Bài giảng đại số tuyến tính của trường đại học công nghệ thông tin, chương 4. Bài giảng là slide powerpoint cung cấp đầy đủ kiến thức, bài tập, kỹ năng cho sinh viên về chương 4 của môn đại số tuyến tính
Trang 1Chương 3 (tt): TẬP SINH – CƠ SỞ – SỐ CHIỀU
*B là tập sinh của V (V=<B>
(hay B sinh ra V)
1
, , , n , i , 1,
n
i i i
B
B
*B là cơ sở V
là tập sinh của V
là ĐLTT
*Số chiều của V
dim V = số vector của B
(một số không đổi)
1, 0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1 3
3
1 2 3
, ,
v c u c u c u
B là tập sinh của R 3
Vậy: B là cơ sở của R3
VD1:
1 0 0
0 0 1
vector
*
*
với dim B = 3
1 1, 0, ,0 ; 2 0,1, ,0 ; ; 0,0, ,1
dim
n n
n
R
Trang 2 2
B u u x u x u x P x
VD2:
3
n
n n
0 1
, (a a, , ,anR)
B là tập sinh của Pn(x)
3
n
n n
2
B là ĐLTT
*
Vậy: B là cơ sở của Pn(x) với dim B = n + 1
*
1 0 0
0 1
0 0 1
1 vector
A
2
Trang 3Tính chất của cơ sở & số chiều
1 1
1
, ,
n
n n
n
là cơ sở của V
là duy nhất
S là PTTT
dim
dim
vector
vector
vector
S không thể là
hệ sinh của V
S là cơ sở của V khi và chỉ khi
S là ĐLTT
Trang 4VD5: Xác định m để thỏa điều kiện tập sinh VD3: Chứng minh rằng
VD4: Chứng minh
Trang 5VD6: Tập nào là cơ sở của R3 ?
6.a) vì dim M = 2 < 3 nên M không là cơ sở của R 3
6.b) vì dim M = 4 > 3 nên M không là cơ sở của R 3
6.c) vì dim M = 3 nên M là cơ sở của R 3 khi và chỉ khi
M là ĐLTT
M không là cơ sở của R 3
1 2 3
det 2 3 4 0 :
3 4 5
M PTTT
6.d) vì dim M = 3 nên M là cơ sở của R 3 khi và chỉ khi
M là ĐLTT
1 1 3
det 1 2 2 5 :
2 1 2
M ÐLTT
M là cơ sở của R 3
3 1,1,1 , 1,1, 2 , 1, 2,3
S
VD7: Tập nào là cơ sở của R3 ? a)
b) c)
VD8: Định m để tập là hoặc
không là cơ sở của R3
2,1, 1 , 3, 2,5 , 1, 1,
2,1, 1 , 4, 2, 2 , 1, 1,
2,1, , 0, 2,1 , 1, 1,
a) b) c) d)
Trang 6CƠ SỞ & SỐ CHIỀU CỦA KGVT CON
Cơ sở & số chiều của kgvt con W
1 Chứng minh W là kgvt con
2 Xác định số biến tự do của một vector
bất kỳ x trong W
3 Biểu diễn các tọa độ của x theo các
biến tự do
4 Biểu diễn x dạng tổ hợp tuyến tính
của các biến tự do, sau đó tìm được
tập sinh B
5 Chứng minh tập sinh B là ĐLTT, sau
đó kết luận B là cơ sở
6 Số chiều của kgvtc là số vector của B
VD9:
SV tự kiểm tra lại W1 là kgvt con của R 4
là tập sinh của W1
2 1 2
h h h
vector
B
Vậy: B là cơ sở của W1 và dim W1 = 2
Trang 7Tìm cơ sở & số chiều của kgvt con VD10:
2 1 2 3
b W x x x R
c W x x x x R x x x
4 1 2 3 4
1 2 4
2
2
5 1 2 3 4
4 1 2
f W x x x x R x x x
g)
h)
Trang 8TỌA ĐỘ – MA TRẬN CHUYỂN ĐỔI CƠ SỞ
1
1 1 1
1
, ,
n
n n n B
B
n
c v
c
là vector tọa độ của v đối với cơ sở B
là ma trận tọa độ của V trong cơ sở B
là cơ sở của
là ma trận chuyển cơ sở
từ B sang B’
v B PBB ' v B'
'
1
n
B B
P
1
B B
P P B B B B
1, , n, ' ' , , '1 n
n n
1 1
2
0,1 , 1,1 1:
2,3
0 1 2
1 1 3
1 1 2 1
1 0 3 2
1
1 2 ,
2
VD
v
c
c
1,0 , 0,1
2 : 1,1 , 2, 3
4 , ?, ?
