Toán cao cấp 2

Trình bày các nh lí v giá tr trung bình và công th c Taylor.. Khái ni m chung v ph ng trình vi phân.

www.hutech.edu.vn

I H C CÔNG NGH TP.HCM

Biên

TOÁN CAO C P 2

n b n 2013

M C L C

M C L C I

H NG D N IV

BÀI 1 GI I H N VÀ LIÊN T C C A HÀM M T BI N 1

1.1 GI I H N C A HÀM S 1

1.2 VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG L N VÀ GI I H N 6

1.3 HÀM S LIÊN T C 10

TÓM T T 13

BÀI T P 14

CÂU H I TR C NGHI M 16

BÀI 2 O HÀM VÀ VI PHÂN HÀM M T BI N 17

2.1 CÁC QUY T C TÍNH O HÀM 17

2.2 KH VI, VI PHÂN O HÀM, VI PHÂN C P CAO 19

2.3 CÁC NH LÝ V GIÁ TR TRUNG BÌNH 25

2.4 CÔNG TH C TAYLOR 28

2.5 QUY T C TÓM T T 35

BÀI T P 36

CÂU H I TR C NGHI M 39

BÀI 3 KH O SÁT HÀM S M T BI N 41

3.1 DÙNG O HÀM KH O SÁT HÀM S 41

3.2 KH O SÁT HÀM S CHO B I PH NG TRÌNH THAM S 44

3.3 KH O SÁT NG CONG TRONG T A C C 49

TÓM T T 54

BÀI T P 54

CÂU H I TR C NGHI M 56

BÀI 4 HÀM NHI U BI N 57

4.1 M T B C HAI 57

4.2 HÀM NHI U BI N, GI I H N VÀ LIÊN T C 62

4.3 O HÀM RIÊNG 67

TÓM T T 70

BÀI T P 71

CÂU H I TR C NGHI M 72

BÀI 5 KH VI VÀ VI PHÂN C A HÀM NHI U BI N 73

5.1 KH VI VÀ VI PHÂN 73

5.2 O HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN C A HÀM H P 79

5.3 HÀM N, O HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN C A HÀM N 83

5.4 CÔNG TH C TAYLOR 88

TÓM T T 92

BÀI T P 94

CÂU H I TR C NGHI M 96

BÀI 6 C C TR HÀM NHI U BI N 97

6.1 C C TR HÀM NHI U BI N (C C TR T DO) 97

6.2 C C TR CÓ I U KI N 101

6.3 GIÁ TR L N NH T, BÉ NH T (C C TR TUY T I) 109

6.4 O HÀM THEO H NG, VECTOR GRADIENT 113

TÓM T T 117

BÀI T P 118

CÂU H I TR C NGHI M 121

BÀI 7 TÍCH PHÂN KÉP 122

7.1 NH NGH A TÍCH PHÂN KÉP 122

7.2 CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP 125

7.3 NG D NG HÌNH H C C A TÍCH PHÂN KÉP 133

TÓM T T 135

BÀI T P 136

CÂU H I TR C NGHI M 137

BÀI 8 I BI N TRONG TÍCH PHÂN KÉP 139

8.1 TÍCH PHÂN KÉP TRONG T A C C 139

8.2 I BI N T NG QUÁT 143

8.3 NG D NG C H C C A TÍCH PHÂN KÉP 145

TÓM T T 148

BÀI T P 149

CÂU H I TR C NGHI M 150

BÀI 9 TÍCH PHÂN B I BA 152

9.1 NH NGH A TÍCH PHÂN B I BA 152

9.2 CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN B I BA 155

9.3 NG D NG TÍCH PHÂN B I BA 161

TÓM T T 164

BÀI T P 165

CÂU H I TR C NGHI M 166

BÀI 10 I BI N TRONG TÍCH PHÂN B I BA 168

10.1 TÍCH PHÂN B I BA TRONG T A TR 168

10.2 TÍCH PHÂN B I BA TRONG T A C U 170

10.3 I BI N T NG QUÁT TRONG TÍCH PHÂN B I BA 173

TÓM T T 175

BÀI T P 176

CÂU H I TR C NGHI M 178

BÀI 11 PH NG TRÌNH VI PHÂN 179

11.1 KHÁI NI M C B N 179

11.2 PH NG TRÌNH VI PHÂN C P 1 181

11.3 PH NG TRÌNH VI PHÂN C P M T CÓ BI N PHÂN LY 185

11.4 PH NG TRÌNH VI PHÂN NG C P 187

11.5 PH NG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PH N 191

11.6 PH NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH C P 1 192

11.7 PH NG TRÌNH BERNOULLI 195

