1. Các bài tập được tập hợp trong tài liệu này sẽ được sử dụng chung trong các giờ bài tập của học phần ĐSTT cho các lớp hệ 2 tín chỉ và hệ 3 tín chỉ. 2. Yêu cầu về việc chuẩn bị bài tập cho từng tuần sẽ được giảng viên thông báo trực tiếp cho sinh viên. 3. Để thực hiện tốt các bài tập được đề nghị sinh viên cần phải ghi nhớ chắc chắn các nội dung lý thuyết được giảng dạy trên lớp, tham khảo và vận dụng tốt những phương án xử lý trong các ví dụ mẫu của sách giáo khoa. PHẦN I: ĐỀ BÀI 1. Ma trận và định thức Bài 1.1. Cho ma trận A = 2 −1 5 −2 . a) Tính A567. b) Tính det(A576 + 2A567 + 3A675). Bài 1.2. Cho ma trận A = 2 3 −1 −1 . a) Tính A2018. b) Tính det(2A2017 − 3A2018 + 4A2019). Bài 1.3. Cho ma trận A = 1 −
BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bộ môn Đại số Xác suất Thống kê 10-2023 Chú ý sinh viên Bài 1.6 Giải phương trình: 33xx x 3 x = Các tập tập hợp tài liệu sử xx33 dụng chung tập học phần ĐSTT xxx3 cho lớp hệ tín hệ tín Yêu cầu việc chuẩn bị tập cho tuần Bài 1.7 Giải phương trình: xx11 giảng viên thông báo trực tiếp cho sinh viên 1 x x = x21x Để thực tốt tập đề nghị sinh viên cần x2x1 phải ghi nhớ chắn nội dung lý thuyết giảng dạy lớp, tham khảo vận dụng tốt phương án xử lý ví dụ mẫu sách giáo khoa Bài 1.8 Tính giá trị định thức PHẦN I: ĐỀ BÀI xx11 D= x x Ma trận định thức 11xx Bài 1.1 Cho ma trận A = −1 x11x −2 Bài 1.9 Cho ma trận vng cấp ba a) Tính A567 b) Tính det(A576 + 2A567 + 3A675) 1 −2 A = 2 Bài 1.2 Cho ma trận A = −1 −1 54 a) Tính A2018 a) Tính det(A4 + 3A3) b) Tính det(2A2017 − 3A2018 + 4A2019) b) Tính hạng ma trận A + 5I 1 −4 2 Bài 1.10 Cho hai ma trận Bài 1.3 Cho ma trận A = 1 −4 2 A= , 2 −4 −1 B = −1 3 Tính A200 + A 34 Bài 1.4 Cho ma trận vuông cấp ba a) Tính det(AB) det(BA) −10 11 −22 b) Tính hạng ma trận BA + 4I A = −2 Bài 1.11 Cho hai ma trận −6 13 A= , B= a) Tính A2, A2018 A2019 13 23 b) Cho n số nguyên dương Hãy tính theo n định thức ma trận B với B = A2018 + 3An a) Tính det(A3B2 + 4A2B3) b) Tính (A + 2B)2 − 19(A + 2B) Bài 1.5 Cho ma trận vuông cấp ba Bài 1.12 Cho ma trận vuông cấp ba 1 a A = 0 b 1 3 5 0 −1 A = 2 −2 , B = 2 3 a) Tính A2, A2018 A2019 −2 −1 b) Cho m, n hai số nguyên dương Hãy tính theo m, n định thức ma trận B với B = 5Am + 7An Hãy xác định giá trị det(AB) Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín Bài 1.13 Cho ma trận vng cấp ba Bài 1.21 Tìm x để ma trận sau khả nghịch 3 −5 1 x x x A = 2 −2 , B = −2 x 1 x x −2 −2 −2 −1 A= x Hãy xác định giá trị det(A2B − 3AB2) −2 −2 x x Bài 1.14 Cho ma trận vuông cấp ba Bài 1.22 Giải phương trình ma trận 1 3 −2 1 −1 5 A = 3 −1 , B = 3 2 −1 X = 2 −2 −3 52 −2 −2 a) Hãy xác định giá trị det(A3B2 − 3A2B3) Bài 1.23 Giải phương trình ma trận b) Tính hạng ma trận A + 3B Bài 1.15 Cho ma trận vuông cấp ba 2 −2 0 X 0 = −2 3 3 −2 −2 −1 −2 A = 1 , B = −3 Bài 1.24 Giải phương trình ma trận −2 −1 a) Chứng minh ma trận A3B2 + 3A2B3 khả 43X75 = nghịch 32 32 −1 b) Tính hạng ma trận A2B − 2AB2 Bài 1.25 Tính hạng ma trận Bài 1.16 Tính nghịch đảo ma trận 1 1 −3 A = 2 3 A = −2 3264 −1 −2 Bài 1.26 Tính hạng ma trận 2 3 Bài 1.17 Cho ma trận A = 1 2 1 −1 −1 104 2 −1 a) Tính A3 − 8A2 + 17A A= b) Tính A−1 1 −2 −2 −4 −1 −2 Bài 1.18 Tìm x để ma trận sau khả nghịch: Bài 1.27 Tính hạng ma trận sau theo x a x x x 1 1 x b b x x 1 x x 1 A= A= c c c x x x 1 dddd x1x1 với a, b, c, d số cho trước Bài 1.28 Tính hạng ma trận sau theo x x 3 1 x x Bài 1.19 Cho ma trận A = 0 4 Hãy tìm x 1 x x x 058 A= để A4 − 3A3 ma trận khả nghịch x 1 x x111 Bài 1.20 Tìm x để ma trận sau khả nghịch Bài 1.29 Tính hạng ma trận sau theo x 1 1 x 2 2 x x x A= A = x x x x x −2 −2 xx2x x x x −1 Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023 Bộ môn Đại số Xác suất thống kê Bài 1.30 Cho ma trận Bài 2.7 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số λ 1 x x x 1 x x A= x1 − x2 + 3x3 + 2x4 = 1 x x 1122 2x1 − x2 + 2x3 + 5x4 = Hãy tính x biết r(A) = 4x1 − 3x2 + 7x3 + 9x4 = 13 8x1 − 6x2 + λx3 + 18x4 = 26 Hệ phương trình Bài 2.8 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số α Bài 2.1 Giải hệ phương trình sau theo phương pháp Cramer 2x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 2x1 + 2x2 + 5x3 = 21 x1 + x2 + 3x3 + x4 = 2x1 + 3x2 + 6x3 = 26 3x1 + 5x2 − 5x3 + (α + 5)x4 = Bài 2.9 Cho hệ phương trình x1 − 6x2 − 9x3 = −37 Bài 2.2 Giải hệ phương trình sau theo phương pháp khử Gauss x1 + x2 + 2x3 = x1 + 5x2 + 2x3 + 3x4 − 2x5 = 3x1 + x2 + 4x3 = 5x1 − 4x2 + x3 = 4x1 + x2 − x3 + 12x4 − 8x5 = 15 4x1 − x2 + 5x3 = λ 2x1 + 3x2 + x3 + 6x4 − 4x5 = Bài 2.3 Giải hệ phương trình sau theo phương pháp Xác định λ để hệ có nghiệm Giải hệ với λ tìm khử Gauss Bài 2.10 Cho hệ phương trình x1 + 3x2 + 2x3 − 3x4 − 4x5 = 14 x1 + x2 + x3 − x4 − x5 = 5x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 − 6x5 = 17 2x1 + 3x2 − 2x3 + 4x4 + x5 = 3x1 + 4x2 − 2x3 + x4 − 2x5 = 3x1 − 2x2 + x3 + 2x4 − 2x5 = −1 Bài 2.4 Giải hệ phương trình sau theo phương pháp khử Gauss 6x1 + 8x2 − 3x3 + 4x4 − 2x5 = λ Xác định λ để hệ có nghiệm Giải hệ với λ tìm x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = Bài 2.11 Cho hệ phương trình 2x1 + 3x2 + x3 − 2x4 = 3x1 + 5x2 − 2x3 + 2x4 = 6x1 + 10x2 − 3x3 + x4 = 13 Bài 2.5 Giải hệ phương trình sau: 3x1 − 2x2 + x3 − 2x4 = x1 + 2x2 − 3x3 + 2x4 = 2x1 − x2 + 3x3 + 3x4 = 2x1 + 3x2 + x3 − x4 = 3x1 + 5x2 + 2x3 + 4x4 = 23 4x1 − 3x2 − x3 − 7x4 = λ a) Tìm λ để hệ cho có nghiệm b) Giải hệ tương ứng với hệ cho 4x1 + 6x2 + 6x3 + 2x4 = 22 Bài 2.6 Cho hệ phương trình Bài 2.12 Cho hệ phương trình 2x1 + 3x2 − x3 = 2x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 3x1 + x2 + 4x3 = 3x1 − 2x2 + x3 + 3x4 = λx1 + 4x2 + 3x3 = 4x1 − 5x2 − x3 + 8x4 = λ a) Tìm giá trị λ để hệ có nghiệm a) Tìm λ để hệ cho có nghiệm b) Giải hệ λ = b) Giải hệ tương ứng với hệ cho Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín Bài 2.13 Cho