dx + (x − 2y)dy = (b) (ex + y + sin y)dx + (ey + x + x cos y)dy = x x x (c) (2x + e y )dx + (1 − )e y dy = y (d) (2xy + x2 y + y3 )dx + (x2 + y 2)dy = (e) (x cos y − y sin y)dy + (x sin y + y cos y)dx = (f) (ln y + 2x − 1)y ′ = 2y (g) Tìm thừa số tích phân có dạng µ = µ(x + y 2) phương trình (3y − x)dx + 2y(y − 3x)dy = (h) (2x3 − xy )dx + (2y − x2 y)dy = 0; (i) ey dx − (xey − 2y)dy = 0; (j) x2 dy + xydx = dx; y(0) = y(1) = y(1) = (k) y cos xdx + sin xdy = cos 2xdx; y π = (l) Cho phương trình (y − x2 − 2xy)dy + (y − x2 + 2xy)dx = Chứng minh phương trình có thừa số tích phân µ(x, y) = Giải phương trình vi phân (x2 + y )2 PTVP tuyến tính cấp hai cấp cao PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI CẤP CAO 4.1 Phương trình vi phân giảm cấp (a) y ′′ = sin x cos2 x − sin3 x (b) (y ′′)2 = y ′ (c) xy ′′ = y ′ ln y′ x (d) yy ′′ − y ′2 = thỏa y(0) = 1, y ′(0) = (e) yy ′′ − y ′2 = y ln y (f) y ′′ = (g) y − xy ′ x2 y ′′2 − y ′ y ′′ = ′2 y x (h) y ′2 + yy ′′ − yy ′ = (i) (x2 + 1)(y ′2 − yy ′) = xyy ′ (j) xyy ′ + xy ′2 = 2yy ′ 4.2 Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số (a) y ′′ − 2y ′ − y = (b) 4y ′′ − 20y ′ + 25y = (c) y ′′ − 4y ′ = −12x2 − 6x − (d) y ′′ − 4y ′ + 3y = e5x , y(0) = 3, y ′(0) = (e) y ′′ − 3y ′ + 2y = xex (f) y ′′ + 4y ′ + 3y = x (g) y ′′ − 7y ′ + 6y = (x − 2)ex (h) y ′′ + 2y ′ + 5y = cos x (i) y ′′ − 3y ′ = − 6x 11 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 12 π π (j) y ′′ + y = −3 cos 2x + x sin x, y(0) + y ′ (0) = , y( ) + y ′( ) = 2 (k) y ′′ + y = x cos x (l) y ′′ − 2y ′ + 2y = ex sin x (m) y ′′ − 3y ′ + 2y = 3x + sin 2x (n) y ′′ − 4y ′ + 4y = sin x cos 2x (o) y ′′ + y = tan x (p) y ′′ − y ′ = − x x (q) y ′′ − 2y ′ + y = ex x (r) y ′′ + 3y ′ + 2y = sin ex (s) y ′′ + y ′ = + ex 4.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số (a) y ′′′ − 4y ′′ + 3y ′ = 2x3 − 30 (b) y (4) + y = 4e3x (c) y ′′′ + 3y ′′ + 3y ′ = −3 cos 2x (d) y (5) − 4y (4) + 4y ′′′ = sin x (e) y (4) − 4y ′′′ + 5y ′′ − 4y ′ + 4y = e2x (3x + 5) (f) y (4) − 2y ′′′ + 3y ′′ − 4y ′ + 2y = ex (2x + 3)  ... n=1 n2 +∞ với p ∈ R (2n + 1)! 5n (n! )2 (3n)! n!.(n + 1)!.(n + 2) ! +∞ (h) n (n!)n (nn )2 n ln n 2n (t) n=1 1− n 2n + 2n + n 3n2 (n!)n nn2 1.3.5 (2n − 1) 3n n! 12 32 52 (2n − 1 )2 3n (2n)!... 2) n n5n (e) (i) +∞ (x + 1)n 3n (−1)n n!(x − 1)n x n (x − 5)2n n(n−1) n! n(n + 1) (x + 1)2n−1 2n − (−1)n x2n+1 (2n + 1).(2n + 1)! BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2. 2 Khai triển Maclaurin (a) f (x) = cos2... − 2y tan x + y sin2 x = (h) x2 y 2y ′ + xy = Giải phương trình Bernoulli xem x hàm theo y (i) ydx + (x + x2 y )dy = (j) y ′ = x2 2x cos y + sin 2y (k) xy ′ + y = 2x2 y ln y.y ′ BÀI TẬP TOÁN CAO