∑sin n!π101.1.3Ứng dụngBiểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn dưới dạng phân số, xấp xỉ diện tích của một hình bất kỳbằng diện tích của các hình chữ nhật trong phân hoạch,...1.1.4Các tín
TOÁN CAO CẤP 2 TS BÙI THANH DUY KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Trường Đại học Kiến trúc Tp Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh Ngày 7 tháng 9 năm 2022 Mục lục 1 LÝ THUYẾT CHUỖI 1 1.1 CHUỖI SỐ 1 1.1.1 Định nghĩa 1 1.1.2 Sự hội tụ và phân kỳ 2 1.1.3 Ứng dụng 4 1.1.4 Các tính chất cơ bản 4 1.1.5 Các tiêu chuẩn hội tụ 5 1.2 Chuỗi lũy thừa 11 1.2.1 Định nghĩa 11 1.2.2 Miền hội tụ của một chuỗi luỹ thừa 11 1.3 Khai triển Taylor và Maclaurin 12 1.3.1 Định nghĩa chuỗi Taylor và Maclaurin 12 1.3.2 Định lý 12 1.3.3 Khai triển Maclaurin của một số hàm cơ bản 13 1.4 CHUỖI HÀM 14 1.4.1 Định nghĩa 14 1.4.2 Sự hội tụ 15 1.5 Các định lý liên quan đến tính chất hội tụ đều 16 1.5.1 Định lý về tính liên tục và tích phân 16 1.5.2 Định lý về tính khả vi 16 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 17 2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC KHÁI NIỆM ĐẦU TIÊN 17 2.1.1 Định nghĩa 17 2.1.2 Các loại nghiệm của phương trình vi phân 17 2.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 18 2.2.1 Phương trình dạng tách biến 18 2.2.2 Phương trình vi phân dạng đẳng cấp 18 2.2.3 Ptvp dạng y = h(ax + by) trong đó b = 0 19 2.2.4 Ptvp tuyến tính cấp 1 19 2.2.5 Ptvp Bernoulli 19 2.2.6 Ptvp toàn phần 20 2.2.7 Bài tập 21 2.3 PTVP TUYẾN TÍNH CẤP HAI HỆ SỐ HẰNG 21 2.3.1 Ptvp thuần nhất 21 2.3.2 Ptvp không thuần nhất 21 Chương 1 LÝ THUYẾT CHUỖI 1.1 CHUỖI SỐ 1.1.1 Định nghĩa Cho một dãy số (un) ⊂ R Ta xét tổng vô hạn như sau: u1 + u2 + u3 + + un + Tổng vô hạn trên được gọi là một chuỗi số và kí hiệu là +∞ ∑ un = u1 + u2 + + un + n=1 Nếu không có gì nhầm lẫn ta có thể kí hiệu là ∑ un = u1 + u2 + + un + Ở đây, un được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi Ví dụ +∞ 1 1 1 1 ∑ n = + 2 + + n + , n=1 2 2 2 2 +∞ ∑ n sin 1 = sin 1 + 2 sin 1 + + n sin 1 + n2n n=1 +∞ ∑ (−1)nen = − e−1 + e2 + + (−1)nen + n=1 n! 1! 2! n! Lịch sử số π Số π có dạng thập phân π = 3.14159265358979323846264338327950288 · · · và được biểu diễn dạng tổng vô hạn sau 14 1 5 9 2 6 π = 3+ + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +··· 10 10 10 10 10 10 10 Bài tập Tìm tổng 10 số hạng đầu của các chuỗi sau 1 TOÁN CAO CẤP 2 1 ∑ (−5)n 12 3 ∑ tan n 1 1 2 ∑ n2 2n2 − 1 + 1 4 ∑(0.6)n−1 5 ∑ √ − √ n n+1 6 ∑ 1 n(n + 2) Bài tập Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi số sau 1 3 + 2 + 4 + 8 + 3 3 − 4 + 16 − 64 + 10n 39 99 5 (−9)n−1 6 1 + 0.4 + 0.16 + 0.064 + 2 1 − 1 + 1 − 1 + 4 ∑ 6(0.9)n−1 842 1.1.2 Sự hội tụ và phân kỳ +∞ Xét chuỗi ∑ un = u1 + u2 + + un + · · · Đặt s1 = u1, s2 = u1 + u2, s3 = u1 + u2 + u3, , n=1 sm = u1 + u2 + u3 + um Lúc này sm được gọi là tổng riêng thứ m của chuỗi Nếu lim sm tồn tại hữu hạn và có giá trị bằng s thì ta nói chuỗi hội tụ và có tổng bằng s Lúc này ta viết +∞ ∑ un = s Ngược lại, ta nói chuỗi phân kỳ n=1 Ví dụ Tổng cấp số nhân lùi vô hạn +∞ 1 1 1 1 1 ∑ n = + + +···+ n +··· n=0 2 2 4 8 2 Tổng m số hạng đầu của cấp số nhân có số hạn đầu u1 = 1 , công bội q = 1 là 2 2 111 1 1 Sm = + + + · · · + m = 1 − m 248 2 2 Khi m → +∞, Sm → 1 Vậy +∞ 1 1 = 1 1− m ∑ n = lim Sm = lim n=0 2 m→+∞ m→+∞ 2 Chuỗi hình học +∞ Xét tính hội tụ, phân kỳ của chuỗi ∑ rn = 1 + r + r2 + · · · + rn + · · · n=0 TS Bùi Thanh Duy 2 duy.buithanh@uah.edu.vn TOÁN CAO CẤP 2 Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = 1, công bội q = r Tổng của m số hạng đầu Sm = 1 + r + r2 + · · · + rm−1 = 1 − rm 1−r • Nếu |r| < 1 thì lim S 1 − rn 1 +∞ n = lim = hữu hạn Chuỗi ∑ rn hội tụ về 1 n→+∞ n→+∞ 1 − r 1 − r n=0 1−r • Nếu |r| +∞ 1 thì lim Sn = ∞ Chuỗi ∑ rn phân kỳ n→+∞ n=0 Vậy 1 ∑ r +∞ n = 1 − r , hội tụ khi |r| < 1, n=0 ∞, phân kỳ khi |r| 1 Ví dụ Tính tổng vô hạn (nếu có) 5 − 10 + 20 − 40 + · · · 3 9 27 Ta thấy 5 − 10 + 20 − 40 + · · · = 5(1 − 2 + 4 − 8 + · · · ) 3 9 27 3 9 27 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với r = − 2 là 3 24 8 1 − rn 3 1 − + − + · · · = lim Sn = lim = 3 9 27 n→+∞ n→+∞ 1 − r 5 Nên tổng cần tìm 5 − 10 + 20 − 40 + · · · = 5 · 3 = 3 3 9 27 5 Ví dụ Tính tổng vô hạn sau (nếu có) 1 ∑ n2 + n 1 Số hạng tổng quát un = 2 Ta có n +n un = (n + 1) − n = 1 − 1 n(n + 1) n n + 1 Suy ra Sm = u1 + u2 + · · · + um = 1 − 1 m+1 Vậy lim Sm = 1 nên tổng cần tìm có giá trị bằng 1 m→+∞ Bài tập Tính các tổng vô hạng sau (nếu có) TS Bùi Thanh Duy 3 duy.buithanh@uah.edu.vn TOÁN CAO CẤP 2 1 ∑ n2 1+ 2n 10 ∑ ln n2n2 + 2n + 2n + 1 2 ∑ n2 1+ 3n 3 ∑ (n2 1 + n)(n + 2) 1 11 ∑ √ n 4 ∑ (n2 + n)2 1 + 2n 12 ∑ 2n1 5 ∑ (n2 + n)3 1 + 3n + 3n2 (−1)n 6 ∑ (4n2 − 1)2 n 13 ∑ n 3 14 ∑ 3(−1)n + 5 7 n 7 ∑ (4n2 − 1)3 24n2 + 2 15 ∑ 2nn 16 ∑ 2n 2n − 1 8 ∑ √ 1 √ √ √ √√ 17 ∑ n + 2 − 2 n + 1 + n n + 1 + n n2 + n 9 ∑ ln n n + 1 18 ∑ sin n!