bài tập toán chương 2

Bài tập chương Dạng : Xác định giao tuyến hai mặt phẳng () () Phương pháp :  Tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng () ()  Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến cần tìm Chú ý : Để tìm chung () () thường tìm đường thẳng đồng phẳng nằm hai mp giao điểm có hai đường thẳng điểm chung hai mặt phẳng Bài tập : Trong mặt phẳng (  ) cho tứ giác ABCD có cặp cạnh đối khơng song song điểm a Xác định giao tuyến (SAC ) (SBD) S  ( ) S b Xác định giao tuyến (SAB) (SCD) c Xác định giao tuyến (SAD) (SBC) Giải a Xác định giao tuyến (SAC) (SBD) Ta có : S điểm chung (SAC) (SBD) Trong (), gọi O = AC  BD C  O  AC mà AC  (SAC)  O  (SAC)  O  BD mà BD  (SBD)  O  (SBD) A J  O điểm chung (SAC) (SBD) Vậy : SO giao tuyến (SAC) (SBD) k O b Xác định giao tuyến (SAB) (SCD) B Ta có: S điểm chung (SAC) (SBD) D Trong () , AB không song song với CD Gọi I = AB  CD  I  AB mà AB  (SAB)  I  (SAB) I  I  CD mà CD  (SCD)  I  (SCD)  I điểm chung (SAB) (SCD) Vậy : SI giao tuyến (SAB) (SCD) c Tương tự câu a, b A Cho bốn điểm A,B,C,D không thuộc mặt phẳng Trên đoạn thẳng AB, AC, BD lấy điểm M, N, P cho MN khơng song M song với BC Tìm giao tuyến ( BCD) ( MNP) P D Giải  P  BD mà BD  ( BCD)  P  ( BCD) B  P  ( MNP) N  P điểm chung ( BCD) ( MNP) Trong mp (ABC) , gọi E = MN  BC  E  BC mà BC  ( BCD)  E  ( BCD) C  E  MN mà MN  ( MNP)  E  ( MNP) E  E điểm chung ( BCD) ( MNP) Vậy : PE giao tuyến ( BCD) ( MNP) Cho tam giác ABC điểm S không thuộc mp (ABC ) , điểm I thuộc đoạn SA Một đường thẳng a không song song với AC cắt cạnh AB, BC theo thứ tự J , K Tìm giao tuyến cặp mp sau : a mp ( I,a) mp (SAC ) b mp ( I,a) mp (SAB ) c mp ( I,a) mp (SBC ) Giải a Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SAC ) : S Ta có:  I SA mà SA  (SAC )  I  (SAC )  I( I,a)  I điểm chung hai mp ( I,a) (SAC ) Trong (ABC ), a không song song với AC I L Gọi O = a  AC O  O  AC mà AC  (SAC )  O  (SAC )  O  ( I,a)  O điểm chung hai mp ( I,a) (SAC ) Vậy : IO giao tuyến hai mp ( I,a) (SAC ) B C K b Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SAB) : JI c Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SBC ) Ta có : K điểm chung hai mp ( I,a) mp (SBC ) J Trong mp (SAC) , gọi L = IO  SC  L  SC mà SC  (SBC )  L  (SBC ) A  L  IO mà IO  ( I,a)  L  ( I,a )  L điểm chung hai mp ( I,a) (SBC ) Vậy: KL giao tuyến hai mp ( I,a) (SBC ) Cho bốn điểm A ,B ,C , D không nằm mp a Chứng minh AB CD chéo b Trên đoạn thẳng AB CD lấy điểm M, N cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BD I Hỏi điểm I thuộc mp Xđ giao tuyến hai mp (CMN) ( BCD) Giải A a Chứng minh AB CD chéo : Giả sử AB CD khơng chéo Do có mp () chứa AB CD M  A ,B ,C , D nằm mp () mâu thuẩn giả thuyết Vậy : AB