Đây là b ản ghi lại lời giảng của giáo s ư A r t h u r Ma t t u c k a nd H a y n e s M i l l e r trên l ớp Để xem to àn b ộ bài gi ảng n ày b ạn có thể đến http://www mientayvn com > H ọc liệu mở > Học viện công nghệ Massachusetts > Toán h ọ c > Phương tr ình vi phân > chương I M I T O p e n C o u r s e W a r e h tt p:// o c w m i t e d u 18 03 D i f f e r e n ti a l E q u a t i o n s , S p r i ng 2 0 0 6 P l e a s e u s e t h e f o ll o w i ng c it a t i o n f o r m a t : A r t h u r Ma t t u c k a nd H a y n e s M i l l e r , 1 8 0 3 D i ff e r e n ti a l E q u a t i o n s , S p r i n g 20 0 6 (Ma s s a c h u se t t s I n s t i t u t e o f T e c hn o l o g y : M I T O p e n C o u r s e W a r e ) h tt p:// o c w m i t e d u ( a cc e ss e d M M D D , Y Y Y Y ) L i c e n s e : C r e a t i v e C om m o n s A tt r i b u ti o n - N o n c om m e r c i a l - Sh a r e A l ik e N o t e : P l e a s e u s e t h e a c t u a l d a t e y o u a c ces se d t h i s m a t e r i a l i n y o u r c it a t i o n F o r m o r e i n f o r m a t i o n ab o ut c i t i ng t h es e m a t e r i a l s o r o ur T e r m s o f U s e , v i s it : h tt p:// o c w m i t e d u / t e r m s M I T O p e n C o u r s e W a r e h tt p:// o c w m i t e d u 18 03 D i f f e r e n ti a l E q u a t i o n s , S p r i ng 2 0 0 6 T r a n s c r i p t – L e c t u r e 1 O K , l e t '''' s g e t s t ar t e d I '''' m a s s u m i ng t h a t , A, y o u w e n t r e c i t a t i o n y e s t e r da y , B , t h a t e v e n i f y o u d i d n'''' t , y o u k n o w h o w t o se p a r a t e v a r i a b l e s , a nd y o u k n o w h o w t o c o n s t r u c t s i m p l e m o d e l s , s o l v e p h y s i c a l p r o b le m s w i t h d i ffe r e n t i a l e q u a t i o n s , a nd p o s s i b l y e v e n s o lv e t h e m S o , y o u s h o u l d h a v e l e a r n e d t h a t e it h e r i n h i g h sc h o o l , o r 18 01 h e r e , o r , y e a h S o , I '''' m g o i ng t o s t a r t f r o m t h a t p o i n t , a s s u m e y o u k n o w t h a t I ''''m n o t g o i ng t o t e l l y o u w h a t d i f fe r e n ti a l e q u a t i o ns a r e , o r w h a t mo d e li ng i s I f y o u s t il l a r e u n c e r t a i n ab o ut t h o s e t h i n g s , t h e b o o k h a s a v e r y l o ng a nd g oo d e x p l a n a t i o n o f i t J u s t r e a d t h a t s t u ff S o , w e a r e t a l k i ng a b o ut f i r s t o r d e r O D E s Vâng, chúng ta hãy b ắt đầu Tôi gi ử sử rằng, A, bạn đ ã đi đ ến buổi ôn b ài ngày hôm qua, B, cho dù b ạn không đến, bạn biết cách tách biến, v à b ạn biết cách để xây dựng m ột mô h ình đơn gi ản, giải các b ài toán v ật lí với các ph ương tr ình vi phân, và th ậm chí có th ể giải chúng Vì v ậy, bạn đán g l ẽ đ ã ph ải học nó hoặc ở tr ư ờng phổ thông, hoặc 18 01 ở đây, h o ặc, vâng V ì v ậy, tôi sẽ bắt đầ u t ừ điểm đó, giả sử bạn biết điều đó Tôi s ẽ không định nghĩa lại ph ương tr ình vi phân là gì ho ặc mô h ình là gì N ếu bạn vẫn c òn chưa n ắm vững những thứ n ày, s ách đ ã nói r ất nhiều v à gi ải thích rất r õ ràng v ề nó Hãy đ ọc nó đi V ì v ậy, chúng ta sẽ nói về các ph ương tr ình vi phân b ậc nhất O D E: I '''' l l o n l y u s e t w o a c r o n y m s O D E i s o r d i n ar y d i ffe r e n t i a l e q u a t i o n s I t h i nk a l l o f M I T k n o w s t h a t , w h e t h e r t h e y '''' v e b ee n t a k i ng t h e c ou r s e o r n o t S o , w e a r e t a l k i ng ab o ut f i r s t - o r d e r O D E s , w h i c h i n s t a n d a r d f o r m , ar e w r it t e n, y o u i s o l a t e t h e d e r i v a t i v e o f y w i t h r e s p e c t t o , x , l e t '''' s s a y , o n t h e l e f t - h a nd s i d e , a nd o n t h e r i g h t - h a nd s i d e y o u w r i t e e v e r y t h i ng e l s e Y o u c a n'''' t a l wa y s d o t h i s v e r y w e l l , b ut f o r t o da y , I ''''m g o i ng t o a s s u m e t h a t i t h a s b e e n d o n e a nd it '''' s d o ab l e S o , f o r e x a m p l e , s o m e o f t h e o n e s t h a t w i l l b e c o n s i d e r e d e it h e r t o da y o r i n t h e p r o b l e m s e t a r e t h i n g s l i k e y '''' = x / y ODE: Tôi s ẽ chỉ d ùng hai t ừ viết tắc ODE l à phương tr ình vi phân th ư ờng Tôi nghĩ mọi ngư ời trong MIT n ày đ ều biết điều đó, cho d ù h ọ có học về khóa học n ày hay không Vì v ậy, chúng ta sẽ nói về các ph ương tr ình vi phân b ậc nhất, ở dạng ti êu chu ẩn, đ ư ợc viết, b ạn tách riêng đ ạo h àm c ủa y theo x, giả s ử rằng, ở vế trái, v à ở vế phải bạn viết mọi th ứ c òn l ại B ạn không t h ể lúc n ào c ũng l àm đư ợc nh ư th ế n ày , nhưng đ ối với hôm nay, tôi s ẽ giả s ử rằng nó đ ã đư ợc l àm và có th ể l àm đư ợc Vì v ậy, chẳng hạn, một số dạng s ẽ đư ợc xét ho ặc trong hôm nay hoặc trong xấp b ài t ập l à nh ững ph ương tr ình có d ạng y '''' = f( x , y ) T h a t ''''s p r e t t y s i m p l e T h e p r o b l e m s e t h a s y '''' = x - y ^ 2 An d , i t a l s o h a s y '''' = y - x ^ 2 T h e r e a r e o t h e r s , t o o N o w , w h e n y o u l o o k a t t h i s , t h i s , o f c o u r s e , y o u c a n s o l v e b y s e pa r a t i ng v a r i ab l e s S o , t h i s i s s o l v ab l e T h i s o ne i s - - a nd n e i t h e r o f t h es e c a n y o u s e pa r a t e v a r i ab l e s A nd t h e y l o o k e x t r e m e l y s i m il a r B u t t h e y a r e e x t r e m e l y d i s s i m i l ar T h e m o s t d i ss i m i l a r a b o ut t h e m i s t h a t t h i s o n e i s e a s il y s o lv a b l e And y o u w il l l e a r n , i f y o u d o n''''t k n o w a l r e ad y , n e x t t i m e n e x t Fr i da y h o w t o s o lv e t h i s o n e Cái đó khá đơn gi ản Xấ p bài t ập có bài y '''' = x - y ^ 2 Và, c ũng có b ài y '''' = y - x ^ 2 C ũng có những b ài khác n ữa Bây giờ, khi bạn xét cái n ày, đây, t ất nhi ên, b ạn có thể gi ải bằng ph ương pháp tách bi ến V ì v ậy, cái n ày có th ể giải đ ư ợc Cái n ày là - - và c ả hai cái này b ạn không thể tách biến V à trông chúng r ất giống nhau Nh ưng th ực sự chúng r ất khác nhau Sự khác nhau r õ r ệt nhất l à cái này có th ể giải đ ư ợc Và b ạn sẽ h ọc, nếu bạn ch ưa bi ết, lần tới thứ sáu tới cách để giải cái n ày T h i s o n e , w h i c h l o o k s a l m o s t t h e s a m e , i s u n s o l v ab l e i n a ce r t a i n s e n s e N a m e l y , t h e r e a r e n o e l e m e n t ar y f u n c t i o n s w h i c h y o u c a n w r it e d o w n, w h i c h w i l l g i v e a s o l u t i o n o f t h a t d i ffe r e n t i a l e q u a t i o n S o , r i g h t a wa y , o n e c o n f r o n t s t he m o s t s i g n i f i c a nt f a c t t h a t e v e n f o r t h e s i m p l e s t p o s s i b l e d i ffe r e n t i a l e q u a t i o n s , t h o s e w h i c h o n l y i n v o l v e t h e f i r s t d e r iv a t iv e , it '''' s p o s s i b l e t o w r it e d o w n e x t r e m e l y l o o k i ng s i m p l e g u y s Cái này, có v ẻ khá giống, nh ưng không th ể giải đ ư ợc theo một ý nghĩa n ào đó C ụ thể, không có nh ững h àm cơ b ản m à b ạn có thể viết ra, sẽ cho nghiệm của ph ương tr ình vi phân Vì v ậy, ngay t ức th ì , ngư ời ta đối mặt với sự kiện có ý nghĩa nhất l à th ậm chí cho dù đ ối với những ph ương tr ình vi phân đơn gi ản nhất , nh ững ph ương tr ình này ch ỉ liên quan đ ến đạo h àm b ậc nhất, có thể viết ra những thằng trông cực k ì đơn gi ản I '''' l l p ut t h i s on e up i n b l u e t o i n d i c a t e t h a t i t '''' s b a d W h oo p s , s o rr y , I m e a n, n o t re a l l y ba d , b ut r ec a l c i t r a n t I t '''' s n o t s o l v ab l e i n t h e o r d i n ar y s e n s e i n w h i c h y o u t h i n k o f a n e q u a ti o n i s s o lv a b l e An d , s i n c e t h o s e e q u a t i o n s ar e t h e r u l e r a t h e r t h a n t h e e x c e p t i o n , I ''''m g o i ng ab o u t t h i s f i r s t da y t o n o t s o l v i ng a s i n g l e d i f fe r e n ti a l e q u a ti o n, b ut i n d i c a t i ng t o y o u w h a t y o u d o w h e n y o u m e e t a b l u e e q u a t i o n li k e t h a t Tôi s ẽ đánh dấu cái n ày màu xanh lam đ ể cho biết rằng nó l à x ấ u Whoops, xin l ỗi, ý tôi là, không th ực sự xấu, nh ưng ngoan c ố Nó không ph ải không gi ải đ ư ợc theo nghĩa thông thư ờng nh ư b ạn th ư ờng nghĩ V à,b ởi v ì nh ững ph ương tr ình là theo quy t ắc chứ không ph ải là các ngo ại lệ, trong bu ổi đầu ti ên này tôi s ẽ không giải m ột ph ương tr ình vi phân đơn gi ản , mà ch ỉ ra cho bạn những g ì b ạn l àm khi b ạn gặp một ph ương tr ình xanh nh ư th ế W h a t d o y o u d o w i t h i t ? S o , t h i s f i r s t d a y i s g o i n g t o b e d e v o t e d t o g e om e t r i c wa y s o f l o o ki ng a t d i ff e r e n ti a l e q u a t i o n s a nd n um e r i c a l At t h e v e r y e n d , I '''' l l t a l k a l i tt l e b i t ab o ut n um e r i c a l w a y s And y o u'''' l l w o r k o n b o t h o f t h o s e f o r t h e f i r s t p r o b l e m s e t S o , w h a t '''' s o u r g e o m e t r i c v i e w o f d i ff e r e n ti a l e q u a t i o n s ? W e ll , it '''' s s om e t h i ng t h a t '''' s c o n t r a s t e d w it h t h e u s u a l p r o ce d u r e s , b y w h i c h y o u s o lv e t h i n g s a nd f i nd e l e m e n t ar y f u n c t i o ns w h i c h s o l v e t h e m I '''' l l c a l l t h a t t h e a n a l y t i c m e t h o d S o , o n t he on e h a n d , w e h a v e t h e a n a l y t i c i d e a s , i n w h i c h y o u w r i t e d o w n e x p l