π 10 1.1.3 Ứng dụng Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số, xấp xỉ diện tích của một hình bất kỳ bằng diện tích của các hình chữ nhật trong phân hoạch, 1.1.4 Các tính chất cơ bản 1 Giả sử ∑ un, ∑ vn hội tụ, lúc này ta có i Chuỗi ∑ αun hội tụ và ∑ αun = α ∑ un với mọi α ∈ R ii Chuỗi ∑(un ± vn) hội tụ và ∑(un ± vn) = ∑ un ± ∑ vn 2 Nếu chuỗi số ∑ un hội tụ thì lim |un| = 0 Từ đó, ta suy ra rằng nếu lim |un| = 0 n→+∞ n→+∞ thì ∑ un phân kỳ TS Bùi Thanh Duy 4 duy.buithanh@uah.edu.vn TOÁN CAO CẤP 2 ∞ n2 2 Ví dụ Kiểm tra tính hội tụ, phân kỳ của chuỗi ∑ n=1 5n + 4 n2 1 Ta có lim un = lim 2 = = 0 nên chuỗi phân kỳ n→+∞ n→+∞ 5n + 4 5 Bài tập Chứng minh các chuỗi số sau đây phân kỳ • ∑ n sin 1n 1 • ∑ ln n + 1 n • ∑ √2n2 2n + 3 + n + 1 • ∑n en −1 n • ∑ n esin n1 − 1 2n3 + n + 1 • ∑√ 4n6 + n2 + 1 +∞ +∞ 3 Với mọi k ∈ N, ∑ un hội tụ hay phân kỳ tương đương với ∑ un hội tụ hay phân kỳ n=1 n=k 1 1 1 4 Chuỗi số ∑ p hội tụ khi và chỉ khi p > 1 Ví dụ như ∑ √ phân kỳ còn ∑ √ hội n n nn tụ 1.1.5 Các tiêu chuẩn hội tụ 1 Tiêu chuẩn Cauchy Cho chuỗi số ∑ un, xét L = lim n |un| Lúc này, ta có (a) ∑ un hội tụ khi L < 1 (b) ∑ un phân kỳ khi L > 1 2 Tiêu chuẩn D’Alembert Giống tiêu chuẩn Cauchy nhưng L = lim un+1 un Lưu ý: Cả hai tiêu chuẩn trên đều không giải quyết cho trường hợp L = 1 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi sau ∑ (−1) ∞ n n n 3 n=1 3 n n33 Số hạng tổng quát un = (−1) n Xét un+1 (n + 1)3 3n 1 n+1 3 un = 3n+1 · n3 = 3 n TS Bùi Thanh Duy 5 duy.buithanh@uah.edu.vn TOÁN CAO CẤP 2 Suy ra lim an+1 = 1 < 1 n→∞ an 3 Do đó chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert √ 1 ( n n)3 Ta cũng có thể khảo sát bằng tiêu chuẩn Cauchy như sau Ta có |un| = |un| n = 3 n Suy ra lim n |un| = 1 < 1 vì lim √n n = 1 Vậy chuỗi đã cho hội tụ n→+∞ 3 n→+∞ Ví dụ Chứng minh những điều sau đây (−1)n (a) ∑ n hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy và theo tiêu chuẩn D’Alembert n2 (b) ∑ 1n! hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert n2 1 + 1n (c) ∑ πn hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy enn! (d) ∑ n phân kỳ nhưng không dùng được hai tiêu chuẩn trên n nn (e) ∑ n phân kỳ và cũng không dùng được hai tiêu chuẩn trên (*) e n! 3 Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối Chuỗi số ∑ un hội tụ nếu ∑ |un| hội tụ (−1)n Ví dụ ∑ n hội tụ theo tiêu chuẩn vừa nêu 2 n! 4 Tiêu chuẩn Leibnitz Cho chuỗi số ∑(−1)nun, trong đó un > 0, ∀n ∈ N Chuỗi số này hội tụ nếu (un) là một dãy số giảm về 0 Ví dụ ∑ (−1)n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz trong khi ∑ 1 phân kỳ.nn 5 Tiêu chuẩn so sánh Cho chuỗi số ∑ un (a) Nếu tồn tại k ∈ N sao cho 0 un vn, ∀n k và ∑ vn hội tụ thì ∑ un hội tụ n=k (b) Nếu tồn tại k ∈ N sao cho 0 vn un, ∀n k và ∑ vn phân kỳ thì ∑ un