CD chéo N b Điểm I thuộc mp : D I  I  MN mà MN  (ABD )  I  (ABD ) B  I  MN mà MN  (CMN )  I  (CMN )  I  BD mà BD  (BCD )  I  (BCD ) Xđ giao tuyến hai mp (CMN) ( BCD) CI C Cho tam giác ABC nằm mp ( P) a mộtđường thẳng nằm mp ( P) không song song với AB AC S điểm mặt phẳng ( P) A’ điểm thuộc SA Xđ giao tuyến cặp mp sau S a mp (A’,a) (SAB) b mp (A’,a) (SAC) c mp (A’,a) (SBC) A' Giải a Xđ giao tuyến mp (A’,a) (SAB)  A’  SA mà SA  ( SAB)  A’ ( SAB) N  A’  ( A’,a) M A C F  A’ điểm chung ( A’,a) (SAB ) Trong ( P) , ta có a khơng song song với AB Gọi E = a  AB  E  AB mà AB  (SAB )  E  (SAB ) B  E  ( A’,a)  E điểm chung ( A’,a) (SAB ) E Vậy: A’E giao tuyến ( A’,a) (SAB ) a P b Xđ giao tuyến mp (A’,a) (SAC)  A’  SA mà SA  ( SAC)  A’ ( SAC)  A’  ( A’,a)  A’ điểm chung ( A’,a) (SAC ) Trong ( P) , ta có a khơng song song với AC Gọi F = a  AC  F AC mà AC  (SAC )  F  (SAC )  E  ( A’,a)  F điểm chung ( A’,a) (SAC ) Vậy: A’F giao tuyến ( A’,a) (SAC ) c Xđ giao tuyến (A’,a) (SBC) Trong (SAB ) , gọi M = SB  A’E  M  SB mà SB  ( SBC)  M ( SBC)  M  A’E mà A’E  ( A’,a)  M ( A’,a)  M điểm chung mp ( A’,a) (SBC ) Trong (SAC ) , gọi N = SC  A’F  N  SC mà SC  ( SBC)  N ( SBC)  N  A’F mà A’F  ( A’,a)  N ( A’,a)  N điểm chung mp ( A’,a) (SBC ) Vậy: MN giao tuyến ( A’,a) (SBC ) Cho tứ diện ABCD , M điểm bên tam giác ABD , N điểm bên tam giác ACD Tìm giao tuyến cặp mp sau a (AMN) (BCD) b (DMN) (ABC ) Giải a Tìm giao tuyến (AMN) (BCD) Trong (ABD ) , gọi E = AM  BD  E  AM mà AM  ( AMN)  E ( AMN)  E  BD mà BD  ( BCD)  E ( BCD)  E điểm chung mp ( AMN) (BCD ) Trong (ACD ) , gọi F = AN  CD  F  AN mà AN  ( AMN)  F ( AMN)  F  CD mà CD  ( BCD)  F ( BCD)  F điểm chung mp ( AMN) (BCD ) Vậy: EF giao tuyến mp ( AMN) (BCD ) b Tìm giao tuyến (DMN) (ABC) Trong (ABD ) , gọi P = DM  AB  P  DM mà DM  ( DMN)  P (DMN )  P  AB mà AB  ( ABC)  P (ABC)  P điểm chung mp ( DMN) (ABC ) Trong (ACD) , gọi Q = DN  AC  Q  DN mà DN  ( DMN)  Q ( DMN)  Q  AC mà AC  ( ABC)  Q ( ABCA)  Q điểm chung mp ( DMN) (ABC ) Vậy: PQ giao tuyến mp ( DMN) (ABC ) A P M N Q B D E F C a  Dạng : Xác định giao điểm đường thẳng a mặt phẳng () Phương pháp :  Tìm đường thẳng b nằm mặt phẳng () b A  Giao điểm a b giao đt a mặt phẳng () Chú ý : Đường thẳng b thường giao tuyến mp () mp ()  a  Cần chọn mp () chứa đường thẳng a cho giao tuyến mp () mp () dể xác định giao tuyến không song song với đường thẳng a Bài tập : Trong mp () cho tam giác ABC Một điểm S không thuộc () Trên cạnh AB lấy điểm P đoạn thẳng SA, SB ta lấy hai điểm M, N cho MN S khơng song song với AB a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) M b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng () Giải E a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) Cách : Trong (SAB) , gọi E = SP  MN N  E  SP mà SP  (SPC)  E (SPC)  E  MN C A Vậy : E = MN  (SPC ) Cách :  Chọn mp phụ (SAB)  MN  ( SAB)  (SPC ) = SP P  Trong (SAB), gọi E = MN  SP  B D E  MN E  SP mà SP  (SPC) Vậy : E = MN  (SPC ) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mp () Cách 1: Trong (SAB) , MN không song song với AB Gọi D = AB  MN  D  AB mà AB  ()  D ()  D  MN Vậy: D = MN  () Cách :  Chọn mp phụ (SAB)  MN  ( SAB)  () = AB  Trong (SAB) , MN không song song với AB Gọi D = MN  AB D  AB mà AB  ()  D () D  MN Vậy : D = MN  () Cho tứ giác ABCD điểm S không thuộc mp (ABCD ) Trên đoạn SC lấy điểm M không trùng với S C Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM ) Giải  Chọn mp phụ (SBD)  SD  Tìm giao tuyến hai mp ( SBD) (ABM ) A  Ta có B điểm chung ( SBD) (ABM )  Tìm điểm chung thứ hai ( SBD) (ABM ) Trong (ABCD ) , gọi O = AC  BD Trong (SAC ) , gọi K = AM  SO B K SO mà SO  (SBD)  K ( SBD) S N M K D O C K AM mà AM  (ABM )  K ( ABM )  K điểm chung ( SBD) (ABM )  ( SBD)  (ABM ) = BK  Trong (SBD) , gọi N = SD  BK N BK mà BK  (AMB)  N (ABM) N  SD Vậy : N = SD  (ABM) Cho tứ giác ABCD điểm S không thuộc mp (ABCD ) Trên đoạn AB lấy điểm M , Trên đoạn SC lấy điểm N ( M , N không trùng với đầu mút ) a Tìm giao điểm đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) Giải a Tìm giao điểm đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD)  Chọn mp phụ (SAC)  AN  Tìm giao tuyến ( SAC) (SBD) S  Trong (SAC), gọi I = AN  SP I  AN I N I  SP mà SP  (SBD)  I  (SBD) Vậy : I = AN  (SBD) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD)  Chọn mp phụ (SMC)  MN A D  Tìm giao tuyến ( SMC ) (SBD) Trong (ABCD) , gọi Q = MC  BD P  ( SAC)  (SBD) = SQ  Trong (SMC), gọi J = MN  SQ M Q J MN C J  SQ mà SQ  (SBD)  J  (SBD) B Vậy: J = MN  (SBD) Cho mặt phẳng () đường thẳng m cắt mặt phẳng () C Trên m ta lấy hai điểm A, B điểm S không gian Biết giao điểm đường thẳng SA với mặt phẳng () điểm A’ Hãy xác định giao điểm đường thẳng SB mặt phẳng () S m Giải A  Chọn mp phụ (SA’C)  SB B  Tìm giao tuyến ( SA’C ) () Ta có ( SA’C )  () = A’C  Trong (SA’C ), gọi B’ = SB  A’C C B' B’ SB mà SB  (SA’C )  B’  (SA’C) A' B’  A’C mà A’C  ()  B’  ()  Vậy : B’= SB  () Cho bốn điểm A, B , C, S không mặt phẳng Gọi I, H trung điểm SA, AB Trên SC lấy điểm K cho : CK = 3KS S Tìm giao điểm đường thẳng BC với mặt phẳng ( IHK ) K Giải I  Chọn mp phụ (ABC)  BC  Tìm giao tuyến ( ABC ) (IHK) A Trong (SAC) ,có IK không song song với AC E' Gọi E’ = AC  IK H C  ( ABC )  ( IHK) = HE’  Trong (ABC ), gọi E = BC  HE’ E  BC mà BC  ( ABC)  E  ( ABC) E  HE’ mà HE’  ( IHK)  E  ( IHK) Vậy: E = BC  ( IHK) Cho tứ diện SABC Gọi D điểm SA , E điểm SB F điểm AC ( DE B AB không song song ) a Xđ giao