Bài tập chương 1 đại số tuyến tính

Đề thi đại số tuyến tính của trường đại học công nghệ thông tin, giữa kì năm 2022 2023. Đề thi là tài liệu ôn tập hiệu quả dành cho sinh viên nói chung và sinh viên trường đại học công nghệ thông tin nói riêng

Bài tập chương Bài 1.1 Cho A = −1 , B = −2 Tính 3A ± 2B; A A; A A −4 −3 2 Bài 1.2 Tìm x, y, z w biết xy = x + x+y zw −1 2w z+w Bài 1.3 Tính tích  −3    a)  −4    ; −5 132  6   −2  b)     ; −1 Bài 1.4 Tính AB − BA a) A = , B = −3 ; −1 −4 1 1 7 3 b) A =  1 , B =   001 007 Bài 1.5 Tính A A AA với (a) A = ; −1 −1  −1 −2  (b)A =  −1 −1 −2  ; −1 −2 0 0 Bài 1.6 Cho A =  0 , tính A2 A3 000 Bài 1.7 Tìm tất ma trận cấp giao hoán với A= 01 Bài 1.8 Tìm tất ma trận cấp giao hoán với 1 1 A =  −2  00 Bài 1.9 Hãy xác định f (A) trường hợp sau: a) A = −1 ; f (x) = 2x3 + 3x2 − 7x + −2 b) A = ; f (x) = 3x3 − 2x2 − x + 24 0 1 c) A =  1  ; f (x) = 4x2 − 3x + 110  −1  d) A =  −1  ; f (x) = x2 + 4x − −1 Bài 1.10 Tính Ak, k ∈ N biết rằng: a) A = −1 ; b) A = α ; −2 01 c) A = α β ; 1 1 0α d) A =  1  ; 1 1 111 e) A =  1  ; 1 0 001 f) A =  1  001 Bài 1.11 * Cho A ∈ Mn(R) có tất phần tử α (α ∈ R) Hãy tính Ak, k ∈ N Bài 1.12 Xác định hạng ma trận sau: 3 7 1 3 a)   ; b)  ; 135 125  1 −3  1 4 c)  −1  ; d)   ; −3 12 4 2 1 6 e)  1  ; f)   ; 0033 3126  −1 −1   −2 −1  g)  −1  1 −2  ; h)   13  −2  −9 −2 −6 10 Bài 1.13 Tìm biện luận hạng ma trận sau theo tham số m, n ∈ R:  1 −3   m 5m −m  a)  m  ; b)  2m m 10m ; 1m −m −2m −3m  1 4 m 0 n c)  17   m 10 ; d*)  n m   n m 0  22 41 0 nm Bài 1.14 Dùng Thuật tốn Gauss Gauss-Jordan, giải hệ phương trình sau:   2x1 + x2 − 2x3 = 10; a) 3x1 + 2x2 + 2x3 = 1;  5x1 + 4x2 + 3x3 =   x1 − 2x2 + x3 = 7; b) 2x1 − x2 + 4x3 = 17;  3x1 − 2x2 + 2x3 = 14   x1 + 2x2 − x3 = 3; c) 2x1 + 5x2 − 4x3 = 5;  3x1 + 4x2 + 2x3 = 12   2x1 + x2 − 3x3 = 1; d) 5x1 + 2x2 − 6x3 = 5;  3x1 − x2 − 4x3 =   2x1 + x2 − 2x3 = 8; e) 3x1 + 2x2 − 4x3 = 15;  5x1 + 4x2 − x3 =   x1 + 2x2 − 3x3 = 1; f) 2x1 + 5x2 − 8x3 = 4;  3x1 + 8x2 − 13x3 =   x1 + 2x2 − 2x3 = −1; g) 3x1 − x2 + 2x3 = 7;  5x1 + 3x2 − 4x3 =   2x1 − 5x2 + 3x3 + 2x4 = 4; h) 3x1 − 7x2 + 2x3 + 4x4 = 9;  5x1 − 10x2 − 5x3 + 7x4 = 22   x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 2; i) 