i c i t l y t h e e q u a ti o n, y '''' = f ( x , y ) B ạ n làm gì v ới nó? V ì v ậy, ngày đ ầu ti ên này s ẽ đư ợc d ành cho vi ệc d ùng nh ững ph ương pháp hình h ọc đ ể xét các phương tr ình vi phân và bi ểu diễn s ố V ào cu ối bu ổi, tôi sẽ nói m ột chút về ph ương pháp s ố V à b ạn sẽ l àm vi ệc tr ên c ả hai trong x ấ p bài t ập đầu ti ên Vì v ậy, cách nh ìn hình h ọc của chúng ta v ề các phương tr ình vi phân là nh ư th ế n ào? Vâng, đó là cái gì trái ng ư ợc v ới các th ủ tục thông th ư ờng, qua đó bạn giải m ọi thứ v à tìm th ấy các hàm cơ b ản giải chúng Tôi sẽ gọi đó l à phương pháp g i ải tích Vì v ậy, m ột mặt, chúng ta có nh ững ý t ư ởng phân tích, trong đó b ạn viết ra rõ ràng các ph ương tr ình, y ''''= f (x, y) An d , y o u l o o k f o r ce r t a i n f u n c t i o n s , w h i c h a r e c a l l e d i t s s o l u ti o n s N o w , s o t h e r e ''''s t h e O D E An d , y 1 o f x , n o t i c e I d o n '''' t u s e a s e p a r a t e l e t t e r I d o n '''' t u s e g o r h o r s o m e t h i ng l ik e t h a t f o r t h e s o l u t i o n b ec a u s e t he l e t t e r s m u l ti p l y s o q u i c k l y , t h a t i s , m u l ti p l y i n t h e s e n s e o f r abb i t s , t h a t a f t e r a w h i l e , i f y o u k e e p u s i ng d i f fe r e n t l e t t e r s f o r e a c h n e w i d e a , y o u c a n''''t f i g u r e o u t w h a t y o u '''' r e t a l k i ng a b o u t Và, b ạn t ìm các hàm nào đó, đư ợc gọi l à các nghi ệm c ủa nó Bây giờ, v ì v ậy đó là phương trình vi phân t h ư ờng V à, y1 x, chú ý tôi không s ử d ụng một kí tự riêng bi ệt Tôi không s ử d ụng g hoặc h hoặc thứ g ì đó tương t ự nh ư th ế cho nghiệm b ởi vì các ch ữ cái n hân quá nhanh, có ngh ĩa là, nhân trong ý ngh ĩa c ủa thỏ, sau một lúc , n ếu bạn tiếp tục sử dụng các ch ữ cái khác nhau cho mỗi ý t ư ởng mới, bạn không thể tìm ra nh ững g ì b ạn đang nói S o , I '''' l l u s e y 1 m e a n s , it '''' s a s o l u ti o n o f t h i s d i ffe r e n ti a l e q u a ti o n O f c o u r se , t h e d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n h a s m a n y s o l u t i o n s c o n t a i n i ng a n a r b i t r a r y c on s t a n t S o , w e '''' l l c a l l t h i s t he s o l u t i o n N o w , t h e g e o m e t r i c v i e w , t he g e o m e t r i c g uy t h a t c o rr e s p o n d s t o t h i s v e r s i o n o f w r i t i ng t h e e q u a t i o n, i s s o m e t h i ng c a l l e d a d i r e c t i o n f i e l d A n d , t h e s o l u t i o n i s , f r o m t he g e o m e t r i c p o i n t o f v i e w , s o m e t h i ng c a l l e d a n i n t e g r a l c u r v e S o , l e t m e e x p l a i n i f y o u d o n''''t k n o w w h a t t he d i r e c ti o n f i e l d i s I k n o w f o r s o m e o f y o u, I ''''m r e v i e w i ng w h a t y o u l e ar n e d i n h i g h s c h o o l T h o s e o f y o u w ho h a d t h e B C s yll a b u s i n h i g h s c h o o l s h o u l d k n o w t h es e t h i n g s B u t , i t n e v e r hu r t s t o g e t a li t t l e m o r e p r a c t i c e An d , i n a n y e v e n t , I t h i n k t h e c om p u t e r s t u f f t h a t y o u w i l l b e d o i ng o n t h e p r o b l e m s e t , a c e r t a i n a mo u nt o f i t s h o u l d b e n o v e l t o y o u Vì v ậy, tôi s ẽ sử dụng y1 với ngh ĩa l à, nó là m ột nghiệm của phương tr ình vi phân này T ất nhi ên, m ột ph ương tr ình vi phân có nhi ều nghi ệm ch ứa một hằng số t ùy ý Vì v ậy, chúng ta s ẽ g ọi đây l à nghi ệm Bâ y gi ờ, quan điểm h ình h ọc, đối t ư ợng h ình h ọc t ương ứng v ới phiên b ản n ày c ủa cách vi ết ph ương tr ình vi phân , đư ợc g ọi l à m ột trư ờng có hư ớng V à, t ừ quan điểm h ình h ọc, nghiệm đư ợc g ọi l à đư ờng cong tích phân Đ ể tôi giải thích n ếu bạn không biết trư ờng có h ư ớng l à gì Đ ối với một số bạn , có l ẽ l à tôi đang nh ắc l ại nh ữ ng gì mà b ạn đ ã h ọc ở tr ư ờng trung học Nh ững bạn đ ã h ọc ch ương tr ì nh h ọc BC ở trư ờng trung học chắc sẽ biết những cái n ày Tuy nhiên, không bao gi ờ l ãng phí n ếu bạn nh ận đ ư ợc một ít kiến thức thực tế h ơn Và, trong b ất cứ tr ư ờng hợp n ào , tôi ngh ĩ r ằng cá c phương pháp tính toán mà b ạn s ẽ th ực hiện tr ên x ấp b ài t ập , m ột lư ợng nhất định c ủa nó s ẽ mới lạ đối với bạn I t wa s n o v e l t o m e , s o w hy n o t t o y o u ? S o , w h a t ''''s a d i r e c t i o n f i e l d ? W e l l , t h e d i r e c t i o n f i e l d i s , y o u t a k e t h e p l a n e , a nd i n e a c h p o i nt o f t h e p l a n e - - o f c o u r s e , t h a t '''' s a n i m p o s s i b i li t y B u t , y o u p i c k s om e p o i n t s o f t h e p l a n e Y o u d r a w w h a t '''' s c a l l e d a l it tl e li n e e l e m e n t S o , t h e r e i s a p o i n t I t ''''s a l i t tl e li n e , a nd t h e o n l y t h i ng w h i c h d i s t i n g u i s h e s i t o u t s i d e o f i t s p o s i ti o n i n t h e p l a n e , s o h e r e '''' s t he p o i n t , ( x , y ) , a t w h i c h w e a r e d r a w i ng t h i s li n e e l e m e n t , i s i t s s l o p e An d , w h a t i s i t s s l o p e ? I t s s l o p e i s t o b e f ( x , y ) And n o w , Y o u f i l l up t he p l a n e w i t h t h e s e t h i n g s u n t i l y o u '''' r e ti re d o f p u t t i ng t h e n i n S o , I '''' m g o i ng t o g e t ti re d p r e t t y q u i c k l y Nó m ới đối với tôi, vậy tại sao không m ới đối với bạn? Vậy, trư ờng có h ư ớng l à gì? Vâng, trư ờng có h ư ớng là, b ạn chọn một mặt phẳng, v à t ại mỗi điểm của mặt phẳng - t ất nhi ên, đó là m ột đi ều không thể Nhưng, b ạn chọn một số điểm của mặt phẳng B ạn v ẽ m ột yếu t ố đ ư ờng nhỏ Vì v ậy, đó là m ột điểm Nó l à m ột đ ư ờng nhỏ, v à th ứ duy nhất phân biệt các y ếu tố đ ư ờng thẳng với nhau , vì v ậy đây l à đi ểm, (x, y), tại đó chúng ta v ẽ yếu tố đ ư ờng th ẳng n ày, là h ệ số góc của nó V à, h ệ số góc c ủa nó l à gì? H ệ số góc c ủa nó l à f (x, y) Và bây gi ờ, bạn lấp đầy mặt phẳng v ới những th ứ n ày cho đ ến khi bạn mệt mỏi Vì v ậy, tôi sẽ c ảm thấy mệt mỏi khá nhanh chóng S o , I d o n ''''t k n o w , l e t ''''s n o t m a k e t h e m a l l g o t h e s a m e wa y T h a t s o r t o f s ee m s c h e a t i n g H o w ab o ut h e r e ? H e r e '''' s a f e w r a n d o m l y c h o s e n l i n e e l e m e n t s t h a t I p u t i n, a nd I p u t t e d t he s l o p e s a t r a n d o m s i n c e I d i d n''''t h a v e a n y p a r t i c u l a r d i f fe r e n ti a l e q u a ti o n i n m i n d N o w , t h e i n t e g r a l c u r v e , s o t h o s e a r e t h e l i n e e l e m e n t s T h e i n t e g r a l c u r v e i s a c u r v e , w h i c h g o e s t h r o u g h t h e p l a n e , a nd a t e v e r y p o i n t i s t a n g e n t t o t h e l i n e e l e m e nt t h e r e Vì v ậy, tôi không biết, chúng ta không làm cho t ất cả chúng đi theo c ùng đư ờng Đ i ều đó ph ần n ào có v ẻ nh ư gian l ận C òn ở đây thì sao ? Đ ây là m ột v ài y ếu tố đư ờng thẳng đ ư ợc ch ọn ngẫu nhi ên mà tôi đ ặt v ào, và tôi đ ặt hệ số góc ngẫu nhi ên b ởi v ì tôi không có b ất cứ phương tr ình vi phân đ ặc bi ệt nào trong đ ầu Bây gi ờ, các đư ờng cong tích phân, đó là nh ững y ếu tố đ ư ờng thẳng Đư ờng cong tích phân l à đư ờng cong nằm trong m ặt phẳng , và t ại mỗi điểm l à ti ếp tuyến với yếu tố đ ư ờng thẳng tại đó S o , t h i s i s t h e i n t e g r a l c u r v e H e y , wa i t a m i n u t e , I t h o u g ht t a n g e n t s w e r e t h e l i n e e l e m e nt t h e r e d i d n ''''t e v e n t o u c h i t W e ll , I c a n '''' t f i l l up t h e p l a ne w it h l i n e e l e m e n t s H e r e , a t t h i s p o i n t , t h e r e w a s a l i ne e l e m e n t , w h i c h I d i d n '''' t b o t h e r d r a w i ng i n An d , i t wa s t a n g e n t t o t h a t S a m e t h i ng o v e r h e re : i f I dr e w t h e l i n e e l e m e nt h e r e , I w o u l d f i nd t h a t t h e c u r v e h a d e x a c t l y t h e r i g h t s l o p e t h e r e Vì v ậy, đây l à đư ờng cong tích phân N ày, ch ờ một chút , tôi ngh ĩ tiếp tuyến l à y ếu tố đư ờng thẳng ở đó th ậm chí không chạm nó Vâng, tôi không thể làm đ ầy toàn b ộ m ặt ph ẳng với các yếu tố đ ư ờng thẳng Ở đây, v ào th ời đi ểm n ày, đ ã có m ột yếu tố đư ờng thẳng mà tôi chưa v ẽ Và, nó ti ếp tuyến với cái đó Đi ểm trên đây tương t ự : n ếu tôi v ẽ các y ếu tố đ ư ờng thẳng ở đây, tôi sẽ th ấy rằng đư ờng cong có h ệ số góc đúng như ở đó S o , t h e p o i nt i s t h e i n t e g r a l , w h a t d i s t i n g u i s h e s t h e i n t e g r a l c u r v e i s t h a t e v e r y w h e r e i t h a s t h e d i r ec ti o n, t h a t '''' s t h e wa y I '''' l l i n d i c a t e t h a t it '''' s t a n g e n t , h a s t h e d i r e c ti o n o f t h e f i e l d e v e r y w h e r e a t a l l p o i n t s o n t h e c u r v e , o f c o u r s e , w h e r e i t d o e s n '''' t g o I t d o e s n '''' t h a v e a n y m i s s i o n t o f u l f il l N o w , I s a y t h a t t h i s i n t e g r a l c u r v e i s t h e g r a p h o f t h e s o l u t i o n t o t h e d i f fe r e n ti a l e q u a t i o n I n o t h e r w o r d s , w r it i ng d o w n a n a l y t i c a l l y t h e d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n i s t h e s a m e g e om e t r i c a l l y a s d r a w i ng t h i s d i r e c t i o n f i e l d , a nd s o lv i ng a n a l y ti c a l l y f o r a s o l u t i o n o f t h e d i f fe r e n t i a l e q u a t i o