Toán cao cấp 3 do sinh viên ĐH SPKT TPHCM viết

1 TÊN SẢN PHẨM : TOÁN CAO CẤP DÀNH CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC TÁC GIẢ : TRẦN VĂN NAM SDT : 0933040591 TÊM ĐƠN VỊ : THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH GIỚI THIỆU VỀ SẢN PHẦM : Giải pháp giúp sinh viên có phương pháp học đơn giản hiệu , việc học tìm hiểu kiến thức trở nên nhẹ nhàng hơn, vấn đề hiểu rõ ràng không đánh đố , gây khó khăn cho người học, tốc độ học nhanh 15 phút vào thẳng vấn đề giải đề thi, không lan man, không lằng nhằng gây khó hiểu Chi tiết sản phẩm : 1/TÍCH PHÂN HAI LỚP, BỘI 2, KÉP 2/Tích phân mặt loại 3/Tích phân đường loại dang green 4/Tich phan boi 3, lop 5/Tích phân mặt loại 6/phuong trinh vi phân 11 BookBoss 0933040591 BookBoss : 0933040591 Lý thuyết : Tính tích phân kép (hai lớp, bội 2) tính thể tích V   Zdxdy   D D  xconst y ham or const f ( x ; y )dy   dx   xconst y ham or const f ( x ; y )dxdy   y const xham or const  dy  f ( x ; y )dx    y const xham or const Khi hàm Z =1 tích diện tích S= 1dxdy quy ước D Kiến thức cần nhớ! : Vẽ Tất đồ thị học y  x  y  2x   y  3x  + đường thẳng : y  ax  b, a x  by  C    y  3x   x  y   y   x x  y   y   x  BookBoss : 0933040591 const : đường thẳng  x   y y  x2     x   y  x   1 y  y   x2    x    y   x   y 1   y  ax  bx  c  y  x  2x  y   x  2x   y   (x  1)      x   y   x  ay  by  c   y   x x  y     y   x   y   x  x   y     y    x   y  2x  Tính chất tích phân kép : a) Nếu f ( x ; y) hàm lẻ x ; nghĩa : f ( x ; y )   f ( x ; y ) miền D có trục đối xứng qua oy f ( x ;  y)   f ( x ; y) miền D có trục đối xứng qua ox D f ( x ; y)dxdy  b) Nếu f ( x ; y) hàm lẻ y ; nghĩa : D f ( x ; y)dxdy  c) Nếu f ( x ; y) hàm lẻ x ;nghĩa : f ( x ; y )  f ( x ; y ) miền D có trục đối xứng qua oy f ( x ; y)dxdy Với D’ phần D mà x  D f ( x ; y)dxdy   D' Công thức đổi biến sang tọa độ cực : Đặt I x  r cos   y  r sin   x  y2  r J  r f (x; y)dxdy  D(X;Y)  (rcos ;rsin ) J drd D(X;Y) Dạng : Parabol, đường thẳng : BookBoss : 0933040591    D x,y  D / ,r    r  D(X;Y) (rcos ;rsin )r drd Bài :10/08/2015 x  0,y  Vẽ miền D :  tính tích phân kép hàm số f ( x ; y)  x  y miền D x  y   Giải Vẽ hình Cố định x, tính tích phân theo y 1 x  y2  x  I   dx  (2 x  y )dy    xy   dx  0 0  (1  x)     x.