tuyến hai mp (DEF) ( ABC ) E b Tìm giao điểm BC với mặt phẳng ( DEF ) c Tìm giao điểm SC với mặt phẳng ( DEF ) Giải K a Xđ giao tuyến hai mp (DEF) ( ABC ) Ta có : F điểm chung hai mặt phẳng (ABC) (DEF) Trong (SAB) , AB không song song với DE S Gọi M = AB  DE  M  AB mà AB  (ABC)  M  (ABC) D  M  DE mà DE  (DEF)  M  (DEF) C  M điểm chung hai mặt phẳng (ABC) (DEF) A Vậy: FM giao tuyến hai mặt phẳng (ABC) (DEF) E F b Tìm giao điểm BC với mặt phẳng ( DEF )  Chọn mp phụ (ABC)  BC B N  Tìm giao tuyến ( ABC ) (DEF) Ta có (ABC)  (DEF) = FM hình  Trong (ABC), gọi N = FM  BC M N BC S N  FM mà FM  (DEF)  N  (DEF) Vậy: N = BC  (DEF) c Tìm giao điểm SC với mặt phẳng ( DEF )  Chọn mp phụ (SBC)  SC D C F  Tìm giao tuyến ( SBC ) (DEF) K Ta có: E điểm chung ( SBC ) (DEF) A N  N  BC mà BC  (SBC)  N  (SBC) E  N  FM mà FM  (DEF)  N  (DEF)  N điểm chung ( SBC ) (DEF) B Ta có (SBC)  (DEF) = EN  Trong (SBC), gọi K = EN  SC M K SC K  EN mà EN  (DEF)  K  (DEF) hình Vậy: K = SC  (DEF) Cho hình chóp S.ABCD Gọi O giao điểm AC BD M, N, P điểm SA, SB ,SD a Tìm giao điểm I SO với mặt phẳng ( MNP ) b Tìm giao điểm Q SC với mặt phẳng ( MNP ) Giải a Tìm giao điểm I SO với mặt phẳng ( MNP )  Chọn mp phụ (SBD)  SO  Tìm giao tuyến ( SBD ) (MNP) Ta có N  MN mà MN  (MNP)  N  (MNP) N  SB mà SB  (SBD)  N  (SBD)  N điểm chung ( SBD ) (MNP) P  MP mà MN  (MNP)  P  (MNP) P  SD mà SD  (SBD)  P  (SBD)  P điểm chung ( SBD ) (MNP) S  (MNP)  (SBD) = NP  Trong (SBD), gọi I = SO  NP I  SO I  NP mà NP  (MNP)  I  (MNP) P M Vậy: I = SO  (MNP) Q b Tìm giao điểm Q SC với mặt phẳng ( MNP ) I  Chọn mp phụ (SAC)  SC D N  Tìm giao tuyến ( SAC ) (MNP) A Ta có M  MN mà MN  (MNP)  M  (MNP) M  SA mà SA  (SAC)  M  (SAC) O  M điểm chung ( SAC ) (MNP) I  MI mà MI  (MNP)  I  (MNP) I  SO mà SO  (SAC)  I  (SAC)  I điểm chung ( SAC ) (MNP) B  ( SAC)  (SBD) = MI  Trong (SAC), gọi Q = SC  MI Q SC Q MI mà MI  (MNP)  Q  (MNP) Vậy: Q = SC  (MNP) Cho tứ diện ABCD Gọi M,N trung điểm AC BC K điểm BD không trùng với trung điểm BD a Tìm giao điểm CD (MNK ) b Tìm giao điểm AD (MNK ) Giải a Tìm giao điểm CD (MNK ) : A  Chọn mp phụ (BCD)  SC J  Tìm giao tuyến ( BCD ) (MNK) Ta có N  (MNK) N  BC mà BC  (BCD)  N  (BCD)  N điểm chung (BCD ) (MNK) M K  (MNK) K  BD mà BD  (BCD)  K  (BCD) K  K điểm chung (BCD ) (MNK) B  (BCD)  (MNK) = NK  Trong (BCD), gọi I = CD  NK N I CD C I NK mà NK  (MNK)  I  (MNK) Vậy: I = CD  (MNK) I b Tìm giao điểm AD (MNK )  Chọn mp phụ (ACD)  AD  Tìm giao tuyến (ACD ) (MNK) Ta có: M  (MNK) M  AC mà AC  (ACD)  M  (ACD) C D  M điểm chung (ACD ) (MNK) I NK mà NK  (MNK)  I  (MNK) I  CD mà CD  (ACD)  I  (ACD)  I điểm chung (ACD ) (MNK)  (ACD)  (MNK) = MI  Trong (BCD), gọi J = AD  MI J AD J MI mà MI  (MNK)  J  (MNK) Vậy: J = AD  (MNK) Cho tứ diện ABCD Gọi M,N hai điểm AC AD O điểm bên tamgiác BCD Tìm giao điểm : a MN (ABO ) A b AO (BMN ) Giải a Tìm giao điểm MN (ABO ): M  Chọn mp phụ (ACD)  MN  Tìm giao tuyến (ACD ) (ABO) Q Ta có : A điểm chung (ACD ) (ABO) Trong (BCD), gọi P = BO  DC I P BO mà BO  (ABO)  P  (ABO) N P CD mà CD  (ACD)  P  (ACD) C B  P điểm chung (ACD ) (ABO)  (ACD)  (ABO) = AP O  Trong (ACD), gọi Q = AP  MN P Q MN Q AP mà AP  (ABO)  Q  (ABO) D Vậy: Q = MN  (ABO) b Tìm giao điểm AO (BMN ) :  Chọn mp (ABP)  AO  Tìm giao tuyến (ABP ) (BMN) Ta có : B điểm chung (ABP ) (BMN) Q  MN mà MN  (BMN)  Q  (BMN) Q  AP mà AP  (ABP)  Q  (ABP)  Q điểm chung (ABP ) (BMN)  (ABP)  (BMN) = BQ  Trong (ABP), gọi I = BQ  AO I AO I BQ mà BQ  (BMN)  I  (BMN) Vậy: I = AO  (BMN) 10 Trong mp () cho hình thang ABCD , đáy lớn AB Gọi I ,J, K điểm SA, AB, BC ( K khơng trung điểm BC) Tìm giao điểm : a IK (SBD) b SD (IJK ) c SC (IJK ) Giải a Tìm giao điểm IK (SBD)  Chọn mp phụ (SAK)  IK  Tìm giao tuyến (SAK ) (SBD) Ta có : S điểm chung (SAK ) (SBD) Trong (ABCD), gọi P = AK  BD P  AK mà AK  (SAK)  P  (SAK) P  BD mà BD  (SBD)  P  (SBD)  P điểm chung (SAK ) (SBD)  (SAK)  (SBD) = SP  Trong (SAK), gọi Q = IK  SP Q  IK Q  SP mà SP  (SBD)  Q  (SBD) I N Vậy: Q = IK  (SBD) b Tìm giao điểm SD (IJK ) :  Chọn mp phụ (SBD)  SD  Tìm giao tuyến (SBD ) (IJK) Q A Ta có : Q điểm chung (IJK ) (SBD) B J Trong (ABCD), gọi M = JK  BD M M  JK mà JK  ( IJK)  M  (IJK) M  BD mà BD  (SBD)  M  (SBD) P K  M điểm chung (IJK ) (SBD) D  (IJK)  (SBD) = QM C  Trong (SBD), gọi N = QM  SD N  SD N  QM mà QM  (IJK)  N  (IJK) Vậy: N = SD  (IJK) c Tìm giao điểm SC (IJK ) :  Chọn mp phụ (SAC)  SC  Tìm giao tuyến (SAC ) (IJK) Ta có : I điểm chung (IJK ) (SAC) Trong (ABCD), gọi E = AC  JK E  JK mà JK  ( IJK)  E  ( IJK) E  AC mà AC  (SAC)  E  (SAC)  E điểm chung (IJK ) (SAC)  ( IJK)  (SAC) = IE  Trong (SAC), gọi F = IE  SC F  SC F  IE mà IE  ( IJK)  F  ( IJK) Vậy : F = SC  ( IJK ) 11.Cho tứ diện ABCD Trên AC AD lấy hai điểm M,N cho MN không song song với CD Gọi O điểm bên tam giác BCD S F a Tìm giao tuyến (OMN ) (BCD ) b Tìm giao điểm BC với (OMN) c Tìm giao điểm BD với (OMN) Giải a Tìm giao tuyến (OMN ) (BCD ): Ta có : O điểm chung (OMN ) (BCD ) Trong (ACD) , MN không song song CD Gọi I = MN  CD  I điểm chung (OMN ) (BCD ) Vậy : OI = (OMN )  (BCD ) b Tìm giao điểm BC với (OMN): Trong (BCD), gọi P = BC  OI Vậy : P = BC  ( OMN ) c Tìm giao điểm BD với (OMN): Trong (BCD), gọi Q = BD  OI Vậy : Q = BD  ( OMN ) A N B Q D O M P C I 12.Cho hình chóp S.ABCD Trong tam giác SBC lấy điểm M tam giác SCD lấy điểm N a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) Giải a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) : S  Chọn mp phụ (SMN)  MN  Tìm giao tuyến (SAC ) (SMN) Ta có : S điểm chung (SAC ) (SMN) N Trong (SBC), gọi M’ = SM  BC Trong (SCD), gọi N’ = SN  CD E Trong (ABCD), gọi I = M’N’  AC O I  M’N’ mà M’N’  (SMN)  I  ( SMN) I  AC mà AC  (SAC)  I  (SAC)  I điểm chung (SMN ) (SAC) A  ( SMN)  (SAC) = SI M N'  Trong (SMN), gọi O = MN  SI O  MN I B O  SI mà SI  ( SAC)  O  ( SAC) C M' Vậy : O = MN  ( SAC ) b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) :  Chọn mp phụ (SAC)  SC  Tìm giao tuyến (SAC ) (AMN) Ta có : ( SAC)  (AMN) = AO  Trong (SAC), gọi E = AO  SC E  SC E  AO mà AO  ( AMN)  E  ( AMN) Vậy : E = SC  ( AMN ) D Dạng : Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp :  Chứng minh ba điểm thuộc hai mp phân biệt  Khi ba điểm thuộc đường thẳng giao tuyến hai mp Bài tập : Cho hình bình hành ABCD S điểm khơng thuộc (ABCD) ,M N trung điểm S đoạn AB SC a Xác định giao điểm I = AN  (SBD) b Xác định giao điểm J = MN  (SBD) N c Chứng minh I , J , B thẳng hàng Giải I a Xác định giao điểm I = AN  (SBD ) D C  Chọn mp phụ (SAC)  AN J  Tìm giao tuyến (SAC ) (SBD)  ( SAC)  (SBD) = SO O A E  Trong (SAC), gọi I = AN  SO M B I  AN I  SO mà SO  ( SBD)  I  ( SBD) Vậy: I = AN  ( SBD) b Xác định giao điểm J = MN  (SBD) S  Chọn mp phụ (SMC)  MN  Tìm giao tuyến (SMC ) (SBD) S điểm chung (SMC ) (SBD) Trong (ABCD) , gọi E = MC  BD  ( SAC)  (SBD) = SE I N  Trong (SMC), gọi J = MN  SE J D A J MN J SE mà SE  ( SBD)  J  ( SBD) M Vậy J = MN  ( SBD) O c Chứng minh I , J , B thẳng hàng B E Ta có : B điểm chung (ANB) ( SBD) C  I  SO mà SO  ( SBD)  I  ( SBD)  I  AN mà AN  (ANB)  I  (ANB)  I điểm chung (ANB) ( SBD)  J  SE mà SE  ( SBD)  J ( SBD)  J  MN mà MN  (ANB)  J  (ANB)  J điểm chung (ANB) ( SBD) Vậy : B , I , J thẳng hàng Cho tứ giác ABCD S  (ABCD) Gọi I , J hai điểm AD SB , AD cắt BC O OJ cắt SC M a Tìm giao điểm K = IJ  (SAC) b Xác định giao điểm L = DJ  (SAC) c Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng S J Giải a Tìm giao điểm K = IJ  (SAC)  Chọn mp phụ (SIB)  IJ  Tìm giao tuyến (SIB ) (SAC) S điểm chung (SIB ) (SAC) Trong (ABCD) , gọi E = AC  BI  (SIB)  ( SAC) = SE L K M B A I E C F D O  Trong (SIB), gọi K = IJ  SE K IJ K SE mà SE  (SAC )  K  (SAC) Vậy: K = IJ  ( SAC) b Xác định giao điểm L = DJ  (SAC)  Chọn mp phụ (SBD)  DJ  Tìm giao tuyến (SBD ) (SAC) S điểm chung (SBD ) (SAC) Trong (ABCD) , gọi F = AC  BD  (SBD)  ( SAC) = SF  Trong (SBD), gọi L = DJ  SF L DJ L SF mà SF  (SAC )  L  (SAC) Vậy : L = DJ  ( SAC) c Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng Ta có :A điểm chung (SAC) ( AJO)  K  IJ mà IJ  (AJO)  K (AJO)  K  SE mà SE  (SAC )  K  (SAC )  K điểm chung (SAC) ( AJO)  L  DJ mà DJ  (AJO)  L  (AJO)  L  SF mà SF  (SAC )  L  (SAC )  L điểm chung (SAC) ( AJO)  