n i s t h e s a m e t h i ng a s g e o m e t r i c a l l y d r aw i ng a n i n t e g r a l c u r v e S o , w h a t a m I s a y i n g ? Vì v ậy, vấn đề ở đây l à , đi ểm phân bi ệt các đ ư ờng cong tích phân l à ở khắp mọi n ơi là nó có hư ớng , đó là cách mà tôi s ẽ chỉ ra rằng nó l à ti ếp tuyến , có hư ớng của trư ờng ở kh ắp mọ i nơi ở t ất cả các điểm tr ên đư ờng cong T ất nhi ên, nơi mà nó không đi qua Nó không có b ất kỳ nhi ệm vụ n ào đ ể ho àn thành Bây gi ờ, tôi nói rằng đ ư ờng cong tích phân n ày là đ ồ thị của nghiệm của phương tr ình vi phân Nói cách khác, vi ết ra dạng giải tích c ủa phương tr ình vi phân v ề mặt h ình h ọc sẽ t ương đương v ới việc vẽ trư ờng có h ư ớng n ày, và gi ải bằng ph ương pháp gi ải tích nghiệm của phương tr ình vi phân tương đương v ới v ẽ một đ ư ờng cong tích phân v ề mặt h ình h ọc V ậy, tôi đang nói g ì ? I s a y t h a t a n i n t e g r a l c u r v e , a l l r i g h t , l e t m e w r i t e i t t h i s wa y I '''' l l m a k e a l it tl e t h e o r e m o u t o f i t , t h a t y 1 ( x ) i s a s o l u t i o n t o t h e d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n i f , a nd o n l y i f , t h e g r ap h, t h e c u r v e a s s o c i a t e d w it h t h i s , t h e g r a p h o f y 1 o f x i s a n i n t e g r a l c u r v e I n t e g r a l c u r v e o f w h a t ? W e l l , o f t h e d i r e c t i o n f i e l d a s s o c i a t e d w i t h t h a t e q u a ti o n B u t t h e r e i s n ''''t q u it e e n o u g h r o o m t o w r i t e t h a t o n t h e b o a r d B u t , y o u c o u l d p ut i t i n y o u r n o t es , i f y o u t a k e n o t e s S o , t h i s i s t h e r e l a ti o n b e t w e e n t h e t w o , t h e i n t e g r a l c u r v e s o f t h e g r a p hs o r s o l u t i o n s Tôi nói r ằng một đư ờng cong tích phân, đúng rồi , hãy đ ể tôi viết nó theo cách này Tôi s ẽ t ạo ra m ột định lý nh ỏ v ề điều đó , đó là y1 (x) là m ột nghiệm của phươ ng trình vi phân n ếu, v à ch ỉ nếu , đ ồ thị, đư ờng cong gắn v ới nó, đồ th ị của y1 ( x ) là m ột đ ư ờng cong tích phân Đư ờng cong tích phân của cái g ì ? Vâng, c ủa trư ờng có hư ớng gắn với phương t rình đó Nhưng không có đ ủ chổ trống để viết điều đó trên b ảng Tuy nhiên, b ạn có thể vi ết v ào trong v ở của bạn , n ếu bạn ghi chép V ì v ậy, đ ây là m ối quan hệ giữa hai cái , các đư ờng cong tích phân c ủa đồ thị hoặc các nghiệm N o w , w hy i s t h a t s o ? W e ll , i n f a c t , a l l I h a v e t o d o t o p r o v e t h i s , i f y o u c a n c a l l i t a p r o o f a t a l l , i s s i m p l y t o t r a n s l a t e w h a t e a c h s i d e r e a l l y m e a n s W h a t d o e s i t r e a l l y m e a n t o s a y t h a t a g i v e n f u n c ti o n i s a s o l u t i o n t o t h e d i ff e r e n ti a l e q u a t i o n ? W e l l , i t m e a ns t h a t i f y o u p l ug i t i n t o t h e d i f f e r e n ti a l e q u a ti o n, i t s a t i s f i e s it Ok a y , w h a t i s t h a t ? S o , h o w d o I p l ug i t i n t o t h e d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n a nd c h ec k t h a t i t s a t i s f i e s i t ? Bây gi ờ, tại sao đi ều đó l ại nh ư v ậy? Vâng, tr ên th ực tế, tất cả nh ững g ì tôi ph ải l àm đ ể ch ứng minh đi ều n ày là , c ũng ch ưa h ẳn là m ột chứng minh , ch ỉ đ ơn gi ản l à đ ể di ễn giải xem m ỗi vế thực sự có nghĩa g ì M ột hàm cho trư ớc l à m ột nghiệm của phương tr ìn h vi phân có ý ngh ĩa g ì ? Vân g, nó có ngh ĩa l à n ếu bạn thế nó vào trong phương tr ình vi phân, nó th ỏa m ã n phương tr ình vi phân đó Đư ợc rồi, đó l à gì? Vì v ậy, l àm cách nào đ ể thế nó vào các phương tr ình vi phâ n và ki ểm tra xem nó thỏa m ãn ph ương tr ình vi ph ân ? W e l l , d o i ng i t i n t h e ab s t r a c t , I f i r s t c a l c u l a t e i t s d e r i v a t i v e A nd t h e n, h o w w i l l i t l o o k a f t e r I p l u g g e d i t i n t o t h e d i f fe r e n t i a l e q u a t i o n? W e l l , I d o n ''''t d o a n yt h i ng t o t h e x , b u t w h e r e v e r I s e e y , I p l ug i n t h i s p a r t i c u l a r f un c t i o n S o , i n n o t a t i o n, t h a t w o u l d b e w r i t t e n t h i s wa y S o , f o r t h i s t o b e a s o l u t i o n m e a ns t h i s , t h a t t h a t e q u a ti o n i s s a t i s f i e d Ok a y , w h a t d o e s i t m e a n f o r t h e g r ap h t o b e a n i n t e g r a l c u r v e ? W e l l , i t m e a ns t h a t a t e a c h p o i n t , t he s l o p e o f t h i s c u r v e , i t m e a n s t h a t t h e s l o p e o f y 1 o f x s h o u l d b e , a t e a c h p o i n t , ( x 1 , y 1 ) I t s h o u l d b e e q u a l t o t he s l o p e o f t h e d i r e c ti o n f i e l d a t t h a t p o i n t Vân g, v ề khía cạnh lí thuyết th ực hiện nó , đ ầu ti ên tôi tính đ ạo h àm c ủa nó Và sau đó, nó s ẽ trông nh ư th ế n ào sau khi tôi th ế nó vào t rong phương tr ình vi phân? Vâng, tôi không làm gì đ ối với x, nhưng b ất cứ n ơi nào tôi th ấy y, tôi th ế v ào hàm c ụ thể n ày Vì v ậy, theo quy ư ớc, n ó s ẽ đư ợc viết theo cách này Vì v ậy, khi cái này là nghi ệm theo nghĩa n ày , thì phương trình đó đư ợc thõa mãn Đư ợc rồi, đ ồ thị l à m ột đ ư ờng cong tích phân có nghĩa l à gì ? Vâng, nó có ngh ĩa l à t ại mỗi điểm, hệ số góc c ủa đ ư ờng cong n ày, nó có ngh ĩa l à h ệ số góc c ủa y1 ( x ) s ẽ l à , t ại mỗi điểm (x1, y1) Nó s ẽ bằng hệ số góc của tr ư ờng vô h ư ớng t ại đi ểm đó And t h e n , w h a t i s t h e s l o p e o f t h e d i r ec ti o n f i e l d a t t h a t p o i n t ? W e ll , i t i s f o f t h a t pa r t i c u l a r , w e l l , a t t h e p o i n t , ( x , y 1 ) I f y o u l ik e , y o u c a n p ut a s u b sc r i p t , o n e , o n t h e r e , s e nd a on e h e r e o r a z e r o t h e r e , t o i n d i c a t e t h a t y o u m e a n a par t i c u l a r p o i n t B u t , i t l o o k s b e t t e r i f y o u d o n'''' t B u t , t h e r e ''''s s om e p o ss i b i l i t y o f c o n f u s i o n I a d m i t t o t h a t S o , t h e s l o p e o f t h e d i r ec ti o n f i e l d , w h a t i s t h a t s l o p e ? W e ll , b y t h e wa y , I c a l c u l a t e d t h e d i r e c t i o n f i e l d I t s s l o p e a t t he p o i nt wa s t o b e x , w h a t e v e r t h e v a l u e o f x w a s , a nd w h a t e v e r t h e v a l u e o f y 1 ( x ) w a s , s u b s t it u t e d i n t o t h e r i g h t - h a nd s i d e o f t h e e q u a t i o n S o , w h a t t h e s l o p e o f t h i s f u n c ti o n o f t h a t c u r v e o f t h e g r a p h s h o u l d b e e q u a l t o t h e s l o p e o f t h e d i r e c t i o n f i e l d N o w , w h a t d o e s t h i s s a y ? Và r ồi , h ệ số g óc c ủa tr ư ờng có h ư ớng tại đi ểm đó là gì? Vâng, nó là giá tr ị của h àm f t ại đi ểm đó, vâng , t ại điểm , (x, y1) N ếu bạn thí ch, b ạn có thể đặt một chỉ số d ư ới , m ột, ở đó , đ ể m ột ở đây ho ặc không ở đó , đ ể cho biết rằng bạn mu ốn nói đến một điểm cụ thể Tuy n hiên, s ẽ tốt h ơn n ếu bạn không làm như v ậy Nh ưng , có m ột số khả năng gây nhầm lẫn Tôi th ừa nh ận điều đó V ì v ậy, h ệ số góc của tr ư ờng có h ư ớng , h ệ số góc đó bằng bao nhiêu ? Vâng, ti ện thể , tôi đ ã tính toán trư ờng có hư ớng H ệ số góc của nó tại điểm x, b ấ t k ể giá tr ị c ủa x bằng bao nhi êu , và b ất kể giá trị của y1 (x) b ằng bao nhi êu , đư ợc th ế v ào v ế ph ải c ủa ph ương tr ình Vì v ậy, h ệ số góc của h àm này c ủa đ ư ờng cong đó c ủa đồ thị s ẽ b ằng hệ số góc của tr ư ờng có h ư ớng Bây gi ờ, điều n ày nói lên cái gì? W e l l , w h a t ''''s t h e s l o p e o f y 1 ( x ) ? T h a t '''' s y 1'''' ( x ) T h a t '''' s f r o m t h e f i r s t d a y o f 1 8 01, c a l c u l u s W h a t ''''s t h e s l o p e o f t h e d i r e c t i o n f i e l d ? T h i s ? W e l l , it '''' s t h i s An d , t h a t '''' s w i t h t h e r i g ht h a nd s i d e S o , s a y i ng t h e s e t w o g u y s a r e t h e s a m e o r e q u a l , i s e x a c t l y , a n a l y t i c a ll y , t h e s a m e a s s a y i ng t h es e t w o g u y s ar e e q u a l S o , i n o t h e r w o r d s , t h e p r o o f c o n s i s t s o f , w h a t d o e s t h i s re a l l y m e a n ? W h a t d o e s t h i s r e a ll y m e a n ? And a f t e r y o u s e e w h a t b o t h r e a l l y m e a n, y o u s a y , y e a h , t h e y '''' r e t h e s a m e Vâng, h ệ số góc c ủa y1 (x) b ằng bao nhi êu ? Đó là y1 ''''(x) Đi ều n ày các b ạn đ ã h ọc trong bu ổi đầu của 18,01, giải tích H ệ số góc của tr ư ờng có h ư ớng bằng bao nhi êu? Cái n ày à ? Vâng, nó là cái này Và, đó là v ới v ế b ên ph ải V ì v ậy, nói rằng hai thằng n ày gi ống nhau ho ặc t ương đương nhau , thì chính xác, v ề mặt giải tích , gi ống nh ư nói r ằng hai th ằng n ày b ằng nhau Vì v ậy, nói cách khác, ch ứng minh g ồm có, cái này th ực sự có ý nghĩa g ì ? Cái này th ực sự có nghĩa g ì? Và sau khi b ạn hi ểu đ ư ợc nó thật sự có ý nghĩ a gì , b ạn nói, yeah, chúng gi ống nhau S o , I d o n ''''t h o w t o w r i t e t h a t I t ''''s o k a y : s a m e , s a m e , h o w '''' s t h a t ? T h i s i s t h e s a m e a s t h a t Ok a y , w e l l , t h i s l e a v e s us t he i n t e r e s t i ng q u e s t i o n o f h o w d o y o u d r a w a d i r e c t i o n f r o m t h e , w e l l , t h i s b e i ng 2 0 0 3 , m o s t l y c o m p u t e r s d r a w t h e m f o r y o u N o n e t h e l es s , y o u d o h a v e t o k n o w a c e r t a i n a m o un t I '''' v