(1  x)   dx  0  1 Cố định y, tính tích phân theo x 1 y  1 y  I   dy  (2 x  y )dx    x  xy  dy 0 0  1    (1  y )2  (1  y ) y  dy  BookBoss : 0933040591 Bài 2: 30/12/2008 Đổi thứ tự lấy tích phân sau: I =  dx 2 2 x  f ( x ; y)dy x Giải 2 x 2 x I =  dx    x2  f ( x ; y)dy    y  dx     x  x  dx  x 2  2  y I =D1 +D2 =  dy 2   2 y 1dx   dy 2 y  1dx  2 y 2  y  2 y   dy =  x  dy +   x      2 y 2    2 y 1   =  y   y dy +  2 =    y   y dy 19  1,333333333 BookBoss : 0933040591  4,5 Bài : Tính I   D Y   xy dxdy D giao đường Y  X X  Y   Giải y   Phải vẽ đường  y  x để tìm miền D  y   x  Vẽ hình Cố định y, tính tích phân theo x   x y  y (2  y)2 y  I   dy  xydx      dy      2 y 0 0 y   2y 1  y  y  dy  2     (2  y)2 y y  0    dy  24 Cố định x, tính tích phân theo y x2 2 x 0 I   dx  xydy   dx    x2    x  0    y x2   y2  x  xydy    x dx    x  dx   0    2 2   4x  x2  dx   x   x   dx  x dx   x      1 1   x  x  x3  x  dx   dx      2 1     12 24 24  BookBoss : 0933040591    dx   Bài 4:Tính tích phân I =  xydxdy ,nếu D giới hạn đường cong y  x  4, y2  2x D Giải   y2    y  4 y4   y 4  4  ( y  4) y y  x y  ( y  4)2 y      I =  xydxdy =  dy  xy dx   dy       dy  90  dy     y  2  D 2 2  2 2   y2         I =D1 +D =  dx 2x   2x xydy   dx 2x  xydy x4  xy  xy 2 x  2x   dx +   =   dx    2 x   2x  2   2 2  2 x 8 x 2x x  2x  2x x x     dx +   dx =         2 2 0 2      2 8 x.2 x x  x     x.2 x x.2 x  I =     dx   90  dx +    2  2 0 2     BookBoss : 0933040591    Bài : Tính diện tích giới hạn y  x  y  x Giải Vẽ hình Cố định x, tính tích phân theo y  x  I  2 dx  1dy  2  y  dx  2 x  x  dx  27  x  6 0 x 6 x   Cố định y, tính tích phân theo x y 6 I   dy  6 1dx  2 dy y 6  1dx   y  dy  2 6 y   y   y dy  27 Bài 6: Đổi thứ tự lấy tích phân sau: I =  dy y2  y  f ( x ; y )dx Giải Cố định y : y2  y 0 I =  dy  y2  y 0 f ( x ; y)dx   dy   y2  y  1dx    x dy    y  y  dy     0  Cố định x :    1   I =  dx  1dy =   y dx =   x    dx = 0,833333333334 1    x  0 0 1    x   2 BookBoss : 0933040591 y2  y  x 1  y2  y   x  4 1   y  2   x 1 1   x  y    x 4  y x2 2 x2 2 x  Bài Đổi thứ tự tính tích phân sau : I =  dx  f ( x ; y )dy Giải x2 2 x2 2 x I =  dx  x2     y  dx   x   ( x  x  2) dx   x  2x   0   f ( x ; y ) dy    Cố định y, tính tích phân theo x 1 y 1 1 y 1 I   dy  1 y 1 y 2 1dx   dy   2  5 1dx   1  y    y   dy   1  y   y   dy 1 2 1 2 2 16 x x x Bài Đổi thứ tự tính tích phân sau : I =  dx  f ( x ; y )dy Giải I =  dx 16 x  x x2  16  x    f ( x ; y ) dy    y dx     0 8x  x    Cố định y, tính tích phân theo x 4 16 y 12 I  dy  16 y 1dx   dy 12 BookBoss : 0933040591   1 y  1dx    x  xy  dy  2,7934 0   16  x  x  x dx  2,7394 