TÓM T T 196

BÀI T P 196

CÂU H I TR C NGHI M 198

BÀI 12 PH NG TRÌNH VI PHÂN C P 2 199

12.1 KHÁI NI M CHUNG 199

12.2 PH NG TRÌNH GI M C P C 201

12.3 PH NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH C P 2 203

12.4 PH NG TRÌNH TUY N TÍNH C P CAO 213

TÓM T T 222

BÀI T P 222

CÂU H I TR C NGHI M 223

H NG D N

MÔ T MÔN H C

Môn h c trang b các ki n th c v gi i tích các hàm m t bi n, gi i tích các hàm nhi u bi n và ph ng trình vi phân N i dung bao g m: phép tính vi tích phân i v i hàm m t bi n và ng d ng; hàm nhi u bi n, gi i h n và liên t c; o hàm riêng và vi phân, o hàm riêng và vi phân c a hàm n, gradient; c c tr và giá tr l n nh t, giá

tr nh nh t c a hàm nhi u bi n; tích phân b i, chuy n tích phân sang t a c c, t a

tr và t a c u; ph ng trình vi phân c p 1, c p 2 và ph ng trình vi phân tuy n tính c p cao h s h ng

N I DUNG MÔN H C

Bài 1 Trình bày v gi i h n và liên t c c a hàm s m t bi n cùng v i khái ni m v

vô cùng bé

Bài 2 Nh c l i o hàm, o hàm c a hàm h p Khái ni m và cách tìm o hàm

c a hàm n, o hàm c a hàm cho b i ph ng trình tham s Trình bày các nh lí

v giá tr trung bình và công th c Taylor

Bài 3 ng d ng c a o hàm trong vi c kh o sát hàm s d ng t ng minh,

d ng ph ng trình tham s và trong t a c c

Bài 4 Khái ni m hàm nhi u bi n, gi i h n và liên t c c a hàm nhi u bi n o hàm riêng c p m t và c p cao c a hàm nhi u bi n

Bài 5 Tính kh vi và vi phân c a hàm nhi u bi n Tìm o hàm riêng c a hàm

h p, hàm n, hàm cho b i ph ng trình tham s Công th c Taylor c a hàm hai

bi n

Bài 6 Tìm c c tr t do, c c tr có i u ki n c a hàm nhi u bi n Tìm giá tr l n

nh t và giá tr nh nh t c a hàm hai bi n trên mi n óng, b ch n Khái ni m o hàm theo h ng và gradient c a hàm nhi u bi n

Bài 7 Trình bày v tích phân kép, a v tích l p tích tính tích phân kép và i

th t l y tích phân ng d ng c a tích phân kép

Bài 8 i bi n trong tích phân kép i sang t a c c và tính tích phân kép trong t a c c

Bài 9 Trình bày v tích phân b i ba, a v tích l p tích tính tích phân b i ba

và i th t l y tích phân ng d ng c a tích phân b i ba

Bài 10 i bi n trong tích phân b i ba i sang t a tr , t a c u và tính tích phân b i ba trong t a tr , t a c u

Bài 11 Khái ni m chung v ph ng trình vi phân M t s d ng và cách gi i m t s

3 bi n s ; tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s hai bi n trên mi n óng, b

ch n; tích c tích phân kép, tích phân b i ba, a v tính trên t a c c, t a

c u, t a tr trong nh ng i u ki n cho phép; gi i c ph ng trình vi phân c p 1,

c p 2 và c p cao tuy n tính h s h ng

S d ng thành th o các ph ng pháp di n d ch, quy n p trong toán h c Khuy n khích sinh viên s d ng máy tính b túi và các ch ng trình trên máy tính h tr vi c tính toán trong môn h c

Ng i h c c n i h c y , c các n i dung s c h c tr c khi n l p, làm các bài t p v nhà và m b o th i gian t h c nhà