hệ phương trình Bài Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hệ {a1, a2, a3, a4} với a1 = (1, 1, 2), a2 = (2, 3, −1) a3 = (3, −1, 2), a4 = (2, 8, −2) Hãy tìm tất biểu diễn tuyến tính có a4 hệ x1 + x2 + 2x3 − 2x4 = {a1, a2, a3, a4} Bài Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ {a1, a2, a3, a4} với a1 = (1, 2, −2), a2 = (2, −1, 3) a3 = 3x1 + x2 − x3 + 4x4 = (3, 1, 4), a4 = (5, 5, 3) Hãy tìm tất biểu diễn tuyến tính có a4 hệ {a1, a2, a3, a4} Bài 3.6 Tìm λ để x = (1, 4, λ) biểu diễn theo 6x1 + 4x2 + 5x3 + λx4 = véc tơ đây, khơng gian tuyến tính R3: Giải hệ với λ̸ = −2 Bài 2.14 Cho hệ phương trình 2x1 − x2 + 3x3 + 2x4 = 3x1 + 4x2 − 2x3 + 5x4 = 4x1 + 9x2 − 7x3 + λx4 = Giải hệ với λ̸ = a1 = (1, 1, −2); a2 = (2, −3, 1); a3 = (−1, −3, 4) Bài 2.15 Xác định nghiệm hệ phương trình sau Bài 3.7 Tìm λ để x = (2, 3, 2, λ) biểu diễn theo theo tham số λ véc tơ đây, khơng gian tuyến tính R4: a1 = (1, 1, 2, 2); a2 = (2, 3, 1, 4); a3 = (3, 4, 2, 3) x1 + x2 + x3 − x4 = Bài 3.8 Tìm λ để x = (4, 12, −7, λ) biểu diễn theo véc tơ đây, không gian tuyến tính R4: x1 + x2 − x3 + x4 = a1 = (1, 1, −1, −2); a2 = (1, 2, −3, −1); x1 − x2 + x3 + x4 = a3 = (1, −1, 4, 2), a4 = (1, 3, 2, 1) Bài Trong không gian R3 cho hệ véc tơ {a1, a2, a3} với −x1 + x2 + x3 + x4 = λ a1 = (−2, 1, 1), a2 = (1, −2, 1), a3 = (1, 1, 2) Bài 2.16 Xác định nghiệm hệ phương trình sau theo tham số λ a) Chứng minh hệ {a1, a2, a3} hệ độc lập tuyến tính b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) phần tử x = (1, 3, −2) qua hệ {a1, a2, a3} x1 + x2 − 3x3 − 3x4 = Bài 10 Trong không gian R4 cho hệ véc tơ {a1, a2, a3} với 2x1 + 3x2 + 4x3 − x4 = 3x1 + 4x2 + 2x3 + 2x4 = 7x1 + 9x2 + x3 + x4 = λ Khơng gian tuyến tính Bài Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hệ {a1, a2, a3} với a1 = (1, 1, −1), a2 = (3, 2, 1), a3 = (−1, 1, 3) Chứng minh phần tử x = (7, 7, 3) tổ hợp a1 = (1, 2, −1, 1), a2 = (1, −2, 2, 1), a3 = (1, 1, −1, 1) tuyến tính hệ {a1, a2, a3} Bài Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hệ a) Chứng minh hệ {a1, a2, a3} hệ độc lập tuyến {a1, a2, a3} với tính b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) phần tử a1 = (1, 1, −2), a2 = (3, −4, 1), a3 = (−3, 2, 1) x = (4, 6, −1, 3) qua hệ {a1, a2, a3} Chứng minh phần tử x = (5, −6, 1) tổ Bài 11 Trong không gian R3 cho hệ véc tơ hợp tuyến tính hệ {a1, a2, a3} {a1, a2, a3} với Bài 3 Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hệ {a1, a2, a3} với a1 = (1, −1, −1), a2 = (1, 2, 3), a3 = (2, 1, λ), a1 = (1, 2, 3), a2 = (3, 1, −1), a3 = (5, 3, 1) λ tham số a) Tìm giá trị λ để hệ {a1, a2, a3} hệ Hãy tìm tất biểu diễn tuyến tính phần tử độc lập tuyến tính x = (2, 3, 4) qua hệ {a1, a2, a3} b) Thay λ = 1, tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) phần tử x = (4, 2, 3) qua hệ {a1, a2, a3} Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023 Bộ môn Đại số Xác suất thống kê Bài 12 Trong không gian R3 cho hệ véc tơ Bài 3.20 Trong khơng gian tuyến tính R4 cho M {a1, a2, a3} với khơng gian hai chiều có sở {u1, u2} với a1 = (1, 1, 1), a2 = (1, 2, 3), a3 = (2, 1, 4) u1 = (2, 1, −1, 1), u2 = (1, 2, 3, −1) a) Chứng minh hệ {a1, a2, a3} hệ độc lập tuyến Cho phần tử u = (0, 1, 1, 3), v = (1, 1, 1, −1) Hãy tính xác định số thực λ cho u − λv ∈ M b) Hãy cho biết hệ {a1, a2, a3} có sở R3 hay không? Tại sao? Bài 3.21 Trong khơng gian tuyến tính R4 cho M khơng gian ba chiều có sở {u1, u2, u3} với Bài 13 Trong không gian R4 cho hệ véc tơ {a1, a2, a3, a4} với u1 = (1, 2, −1, 1), u2 = (2, 1, 3, 2), u3 = (−1, 2, 1, 2) a1 = (1, 2, 1, 2), a2 = (1, 2, −1, 1), Hãy xác định số thực λ biết phần tử x = a3 = (2, 1, 3, 1), a4 = (1, 3, −2, 2) (2, 5, 3, λ) nằm M a) Chứng minh hệ {a1, a2, a3, a4} hệ độc lập tuyến tính Bài 3.22 Trong không gian R3 cho tập M b) Hãy cho biết hệ {a1, a2, a3, a4} có sở N sau R4 hay không? Tại sao? M = {(x1, x2, x3) | x1 + x2 − x3 = 0}, Bài 14 Trong không gian R4 cho hệ véc tơ N = {(x1, x2, x3) | x1 + x2 − x3 ≥ 0} {a1, a2, a3, a4} với Hãy cho biết tập trên, tập a1 = (1, 1, −1, 2), a2 = (2, 3, −1, 1), không gian R3 Ứng với tập a3 = (−1, 1, 1, 3), a4 = (2, 2, 5, 6) không gian R3, xác định sở số a) Hãy cho biết hệ {a1, a2, a3, a4} hệ độc lập tuyến chiều tính hệ phụ thuộc tuyến tính? b) Cho b ∈ R4 phần tử Hãy cho biết Bài 23 Trong khơng gian tuyến tính R4, khơng hệ {a1, a2, a3, a4, b} hệ độc lập tuyến tính hệ gian M xác định phụ thuộc tuyến tính? M = {(x1, x2, x3, x4) | x1 − x2 − x3 + x4 = 0} Bài 3.15 Xác định giá trị λ để hệ {a1, a2, a3} cho hệ phụ thuộc tuyến tính: Hãy xác định sở số chiều M a1 = (2, 3, −2, 3), a2 = (2, −1, 2, 1), a3 = (1, 1, 1, λ) Bài 3.24 Trong khơng gian tuyến tính R4 cho không gian Bài 16 Trong không gian R4 cho hệ véc tơ {a1, a2, a3} với a1 = (2, 1, 2, 3), a2 = (1, 4, 1, 5), a3 = (3, −2, 3, λ) a) Tìm λ để hệ {a1, a2, a3} hệ phụ thuộc tuyến tính M = {(x1, x2, x3, x4)|2x1 − x2 − x3 + 4x4 = 0} b) Với λ tìm xác định biểu diễn tuyến tính a2 theo hệ {a1, a3} phần tử w ∈ M với w = (1, 5, 1, 1) Hãy xác định sở số chiều M cho biết tọa độ Bài 3.17 Hãy tìm tọa độ véc tơ x = (10, 9, 9) w sở đưa sở khơng gian tuyến tính R3: Bài 3.25 Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ a1 = (1, 1, 2); a2 = (1, 2, 3); a3 = (3, 1, −1) sở (a) = {a1, a2, a3} véc tơ x có tọa độ sở (a) [x]a = (1, 2, −3) Hãy tìm tọa độ véc tơ x Bài 3.18 Hãy tìm tọa độ véc tơ x = (8, 8, 19, 19) sở (b) = {b1, b2, b3}, biết ma trận chuyển sở khơng gian tuyến tính R4: từ sở (a) sang sở (b) a1 = (1, 1, 2, 3); a2 = (2, 1, 3, 4); 1 −1 a3 = (2, 3, −2, 1); a4 = (1, 3, 3, 1) T = 2 Bài 3.19 Trong không gian tuyến tính R3 cho M −1 không gian hai chiều có sở {u1, u2} với Bài 3.26 Trong không gian tuyến tính ba chiều U u1 = (1, 2, −2), u2 = (2, 2, −1) cho hai hệ sở (a) (b) với ma trận chuyển sở từ hệ (a) sang hệ (b) Cho phần tử u = (4, 7, 2), v = (1, 3, 5) Hãy xác định số thực λ cho u − λv ∈ M Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín 3 −2 −1 Bài 3.32 Trong không gian tuyến tính ba chiều U T = 2 cho ba hệ sở (e), (a) (b) Cho biết ma trận chuyển sở từ sở (e) sang sở (a) 12 2 −1 1 Cho biết phần tử x có tọa độ sở thứ Tea = 2 2 (a) [x]a = (2, 4, 5) Hãy tính tọa độ [x]b phần tử x sở thứ hai (b) 314 Bài 3.27 Trong khơng gian tuyến tính ba chiều U ma trận chuyển sở từ sở (e) sang sở (b) cho hai hệ sở (a) = {a1, a2, a3} (b) = {b1, b2, b3} 1 1 với Teb = −2 b1 = a1+a2−3a3, b2 = 2a1−3a2+2a3, b3 = 4a1+5a2+a3 −2 Cho biết phần tử x có tọa độ sở thứ Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (a) sang hệ (b) (a) [x]a = (1, −3, 5) Hãy tính tọa độ [x]b phần tử x sở thứ hai (b) Bài 3.33 Trong không gian tuyến tính R3 cho hai hệ sở (a) = {a1, a2, a3} (b) = {b1, b2, b3} với Bài 3.28 Trong không gian tuyến tính ba chiều U a1 = (3, 1, 4), a2 = (5, −4, 2), a3 = (2, 1, 1), cho hai hệ sở (a) (b) với ma trận chuyển sở b1 = (3, −2, 3), b2 = (4, 1, −2), b3 = (3, 4, 2) từ hệ (a) sang hệ (b) Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (b) sang hệ (a) 1 −4 Ánh xạ tuyến tính T = 2 Bài 4.1 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định công thức 32 f (x) = (x1 + 2x2 − x3, x1 − x2 + 2x3, 2x1 − x2 − x3), Cho biết phần tử x có tọa độ sở thứ (a) xa = (1, 4, −2) Hãy tính tọa độ xb phần tử x sở thứ hai (b) Bài 3.29 Trong không gian tuyến tính ba chiều U với x = (x1, x2, x3) ∈ R3 cho hai hệ sở (a) (b) với ma trận chuyển sở a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính từ hệ (a) sang hệ (b) b) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc R3 4 1 T = 1 −2 3 Bài 4.2 Cho ánh xạ f : R4 −→ R3 xác định công thức 334 Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (b) sang hệ (a) f (x) = (2x1−x2−x3+x4, x1+x2−2x3+x4, x1−x3+x4), Bài 3.30 Trong khơng gian tuyến tính ba chiều U với x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 cho hai hệ sở (a) = {a1, a2, a3} (b) = {b1, b2, b3} a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính với b) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc R3 R4 b1 = 2a1+3a2−a3, b2 = a1+4a2+2a3, b3 = 3a1−a2+a3 Bài 4.3 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định cơng Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (b) sang hệ (a) thức Bài 3.31 Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hai f (x) = (3x1 − 2x2 + x3, x1 + x2 + x3, x1 − x3 + α), hệ sở (a) = {a1, a2, a3} (b) = {b1, b2, b3} với với x = (x1, x2, x3) ∈ R3 (α tham số) a1 = (2, −1, 3), a2 = (1, 1, 2), a3 = (2, 1, 4), a) Hãy xác định α để ánh xạ f ánh xạ tuyến b1 = (1, 2, 3), b2 = (3, 1, −2), b3 = (−1, 1, 2) tính b) Với α tìm lập ma trận ánh xạ f Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (a) sang hệ (b) sở tắc R3 Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023 Bộ môn Đại số Xác suất thống kê Bài 4.4 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác Bài 4.9 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định công thức định công thức f (x) = (2x1 − x2 + 2x3, x1 + 2x2 − x3, 3x1 + 4x2 − x3), f (x) = (3x1 +x2 +2x3, x1 +3x2 +2x3, 3x1 +3x2 +5x3), với x = (x1, x2, x3) ∈ R3 với x = (x1, x2, x3) ∈ R3 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc R3 R3 b) Hãy ma trận f sở b) Hãy tìm ma trận f sở {a1, a2, a3} {a1, a2, a3} R3 với R3 với a1 = (2, 1, −1), a2 = (1, −2, 3), a3 = (3, 2, 1) a1 = (1, 1, 2), a2 = (2, 2, −3), a3 = (1, −1, 0) Bài 4.5 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định công ma trận đường chéo thức Bài 4.10 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác f (x) = (2x1 +3x2 +4x3, x1 +2x2 −5x3, 2x1 +x2 +3x3), định công thức với x = (x1, x2, x3) ∈ R3 a) Chứng minh f f (x) = (x1−2x2+x3, −2x1−2x2+2x3, −5x1−10x2+7x3), ánh xạ tuyến tính b) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở {a1, a2, a3} với x = (x1, x2, x3) ∈ R3 R3, biết a1 = (0, 4, 0), a2 = (2, 0, 0), a3 = a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc (0, 0, −1) R3 b) Hãy tìm giá trị riêng véc tơ riêng ánh Bài 4.6 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác xạ f định công thức Bài 4.11 Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R4 xác f (x) = (2x1 + x2 − 3x3, 3x1 − 2x2 − x3, x1 + 3x2 − 2x3), định công thức với x = (x1, x2, x3) ∈ R3 f (x) = (3x1−x2+2x3+x4, 3x2−x3+6x4, 3x3+5x4, 3x4), a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc R3 với x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 b) Xác định x ∈ R3 để f (x) = (6, 2, 6) a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc R4 Bài 4.7 Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R3 xác b) Hãy tìm giá trị riêng véc tơ riêng ánh định công thức xạ f f (x) = (x1 + x2 − x4, 3x1 − 2x2 + x3, x1 + x3 − 2x4), Bài 4.12 Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R4 xác định công thức với x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 f (x) = (2x1, −3x1+2x2, 5x1−x2+2x3, 2x1−x2+4x3+2x4), a) Hãy lập ma trận ánh xạ f cặp sở với x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 tắc R3 R4 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở b) Tìm tất x ∈ R4 để f (x) = f (1, 2, 1, 2) tắc R4 Bài 4.8 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác b) Hãy tìm giá trị riêng véc tơ riêng ánh định công thức xạ f f (x) = (x1 + x2 − 2x3, 2x1 − 2x2 + 5x3, x1 + 3x2 + x3), Bài 4.13 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác với x = (x1, x2, x3) ∈ R3 định công thức a) Cho u = (1, −1, 2) Hãy tìm x ∈ R3 để f (x) = (3x1 + x2 + x3, x1 + 3x2 + x3, −x1 + x2 + x3), f (x + 2u) + f (2x − u) = (11, −7, 18) b) Cho u = (2, −1, 2) Hãy tìm x ∈ R3 để với x = (x1, x2, x3) ∈ R3 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc f (x+u)+f (x+2u)+ .