Toán cao cấp 2 đh kiến trúc th hcm

∑sin n!π101.1.3Ứng dụngBiểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn dưới dạng phân số, xấp xỉ diện tích của một hình bất kỳbằng diện tích của các hình chữ nhật trong phân hoạch,...1.1.4Các tín

TS BÙI THANH DUY

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

Trường Đại học Kiến trúc Tp Hồ Chí Minh

Thành phố Hồ Chí Minh Ngày 7 tháng 9 năm 2022

1 LÝ THUYẾT CHUỖI 1

1.1 CHUỖI SỐ 1

1.1.1 Định nghĩa 1

1.1.2 Sự hội tụ và phân kỳ 2

1.1.3 Ứng dụng 4

1.1.4 Các tính chất cơ bản 4

1.1.5 Các tiêu chuẩn hội tụ 5

1.2 Chuỗi lũy thừa 11

1.2.1 Định nghĩa 11

1.2.2 Miền hội tụ của một chuỗi luỹ thừa 11

1.3 Khai triển Taylor và Maclaurin 12

1.3.1 Định nghĩa chuỗi Taylor và Maclaurin 12

1.3.2 Định lý 12

1.3.3 Khai triển Maclaurin của một số hàm cơ bản 13

1.4 CHUỖI HÀM 14

1.4.1 Định nghĩa 14

1.4.2 Sự hội tụ 15

1.5 Các định lý liên quan đến tính chất hội tụ đều 16

1.5.1 Định lý về tính liên tục và tích phân 16

1.5.2 Định lý về tính khả vi 16

2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 17 2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC KHÁI NIỆM ĐẦU TIÊN 17

2.1.1 Định nghĩa 17

2.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 18

2.2.1 Phương trình dạng tách biến 18

2.2.2 Phương trình vi phân dạng đẳng cấp 18

2.2.3 Ptvp dạng y0 =h(ax+by)trong đó b6=0 19

2.2.4 Ptvp tuyến tính cấp 1 19

2.2.5 Ptvp Bernoulli 19

2.2.6 Ptvp toàn phần 20

2.2.7 Bài tập 21

2.3 PTVP TUYẾN TÍNH CẤP HAI HỆ SỐ HẰNG 21

2.3.1 Ptvp thuần nhất 21

2.3.2 Ptvp không thuần nhất 21

e−11! +

e22! + +

(−1)nenn! +

Lịch sử số π. Số π có dạng thập phân π=3.14159265358979323846264338327950288· · · và đượcbiểu diễn dạng tổng vô hạn sau

sm = u1+u2+u3 +um Lúc này sm được gọi là tổng riêng thứ m của chuỗi Nếu lim sm

tồn tại hữu hạn và có giá trị bằng s thì ta nói chuỗi hội tụ và có tổng bằng s Lúc này ta viết

+ ∞

∑

n = 1

un =s Ngược lại, ta nói chuỗi phân kỳ

Ví dụ.Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = 1, công bội q = r Tổng của m sốhạng đầu

m+1.Vậy lim

m →+ ∞Sm =1 nên tổng cần tìm có giá trị bằng 1

Bài tập.Tính các tổng vô hạng sau (nếu có)

1 Giả sử∑un,∑vn hội tụ, lúc này ta có

i Chuỗi∑αunhội tụ và∑αun =α∑un với mọi α∈ R.

ii Chuỗi∑(un±vn)hội tụ và∑(un±vn) = ∑un±∑vn

2 Nếu chuỗi số∑un hội tụ thì lim

n →+ ∞|un| = 0 Từ đó, ta suy ra rằng nếu lim

n →+ ∞|un| 6= 0thì∑un phân kỳ

Ví dụ.Kiểm tra tính hội tụ, phân kỳ của chuỗi

∞

∑

n = 1

n25n2+4.

Ta có lim

n →+ ∞un = lim

n →+ ∞

n25n2+4 =

1

5 6=0 nên chuỗi phân kỳ.

Bài tập.Chứng minh các chuỗi số sau đây phân kỳ

un hội tụ hay phân kỳ

4 Chuỗi số∑ n1p hội tụ khi và chỉ khi p >1 Ví dụ như∑√1

n phân kỳ còn∑n√1

n hộitụ

1.1.5 Các tiêu chuẩn hội tụ

1 Tiêu chuẩn Cauchy.

Cho chuỗi số∑un, xét L =lim n

q

|un| Lúc này, ta có(a) ∑un hội tụ khi L<1

(b) ∑un phân kỳ khi L >1

2 Tiêu chuẩn D’Alembert.

Giống tiêu chuẩn Cauchy nhưng L =lim

un + 1

un

Lưu ý:Cả hai tiêu chuẩn trên đều không giải quyết cho trường hợp L=1

Ví dụ.Khảo sát sự hội tụ của chuỗi sau

= (n+1)3

3n + 1 · 3

n

n3 = 13

 n+1n

3

Suy ra

lim

n → ∞

an+ 1

an

= 1

3 <1.