x2 Bài 9: Đổi thứ tự lấy tích phân : I =  dx  f ( x ; y)dy   dx 0 3 x  f ( x ; y)dy Giải I   dy 3 y  1dx  1,333 y Bài 10: Đổi thứ tự tính tích phân sau: I   dy 4 y  4 y f ( x ; y )dx   dy 4 y 0 f ( x ; y )dx Giải Bài 11 : 05/06/2015 2 2 y y Cho I =  dy  f ( x ; y ) dx   dy  f ( x ; y ) dx Vẽ miền lấy đổi thứ tự tích phân Giải Bài 12: Giả sử mật độ dân số (đơn vị : ngàn người/ km ) thành phố cho hàm số p(x,y)  5000e (trong x,y có đơn vị km) Hãy ước lượng dân số vòng bán kính 1km xunh quanh tòa nhà thị (được đặt gốc tọa độ)  x2  y2 Giải BookBoss : 0933040591  nghiệm tổng quát phương trình : y(x)  yo (x)  y r (x)  C1Cos x+C 2Sin x  e x  2x     Bài : y'' 4y' 4y  e x  x (*) Giải Giải PT : y'' 4y' 4y  Phương trình đặc trưng : K  4K    K  2  yo (x)  C1 e 2.x  C x.e 2.x   C1,C  R   Vế phải e x  có   nghiệm pt đặc trưng x  yr  x   Qn  x .e x   A x  Bx  C .e1.x  ex  A x  Bx  C  (1) Tính đạo hàm cấp nè  y'r  x   ex  A x  Bx  C   ex  2A x  B BookBoss : 0933040591 (2) Tính đạo hàm cấp nè  y''r  x   e x  A x  Bx  C   e x  2A x  B   e x  2A x  B   e x 2A  e x  A x  Bx  C   2e x  2A x  B   e x 2A Thế (1), (2), (3) vào (3) (*) ta có : y'' 4y' 4y  e x  x  1 (*)  e x  A x  Bx  C   2e x  2A x  B   e x 2A  e x  A x  Bx  C   e x  2A x  B    4.e x  A x  Bx  C   e x  x  1  e x  A x  Bx  C   2e x  2A x  B   e x 2A  e x  x  1   A x  Bx  C    2A x  B   2A  x   A x  Bx  C  4A x  2B  2A  x   A x   B  4A  x  2B  2A  C  x  A  A     B  4A   B   y r  x   e x  A x  Bx  C   e x  x  4x   2B  2A  C  C     nghiệm tổng quát phương trình : y(x)  C1 e2.x  C2 x.e 2.x  e x  x  4x   Bài : y'' 3y' 10y  e Giải BookBoss : 0933040591 2x  x (*) 24/12/2010 Giải PT : y'' 3y' 10y  K  K  5 Phương trình đặc trưng : K  3K  10     yo (x)  C1 e2.x  C2 e5.x Bài có hai nghiệm riêng thấy có dấu cộng Thứ ta tìm nghiệm riêng PT : y'' 3y' 10y  e Vế phải pt (** ) 2x (** ) e2x có   nghiệm pt đặc trưng  yr1  x   xQn  x .e x  x Ae2x (1) Tính đạo hàm cấp  y'r  x   Ae2x  2x Ae2x (2) Tính đạo hàm cấp  y''r1  x   2Ae2x  2Ae2x  4x Ae2x  4Ae 2x  4x Ae 2x (3) Thế (1), (2), (3) vào (** ) ta có : y'' 3y' 10y  e 2x (** )  4A e2x  4x A e 2x  3.(A e 2x  2x A e 2x )  10.x A e 2x  e 2x  A e2x  e2x  7A 1 A  y r1  x   x A e 2x  x e 2x BookBoss : 0933040591 Thứ hai ta tìm nghiệm riêng PT : Vế phải pt y'' 3y' 10y  x (** *) (** *) x có   nghiệm pt đặc trưng  y r  x   Qn  x  e x   A x  B  e0 x  A x  B (4) Tính đạo hàm cấp nè  y 'r  x   A (5) Tính đạo hàm cấp nè  y''r  x   (6) Thế (4), (5), (6) vào (** *) ta có : y'' 3y' 10y  x (** *)   3.A  10.