+f (x+5u) = f (36x+108u) R3 b) Hãy xác định giá trị riêng véc tơ riêng ánh xạ f Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín Bài 4.14 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác Bài 4.22 Cho ma trận định công thức −1 f (x) = (3x1 − x2 + 2x3, −x1 + 3x2 − 2x3, x1 + x2 + x3), A = −2 −2 với x = (x1, x2, x3) ∈ R3 −1 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc R3 Chứng minh ma trận A chéo hóa b) Hãy xác định giá trị riêng véc tơ riêng ánh xạ f Bài 4.23 Tìm giá trị riêng véc tơ riêng c) Hãy xây dựng sở R3 bao gồm ba véc tơ ma trận cho Chứng minh ma trận riêng f đồng dạng với ma trận chéo biến đổi ma trận ma trận chéo Bài 4.15 Tìm giá trị riêng véc tơ riêng ma trận sau 4 2 A = 4 4 2 2 A = 1 2 129 337 Bài 4.24 Tìm giá trị riêng véc tơ riêng ma trận cho Chứng minh ma trận Bài 4.16 Tìm giá trị riêng véc tơ riêng đồng dạng với ma trận chéo biến đổi ma trận ma trận sau ma trận chéo 2 −1 1 −2 A = 1 1 A = −3 −1 −1 −1 Bài 4.17 Tìm giá trị riêng véc tơ riêng 3 2 ma trận sau Bài 4.25 Cho ma trận A = 2 4 3 2 −1 A = 1 2 a) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng A b) Ma trận A có chéo hóa khơng? Tại sao? Nếu 111 tìm ma trận T ma trận đường chéo B để cho B = T −1AT Bài 4.18 Tìm giá trị riêng véc tơ riêng ma trận sau 3 2 Bài 4.26 Cho ma trận A = 2 2 1 2 A = 2 2 223 a) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng A 221 b) Ma trận A có chéo hóa khơng? Tại sao? Nếu tìm ma trận T ma trận đường chéo B để Bài 4.19 Tìm giá trị riêng véc tơ riêng cho B = T −1AT ma trận sau 3 2 3 2 Bài 4.27 Cho ma trận A = 1 2 A = 1 2 335 123 a) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng ma trận A b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay Bài 4.20 Tìm giá trị riêng véc tơ riêng khơng Nếu có ma trận chuyển T ma ma trận sau trận đường chéo B B = T −1AT 2 2 2 Bài 4.28 Cho ma trận A = 1 2 0 −2 A= 236 a) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng ma trận A 0 b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay khơng Nếu có ma trận chuyển T ma 0 −3 trận đường chéo B B = T −1AT Bài 4.21 Cho ma trận 2 3 A = 3 −1 1 Chứng minh ma trận A khơng chéo hóa Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023 Bộ môn Đại số Xác suất thống kê 3 3 Bài Cho M không gian hai chiều Bài 4.29 Cho ma trận A = 1 3 không gian Euclid R4 có sở gồm hai véc tơ u = (1, −1, 1, 1), v = (2, −1, 2, 1) Hãy tìm véc tơ có độ −1 dài đơn vị thuộc M cho véc tơ trực giao với a) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng ma trận A véc tơ w = (1, −2, −2, 1) b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay khơng Nếu có ma trận chuyển T ma Bài Cho M không gian hai chiều trận đường chéo B B = T −1AT không gian Euclid R4 có sở gồm hai véc tơ u = (2, 1, 1, 2), v = (3, 3, 1, 3) Hãy tìm véc tơ có độ Khơng gian Euclid (Dành riêng cho hệ tín dài đơn vị thuộc M cho véc tơ trực giao với chỉ) véc tơ w = (1, 2, 3, −2) Bài 5.1 Trong khơng gian R4 tìm véc tơ có độ Bài 5.10 Cho M khơng gian không gian dài đơn vị trực giao đồng thời với véc tơ sau: Euclid R5 có sở gồm hai véc tơ v1 = (1, 0, 10, 12), v2 = (2, 2, −4, −5), u = (2, 1, 2, 1, 1), v = (1, 0, −1, 3, −1) v3 = (3, 11, −4, −1) Bài 5.2 Trong không gian Euclid R4 cho hệ sở Hãy tìm véc tơ có độ dài đơn vị thuộc M cho véc tơ trực giao với véc tơ w = (−1, 2, 1, −1, 3) trực chuẩn {u1, u2, u3, u4} với u1 = (4, −2, −2, 1), Bài 5.11 Trong không gian R5, cho M không gian u2 = (−1, −2, 2, 4), u3 = (2, 4, 1, 2) Hãy xác định ba chiều có sở gồm véc tơ tất giá trị có u4 u1 = (1, −3, −1, 1, 1), u2 = (1, −1, 2, −1, 1), u3 = (−1, 3, −1, −1, −3) Bài 5.3 Trong không gian Euclid R4 cho hệ sở Hãy xác định M véc tơ có độ dài đơn vị trực giao trực chuẩn {u1, u2, u3, u4} với u1 = (5, 1, 3, 1), u2 = với hai véc tơ v1 = (2, 1, 1, 2, 1), v2 = (1, 1, 2, 3, 5) (−1, 3, −1, 5), u3 = (−3, −1, 5, 1) Hãy xác định Bài 5.12 Trong không gian R6 cho M không gian ba chiều có sở gồm véc tơ tất giá trị có u4 u1 = (1, 1, 1, 1, 1, 1), u2 = (2, −3, 4, 1, 5, 2), Bài Trong không gian Euclid R4 cho hệ u3 = (3, −4, 10, 2, 1, 3) {u1, u2, u3, u4} với Hãy xác định M véc tơ có độ dài đơn vị trực u1 = (2, 1, −1, −2), u2 = (1, −2, 3, −2), giao với hai véc tơ u3 = (2, 1, −4, 1), u4 = (−2, 1, −3, 4) v1 = (2, −1, 1, 3, 1, −4), v2 = (3, −2, 1, 2, 1, −1) Hãy phần tử x ∈ R4 thỏa mãn x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 ta phải có x ⊥ u4 Bài 13 Trong không gian Euclid R4 cho M khơng gian hai chiều có sở gồm hai véc Bài 5 Trong không gian Euclid R4 cho hệ tơ u1 = (1, 2, −3, 3); u2 = (2, 1, −1, 5) Hãy phân tích {u1, u2, u3, u4} với phần tử x = (6, 1, 4, 8) thành x = u + v u ∈ M v ∈ M ⊥ u1 = (2, −1, 1, 1), u2 = (1, 2, 3, −2), u3 = (2, 2, 3, −3), u4 = (2, 1, 2, −2) Bài 5.14 Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ x = (1, 0, −7, 2) cho M không gian hai chiều Hãy phần tử x ∈ R4 thỏa có sở gồm véc tơ u1 = (1, 2, −3, 2), u2 = mãn x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 ta phải có x ⊥ u4 (2, −1, −2, 1) Hãy tìm véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈ M ⊥ cho ta có đẳng thức x = u + v Bài 5.6 Trong không gian Euclid R4 cho véc tơ u1 = (1, −1, 1, 2), u2 = (−2, 1, 2, 3), v = (2, λ, −1, µ) Hãy xác định giá trị λ µ để v⊥u1, v⊥u2 Bài 5.7 Trong không gian Euclid R4 cho véc tơ Bài 5.15 Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ x = (6, 6, −6, 0) cho M không gian hai chiều u = (1, 3, −2, 2), v1 = (1, 3, 2, −1), v2 = (0, −1, 1, 1) có sở gồm véc tơ u1 = (1, 2, −1, 2), u2 = Hãy xác định λ, µ cho w = u + λv1 + µv2 thỏa (2, −1, −2, 1) Hãy tìm véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈ mãn điều kiện w⊥v1, w⊥v2 M ⊥ cho ta có đẳng thức x = u + v Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023 10 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín Bài 5.16 Trong khơng gian Euclid R4, cho véc tơ x = Bài 5.24 Trong không gian Euclid R4 cho phần (4, −1, −5, 4) cho M không gian hai chiều