e g iv e n y o u a c o u p l e o f e x e r c i s e s w h e r e y o u h a v e t o d r a w t he d i r e c t i o n f i e l d y o u r s e l f T h i s i s s o y o u g e t a f ee l i ng f o r it , a nd a l s o b e c a u s e hu m a n s d o n''''t d ra w d i r e c t i o n f i e l d s t h e s a m e w a y c o m p u t e r s d o S o , l e t ''''s f i r s t o f a ll , h o w d i d c o m p u t e r s d o i t ? T h e y a r e v e r y s t u p i d T h e r e ''''s n o p r o b l e m Vì v ậy, tôi không bi ết cách viết nó Nó ổn : gi ống nhau , gi ống nhau, l àm sao th ế nhỉ ? Cái này tương t ự nh ư cái đó Đư ợc rồi, tốt, cái này đ ể lại cho chúng ta m ột câu h ỏi thú vị v ề cách mà b ạn vẽ một tr ư ờng có h ư ớng từ , vâng , đây là năm 2003, ch ủ yếu l à máy tính v ẽ chúng cho b ạn Tuy nhi ên, b ạn phải biết m ột l ư ợng nh ất định Tôi đ ã đưa cho b ạn một v ài bài t ập, trong đó bạn phải tự vẽ các tr ư ờng có h ư ớng Đi ều n ày g iúp b ạn có đ ư ợc một cảm giác v ề nó, và c ũng bởi v ì con ng ư ời không v ẽ tr ư ờng có h ư ớng giống nh ư cách máy tính làm Vì v ậy, trư ớc hết chúng ta h ãy xét, máy tính đ ã làm đi ều đó như th ế n ào ? Chúng r ất ng ớ ngẩn Không có v ấn đề g ì S i n c e t h e y g o v e r y f a s t a nd h a v e u n l i m i t e d a m o un t s o f e n e r g y t o wa s t e , t h e c o m p u t e r m e t h o d i s t h e n a iv e o n e Y o u p i c k t h e p o i n t Y o u p i c k a p o i n t , a nd g e n e r a l ly , t h e y a r e u s u a l l y e q u a ll y s p a ce d Y o u d e t e r m i n e s o m e s p a c i n g , t h a t o n e : b l a h, b l a h, b l a h, b l a h , b l a h, b l a h, b l a h, e q u a l l y s pa ce d An d , a t e a c h p o i n t , i t c o m p u t e s f ( x , y ) a t t he p o i n t , f i n d s , m ee t s , a nd c o m p u t e s t h e v a l u e o f f o f ( x , y ) , t h a t f u n c t i o n , a nd t h e n e x t t h i ng i s , o n t he s c r ee n, i t d r a w s , a t ( x , y ) , t he li t t l e l i n e e l e m e nt h a v i ng s l o p e f ( x , y ) I n o t h e r w o r d s , i t d o e s w h a t t h e d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n t e l l s i t t o d o B ởi v ì chúng ho ạt động với tốc độ rất nhanh v à không h ạn chế về l ư ợng năng l ư ợng sử d ụng, ph ương pháp máy tính là m ột ph ư ơng pháp ngây thơ B ạn chọn đi ểm Bạn chọn m ột điểm, v à nói chung, chúng thư ờng cách đều nhau Bạn xác định khoảng cách n ào đó, cái đó: blah, blah, blah, blah, blah, blah, blah, cách đ ều nhau Và, ở mỗi điểm, nó tính giá tr ị của f (x, y) t ại điểm n ày, tìm, g ặp, v à tính giá tr ị của f (x, y), h àm đó, và đi ều tiếp theo l à, trên màn hình, nó v ẽ, tại(x, y),yếu tố đ ư ờng thẳng nhỏ có hệ số góc f (x, y) Nói cách khác, nó làm nh ững g ì mà các ph ương tr ình vi phân b ảo nó l àm And t h e o n l y t h i ng t h a t i t d o e s i s y o u c a n, i f y o u ar e t e ll i ng t h e t h i ng t o d r a w t h e d i r e c t i o n f i e l d , ab o ut t h e o n l y o p t i o n y o u h a v e i s t e l l i ng w h a t t h e s pa c i ng s h o u l d b e , a nd s o m e t i m e s p e o p l e d o n ''''t l ik e t o s e e a w h o l e li n e T h e y o n l y l ik e t o se e a l i tt l e b i t o f a h a l f l i n e An d , y o u c a n s om e t i m e s t e l l , a c c o r d i ng t o t h e pr o g r a m , t e l l t h e c o m p u t e r h o w l o ng y o u wa nt t h a t l i n e t o b e , i f y o u w a nt i t t e e ny o r a l i t t l e b i g g e r O n c e i n aw h i l e y o u wa nt y o u wa n t i t n a r r o w e r o n i t , b ut n o t r i g h t n o w Và th ứ duy nhất m à nó làm là b ạn có thể, nếu bạn đang nói thứ để vẽ tr ư ờng có hư ớng, t ùy ch ọn duy nhất m à b ạn có l à cho bi ết khoảng cách sẽ bằng bao nhi êu, và th ỉnh thoảng ng ư ời ta không thích thấy to àn b ộ m ột đư ờng thẳng Họ chỉ thích thấy m ột ít của nửa đư ờn g th ẳng V à th ỉnh tho ảng bạn có thể nói, theo ch ương tr ình, nói cho máy tính bi ết bạn muốn đ ư ờng thẳng đó d ài bao nhiêu, b ạn muốn nó nhỏ hay lớn hơn m ột chút Thỉnh thoảng bạn mu ốn bạn muốn nó hẹp h ơn , nhưng không ph ải ngay bây gi ờ Ok a y , t h a t '''' s w h a t a c om p u t e r d o e s W h a t d o e s a h u m a n d o ? T h i s i s w h a t i t m e a n s t o b e h u m a n Y o u u s e y o ur i n t e l li g e n c e F r o m a h u m a n p o i nt o f v i e w , t h i s s t u f f h a s b e e n d o n e i n t h e w r o ng o r d e r A nd t h e r e a s o n i t ''''s b e e n d on e i n t h e w r o ng o r d e r : b ec a u s e f o r e a c h n e w p o i n t , i t r e q u i r e s a r e c a l c u l a t i o n o f f ( x , y ) T h a t i s h o r r i b l e T h e c o m p u t e r d o e s n''''t m i n d , b u t a h u m a n d o e s S o , f o r a h u m a n, t he w a y t o d o i t i s n o t t o b e g i n b y p i c ki ng t h e p o i n t , b ut t o b e g i n b y p i c k i ng t he s l o p e t h a t y o u w o u l d l ik e t o s ee S o , y o u b e g i n b y t a k i ng t h e s l o p e L e t '''' s c a l l i t t h e v a l u e o f t he s l o p e , C S o , y o u p i c k a n u m b e r C i s t w o I wa n t t o s e e w h e r e a r e a l l t h e p o i n t s i n t h e p l a n e w h e r e t h e s l o p e o f t h a t l i n e e l e m e nt w o u l d b e t w o ? W e ll , t h e y w i l l s a t i s f y a n e q u a t i o n Đư ợc rồi, đó l à nh ững g ì m à má y tính làm Còn con ngư ời l àm như th ế n ào? Th ế mới l à con ngư ời B ạn sử dụng trí thông minh của bạn Từ quan điểm con ng ư ời, cái n ày đ ã đư ợc thực hi ện theo thứ tự sai V à lý do nó đư ợc thực hiện theo thứ tự sai: v ì đ ối với mỗi điểm mới, c ần phải tính toán l ại f (x, y) Điều đó thật kinh khủng Các máy tính không bận tâm, nhưng m ột con ng ư ời th ì khác Vì v ậy, đối với một con ng ư ời, cách để l àm đi ều đó không ph ải bắt đầu bằng cách chọn các điểm, m à b ắt đầu bằng các h ch ọn hệ số góc m à b ạn mu ốn thấy Vì v ậy, bạ n b ắt đầu bằng cách chọn hệ s ố góc Chúng ta h ãy g ọi giá trị của hệ s ố góc l à C Vì v ậy, bạn chọn một số C bằng hai Tôi mu ốn biết tất cả các điểm trong mặt ph ẳng m à ở đó hệ số góc của yếu tố đ ư ờng thẳng bằng 2 nằm ở đâu? Vâng, chúng sẽ th õa mãn m ột ph ươn g trình T h e e q u a t i o n i s f ( x , y ) = C , i n g e n e r a l S o , w h a t y o u d o i s p l o t t h i s , p l o t t he e q u a ti o n, p l o t t h i s e q u a t i o n N o t i c e , it '''' s n o t t h e d i f fe r e n ti a l e q u a t i o n Y o u c a n '''' t e x a c t l y p l o t a d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n I t '''' s a c u r v e , a n o r d i n a r y c u r v e B ut w h i c h c u r v e w i l l d e p e n d ; it '''' s , i n f a c t , f r o m t h e 1 8 0 2 p o i n t o f v i e w , t h e l e v e l c u r v e o f C , s o r r y , i t '''' s a l e v e l c u r v e o f f o f ( x , y ) , t h e f un c t i o n f o f x a nd y c o r r e s p on d i ng t o t h e l e v e l o f v a l u e C Nói chung,phương tr ình là f (x, y) = C Vì v ậy, những g ì b ạn l àm là v ẽ đồ thị cái n ày, v ẽ đồ th ị ph ương tr ình, v ẽ đồ thị ph ương tr ình này Chú ý, nó không ph ải l à phương tr ình vi phân B ạn không thể vẽ chính xác đồ thị ph ương tr ình vi phân Đó là m ột đ ư ờng cong, m ột đư ờng cong b ì nh thư ờng Nh ưng đư ờng cong s ẽ phụ thuộc vào cái gì ; trên th ực tế, nó xu ất phát t ừ quan điểm của 18 02, đ ư ờng mức C, xin lỗi, nó là m ột đ ư ờng mức của f(x, y), h àm f c ủa x v à y tương ứng với mức giá tr ị C B ut w e ar e n o t g o i ng t o c a l l i t t h a t b e c a u s e t h i s i s n o t 18 02 I n s t e ad , w e '''' r e g o i ng t o c a l l i t a n i s o c l i n e A nd t h e n, y o u p l o t , w e l l , y o u'''' v e d o n e i t S o , y o u '''' v e g o t t h i s i s o c li n e , e x c e p t I ''''m g o i ng t o u s e a s o l u t i o n c u r v e , s o li d li n e s , o n l y f o r i n t e g r a l c u r v es W h e n w e d o p l o t i s o c l i n e s , t o i n d i c a t e t h a t t h e y ar e n o t s o l u t i o n s , w e '''' l l u s e d a s h e d li n e s f o r d o i ng t h e m O n e o f t h e c om p u t e r t h i n g s d o e s a nd t he o t h e r o n e d o es n'''' t B ut t h e y u s e d i ffe r e nt c o l o r s , a l s o T h e r e a r e d i f fe r e nt wa y s o f t e l l i ng y o u w h a t ''''s a n i s o c li n e a nd w h a t '''' s t h e s o l u ti o n c u r v e S o , a nd w h a t d o y o u d o ? S o , t h es e a r e a l l t h e p o i n t s w h e r e t h e s l o p e i s g o i ng t o b e C Nhưng chúng tôi s ẽ không gọi nó nh ư th ế bởi v ì đây không ph ải l à 18 02 Thay vào đó, chúng ta s ẽ gọi nó l à m ột đ ư ờng đẳng t à Và sau đó , b ạn vẽ, vâng, bạ n hoàn thành nó Vì v ậy, bạn đ ã có đư ờng đẳng t à này, ngo ại trừ tôi sẽ sử dụng một đ ư ờng cong nghiệm, các đư ờng liền nét, chỉ cho các đ ư ờng cong tích phân Khi chúng ta vẽ các đ ư ờng đẳng t à, đ ể chỉ ra rằng chúng không phải l à nghi ệm, chúng ta sẽ sử dụng cá c đư ờng nét đứt để v ẽ chúng M ột trong hai cái máy tính làm đư ợc c òn cái còn l ại th ì không Nh ưng chúng c ũng s ử dụng những m àu s ắc khác nhau Có nhiều cách khác nhau để nói cho bạn biết đ ư ờng đ ẳng t à là gì và đư ờng cong nghiệm l à gì À , và b ạn l àm gì? Vì v ậy, đây l à t ất cả những đi ểm có hệ số góc bằng C And n o w , w h a t y o u d o i s d r a w i n a s m a n y a s y o u wa n t o f li n e e l e m e n t s h a v i ng s l o p e C N o t i c e h o w e f f i c i e nt t h a t i s I f y o u w a nt 5 0 m i ll i o n o f t