M  JO mà JO  (AJO)  M  (AJO)  M  SC mà SC  (SAC )  M  (SAC )  M điểm chung (SAC) ( AJO) Vậy : A ,K ,L ,M thẳng hàng Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N điểm cạnh SA, SB AC cho LM không song song với AB, LN không song song với SC S a Tìm giao tuyến mp (LMN) (ABC) b Tìm giao điểm I = BC  ( LMN) J = SC  ( LMN) c Chứng minh M , I , J thẳng hàng Giải L C a Tìm giao tuyến mp (LMN) (ABC) N Ta có : N điểm chung (LMN) (ABC) Trong (SAB) , LM không song song với AB Gọi K = AB  LM A I M B K J K  LM mà LM  (LMN )  K  (LMN ) K  AB mà AB  ( ABC)  K  ( ABC) b Tìm giao điểm I = BC  ( LMN)  Chọn mp phụ (ABC)  BC  Tìm giao tuyến (ABC ) (LMN)  (ABC)  ( LMN) = NK  Trong (ABC), gọi I = NK  BC I BC I NK mà NK  (LMN )  I  (LMN) Vậy : I = BC  ( LMN) Tìm giao điểm J = SC  ( LMN)  Trong (SAC), LN không song song với SC gọi J = LN  SC J SC J LN mà LN  (LMN )  J  (LMN) Vậy : J = SC  ( LMN) c Chứng minh M , I , J thẳng hàng Ta có : M , I , J điểm chung (LMN) ( SBC) Vậy : M , I , J thẳng hàng Cho tứ giác ABCD S  (ABCD) Gọi M , N hai điểm BC SD a Tìm giao điểm I = BN  ( SAC) S b Tìm giao điểm J = MN  ( SAC) c Chứng minh C , I , J thẳng hàng Giải N a Tìm giao điểm I = BN  ( SAC)  Chọn mp phụ (SBD)  BN I  Tìm giao tuyến (SBD ) (SAC) Trong (ABCD), gọi O = AC  BD J  (SBD)  ( SAC) = SO A  Trong (SBD), gọi I = BN  SO I BN I SO mà SO  (SAC )  I  (SAC) O Vậy : I = BN  ( SAC) K B b Tìm giao điểm J = MN  ( SAC) : M  Chọn mp phụ (SMD)  MN  Tìm giao tuyến (SMD ) (SAC) Trong (ABCD), gọi K = AC  DM  (SMD)  ( SAC) = SK  Trong (SMD), gọi J = MN  SK J  MN J  SK mà SK  (SAC )  J  (SAC) Vậy : J = MN  ( SAC) c Chứng minh C , I , J thẳng hàng : D C Ta có : C , I , J điểm chung (BCN ) (SAC) Vậy : C , I , J thẳng hàng Dạng : Tìm thiết diện hình chóp mặt phẳng ( ) : Chú ý : Mặt phẳng ( ) cắt số mặt hình chóp Cách : Xác định thiết diện cách kéo dài giao tuyến Bài tập : Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N , I ba điểm lấy AD , CD , SO Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNI) Giải Trong (ABCD), gọi J = BD  MN K = MN  AB H = MN  BC Trong (SBD), gọi Q = IJ  SB Trong (SAB), gọi R = KQ  SA Trong (SBC), gọi P = QH  SC K Vậy : thiết diện ngũ giác MNPQR Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N , P trung điểm lấy AB , AD SC Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) Giải Trong (ABCD) , gọi E = MN  DC F F = MN  BC Trong (SCD) , gọi Q = EP  SD Trong (SBC) , gọi R = FP  SB Vậy : thiết diện ngũ giác MNPQR S Q P I H C B R N O J D M A S P R C B Q M D A N E thẳng CD Cho tứ diện ABCD Gọi H,K trung điểm cạnh AB, BC Trên đường lấy điểm M cho KM khơng song song với BD Tìm thiết diện tứ diện với mp (HKM ) Xét trường hợp : a M C D b M đoạn CD Giải a M C