5 B E
B e e
VD E u u
1 11
21
1 12
22
1 0 1 1
*
0 1 1 1
1 0 2 2
*
c c c c
B E
, v B ?, v B ?
1
1 1 0 1 2 1 2
0 1 1 3 1 3
B E
P B E
P P P
VD11:
VD12:
Trang 9TÍNH CHẤT
1
1 1
1
1
'
'
' '
'
'
.
B
n
B
B
n
B
n
c
x
c
x y c
y
c c
x
c
1
1
Trang 10V VD13:
VD14:
U
Trang 11Chương 4: KHÔNG GIAN EUCLIDE
,
u v v u
u w v u v w v
u v
Không gian hữu hạn chiều
và tồn tại tích vô hướng
,
V
u
u v u v
, , ,
1,
n
i
Hệ vector trực chuẩn
Tính chất
1 1
1 1
1
1 1
,
,
, ,
, , ,
, cos
n n
n n
uv n
n n
u v x y x y
u x x
d v u v u v u
v y y
u v
u v
Trang 122
1 2 1 2
1 1 1 2 2 1 2 2
Chứng minh hệ vector trực chuẩn
Chứng minh và tính tích vô hướng
u v v u
u w v u v w v
VD15:
1)
u w v u w v u w v u w v u w v
u v u v u v u v w v w v w v w v
u v w v
u v u v u v u v u v
u u u u u u u u u u u u u u
2
2 0 0
0
u u
u u
u
1 2
0
0, 0 0
u
u u
* 2 2 10
1.( 3) 2.1.5 2( 2).( 3) 10.( 2).5 81
u v u v u v u v u v
VD16:
1 2
1
2
u u
u
Trang 13 1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
, , , , , )
,
u x x x v y y y
a
u v x y x y x y
1 1 2 2
)
u x x v y y b
u v x y x y
, )
a
d
u v f x g x dx
2
2
0 0 1 1 2 2
)
,
u a a x a x
c v b b x b x
u v a b a b a b
1 1 2 2 3 3 4 4
, )
,
e
u v x y x y x y x y
1 1 3 3
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
) , ) ,
) ,
f u v x y x y
g u v x y x y x y
h u v x y x y x y
i u v x y x y x y
VD17: Tích vô hướng Chứng minh các tích sau là tích vô hướng
Tích vô hướng ?
Trang 14Cơ sở tổng quát
Cơ sở trực giao
Cơ sở trực chuẩn
CHUYỂN ĐỔI CƠ SỞ (Gram-Schmidt) VD18: Tìm cơ sở trực chuẩn của cơ sở sau
1, , ,2 n
S u u u
n
n
v
1 1
2 1
1 1
3 1 3 2
1 1 2 2
, ,
n n
v u
u v
v v
1 0,1, 1 , 1 1, 2,0 , 3 2,1,1
S u u u
0,1, 1 , 1,1,1 , 2,1,1
S
1 1
2 1
1 1
3 1 3 2
1 1 2 2
0,1, 1 , 0 2 0
1, 2,0 0,1, 1
1,1,1 , , , , 2,1,1 0 0,1, 1 0 1, 2,0 2,1,1
v u
u v
v u v
v v
u v u v
v u v v
v v v v
3 3 3
v e v
e
giao
chuan
can 6
Trang 15
3
3
4
3
1,1,1 , 1,1, 0 , )
1, 2,1
1, 0,0 , 3,7, 2 , )
0, 4,1
c S
u
d S
u
VD19: Trong R 2 /R 3 có tích vô hướng Euclid
Áp dụng phương pháp G-S biến các
cơ sở thành cơ sở trực chuẩn
,
,
x Cho
y
VD20:
Chứng minh x và y không trực chuẩn theo tích
vô hướng Euclid, nhưng trực chuẩn theo tích
vô hướng <u,v> = 3u1v1 + 2u2v2.
1 1 2 2 3 3
1,1,1 , 1,1,0 , 1,0,0
Cho
u v u v u v u v
Áp dụng phương pháp G-S để đưa S về dạng trực chuẩn với tích vô hướng đã cho.
2
1
1, , Trong P cho
,
VD22:
Áp dụng phương pháp G-S để đưa S về dạng trực chuẩn với tích vô hướng đã cho.