h e m a nd h a v e t h e t i m e , d r a w i n 5 0 m il l i o n I f t w o o r t h r e e a r e e n o u g h , d r a w i n t w o o r t h r ee Y o u w il l b e l o o ki ng a t t h e p i c t u r e Y o u w i l l se e w h a t t h e c u r v e l o o k s l i k e , a nd t h a t w il l g i v e y o u y o u r j u d g m e nt a s t o h o w y o u a r e t o d o t h a t S o , i n g e n e r a l , a p i c t u r e d r aw n t h a t wa y , s o l e t '''' s s a y , a n i s o c l i n e c o rr e s p o n d i ng t o C e q u a l s z e r o Và bây gi ờ, những g ì b ạn l àm là v ẽ thậ t nhi ều nh ư b ạn muốn các yếu tố đư ờng có độ dốc C Chú ý đ ến tính hiệu quả Nếu bạn muốn 50 triệu đ ư ờng v à có th ời gian, h ãy v ẽ 50 tri ệu Nếu hai hoặc ba l à đ ủ, h ãy v ẽ hai hoặc ba Bạn sẽ nh ìn vào ảnh Bạn sẽ thấy đ ư ờn g cong trông như th ế n ào, và nó s ẽ cho bạn sự suy xét về cách thức để bạn l àm đi ều đó V ì v ậy, nói chung, một bức tranh đ ư ợc vẽ theo cách đó, v ì v ậy, giả sử rằng, một đ ư ờng đ ẳng t à tương ứng với C bằng không T h e l i n e e l e m e n t s , a nd I t h i nk f o r a n i s o c l i n e , f o r t h e p u r p o s e s o f t h i s l e c t u r e , i t w o u l d b e a g oo d i d e a t o p ut i s o c l i n e s O k a y , s o I ''''m g o i ng t o p ut s o l u t i o n c u r v e s i n p i n k , o r w h a t e v e r t h i s c o l o r i s , a nd i s o c li n e s ar e g o i ng t o b e i n o r a n g e , I g u es s S o , i s o c li n e , r e pr es e n t e d b y a da s h e d li n e , a nd n o w y o u w i l l p u t i n t he l i n e e l e m e n t s o f , w e '''' l l n e e d l o t s o f c h a l k f o r t h a t S o , I '''' l l u s e w h i t e c h a l k Các y ếu tố đ ư ờng, v à tôi ngh ĩ đối với một đ ư ờng đẳng t à, đ ối với mục đích của b ài gi ảng n ày, nó s ẽ l à m ột ý t ư ởng tốt để đặt các đ ư ờng đẳng t à Đư ợc rồi, do đó, tôi sẽ tô các đư ờng cong nghiệm m àu h ồng, hoặc bất cứ m àu s ắc n ào , và các đư ờng đẳng t à có màu da cam, tôi đoán v ậy V ì v ậy, các đ ư ờng đẳng t à, đư ợc biểu diễn bằng các đ ư ờng nét đ ứt, và bây gi ờ bạn sẽ đặt các y ếu tố đ ư ờng vào , chúng ta s ẽ cần rất nhiều phấn cho đi ều đó V ì v ậy, tôi sẽ sử dụng phấn trắng Y h o r i z o n t a l ? B e c a u s e a c c o r d i ng t o t h i s t h e s l o p e i s s u p p o s e d t o b e z e r o t h e r e A nd a t t h e s a m e w a y , h o w ab o ut a n i s o c l i n e w h e r e t he s l o p e i s n e ga t iv e o n e ? L e t '''' s s u pp o s e h e r e C i s e q u a l t o n e g a t i v e on e O k a y , t h e n i t w il l l o o k l ik e t h i s T h es e a r e s u pp o s e d t o b e li n e s o f s l o p e n e g a t i v e on e D o n '''' t s h o o t m e i f t h e y a r e n o t S o , t h a t '''' s t h e p r i n c i p l e S o , t h i s i s h o w y o u w i l l f i l l up t he p l a n e t o d r a w a d i r e c t i o n f i e l d : b y p l o t ti ng t he i s o c li n e s f i r s t Y ngang? B ởi v ì theo đây h ệ số góc đ ư ợc cho l à b ằ ng 0 ở đó V à tương t ự , các đư ờng đẳng tà mà h ệ số góc của nó bằng trừ 1 th ì sao? Hãy gi ả sử ở đây C bằng trừ 1 Đ ư ợc rồi, sau đó nó s ẽ trông nh ư th ế n ày Đây là nh ững đ ư ờng đ ư ợc giả sử l à có h ệ số góc bằng tr ừ 1 Đừng b ắn tôi, nếu chúng không phải V ì v ậy, đó l à nguyên t ắc V ì v ậy, đây l à cách b ạn sẽ l àm đ ầy m ặt phẳng để vẽ tr ư ờng có h ư ớng: bằng cách đầu ti ên v ẽ các đ ư ờng đẳng t à And t h e n , on c e y o u h a v e t h e i s o c l i n e s t h e r e , y o u w il l h a v e l i n e e l e m e n t s A nd y o u c a n d r a w a d i r e c t i o n f i e l d Ok a y , s o , f o r t he n e x t f e w m i n u t e s , I ''''d l ik e t o w o r k a c o u p l e o f e x a m p l e s f o r y o u t o s h o w h o w t h i s w o r k s o u t i n p r a c t i c e S o , t h e f i r s t e q u a ti o n i s g o i ng t o b e y '''' = - x / y Ok a y , f i r s t t h i n g , w h a t a r e t h e i s o c l i n e s ? W e l l , t h e i s o c li n e s ar e g o i ng t o b e y Và sau đó, m ột khi bạn có đ ư ờng đẳng t à ở đó, bạn sẽ có các yếu tố đ ư ờng V à b ạn có thể v ẽ một tr ư ờng có h ư ớng Đ ư ợc rồi, v ì v ậy, trong v ài phút sau, tôi mu ốn xét một v ài ví d ụ để cho các b ạn thấy điều n ày đư ợc tiến h ành trong th ực tế nh ư th ế nào Vì v ậy, phương tr ình đ ầu ti ên s ẽ l à y ''''= - x / y Đư ợc rồi, điều đầu ti ên, các đư ờng đẳng t à là gì? Vâng, các đư ờng đ ẳng t à s ẽ l à y … W e l l , - x / y = C M a y b e I b e t t e r m a k e t w o s t e p s o u t o f t h i s M i n u s x o v e r y i s e q u a l t o C B u t , o f c o u r s e , n o b o d y d r a w s a c u r v e i n t h a t f o r m Y o u '''' l l w a nt i t i n t h e f o r m y = - 1 / C * x S o , t h e r e ''''s o ur i s o c li n e W hy d o n ''''t I p ut t h a t up i n o r a n g e s i n c e it '''' s g o i ng t o b e , t h a t '''' s t h e c o l o r I '''' l l d r a w i t i n I n o t h e r w o r d s , f o r d i ff e r e nt v a l u e s o f C , n o w t h i s t h i ng i s a l i g n e d I t '''' s a li g n e d , i n f a c t , t h r o u g h t h e o r i g i n T h i s l o o k s pr e tt y s i m p l e O k a y , s o h e r e '''' s o u r p l a n e T h e i s o c l i n e s ar e g o i ng t o b e l i n e s t h r o u g h t h e o r i g i n And n o w , l e t '''' s p ut t h e m i n, s u pp o s e , f o r e x a m p l e , C i s e q u a l t o on e Vâng, - x / y = C Có l ẽ tốt h ơn là tôi nên làm riêng hai bư ớc ra ng oài đây Tr ừ x tr ên y b ằng C Nh ưng, t ất nhi ên, không ai v ẽ một đ ư ờng cong d ư ới dạng đó Bạn sẽ muốn nó có d ạng y= ( - 1 / C ) * x Vì v ậy, đó l à đư ờng đẳng t à c ủa chúng ta Tại sao tôi không t ô nó màu da cam vì nó s ẽ l à, đó là màu mà tôi đ ã v ẽ nó Nói cách khác, đối với các giá trị khác nhau c ủa C, bây giờ cái n ày đư ợc sắp h àng Nó đư ợc sắp h àng, trên th ực tế, qua g ốc tọa độ Điều n ày có v ẻ khá đ ơn gi ản Đ ư ợc rồi, do đó, đây l à m ặt phẳng của ch úng ta Các đư ờng đẳng t à s ẽ l à các đư ờng đi qua gốc tọa độ V à bây gi ờ, chúng ta h ãy đ ặt chúng vào trong, gi ả sử, ví dụ, C bằng một W e l l , i f C i s e q u a l t o o n e , t h e n it '''' s t he l i n e , y e q u a l s m i nu s x S o , t h i s i s t h e i s o c l i n e I '''' l l p u t , d o w n h e r e , C e q u a l s m i n u s o n e A n d , a l o ng it , n o , s om e t h i n g '''' s w r o n g I ''''m s o r r y ? C i s on e , n o t n e g a t iv e on e , r i g h t , t h a n k s T h a n k s S o , C e q u a l s o n e S o , i t s h o u l d b e li t t l e l i n e s e g m e n t s o f s l o p e o n e w i l l b e t h e l i n e e l e m e n t s , t h i n g s o f s l o p e o n e O K , n o w h o w ab o u t C e q u a l s n e ga ti v e o n e ? Vâng, n ếu C bằng một, do đó nó l à đư ờng, y bằng trừ x V ì v ậy, đây l à đư ờng đẳng t à Tôi s ẽ đặt, d ư ới đây, C bằng trừ một V à, d ọc theo nó, không, có cái g ì đó không ổn Tôi xin l ỗi? C l à m ột, không phải trừ một, đúng không, cám ơn C ảm ơn V ì v ậy, C bằng m ột V ì v ậy, có lẽ n ên là nh ững đo ạn nhỏ với hệ số góc bằng 1 sẽ l à nh ững yếu tố đ ư ờng, những cái có h ệ số góc bằng một Vâng, c òn C b ằng trừ một th ì sao? I f C e q u a l s n e ga t i v e o n e , t h e n i t ''''s t he li n e , y = x And s o , t h a t '''' s t h e i s o c l i n e N o t i c e , s t il l d a s h b ec a u s e t h es e ar e i s o c l i n e s H e r e , C i s n e g a t i v e on e And s o , t h e s l o p e e l e m e n t s l o o k l i k e t h i s N o ti c e , t h e y a r e p e r p e n d i c u l a r N o w , n o t i c e t h a t t h e y a r e a l wa y s g o i ng t o b e p e r p e n d i c u l a r t o t h e l i n e b ec a u s e t h e s l o p e o f t h i s l i n e i s m i n u s o ne o v e r C B u t , t h e s l o p e o f t h e li n e e l e m e nt i s g o i ng t o b e C T h o s e n u m b e rs , m i n us o ne o v e r C a nd C , a r e n e g a t iv e r e c i p r o c a l s An d , y o u k n o w t h a t t w o l i n e s w h o s e s l o p e s a r e n e ga t i v e r ec i pr o c a l s a r e p e r p e n d i c u l a r S o , t h e l i n e e l e m e n t s a r e g o i ng t o b e p e r p e n d i c u l a r t o t h es e A nd t h e r e f o r e , I h a r d l y e v e n h a v e t o b o t h e r c a l c u l a t i n g , d o i ng a ny mo r e c a l c u l a t i o n H e r e '''' s g o i ng t o b e a , w e ll , h o w ab o ut t h i s o n e ? N ếu C bằng trừ một, th ì đó là đư ờng, y = x V à như v ậy, đó l à đư ờng đẳng t à Chú ý, v ẫn c òn các đư ờng nét đứt v ì đây là nh ững đ ư ờng đẳng t à Ở đây, C bằng trừ 1 V à như v ậy, các yếu tố hệ số góc trông giống nh ư th ế n ày Chú ý, chúng vuông góc Bây gi ờ, chú ý r ằng chúng sẽ luôn vuông góc với đ ư ờng đ ẳng t à vì h ệ số góc của đ ư ờng n ày là tr ừ m ột tr ên C Nhưng h ệ số góc của y ếu tố đ ư ờng thẳng là C Nh ững con số n ày, tr ừ một trên C và C, nhân nhau b ằng trừ 1 V à, b ạn biết rằng hai đ ư ờng m à h ệ số góc của chúng nhân nhau b ằng trừ 1 vuông góc nhau V ì v ậy, các yếu tố đ ư ờng sẽ vuông góc với những cái này Và do đó, tôi th ậm chí hầ u như không ph ải bận tâm tính toán, l àm thêm b ất cứ tính toán nào n ữa Đây sẽ l à m ột, vâng, c òn cái này thì sao? H e r e '''' s a c o n t r o v e r s i a l i s o c l i n e I s t h a t a n i s o c li n e ? W e ll , wa i t a m i n u t e T h a t d o e s n '''' t c o r r e s p o nd t o a n yt h i ng l oo k i ng l i k e t h i s Ah - h a , b ut i t w o u l d i f I p ut C m u l t i p l i e d t h r o u g h b y C