phân n=k kỳ Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau TS Bùi Thanh Duy 6 duy.buithanh@uah.edu.vn TOÁN CAO CẤP 2 (a) ∑ 1 n(n + 1)(n + 2) , un = 1 n(n + 1)(n + 2) Ta có 0 un = 1 1 , ∀n ∈ N n(n + 1)(n + 2) n3 Chọn vn = n31 , suy ra ∑ vn hội tụ Vậy ∑ un hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh (b) ∑ 1 , un = 1 √ √ Ta có n+ n+1 n+ n+1 1 1 11 un = √ √ =√ 0, ∀n ∈ N n+ n+1 n + 2n2 + 2n2 3 n 11 Chọn vn = √ , suy ra ∑ vn phân kỳ Vậy ∑ un phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh 3n (c) ∑ 1 + n4 n ln(1 + n) , un = 1 + n4 n ln(1 + n) Ta có 0 un = n ln(1 + n) n2 1 , ∀n ∈ N 1 + n4 n2 1+n 4 Chọn vn = n21 , suy ra ∑ vn hội tụ Vậy ∑ un hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ khi dùng tiêu chuẩn so sánh i sin u u, ∀u 0 ii ln(1 + u) u, ∀u > −1 iii ln(1 + u) u − u2 , ∀u > −1 2 iv 1 + u eu, ∀u ∈ R v arctan u u, ∀u 0 vi 1 − u2 cos u, ∀u 0 2 vii sin u u − u3 , ∀u 0 6 1u 1+ 1 u+1 viii 1 + u e u , ∀u > 0 TS Bùi Thanh Duy 7 duy.buithanh@uah.edu.vn TOÁN CAO CẤP 2 4 ∑ sin 1n − ln 1 + n n +∞ 1 1 ∑ ln 2 n=2 1 n n 5 sin n+1 2 5 ∑ π − arcsin n5 6 ∑ 2 p 1 − n sin 1 2 ∑ arcsin(e−n) n 3 ∑ 1n − ln 1 + n n 7 ∑ un, trong đó u1 = 1, un+1 = cos un Hướng dẫn √ √ √ 4k2 − 1 = 2k − 1 2k + 1, ∀k ∈ N 1.29 Dùng tiêu chuẩn so sánh với lưu ý 2k = 4k2 1.30 Nhân liên hợp và dùng tiêu chuẩn Leibnitz suy ra chuỗi đang xét phân kỳ ln 1 + u sin u − 1 u−sin u 2.1 Dùng tiêu chuẩn giới hạn, lưu ý lim u = 1, lim sin u = L > 0 và bất đẳng 3 u→0 sin u − 1 u→0 u sin u thức u sin u, ∀u 0 Chuỗi này phân kỳ 2.2 Dùng tiêu chuẩn giới hạn, đặt un = arcsin(e−n) Chuỗi này hội tụ 2.3 Dùng bất đẳng thức trong mục 9d phần iii Chuỗi này hội tụ 2.4 Dùng hai bất đẳng thức trong mục 9d phần iii, vii Lưu ý chứng minh chuỗi đang xét là chuỗi số dương bằng bất đẳng thức sin u u − u3 ln(1 + u), ∀u ∈ [0, 1] Chuỗi này hội tụ 6 π − arcsin(1 − x) √ 2 √ = 2 Chuỗi này phân kỳ 2.5 Dùng tiêu chuẩn giới hạn với lưu ý lim x→0 x 2.6 Dùng tiêu chuẩn giới hạn với lưu ý lim 1 − sin x x p x2 x→0 > 0 Chuỗi này hội tụ khi p > 1, phân 2 kỳ khi p 1 2 2.7 Dùng quy nạp chứng minh 0 < un 1, ∀n ∈ N Suy ra 0 < un−1 1 Vậy un cos 1 nên lim un = 0 Chuỗi này phân kỳ Tham khảo thêm bài tập trong [1, 2] TS Bùi Thanh Duy 10 duy.buithanh@uah.edu.vn 1.2 Chuỗi lũy thừa TOÁN CAO CẤP 2 1.2.1 Định nghĩa (1.1) Cho x ∈ R, tổng vô hạn sau đây được gọi là một chuỗi luỹ thừa ∑ an(x − x0)n, trong đó an ∈ R, ∀n ∈ N 1.2.2 Miền hội tụ của một chuỗi luỹ thừa Đặt un = an(x − x0)n, ta dùng tiêu chuẩn Cauchy hoặc D’Alembert như sau 1 Tính L = lim n |un| = lim