2x1 + 5x2 − 2x3 + x4 = 1;  5x1 + 12x2 − 7x3 + 6x4 =  = 7;  x1 + x2  x2 − x3 + x4 = 5;  j)  x1 − x2 + x3 + x4 = 6;  x2 − x4 = 10   x1 + 2x2 + 3x3 = 14;  3x1 + 2x2 + x3 = 10; k) x1 + x2 + x3 = 6;  2x1 + 3x2 − x3 = 5;    x1 + x2 = Bài 1.15 Giải hệ phương trình tuyến tính sau:   x1 + 2x2 + x3 = 0; a) 2x1 + 5x2 − x3 = 0;  3x1 − 2x2 − x3 =   x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 0; b) 2x1 + 3x2 + 3x3 − x4 = 0;  5x1 + 7x2 + 4x3 + x4 =   2x1 − 2x2 + x3 = 0; c) 3x1 + x2 − x3 = 0;  x1 − 3x2 + 2x3 =   3x1 − 2x2 − 5x3 + x4 = 0;  d) 2x1 − 3x2 + x3 + 5x4 = 0;  x1 + 2x2 − 4x4 = 0;  x1 − x2 − 4x3 + 9x4 =   x1 + x2 − 3x3 + 2x4 = 0;  e) x1 − 2x2 − x4 = 0; x2 + x3 + 3x4 = 0;   2x1 − 3x2 − 2x3 =   x1 + 3x2 − 2x3 + x4 = 0;  f) x1 − x2 + x3 + x4 = 0;  4x1 − x2 − x3 − x4 = 0;  4x1 + 3x2 − 4x3 − x4 =   6x1 − 5x2 + 7x3 + 8x4 = 0;  g) 6x1 + 11x2 + 2x3 + 4x4 = 0;  6x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0;  x1 + x2 + x3 =  = 0;  x1 + 2x2 + x3  x2 + 3x3 + x4 = 0;  + x3 + x4 = 0;  h) 4x1  x1 + x2 + 5x4 = Bài 1.16 Giải phương trình sau:   x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 1;  a) 2x1 − x2 − 2x3 − 3x4 = 2;  3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = −5;  2x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = 11,   x1 − x2 + 2x3 − 3x4 = 1;  b) x1 + 4x2 − x3 − 2x4 = −2;  x1 − 4x2 + 3x3 − 2x4 = −2;  x1 − 8x2 + 5x3 − 2x4 = −2,   2x1 − 5x2 + 3x3 + x4 = 5;  c) 3x1 − 7x2 + 3x3 − x4 = −1;  5x1 − 9x2 + 6x3 + 2x4 = 7;  4x1 − 6x2 + 3x3 − x4 = 8,   2x1 − 2x2 + x3 − x4 + x5 = 1;  d) x1 + 2x2 − x3 + x4 − 2x5 = 1;  4x1 − 10x2 + 5x3 − 5x4 + 7x5 = 1;  2x1 − 14x2 + 7x3 − 7x4 + 11x5 = −1 Bài 1.17 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R:   x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = m; a) x1 + x2 − x3 + x4 = 2m + 1;  x1 + 7x2 − 5x3 − x4 = −m,  17x4 = 11m + 7;  3x1 + 4x2 + 4x3 −  b) 2x1 + 3x2 + 2x3 − 12x4 = 8m + 5;  5x1 + 6x2 + 8x3 − 27x4 = 18m + 10;  3x1 + 5x2 + 2x3 + (m − 20)x4 = 13m + 8,   x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 1;  c) 2x1 + 4x2 − 7x3 + 9x4 = 2;  5x1 + 10x2 − 17x3 + 23x4 = 1;  3x1 + 6x2 − 10x3 + mx4 = 13 − m,   x1 − 2x2 + x3 − x4 + x5 = m;  d) 2x1 + x2 − x3 + 2x4 − 2x5 = 3m;  