(A x  B)  x  3A  10Ax  10B  x 1  A   10A  1 13 10     yr2  x   A x  B  x  10 100 3A  10B  B  13  100 Bây cộng hai nghiệm riêng lại ta nghiệm riêng tổng : 1 13  y r  x   y r1  x   y r  x   x e 2x  x  10 100  nghiệm tổng quát phương trình : 1 13 y(x)  C1 e 2.x  C2 e 5.x  x e 2x  x  10 100 BookBoss : 0933040591 Bài 10 : y'' y  xe  2e x x (*) Giải Giải PT : y'' y  K  K  1 Phương trình đặc trưng : K      yo (x)  C1 e1.x  C2 e 1.x  C1 ,C2  R  Bài có hai nghiệm riêng thấy có dấu cộng Thứ ta tìm nghiệm riêng PT : y''  y  xe (** ) x Vế phải pt (** ) xex có   nghiệm đơn pt đặc trưng  yr1  x   x.Qn  x .e x  x. A x  B.e x  e x  A x  Bx  (1) Tính đạo hàm cấp nè  y'r  x   e x (A x  Bx)  e x (2A x  B) (2) Tính đạo hàm cấp nè  y''r1  x   e x (A x  Bx)  e x (2A x  B)  e x (2A x  B)  e x 2A  y''r1  x   e x (A x  Bx)  2e x (2A x  B)  e x 2A (3) Thế (1), (2), (3) vào (** ) ta có : BookBoss : 0933040591 y''  y  xe x (** )  e x (A x  Bx)  2e x (2A x  B)  e x 2A  e x  A x  Bx   xe x  2e x (2A x  B)  e x 2A  xe x  2.(2A x  B)  2A  x  4A x  2B  2A  x  A  4A    y x  e x A x  Bx  e x  x  x       4  r1   2B  2A  B    Thứ hai ta tìm nghiệm riêng PT : y'' y  2e x (** *) (** *) 2e x có   1 nghiệm pt đặc trưng  yr2  x   x.Qn  x .e x  x.A.e x  A xe x (4) Vế phải pt Tính đạo hàm cấp nè  y'r  x   Ae x  A xe x  (5) Tính đạo hàm cấp nè  y''r  x    A e  x   A e  x  A xe  x  y''r  x    A e  x  A e  x  A xe  x  y''r  x   2A e  x  A xe  x Thế (4), (5), (6) vào (** *) ta có : BookBoss : 0933040591  y'' y  2e  x  2A e  x  A xe  x  A xe  x  2e  x   2A e  x  2e  x  2A   A  1  y r  x   A xe  x   xe  x Bây cộng hai nghiệm riêng lại ta nghiệm riêng tổng :  1  yr  x   yr1  x   yr2  x   e x  x  x   xe  x  4  nghiệm tổng quát phương trình :  1 y(x)  C1 e1.x  C2 e1.x  e x  x  x   xe  x  4 Bài 11 : y'' 4y' 8y  e 2x  sin 2x (*) Giải Giải PT : y'' 4y' 8y  Phương trình đặc trưng : K  4K    K   2i  a  2;b    yo (x)  ea.x  C1Cos bx+C 2Sin bx   e 2x  C1Cos 2x+C 2Sin 2x   C1,C  R  Bài có hai nghiệm riêng thấy có dấu cộng có e mũ anpha Thứ ta tìm nghiệm riêng PT : y'' 4y' 8y  e BookBoss : 0933040591 2x (** ) Vế phải pt (** ) e2x có   nghiệm pt đặc trưng  yr1  x   Qn  x .e x  Ae2x (1) Tính đạo hàm cấp nè  y'r  x   2Ae2x (2) Tính đạo hàm cấp nè  y''r1  x   4Ae2x (3) Thế (1), (2), (3) vào (** ) ta có : y'' 4y' 8y  e 2x (** )  4A e 2x  4.2A e 2x  8A e 2x  e 2x  4A e 2x  