n |an||x − x0| n→+∞ n→+∞ hoặc L = lim un+1 = lim an+1 |x − x0| n→+∞ un n→+∞ an Đặt A = lim n |an| hoặc A = lim an+1 Suy ra L = A|x − x0| n→+∞ n→+∞ an 2 Theo tiêu chuẩn Cauchy hoặc D’Alembert thì chuỗi (1.1) hội tụ nếu L < 1 và phân kỳ khi L > 1 Xét L < 1, ta có A|x − x0| < 1, suy ra x ∈ x0 − 1 , x0 + 1 nếu A > 0 Vậy chuỗi A A (1.1) hội tụ với x ∈ x0 − 1 , x0 + 1 nếu A > 0, phân kỳ với x < x0 − 1 hay x > x0 + 1 A A A A 3 Nếu A = 0 thì chuỗi (1.1) hội tụ với mọi x ∈ R Nếu A = +∞ thì chuỗi (1.1) hội tụ với tại x = x0 1 1 (−1)n an an 4 Tại x = x0 − và tại x = x0 + , ta phải khảo sát sự hội tụ của ∑ n và ∑ n A A A A Bài tập Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau xn 3n(x − 3)n (x − 1)n 4 ∑ 2n (ln x)n 1 ∑ n 2 ∑ 2n + 3n+1 3 ∑ n24n n+2 n n2 Tham khảo thêm bài tập trong [1, 2] Ta giải bài 1 như sau Ta có x0 = 0, an = n 1 , suy ra an > 0, ∀n ∈ N A = lim an+1 = 1 Suy n2 n→+∞ an 2 ra chuỗi hội tụ với x ∈ (−2, 2) Tại x = −2, ta có ∑ (−1)n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz Tại n x = 2, ta có ∑ 1n phân kỳ Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đang xét là [−2, 2) TS Bùi Thanh Duy 11 duy.buithanh@uah.edu.vn TOÁN CAO CẤP 2 1.3 Khai triển Taylor và Maclaurin 1.3.1 Định nghĩa chuỗi Taylor và Maclaurin Cho hàm f xác định trên miền D ⊂ R và điểm x0 ∈ D và tồn tại R > 0 sao cho f khả vi vô hạn lần trên (x0 − R, x0 + R) ⊂ D, Giả sử hàm số f (x) được biểu diễn dưới dạng một chuỗi lũy thừa trên (x0 − R, x0 + R) như sau f (x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + a3(x − x0)3 · · · + an(x − x0)n + · · · , ∀x ∈ (x0 − R, x0 + R) Ta có nhận xét sau f (x0) = 1.2.a2, · · · f (n)(x0) = 1.2 · · · n.an = n!an f (x0) = a0, f (x0) = 1.a1, Suy ra a f (n)(x n = 0) , n = 0, 1, 2, · · · n! Chuỗi Taylor và Maclaurin Do đó ta có thể viết lại như sau +∞ f (x) = ∑ f (n)(x0) (x − x0)n (1.2) n=0 n! = f (x0) + f (x0)(x − x0) + f (x0) (x − x0)2 + f (x0) (x − x0)3 2! 3! + · · · + f (n)(x0) (x − x0)n + · · · , ∀x ∈ (x0 − R, x0 + R) n! Chuỗi lũy thừa như trong (1.3) gọi là chuỗi Taylor của hàm f trên lân cận của x0 Trường hợp x0 = 0 thì chuỗi này gọi là chuỗi Maclaurin 1.3.2 Định lý Cho hàm f xác định trên miền D ⊂ R và điểm x0 ∈ D Giả sử tồn tại h > 0 sao cho f khả vi vô hạn lần trên (x0 − h, x0 + h) ⊂ D Hơn nữa, nếu với mọi n ∈ N, tồn tại số M 0 sao cho | f (n)(x)| M thì +∞ f (x) = ∑ f (n) (x0) (x − x0)n, ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h) n=0 n! Chứng minh Theo giả thiết, tồn tại h > 0 sao cho f khả vi vô hạn lần trên (x0 − h, x0 + h) ⊂ D m nên