Chương 4: Tập sinh, cơ sở, số chiều

Bài giảng đại số tuyến tính của trường đại học công nghệ thông tin, chương 4. Bài giảng là slide powerpoint cung cấp đầy đủ kiến thức, bài tập, kỹ năng cho sinh viên về chương 4 của môn đại số tuyến tính

Chương (tt): TẬP SINH – CƠ SỞ – SỐ CHIỀU *B tập sinh V (V= VD1: B  1, 0, 0;0,1, 0;0, 0,1 R3 (hay B sinh V) * v v1, v2, v3  R3 B  u1,u2 , ,un,ui V , i  1, n n v  c1u1  c2u2  c3u3  v V  v   ciui v1, v2, v3   c1 1, 0, 0  c2 0,1, 0  c3 0, 0,1  i 1  c1  v1, c2  v2 , c3  v3  v  v1u1  v2u2  v3u3 *B sở V B tập sinh R3 B tập sinh V  1 0  B : ÐLTT B ĐLTT * A   0    A   Nvector *Số chiều V  0  dim V = số vector B (một số không đổi) Vậy: B sở R3 với dim B = n B  u1  1, 0, , 0;u2  0,1, , 0; ;un  0, 0, ,1 R  n dim R  n VD2: B  u0  1,u1  x,u2  x2 , ,un  xn  Pn  x * f  x  a0  a1x  a2 x3   an xn  Pn  x, (a0, a1, , an  R)  0 f  x  c0u0  c1u1  c2u2   cnun A     .  a0  a1x  a2 x3   an xn  c0  c1x  c2 x3   cn xn    c0  a0 , c1  a1, c2  a2 , , cn  an  0  B tập sinh Pn(x)  * c0u0  c1u1  c2u2   cnun  0V  c0  c1x  c2 x3   cn xn  0V   A  n 1  Nvector  c0  c1x  c2 x23   cn xn   0x  0x23   0xn  c0  0, c1  0, c2  0, , cn  B ĐLTT Vậy: B sở Pn(x) với dim B = n + Tính chất sở & số chiều *dimV  n số không đổi Nvector  dimV  S PTTT  *B  u1, , un sở V   S  hệ sinh V  *Nvector  dimV v  V , v  c1u1   cnun    S sở V  c1, , cn  Nvector  dimV S ĐLTT VD3: Chứng minh VD4: Chứng minh VD5: Xác định m để thỏa điều kiện tập sinh VD6: Tập sở R3 ? VD7: Tập sở R3 ? 6.a) dim M = < nên M khơng sở R3 a) 6.b) dim M = > nên M khơng sở R3 b) 6.c) dim M = nên M sở R3 c) S3  1,1,1,1,1, 2,1, 2,3 M ĐLTT VD8: Định m để tập 1 3 không sở R3 det     M : PTTT  M không sở R3 a) V  2,1, 1,3, 2,5,1, 1, m   b) 6.d) dim M = nên M sở R3 M ĐLTT c) B  2,1, 1,4, 2, 2,1, m 1, m d) C  2,1, m,0, 2,1,1, m 1, m 1 3 det  2  5  M : ÐLTT  M sở R3  2 CƠ SỞ & SỐ CHIỀU CỦA KGVT CON VD9: Cơ sở & số chiều kgvt W SV tự kiểm tra lại W1 kgvt R4 Chứng minh W kgvt tập sinh W1 Xác định số biến tự vector B1 1  h2 h1h2  1  x W    Biểu diễn tọa độ x theo 1 1 1  2 1  biến tự    B   Nvector  B : ÐLTT Biểu diễn x dạng tổ hợp tuyến tính Vậy: B sở W1 biến tự do, sau tìm dim W1 = tập sinh B Chứng minh tập sinh B ĐLTT, sau kết luận B sở Số chiều kgvtc số vector B VD10: Tìm sở & số chiều kgvt a) W1   x1, x2, x3, x4   R4 | x1  x2  x3  x4  x1  3x2  5x3  7x4   b) W2   x1, x2, x3,0  R4  4  f ) W6   x1, x2 , x3, x4   R | 2x1  4x3  2x4    3x1  2x2  8x3  x4  0   c) W3   x1, x2, x3, x4   R4 | x1  x2  x3 g)  x1  x2  2x3  d ) W4   x1, x2 , x3, x4   R |    x1  x2  2x4   x3  x1  x2  h) e) W5   x1, x2 , x3, x4   R |    x4  x1  x2  TỌA ĐỘ – MA TRẬN CHUYỂN ĐỔI CƠ SỞ  c11 c1n  B  u1, ,un sở V  sở B B  u1, , un, B '  u '1, ,u 'n PBB'    sở B c c   n1 nn  v V  v  c1u1   cnun  ma trận chuyển sở  vB  c1 cn  u '1  c11u1  c21u2   cn1un từ B sang B’   vector tọa độ v   vB  PBB' vB' u 'n  c1nu1  c2nu2   cnnun   c1     vB    PBB'  B1B '  c  Chú ý: đưa B B’ dạng ma trận cột  n  PB'B   PBB' 1   B1B '1  B '1 B  ma trận tọa độ V PBE  PBF PF E VD  VD11: B   u1  0,1,u2  1,1   c11   01 1 1 v  2,3,vB  ?, vB  ? *      B  e1  1, 0, e2  0,1 vB  PBE vB  1  c21   1 1 1   c12   01     1   4  14   c1   1   *            VVDD12:: E  u1  1,1,u2  2,  3  c22       1  3  3 1 3    11  c2   1    4  1  2   vE    , PBE  ?, vB  ?       