e 2x  4A  1 A  y r1  x   A e 2x  e 2x Thứ hai ta tìm nghiệm riêng PT : Vế phải pt đặc trưng y'' 4y' 8y  sin 2x (** *) (** *) sin 2x có   0;     i  2i nghiệm pt  y r  x    A cos x  Bsinx .e x  ex  A cos x  Bsinx   y r  x   e0x  A cos 2x  Bsin2x   A cos 2x  Bsin2x (4) BookBoss : 0933040591 Tính đạo hàm cấp nè  y'r  x   2Asin2x  2Bcos 2x (5) Tính đạo hàm cấp nè  y''r  x   4A cos 2x  4Bsin 2x Thế (4), (5), (6) vào (6) (** *) ta có : y'' 4y' 8y  sin 2x (** *)  4A cos 2x  4Bsin 2x   2Asin2x  2Bcos 2x    A cos 2x  Bs in2x   sin 2x   4A cos 2x  4Bsin 2x  8Asin2x  8Bcos 2x  8A cos 2x  8Bsin2x  sin 2x  4A cos 2x  8A cos 2x  8Bcos 2x  4Bsin 2x  8Asin2x  8Bsin2x  sin 2x  4A cos 2x  8B cos 2x  4Bsin 2x  8Asin2x  sin 2x   4A  8B  cos 2x   4B 8A  sin 2x  sin 2x  A   4A  8B  1 10     y r  x   A cos 2x  Bsin2x  cos 2x  sin2x 10 20 4B 8A  B   20 Bây cộng hai nghiệm riêng lại ta nghiệm riêng tổng : 1  y r  x   y r1  x   y r  x   e 2x  cos 2x  sin2x 10 20  nghiệm tổng quát phương trình : 1 y(x)  e 2.x  C1Cos 2x+C2Sin 2x   e 2x  cos 2x  sin2x 10 20 Bài 12 : y'' y' 2y  cosx  3sin x (*) Giải Giải PT : y  y  2y '' BookBoss : 0933040591 ' K  K  2 Phương trình đặc trưng : K  K      yo (x)  C1 e1.x  C2 e 2.x  C1 ,C2  R  Thứ ta tìm nghiệm riêng PT : y  y  2y  cos x (** ) '' ' Vì   0,       i không nghiệm phương trình đặc trưng  yr1  x   ex  Acos x  Bsinx   e0x  Acos1x  Bsin1x   Acos x  Bsinx (1) Tính đạo hàm cấp nè  y'r  x    Asinx  Bcos x (2) Tính đạo hàm cấp nè  y' 'r1  x    A cos x  Bsin x Thế (1), (2), (3) vào (** ) ta có : y''  y'  2y  cos x (** )   A cos x  Bsin x  Asinx  Bcos x   A cos x  Bsinx   cos x   A cos x  Bsin x  Asinx  Bcos x  2A cos x  2Bsinx  cos x   A cos x  Bcos x  2A cos x  Bsin x  Asinx  2Bsinx  cos x    A  B 2A  cos x   B A +2B  sin x  cos x  A     A  B 2A  B 3A  10      B A +2B     3B A   B   10  y r1  x   A cos x  Bsinx   cos x  sinx 10 10 BookBoss : 0933040591 Thứ hai ta tìm nghiệm riêng PT : y'' y' 2y  3sin x (** *) Vì   0,       i không nghiệm phương trình đặc trưng  yr2  x   ex  Acos x  Bsinx   e0x  Acos1x  Bsin1x   Acos x  Bsinx (1) Tính đạo hàm cấp nè  y'r  x    Asinx  Bcos x (2) Tính đạo hàm cấp nè  y' 'r  x    A cos x  Bsin x Thế (1), (2), (3) vào (** *) ta có : y'' y' 2y  3sin x (***)   A cos x  Bsin x  Asinx  Bcos x  2. A cos x  Bsinx   3sin x   A cos x  Bsin x  Asinx  Bcos x  2A cos x  2Bsinx  3sin x   A cos x  Bcos x  2A cos x  Bsin x  Asinx  2Bsinx  3sin x    A  B 2A  cos