với x ∈ (x f (n) (x 0 − h, x0 + h), đặt Tm(x) = ∑ 0) (x − x0)n Tm gọi là đa thức Taylor bậc n=0 n! +∞ m của f tại x f (n) (x 0 Đặt Rm(x) = ∑ 0) (x − x0)n, Rm gọi là phần dư Taylor của f tại x0 n=m+1 n! Theo định nghĩa về sự hội tụ của chuỗi số thì ta cần chứng minh lim Tm(x) = f (x) với mọi m→+∞ TS Bùi Thanh Duy 12 duy.buithanh@uah.edu.vn TOÁN CAO CẤP 2 x ∈ (x0 − h, x0 + h) Điều này tương đương với việc chứng minh lim Rm(x) = 0, ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h) (1.3) m→+∞ Bằng nguyên lý quy nạp và do | f (m+1)(x)| M, ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h), người ta đã chứng minh được bất đẳng thức sau đây gọi là bất đẳng thức Taylor |Rm(x)| M|x − x0|m+1 (m + 1)! Suy ra |Rm(x)| Mhm+1 , ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h) (m + 1)! hk Vì lim = 0 nên vế phải tiến về 0 khi m → +∞ Ta suy ra (1.3) tức là lim Tm(x) = f (x) với k→+∞ k! m→+∞ +∞ mọi x ∈ (x f (n) (x 0 − h, x0 + h) Do đó f (x) = ∑ 0) (x − x0)n, ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h) n=0 n! 1.3.3 Khai triển Maclaurin của một số hàm cơ bản 1 = ∑ x +∞ n = 1 + x + x2 + + xn + , ∀x ∈ (−1, 1) 1−x n=0 1 = ∑ (−1) +∞ nxn = 1 − x + x2 − + (−1)nxn + , ∀x ∈ (−1, 1) 1+x n=0 +∞ ln(1 + x) = ∑ (−1)nxn+1 = x − x2 + x3 − + (−1)nxn+1 + , ∀x ∈ (−1, 1) n=0 n + 1 23 n+1 ex = ∑ = 1 + x + + + + , ∀x ∈ R +∞ xn x2 xn n=0 n! 2! n! +∞ cos x = ∑ (−1)nx2n =1 − x2 + x4 − x6 + + (−1)nx2n + , ∀x ∈ R n=0 (2n)! 2! 4! 6! (2n)! +∞ sin x = ∑ (−1)nx2n+1 =x − x3 + x5 − x7 + + (−1)nx2n+1 + , ∀x ∈ R n=0 (2n + 1)! 3! 5! 7! (2n + 1)! (1 + x)β +∞ = ∑ β (β − 1) (β − n + 1) xn n=0 n! = 1 + βx + β (β − 1) x2 + + β (β − 1) (β − n + 1) xn + , ∀x ∈ (−1, 1) 1! 2! n! Ví dụ Tìm khai triển Taylor của hàm f (x) = 1 tại điểm x0 = 2 Từ đó, tính f (2017)(2) x 1 1 +∞ 1 1 11 11 nn Ta có f (x) = = = x−2 = = + ∑ (−1) u , ∀u ∈ (−1, 1) , trong x 2 + (x − 2) 2 1 + 2 2 1 + u 2 2 n=1 TS Bùi Thanh Duy 13 duy.buithanh@uah.edu.vn TOÁN CAO CẤP 2 đó u = x − 2 Từ đó, suy ra f (x) = 1 + 1 +∞ ∑ (−1)n x − 2 n, ∀x ∈ (0, 4) Vậy2 2 2 n=1 2 1 +∞ (−1)n n f (x) = + ∑ n+1 (x − 2) , ∀x ∈ (0, 4) 2 n=1 2 Đây là khai triển Taylor của f tại x0 = 2, tức là +∞ f (x) = f (2) + ∑ f (n) (2) (x − 2)n, ∀x ∈ (2 − h, 2 + h) , n=1 n! trong đó h = 2 Suy ra f (n) (2) (−1)n (2017) (−1)20172017! = n+1 Chọn n = 2017, ta được f (2) = 2018 n! 2 2 1 Ví dụ Tìm khai triển Marclarin của hàm số f (x) = 2 x +x−2 Ta có: 1 1 11 1 f (x) = 2 = = − x + x − 2 (x − 1)(x + 2) 3 x − 1 x + 2 Ta lại có 11 = −1 1 = −1 +∞ , ∀x ∈ (−1, 1), 3 x−1 3 1−x 3 1 + ∑ xn 11 =1 3 x+2 6 n=1 =1 1 +∞ n x n 2 , ∀x ∈ (−2, 2) 6 1 + x2 1 + ∑ (−1) n n=1 Như vậy nếu xét khai triển Maclaurin trên (−1, 1), ta thu được f (x) = − 1 +∞ − ∑ 1 (−1)n xn = − 1 + ∑+∞ (−1)n+1 − 2n+1 xn, ∀x ∈ (−1, 1) 3 + 6.2n 3.2n+1 2 n=1 2 n=1 là khai triển Maclaurin cần tìm Tham khảo thêm bài tập trong [1, 2] 1.4 CHUỖI HÀM 1.4.1 Định nghĩa Cho ( fn): f1, f2, fn, là một dãy các hàm số xác định trên D ⊂ R Tổng vô hạn sau f1 + f2 + + fn + fn+1 + được gọi là một chuỗi hàm xác định trên D, ký hiệu là ∑ fn hay ∑ fn(x) Ví dụ 1 Chuỗi lũy thừa ∑ an(x − x0)n, fn(x) = an(x − x0)n là một chuỗi hàm xác định trên R 2 Chuỗi hàm ∑ lnn x 2 , fn(x) = lnn x + 2 là một chuỗi hàm xác định trên R 1+x 1+x TS Bùi Thanh Duy 14 duy.buithanh@uah.edu.vn TOÁN CAO CẤP 2 1.4.2 Sự hội tụ Cho chuỗi hàm ∑ fn(x), khi khảo sát sự hội tụ của chuỗi hàm này, người ta chia làm hai loại sau đây Hội tụ điểm 1 Xét x0 ∈ D, nếu chuỗi số ∑ fn(x0) hội tụ ta nói ∑ fn(x) hội tụ điểm tại x0 2 Nếu với mọi x0 ∈ D chuỗi số ∑ fn(x0) hội tụ ta nói ∑ fn(x) hội tụ điểm trên D 3 Nếu ∑ fn(x) hội tụ điểm trên H ⊂ D thì ta nói H là miền hội tụ của chuỗi hàm ∑ fn(x) Hội tụ đều m Xét Fm(x) = ∑ fn(x) và ε > 0 nhỏ tùy ý cho trước Ta nói ∑ fn(x) hội tụ đều về một hàm n=1 f trên D nếu có số m(ε) ∈ N sao cho |Fm(x) − f (x)| < ε, ∀m m(ε), ∀x ∈ D Tiêu chuẩn Weierstrass về hội tụ đều Cho chuỗi hàm ∑ fn xác định trên D, nếu tồn tại dãy số dương (un) sao cho | fn(x)| un, ∀x ∈ D, ∀n ∈ N và ∑ un hội tụ thì chuỗi hàm ∑ fn(x) hội tụ đều trên D Ví dụ 1 Xét chuỗi hàm ∑ xn, fn(x) = xn Chuỗi hàm này xác định trên R và hội tụ với mọi x thỏa |x| < 1 Vậy ∑ fn(x) hội tụ điểm trên (−1, 1) về hàm 1 1 − x Lúc này ta cũng nói (−1, 1) là miền hội tụ của chuỗi hàm trên 2 Xét chuỗi lũy thừa (1.1) Giả sử (1.1) có bán kính hội tụ là R, lúc này (1.1) hội tụ đều trên (−a, a) với a ∈ (0, R) 3 Tương tự, xét ∑ 1 + n3x2 nx với mọi x ∈ [0, 1] Chuỗi hàm này cũng hội tụ điểm trên [0, 1] 4 ∑ x2 + n3 sin nx hội tụ đều trên R theo tiêu chuẩn Weierstrass (chọn un = n31 ) 5 Xét ∑(1 − x)xn−1 trên [0, 1] Chuỗi hàm này hội tụ điểm về hàm f (x) = 1, x = 1, trên [0, 1] 0, x = 1 TS Bùi Thanh Duy 15 duy.buithanh@uah.edu.vn TOÁN CAO CẤP 2 nhưng không hội tụ đều trên [0, 1] Thật vậy, ta có m 1 − xm, x = 1, 0, x = 1 Fm(x) = ∑ (1 − x)xn−1 = n=1 1, x = 1, Suy ra lim Fm(x) = 0, x = 1 = f (x) Giả sử với mọi ε > 0 nhỏ tuỳ ý có m(ε) ∈ N sao cho |Fm(x) − f (x)| < ε, ∀m m(ε) Lúc này, |Fm(x) − f (x)| = xm tiến về 1 khi x tiến về 1 Suy ra 1 < ε (vô lý) Tham khảo thêm bài tập trong [1, 2] 1.5 Các định lý liên quan đến tính chất