Hệ thống điều khiển tuyến tính C2

Trang 2 Nội dung của chương- Mô hình tốn học mơ tả động học của đối tượng và của hệ trong miền thời gian liên tục- Phương trình vi phân bậc cao mô tả động học của đối tượng liên tục, tuy

Chương 2 Mô tả toán

học của hệ thống điều

khiển tự động

Nội dung của chương

- Mô hình toán học mô tả động học của đối tượng và của hệ trong miền thời gian liên tục

- Phương trình vi phân bậc cao mô tả động học của đối tượng (liên tục, tuyến tính, một tín hiệu vào và một tín hiệu ra)

- Áp dụng biến đổi Laplace để tìm Hàm truyền đạt của đối tượng

- Các khái niệm liên quan tới hàm truyền đạt: điểm cực, đa thức đặc trưng, phương trình đặc

trưng

- Hệ phương trình vi phân bậc nhất mô tả động học của đối tượng

- Biểu diễn trạng thái của đối tượng

- Mối liên hệ giữa hàm truyền đạt và biểu diễn trạng thái

- Đại số sơ đồ khối: tìm hàm truyền đạt của hệ gồm nhiều phần tử kết nối với nhau

1 Phương trình vi phân bậc cao mô tả

động học của đối tượng

- Động học của đối tượng: xét đối tượng điều khiển cơ bản

Động học của đối tượng là sự thể hiện của sự biến đổi của tín hiệu đầu ra y(t) khi tín hiệu vào u(t) và các biến trạng thái X(t) biến đổi.

- Định lý: Khi hệ S là tuyến tính, một vào một ra thì động học của S luôn được thể hiện qua một phương trình vi phân bậc cao:

Với an, ,a1,a0, bm, b1,b0 là các hệ số thực của phương trình vi phân, điều kiện sau đây luôn phải thỏa mãn để

Ví dụ tìm phương trình vi phân của đối

tượng

- Để tìm phương trình vi phân của đối tượng, người ta dựa vào các phương trình vật lý

mô tả các quá trình biến đổi năng lượng diễn ra trong đối tượng: ví dụ các phương trình

định luật Kirchhoff, định luật Newton, định luật Faraday

- Xét đối tượng mạch điện RLC như hình sau: giả sử dòng chảy trong mạch là i(t)

Bài tập 2.1

1 Sử dụng tài liệu tham khảo [1] và [2] cũng như các nguồn tài liệu khác, hãy

tìm một số ví dụ tìm phương trình vi phân cho cơ hệ (hệ thống cơ: thường gồm lò

xo, giảm xóc và vật nặng)

2 Tìm phương trình vi phân mô tả đối tượng động cơ điện một chiều kích từ độc lập (Internet)

2 Biến đổi Laplace và một số tính chất

- Biến đổi Laplace là phép toán tác động lên một hàm (tín hiệu) trong miền thời gian và cho

ra kết quả là một hàm (biểu diễn) trong miền tần số, theo biến phức s (biến phức trong miền tần số của biến đổi Laplace):

◦ X(s) được gọi là ảnh Laplace của x(t)

- Tính chất của biến đổi Laplace (đọc thêm tài liệu [2]):

* Ảnh của tích phân: nếu thì ảnh Laplace của y(t) là :

* Ảnh của đạo hàm bậc nhất: ảnh Laplace của khi điều kiện đầu bằng 0 là: sX(s)

* Ảnh của đạo hàm bậc cao: ảnh Laplace của là : snX(s)

* Định lý về giới hạn: nếu giới hạn tồn tại

𝐿 𝑥 𝑡 = ׬0+∞𝑥 𝑡 ∗ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = 𝑋 𝑠 , với s =  + j: biến phức của toán tử Laplace

d x dt

3 Hàm truyền đạt

- Áp dụng biến đổi Laplace lên cả hai vế của phương trình vi phân mô tả động học đối tượng, sử dụng các tính chất của biến đổi Laplace, ta có:

- Khái niệm hàm truyền đạt: là tỷ số của ảnh Laplace của tín hiệu ra trên ảnh

Laplace của tín hiệu vào

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Một số khái niệm liên quan đến hàm

truyền đạt

- Đa thức đặc trưng là đa thức mẫu số của hàm truyền đạt An(s) hoặc A(s)

