Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

Bài giảng đại số tuyến tính của trường đại học công nghệ thông tin, chương 2. Bài giảng là slide powerpoint cung cấp đầy đủ kiến thức, bài tập, kỹ năng cho sinh viên về chương 2 của môn đại số tuyến tính

Chương (tt): ĐỊNH THỨC det(A) Định thức ma trận vuông A kí hiệu * Ma trận vng cấp 1: * Ma trận vuông cấp 3: định thức cấp định thức cấp A  aij 11  a11   det  A  a11  a11 a12 a13  A  aij 33   a21 a22 a23  a a  31 a32 33  * Ma trận vuông cấp 2:  det  A  a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32 định thức cấp  a13a22a31  a11a23a32  a12a21a33  a11 a12  A  aij 22     a21 a22   a11 a12 a13 a11 a12   a21 a22 a23 a21 a22   det  A  a11a22  a12a21 a a  31 a32 a33 a31 32  l1 Định lý Laplace Định thức ma trận vuông A cấp n aij  a11 Có thể chọn hàng tính theo cơng thức sau (cột) để khai triển Khai triển theo dòng  a11 a12 a13   a22 a23   a21 a22 a23  Aij  A11    n a a a  ik  31 32 33   a32 a33  det  A   1 aik Mik k 1 Khai triển theo cột aij  a12  a11 a12 a13  n k j det  A   1 akjM kj 1k    a21 a22 a23   a21 a23  aij : phần tử ma trận A a a a  Aij  A12     31 32 33   a31 a33  aij  a13  1i j Mij : phần bù đại số  a11 a12 a13   a21 a22 a23   a21 a22  Mij  det  Aij  a a a  Aij  A13     31 32 33  A : ma trận ma trận A  a31 a2 32  ij Slide levansang, 9/14/2022 l1  3 11 1 *A     det  A  1 1.det 5  1 3.det 2  11 2   3 21 22 *A     det  A  1 2.det 3  1 5.det 1  11 2   3 11 21 *A     det  A  1 1.det 5  1 2.det 3  11 2   3 12 22 *A     det  A  1 3.det 2  1 5.det 1  11 2   1 1  det  A  1.5.1 2.6.3  3.4.2 A   5 6 5  3.5.3  1.62  2.4.1  2   2   36  24  45 12   6 1 *det  A  5 6  111 1 5 6  112 6  113 5  6 2 31 2 2 1 *det  A  5 6  121  122 5 1  123 6 1  6 2 31 2 2 1 *det  A  5 6  112 6  122 5 1  132 2 1  6 31 31 6 2 1 2 15 15 1 1 5  3   0 0  111 0  0  1 3  2 0    1 1  1  1.0.1  5.0.11.0.3 1.0.11.0.3  5.0.1  1 2 3 3  3 3 5  3   2 0 2  112 2 0   2 0    2 0   1 1 1     3.0.1  5.0.2 1.2.3 1.0.2  3.0.3  5.2.1  160  1 1 2 3 1 3 1  3 1 3   3  113 2 0  2 0  2 0 2     2 0  1 1  1    2.3.0.1 1.0.2 1.2.11.0.2  3.0.11.2.1  8  1 1 2 3 3  3 3   3  114 2 0  2 2 0  2 0 2   2 0  13 13  13      1  2.3.0.3 1.0.2  5.2.1 5.0.2  3.0.11.2.3  Ma trận nghịch đảo A ma trận khả nghịch A1  CT  A không suy biến det  A cij  1i j Mij A.B  B.A  I  B ma trận nghịch đảo A B ma trận  1    det  A  7    A 1 A1     1/ /  A  1  / 1/  11 12  c11  1 det 1  1, c12  1 det 2  2  1 2 T  1 3  C     C   21 22  3  2 1 c21  1 det 3  3, c22  1 det 1    2 1 0  1 0  h2 3h1h2  1 0 1   h1h3   h3 2h1 h3  3 A.A1  A1A  I3  A I    0 0  0 0  3  1 0   1 0   0 1 2    1 0  h1h3h1  0 1  1 h3 h3   h2 3h3 h2    3 3  3    I A  1  A1   3   0 1   0 1   1      2    1 A     det  A     A1 CT   3   1  c11  111  1, c12  1 12  3, c13  113  1   1  01 11 c21  121  0, c22  122  1, c23  123  1 3 1 11 10 C     1, c32  132  3, c33   133   1  c31  131 0 30 31 37   Các tính chất (hệ quả) ma trận  1 1 kA  A , k  det  A  k   A1 1  A  Am 1   A1 m Nếu A B khả nghịch   1 1 1  AB  B A Các tính chất (hệ quả) định thức Một tính chất phát biểu hàng định thức cịn phát biểu ta thay hàng cột Một định thức có mơt hàng (cột) tồn số khơng Một định thức có hai hàng (cột) khơng Một định thức có hai hàng (cột) tỉ lệ khơng Định thức ma trận tam giác tích phần tử chéo Khi đổi chỗ hai hàng (cột) định thức ta định thức định thức cũ đổi dấu Khi phần tử hàng (cột) có thừa số chung, ta đưa thừa số chung ngồi định thức Khi nhân phần tử hàng (cột) với số k định thức định thức cũ nhân với k Khi ta cộng hàng (cột) vào bội k hàng (cột) khác ta định thức định thức cũ 10 Khi tất phần tử hàng (cột) có dạng tổng hai số hạng định thức phân tích thành tổng hai định thức 11 det(A) = det(AT) 12 det(AB) = det(A)det(B), A B hai ma trận vuông cấp Đưa ma trận dạng chéo để tính định thức 3 3 3 3 3 *   11 11 *  2  2  11 25 1 5 / 11/ 1 1 1 * 5 6    6 2 10 0 / 1 1 1 * 5 6  4.3 5 / 6 /  4.3 / / 2 2 / 1/ / 10 / 1 1  4.3 24 /12  4.3 24 / 12  6 43 43 30 /12 0 / 12 Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH a11x1  a12 x2   a1n xn  b1  a11 a12 a1n   x1   b1    a21 a22 a2n .   x2      b2   AX  B a21x1  a22 x2   a2n xn  b2  . .         am1 am1 amn   xn   bn  am1x1  am2 x2   amn xn  bm *Có xi ≠ 0: Nghiệm không tầm thường *Tất xi = 0: Nghiệm tầm thường Gauss-Jordan Phương pháp giải Sử dụng phép biến đổi dòng (ma trận vng, hình chữ nhật) Cramer Sử dụng định thức (chỉ ma trận vuông) 10 Lập ma trận mở rộng, Giải hptt pp Gauss-Jordan đưa dạng bậc thang, tìm hạng *3x  y  3 1 5 *  n  2, A   , B     a11 a1n b1    A x  2y  1  4    1  3h2 h1h2  1  A   A B      A  A B          A    A  n   a a b    A 1 4 0 y 1 7  m1 mn m  Hệ p t c ó ngiệm  x  *x  y   1 1 Hệ pt vô ngiệm *  n  2, A   , B   2x  2y   2 3 Hệ có nghiệm   A    A A  A B   1 1 h2 2h1h2  1 1     A     A  (định lí Kronecker-Capelli)     2 3 0 1 + Vô nghiệm   A    A + Nghiệm   A    A  n *x  y   1   y  t, t  R *  n  2, A   , B    + Vô số nghiệm   A    A  n 2x  2y   2  2  1t x   1  h2 2h1h2  1  3 A  A B       2 2 0 0    A    A 1  n  Hệ pt có vô số ngiệm 11 Aj Giải hptt pp Cramer xj  A AX  B 3x  y   1  5 B *x 2y  4  A , B    BB B 1  4 a1n a11 a12 a1 j a2n A 1 7  hệ pttt hệ Cramer a21 a22 a2 j (có nghiệm nhất) ain 12 A ai1 ai2 aij ann 1  14  x  Ax  2, 35 Ay Ax  Ay    y  A  an1 an2 anj A *x y 1  1 1   A , B   2x  2y   2  3 1 1 hệ pttt vô nghiệm A  2  0, Ax  2   A1 A2 Aj An *x  y  1  1 1   A , B   A  hệ phương trình tuyến tính hệ Cramer 2x  2y  A  tất Aj  hệ phương trình tuyến tính có vơ số nghiệm 2 2  2 A  có Aj  hệ phương trình tuyến tính vô nghiệm A 1  0, 1 Khi hệ có vơ số nghiệm, ta sử dụng phương pháp Gauss-Jordan để giải 2 Ax  0 2 11 hệ pttt vô số nghiệm Ay  2  12 Hệ nghiệm AX  có nghiệm khơng tầm thường số ẩn tự n    A * n  Có ẩn tự x1, x2 , x3 x1  x2  2x3  x4    A  1 2 1    A  nghiệm tổng quát * x1  1, x2  x3   1, 0, 0, 1  Hệ nghiệm  x1, x2 , x3,  x1  x2  2x3  * x2  1, x1  x3   0,1, 0, 1   1, 0, 0, 1 , 0,1, 0, 1 , 0, 0,1, *  1,    0,1, 0, 1  1, 0, 0, 1, 0,1, 0, 1, 0, 0,1, 2 * x3  1, x1  x2   0, 0,1, 2  1 3  h2 2h1h2  3 nghiệm tổng quát  A    h3 3h1h3   Hệ nghiệm  3 *    13 3 2   3   1 h4 h3 h4  3  có ẩn tự x3   n  3        A  0 0  Ví dụ: Định thức, Ma trận ngịch đảo, giải hệ pttt, hệ nghiệm Tính/chứng minh định thức g) f) h) 14 Giải hệ pttt pp Gauss-Jordan, Cramer, ma trận nghịch đảo (X=A-1 B) 3x  y  a) b)  2x  5y  8 x  y  2z t   e) 2x  y  z  t  4 x  y  z  2t  c) d) 3x  3y  2z  t  7 15 Giải biện luận hệ pttt theo tham số d) 16 Tìm hệ nghiệm a) b) c) 17