Trang 2 Nội dung của chương- Mô hình tốn học mơ tả động học của đối tượng và của hệ trong miền thời gian liên tục- Phương trình vi phân bậc cao mô tả động học của đối tượng liên tục, tuy
Chương Mơ tả tốn học hệ thống điều khiển tự động DHDUNG@UTC.EDU.VN Nội dung chương - Mơ hình tốn học mơ tả động học đối tượng hệ miền thời gian liên tục - Phương trình vi phân bậc cao mơ tả động học đối tượng (liên tục, tuyến tính, tín hiệu vào tín hiệu ra) - Áp dụng biến đổi Laplace để tìm Hàm truyền đạt đối tượng - Các khái niệm liên quan tới hàm truyền đạt: điểm cực, đa thức đặc trưng, phương trình đặc trưng - Hệ phương trình vi phân bậc mô tả động học đối tượng - Biểu diễn trạng thái đối tượng - Mối liên hệ hàm truyền đạt biểu diễn trạng thái - Đại số sơ đồ khối: tìm hàm truyền đạt hệ gồm nhiều phần tử kết nối với DHDUNG@UTC.EDU.VN Phương trình vi phân bậc cao mơ tả động học đối tượng - Động học đối tượng: xét đối tượng điều khiển u(t) y(t) S X(t)=[x1,x2, ,xn] Động học đối tượng thể biến đổi tín hiệu đầu y(t) tín hiệu vào u(t) biến trạng thái X(t) biến đổi - Định lý: Khi hệ S tuyến tính, vào động học S ln thể qua phương trình vi phân bậc cao: 𝒂𝒏 𝒅𝒕𝒏 𝒅𝒏𝒚+𝒂𝒏−𝟏 𝒅𝒕𝒏 𝒅𝒏−𝟏𝒚+ +𝒂𝟏 𝐝𝒚 𝒅𝒕+ 𝒂𝟎y= 𝒃𝒎 𝒅𝒕𝒎 𝒅𝒎𝒖+𝒃𝒎−𝟏 𝒅𝒕𝒎−𝟏 𝒅𝒎−𝟏𝒖+ +𝒃𝟏 𝐝𝒖 𝒅𝒕 + 𝒃𝟎 Với an, ,a1,a0, bm, b1,b0 hệ số thực phương trình vi phân, điều kiện sau ln phải thỏa mãn để phương trình vi phân đặc trưng cho động học đối tượng thực: n≥m, n gọi bậc hệ DHDUNG@UTC.EDU.VN Ví dụ tìm phương trình vi phân đối tượng - Để tìm phương trình vi phân đối tượng, người ta dựa vào phương trình vật lý mơ tả q trình biến đổi lượng diễn đối tượng: ví dụ phương trình định luật Kirchhoff, định luật Newton, định luật Faraday - Xét đối tượng mạch điện RLC hình sau: giả sử dòng chảy mạch i(t) L UV = iR + L di + uC = iR + L di +UR R dt dt Uv C Ur t dUR uC = UR = i (t ) dt = i i C0 dt C dUR di d UR i=C = dt dt dt dU R dU R d UR d UR UV = RC dt + LC dt2 +UR UV = UR + RC dt + LC dt2 DHDUNG@UTC.EDU.VN Bài tập 2.1 Sử dụng tài liệu tham khảo [1] [2] nguồn tài liệu khác, tìm số ví dụ tìm phương trình vi phân cho hệ (hệ thống cơ: thường gồm lị xo, giảm xóc vật nặng) Tìm phương trình vi phân mơ tả đối tượng động điện chiều kích từ độc lập (Internet) DHDUNG@UTC.EDU.VN Biến đổi Laplace số tính chất - Biến đổi Laplace phép toán tác động lên hàm (tín hiệu) miền thời gian cho kết hàm (biểu diễn) miền tần số, theo biến phức s (biến phức miền tần số biến đổi Laplace): 𝐿 𝑥 𝑡 = 0+∞ 𝑥 𝑡 ∗ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = 𝑋 𝑠 , với s = + j: biến phức toán tử Laplace ◦ X(s) gọi ảnh Laplace x(t) - Tính chất biến đổi Laplace (đọc thêm tài liệu [2]): * Ảnh tích phân: t ảnh Laplace y(t) : Y (s) = X (s) y (t ) = x (t ) dt dx s * Ảnh đạo hàm bậc nhất: ảnh Laplace dt điều kiện đầu là: sX(s) dnx n * Ảnh đạo hàm bậc cao: ảnh Laplace dtn : s X(s) * Định lý giới hạn: lim x (t ) = lim sX (s) giới hạn tồn t→ s→0 DHDUNG@UTC.EDU.VN Hàm truyền đạt - Áp dụng biến