hội tụ đều 1.5.1 Định lý về tính liên tục và tích phân Cho chuỗi hàm ∑ fn xác định trên [a, b] Giả sử fn liên tục trên [a, b] với mọi n ∈ N và ∑ fn hội tụ đều về một hàm f trên [a, b] Lúc này, f là một hàm liên tục trên [a, b] Hơn nữa, ta có b b b f (x)dx = ∑ fn(x)dx = ∑ fn(x)dx a a a 1.5.2 Định lý về tính khả vi Cho chuỗi hàm ∑ fn xác định trên [a, b] Giả sử fn có đạo hàm liên tục trên [a, b] với mọi n ∈ N và ∑ fn(x) hội tụ đều trên [a, b], hơn nữa ∑ fn(x) hội tụ điểm tại x0 ∈ (a, b) Lúc này, ∑ fn hội tụ đều về một hàm f khả vi liên tục trên [a, b] và f (x) = ∑ fn(x) = ∑ fn(x), ∀x ∈ (a, b) Ví dụ Tính các tổng vô hạn sau 1 ∑ 2n , 2 ∑ 3nn , 3 ∑ (−1)n (n + 1)6n+1 3 n+1 − 2n+1 n! Bài 1: Dùng khai triển Maclaurin của hàm ex Sau đó chọn x = 2 Bài 2: Dùng khai triển Maclaurin của hàm 1 Sau đó lấy đạo hàm hai vế và chọn x = 1 1−x 3 Bài 3: Dùng khai triển Maclaurin của hàm 1 Sau đó lấy tích phân hai vế trên 1, 1 1+x 32 TS Bùi Thanh Duy 16 duy.buithanh@uah.edu.vn Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC KHÁI NIỆM ĐẦU TIÊN Ở chương này, chúng ta làm quen với việc giải một phương trình mà trong đó nghiệm của phương trình là một hàm số y := y(x) xác định trên khoảng D ⊂ R 2.1.1 Định nghĩa Một phương trình vi phân (ptvp) là một phương trình hàm (một biến) trong đó có chứa đạo hàm của hàm cần tìm Nếu bậc cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân là n thì phương trình gọi là phương trình vi phân cấp n Dạng tổng quát của một phương trình vi phân là F(x, y, y , y , y , , y(n)) = 0, (2.1) trong đó y là hàm cần tìm Một hàm số y(x) được gọi là nghiệm của ptvp (2.1) trên D nếu với mọi x ∈ D, y thỏa (2.1) 2.1.2 Các loại nghiệm của phương trình vi phân 1 Nghiệm tường minh Nghiệm tường minh của một ptvp là nghiệm y của pt được biểu diễn một cách cụ thể bởi một hàm số f (x) Ví dụ: ptvp y = 2x có nghiệm tường minh là y = x2 + C(C ∈ R) là nghiệm tường minh của pt trong đó f (x) = x2 + C 2 Nghiệm ẩn Nghiệm ẩn của một ptvp là nghiệm y của pt được xác định từ một hệ thức không chứa dấu đạo hàm g(x, y) = 0 được suy ra từ pt Ví dụ: ptvp yy = x có nghiệm ẩn là một hàm y được xác định từ hệ thức g(x, y) = 0, trong đó g(x, y) = x2 − y2 + C được suy ra từ pt 3 Nghiệm tổng quát Nghiệm tổng quát của một ptvp là nghiệm có dạng y = f (x, C) trong đó C ∈ R Ví dụ: nghiệm y = x2 + C(C ∈ R) cũng là nghiệm tổng quát của ptvp y = 2x 4 Nghiệm đặc biệt Với một giá trị C0 ∈ R Nghiệm y = f (x, C0) gọi là một nghiệm đặc biệt của ptvp Ví dụ: nghiệm y = x2 + 1 hay y = x2 là 2 nghiệm đặc biệt của ptvp y = 2x 17