CÁCH TI P NH N N I DUNG MÔN H C

h c t t môn này, ng i h c c n c tr c các n i dung ch a c h c trên l p; tham gia u n và tích c c trên l p; hi u các khái ni m, tính ch t và ví d t i l p

h c Sau khi h c xong, c n ôn l i bài ã h c và làm các bài t p, câu tr c nghi m Tìm

c thêm các tài li u khác liên quan n bài h c và làm thêm bài t p

Tài li u này c biên so n d a theo cu n sách " Công Khanh, Nguy n Minh

H ng, và Ngô Thu L ng Toán cao c p: Gi i tích các hàm m t bi n và lí thuy t chu i,

NXB HQG TPHCM, 2009" và " Công Khanh, Nguy n Minh H ng, và Ngô Thu

L ng Toán cao c p: Gi i tích các hàm nhi u bi n, NXB HQG TPHCM, 2009" H u

h t các k t qu lí thuy t trong bài gi ng này u không có ch ng minh Sinh viên có

th tìm c thêm cu n sách nêu trên tìm hi u các ch ng minh chi ti t cho nh ng

k t qu trong bài gi ng, c ng nh làm thêm bài t p rèn luy n t ngu n bài t p và các ví d ã gi i s n trong ó

Môn h c c ánh giá g m hai thành ph n

Ph n i m quá trình chi m 30%, hình th c và n i dung ánh giá i m quá trình do

gi ng quy t nh và công b cho ng i h c u khóa h c

Ph n i m cu i khóa chi m 70%, hình th c bài thi tr c nghi m trong 90 phút

(1) khi y ta vi t:

g(x) b

3) N u f(x) g(x) trong m t lân c n nào ó c a xo và

4) N u trong m t lân c n nào ó c a xo ta có:

Ta xét m t vài ví d :

o

x x

a <

1 n

1lim 1

x = e

D th y, ta c ng l i có: e =

x x

1lim 1

x =

1 x

xlim(1o x) Bây gi có th xét gi i h n d ng vô nh 1 qua các ví d sau:

d) Tìm

2

x 2 2 x

lim

Ta có:

2

x 2 2

1.1.6 nh ngh a Cho hàm y = f(x) xác nh trên D S a c g i là gi i h n trái

c a hàm y = f(x) t i i m xo (hay là gi i h n khi x ti n t i xo t bên trái), n u:

1.1.9 nh ngh a Hàm s f(x) c g i b ch n trên (b ch n d i) trên A n u:

C R: f(x) C (f(x) C), x A

1.1.10 nh lý Cho hàm s f(x) t ng và b ch n trên trên kho ng (a,b) Khi y t n

a) c 0, c thì ta nói (x), (x) là nh ng VCB cùng c p

b) c = 0, ta nói (x) là VCB c p cao h n (x), và ký hi u:

(x) = 0 ( (x)) (khi x x o ) ( c là o - micro c a (x))

c) T n t i r > 0 sao cho (x) cùng c p v i [ (x)] r thì ta nói (x) là VCB c p r i

x o , sao cho v i m i x thu c lân c n y (và thu c mi n xác nh c a f(x)) ta có f(x) > 0

1.3.4 nh lý (v tính liên t c c a hàm h p) Cho f(x) xác nh trên A, f(A) B,

g(y) xác nh trên B N u f(x) liên t c t i x o A, g(y) liên t c t i y o = f(x o ), thì hàm h p g(f(x)) liên t c t i x o

1.3.7 nh lý Hàm f(x) liên t c t i x o khi và ch khi nó liên t c trái và liên t c ph i

1, x Q(x)

Các i m gián o n lo i 1 có th c phân ra hai lo i:

- i m kh c n u f(xo-) = f(xo+) f(xo)

- i m nh y, n u f(xo-) f(xo+) Khi y hi u s : h = f(xo+) - f(xo-) c g i là

b c nh y c a f(x) t i xo

b) i m gián o n không thu c lo i 1 c g i là i m gián o n lo i 2 Nh v y

t i các i m gián o n lo i 2 không t n t i ít nh t m t gi i h n (h u h n) m t phía

x 1

V y x = -1 là i m gián o n lo i hai Các i m x = 0 và x = 1 là các i m gián

o n kh c

C Hàm s liên t c trên m t o n

1.3.13 nh ngh a Hàm s c g i liên t c trên o n [a,b] n u nó liên t c t i m i

i m c a kho ng (a,b) và liên t c ph i t i a, liên t c trái t i b

Hàm liên t c trên m t o n có các tính ch t sau

1.3.14 nh lý Hàm liên t c trên m t o n thì b ch n trên o n ó

1.3.16 nh lý Hàm liên t c trên m t o n [a, b] thì t t t c các giá tr trung gian

x x

1

n n

ln cos

x

x x

2 0

x x

n) 2

1 0

1

1 sin

x x

tgx x

Bài 2 Tính các gi i h n m t phía sau

a)