D : Ta có : HK , KM đoạn giao tuyến (HKM) với (ABC) (BCD) Trong (BCD), gọi L = KM  BD Trong (ABD), gọi N = AD  HL Vậy : thiết diện tứ giác HKMN A A M H H N L D L B B M K K C C D b M đoạn CD: Trong (BCD), gọi L = KM  BD Vậy : thiết diện tam giác HKL Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N trung điểm lấy AD DC Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNE) Giải Trong (SCD), gọi Q = EN  SC Trong (SAD), gọi P = EM  SA P Trong (ABCD), gọi F = MN  BC Trong (SBC), gọi R = FQ  SB Vậy : thiết diện ngũ giác MNQRP A S R Q F B C N M D E Cách :Xác định thiết diện cách vẽ giao tuyến phụ : Bài tập : Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N trung điểm SB SC Giả sử AD BC không song song a Xác định giao tuyến (SAD) ( SBC) S b Xác định thiết diện mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD Giải M a Xác định giao tuyến (SAD) ( SBC) : Trong (ABCD) , gọi I = AD  BC N B A Vậy : SI = (SAD)  ( SBC) J K b Xác định thiết diện mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD Trong (SBC) , gọi J = MN  SI D Trong (SAD) , gọi K = SD  AJ C Vậy : thiết diện tứ giác AMNK Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SBC lấy điểm M tam giác SCD lấy điểm N S I a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC) b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) N c Tìm thiết diện mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD Giải E D a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC): O  Chọn mp phụ (SMN)  MN  Tìm giao tuyến (SAC ) (SMN) A Ta có : S điểm chung (SAC ) (SMN) M N' B I M' C Trong (SBC), gọi M’ = SM  BC Trong (SCD), gọi N’ = SN  CD Trong (ABCD), gọi I = M’N’  AC I  M’N’ mà M’N’  (SMN)  I  ( SMN) I  AC mà AC  (SAC)  I  (SAC)  I điểm chung (SMN ) (SAC)  ( SMN)  (SAC) = SI  Trong (SMN), gọi O = MN  SI O  MN O  SI mà SI  ( SAC)  O  ( SAC) Vậy : O = MN  ( SAC ) b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) :  Chọn mp phụ (SAC)  SC  Tìm giao tuyến (SAC ) (AMN) Ta có : ( SAC)  (AMN) = AO  Trong (SAC), gọi E = AO  SC E  SC E  AO mà AO  ( AMN)  E  ( AMN) Vậy : E = SC  ( AMN ) c Tìm thiết diện mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD: Trong (SBC), gọi P = EM  SB Trong (SCD), gọi Q = EN  SD Vậy : thiết diện tứ giác APEQ Cho hình chóp S.ABCD Gọi A’, B’ , C’ ba điểm A lấy cạnh SA, SB, SC Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (A’B’C’) Giải P Trong (ABCD), gọi O = AC  BD Trong (SAC), gọi O’ = A’C’  SO B Trong (SBD), gọi D’ = B’O’  SD Có hai trường hợp :  Nếu D’ thuộc cạnh SD thiết diện tứ giác A’B’C’D’  Nếu D’ thuộc khơng cạnh SD Gọi E = CD  C’D’ F = AD  A’D’ S  thiết diện tứ giác A’B’C’EF S Q N O E D M N' I C M' S A' B' D' A O' O' B' A C' O B A' D B O F C' E C D C D'