đổi Laplace lên hai vế phương trình vi phân mơ tả động học đối tượng, sử dụng tính chất biến đổi Laplace, ta có: an snY ( s ) + n−1 ( s ) + + a1sY ( s ) + a0Y ( s ) = bms m ( s ) + bm−1s m−1 ( s ) + + b1sU ( s ) + b0 an−1s Y U U Y ( s) (ansn + an−1sn−1 + + a1s + a0 ) = U (s ) (bmsm + bm−1sm−1 + + b1s + b0 ) Y (s) An (s) = U (s) Bm (s) - Khái niệm hàm truyền đạt: tỷ số ảnh Laplace tín hiệu ảnh Laplace tín hiệu vào Y ( s) Bm ( s) bmsm + + b1s + b0 W(s) W (s) = = =n U ( s) An ( s) ans + + a1s + a0 U(s) Y(s) DHDUNG@UTC.EDU.VN Một số khái niệm liên quan đến hàm truyền đạt - Đa thức đặc trưng đa thức mẫu số hàm truyền đạt An(s) A(s) - Phương trình đặc trưng phương trình đa thức đặc trưng khơng: A(s) = - Nghiệm phương trình đặc trưng điểm cực hệ * Hệ ln có n điểm cực số phức mặt phẳng phức Là nghiệm phương trình: A( s) = ansn + + a1s + a0 = spi = pi + jpi , i = 1, n * Phần thực điểm cực pi; phần ảo điểm cực pi DHDUNG@UTC.EDU.VN Ví dụ với mạch RLC - Áp dụng cho mạch RLC ví dụ trên, ta có hàm truyền đạt đối tượng W (s) = UR (s) = UV (s) 1+ RCs + LCs - Giả sử tham số mạch R = 10K, C = 1000F, L = 100mH hàm truyền hệ RLC là: W (s) = −4 1+10s +10 s DHDUNG@UTC.EDU.VN Bài tập 2.2 Tìm hàm truyền đạt mạch RLC R = 1.5 K, L = 10mH, C = 22F Tìm hàm truyền đạt dạng tổng quát đối tượng tập 2.1 DHDUNG@UTC.EDU.VN 10 Hệ phương trình trạng thái (không gian trạng thái) - Động học hệ biểu diễn miền thời gian thông qua tập biến trạng thái x1, x2, , xn: u(t) y(t) S X(t)=[x1,x2, ,xn] - Có nhiều tập biến trạng thái khác đối tượng Đặc điểm biến trạng thái đặc trưng cho khả tích lũy biến đổi lượng hệ Ví dụ dịng điện, điện áp, vận tốc, quãng đường dịch chuyển - Ý nghĩa biểu diễn trạng thái thay sử dụng phương trình vi phân bậc cao, người ta sử dụng nhiều phương trình vi phân bậc để mơ tả động học đối tượng - Các công cụ đại số ma trận vec tơ hàng, cột, ma trận vuông, định thức, tính nghịch đảo ma trận Là cơng cụ chủ yếu khảo sát động học hệ phương trình trạng thái (Đọc tài liệu [2] để ơn lại đại số ma trận sử dụng không gian trạng thái) DHDUNG@UTC.EDU.VN 11 Biểu diễn trạng thái đối tượng - Dạng chi tiết dx1 dt = x1 = a11x1 + a12 x2 + + a1n xn + b1u - Trong đó: - Dạng ma trận dx2 dt = x2 = a21x1 + a22 x2 + + a2n xn + b2u a11 a12 a1n x1 A = a21 a22 a2n ; x = X = x2 dxn = xn = an1x1 + an2 x2 + + ann xn + bnu dt y = c1x1 + c2 x2 + + cn xn + du an1 an2 ann xn dx X = AX + BU b1 = x = Ax + bu [1] [2] dt b = B = b2 ; cT = C = (c1 c2 cn ) Y = CX + DU y = cT x + du bn Y (hoặc y), U (hoặc u), D (hoặc d) đại lượng vô hướng DHDUNG@UTC.EDU.VN 12 Ví dụ biểu diễn trạng thái mạch RLC - Chọn biến trạng thái: x1 = i x2 = Ur (Có thể chọn theo cách khác), ta có: * y = Ur = x2 = 0*x1+1*x2+0*Uv * Do dUr = i x2 = x1 x2 = x1 + 0* x2 + 0*u dt C C C Do Uv = iR + L di +Ur di = x1 = (Uv − iR −Ur ) = − R i − Ur + Uv * dt dt L LL L x1 = − R x1 − x2 + u LL L x1 = − R x1 − x2 + u - Các phần tử biểu diễn trạng thái: LLL R 1 A = − L − L ; B = L ;C = (0 1); D = * Biểu diễn trạng thái: 1 x2 = x1 + 0x2 + 0u C 0 y = 0x1 +1x2 + 0u C DHDUNG@UTC.EDU.VN 13 Bài tập 2.3 Tìm biểu diễn trạng thái mạch RLC R = 1.5 K, L = 10mH, C = 22F Tìm biểu diễn trạng thái mạch RLC chọn: x1 = Ur , x2 = i Tìm biểu diễn trạng thái phần tử tập 2.1 DHDUNG@UTC.EDU.VN 14 Mối liên hệ biểu diễn trạng thái hàm truyền đạt - Cơng thức tìm hàm truyền đạt từ biểu diễn trạng thái: W(s) = C(sI-A)-1B+D Trong I ma trận đơn vị bậc với ma trận A - Cách tính ma trận nghịch đảo (sI – A)-1 * Bước 1: Tính ma trận Q = (sI – A) * Bước 2: Tìm định thức det(sI – A) * Bước 3: Tìm ma trận phụ đại số (ma trận phụ hợp) Q* Q theo công thức: Q* =[q*ij]n, Q =[qij]n; q*ij=(-1)i+jdet(Q’ji) Với Q’ji ma trận thu từ ma trận Q cách bỏ hàng j cột i * Bước 4: (sI – A)-1 = Q*/det(sI-A) DHDUNG@UTC.EDU.VN 15 Ví dụ tìm hàm truyền đạt từ biểu diễn trạng thái - Ví dụ đối tượng có biểu diễn trạng thái X = AX + BU với tham số: Y = CX + DU A = 1; B = 1 ;C = (1 2); D = Tìm hàm truyền đạt đối tượng 5 −2 * Lưu ý giá trị A, B, C, D biểu diễn tương đương sau: A = [3,1;2,5] A = [3 1;2 5]; B = [1;-2]; C = [1,2] C = [1 2] Tức dấu (;) tương đương xuống dòng, dấu (,) dấu cách ( ) biểu diễn hàng Đây cách để nhập liệu ma trận phần mềm Matlab DHDUNG@UTC.EDU.VN 16 Thực - Bộ tham số: A = [3 1;2 5], B = [1;-2], C =[1 2], D = - Bước 1: Tìm sI – A: 0 1 s − −1 s − = =Q 5 −2 s − 5 - Bước 2: Tính det(sI – A) det s − −1 = (s − 3)(s − 5) − = s2 − 8s +13 −2 s − 5 - Hàm truyền đạt: W(s) = C(sI-A)-1B+D - Bước 3: Tìm Q* Q* = s − W (s) = (1 2) s − 1 s −3 s − 8s +13 s − 3 −2 s−5 - Bước 4: Tìm (sI – A)-1 (1 2) s − 1 = 2−3s + =2 s − 8s +13 s − 3 * Kiểm tra Q*Q s − 8s +13 s − 3 −2 s − 8s +13 (s − 5)(s − 3) − s − s − −1 (s−1 2s−5) s − 3 −2 s − 5 = −2 + (s − 5)(s − 3) 2 −3 s + s −8s+13 DHDUNG@UTC.EDU.VN 17 Bài tập 2.4 Tìm hàm truyền đạt biểu diễn trạng thái sau: (D=0) a A=[1 0;3 -1],B=[1;0],C=[0,1] b A=[-2 1;0 1],B=[3;1],C=[2,0] c A=[2 5;4 1],B=[1;0],C=[3,1] d A=[6 -1;2 2],B=[1;-3],C=[2,-1] Tìm hàm truyền đạt tương ứng tập 2.3.1 DHDUNG@UTC.EDU.VN 18 Đại số sơ đồ khối * Mục tiêu : tìm hàm truyền đạt đối tượng, hệ thống điều khiển gồm nhiều phần tử kết nối với * Xét phần tử riêng lẻ có hàm truyền W(s), đầu vào U(s), đầu Y(s) Khi mối liên hệ Y(s) U(s): Y(s) = W(s)U(s) * Xét thành phần hệ thống có phần tử cộng: Y(s) = X1(s) + X2(s) * Xét hệ thống gồm hai phần tử mắc nối tiếp : Y(s) = W1(s)W2(s) U(s) Vậy hàm truyền đạt tương đương hệ W(s) = W1W2 DHDUNG@UTC.EDU.VN 19 Đại số sơ đồ khối (tiếp) * Xét hệ thống gồm hai phần tử mắc song song: Hàm truyền đạt tương đương hệ : W = W1+ W2 W1-W2 W1(s) U(s) Y(s) W2(s) * Xét hệ thống hồi tiếp âm Hàm truyền đạt tương đương hệ hồi tiếp âm : U E Y(s) W (s) = W1 (s) = W1 = Y (s) W1 1+W1 (s)W2 (s) 1+W1W2 U (s) W2 * Hàm truyền đạt tương đương hệ hồi tiếp dương: U E W1 Y(s) W (s) = W1 (s) = W1 = Y (s) 1−W1 (s)W2 (s) 1−W1W2 U (s) W2 DHDUNG@UTC.EDU.VN 20