And t h e n, i t w o u l d c o r r e s p o nd t o C b e i ng z e r o I n o t h e r w o r d s , d o n''''t w r it e i t l i k e t h i s M u l ti p l y t h r o u g h b y C I t w i l l r e a d C y = - x And t h e n, w h e n C i s z e r o , I h a v e x e q u a l s z e r o , w h i c h i s e x a c t l y t he y - a x i s Dư ới đây là m ột đ ư ờng đẳng t à tinh t ế Đó l à m ột đư ờng đẳng t à ph ải không ? Vâng, ch ờ m ột chút Nó có v ẻ không li ên quan gì t ới biểu thức n ày Ah - ha, nhưng tôi s ẽ chỉ ra chúng tương đương b ằng cách nhân hai vế với C Và b ạn sẽ thấy, nó tương ứng với C bằng không Nói cách khác, không vi ết nó nh ư th ế n ày Nhân hai v ế với C Nó tương đương C y = - x Và sau đó, khi C b ằng không, tôi có x bằng không, nó chính là tr ục y S o , t h a t r e a ll y i s i n c l u d e d Ho w ab o ut t he x - a x i s ? W e ll , t h e x - a x i s i s n o t i n c l u d e d Ho w e v e r , m o s t p e o p l e i n c l u d e i t a n y w a y T h i s i s v e r y c o m m o n t o b e a s o r t o f s l o pp y a nd b e n d i ng t h e e dg e s o f c o r n e r s a l i t t l e b it , a n d h o p i ng n o b o d y w i l l n o t i c e W e '''' l l s a y t h a t c o r r e s p o n d s t o C e q u a l s i n f i n i t y I h o p e n o b o d y wa n t s t o f i g ht ab o u t t h a t I f y o u d o , g o f i g h t w i t h s om e b o d y e l s e S o , i f C i s i n f i n i ty , t h a t m e a n s t he l i t t l e l i n e s e g m e nt s h o u l d h a v e i n f i n i t e s l o p e , a nd b y c o mm o n c o n s e n t , t h a t m e a n s i t s h o u l d b e v e r t i c a l And s o , w e c a n e v e n c o u nt t h i s a s s o r t o f a n i s o c l i n e An d , I '''' l l m a k e t h e d a s h e s s m a l l e r , i n d i c a t e i t h a s a l o w e r s t a t u s t h a n t h e o t h e r s A n d , I '''' l l p ut t h i s i n , d o t h i s w e a s e l l y t h i ng o f p u t ti ng i t i n q u o t a t i o n m ar k s t o i n d i c a t e t h a t I '''' m n o t r es p o n s i b l e f o r it Vì v ậy, nó đúng là m ột đ ư ờng đẳng t à Còn tr ục x thì sao ? Vâng, tr ục x không ph ải l à đư ờng đ ẳng t à Tuy nhiên, dù sao đi n ữa h ầu hết mọi ng ư ời đ ều tính đến nó Đi ều n ày thông thư ờng phần n ào lu ộm thuộm và u ốn các c ạnh của các góc m ột ít, v à hy v ọng không ai sẽ chú ý Nó tương ứng với C bằng vô c ùng Tôi hy v ọng không ai muốn tranh lu ận v ề điều đó N ếu muốn , hãy tranh lu ận v ới ng ư ời khác V ì v ậy, nếu C bằng vô c ùng , có ngh ĩa l à các đo ạn nh ỏ sẽ có h ệ số góc bằng vô cùng , và theo như s ự đồng ý phổ biến , có ngh ĩa l à nó s ẽ nằm d ọc Và như v ậy, chúng tôi thậm chí có thể tính cái này như l à m ột loại đ ư ờng đẳng t à Và, tôi s ẽ l àm cho các d ấu gạch ngang nh ỏ h ơn, ch ỉ ra nó có một t ình tr ạng thấp h ơn nh ững cái khác Và , tôi s ẽ đặt cái n ày vào trong d ấu ngoặc kép để cho biết rằng tôi không xét nó Ok a y , n o w , w e n o w h a v e t o p ut i t t h e i n t e g r a l c u r v es W e ll , n o t h i ng c o u l d b e e a s i e r I ''''m l o o ki ng f o r c u r v e s w h i c h ar e e v e r y w h e r e p e rp e n d i c u l a r t o t h es e r a y s W e l l , y o u k n o w f r o m g e o m e t r y t h a t t h o s e a r e c i r c l e s S o , t h e i n t e g r a l c u r v e s a r e c i r c l e s An d , it '''' s a n e l e m e n t ar y e x e r c i s e , w h i c h I w o u l d n o t d e p r i v e y o u o f t h e p l e a s u r e o f S o lv e t h e O D E b y s e p a r a t i o n o f v a r i a b l es I n o t h e r w o rd s , w e '''' v e g o tt e n t h e , s o t h e c i r c l e s ar e o n e s w it h a ce n t e r a t t h e o r i g i n, o f c o u r s e , e q u a l s om e c o n s t a n t I '''' l l c a l l i t C 1, s o it '''' s n o t c o n f u s e d w i t h t h i s C T h e y l o o k l ik e t h a t , a nd n o w y o u s h o u l d s o lv e t h i s b y s e pa r a t i ng v a r i ab l e s , a nd j u s t c o n f i r m t h a t t h e s o l u t i o ns a r e , i n f a c t , t h o s e c i r c l e s Đư ợc rồi, bây giờ, chúng ta ph ải đặt nó v ào đư ờng cong tích phân Vâng, không có gì d ễ dàng hơn Tôi đang tìm đư ờng cong vuông g óc v ới các tia này ở m ọi n ơi Vâng, t ừ h ình h ọc b ạn biết rằng đó l à nh ững đ ư ờng tròn Vì v ậy, các đ ư ờng cong tích phân là các đư ờng tròn Và, nó là m ột bài t ập c ơ b ản , mà tôi s ẽ không t ư ớc đi của các b ạn niềm vui thích với nó Gi ải phương tr ình vi phân th ư ờng bằng ph ương pháp tách bi ến Nói cách khác, chúng ta đ ã nh ận đư ợc các đ ư ờng tr òn là nh ững cái mà tâm n ằm tại gốc tọa độ , t ất nhi ên, b ằng một h ằng số n ào đó Tôi s ẽ gọi nó l à C1, do đó, nó không nh ầm lẫn với C này Chúng gi ống nh ư th ế n ày, và bây gi ờ bạ n nên gi ải phương tr ình này b ằng ph ương pháp tách bi ến , và ch ỉ cần xác nh ận rằng trên th ực tế, các nghiệm l à nh ững v òng tròn O n e i n t e r e s t i ng t h i n g , a nd s o I c o n f i r m t h i s , I w o n''''t d o i t b e c a u s e I wa nt t o d o g e o m e t r i c a nd n u m e r i c a l t h i n g s t o d a y S o , i f y o u s o lv e i t b y s e p a r a t i ng v a r i a b l es , o ne i n t e r e s t i ng t h i ng t o n o t e i s t h a t i f I w r i t e t h e s o l u t i o n a s y = y 1 ( x ) , w e ll , i t '''' l l l o o k s o m e t h i ng l ik e t h e s q r t ( C 1 - x ^ 2 ) W e '''' l l m a k e t he x s q u a r e d b e c a u s e t h a t '''' s t h e w a y p e o p l e u s u a l l y p ut t h e r ad i u s M ột điều thú v ị, v à vì v ậy tôi xác nhận điều n ày, tôi s ẽ không l àm đi ều đó v ì tôi mu ốn l àm nh ững thứ h ình h ọc v à s ố ngày hôm nay Vì v ậy, nếu bạn giải nó b ằng cách tách các biến, m ột trong những điều thú vị cần l ưu ý là n ếu tôi viết những nghi ệm l à y = y1 (x), vâng , nó s ẽ có d ạng căn bậc hai của (C1 - x ^ 2) Chúng ta s ẽ tạo ra x b ình vì đó là cách ngư ời ta thư ờng đặt bán kính And s o , a s o l u t i o n, a t y p i c a l s o l u t i o n l oo k s l i k e t h i s W e ll , w h a t '''' s t h e s o l u t i o n o v e r h e r e ? W e ll , t h a t o n e s o l u t i o n w i l l b e g o e s f r o m h e r e t o h e r e I f y o u l i k e , i t h a s a n e g a t i v e s i d e t o i t S o , I '''' l l m a k e , l e t '''' s s a y , p l u s T h e r e ''''s a n o t h e r s o l u t i o n, w h i c h h a s a n e ga t i v e v a l u e B ut l e t ''''s u s e t h e o n e w i t h t he p o s i t iv e v a l u e o f t he s q u a r e r o o t M y p o i nt i s t h i s , t h a t t h a t s o l u ti o n, t h e d om a i n o f t h a t s o l u t i o n , r e a l l y o n l y g o e s f r o m h e r e t o h e r e It '''' s n o t t h e w h o l e x - a x i s I t ''''s j u s t a l i m it e d p i e c e o f t h e x - a x i s w h e r e t h a t s o l u t i o n i s d e f i n e d T h e r e '''' s no wa y o f e x t e n d i ng i t f u r t h e r A n d , t h e r e ''''s no wa y o f pr e d i c ti n g , b y l o o k i ng a t t h e d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n, t h a t a ty p i c a l s o l u t i o n wa s g o i ng t o h a v e a l i m it e d d o m a i n l ik e t h a t Và vì v ậy, nghiệm , nghi ệm thông th ư ờng sẽ có d ạng như th ế n ày Vâng, nghi ệm tr ên đây là gì? Vâng, m ột nghi ệm sẽ tương ứng với đồ thị t ừ đây đến đây N ếu bạn t hích, nó có m ột v ế âm c ủa nó Vì v ậy, tôi sẽ xét trư ờng hợp d ương Có m ột nghiệm khác , trong đó có m ột giá tr ị âm Nhưng chúng ta hãy s ử dụng nghiệm v ới giá trị dương c ủa căn b ậc hai V ấn đề c ủa tôi ở đây, nghiệm đó, mi ền nghi ệm đó , th ực sự chỉ đi từ đây đến đây Nó không ph ải toàn b ộ trục x Nó chỉ l à ph ần gi ới hạn của trục x ở đó nghiệm đó đư ợc xác định Không có cách nào đ ể mở rộng nó th êm n ữa Và, không có cách nào đ ể d ự đoán, bằng cách nh ìn vào phương tr ình vi phân, m ột nghi ệm thông th ư ờng sẽ có một miền giới hạn giống nh ư th ế I n o t h e r w o r d s , y o u c o u l d f i nd a s o l u ti o n, b ut ho w f a r o u t i s i t g o i ng t o g o ? S o m e ti m e s , i t '''' s i m p o s s i b l e t o t e l l , e x c e p t b y e i t h e r f i n d i ng i t e x p li c i t l y , o r b y a s ki ng a c o m p u t e r t o d r a w a p i c t u r e o f i t , a nd se e i ng i f t h a t g i v e s y o u s o m e i n s i g h t It '''' s o n e o f t h e m a ny d i f f i c u lt i e s i n h a n d l i ng d i f fe r e n t i a l e q u a ti on s Y o u d o n''''t k n o w w h a t t h e d om a i n o f a s o l u ti o n i s g o i ng t o b e u n t i l y o u'''' v e a c t u a l l y c a l c u l a t e d it Nói cách khác, b ạn có thể t ìm ra m ột nghi ệm , nhưng nó s ẽ đi xa ra ngo ài bao nhiêu ? Đôi khi, không th ể nói đ ư ợc , ngo ại trừ bằng cách ho ặc tìm ra nó m ột cách r õ ràng, ho ặc b ằ ng cách yêu c ầu một máy tính v ẽ một h ình ảnh của nó, v à xem nó có cho b ạn sự hiểu bi ết sâu sắc hay không Đó là m ột trong r ất nhiều khó khăn trong việc xử lý ph ương tr ình vi p hân B ạn không biết mi ền nghi ệm sẽ l à gì cho đ ến khi bạn thực sự đ ã tính toán nó N o w , a s l i g h t l y m o r e c o m p l i c a t e d e x a m p l e i s g o i ng t o b e , l e t ''''s s e e , y '''' = 1 + x - y It '''' s n o t a l o t m o r e c om p l i c a t e d , a nd a s a c om p u t e r e x e r c i s e , y o u w i l l w o r k w i t h, s t i ll , m o r e c o m p l i c a t e d o n e s B ut h e r e , t h e i s o c l i n e s w o u l d b e w h a t ? W e ll , I s e t t h a t e q u a l t o C C a n y o u d o t h e a l g e b r a i n y ou r h e a d ? A n i s o c l i n e w i l l h a v e t h