1 1 1

Bài 3 Dùng vô cùng bé t ng ng, tính các gi i h n sau

a)

2 2 0

Bài 4 So sánh các vô cùng bé sau (khi x 0), các vô cùng bé nào là t ng ng? a) x 1 cos3x, x xsin x

f x

x

b)

2 1sin , 0( )

khi x= 0

x

x e m

x s inx

2) o hàm c a hàm h p:

khi y hàm h p f(x) = y(u(x)) có o hàm t i x o và f, x o y u, o u x, o

(là song ánh t Y lên X) N u f(x) có o hàm h u h n khác không f o ) t i x o , thì hàm g(y) s có o hàm t i y o = f(x o ) và

1,

.,

Nh v y ta th y f'(0) không th c tính t công th c (4) r i cho ho c

v i A - h ng s và 0( x) - VCB c p cao h n x khi x 0 Khi y i l ng A x c

t t

y dt ydy

y

dx x dt x v y:

,,,

t x t

yy

,cos

t x

2 t

Nên ta có th l y o hàm h th c (11) theo x, coi v trái c a nó nh là m t

1,

2 1

0

v y: '

2 o

o 2

o

xb

y x

ya

Ta c ph ng trình ti p tuy n

2 o

o 2 o

o

xb

ya

d ydx

Ví d 5

2

1y

k n k Sinh viên có th d dàng ch ng minh b ng quy n p công th c trên

N u hàm s cho b i ph ng trình tham s : x= (t), y= (t) thì ta có:

,,.,

t x t

y y x

Cho nên:

3

,,

t t

xx

y x

tính vi phân c p cao, c n bi t r ng dx là m t s b t k không ph thu c

x, cho nên o hàm (ho c vi phân) c a nó s b ng 0

2.3.3 nh lý (Rolle) Cho hàm s f(x)

1) Liên t c trên o n [a, b];

2) Kh vi trên kho ng (a, b)

3) F(a) = f(b)

Khi y c (a, b) : f''c) = 0

Theo nh lý Weierstrass, hàm s t giá tr l n nh t M và nh nh t m trên [a, b]

N u M = m thì f(x) = const trên [a, b] f'(x) 0

N u M m, khi y m t trong hai s m, M ph i khác f(a) = f(b), gi s M f(a) = f(b) V y hàm f(x) t giá tr l n nh t M t i i m bên trong c (a, b) Cho nên

1) Liên t c trên o n [a, b]

2) Kh vi trên kho ng (a, b)

2.3.7 Ví d Cho f'(x) > 0 trên (a, b) Khi y hàm s t ng trên (a, b)

L y x1, x2 (a, b), x1 < x2, ta có theo nh lý Lagrange:

a

Hình 1

2.4.1 Công th c Taylor v i ph n d Lagrange

nh lý Cho kh vi n c p trong kho ng Khi y v i

ta có công th c Taylor sau:

o o

2.4.2 Công th c Taylor v i ph n d Peano

Nhi u lúc, công th c Taylor ti n dùng d ng sau ây:

N u f(x) liên t c trên [a, b], kh vi n c f(n) (xo) (xo (a, b)) Khi y v i x (a, b) ta có:

Công th c Taylor v i c g i là công th c Maclaurin, t c là

0

!

k n

k n k

Vi t công th c Maclaurin cho esinx n c p x3

Ta có theo 1): sinx sin 1sin2 1sin3 sin3

sin 3x x3 0 x4

và vì: sin3x~ x neân3 0 sin3x 0 x3

2.4.6 S d ng công th c Taylor tính g n úng có ánh giá sai s

Trong công th c (1) n u b ph n d Rn(x) ta có công th c g n úng:

V y:

3 3 3

1 1

1 lim

x x x

,

t x t

y y x

, thì ta nói nó là m t hàm n cho b i ph ng trình

5 Cho kh vi n c p trong kho ng Khi y v i ta có công th c Taylor sau:

1

1 0

a) y5 + y = x2 + 1 b) x + y = ey c) cos(xy) = x.

ax b x 1 Tìm a, b sao cho f(x) liên t c và kh vi t i m i x R

Bài 9 Áp d ng vi phân c p 1 tính g n úng các giá tr sau:

Bài 15 Vi t công th c Maclaurin v i ph n d Peano c a các hàm sau

e

b bx

f) lim 2

x

x x

lim cot x

x

gx

t x

22

2 3 0

1lim

3

x x

1) f x'( ) 0, x a b,

2 x

t: f(x) =

2

x x 1 e

2 x

nh lý là h qu tr c ti p c a nh lý 2, sinh viên t ch ng minh

nh lý 3.1.4 Cho f(x) kh vi trong lân c n x o o ) = 0

1- N u f o ) < 0 thì f(x) t c c i ch t t i x o

2- N u f o ) > 0 thì f(x) t c c ti u ch t t i x o

T ng quát h n, dùng công th c Taylor cho c p n ta có nh lý sau:

nh lý 3.1.5 Cho f(x) th a mãn các i u ki n

nh ngh a 3.1.1 Hàm f(x) xác nh và liên t c trên kho ng

(a, b) c g i là lõm trên (a, b) n u:

3.1.4 i m u n

i m M (xo, f(xo)) c a ng cong y = f(x) c g i là i m u n n u nó phân cách cung l i và cung lõm c a ng cong T nh lý 3.1.6 ta có:

3.1.5 ng ti m c n

ng th ng y = ax + b c g i là ti m c n c a th hàm s y = f(x) (khi x + ho c x - ) n u:

Rõ ràng t nh ngh a, n u y = ax + b là ti m c n thì:

( )lim ; lim [ ( ) ]

x

2

2 2 2

Vì t ng bình ph ng c a

b

y , a

x b ng 1, nên có th coi chúng là cost và sint:

' x

' y ' y

) t ( y lim

t t t

t

M

D G t

x

Hình 3.2

0

thì: y = ax + b là ti m c n xiên

3.2.2 i m k d , i m lùi

Xét i m M(xo, yo) (xo = x(to), yo = y(to)) có tính ch c trong lân c n

to o) 0 Khi y theo tính liên t c, gi d u trong m t lân c n nào y c a to, nh v y trong lân c n y hàm x(t) n i u ch t, nên t n t i hàm

'( )

o x

Có ngh a là ti p tuy n t i M t n t i n u M không ph i i m k d (ti p tuy n có

th song song tr c Oy trong tr ng h p (6))

Nh v y, ch t i i m k d , ng cong (C) có th không có ti p tuy n Ta nghiên c u k h n v ti p tuy n t i i m k d

Gi s M(xo, yo) - i m k d , nh ng ít nh t m t trong hai s o o) khác

0 Qua hai i m M(xo, yo) và N(x(t), y(t)) c a ng (C) ta có cát tuy n v i ph ng trình:

' y y y '

x x x

(9)

Gi s o > 0, v y hàm s x = x(t) có c c ti u t i to, t c là x(t) > x(to) = xo

trong lân c n to

i u ó v m t hình h c có ý ngh a nh sau: n u

chia ng cong (C) thành hai nhánh ng v i t > to và t

< to thì hai nhánh g p nhau t i M khi t = to và cùng có

chung ti p tuy n (9) H n n a vì x(t) > xo v i c t > to và

t < to (v i t bé), nên c hai nhánh u n m v bên

ph i c a ng th ng x = xo Khi y i m M(xo, yo) c g i là i m lùi c a ng (C) Xem H.3.6)

at 3 y

; t 1

at 3

t 2 1 a 3 ' x

) t 1 (

t t 2 a '

3

t 2 1

t 2 t '

3 x

v y: y 'x = 0 khi t = 0 và t = 3 2, và:

3

1khi t và t

) t ( y lim

1 t 1

t

1 t

1 t at 3 lim ] t x 1 ) t ( y [

1 t 1

Trong m t ph ng ch n m t i m O c nh g i là c c và m t tia Ox g i là tia

c c V trí c a m t i m M trên m t ph ng hoàn toàn xác nh b i hai i l ng:

a

a

a 0

x + y = a