BÀI GIẢNG TOÁN CAO cấp

PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (HIGHER MATHEMATICS) PHẦN I: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH (LINEAR ALGEBRAS AND LINEAR PROGRAMMING) CHƢƠNG I MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (MATRICES, DETERMINANTS AND SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS) I.1 MA TRẬN (MATRICES) Nội dung - Khái niệm ma trận Các loại ma trận - Các phép toán đại số ma trận - Ma trân bạc thang dòng phép biến đổi sơ cấp dòng - Ứng dụng ma trân để biểu diễn liệu thực tiễn - Hạng ma trận cách tìm hạng ma trận Thuật ngữ then chốt (Việt – Anh) - Ma trận – Matrix; - Ma trận vuông – Square Matrix; - Ma trận đơn vị – Unit/Identity Matrix; - Ma trận không – Zero Matrix; - Ma trận tam giác – Triangular Matrix; - Ma trận chéo – Diagonal Matrix; - Ma trận bậc thang – Echelon Matrix; - Biến đổi sơ cấp – Elementary Operations; - Hạng ma trận – Rank of Matrix I.1.1 VÀI VÍ DỤ TRONG THỰC TIỄN Bảng tiêu Lƣu trữ hệ phƣơng trình bậc nhiều ẩn I.1.2 KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN VÀ VÀI LOẠI MA TRẬN Khái niệm ma trận Một ma trận cấp m×n (matrix of size m×n) (m, n tự nhiên dương) bảng gồm m.n số aij xếp thành m dòng n cột dạng  a11 a12 a1n  a 21 A     am1 a22 a2n   viết tắt A = [a ] hay A = (a ) ij m×n ij m×n   amn  am2 Phần tử aij phần tử dòng i cột j ma trận A; i số dòng, j số cột phần tử aij Tùy vào phần tử aij số thực hay phức mà ma trận A gọi ma trân thực hay ma Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp trận phức Trong suốt giáo trình này, ta chủ yếu xét ma trận thực nên ta gọi đơn giản ma trận điều không gây hiểu nhầm Hai ma trận xem chúng cấp phần tử tương ứng = bij  aij = bij; i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n Tức aij m n m n 1  Ví dụ A    ma trận cấp 2×3, a13 = 3, a21 = 4, … 4  Vài loại ma trận a) Ma trận vuông (square matrix): ma trận có số dịng m số cột n (m = n số tự nhiên dương), thay nói ma trận cấp n×n ta nói ma trận vng cấp n 1  Ví dụ B    ma trận vuông cấp hai 5  Trong ma trận vuông cấp n, người ta gọi phần tử a11, a22, …, ann phần tử thuộc đường chéo ma trận b) Ma trận đơn vị (identity matrix or unit matrix): ma trận vng có tất phần tử thuộc đường chéo 1, phần tử cịn lại 0, kí hiệu In hay đơn giản I cấp rõ Cũng có ký hiệu ma trận đơn vị En hay E 1 0  1  , I3  0  ma trận đơn vị cấp 2, cấp Ví dụ I2    0  0  c) Ma trận tam giác (triangular matrix): ma trận vng có tất phần tử nằm phía dưới, phía đường chéo 1 0  1  2 0  0  ,   Ví dụ C =   D = 4  ma trận tam giác 0    7 10  d) Ma trận chéo (Diagonal matrix)): ma trận vng có tất phần tử nằm ngồi đường chéo 1 0  Ví dụ E = 0  ma trận chéo   0  e) Ma trận cột (column matrix or column): ma trận có cột f) Ma trận dòng (row matrix or row): ma trận có dịng 1    Ví dụ F =   , G = 1 3  4 ma trận cột, ma trận dịng g) Ma trận khơng (zero matrix): ma trận có tất phần tử 0, kí hiệu Om×n hay đơn giản O cấp rõ 0 0  Ví dụ O2×3   ma trận khơng cấp 2×3 0 0  Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp Chú ý: Để tiện, ta dùng ký hiệu Mat(m,n) Mat(n) để tập hợp ma trận (thực) cấp m×n ma trận vng cấp n tương ứng (m, n số nguyên dương) I.1.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN Phép cộng ma trận (matrix addition): Tổng hai ma trận cấp A = [aij]m×n B = [bij]m×n ma trận cấp, ký hiệu A + B, xác định A + B:= [cij]m×n với cij = aij + bij; i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n  3   2  1 2  , B = Thế A + B =  Ví dụ Cho A =       5   1  4  Chú ý: Hai ma trận cộng với chúng có cấp Phép nhân số với ma trận (scalar multiplication): Cho số a ma trận A = [aij]m×n Tích a với ma trận A ma trận cấp, ký hiệu aA, xác định aA:= [bij]m×n với bij = a.aij; i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n 1 2  2 4  Thế 2A = Ví dụ Cho ma trận a = 2, A =   8  4    Phép nhân ma trận (matrix multiplication): Cho hai ma trận A = [aij]m×n B = [bjp]n×p Tích A với B ma trận, kí hiệu AB, xác định AB: = [cik]m×p với cik  k  aij b jk ; i = 1, 2, j 1 …, m; k = 1, 2, …, p 1 Ví dụ 10 Cho hai ma trận A =  4  c11 Thế AB =   c21 Ta có c12  c22   3   B =  1   2   2  ma trận vng cấp hai Ta tính phần tử AB c11  1.2  ( 2).( 1)  3.4  16, c12  1.3  ( 2).1  3.2  7, c21  4.2  0.( 1)  2.4  16, c22  4.3  0.1  2.2  16 16   16 16  Vậy AB =  Chú ý - Hai ma trận nhân đƣợc với số cột ma trận đầu số dòng ma trận thứ hai - Muốn tìm phần tử dịng i, cột j ma trận tích A.B, ta nhân phần tử dòng i ma trận A lần lƣợt với phần tử cột j ma trận B cộng tích lại ? Tại phép cộng hai ma trận phép nhân số với ma trận định nghĩa tự nhiên phép nhân hai ma trận lại định nghĩa phức tạp trên? Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp Phép chuyển vị ma trận (transpose of a matrix) Cho ma trận A = [aij]m×n Ma trận thu từ A cách viết dòng A thành cột gọi ma trận chuyển vị A kí hiệu At Khi At ma trận cấp n×m  4 1 2  Ví dụ 11 Cho ma trận A   Thế At   2   4    Hiển nhiên ta có (At)t = A, tức sau hai lần chuyển vị ta lại trở ma trận ban đầu Lũy thừa ma trận vuông (powers of a matrix) Khi A ma trận vng, ta có thêm phép toán lũy thừa Cụ thể, lũy thừa bậc n (n nguyên dương) A ma trân tích n ma trận A, nghĩa An: = A.A … A (n lần) Tương tự lũy thừa số thực, ta quy ước A0 = I, A ma trận vng cấp I ma trận đơn vị cấp với A 1 2 Ví dụ 12 Cho ma trận A    Khi 0  1  A = ; A =  ; A3 =  0  1 26  0 27  ;   1 n   A =   ; n số tự nhiên n 0  n ? Hãy kiểm chứng kết nêu Chú ý: Thứ tự thực phép toán ma trận tương tự số: nhân trước, cộng sau Phép trừ xem hệ phép cộng phép nhân với số: A – B: = A + (– 1)B CÁC TÍNH CHẤT Giả sử phép toán thực với ma trận A, B, C số a, b Khi ta có tính chất sau đây: A + B = B + A; A + O = O + A = A; A + (– A) = O; (A + B) + C = A + (B + C); (AB)C = A(BC); 1.A = A; I.A = A.I = A; (ab)A = a(bA); (a + b)A = aA + bA; a(A + B) = aA + aB; (A + B)C = AC + BC; A(B + C) = AB + AC; (A + B)t = At + Bt; (AB)t = BtAt ? Hãy chứng minh tính chất nêu I.1.4 MA TRẬN BẬC THANG DÕNG VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP DÕNG Ma trận bậc thang (dòng) (echelon matrix): ma trận thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau - Dịng có tất phần tử (nếu có) ln nằm phía dịng có phần tử khác (nếu có); - Đối với hai dịng bất kỳ, tính từ trái qua phải, phần tử khác (nếu có) dịng ln bên phải so với phần tử khác (nếu có) dịng 1  1 0 0  0   ; N = 0  ma trận bậc thang Ví dụ 13 M =    0 10 11 12    0 0    0 0 0  ? Ma trận O (cấp tùy ý), ma trận đơn vị có phải ma trận bậc thang (dịng) khơng? Tại sao? Các phép biến đổi sơ cấp dòng (BĐSC) ma trận (elementary row operations) Đó ba phép biến đổi sau ma trận Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Tốn Cao Cấp (E1): Đổi chỗ hai dịng cho di  dj (E2): Nhân dòng với số khác không di  a.di (a ≠0) (E3): Thêm (bớt) vào dòng bội dòng khác di  di + a.dj (a tùy ý) Tính chất quan trọng: Mọi ma trận khác không, sau số hữu hạn phép BĐSC, đưa ma trận bậc thang mà gọi dạng bậc thang ma trận ban đầu Chú ý: Dạng bậc thang ma trận không thường có nhiều cách BĐSC để đưa ma trận dạng bậc thang I.1.5 ỨNG DỤNG MA TRẬN TRONG THỰC TIỄN (SV tự tìm hiểu) I.1.6 HẠNG MA TRẬN VÀ CÁCH TÌM HẠNG Mệnh đề: Đối với ma trận khác khơng A, dạng bậc thang dịng dù khơng số dịng khác khơng dạng bậc thang A phụ thuộc vào A không phụ thuộc vào cách BĐSC thực dòng A Hạng ma trận (rank of a matrix): Cho ma trận A Nếu A = O hạng A số Nếu A khác O hạng A sơ dịng khác khơng dạng bậc thang A Hạng A thường ký hiệu rank(A) hay đơn giản r(A) Cách tìm hạng ma trận khác khơng: Như vậy, ma trận khác không A, để tìm hạng trước hết ta BĐSC dịng A để đưa dạng bậc thang Sau đếm số dịng khác khơng dạng bậc thang ta hạng A Chú ý: Nếu A ma trận cấp m×n r(A) số tự nhiên không vượt số bé hai số m, n Tức ≤ r(A) ≤ (m, n) ? Hãy tự tìm hiểu xem khái niệm hạng ma trận có vai trị gì? I.2 ĐỊNH THỨC (DETERMINANTS) Nội dung - Khái niệm định thức - Các tính chất định thức - Phương pháp tính định thức Thuật ngữ then chốt - Định thức cấp n – Determinant of order n; - Ma trận khả nghịch – Invertible Matrix; - Nghịch đảo ma trận – Inverse of a matrix I.2.1 NHÌN LẠI ĐỊNH THỨC CẤP 2, Định thức cấp a a Cho A = 11 12 ma trận vuông cấp Định thức (cấp 2) A số, ký a21 a22 a11 a12 xác định detA = a11 a12 : = a11a22 – a21a12 a21 a22 a21 a22 Nhận xét: Định thức cấp dùng để xác định tích có hướng hai vectơ, diện tích hình bình hành diện tích tam giác hình học hiệu detA hay Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp Định thức cấp a11 a12 a13 Cho A = a21 a22 a23 ma trận vuông cấp Định thức (cấp 3) A a31 a32 a33 a11 a12 a13 số, ký hiệu detA hay a21 a22 a23 xác định a31 a32 a33 a11 a12 a13 detA = a21 a22 a23 : = a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a31a22 a13 a32 a23a11 a33a21a12 a31 a32 a33 Để nhớ định nghĩa này, ta dùng công thức Sarrus minh họa sơ đồ a11 _ _ a11 a12 _ a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a33 a31 a32 a32 + + + Nhận xét: Định thức cấp dùng để xác định tích hỗn tạp ba vectơ, thể tích hình hộp (xiên) thể tích khối tứ diện hình học I.2.2 ĐỊNH THỨC CẤP N (DETERMINANT OF ORDER N) Khái niệm: Ta định nghĩa định thức cấp n tổng quát quy nạp a) Định thức (cấp 1) ma trận A = [a11] vng cấp 1, ký hiệu detA, số detA:= a11 b) Giả sử định thức (cấp n = k) ma trận vuông cấp n = k ≥ xác định Xét ma trận vuông cấp n = k + tùy ý A = aij Định thức (cấp n = k + 1) A, ký hiệu detA, k số xác định sau a11 a12 detA = a21 a22 a1n a2 n : = an1 An1 an An ann Ann ; an1 an ann đây, Anj tích (– 1)n+j với định thức cấp k ma trận nhận từ A cách xóa dịng n cột j; j = 1, 2, …, n Như vậy, theo nguyên lý quy nạp, ta định nghĩa định thức cấp n (≥ 1) Ví dụ Ví dụ a11 a12 a21 a22 : a21 A21  a22 A22   a21 a12  a22 a11  a11 a22  a21 a12 (trùng lại định nghĩa sơ cấp!) Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Tốn Cao Cấp Ví dụ a11 a12 a13 a21 a22 a23 : = a31 A31 a31 a33 a32 a32 A32 = a31 ( 1)3 a33 A33 a12 a13 a22 a23 a32 ( 1)3 = a11a22 a33 a12a23a31 (trùng lại định nghĩa sơ cấp!) a13a21a32 a11 a13 a21 a23 a31a22a13 a33 ( 1)3 a32a23a11 a11 a12 a21 a22 a33a21a12  1  1 2   Ví dụ Cho ma trận vuông cấp bốn A   2    0 3 2  Khi det A  A41  A42  A43  A44 Ở 1 1 A42   1; A43   2  15; A44  2  2 1 1 2 Vậy detA = – I.2.