x   B A +2B  sin x  3sin x  A    A  B 2A  B 3A  10      B A +2B   3   3B A   3 B   10  y r  x   A cos x  Bsinx  cos x  sinx 10 10 Bây cộng hai nghiệm riêng lại ta nghiệm riêng tổng :  y r  x   y r1  x   y r  x    3 cos x  sinx  cos x  sinx = sinx 10 10 10 10  nghiệm tổng quát phương trình : y(x)  C1 e1.x  C2 e2.x  sinx BookBoss : 0933040591 Phương trình vi phân tuyến tính cấp (hay thi) Dạng : 1.y'' P y' q.y  f  x  Nghiệm tổng quát phương trình : y  yo (x)  yr (x) Cách giải :  BƯỚC : tìm y o (x) Giải PT : y'' P y' q.y  Phương trình đặc trưng : K2  P.K  q  K1  ?  yo (x)  C1 e K1x  C2 e K x K  ? TH1:Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt   TH2:Phương trình đặc trưng có nghiệm kép  k  ?  yo (x)  C1 eK x  C2 x.eK x TH3:Phương trình đặc trưng có nghiệm phức  k  a  bi  yo (x)  e  C1Cos bx+C2Sin bx  ax  BƯỚC : tìm y r (x) BookBoss : 0933040591 Nhìn xem vế phải thấy có dạng : so sánh  Q n  x  e x    Qn  x  đa thức bậc n với nghiệm pt đặc trưng : Là nghiệm đơn phương trình đặc trưng vế phải nhân với x  y r (x)  x.Q n  x  e x Là nghiệm kép phương trình đặc trưng vế phải nhân với x  y r (x)  x Q n  x  e x KO phải Là nghiệm phương trình đặc trưng vế phải không nhân  y r (x)  Q n  x  e x Tính đạo hàm cấp theo y r (x) Tính đạo hàm cấp theo y r (x) Nhìn xem vế phải thấy có dạng : so sánh Q n  x  e x sin x,cos x    ,     i với nghiệm pt đặc trưng : ax TH3:Phương trình đặc trưng có nghiệm phức  K  a  bi  yo (x)  e  C1Cos bx+C 2Sin bx  Chỉ có TH : Là nghiệm đơn phương trình đặc trưng vế phải nhân với x  y r (x)  x.Q n  x  e x  x. A cos x  Bsinx .e  x KO phải Là nghiệm phương trình đặc trưng vế phải giữ nguyên  y r (x)  Q n  x  e x   A cos x  Bsinx .e  x Bài 13 : y'' 2y' 5y  e cos2x (*) 03/06/2015 x Giải Giải PT : y'' 2y' 5y  Phương trình đặc trưng : K  2K    K  a  bi   2i  yo (x)  e1.x  C1Cos 2x+C 2Sin 2x   C1 ,C  R  Vế phải ex cos2x có   1;     i   2i nghiệm đơncủa pt đặc trưng BookBoss : 0933040591  yr  x   Xex  Acos x  Bsinx   Xe1x  Acos 2x  Bsin2x   Xex  Acos 2x  Bsin2x   Xe x Acos 2x  Xe x Bsin2x (1) Tính đạo hàm cấp nè  y'r  x   e x A cos 2x  Xe x A cos 2x  2Xe x Asin 2x  e x Bsin2x+Xe x Bsin2x  2Xe x Bcos2x (2)  Xe x cos 2x. A  2B  +Xe x sin2x. B 2A   e x A cos 2x  e x Bsin2x Tính đạo hàm cấp nè  y''r  x   Xe x cos 2x. A  2B  +Xe x sin2x  B 2A   e x A cos 2x  e x Bsin2x   e x A cos 2x  e x Bsin2x x x x   e cos 2x. A  2B   e cos 2x. A  2B    A  2B  Xe sin 2x  x x x   +e sin2x. B 