3x1 − 2x2 − x3 + x4 − x5 = m + 1;  2x1 − 5x2 + x3 − 2x4 + 2x5 = m − Bài 1.18 Cho hệ phương trình   x1 + x2 − x3 = 1; 2x1 + 3x2 + kx3 = 3;  x1 + kx2 + 3x3 = Xác định trị số k ∈ R cho: a) hệ có nghiệm nhất; b) hệ khơng có nghiệm; c) hệ có vơ số nghiệm Bài 1.19 Cho hệ phương trình   kx1 + x2 + x3 = 1; x1 + kx2 + x3 = 1;  x1 + x2 + kx3 = Xác định trị số k ∈ R cho: a) hệ có nghiệm nhất; b) hệ khơng có nghiệm; c) hệ có vơ số nghiệm Bài 1.20 Cho hệ phương trình  4x4 = 3;  5x1 − 3x2 + 2x3 + 7x4 = 1;  4x1 − 2x2 + 3x3 +  8x1 − 6x2 − x3 − 5x4 = 9;  7x1 − 3x2 + 7x3 + 17x4 = λ Xác định tham số λ ∈ R cho: a) hệ vô nghiệm; b) hệ tương thích giải tìm nghiệm Bài 1.21 Cho hệ phương trình   3x1 + 2x2 + 5x3 + 4x4 = 3;  2x1 + 3x2 + 6x3 + 8x4 = 5;  x1 − 6x2 − 9x3 − 20x4 = −11;  4x1 + x2 + 4x3 + λx4 = Xác định tham số λ ∈ R cho: a) hệ vô nghiệm; b) hệ tương thích giải tìm nghiệm Bài 1.22 Bằng phương pháp Gauss-Jordan, tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau (nếu có): a) A = ; 1 2 23 b) A =  −1  ; 18  −2   −4  c) B =  −3  ; d) A =  −1 −1  ; 17 −3  −4  2 7 e) B =  −1  ; f) A =   ; 13 −6 −2 −3 3 2  −2  g) A =   ; h) A =  −1  ; 534 73  13 −8 −12   0 i) A =  12 −7 −12 ; j) A =  −1 −1  ; −4 −5 11  0 −1  1 1 1 k) A =  −1    ; l) A =  −1 0   1 −1 −1  ; 2 −1 0 −1  0 −1  1 1 1 m) A =  1 −1 0  ; n) A =  −1 −1   1 −1 −1  ; 01 −1 −1  1 −3  p) A = sin α cos α o) A =  1 −3   0  ; − cos α sin α 2 −5 Bài 1.23 Cho A = 1 , B = Hãy tính 01 32 (B−1AB)k, k ∈ N Bài 1.24 Cho A = 54 ∈ M2(R) −4 −3 a) Chứng minh A2 − 2A + I2 = Suy A khả nghịch tìm A−1 b) Với n ∈ N, đặt B = I2 + A + A2 + · · · + An Tính An B theo A; I2 n Bài 1.25 Giải phương trình ma trận a) X = ; 34 59 b) X −2 = −1 ; −4 −5 c) −1 X = 14 16 ; −2 78 10  −3   −3  d)  −4  X =  10  ; −1 10  −2    e)  −4  X =   ; −1 105  13 −8 −12    f) X  12 −7 −12  =   ; −4 −5 789  0 1 1 0 1 g)  −1 −1  X  1 −1  =  1  11 −1 −1 −1 Bài 1.26 Giải hệ phương trình sau phương pháp ma trận nghịch đảo:   x1 + x2 − 3x3 = −2; a) x1 + 2x2 − 3x3 = 6;  2x1 + 4x2 − 5x3 = −6   x1 + x2 + x3 + x4 = 1;  b) x1 + x2 − x3 − x4 = 1;  x1 − x2 = −1;  x3 − x4 = −1   x1 + x2 + x3 + x4 = −1;  c) x1 + x2 − x3 − x4 = 1;  x1 − x2 + x3 − x4 = −1;  x1 − x2 − x3 + x4 = 10