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC Định thức không thay đổi qua phép chuyển vị: detA = det(At) det(AB) = detA.detB với cặp ma trận A, B vuông cấp Nếu có dịng (hoặc cột) khơng định thức Nếu có hai dịng (hoặc hai cột) giống hay tỉ lệ với định thức Định thức ma trận tam giác hay ma trận chéo tích phần tử thuộc đường chéo Nếu đổi chỗ hai dịng (hoặc hai cột) định thức đổi dấu Nếu nhân dòng (hoặc cột) với số định thức nhân với số Nói cách khác, nhân tử chung dịng (hoặc cột) đem ngồi định thức Định thức không thay đổi thêm bớt vào dòng (hoặc cột) bội dịng (hay cột) khác Cơng thức Laplace khai triển định thức theo dòng hay cột a11 a12 a1n a21 a22 an1 a2 a2 n = ai1 Ai1 Ai ain Ain (Khai triển theo dòng i) ann = a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj (Khai triển theo cột j) Ở đây, Aij tích (– 1)i+j với định thức ma trân nhận đƣợc từ A cách xóa dịng i, cột j; Aij gọi phần bù đại số phần từ aij hay vị trí (i, j); i, j = 1, 2, …, n Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp I.2.4 CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC Dùng phép biến đổi sơ cấp: Để tính định thức ma trân vuông bất kỳ, trước hết ta BĐSC để đưa ma trận dạng tam giác (trên), sau lấy tích phần tử thuộc đường chéo (theo tính chất 5) Tất nhiên, q trình BĐSC, ta ln đánh giá thay đổi giá trị định thức (nhờ tính chất 6, 7, 8) Ví dụ 4 4  1 2 7 2 8 10  7 10 13 3 1 2 7 0 4 0 36  1 2 7 0 4 0 40  160 Dùng công thức Laplace: Nếu phát thấy định thức có dịng hay cột chứa nhiều số nên khai triển định thức theo dịng hay cột 0 x 2013 ( x  1) 2013 x 2012 x ( x  2) 2012 x 2011  x ( x  3) 2011 x x 2010 Ví dụ Tính D(x) = tìm ẩn số thực x để D(x) = Giải D(x) = 0 ( x  1) x ( x  2) 2013 2012  x ( x  3) 2011 x 2013 x 2012 x 2011 x x 2010  x 2013 ( x  1)2013 x ( x  2)  x 2013 ( x  1) 2013 2012  x ( x  3) 2011 x x x x = x 2013 ( x  1)2013  x2  x   x2014 ( x  1)2014 D(x) =  x  {0, – 1} Phƣơng pháp tổng hợp: Trong thực hành, ta thường phối hợp BĐSC với khai triển Đôi phải biến đổi tinh tế 3 3 8 1 Ví dụ 53 50 1 25 5 5 11 19 16 25 11 19 I.2.5 MA TRẬN KHẢ NGHỊCH (INVERTIBLE MATRIX) Khái niệm: Ma trận vuông A gọi có nghịch đảo hay khả nghịch tìm ma trận B vng cấp cho AB = BA = I (ma trận đơn vị cấp với A, B) Lúc B gọi (ma trận) nghịch đảo A (inverse of A) ký hiệu A–1 Như vậy, A khả nghịch A A–1= A–1A = I Nhận xét a) Ta xét đến tính khả nghịch ma trận vuông ? Hãy tự lý giải sao? b) Ma trận vuông không O đương nhiên không khả nghịch Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Tốn Cao Cấp c) Khơng phải ma trận khác khơng khả nghịch d) Có thể chứng minh AB = I  BA = I ? Hãy tự chứng minh khẳng định Ví dụ Ma trận không khả nghịch ? Hãy tự kiểm chứng điều định nghĩa Mệnh đề (về điều kiện khả nghịch) Đối với ma trận vuông A, khẳng định sau tương đương (i) A khả nghịch (ii) detA ≠ (iii) rank(A) cấp A ? Hãy tự chứng minh mệnh đề Ví dụ Tìm m để ma trận A = m m khả nghịch Giải detA = – m2 + m + 2; detA =  m { – 1, 2} Vậy A khả nghịch – ≠ m ≠ Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo Bài tốn: Cho ma trận vng A Tìm nghịch đảo A có a) Thuật toán dùng định thức phần bù đại số  Bƣớc 1: Tính D = detA + Nếu D = kết luận A khơng khả nghịch Thuật tốn dừng + Nếu D ≠ A khả nghịch Làm tiếp bƣớc  Bƣớc 2: Tìm ma trận phụ hợp PA A Ma trận phụ hợp PA A ma trận tạo thành từ phần bù đại số phần tử A, tức PA = [Aij]n, Aij phần bù đại số vị trí (i, j); i, j = 1, 2, …, n  Bƣớc 3: Xác định ma trận nghịch đảo A–1 = PAt , PAt chuyển vị PA D 1 1   Ví dụ Tìm nghịch đảo (nếu có) ma trận A  2 2  3  Giải + Ta có D = detA = – ≠ Do A khả nghịch + A11 = 11, A12 = – 12, A13 = – 7; A21 = – 7, A22 = 6, A23 = A31 = – 1, A32 = 0, A33 = – 11 12 11 PA ; 1 PAt 12 Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp Vậy A 1 t PA D 11 12 11 1 7 6 6 b) Thuật toán BĐSC Bài tốn: Cho ma trận vng A Tìm nghịch đảo A có  Bƣớc 1: Lập ma trận [A  I] cách thêm vào bên phải A ma trận đơn vị cấp  Bƣớc 2: BĐSC dịng [A I] để đưa dạng [I B] (B ma trận đó) + Nếu biến đổi thế, tức trình BĐSC, ma trận bên trái xuất dịng khơng, kết luận A khơng khả nghịch + Nếu biến đổi kết luận A khả nghịch với A–1 = B 1 Ví dụ 10 Tìm nghịch đảo (nếu có) ma trận A = 1 21 0 Giải + [A  I] = 80 + BĐSC (trên dòng của) ma trận ta 1 21 0 1 0 1 2 50 0 1 0 1 80 1 0 1 1 2 0 1 1 0 1 1 0 Vậy A khả nghịch với A 1 1 1 0 1 1 I.3 HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS) Nội dung - Khái niệm hệ phương trình tuyến tính (PTTT) - Dạng ma trận hệ PTTT Điều kiện có nghiệm - Hệ Cramer công thức Cramer - Hệ tổng quát phương pháp Gauss - Hệ Điều kiện có nghiệm khơng tầm thường - Liên hệ hệ tổng quát hệ Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page 10 PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Tốn Cao Cấp Nhận xét: Thật công thức Cramer có ý nghĩa lý thuyết ý nghĩa thực hành n không bé (n ≥ 4) I.3.4 GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP GAUSS Ý tưởng phương pháp Gauss biến đổi tương đương để khử dần ẩn số phương trình từ xướng Trong ngơn ngữ ma trận, điều đồng nghĩa với việc BĐSC (trên dịng) ma trận mở rộng để đưa dạng bậc thang Sau đó, giải hệ ngược từ lên cách dần ẩn từ phải qua trái Bài toán: Giải hệ PTTT (tổng quát) m phương trình, n ẩn số  a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1  a x  a x   a x  b  21 22 2n n (I)    am1 x1  am x2   amn xn  bm Thuật toán giải phƣơng pháp Gauss  