2A  +Xe sin2x. B 2A  +2  B 2A  Xe cos2x   e x  4Asin 2x  4XA cos 2x  Bsin2x+2X Bcos 2x+2Bcos 2x  4X Bsin 2x  Thế (1), (2), (3) vào (*) Bài 10/7/2013 b) giải phương trình vi phân : 3y'' 5y' 2y  e x  5sin x Bài 18/06/2013 Giải phương trình vi phân : a) e x  x cos y  ysin y  dy  e x  x sin y  ycos y  dx  b) y'' y' 2y   sin x Bài 26/12/2013 Giải phương trình vi phân sau : BookBoss : 0933040591  nháp 1)  cos y  ysin x  dx   cos x  xsiny  dy  2) y'' 4y  e2x  sin x Bài 2/7/2007 Giải phương trình vi phân sau : y'' 2y  sin 2x  e x Bài 13/01/2016 Giải phương trình vi phân sau : y'' y  2cos x Đề bách khoa y'' 5y' 6y  (x  1)e2x (*) Bài 14 : y'' 3y' 2y  3x  5sin 2x (*)   Bài 15 : y'' 4y' 3y  (2x  1)e 3x (*) Ds:y  C1e  x  C2e 3x  x   x  Bài 16 : y'' 4y' 4y  2xe 2x  3x e 4 (*) Ds:y  C1e 2x  C 2e 2x  x 3e 2x Bài 17 :  1 y'' 4y' 8y  (x  3x)e 2x (*) Ds:y  e 2x (C1 cos 2x  C sin 2x)   x  x  e 2x Bài  4 2x 18 : y'' 5y'  (x  2)e (*) Ds:y  BookBoss : 0933040591 [...]... 0  3 y 2 4 3 x x2 x x2    I =  y dy +   y  dy  3 2 y   3 2 y  0 2 2 2   3 2 3 2 2 3 4 3 y y2 1 y  1 y   2 22 1 y  1 y   I =   y       y  dy +    y       y  dy  3  3 2 2 3  2  2  2   3  2  2  2   0 2 3 2 3 2 2 3 4 y y3 1  y  1  y   8 1 y  1 y   I =          y  dy +    2 y       y  dy  3 3 2 3 ...  x dx 1 I = 1 ,33 333 333 3  BookBoss : 0 933 040591 19 6  4,5  Bài 23: 26/12/20 13 Tính tích phân bội sau I =  ( x  2 y )dxdy , với D là miền giới hạn bởi các đường y  2x 2 và D y  x 1 2 Bài 24: 29/05/20 13 Xác định cận của tích phân bội sau I =  f ( x ; y )dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các D đường y  x  x , y  2x Sau đó hãy đổi thứ tự lấy tích phân 2 Bài 25: 10/07/20 13 1 Đổi thứ tự... )dy   dx  (3 x 2  y )dy 2 0 0 2 2  2  2 y2 x  y2 2  x  I =   3x y   dx +   3x y   dx 0 2 2 0 0 1   1 2 (2  x) 2   2 2 x4   2 I =   3x x   dx +   3 x (2  x)   dx 2 2     0 1 1 2 (2  x) 2   4 x4   2 3 I =   3x   dx +   6 x  3 x   dx 2 2   0 1 1 I= 7 10  BookBoss : 0 933 040591 35 12  217  3, 616666667 60   3 y y.y  dy  Bài 17: 13/ 06/2014 Tính... 2 Đổi biến sang tọa độ cực : BookBoss : 0 933 040591 Đặt x  r cos   y  r sin  J r x y r 2  4 I =  4  x  y dxdy  2 D    1  d 2  2 1 4r 4   3 3 2  2 4 2 1 1 2 3 4 0 2 D xy   3      D r  4 4   0 r  1 /  4 1  1 4  r r dr   d   4  r 2 2 3 0 2  1 1    3 0 4  r  2 3 1 2  d 4  r  2 4  1   8 3 3 0 3  Bài 4 : x y dxdy , trong đó D là miền...Bài 13: Tính diện tích miền D x  y  1; x  y  3 y  x ; y  2x Giải 1 2 2x 