- Phương trình đặc trưng là phương trình đa thức đặc trưng bằng không: A(s) = 0

- Nghiệm của phương trình đặc trưng là điểm cực của hệ

* Hệ luôn có n điểm cực là các số phức trên mặt phẳng phức Là nghiệm của

Ví dụ với mạch RLC

- Áp dụng cho mạch RLC ở ví dụ trên, ta có hàm truyền đạt của đối tượng là

- Giả sử tham số của mạch là R = 10K, C = 1000F, L = 100mH thì hàm truyền của hệ RLC sẽ là:

1

R V

Bài tập 2.2

1 Tìm hàm truyền đạt của mạch RLC khi R = 1.5 K, L = 10mH, C = 22F

2 Tìm hàm truyền đạt dạng tổng quát của các đối tượng trong bài tập 2.1

4 Hệ phương trình trạng thái (không

điện, điện áp, vận tốc, quãng đường dịch chuyển

- Ý nghĩa của biểu diễn trạng thái là thay vì sử dụng một phương trình vi phân bậc cao, người ta sử dụng nhiều phương trình vi phân bậc nhất để mô tả động học của đối tượng

- Các công cụ đại số ma trận như vec tơ hàng, cột, ma trận vuông, định thức, tính nghịch đảo ma trận Là công cụ chủ yếu trong khảo sát động học hệ phương trình trạng thái

S

X(t)=[x1,x2, ,x n]

Biểu diễn trạng thái của đối tượng

n n

Ví dụ biểu diễn trạng thái của mạch RLC

- Chọn biến trạng thái: x1 = i và x2 = Ur (Có thể chọn theo cách khác), ta có:

Bài tập 2.3

1 Tìm biểu diễn trạng thái của mạch RLC khi R = 1.5 K, L = 10mH, C = 22F

2 Tìm biểu diễn trạng thái của mạch RLC khi chọn: x1 = Ur , x2 = i

3 Tìm biểu diễn trạng thái của các phần tử trong bài tập 2.1

5 Mối liên hệ giữa biểu diễn trạng thái

và hàm truyền đạt

- Công thức tìm hàm truyền đạt từ biểu diễn trạng thái:

W(s) = C(sI-A) -1 B+D Trong đó I là ma trận đơn vị cùng bậc với ma trận A

- Cách tính ma trận nghịch đảo (sI – A)-1

* Bước 1: Tính ma trận Q = (sI – A)

* Bước 2: Tìm định thức det(sI – A)

* Bước 3: Tìm ma trận phụ đại số (ma trận phụ hợp) Q* của Q theo công thức:

Q* =[q*ij]n, Q =[qij]n; thì q*ij=(-1)i+jdet(Q’ji) Với Q’ji là ma trận con thu được từ ma trận Q bằng cách bỏ đi hàng j và cột i.

* Bước 4: (sI – A) -1

Ví dụ tìm hàm truyền đạt từ biểu diễn

trạng thái

- Ví dụ đối tượng có biểu diễn trạng thái với các tham số:

Tìm hàm truyền đạt của đối tượng

* Lưu ý bộ giá trị A, B, C, D ở trên có thể biểu diễn tương đương như sau:

A = [3,1;2,5] hoặc A = [3 1;2 5]; B = [1;-2]; C = [1,2] hoặc C = [1 2] Tức là dấu (;) tương đương xuống dòng, dấu (,) hoặc dấu cách ( ) là biểu diễn trên một hàng Đây cũng là cách để nhập dữ liệu ma trận trong phần mềm Matlab

6 Đại số sơ đồ khối

* Mục tiêu : tìm hàm truyền đạt của đối tượng, hệ thống điều khiển gồm nhiều các phần tử được kết nối với nhau

* Xét phần tử riêng lẻ có hàm truyền là W(s), đầu vào là U(s), đầu ra là Y(s) Khi đó mối liên

hệ giữa Y(s) và U(s): Y(s) = W(s)U(s)

* Xét thành phần của hệ thống có phần tử cộng: Y(s) = X1(s) + X2(s)

* Xét hệ thống gồm hai phần tử mắc nối tiếp : Y(s) = W1(s)W2(s) U(s) Vậy hàm truyền đạt

tương đương của hệ là W(s) = W1W2

Đại số sơ đồ khối (tiếp)

* Xét hệ thống gồm hai phần tử mắc song song: Hàm truyền đạt tương đương của

hệ là : W = W1+ W2 hoặc W1-W2

* Xét hệ thống hồi tiếp âm Hàm truyền đạt tương đương của hệ hồi tiếp âm là :

* Hàm truyền đạt tương đương của hệ hồi tiếp dương:

W1 W2

W3

W4