Bƣớc 1: Lập ma trận mở rộng [A B] hệ (A ma trận hệ số, B cột tự do)  Bƣớc 2: BĐSC (trên dòng của) ma trận mở rộng để đƣa dạng bậc thang Từ tính đƣợc hạng A [A B] + Nếu rank(A) < rank([A B]) kết luận hệ vơ nghiệm Thuật tốn dừng + Nếu rank(A) = rank([A B]) = r hệ có nghiệm Làm tiếp bƣớc  Bƣớc 3: Từ ma trận bậc thang, viết lại hệ tƣơng đƣơng với hệ cho nhƣng đơn giản Giữ lại vế trái r ẩn ứng với hệ số khác không dịng khác khơng ma trận bậc thang gọi chúng ẩn (có r ẩn chính) Các ẩn cịn lại chuyển sang vế phải làm ẩn tự (có n – r ẩn tự do) Sau xem ẩn tự nhƣ tham số gán cho chúng giá trị tùy ý giải hệ ngƣợc từ phƣơng trình cuối lên phƣơng trình đầu bàng cách ẩn từ phải sang trái, từ dƣới lên  Bƣớc 4: Tóm tắt kết kết luận nghiệm hệ Chú ý + Nếu r = n (số phương trình) ẩn ẩn (khơng có ẩn tự do), hệ có nghiệm + Nếu r < n hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc n – r tham số tùy ý Các ví dụ minh họa Ví dụ Giải biện luận hệ phương trình cho ví dụ 3:  x1 2 x    x1  5 x1  x2   x2  x2 4 x3  x4  x5  6;  11x2 7 x3  x4  x5  m  x3  x3   x4  x4 x5  1; x5  8; Giải Lập ma trân mở rộng BĐSC ví dụ ta ma trận bậc thang Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page 14 PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp  3 1   7     0 5 4  0 0 0 m     Từ rank(A) = ( m), ( rank([A B]) = )  ( m = ) Suy hệ có nghiệm m = Lúc từ ma trận bậc thang ta viết hệ tương đương với hệ cũ đơn giản sau: 1  x1 2 x2 3 x3 2 x4  x5  x1 2 x2 2 x4  3 x3  x5   8 x3 7 x4 4 x5 6   7 x4  8 x3 4 x5 x2 x2    5 x5  4 5 x5 x4 x4  4   Xem x3, x5 tham số gán cho chúng giá trị tùy ý: x3 = a, x5 = b; a, b hai số thực tùy ý Thay vào hệ giải ngược từ lên cách dần ta được:  x1  53 19 a 71b;  x  22 8a 31b;  x1 2 x2 2 x4  3 x3  x5   x2 7 x4  8 x3 4 x5   x3  (a, b  ) a;    x  4 x4  4 5 x5 5b;    x5  b Kết luận: Ta tập nghiệm hệ cho ( x1; x2 ; x3; x4 ; x5 )  (53  19a  71b; 22  8a  31b; a; 4  5b; b) / a, b     53   22   Ta viết tập nghiệm dạng cột  X    4      19 a 71b  8 a a;   /  5b   b  31b a, b          53 19 a 71b   22 8a 31b    Mỗi nghiệm X =  a;  (hoặc dạng dòng (53  19a  71b; 22  8a  31b; a; 4  5b; b) )   5b  4   b   gọi nghiệm tổng quát hệ xét (phụ thuộc hai tham số a, b tùy ý) Khi ta gán cho a, b cặp giá trị cụ thể (nhưng bất kỳ) ta nhận nghiệm riêng hệ I.3.4 HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (HOMOGENEOUS SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS) Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính hệ phương trình có tất hệ số tự vế phải 0: Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page 15 PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp  a11 x1  a12 x2   a1n xn   a x  a x   a x   21 22 2n n (II)    am1 x1  am x2   amn xn  Ở đây, cột tự B = O nên dạng ma trân hệ AX = O Ta bảo hệ (II) hệ tương ứng với hệ PTTT tổng quát (I) với dạng ma trận AX = B Hai hệ có vế trái giống hệt Nhận xét: a) Khác với hệ tổng quát có nghiệm vơ nghiệm, hệ ln có nghiệm nghiệm, nghiệm X = O (cột không) Ta gọi nghiệm X = O nghiệm tầm thường Như vậy, hệ nhất, vấn đề ta quan tâm khơng phải việc hệ có nghiệm hay khơng mà hệ có nghiệm khác tầm thường hay khơng b) Vì hệ PTTT hệ PTTT nên đương nhiên giải phương pháp Gauss Tuy nhiên cột tự khơng nên thay BĐSC ma trận mở rộng, ta cần BĐSC ma trận hệ số Điều kiện có nghiệm khơng tầm thƣờng hệ a) Hệ thuấn AX = O có nghiệm khơng tầm thường rank(A) nhỏ số ẩn, lúc hệ có vơ số nghiệm khơng tầm thường b) Trái lại, rank(A) số ẩn hệ có nghiệm tầm thường đương nhiên nghiệm hệ Tính chất tập nghiệm hệ hệ nghiệm a) Tập nghiệm hệ có tính chất “đẹp” sau: + Tổng (hiệu) hai nghiệm lại nghiệm: (X1, X2 nghiệm)   (X1±X2 nghiệm) + Bội nghiệm lại nghiệm: (a số, X nghiệm)  (aX nghiệm) + Giả sử hạng ma trận hệ số r với < r < n ( số ẩn) Khi ta biết, hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc n – r tham số (ẩn tự do) Hơn nữa, ta ln tìm hệ n – r nghiệm khơng tầm thường {X1, X2, …, Xn–r}sao cho tập {X= a1X1 + a2X2 + … + an–r Xn–r / a1, a2, …, an–r số tùy ý} tập nghiệm hệ xét Hệ {X1, X2, …, Xn–r} nói chung khơng ? Hãy chứng minh tính chất này! b) Hệ {X1, X2, …, Xn–r} gọi hệ nghiệm hệ xét Nói chung, hệ có vơ số hệ nghiệm Mỗi X = a1X1 + a2X2 + … + an–r Xn–r gọi nghiệm tổng quát hệ Khi gán cho tham số a1, a2, …, an–r giá trị cụ thể (nhưng tùy ý) ta nghiệm riêng hệ Để đơn giản, nêu cách tìm hệ nghiệm ví dụ Ví dụ Tìm nghiệm tổng quát hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính Giải  x1  x2  x3  x4    x1  x2  x3  x4   x  x  x  5x   Lập ma trận hệ số A BĐSC ta được: Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page 16 Bài giảng Toán Cao Cấp PGS.TS Lê Anh Vũ   1   1  1      A = 2  0 3 9   0         1 5   0 4 12   0 0  Ta thấy rank(A) = < (số ẩn) nên hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số Từ ma trận bậc thang ta viết hệ (tương đương với hệ cho) giải ta được:  x1  a 8b     x2  2a  x1  x2  x3  x4   x1 5 x3  x2  x4   (a, b  )     x4 = x3  x4  x3 x   b      x4  2b Vậy nghiệm tổng quát hệ cho (a + 8b, 2a, – 6b, 2b) với a, b cặp số thực 1  8 2 0 Cho a = 1, b = ta nghiệm riêng dạng cột X1 =   Cho a = 0, b = ta X2 =   0  6      0 2 Ta hệ nghiệm hệ {X1, X2} ? Hãy kiểm chứng điều này! Liên hệ nghiệm hệ tổng quát