tử a1 = (1, 1, 2, −1); a2 = (2, 1, −1, 3) khơng gian có sở gồm véc tơ u1 = (2, −2, −3, 2), u2 = (1, −1, −2, 1) Hãy tìm véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈ M ⊥ cho ta có đẳng thức x = u + v L = {x ∈ R4|⟨x, a1⟩ = 0, ⟨x, a2⟩ = 0} Bài 17 Trong không gian Euclid R5 cho M a) Tìm sở L khơng gian hai chiều có sở gồm véc tơ b) Trực chuẩn hóa hệ gồm véc tơ a1, a2 véc tơ sở L tìm câu (a) u1 = (1, 1, −1, 3, 4); u2 = (2, 3, 1, −3, −14) Bài 5.25 Trong sở trực chuẩn R4, cho Hãy phân tích véc tơ x = (5, −5, 1, −2, −9) thành véc tơ tổng x = u + v với u ∈ M v ∈ M ⊥ a1 = (2, 1, −3, −1), a2 = (3, 1, −1, 2) b = (1, µ, 0, 2λ) Bài 5.18 Trong khơng gian Euclid R4 cho M không gian hai chiều có sở {u1, u2} với a) Tìm λ, µ để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a1 a2 u1 = (3, 1, 1, 1), u2 = (−1, −3, 1, −1) b) Với λ, µ tìm được, trực giao hóa hệ {a1, a2, b} Hãy tìm x ∈ M cho ||x − u1|| = 6, ||x − u2|| = Bài 5.26 Trong sở trực chuẩn R4 cho Bài 5.19 Trong không gian Euclid R4 cho M véc tơ khơng gian hai chiều có sở {u1, u2} với a1 = (1, 1, −3, −1), a2 = (2, 1, −1, 2) b = (2, γ, 1, α) u1 = (1, 2, −4, 6), u2 = (1, −6, 2, −4) a) Tìm α, γ để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a1 Hãy tìm x ∈ M cho ||x−u1|| = 15, ||x−u2|| = 15 a2 Bài 5.20 Trong không gian Euclid R4 cho M b) Với α, γ tìm được, trực giao hóa hệ {a1, a2, b} khơng gian hai chiều có sở {u1, u2} với Bài 5.27 Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ u1 = (7, −4, 2, −2), u2 = (−7, 2, −4, 2) u = (14, 8, 10, 12), v1 = (1, 3, 1, 5), v2 = (7, 1, 11, 3) a) Hãy xác định số λ, µ cho w = u+λv1 +µv2 Hãy tìm x ∈ M cho ||x−u1|| = 13, ||x−u2|| = 13 trực giao với véc tơ v1, v2 Bài 5.21 Trong không gian Euclid R5 cho M b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ {v1, v2, w} theo khơng gian hai chiều có sở {u1, u2} với thủ tục Gram–Schmidt u1 = (−1, 2, 3, 7, 1), u2 = (2, −1, −1, −7, 3) Bài 28 Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ u = (6, −10, −4, 17), v1 = (2, 4, 2, 5), v2 = Hãy tìm x ∈ M cho ||x−u1|| = 14, ||x−u2|| = 14 (2, 14, 11, 13) Bài 5.22 Trong không gian Euclid R4 cho phần a) Hãy xác định số λ, µ cho w = u+λv1 +µv2 tử a1 = (1, 1, 0, 1); a2 = (1, 0, −1, 1) không gian trực giao với véc tơ v1, v2 b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ {v1, v2, w} theo thủ tục Gram–Schmidt L = {x ∈ R4|⟨x, a1⟩ = 0, ⟨x, a2⟩ = 0} Bài 29 Bằng phương pháp trực chuẩn hố a) Tìm sở L Gram–Schmidt xây dựng sở trực chuẩn b) Trực chuẩn hóa hệ gồm véc tơ a1, a2 véc không gian R3 từ sở cho sau đây: tơ sở L tìm câu (a) a1 = (2, −1, 2); a2 = (4, 1, 1); a3 = (−2, 6, −3) Bài 5.23 Trong không gian Euclid R4 cho phần tử a1 = (1, 2, 3, −1); a2 = (2, 3, −1, 4) khơng gian Tính tọa độ phần tử x = (3, 1, 5) sở nhận L = {x ∈ R4|⟨x, a1⟩ = 0, ⟨x, a2⟩ = 0} Bài 30 Bằng phương pháp trực chuẩn hóa Gram–Schmidt xây dựng sở trực chuẩn a) Tìm sở L không gian R4 từ sở cho sau đây: b) Trực chuẩn hóa hệ gồm véc tơ a1, a2 véc tơ sở L tìm câu (a) a1 = (1, 0, 1, −1); a2 = (0, 2, 2, 2); a3 = (5, −2, 3, 2); a4 = (3, 1, 1, 1) Tính tọa độ phần tử x = (1, 2, 5, 6) sở nhận Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023 Bộ môn Đại số Xác suất thống kê 13 1.8 D = 2.4 x = (−9 − 17x4, + 11x4, + 3x4, x4) với x4 tùy ý 1.9 a) det(A4 + 3A3) = −61952 2.5 x = (−64, 43, 4, −2) b) r(A + 5I) = 2.6 a) λ̸ = 52 28 46 1.10 a) det(AB) = −36, det(BA) = b) x = , , − b) r(BA + 4I) = 39 39 39 2.7 x = (4 − 3x4, − x4, 0, x4) với λ 1.11 a) det(A3B2 + 4A2B3) = 911.400 2.8 Nếu α = −2 hệ phương trình có nghiệm b) (A + 2B)2 − 19(A + 2B) = −70I x = (21 − 10x3 − x4, −12 + 7x3, x3, x4) với x3, x4 tùy ý 1.12 det(AB) = −47, (det A = −47, det B = 1) Nếu α̸ = −2 hệ phương trình có nghiệm 1.13 det(A2B − 3AB2) = 15.080.310 x = (21 − 10x3, −12 + 7x3, x3, 0) với x3 tùy ý HD: det(A2B − 3AB2) = det A det(A − 3B) det B 2.9 Hệ có nghiệm với λ, x = 10 − λ 10 − λ λ − với , , 1.14 a) det(A3B2 − 3A2B3) = 122.132.500 λ b) r(A + 3B) = 2.10 Với λ = 14 hệ có nghiệm nghiệm x = (−28 + 1.15 a) det(A3B2 +3A2B3) = (det A)2 det(A+3B)(det B)2̸ = 17x4 + 14x5, 25 − 14x4 − 11x5, − 2x4 − 2x5, x4, x5) với x4, x5 det A = 39, det B = −51, det(A + 3B) = −1878 Do ma tùy ý trận A3B2 + 3A2B3 khả nghịch 2.11 a) λ = b) det(A2B−2AB2) = det A det(A+3B) det B̸ = det A = b) x = (−5x3 − 8x4, −7x3 − 13x4, x3, x4) với x3, x4 tùy ý 39, det B = −51, det(A + 3B) = 207 Do r(A2B − 2AB2) = 2.12 a) λ = 12 b) x = − x3 + x4, −x3 + x4, x3, x4 với x3, x4 tùy ý −1 1.16 A−1 = − −1 1 λ + 26 2λ − 36 −8 35 2.13 x = λ + + x3, λ + − x3, x3, λ + với x3 1.17 a) A3 − 8A2 + 17A = 10I tùy ý −6 26λ − 221 10 −3λ + 20 13 b) A−1 = −2 −1 2.14 x = 11(λ − 8) − 11 x3, 11(λ − 8) + 11 x3, x3, λ − 10 −2 với x3 tùy ý 1.18 Nếu d = khơng tồn x để A khả nghịch λλλλ 2.15 x − , , , Nếu d̸ = A khả nghịch với x̸ ∈ {a, b, c} 4444 2.16 Nếu λ̸ = 19 hệ vơ nghiệm Nếu λ = 19 hệ có HD: Hãy det A = d(a − x)(b − x)(c − x) nghiệm x = (4 − 70x4, −1 + 55x4, −6x4, x4) với x4 tùy ý 1.19 x̸ ∈ {0, 3} Khơng gian tuyến tính HD: Sử dụng đẳng thức det(A4 − 3A3) = (det A)3 det(A − 3I) 3.1 Hãy x = 2a1 + 2a2 + a3 1.20 x̸ ∈ {−2, −1, 2} 3.2 Hãy x = 6α3 + a1 + 5α3 + 11 a2 + α3a3 1.21 x̸ ∈ {−2, 1, 2} −31 −9 với α3 ∈ R tùy ý Nói riêng, chọn α3 = x = 1.22 X = − 15 −27 18 −11 −9 −14 2a1 + 3a2 + 2a3 3.3 x = −4α3 + a1 + −7α3 + a2 + α3a3 với α3 ∈ R tùy ý 17 10 1.23 X = −29 29 3.4 a4 = (1 − α4)a1 + (2 − 2α4)a2 + (α4 − 1)a3 + α4a4 với 29 −29 29 α4 ∈ R tùy ý 1.24 X = −2 3.5 a4 = (1 − α4)a1 + (α4 − 1)a2 + (2 − 2α4)a3 + α4a4 với −7 α4 ∈ R tùy ý 1.25 r(A) = 3.6 λ = −5 1.26 r(A) = 3.7 λ = 3.8 λ ∈ R tùy ý 1.27 Nếu x = r(A) = Nếu x = − r(A) = 3.9 a) Sử dụng định nghĩa ma trận hệ x̸ = r(A) = {a1, a2, a3} có hạng (có định thức khác 0) Nếu x̸ = − 23 11 1.28 Nếu x = r(A) = Nếu x = −1 r(A) = b) x = − a1 − a2 + a3 3.10 a) Sử dụng định nghĩa ma trận hệ x̸ = r(A) = Nếu {a1, a2, a3} có hạng x̸ = −1 1.29 Nếu x = r(A) = Nếu x̸ = r(A) = b) Phần tử x khơng có biểu diễn tuyến tính hệ {a1, a2, a3} 1.30 x = 3.11 a) λ̸ = b) x = a1 + a2 + a3 Hệ phương trình 3.12 a) Sử dụng định nghĩa ma trận hệ 20 25 {a1, a2, a3} có hạng 2.1 x = , , b) Hệ {a1, a2, a3} sở R3 39 3.13 a) Sử dụng định nghĩa ma trận hệ 2.2 x = (3 − 3x4 + 2x5, 1, −2, x4, x5) với x4, x5 tùy ý 2.3 x = (1, + x4, + 2x5, x4, x5) với x4, x5 tùy ý Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023 14 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín {a1, a2, a3, a4} có hạng 120 −192 120 b) Hệ {a1, a2, a3, a4} sở R4 b) B = − 11 −52 −4 92 −116 3.14 a) Hệ {a1, a2, a3, a4} độc lập tuyến tính 16 −89 b) Hệ {a1, a2, a3, a4, b} phụ thuộc tuyến tính 4.5 a) Sinh viên tự giải 3.15 Không tồn λ để hệ {a1, a2, a3} phụ thuộc tuyến tính 2 b) B = −2 3.16 a) λ = −4 −4 b) a2 = 2a1 − a3 2 −3 3.17 [x]a = (1, 3, 2) 4.6 a) A = 3 −2 −1 92 89 23 −2 3.18 [x]a = 35 , 35 , − 35 , 3.19 λ = b) x = (1, 1, −1) 1 −1 3.20 λ = −4 4.7 a) A = 3 −2 3.21 λ = 1 −2 3.22 M không gian R3 dim M = N không b) x = (1, x4, 2x4 − 3, x4) với x4 tùy ý phải không gian R3 4.8 a) x = (1, 2, −1) b) x = −3u = (−6, 3, −6) 3.23 Phân tích để đến việc lựa chọn ba phần tử thích hợp 3 2 M chúng tạo thành hệ vừa hệ sinh M 4.9 a) A = 1 2 vừa hệ độc lập tuyến tính dim M = 335 b) Hãy f (a1) = 8a1, f (a2) = a2, f (a3) = 2a3 3.24 Tương tự 3.24 sử dụng chúng 3.25 1 3.26 [x]b = 15 −2 1 3.27 [x]b = − 2, , 3.28 [x]b = 4.10 a) A = −2 −2 2 3.29 [x]b = 77 37 11 −5 −10 3.30 , ,− b) λ = 2, x = x1(1, 0, 1) + x2(0, 1, 2) với x2 + x2 ̸= 3.31 16 3.32 79 60 −,, −1 3.33 73 73 73 8 4.11 a) A = 0 5 0 −1 6 31 27 −,, 00 03 19 19 19 −17 −5 Tba = − 491 13 −11 b) λ = 3, x = x1(1, 0, 0, 0) với x1̸ = −6 −10 0 0 −13 4.12 a) A = −1 0 −3 0 Tba = −2 11 40 10 −5 −1 −1 −4 b) λ = 2, x = x4(0, 0, 0, 1) với x4̸ = 1 Tab = −1 31 −13 −22 10 4.13 a) A = 1 −14 14 13 −1 1 Tab = −16 11 b) λ = 1, x = x2(1, 1, −3) với x2̸ = 0; λ = 2, x = 17 −12 −14 x1(1, 0, −1) với x1̸ = 0; λ = 4, x = x2(1, 1, 0) với 68 132 19 x2̸ = Tba = −27 56 11 −1 97 4.14 a) A = −1 −2 65 −45 31 111 b) λ = 1, x = x (1, 1, − ) với x1 ̸= 0; λ = 2, x = x3(− 12 , 32 , 1) với x3̸ = 0; λ = 4, x = x2(−1, 1, 0) với Ánh xạ tuyến tính x2̸ = 4.1 a) Sinh viên tự giải c) Ứng với λ = chọn véc tơ riêng a1 = (2, 2, −3) (gán x1 = 2); 1 −1 ứng với λ = chọn véc tơ riêng a2 = (−1, 2, 3) (gán x3 = 2); b) A = 1 −1 −1 −1 ứng với λ = chọn véc tơ riêng a3 = (−1, 1, 0) (gán x2 = 1) 4.15 λ = 1, x = x2(−1, 1, 0)+x3(−2, 0, 1) với x22 +x23̸ = 0; 4.2 a) Sinh viên tự giải 2 −1 −1 1 λ = 9, x = x1(1, 1, 3) với x1̸ = b) A = 1 −2 1 4.16 λ = 0, x = x3(−1, −1, 1) với x3̸ = 0; λ = 1, −1 x = x3(0, 1, 1) với x3̸ = 0; λ = 3, x = x2(1, 1, 2) với 4.3 a) α = 3 −2 x2̸ = b) A = 1 1 4.17 λ = 0, x = x1(1, 1, −2) với x1̸ = 0; λ = 2, −1 2 −1 x = x1(1, −1, 0) với x1̸ = 0; λ = 5, x = x3(2, 2, 1) với 4.4 a) A = 1 −1 x3̸ = −1 4.18 λ = −1, x = x2(−1, 1, 0) + x3(−1, 0, 1) với x2 + x23 ̸= 0; λ = 5, x = x1(1, 1, 1) với x1̸ = 4.19 λ = 1, x = x (1 , 1, − ) với x1 ̸= 0; λ = 2, x = x3(−3, 1, 1) với x3̸ = 0; λ = 5, x = x3(1, 1, 1) với Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023 Bộ môn Đại số Xác suất thống kê 15 x3̸ = x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 ta có ⟨x, u4⟩ = λ1⟨x, u1⟩ + λ2⟨x, u2⟩ + 4.20 λ = 2, x = x1(1, 0, 0, 0) với x1̸ = 0; λ = −2, λ3⟨x, u3⟩ = x = x1(1, −4, 0, 0) với x1 ̸= 0; λ = 3, x = x2(6, 1, , 0) 5.5 Tương tự 5.4 với x2̸ = 0; λ = −3, x = x3( 65 , 16, 1, −6) với x3̸ = 5.6 λ = 3, µ = 4.21 Ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt λ1 = (bội 37 5.7 λ = − , µ = n1 = 2), λ2 = (bội n2 = 1) Ứng với λ1 = ta có 41 41 r(A − λ1I) = 2̸ = n − n1 = − = 5.8 x = ± √ (3, −1, 3, 1) 20 4.22 Ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt λ1 = (bội n1 = 2), λ2 = (bội n2 = 1) Hãy r(A − λ1I) = 5.9 x = ± (1, −1, 1, 1) n − n1 r(A − λ2I) = n − n2 (ở n = 3) 5.10 x = ± (5, 2, 3, 5, 1) 4.23 Ma trận A có ba giá trị riêng phân biệt λ1 = 2, λ2 = 4, λ3 = 11 nên A chéo hóa Biến đổi đồng dạng đưa A 5.11 x = ± (3, −7, 2, 1, 1) ma trận chéo lựa chọn 5.12 x = ± (1, 3, −4, 1, 6, 1) 2 0 −1 2 T −1AT = 0 với T = −4 −2 4 5.13 u = (4, −1, 3, 9), v = (2, 2, 1, −1) 0 11 15 5.14 u = (3, 1, −5, 3), v = (−2, −1, −2, −1) 5.15 u = (4, 3, −4, 5), v = (2, 3, −2, −5) 4.24 Ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt λ1 = −1 (bội 5.16 u = (3, −3, −5, 3), v = (1, 2, 0, 1) n1 = 2), λ2 = −3 (bội n2 = 1) Chỉ ma trận A chéo hóa cách xây dựng sở gồm véc tơ riêng A 5.17 u = (3, 4, 0, 0, −10), v = (2, 1, 1, −2, 1) Biến đổi đồng dạng đưa A ma trận chéo lựa chọn 5.18 x = 2u1 + 2u2 = (4, −4, 4, 0) x = −(u1 + u2) = (−2, 2, −2, 0) −3 0 1 HD: Từ giả thiết có ⟨u1, u1⟩ = 18, ⟨u1, u2⟩ = −9, T −1AT = −1 với T = −1 0 ⟨u2, u2⟩ = 18 Nếu x phần tử cần tìm x = λ1u1 + λ2u2 Chỉ ∥x − u1∥2 = 18(λ1 − 1)2 − 18(λ1 − 1)λ2 + 18λ22 0 −1 01 đối chiếu với giả thiết ∥x − u1∥ = ta có phương trình 4.25 a) λ = 1, x = x1(1, 2, −2) với x1̸ = 0; λ = 2, 18(λ1 − 1)2 − 18(λ1 − 1)λ2 + 18λ22 = 36 Tiếp theo từ giả thiết x = x1(1, 5, −3) với x1̸ = 0; λ = 5, x = x1(1, 2, 0) với ∥x − u2∥ = ta có phương trình 18λ21 − 18λ1(λ2 − 1) + 18(λ2 − x1̸ = 1)2 = 36 Giải hệ hai phương trình đưa ta thu b) Lựa chọn sở R3 gồm véc tơ riêng ứng với A, chẳng hạn a1 = (1, 2, −2), a2 = (1, 5, −3), a3 = (1, 2, 0) Từ hai nghiệm λ1 = λ2 = λ1 = λ2 = −1 khẳng định A ma trận chéo hóa Biến đổi 5.19 x = 3u1 + 3u2 = (6, −12, −6, 6) x = −2u1 − 2u2 = đồng dạng đưa A ma trận chéo tương ứng với việc lựa chọn (−4, 8, 4, −4) {a1, a2, a3} 5.20 x = 4u1 + 4u2 = (0, −6, −6, 0) x = −2u1 − 2u2 = (0, 4, 4, 0) 5.21 x = 3u1 + 3u2 = (3, 3, 6, 0, 12) x = −2u1 − 2u2 = 1 0 1 1 (−2, −2, −4, 0, −8) T −1AT = 0 0 với T = 2 5.22 a) Có thể chọn sở L {a3, a4} với a3 = 005 −2 −3 (1, −1, 1, 0) a4 = (−1, 0, 0, 1) 4.26 a) λ = 1, x = x2(−1, 1, 0)+x3(−1, 0, 1) với x22 +x23̸ = b) (Theo cách chọn câu (a)) Hệ trực giao: u1 = a1, u2 = a2 − u1, u3 = a3, u4 = a4 + u3 Sau chuẩn hóa phần 0; λ = 7, x = x3(1, 1, 1) với x3̸ = tử u1, u2, u3, u4 b) Tương tự 4.24 5.23 a) Có thể chọn sở L {a3, a4} với a3 = 4.27 a) λ = 1, x = x (1 , 1, − ) với x1 ̸= 0; λ = 2, (11, −7, 1, 0) a4 = (−11, 6, 0, 1) x = x1(1, −1, 0) với x1̸ = 0; λ = 8, x = x1(1, 1, 2) với b) (Theo cách chọn câu (a)) Hệ trực giao: u1 = a1, u2 = x1̸ = 163 a2 − 15 u1, u3 = a3, u4 = a4 + 171 u3 Sau chuẩn hóa b) Tương tự 4.25 phần tử u1, u2, u3, u4 4.28 a) λ = 1, x = x1(1, 1, −1) với x1̸ = 0; λ = 8, 5.24 a) Có thể chọn sở L {a3, a4} với a3 = x = x1(1, 1, 52 ) với x1̸ = b) Ma trận A khơng chéo hóa (tương tự 4.21) (3, −5, 1, 0) a4 = (−4, 5, 0, 1) b) (Theo cách chọn câu (a)) Hệ trực giao: u1 = a1, u2 = 37 a2 + u1, u3 = a3, u4 = a4 + 35 u3 Sau chuẩn hóa phần 4.29 a) λ = 2, x = x1(1, 1, −1) với x1̸ = 0; λ = 8, x = x1(1, 1, 1) với x1̸ = tử u1, u2, u3, u4 b) Ma trận A không chéo hóa (tương tự 4.21) 5.25 a) λ = − , µ = − Không gian Euclid b) Hệ trực giao: u1 = a1, u2 = a2 − 15 u1, u3 = b 5.1 x = ± (2, −2, −5, 4) 5.26 a) α = − , γ = − b) Hệ trực giao: u1 = a1, u2 = a2 − u1, u3 = b 5.2 u4 = ± (−2, 1, −4, 2) 5.27 a) λ1 = −2, λ2 = −1 5.3 u4 = ± (1, −5, −1, 3) 5.4 Cách 1: Chứng minh x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 b) Hệ trực chuẩn: u1 = (1, 3, 1, 5), u2 = (3, −1, 5, −1), x = x4(1, 1, 1, 1) ta tính trực tiếp ⟨x, u4⟩ = u3 = (5 , , −3 , − 1) Cách 2: Chỉ u4 có dạng u4 = λ1u1 + λ2u2 + λ3u3 nên Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023 16 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín 5.28 a) λ1 = −7, λ2 = A cột i AT a2i1 + a2i2 + + a2in Nếu tổng tất phần tử hàng thứ i A b) Hệ trực chuẩn: u1 = (2, 4, 2, 5), u2 = (4, −2, 5, −2), 6.7 a) Sinh viên tự giải u3 = (− 2, − 5, 2, 4) b) A2011 = 2.32011 − 22011 22011 − 32011 2.32011 − 22012 22012 − 32011 5.29 Cơ sở trực chuẩn: u1 = (2, 1, −2), u2 = (2, 2, −1), 6.8 Sử dụng AA∗ = (det A)I để đưa đẳng thức u3 = (− 1, 2, 2) Tọa độ x sở {u1, u2, u3} det A det A∗ = (det A)n [x]u = (5, 1, 3) 6.9 Sử dụng đẳng thức I − A4 = (I − A)(I + A)(I + A2) để 5.30 Cơ sở trực chuẩn: u1 = √13 (1, 0, 1, −1), u2 = chứng minh det(I + A)̸ = √13 (0, 1, 1, 1), u3 = √13 (1, −1, 0, 1), u4 = √13 (1, 1, −1, 0), Tọa độ 13 6.10 Đặt B = I + A3 A2 + A5 = A2B A2B = BA2 x sở {u1, u2, u3, u4} [x]u = 0, √ , √ , − √ Do (A2B)5 = A10B5 = θ ta phân tích tương tự 33 6.9 5.31 a) Sinh viên tự giải 6.11 Chỉ det A̸ = sử dụng đẳng thức (BA)10 = b) Tọa độ x sở {u1, u2, u3} [x]u = 48 11 A−1(AB)10A 5.32 x42 = 121 , ,− 6.12 Nếu A có ba giá trị riêng thực phân biệt λ1, λ2, λ3 77 giá trị riêng A3 λ31, λ32, λ3 ba số thực phân biệt 5.33 x42 = 361 6.13 Nếu A có ba giá trị riêng thực phân biệt λ1, λ2, λ3 49 giá trị riêng A5 − A4 + 4A f (λ1), f (λ2), f (λ3) với 5.34 Có thể lựa chọn sở thơng thường {e1, e2} M f (x) = x5 − x4 + x Do f (x) đồng biến nên f (λ1), f (λ2), f (λ3) với e1 = (2, 1, −2, 0, 1), e2 = (−9, −8, 12, 5, 0) Trực chuẩn hóa ba số thực phân biệt hệ {e1, e2} ta thu sở trực chuẩn {w1, w2} M 6.14 Nếu A có giá trị riêng thực λ1, λ2, , λn > ma trận A3 + 3A − 5A−1 có giá trị riêng với w1 = √ (2, 1, −2, 0, 1), w2 = (1, −3, 2, 5, 5) f (λ1), f (λ2), , f (λn) với f (x) = x3 + 2x − 3x−1 Do f (x) 10 đồng biến (0, +∞) nên f (λ1), f (λ2), , f (λn) n giá trị 5.35 a) Sinh viên tự giải riêng phân biệt b) Thực tương tự 5.34 6.15 det(A3 + 3A) = 2280 5.36 (x, y, z) = ± (2, −1, 2) 6.16 det B = 181002(21002 − 1)(31002 − 1)2 6.17 D = n! 5.37 (x, y, z, t) = ±(1, 1, 1, 1) 5.38 Bước 1: Chỉ hệ {u1, u2} hệ trực chuẩn nên tồn HD: Cộng hàng vào hàng 2, 3, , n, ta thu định sở trực chuẩn R4 chứa hệ {u1, u2} Bước 2: Xét thức tam giác tất véc tơ x ∈ R4 cho x ⊥ u1, x ⊥ u2 6.18 D = x = (x4, x3, x3, x4) Chọn a1 = (1, 1, 1, 1) ứng với việc gán x3 = HD: Ký hiệu định thức Dn Bước 1, biến đổi định thức theo x4 = a1 ⊥ u1, a1 ⊥ u2 Tiếp theo chọn x = (x4, x3, x3, x4) thứ tự sau: lấy hàng n trừ hàng (n − 1), hàng (n − 1) trừ hàng cho x ⊥ a1 ta thu x = a2 = (1, −1, −1, 1) Chuẩn (n − 2), , lấy hàng trừ hàng Lấy kết thu khai hóa hệ {a1, a2}: u3 = a1 , u4 = a2 hệ {u1, u2, u3, u4} triển theo cột Bước 2, biến đổi định thức theo thứ tự sau: ∥a1∥ ∥a2∥ lấy cột (n − 1) trừ cột (n − 2), lấy lấy cột (n − 2) trừ cột sở trực chuẩn cần xây dựng (n − 3), , lấy cột trừ cột Đến ta thu Dn−1, 5.39 Tương tự 5.38 nghĩa Dn = Dn−1 5.40 Biến đổi đồng dạng đưa ma trận A ma trận đường 6.19 Hãy trace(AB) = trace(BA) với A, B vuông chéo ma trận trực giao lựa chọn để sử dụng tương ứng cỡ Từ trace(AB −BA) = 0̸ = trace(I) = n nên AB − BA̸ = I √ √ 6.20 Hãy M ma trận vuông r(M ) = 10 √3 √2 M = (trace(M ))M , sau sử dụng trace(AB − BA) = T −1AT = 0 T = √ − 1 −√2 6.21 Hãy r(AB) = (AB)2 = 9AB Sử dụng 0 13 r(AB) = để r(BA) ≥ r((AB)2) = khẳng định BA ma trận khả nghịch Sử dụng (AB)2 = 9AB để Một số tập nâng cao (BA)3 = 9(BA)2 Nhân (BA)−2 vào hai vế đẳng thức 6.1 Chứng minh phương pháp quy nạp (BA)3 = 9(BA)2 thu kết 6.2 Sử dụng biến đổi sơ cấp để rút nhân tử chung (a+b+c) 6.22 Nếu x = det(xA + yB) = det(yB) = y3 det B = định thức ba lần để thu (a + b + c)3 bên Nếu x ̸= det(xA + yB) = x3P (t) t = y x định thức Sau khai triển định thức thu nhân tử P (t) = det(A + tB) đa thức bậc Theo giả thiết P (0) = lại vế phải 2abc P (1) = P (−1) = nên P (t) phải có dạng P (t) = αt(t2 − 1) với 6.3 det A = (a2 + b2 + c2 + d2)2 α số Tiếp theo α = lim P (t) = lim det( A+B) = HD: Thực phép nhân ma trận AT A Sử dụng kết phép t→∞ t t→∞ t nhân để thu (det A)2 = (a2 + b2 + c2 + d2)4 suy det B = Từ ta có P (t) = với t det A = k(a2 + b2 + c2 + d2)2 với k2 = Thay b = c = d = 6.23 Tương tự 6.10 vào hai vế đẳng thức để khẳng định k = 6.24 n = 2013 x x x HD: Đặt M = −1 phương cho X2015 + Xn = 6.4 D = + + + + (ai − x) a1 − x a2 − x an − x 1≤i≤n −1 2I + 4028M Chỉ X thỏa mãn phương trình M X = XM x̸ = với i = 1, 2, , n Nếu x = ai, i = 1, 2, , n giải phương trình để thu X = αI + βM với α, β ∈ Z Sử dụng M = θ để X2015 + Xn = (α2015 + αn)I + D = x(a1 − x) (ai−1 − x)(ai+1 − x) (an − x) 6.5 Tính tốn trực tiếp 6.6 Đặt A = (aij)m×n Khi kết phép nhân hàng i Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023 Bộ môn Đại số Xác suất thống kê 17 (2015α2014 + nαn−1)βM Từ quy hệ phương trình Bài Trong không gian Euclid R4 cho hệ {u1, u2, u3, u4} với α2015 + αn = (2015α2014 + nαn−1)β = 2048 u1 = (1, 1, 1, 2), u2 = (2, 1, 1, −1), u3 = (3, 2, −1, 3), u4 = (5, 2, 5, −4) Chỉ α ước để giải phương trình thứ tính nghiệm α = Thay α = vào phương trình thứ hai Hãy phần tử x ∈ R4 thỏa thu (2015 + n)β = 4048 Dựa vào n + 2015 ước số mãn x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 ta phải có x ⊥ u4 4048 ta khẳng định n + 2015 = 4048 suy β = Từ ta tính n = 2013 tính X = −1 ĐỀ SỐ Bài Tính hạng ma trận sau theo x 10 x 3 x MẪU ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN A = 3 x x x Bộ môn Đại số Xác suất thống kê trân trọng giới thiệu xxxx số mẫu đề thi kết thúc học phần môn Đại số tuyến tính Để có chuẩn bị tốt cho kỳ thi sinh viên cần lưu ý điểm Bài Giải hệ phương trình sau: Sinh viên học ĐSTT tín chỉ làm bốn câu Thời gian làm đề thi 70 phút 3x1 − x2 + 5x3 − x4 = Sinh viên học ĐSTT tín chỉ làm câu Thời gian làm đề thi 90 phút 2x1 + x2 + x3 + 4x4 = Không mang tài liệu phịng thi Khơng mang điện thoại vào phịng thi Mang thẻ sinh viên thi, mang máy tính (nếu cần) 2x1 − x2 + 4x3 − 2x4 = để sử dụng thi Bài Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hệ Sinh viên không nháp vào đề thi, phải nộp lại đề thi {a1, a2, a3, a4} với a1 = (1, 1, −1), a2 = (2, 1, 3) a3 = làm hết làm (1, 4, 2), a4 = (5, 0, 2) Hãy tìm tất biểu diễn tuyến tính có a4 hệ {a1, a2, a3, a4} ĐỀ SỐ Bài Cho ma trận A = −3 3 −1 Bài Cho ma trận A = 1 −1 −2 a) Tính A215 −5 b) Tính det(A512 + 4A215 + 2A251) a) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng A Bài Giải biện luận hệ phương trình b) Ma trận A có chéo hóa không? Tại sao? Nếu tìm ma trận T ma trận đường chéo B để cho B = T −1AT x1 − x2 + 2x3 − x4 = Bài Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ x = (2, 4, −5, 6) cho M không gian hai chiều có sở gồm véc tơ u1 = (2, 1, 3, −1), u2 = (1, −1, 1, 2) Hãy tìm véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈ 2x1 + x2 + 3x3 + 4x4 = M ⊥ cho ta có đẳng thức x = u + v ĐỀ SỐ 4x1 − x2 + 7x3 + λx4 = Bài Cho hai ma trận Bài Trong không gian R4 cho hệ véc tơ {a1, a2, a3} 1 2 3 với A = 2 −2 , B = −1 1 a1 = (1, 1, 3, −2), a2 = (2, 1, 2, 1), a3 = (1, 3, 3, 2) 11 −1 a) Chứng minh hệ {a1, a2, a3} hệ độc lập tuyến tính a) Tính nghịch đảo ma trận A b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) phần tử x = (4, 0, 4, −2) qua hệ {a1, a2, a3} b) Giải phương trình AX = B Bài Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định công thức Bài Giải biện luận hệ phương trình sau theo f (x) = (3x1 + x2 + 2x3, 2x1 + 2x2 − 3x3, 3x1 + x2 − x3) tham số λ với x = (x1, x2, x3) ∈ R3 Hãy tìm ma trận f sở {a1, a2, a3} R3 với x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = a1 = (2, 1, 4), a2 = (1, −1, 1), a3 = (2, 2, 1) 2x1 + 3x2 + x3 − x4 = 3x1 + 5x2 + 3x3 + 4x4 = 6x1 + 10x2 + λx3 + 5x4 = 15 Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023 18 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& Tín Bài Trong khơng gian tuyến tính R4 cho khơng a) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng ma trận A gian b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay không Nếu có ma trận chuyển T ma M = {(x1, x2, x3, x4)|x1 + x2 − 2x3 + 4x4 = 0} trận đường chéo B B = T −1AT Bài Trong không gian Euclid R4, cho véc phần tử w ∈ M với w = (1, 1, 3, 1) Hãy xác định tơ u = (3, −2, −2, 11), v1 = (2, −1, 3, 3), v2 = sở số chiều M cho biết tọa độ (1, 1, −1, 2) w sở đưa a) Hãy xác định số λ, µ cho w = u+λv1 +µv2 trực giao với véc tơ v1, v2 Bài Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ {v1, v2, w} theo công thức thủ tục Gram–Schmidt f (x) = (4x1 +3x2 −3x3, x1 −2x2 −3x3, x1 +3x2 +2x3), ĐỀ SỐ Bài Giải phương trình với x = (x1, x2, x3) ∈ R3 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc x11x R3 x x x x = b) Xác định x ∈ R3 để f (x) = f (2, −1, 3) x2x2 22xx Bài Bằng phương pháp trực chuẩn hoá Gram–Schmidt xây dựng sở trực chuẩn Bài Giải hệ phương trình khơng gian R3 từ sở cho sau đây: a1 = (2, 2, 1); a2 = (4, 10, −1); a3 = (2, 7, 3) x1 + 2x2 + 2x3 − 3x4 − 4x5 = 11 Tính tọa độ phần tử x = (1, 8, 9) sở nhận ĐỀ SỐ 3x1 + x2 + 3x3 − 9x4 − 2x5 = 14 Bài Cho hai ma trận 1 1 2x1 − 2x2 + 5x3 − 6x4 + 4x5 = 13 A = −2 1 , B = 3 −2 Bài Hãy tìm tọa độ véc tơ x = (3, 10, −2, 3) −2 −2 sở khơng gian tuyến tính R4: a) Tính det(2A3B2 + 3A2B3) a1 = (1, 1, −1, 2); a2 = (2, 3, 1, 1); b) Tính hạng ma trận A + 2B a3 = (−1, 2, −2, 1); a4 = (1, 1, 1, −1) Bài Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định Bài Cho hệ phương trình công thức f (x) = (4x1 +x2 −x3, 2x1 +3x2 −x3, −x1 −3x2 +2x3), x1 + x2 + x3 + x4 = với x = (x1, x2, x3) ∈ R3 a) Hãy lập ma trận ánh xạ f sở tắc R3 b) Hãy ma trận f sở 3x1 + x2 − x3 − 2x4 = {a1, a2, a3} R3 với 2x1 − 4x2 + x3 − 2x4 = 2x1 + 6x2 − x3 + x4 = λ Xác định λ để hệ có nghiệm Giải hệ với λ tìm a1 = (1, 1, 4), a2 = (3, −1, 5), a3 = (−1, −1, 1) Bài Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hai hệ ma trận đường chéo sở (a) = {a1, a2, a3} (b) = {b1, b2, b3} với Bài Trong không gian Euclid R4 cho hệ sở a1 = (2, 1, −1), a2 = (3, 1, 2), a3 = (2, 1, 4), b1 = (1, 2, 3), b2 = (−1, 0, 2), b3 = (5, 1, 2) trực chuẩn {u1, u2, u3, u4} với u1 = (4, 2, 1, 2), u2 = 1 Hãy tính ma trận chuyển sở từ hệ (a) sang hệ (b) (−1, 2, 4, −2), u3 = (2, −4, 2, −1) Hãy xác định 3 −1 2 tất giá trị có u4 Bài Cho ma trận A = 1 2 −1 Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023