Trang 1Đây là bản ghi lại lời giảng của giáo s ư Arthur Mattuck and Haynes Miller trên lớp Để xem toàn bộ bài giảng này bạn có thể đếnhttp://www.mientayvn.com > Học liệu mở > Học viện công nghệ Massachusetts > Toán học > Phương trình vi phân > chương I
MIT OpenCourseWare
http://ocw.mit.edu
18.03 Differential Equations, Spring 2006
Please use the following citation format:
Arthur Mattuck and Haynes Miller, 18.03 Differential Equations, Spring
2006 (Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare).
http://ocw.mit.edu(accessed MM DD, YYYY) License: Creative
Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike
Note: Please use the actual date you accessed this material in your citation
For more information about citing these materials or our Terms of Use, visit:
http://ocw.mit.edu/terms
Trang 2MIT OpenCourseWare
http://ocw.mit.edu
18.03 Differential Equations, Spring 2006
Transcript – Lecture 1
OK, let's get started I'm assuming that, A, you went recitation yesterday, B, that even if you didn't, you know how to separate variables, and you know how to
construct simple models, solve physical problems with differential equations, and
possibly even solve them So, you should have learned that either in high school, or 18.01 here, or, yeah So, I'm going to start from that point, assume you know that I'm not going to tell you what differential equations are, or what modeling is If you still are
uncertain about those things, the book has a very long and good explanation
of it Just read that stuff So, we are talking about first order ODEs
Vâng, chúng ta hãy bắt đầu Tôi giử sử rằng, A, bạn đã đi đến buổi ôn bài ngày hôm qua, B, cho dù bạn không đến, bạn biết cách tách biến, và bạn biết cách để xây dựng một mô hình đơn giản, giải các bài toán vật lí với các phương trình vi phân, và thậm chí
có thể giải chúng Vì vậy, bạn đáng lẽ đã phải học nó hoặc ở trường phổ thông, hoặc 18.01 ở đây, hoặc, vâng Vì vậy, tôi sẽ bắt đầu từ điểm đó, giả sử bạn biết điều đó Tôi
sẽ không định nghĩa lại phương trình vi phân là gì hoặc mô hình là gì Nếu bạn vẫn còn chưa nắm vững những thứ này, sách đã nói rất nhiều và giải thích rất rõ ràng về nó Hãy đọc nó đi Vì vậy, chúng ta sẽ nói về các phương trình vi phân bậc nhất
ODE: I'll only use two acronyms ODE is ordinary differential equations I think all of MIT knows that, whether they've been taking the course or not So, we are talking about first-order ODEs, which in standard form, are written, you isolate the
derivative of y with respect to, x, let's say, on the left-hand side, and on the right-hand side you write everything else You can't always do this very well, but for
today, I'm going to assume that it has been done and it's doable So, for example, some of the ones that will be considered either today or in the problem set are things like y' = x / y
ODE: Tôi sẽ chỉ dùng hai từ viết tắc ODE là phương trình vi phân thường Tôi nghĩ mọi người trong MIT này đều biết điều đó, cho dù họ có học về khóa học này hay không Vì vậy, chúng ta sẽ nói về các phương trình vi phân bậc nhất, ở dạng tiêu chuẩn, được viết, bạn tách riêng đạo hàm của y theo x, giả sử rằng, ở vế trái, và ở vế phải bạn viết mọi thứ còn lại Bạn không thể lúc nào cũng làm được như thế này, nhưng đối với hôm nay, tôi sẽ giả sử rằng nó đã được làm và có thể làm được Vì vậy, chẳng hạn, một số dạng sẽ được xét hoặc trong hôm nay hoặc trong xấp bài tập là những phương trình có dạng y' = f(x , y)
That's pretty simple The problem set has y' = x - y^2 And, it also has y' = y - x^2 There are others, too Now, when you look at this, this, of course, you can solve by separating variables So, this is solvable This one is and neither of these can you separate variables And they look extremely similar But they are extremely
dissimilar The most dissimilar about them is that this one is easily solvable And you will learn, if you don't know already, next time next Friday how to solve this one
Cái đó khá đơn giản Xấp bài tập có bài y' = x - y^2 Và, cũng có bài y' = y - x^2 Cũng có những bài khác nữa Bây giờ, khi bạn xét cái này, đây, tất nhiên, bạn có thể giải bằng phương pháp tách biến Vì vậy, cái này có thể giải được Cái này là - - và cả hai cái này bạn không thể tách biến Và trông chúng rất giống nhau Nhưng thực sự chúng rất khác nhau Sự khác nhau rõ rệt nhất là cái này có thể giải được Và bạn sẽ học, nếu bạn chưa biết, lần tới thứ sáu tới cách để giải cái này
This one, which looks almost the same, is unsolvable in a certain sense Namely,
there are no elementary functions which you can write down, which will give a
solution of that differential equation So, right away, one confronts the most
Trang 3significant fact that even for the simplest possible differential equations, those which only involve the first derivative, it's possible to write down extremely looking simple guys
Cái này, có vẻ khá giống, nhưng không thể giải được theo một ý nghĩa nào đó Cụ thể, không có những hàm cơ bản mà bạn có thể viết ra, sẽ cho nghiệm của phương trình vi phân Vì vậy, ngay tức thì, người ta đối mặt với sự kiện có ý nghĩa nhất là thậm chí cho dù đối với những phương trình vi phân đơn giản nhất, những phương trình này chỉ liên quan đến đạo hàm bậc nhất, có thể viết ra những thằng trông cực k ì đơn giản I'll put this one up in blue to indicate that it's bad Whoops, sorry, I mean, not really bad, but recalcitrant It's not solvable in the ordinary sense in which you think of an equation is solvable And, since those equations are the rule rather than the
exception, I'm going about this first day to not solving a single differential equation, but indicating to you what you do when you meet a blue equation like that
Tôi sẽ đánh dấu cái này màu xanh lam để cho biết rằng nó là xấu Whoops, xin lỗi, ý tôi là, không thực sự xấu, nhưng ngoan cố Nó không phải không giải được theo nghĩa thông thường như bạn thường nghĩ Và,bởi vì những phương trình là theo quy tắc chứ không phải
là các ngoại lệ,trong buổi đầu tiên này tôi sẽ không giải một phương trình vi phân đơn giản,
mà chỉ ra cho bạn những gì bạn làm khi bạn gặp một phương trình xanh như thế
What do you do with it? So, this first day is going to be devoted to geometric ways of looking at differential equations and numerical At the very end, I'll talk a little bit about numerical ways And you'll work on both of those for the first problem set So, what's our geometric view of differential equations? Well, it's something that's
contrasted with the usual procedures, by which you solve things and find elementary functions which solve them I'll call that the analytic method So, on the one hand,
Trang 4we have the analytic ideas, in which you write down explicitly the equation, y' =
f(x,y)
Bạn làm gì với nó? Vì vậy, ngày đầu tiên này sẽ được dành cho việc dùng những phương pháp hình học để xét các phương trình vi phân và biểu diễn số Vào cuối buổi, tôi sẽ nói một chút về phương pháp số Và bạn sẽ làm việc trên cả hai trong xấp bài tập đầu tiên Vì vậy, cách nhìn hình học của chúng ta về các phương trình vi phân là như thế nào? Vâng, đó
là cái gì trái ngược với các thủ tục thông thường, qua đó bạn giải mọi thứ và tìm thấy các hàm cơ bản giải chúng Tôi sẽ gọi đó l à phương pháp giải tích Vì vậy, một mặt, chúng ta có những ý tưởng phân tích, trong đó bạn viết ra rõ ràng các phương trình, y '=
f (x, y)
And, you look for certain functions, which are called its solutions Now, so there's the ODE And, y1 of x, notice I don't use a separate letter I don't use g or h or
something like that for the solution because the letters multiply so quickly, that is, multiply in the sense of rabbits, that after a while, if you keep using different letters for each new idea, you can't figure out what you're talking about
Và, bạn tìm các hàm nào đó, được gọi là các nghiệm của nó Bây giờ, vì vậy đó là phương trình vi phân thường Và, y1 x, chú ý tôi không sử dụng một kí tự riêng biệt Tôi không sử dụng g hoặc h hoặc thứ g ì đó tương tự như thế cho nghiệm bởi vì các chữ cái nhân quá nhanh, có nghĩa là, nhân trong ý nghĩa của thỏ, sau một lúc, nếu bạn tiếp tục sử dụng các chữ cái khác nhau cho mỗi ý t ưởng mới, bạn không thể tìm ra những gì bạn đang nói
So, I'll use y1 means, it's a solution of this differential equation Of course, the
differential equation has many solutions containing an arbitrary constant So, we'll call this the solution Now, the geometric view, the geometric guy that corresponds
to this version of writing the equation, is something called a direction field And, the solution is, from the geometric point of view, something called an integral curve So, let me explain if you don't know what the direction field is I know for some of you, I'm reviewing what you learned in high school Those of you who had the BC syllabus
in high school should know these things But, it never hurts to get a little more
practice And, in any event, I think the computer stuff that you will be doing on the problem set, a certain amount of it should be novel to you