hệ tƣơng ứng a) Xét hệ tổng quát AX = B hệ tương ứng AX = O Giả sử Xr nghiệm riêng hệ tổng quát Xtq, Xtn nghiệm tổng quát hệ tổng quát hệ Khi ta có: Xtq = Xr + Xtn Nghĩa là: Nghiệm tổng quát hệ tổng quát tổng nghiệm riêng với nghiệm tổng quát hệ tương ứng b) Nhận xét: Nhờ tính chất trên, cách ta “dị” nghiệm hệ tổng quát cần giải hệ (mà chắn đơn giản giải hệ tổng quát), ta suy nghiệm hệ tổng quát Ví dụ Giải hệ tổng quát biết (1, 1, 0, – 1, 0) nghiệm riêng  x1  x2  3x3  x4  x5  3;   3x1  x2  x3  3x4  x5  1;  x  3x  x  x  x   Giải Trước hết ta giải hệ cách BĐSC ma trận hệ số 1 2 3  1 2 3  1 2 3  A =  5 3    10 9 10    10 9 10          3 5 1  10 9 9   0 0 Từ ma trận bậc thang ta viết hệ giải tiếp ta được: Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page 17 PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp  x1     2 x2 x2 3 x3 2 x4 10 x3 x5 9 x4 10 x5 x5  x1  17 a 16b  x  10a 9b 0     x3   a a, b   x 0 b    x5  Vậy nghiệm tổng quát hệ cho  x1 x   x3 x   x5   17 a 16b   10a 9b  a, b  a  1  b 0 I.4 MỘT SỐ MƠ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG KINH TẾ I.4.1 MƠ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƢỜNG (MARKET EQUILIBRIUM MODEL) Một mơ hình kinh tế thường bao gồm số đại lượng (chỉ tiêu) kinh tế mối quan hệ chúng Theo ngơn ngữ tốn học, đại lượng kinh tế biến số, mối quan hệ đại lượng kinh tế biểu diễn phương trình Một mơ hình tuyến tính kinh tế mơ hình kinh tế mà tập hợp quan hệ biểu diễn hệ PTTT Mơ hình cân thị trƣờng (đơn giản) loại hàng hóa Khi phân tích thị trường hàng hóa, nhà kinh tế học sử dụng hàm cung hàm cầu để biểu thị phụ thuộc lượng cung lượng cầu hàng hóa (được tính đơn vị thời gian đó) vào giá hàng hóa (trong giả thiết yếu tố khác khơng thay đổi) Trong mơ hình này, ta xét loại hàng hóa quan tâm đến ba biến số đây:  Biến giá p (price): giá loại hàng hóa (tính đơn vị tiền tệ)  Hàm cung Qs (Quantity Supplied): lượng hàng hóa mà người bán lòng bán  Hàm cầu Qd (Quantity Demanded): lượng hàng hóa mà người mua lịng mua Rõ ràng Qs = Qs(p), Qd = Qd(p) hàm số biến giá p Trong thực tiễn ta thấy rằng: (i) Qs hàm tăng theo giá p p lớn giá trị p0 > Qs dương (ii) Qd hàm giảm theo giá p (iii) Thị trường trạng thái cân Qs = Qd Mơ hình Qs(p) = Qd(p) gọi mơ hình cân thị trường (đơn giản) loại hàng hóa Từ thực tiễn để đơn giản, ta giả sử Qs(p) Qd(p) hàm bậc nhất, tức có dạng tuyến tính Qs = – a0 + a1p, Qd = b0 – b1p, a0, a1, b0, b1 số dương Mơ hình cân thị trường lúc có dạng  Qs   Qd   Qs     a0  a1 p b0 b1 p Qd   Qs    Qd    a0  a1 p  a0  a1 p b0 b1 p  b0  b1 p Giải hệ phương trình (với ẩn p), ta tìm Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page 18 PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp a0 b0 a1b0 a0b1 ; + Lượng (cung cầu) cân Q Qs Qd a1 b1 a1 b1 Ví dụ Cho hàm cung hàm cầu theo giá loại hàng hóa Qs = – + p, Qd = 55 – 3p a) Tìm giá cân thị trường b) Tìm lượng (cung cầu) cân Giải Giá cân thị trường nghiệm phương trình a) Qs = Qd  – + p = 55 – 3p  p = 15 Vậy giá cân p = p = 15 (đơn vị tiền tệ) + Giá cân p = p b) Lượng (cung cầu) cân Q Qs Qd = – + 15 = 10 (đơn vị loại hàng hóa) Mơ hình cân thị trƣờng tổng quát nhiều loại hàng hóa Bây ta xét thị trường có n loại hàng hóa Lúc đó, giá hàng hóa ảnh hưởng đến lượng cung lượng cầu loại hàng hóa Ta dùng ký hiệu biến số sau:  Biến giá pi: giá hàng hóa thứ i, i = 1, 2, …, n  Hàm cung Qsi: lượng cung hàng hóa thứ i, i = 1, 2, …, n  Hàm cầu Qdi: lượng cầu hàng hóa thứ i, i = 1, 2, …, n Trong mơ hình này, ta giả thiết yếu tố khác không thay đổi, hàm cung hàm cầu phụ thuộc tuyến tính vào giá, tức Qsi = aio + ai1p1 + ai2p2 + … + ainpn; i = 1, 2, …, n (1) Qdi = bio + bi1p1 + bi2p2 + … + binpn; i = 1, 2, …, n (2) Bấy giờ, mơ hình cân thị trường tổng quát n loại hàng hóa biểu diễn đẳng thức: Qsi  Qdi , i  1, 2, , n Thay vào đẳng thức biểu diễn (1), (2) hàm cung, cầu; sau chuyển vế đặt cik  aik  bik , ta hệ phương trình tuyến tính  c11 p1  c12 p2   c1n pn  c p  c p   c p 21 22 2n n   cn1 p1  cn p2   cnn pn   c10 ;   c20;   cn Giải hệ phương trình ta tìm giá cân loại hàng hóa, từ tìm lượng cung cầu cân n loại hàng hóa cho Ví dụ Xét thị trường gồm ba loại hàng hóa Hàm cung, hàm cầu giá chúng thỏa mãn điều kiện sau Qs1  2  p1  p2  p3 ; Qs2  1  p1  p2  p3 ; Qs3  2  p1  p2  p3 ; Qd1  10  p1  p2  p3 ; Qd2   p1  p2  p3 ; Qd3   p1  p2  p3 a) Hãy tìm giá cân thị trường loại hàng hóa b) Xác định lượng cung cầu cân loại hàng hóa Giải Hệ phương trình xác định giá cân  Qs   Qs   Qs  Qd  Qd   Qd  2  p1  p2  p3  10  p1  p2  p3   1  p1  p2  p3   p1  p2  p3   2  p1  p2  p3   p1  p2  p3 Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page 19 PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp  6 p1  p2  p3  12  p  p3    2 p  p  p    p1   p2  p  3;  1;  Vậy, giá cân loại p1  , p2  , p1  Ta gọi (3, 1, 2) điểm cân thị trường Suy ra, lượng hàng cân loại sau Qs1  Qd1  , Qs2  Qd2  , Qs3  Qd3  I.4.2 MƠ HÌNH CÂN BẰNG KINH TẾ VĨ MƠ (MODEL OF MACROECONOMIC EQUILIBRIUM) Ở dạng đơn giản, ta xét mơ hình cân kinh tế đóng, tức kinh tế khơng có quan hệ kinh tế đối ngoại Trong kinh tế, ta xét đại lượng sau đây:  Y (Income): tổng thu nhập quốc dân  E (Expenditure): tổng chi tiêu kinh tế  C (Consumption): tổng tiêu dùng dân cư  T (Tax): tổng thuế  I (Investment): mức đầu tư theo kế hoạch phủ cho kinh tế  G (Government): mức chi tiêu phủ Phương trình cân kinh tế đóng là: Y = C + I + G Ta giả sử đầu tư theo kế hoạch phủ (ít khoảng thời gian không ngắn) cố định I = I0 Hơn nữa, sách tài khóa phủ cố định: G = G0 Cịn tiêu dùng (của dân chúng) đương nhiên phụ thuộc vào thu nhập Ta giả sử hàm tiêu dùng có dạng bậc nhất: C = aY + b biến thu nhập Ở đây, < b lượng tiêu dùng tối thiểu khơng có thu nhập, < a (< 1) biểu thị xu hướng tiêu dùng cận biên, tức lượng gia tăng tiêu dùng thu nhập tăng thêm đơn vị tiền tệ (sẽ hiểu thêm ý nghĩa a học sang phần giải tích) Khi đó, mơ hình cân kinh tế vĩ mơ dạng đơn giản quy hệ phương trình sau: Y C C I0 aY G0  b Y C I0 G0 aY C b Ở Y, C ẩn cầm tìm, cịn a, b, I0, G0 số biết Giải hệ ta xác định mức thu nhập cân mức tiêu dùng cân kinh tế (đóng) vĩ mơ: Y Y b I0 a G0 ; C C b a( I a G0 ) Bây giờ, gần với thực tế hơn, trước hết ta ý đến thuế thu nhập T Lúc thu nhập tính thu nhập sau thuế hay thu nhập khả dụng (disposable income) Yd Vì thuế thường phụ thuộc vào thu nhập theo dạng hàm tuyến tính T = d + tY, < d thuế tối thiểu khơng có thu nhập, < t ( < 1) tỉ suất thuế thu nhập hay thuế cận biên (tức gia tăng thuế thu nhập tăng lên đơn vị tiền tệ) Ta Yd = Y – T = Y – d – tY = – d + (1 – t)Y, C = aYd + b = – ad + a(1 – t)Y + b Mơ hình cân kinh tế vĩ mơ trở thành hệ phương trình tuyến tính  Y  C  I o  Go  Y  C  I o  Go   C  a (Y  T )  b    aY  C  aT  b  T  d  tY  tY  T  d Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page 20 PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp Ở Y, C, T ẩn số cần tìm, cịn a, b, d, t I o , Go số biết Giải hệ, ta tìm mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng mức thuế cân b a(1 t )( I G0 ) ad t (b I G0 ) (1 a)d b I G0 ad ;C C ;T T Y Y a(1 t ) a(1 t ) a(1 t ) Nhận xét: Trong thực hành, cho số liệu cụ thể ta hệ PTTT đơn giản giải dễ dàng không cần phải nhớ công thức Ví dụ Cho tổng thu nhập quốc dân Y, mức tiêu dùng C mức thuế T xác định Y  C  I o  Go ; C  15  0, 4( Y  T ); T  36  0, 1Y ; Io  500 (triệu USD) mức đầu tư cố định; Go  20 (triệu USD) mức chi tiêu cố định Hãy xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng mức thuế cân Giải Ta có C  Y  520  Y  C  500  20    T  0, 1Y  36 C  15  0, 4(Y  T )     36  0, 1Y T  Y  520  15  0, 4(Y  0, 1Y  36)  C  Y  520    T  0, 1Y  36 0, 64Y  520,   C  293, 4375  T  117, 34375  Y  813, 4375 Vậy Y  813, 4375 ; C  293, 4375 ; T  117, 34375 I.4.3 MƠ HÌNH IS – LM Trong kinh tế vĩ mơ, mơ hình IS – LM (Investment/Saving – Liquidity preference/Money supply, tạm dịch Đầu tư/Tiêt kiệm – Nhu cầu toán/Tiền cung cấp ưu đãi) John Hicks (Anh) Alvin Hansen (Hoa kỳ) đưa phát triển Mơ hình dùng để phân tích trạng thái cân kinh tế hai thị trường: thị trƣờng hàng hóa thị trƣờng tài (tiền tệ) Ở mục trên, ta xét mơ hình cân kinh tế vĩ mơ kinh tế đóng Y C aY b, I I G (0 < b, < a < 1) G0 Với góp mặt tiền tệ, biến số có ý nghĩa quan trọng cần xem xét lãi suất r (interest rate) giá trị tiền tệ thay đổi theo thời gian tùy theo r Khác với mơ hình cân kinh tế vĩ mơ ta giả thiết tổng đầu tư không đổi I = I0, để xét ảnh hưởng qua lại hai thị trường hàng hóa tiền tệ, ta cần xem tổng đầu tư I thay đổi phụ thuộc vào lãi suất theo quy luật: lãi suất cao đầu tư giảm Nói cách khác, ta có hàm đầu tư I = b1 – a1r (a1 > 0, b1 > 0) Lúc phương trình cân thị trường hàng hóa C Y C I I0 , G G  Y = aY + b + (b1 – a1r) + G0 G0  a1r = b + b1 + G0 – (1 – a)Y (IS) Phương trình biểu thị quan hệ lãi suất thu nhập thị trường hàng hóa cân (tổng cung tổng cầu) gọi phương trình (IS) Ở đây, thu nhập Y tăng lãi suất r giảm Trên mặt phẳng tọa độ với trục hoành biểu thị thu nhập trục tung lãi suất đường biểu diễn I0 đƣờng thẳng dốc xuống Đường thẳng gọi đường IS C aY b, I b1 a1r , G Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page 21 PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp Trong thị trường tiền tệ, lượng cầu tiền mặt, ký hiệu L, đồng biến với tổng thu nhập nghịch biến với r Giả sử hàm cầu tiền có dạng tuyến tính: L = b2Y – a2r (a2 > 0, b2 > 0) Gọi lượng cung tiền mặt M0 Điều kiện cân thị trường tiền tệ M0 = L  M0 = b2Y - a2r  a r = b2 Y – M (LM) Phương trình biểu thị cân thị trường tiền tệ gọi Phương trình (LM) Ở đây, thu nhập Y tăng lãi suất r tăng Biểu diễn mặt phẳng tọa độ với trục hoành biểu thị thu nhập trục tung lãi suất ta có đường LM, đƣờng thẳng dốc lên Mơ hình IS-LM biểu thị hệ hai phương trình (IS) (LM)  IS  a1r LM b a2 r b1 (1 a )Y G0 b2Y M0  a1r (1 a )Y a2 r b b2Y b1 G0 M0 (Y, r hai ẩn số) Giải hệ trên, ta xác định mức thu nhập Y = Y lãi suất r = r đảm bảo cho cân hai thị trường: hàng hóa tiền tệ Cụ thể ta Y a2 (b b1 a1b2 G0 ) a1 M a2 (1 a ) ; r b2 (b b1 a1b2 G0 ) (1 a ) M a2 (1 a ) Nhận xét: Tất nhiên, ta không cần nhớ công thức Trong thực hành, liệu cho cụ thể, việc giải hệ mơ hình IS-LM đơn giản Ví dụ Cho G0 = 250; M0 = 4500; I = 34 – 15r; C = 10 + 0,3Y; L = 22Y – 200r a) Lập phương trình IS b) Lập phương trình LM c) Tìm mức thu nhập lãi suất cân hai thị trường hàng hóa tiền tệ Giải a) Ta có Y= C + I + G0  Y = (10 +0,3Y) + (34 – 15r) + 250 Vậy phương trình