5  03 2  1  1 1  1  PBE  B1E          vB  1 2, vB      1 3 1 3 2 TÍNH CHẤT  c1  c '1   x  y    c1       cn  c 'n PBB'   PBB' 1 xB      PB'B   PBB' 1     c1  c '1   cn      PBB ''  PBB '.PB 'B''   x  yB     c '1   c c'  y      n n B      c1   c 'n      xB          cn  VD13: V VD14: U Chương 4: KHÔNG GIAN EUCLIDE Không gian hữu hạn chiều  tồn tích vơ hướng  khơng gian Euclide Tính chất  u, v  x1 y1   xn yn u 0  u, v, w V ,   R  u  u, u  x12   xn2  u   u  0V u  x1, , xn     u   u  Tích vơ hướng    duv  v  u  v  u, v  u  u,v  u v u,v  v  y1, , yn       y1  x1 2    yn  xn 2  u  v  u  v   u, v  v,u  u, v cos   u.v u  w, v  u, v  w, v Hệ vector trực chuẩn u, v   v,u ,  R  ui , u j   ui  u j , i, j & i  j S  u1,u2, ,un    ui  1,i u,u  0, u,u   u  0V 11 u, v  v,u VD15: Chứng minh u  u1,u2 , v  v1, v2   R2 u  w, v  u, v  w, v u, v   v, u ,   R tính tích vơ hướng  a)  u, v  u1v1  2u1v2  2u2v1 10u2v2  u  1, 2, v  3,5  u, v  ? u, u  0, u, u   u  0V u v  u1v1  2u1v2  2u2v1 10u2v2  1)  u v  u u VD16: u u  v1u1  2v1u2  2v2u1 10v2u2  Chứng minh hệ vector trực chuẩn 2) u  w v  u1  w1  v1  2u1  w1  v2  2u2  w2  v1 10u2  w2  v2   1   1   u1v1  2u1v2  2u2v1 10u2v2    w1v1  2w1v2  2w2v1 10w2v2  b) S  u1  , 0,  ,u2  ,  ,    uv  wv   2   3  3) u v  u1  v1  2u1  v2  2u2  v1 10u2  v2 u1  * u1 u2  0   u 0, 0    u1v1  2u1v2  2u2v1 10u2v2    u v u2  * u1    ÐPCM 4) u u  u1u1  2u1u2  2u2u1 10u2u2  u12  4u1u2 10u22   u1  2u2 2  6u22  0, u1,u2  R u1  2u2  * u2    u u 0 u2  * u v  u1v1  2u1v2  2u2v1 10u2v2  1.(3)  2.1.5  2(2).(3) 10.(2).5  81 12 VD17: Tích vơ hướng Chứng minh tích sau tích vơ hướng u   x1, x2 , x3 , v   y1, y2 , y3  u   x1, x2 , v   y1, y2  Tích vơ hướng ? a)  b)   u, v  x1 y1  x2 y2  x3 y3  u, v  x1 y1  2x2 y2 f ) u, v  x1 y1  x3 y3 g ) u, v  x12 y12  x22 y22  x32 y32 u  a0  a1x  a2 x2 x,v g x h) u, v  2x1 y1  x2 y2  4x3 y3  u  f  i) u, v  x1 y1  x2 y2  x3 y3 c)  v  b0  b1x  b2 x   d)  b  u, v  a0b0  a1b1  a2b2  u,v  a f  x g  x dx   x1 x2   y1 y2  u   ,v    e)   x3 x4   y3 y4    u, v  x1 y1  x2 y2  x3 y3  x4 y4 CHUYỂN ĐỔI CƠ SỞ (Gram-Schmidt) VD18: Tìm sở trực chuẩn sở sau Cơ sở tổng quát S  u1  0,1, 1,u1  1, 2, 0,u3  2,1,1 S  u1, u2 , , un v1  u1 v1  u1  0,1, 1  u2 , v1 v2  u2  v1 v2  u2  u2, v1 v1  1, 2, 0    0,1, 1  v1, v1 v1, v1   u3, v1 u3, v2  1,1,1 v3  u3  v1  v2 v1, v1 v2 , v2 v3  u3  u3, v1 v1  u3, v2 v2   v1, v1 v2 , v2   2,1,1  0.0,1, 1  0.1, 2, 0  2,1,1 giao vn  un  un , v1 v1   un , vn1 vn1 Cơ sở trực chuẩn  v1, v1 vn1, vn1 S  0,1, 1,1,1,1,2,1,1 S  v1, v2, , vn v1  1  v2  1  e1    0, ,   , e2     , ,   v1  2  v2  3  e1  v1 , e2  v2 , , en  v1 v2 v3  1  e3    , ,   can Cơ sở trực giao chuan v3  5  Se  e1, e2, , en  1   1   1  Se   0, ,   ,  , ,   , , ,    2   3   5  14 VD19: Trong R2/R3 có tích vơ hướng Euclid VD20:  1 1 x   ,  Áp dụng phương pháp G-S biến   5 sở thành sở trực chuẩn Cho   2 3 a) S1  u1  1, 3,u2  2, 2 y  ,    30 30  Chứng minh x y khơng trực chuẩn theo tích b) S2  u1  1, 0,u2  3, 5 vô hướng Euclid, trực chuẩn theo tích vô hướng = 3u1v1 + 2u2v2 u1  1,1,1, u2  1,1, 0, VD21:  Cho S   u1  1,1,1,u2  1,1,0,u3  1,0,0 c) S3    u3  1, 2,1  u, v  u1v1  2u2v2  3u3v3 Áp dụng phương pháp G-S để đưa S dạng trực chuẩn với tích vơ hướng cho  S  1, x, x2  VD22: Trong P2 cho   p, q  1 p  x q  x dx u1  1, 0, 0,u2  3, 7, 2, d) S4    Áp dụng phương pháp G-S để đưa S dạng u3  0, 4,1  trực chuẩn với tích vơ hướng cho