1 2x 3 2 3 x 1 x 1 2 x 1 x S  1dxdy  D1  D2  D3   dx  dy   dx  dy   dx 1 3 D 1 2 1 1 3 1 2 3 2    2 x  1  x  dx    x  dx    3  2 x  dx  1  dy 1 3 1 2    24 8 4 3 1 Bài 14: Đổi thứ tự tính tích phân sau: I =  dx 0 2 x 2  f (... y2  y  2 dx    y  2 2 2 y 2 2  2  1  y2 1 Cách khác : BookBoss : 0 933 040591   1 I =D1 +D 2 =  dx 4 x2  x 0 dy   dx  1  x dy  x 1  0  x2  x   I=   y dx + y     x  dx    x  4  1    1   I =  x  2   x dx + 4 19 6 I=    0  x   x dx 1  4,5 1 ,33 333 333 3 Bài 22: 20/05/2012 Tìm cận của tích phân kép I =  f ( x ; y )dxdy theo các thứ... BookBoss : 0 933 040591 2 J r       D x ,y  D ,r  2 2   0  r  2cos  / x  2  d  I   2cos   2 0  2 2cos   2 0  d   (r cos   r sin   r cos .r sin ).r dr (r 2 cos   r 2 sin   r 3 cos .sin )dr  2  r3 2cos   r3 r4    cos   sin   cos .sin   d 0 3 3 4     2  2  (2cos  )3  (2cos  )3 (2cos ) 4   cos   sin   cos .sin   d 3 3 4    2... x 2  y2  r 2 J  r BookBoss : 0 933 040591 0    D x,y  D / ,r  2sin  r  4sin   I =  ydxdy   d D 0 4sin   2sin  r sin .r dr   2 4cos   d    2 r 2 sin dr 2cos   r3 4sin      sin   d 2sin  3 0  3 3   4sin   2sin       sin   sin   d   3 3 0     8 56  64     sin 4   sin 4   d  sin 4  d 3 3 3  0 0  7 Bài 9: Sai be bét ... 0,28 539 81 634  0,28 539 81 634  0,57079 632 68 Bài 10: Tính tích phân I =  D  x 2  y2  2  x  y dxdy Với D :  2 2   x  y  2y 2 2 Giải BookBoss : 0 933 040591 2  x 2  y2  2y Đặt x  r cos   y  r sin   I =  x  y dxdy   d 2  0    D x ,y  D / ,r    2  r  2sin  x 2  y2  r 2 J  r 2 D 0 2sin    r r dr   d 2 2 0 2sin   r 2 dr 2  r 3 2sin     d  3 2  0  3. ..  10 e BookBoss : 0 933 040591 Bài 18 : Tính tích phân I =  ( x 2  xy)dxdy ,Với D là miền giới hạn bởi các đường y  x , y  2x , x  2 D Giải  2 y2 2x  I   dx  (x  xy)dy    x y  x  dx x 2 0 x 0  2  2 (2x)2 x2  2    x 2x  x  x x  x  dx 2 2  0 2 2x 2 2  3 x3  3 3    2x  2x  x   dx 2 0 2 5     x3  dx 2  0  10 2 Cách khác : BookBoss : 0 933 040591 y 2 4 2 2 y ... x dx I = 1 ,33 333 333 3  BookBoss : 0 933 040591 19  4,5  Bài 23: 26/12/20 13 Tính tích phân bội sau I =  ( x  y )dxdy , với D miền giới hạn đường y  2x D y  x 1 Bài 24: 29/05/20 13 Xác định... x :    1   I =  dx  1dy =   y dx =   x    dx = 0, 833 333 333 334 1    x  0 0 1    x   2 BookBoss : 0 933 040591 y2  y  x 1  y2  y   x  4 1   y  2   x 1...     2 y 2    2 y 1   =  y   y dy +  2 =    y   y dy 19  1 ,33 333 333 3 BookBoss : 0 933 040591  4,5 Bài : Tính I   D Y   xy dxdy D giao đường Y  X X  Y   Giải