IS 15r = 294 – 0,7Y b) Phương trình LM có dạng L = M0  22Y – 200r = 4500  200r = 22Y – 4500 c) Mức thu nhập Y lãi suất r cân nghiệm hệ phương trình  15r  294  0, 7Y 15(0,11Y  22, 5)  294  0, 7Y   r  0,11Y  22, 200r  22Y  4500   2, 35Y  631, Y  268, 72    r  0,11Y  22,  r  7, 06 Vậy Y = 268,72; r = 7,06 I.4.4 MƠ HÌNH INPUT – OUTPUT CỦA LEONTIEF (INPUT-OUTPUT MODEL) Mơ hình Input – Output Mục giới thiệu mơ hình Input-Output Leontief, cịn gọi mơ hình I/O hay mơ hình cân đối liên ngành Mơ hình đề cập đến việc xác định tổng cầu sản phẩm ngành sản xuất tổng thể kinh tế đa ngành quốc gia Trong mơ hình, khái niệm ngành kinh tế xem xét theo nghĩa túy sản xuất Hơn nữa, mơ hình xét vài giả thiết  Mỗi ngành kinh tế sản xuất loại hàng hóa  Mỗi ngành sử dụng tỉ lệ cố định sản phẩm ngành khác làm đầu vào cho sản suất đầu Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page 22 PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp  Khi đầu vào thay đổi k lần đầu thay đổi k lần Xét kinh tế gồm n ngành kinh tế (sản xuất) gọi quy ước ngành 1, ngành 2, …, ngành n Để tiện cho việc tính chi phí sản xuất, ta biểu thị lượng cầu tất loại hàng hóa dạng giá trị, tức đo chung tất loại sản phẩm khác với đơn vị khác tiền (với đơn vị tiền tệ quốc gia ngoại tệ mạnh) Trước hết, ta đưa vào số khái niệm ký hiệu cần cho mơ hình  Cầu trung gian xij: giá trị hàng hóa ngành i mà ngành j cần dùng cho sản xuất, gọi (lượng) cầu trung gian sản phẩm ngành i từ ngành j; i, j = 1, 2, …, n  Cầu cuối bi: giá trị hàng hóa ngành i cần cho lao động, tiêu dùng, dịch vụ xuất quốc gia; i = 1, 2, …, n  Tổng cầu ngành xi: tổng cầu trung gian cầu cuối ngành i, i = 1, 2, …, n Hiển nhiên, ta có xi = xi1 + xi2 + … + xin + bi; i = 1, 2, …, n x xi xin  xi = i1 x1 (1) x2 xn bi ; i = 1, 2, …, n x1 x2 xn x Đặt aij := ij tỉ lệ (cố định không đổi i, j) cầu trung gian ngành i từ xj ngành j so với tổng cầu ngành j; i, j = 1, 2, …, n Hiển nhiên ≤ aij ≤ 1, aij = hàng hóa ngành i khơng cần sử dụng cho sản xuất ngành j; i, j = 1, 2, …, n Ý nghĩa hệ số aij sau: aij tỉ phần chi phí mà ngành j phải trả cho ngành i để sản xuất đơn vị giá trị hàng hóa ngành j Để làm rõ hơn, ta giả sử dùng tiền USD Khi đó, tính bình qn USD giá trị hàng hóa ngành j có aij USD dùng để trả cho việc mua sản phẩm ngành i Chẳng hạn, aij = 0,3 có nghĩa tính bình qn để sản xuất USD hàng hóa mình, ngành j cần phải mua (sử dụng) 0,3USD giá trị hàng hóa ngành i Từ hệ thức (1) ta có hệ PTTT x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 x2 a21 x1 a22 x2 a n xn b2 xn an1 x1 an x2 ann xn bn (1 a11 ) x1  a21 x1 an1 x1 a12 x2 (1 a22 ) x2 a n x2 a1n xn b1 a n xn b2 (1 ann ) xn bn đây, ẩn số x1, x2, …, xn; hệ số aij, bi (i, j = 1, 2, …, n) cho cố định kinh tế giai đoạn định Hệ gọi mơ hình Input-Output hay mơ hình cân đối liên ngành Giải hệ ta tìm tổng cầu x1, x2, …, xn hay đầu ngành kinh tế Điều có ý nghĩa quan trọng việc lập kế hoạch sản xuất, đảm bảo cho kinh tế vận hành bình thường, tránh tình trạng dư thừa mặt hàng hay thiếu hụt mặt hàng Trong ngôn ngữ ma trận, ta xét ma trận  A:= [aij]n ma trận gồm hệ số tỉ phần aij gọi ma trận (hệ số) kỹ thuật hay ma trận (hệ số chi phí) đầu vào kinh tế  B:= [bi]n×1 ma trận (cột) cầu cuối kinh tế  X:= [xi]n×1 ma trận (cột) tổng cầu (đầu ra) kinh tế Lúc này, hệ viết lại dạng ma trận sau: X = AX + B  (I – A)X = B Rõ ràng I – A khả nghịch lời giải hệ cho bới X = (I – A)– 1.B Cịn det(I – A) = hệ vơ nghiệm, vơ số nghiệm Nhận xét Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page 23 PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp a) Trong kinh tế hoạt động bình thường, ma trận hệ số đầu vào A = [aij]n cho ta thông tin sau đây: + Mỗi phần tử aij dòng i tỉ phần giá trị hàng hóa mà ngành i bán cho ngành j làm hàng hóa trung gian để sản xuấ Chẳng hạn aij = 0,2 tức hàng hóa mà ngành i bán cho ngành j làm hàng hóa trung gian chiếm 20% giá trị hàng hóa ngành j (i, j = 1, 2, …, n) + Tổng phần tử cột j tỉ phần chi phí đầu vào mà ngành j phải trả cho việc mua hàng hóa trung gian tính đơn vị giá trị hàng hóa mình, khơng q 1, tức n a i 1 ij ≤ 1; j = 1, 2, , n ? Hãy tự lý giải điều n b) Hiệu a0j: = –  aij ≤ hệ số tỉ phần gia tăng tổng giá trị hàng hóa i 1 ngành j (còn gọi đầu vào đặc biệt ngành j), tức bình quân USD giá trị hàng hóa mà ngành j sản xuất có aoj USD giá trị tăng thêm, cịn n a i 1 ij tổng chi phí đầu vào để có USD giá trị hàng hóa Tính tồn giá trị hàng hóa ngành j, ta có tỉ phần giá trị gia tăng 100aoj%, j = 1, 2, , n Ví dụ Cho ba ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào 0, 0, 0,  A = 0, 0,1 0,     0,1 0, 0,  Biết nhu cầu cuối ngành 10, 5, a) Giải thích ý nghĩa hệ số 0,3 dòng 3, cột ma trận đầu vào b) Tìm hệ số tỉ phần gia tăng a0j ngành (j = 1, 2, 3) Giải thích ý nghĩa hệ số a01 c) Tìm đầu cho ngành Giải a) Để tiện ta giả sử giá trị hàng hóa quy USD Khi đó, hệ số a32 = 0,3 có nghĩa để sản xuất 1USD giá trị hàng hóa ngành cần mua 0,3USD giá trị hàng hóa ngành b) Tổng phần tử cột ma trận A nhỏ Ta có hệ số tỉ phần gia tăng ngành a01 = – (a11 + a21 + a31) = – ( 0,2 + 0,4 + 0,1) = 0,3 a02 = – (a12 + a22 + a32) = – ( 0,3 + 0,1 + 0,3) = 0,3 a03 = – (a13 + a23 + a33) = – ( 0,2 + 0,2 + 0,2) = 0,4 Hệ số a01 = 0,3 có nghĩa tỉ phần giá trị gia tăng tổng giá trị hàng hóa ngành 30% 1  0, 0, 0,   0, 0, 0,  c) Ta có I – A =  0,  0,1 0,  =  0, 0, 0,       0,1 0,  0,   0,1 0, 0,  Hệ Input –Output có dạng ma trận  0, 0, 0,   x1  10  (I – A)X = B   0, 0, 0,   x2     ,       0,1 0, 0,   x3    X ma trận đầu ra, B ma trận nhu cầu cuối Tìm ma trận nghịch đảo ma trận I – A, ta Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page 24 PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Tốn Cao Cấp (I – A) Do –1 0, 66 0, 0, 24  0, 34 0, 62 0, 24 =  0, 384   0, 21 0, 27 0,  0, 66 0, 0, 24  10   28,84   x1   –1   X = x2 = (I – A) B = 0, 34 0, 62 0, 24    =  20, 68        0, 384  x3   0, 21 0, 27 0,    18, 36  Vậy, đầu ngành x1 = 24,84; x2 = 20,68; x3 = 18,36 BÀI TẬP CHƢƠNG I I.1 Tính  4 2 2 7 2     b) 4 a) 5     3  ;  6 3   2 1 I.2 Thực phép toán sau ma trận  4 t 4 2  3   1  ;  2 a)  b) 3     3   4   2 5  t t 7   1       1  4    5 4 3 6          4  I.3 Tính   1  2013 2013  3    ; b)   ; c*) a)  ; e*)  ; d*)  3  1   3   (n  ) 3   n n  1  ; g*)   ;  1 1   I.4 Giải phương trình ma trận 7 1 2 5 X  a) Tìm ma trận X cấp 2×3 cho    3  13 18 17  7 1 -1   b) Tìm ma trận X cấp 2×2 cho X      13 18 17  1  1 a   22 c     c) Tìm số a, b, c, d cho    d 64   b   5  I.5 BĐSC đưa ma trận dạng bậc thang (dịng) tính hạng chúng Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page 25 PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Tốn Cao Cấp  2 a)    8  1 -1 5 13 10 18 b)   3   9 22 14 29 -1 -2 -3  -1 -5  ; 11 18 10   18 29 10 -2  1  15  ; 1   12 26   2  11 c)    9 20 16   11 d)    8 20 18 -3  -5  ;   -4  2  11 15  1   18 26 11 2 I.6 Tìm hạng (theo m có) ma trận Với m hạng lớn nhất? 3 1  2 3 a)  0  3 1  7 d)   3   6 1  ; 5  8 3  ; 1  m 1 2 b)  1   2 1 3 e)  3  2 I.7 Tính định thức sau 2 1 2 a) 3 2 ; b) 3 1 4  ; m  m  3 m  2m m  ; c)   3m m      15 5m  8  m  3  m  2 4 ; c) 3 1 3 4 1 1 2 2n 2n ( < n tự nhiên) e*) n n n n n n 1 ; d) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I.8 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau 1  a) A  2 1 ; 0   1  1 1    b) B   2  ; c) C  1   3  2 2 Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page 26 PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp I.9 Giải hệ phương trình sau  x1  x2  x3  x4   a) 2 x1  x2  x3  x4   x  x  7x  x  2  2 x1  x2  x3   c)  x1  x2  x3  4 x  x  x    x1  x2  x3  x4   b) 2 x1  x2  x3  x4   2x  x  x  5x  3   x1  x2  x3   d) 2 x1  x2  x3   x  x  2x   I.10 Tìm nghiệm tổng quát hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính sau  x1  x2  x3  x4   a) 2 x1  x2  x3  x4  2 x  x  x  x    x1  x2  x3  x4  x5   b) 2 x1  x2  x3  x4  x5   x  x  2x  x  x   I.11 Cho thị trường gồm hai loại hàng hóa Hàm cung, hàm cầu giá chúng thỏa mãn điều kiện sau Qs1  1  p1 , Qs2  3  p2 Qd1  10  p1  p2 , Qd2  15  p1  p2 a) Hãy tìm điểm cân thị trường b) Xác định lượng cung cầu cân loại hàng hóa I.12 Cho thị trường gồm ba loại hàng hóa Biết hàm cung hàm cầu Qs1  15  p1  p2  p3 Qs2  10  p1  12 p2  p3 Qs3  6  p1  p2  10 p3 Qd1  20  p1  p2 Qd2  40  p1  p2  p3  p2  p3 Qd3  30 a) Hãy tìm điểm cân thị trường b) Xác định lượng cung cầu cân loại hàng hóa I.13 Xét mơ hình cân kinh tế vĩ mô với Y  C  Io  Go C  50  0,6( Y  T ) , T  12  0,3Y Io  800 ; Go  55 Hãy xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng mức thuế cân I.14 Xét mơ hình IS-LM với G0  75 ; M0  8160 ; I  50  25r C  40  0,5Y ; L  28Y  400r a) Xác định phương trình IS, LM Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page 27 Bài giảng Tốn Cao Cấp PGS.TS Lê Anh Vũ b) Xác định mức thu nhập lãi suất cân 1.15 Trong mơ hình Input – Output biết ma trận hệ số đầu vào ba ngành 0,2 0,2  A  0,3 0,1 0,3   0,1 0,2 nhu cầu cuối ngành tương ứng 40, 60 80 Hãy xác định đầu ngành I.16 Cho ba ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào 0,4 0,2 0,2  A   0,2 0,3 0,4   0,3 0,1  a) Xác định hệ số tỉ phần gia tăng ngành b) Xác định đầu ngành biết nhu cầu cuối ngành tương ứng 40, 60, 80 1.17 Giả sử kinh tế có ba ngành: nơng nghiệp, cơng nghiệp dịch vụ Biết để sản xuất đơn vị đầu - ngành nông nghiệp cần sử dụng 10% giá trị ngành, 30% giá trị công nghiệp, 30% giá trị dịch vụ; - ngành công nghiệp cần sử dụng 20% giá trị ngành, 60% giá trị nông nghiệp, 10% giá trị dịch vụ; - ngành dịch vụ cần 10% giá trị ngành, 60% giá trị công nghiệp, không sử dụng giá trị nông nghiệp a) Lập ma trận hệ số đầu vào cho kinh tế b) Xác định mức sản xuất đầu ngành để thỏa mãn nhu cầu cuối 10, 8, Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page 28 ... hệ phƣơng trình tuyến tính Page PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Tốn Cao Cấp Định thức cấp a11 a12 a13 Cho A = a21 a22 a23 ma trận vuông cấp Định thức (cấp 3) A a31 a32 a33 a11 a12 a13 số, ký hiệu detA... Om×n hay đơn giản O cấp rõ 0 0  Ví dụ O2×3   ma trận khơng cấp 2×3 0 0  Chƣơng I – Ma trận, Định thức & hệ phƣơng trình tuyến tính Page PGS.TS Lê Anh Vũ Bài giảng Tốn Cao Cấp Chú ý: Để tiện,... Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp Phép chuyển vị ma trận (transpose of a matrix) Cho ma trận A = [aij]m×n Ma trận thu từ A cách viết dòng A thành cột gọi ma trận chuyển vị A kí hiệu At Khi At ma trận cấp