Do đó chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert

Ta cũng có thể khảo sát bằng tiêu chuẩn Cauchy như sau Ta có qn

n →+ ∞

nq

|un| = 1

3 <1 vì limn →+ ∞

n

√

n =1 Vậy chuỗi đã cho hội tụ

Ví dụ.Chứng minh những điều sau đây

(a) ∑ (−n21n)n hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy và theo tiêu chuẩn D’Alembert

(b) ∑ n!1 hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert

(c) ∑



1+ 1nn

2

πn hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy

(d) ∑ ennn!n phân kỳ nhưng không dùng được hai tiêu chuẩn trên

(e) ∑ ennnn! phân kỳ và cũng không dùng được hai tiêu chuẩn trên (*).

3 Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối.

Chuỗi số∑un hội tụ nếu∑|un|hội tụ

Ví dụ.∑(−2n1n!)n hội tụ theo tiêu chuẩn vừa nêu.

4 Tiêu chuẩn Leibnitz.

Cho chuỗi số ∑(−1)nun, trong đó un > 0,∀n ∈ N Chuỗi số này hội tụ nếu (un) làmột dãy số giảm về 0

Ví dụ.∑(−n1)n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz trong khi∑ 1n phân kỳ

Ví dụ.Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau

n2, suy ra∑vnhội tụ Vậy∑un hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.

Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ khi dùng tiêu chuẩn so sánh.

u

6e6



1+ 1u

u + 1

,∀u >0

6 Tiêu chuẩn giới hạn.

Cho chuỗi số ∑un Giả sử có k ∈ N và vn sao cho un, vn > 0,∀n > k Lúc này, nếulim un

vn

=L∈ (0,+∞)thì∑unvà∑vn cùng tính chất Hơn nữa,(a) Nếu L =0,∑un hội tụ nếu∑vn hội tụ

(b) Nếu L= +∞,∑un phân kỳ nếu∑vn phân kỳ

Ví dụ.Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau

(a) ∑ n sin1n

2n , un = n sin1n

2n Xét vn = 1

n, ta có un, vn >0,∀n∈ N và limun

vn

=lim √n1

n =1∈ (0,+∞) Hơn nữa,∑vn

phân kỳ nên∑un cũng phân kỳ theo tiêu chuẩn giới hạn

7 Tiêu chuẩn tích phân.

Cho hàm f là một hàm liên tục trên[k,+∞)(k ∈ N) Giả sử f(x) > 0,∀x ∈ [k,+∞)và

f là một hàm giảm trên(k,+∞) Lúc này,

+ ∞

Z

2

1xln2xdx =

• Trường hợp p60 Lúc này lim un = +∞ 6=0 nên∑un phân kỳ.

tụ khi p > 1 Vậy tóm lại ta thu được kết quả∑un phân kỳ khi p 61 và hội tụ khi

n 2

17 ∑ln



1+ 1n!

5 ∑π

2 −arcsin

n

1.30 Nhân liên hợp và dùng tiêu chuẩn Leibnitz suy ra chuỗi đang xét phân kỳ

2.1 Dùng tiêu chuẩn giới hạn, lưu ý lim

u → 0

ln 1+ sin uu −1

u sin u −1
=1, lim

u → 0

u − sin u sin u

u 3

sin u

= L>0 và bất đẳngthức u>sin u,∀u>0 Chuỗi này phân kỳ

2.2 Dùng tiêu chuẩn giới hạn, đặt un =arcsin(e−n) Chuỗi này hội tụ

2.3 Dùng bất đẳng thức trong mục 9d phần iii Chuỗi này hội tụ

2.4 Dùng hai bất đẳng thức trong mục 9d phần iii, vii Lưu ý chứng minh chuỗi đang xét là chuỗi

2 Chuỗi này phân kỳ

2.6 Dùng tiêu chuẩn giới hạn với lưu ý lim

Tham khảo thêm bài tập trong [1, 2]

1.2 Chuỗi lũy thừa

1.2.1 Định nghĩa

Cho x ∈R, tổng vô hạn sau đây được gọi là một chuỗi luỹ thừa

trong đó an ∈ R,∀n ∈N.

1.2.2 Miền hội tụ của một chuỗi luỹ thừa

Đặt un =an(x−x0)n, ta dùng tiêu chuẩn Cauchy hoặc D’Alembert như sau

1 Tính

L = lim

n →+ ∞

nq

|un| = lim

n →+ ∞

nq

un + 1

un