Vì vậy, tôi sẽ sử dụng y1 với nghĩa là, nó là một nghiệm của phương trình vi phân này Tất nhiên, một phương trình vi phân có nhiều nghiệm chứa một hằng số tùy ý Vì vậy, chúng ta sẽ gọi đây là nghiệm Bây giờ, quan điểm hình học, đối tượng hình học tương ứng với phiên bản này của cách viết phương trình vi phân, được gọi là một trường có hướng Và, từ quan điểm hình học, nghiệm được gọi là đường cong tích phân Để tôi giải thích nếu bạn không biết trường có hướng là gì Đối với một số bạn, có lẽ là tôi đang nhắc lại những gì mà bạn đã học ở trường trung học Những bạn đã học chương trình học BC ở trường trung học chắc sẽ biết những cái n ày Tuy nhiên, không bao giờ lãng phí nếu bạn nhận được một ít kiến thức thực tế h ơn Và, trong bất cứ trường hợp nào, tôi nghĩ rằng các phương pháp tính toán mà bạn sẽ thực hiện trên xấp bài tập, một lượng nhất định của
nó sẽ mới lạ đối với bạn
It was novel to me, so why not to you? So, what's a direction field? Well, the
direction field is, you take the plane, and in each point of the plane of course,
that's an impossibility But, you pick some points of the plane You draw what's
called a little line element So, there is a point It's a little line, and the only thing which distinguishes it outside of its position in the plane, so here's the point, (x,y), at which we are drawing this line element, is its slope And, what is its slope? Its slope
is to be f(x,y) And now, You fill up the plane with these things until you're tired of putting then in So, I'm going to get tired pretty quickly
Nó mới đối với tôi, vậy tại sao không mới đối với bạn? Vậy, trường có hướng là gì? Vâng, trường có hướng là, bạn chọn một mặt phẳng, v à tại mỗi điểm của mặt phẳng - tất nhiên,
đó là một điều không thể Nhưng, bạn chọn một số điểm của mặt phẳng Bạn vẽ một yếu
tố đường nhỏ Vì vậy, đó là một điểm Nó là một đường nhỏ, và thứ duy nhất phân biệt các yếu tố đường thẳng với nhau, vì vậy đây là điểm, (x, y), tại đó chúng ta vẽ yếu tố đường thẳng này, là hệ số góc của nó Và, hệ số góc của nó là gì? Hệ số góc của nó là f (x, y) Và
Trang 5bây giờ, bạn lấp đầy mặt phẳng với những thứ này cho đến khi bạn mệt mỏi Vì vậy, tôi sẽ cảm thấy mệt mỏi khá nhanh chóng
So, I don't know, let's not make them all go the same way That sort of seems
cheating How about here? Here's a few randomly chosen line elements that I put in, and I putted the slopes at random since I didn't have any particular differential
equation in mind Now, the integral curve, so those are the line elements The
integral curve is a curve, which goes through the plane, and at every point is tangent
to the line element there
Vì vậy, tôi không biết, chúng ta không làm cho t ất cả chúng đi theo cùng đường Điều đó phần nào có vẻ như gian lận Còn ở đây thì sao? Đây là một vài yếu tố đường thẳng được chọn ngẫu nhiên mà tôi đặt vào, và tôi đặt hệ số góc ngẫu nhiên bởi vì tôi không có bất cứ phương trình vi phân đặc biệt nào trong đầu Bây giờ, các đường cong tích phân, đó là những yếu tố đường thẳng Đường cong tích phân là đường cong nằm trong mặt phẳng, và tại mỗi điểm là tiếp tuyến với yếu tố đường thẳng tại đó
So, this is the integral curve Hey, wait a minute, I thought tangents were the line element there didn't even touch it Well, I can't fill up the plane with line elements Here, at this point, there was a line element, which I didn't bother drawing in And, it was tangent to that Same thing over here: if I drew the line element here, I would find that the curve had exactly the right slope there
Vì vậy, đây là đường cong tích phân N ày, chờ một chút, tôi nghĩ tiếp tuyến là yếu tố đường thẳng ở đó thậm chí không chạm nó Vâng, tôi không thể làm đầy toàn bộ mặt phẳng với các yếu tố đường thẳng Ở đây, vào thời điểm này, đã có một yếu tố đường thẳng mà tôi chưa vẽ Và, nó tiếp tuyến với cái đó Điểm trên đây tương tự: nếu tôi vẽ các yếu tố đường thẳng ở đây, tôi sẽ thấy rằng đường cong có hệ số góc đúng như ở đó
So, the point is the integral, what distinguishes the integral curve is that everywhere
it has the direction, that's the way I'll indicate that it's tangent, has the direction of the field everywhere at all points on the curve, of course, where it doesn't go It
doesn't have any mission to fulfill Now, I say that this integral curve is the graph of the
solution to the differential equation In other words, writing down analytically the differential equation is the same geometrically as drawing this direction field, and solving analytically for a solution of the differential equation is the same thing as geometrically drawing an integral curve So, what am I saying?
Vì vậy, vấn đề ở đây là, điểm phân biệt các đường cong tích phân là ở khắp mọi nơi
là nó có hướng, đó là cách mà tôi sẽ chỉ ra rằng nó là tiếp tuyến, có hướng của trường ở khắp mọi nơi ở tất cả các điểm trên đường cong Tất nhiên, nơi mà nó không đi qua Nó không có bất kỳ nhiệm vụ nào để hoàn thành Bây giờ, tôi nói rằng đường cong tích phân này là đồ thị của nghiệm của phương trình vi phân Nói cách khác, viết ra dạng giải tích của phương trình vi phân về mặt hình học sẽ tương đương với việc vẽ trường có hướng này, và giải bằng phương pháp giải tích nghiệm của phương trình vi phân tương đương với vẽ một đường cong tích phân về mặt hình học Vậy, tôi đang nói gì?
I say that an integral curve, all right, let me write it this way I'll make a little
theorem out of it, that y1(x) is a solution to the differential equation if, and only if,
Trang 6the graph, the curve associated with this, the graph of y1 of x is an integral curve Integral curve of what? Well, of the direction field associated with that equation But there isn't quite enough room to write that on the board But, you could put it in your notes, if you take notes So, this is the relation between the two, the integral curves of the graphs or solutions
Tôi nói rằng một đường cong tích phân, đúng rồi , hãy để tôi viết nó theo cách này Tôi sẽ tạo ra một định lý nhỏ về điều đó, đó là y1 (x) là một nghiệm của phương trình vi phân nếu, và chỉ nếu, đồ thị, đường cong gắn với nó, đồ thị của y1(x) là một đường cong tích phân Đường cong tích phân của cái g ì? Vâng, của trường có hướng gắn với phương trình
đó Nhưng không có đủ chổ trống để viết điều đó trên bảng Tuy nhiên, bạn có thể viết vào trong vở của bạn, nếu bạn ghi chép Vì vậy, đây là mối quan hệ giữa hai cái, các đường cong tích phân của đồ thị hoặc các nghiệm
Now, why is that so? Well, in fact, all I have to do to prove this, if you can call it a proof at all, is simply to translate what each side really means What does it really mean to say that a given function is a solution to the differential equation? Well, it means that if you plug it into the differential equation, it satisfies it Okay, what is that? So, how do I plug it into the differential equation and check that it satisfies it? Bây giờ, tại sao điều đó lại như vậy? Vâng, trên thực tế, tất cả những gì tôi phải làm để chứng minh điều này là, cũng chưa hẳn là một chứng minh , chỉ đơn giản là để diễn giải xem mỗi vế thực sự có nghĩa g ì Một hàm cho trước là một nghiệm của phương trình vi phân có ý nghĩa gì? Vâng, nó có nghĩa là nếu bạn thế nó vào trong phương trình vi phân, nó thỏa mãn phương trình vi phân đó Được rồi, đó là gì? Vì vậy, làm cách nào để thế nó vào các phương trình vi phân và kiểm tra xem nó thỏa mãn phương trình vi phân?
Well, doing it in the abstract, I first calculate its derivative And then, how will it look after I plugged it into the differential equation? Well, I don't do anything to the x, but wherever I see y, I plug in this particular function So, in notation, that would be written this way So, for this to be a solution means this, that that equation is
satisfied Okay, what does it mean for the graph to be an integral curve? Well, it means that at each point, the slope of this curve, it means that the slope of y1 of x should be, at each point, (x1,y1) It should be equal to the slope of the direction field
at that point
Vâng, về khía cạnh lí thuyết thực hiện nó , đầu tiên tôi tính đạo hàm của nó Và sau đó, nó
sẽ trông như thế nào sau khi tôi thế nó vào trong phương trình vi phân? Vâng, tôi không làm gì đối với x, nhưng bất cứ nơi nào tôi thấy y, tôi thế vào hàm cụ thể này Vì vậy, theo quy ước, nó sẽ được viết theo cách này Vì vậy, khi cái này là nghiệm theo nghĩa này, thì phương trình đó được thõa mãn Được rồi, đồ thị là một đường cong tích phân có nghĩa l à gì? Vâng, nó có nghĩa là tại mỗi điểm, hệ số góc của đường cong này, nó có nghĩa là hệ số góc của y1(x) sẽ là, tại mỗi điểm (x1, y1) Nó sẽ bằng hệ số góc của tr ường vô hướng tại điểm đó
And then, what is the slope of the direction field at that point? Well, it is f of that
particular, well, at the point, (x,y1) If you like, you can put a subscript, one, on
there, send a one here or a zero there, to indicate that you mean a particular point But, it looks better if you don't But, there's some possibility of confusion I admit to that So, the slope of the direction field, what is that slope? Well, by the way, I
calculated the direction field Its slope at the point was to be x, whatever the value
of x was, and whatever the value of y1(x) was, substituted into the right-hand side
of the equation So, what the slope of this function of that curve of the graph should
be equal to the slope of the direction field Now, what does this say?
Và rồi, hệ số góc của trường có hướng tại điểm đó là gì? Vâng, nó là giá trị của hàm f tại điểm đó, vâng, tại điểm, (x, y1) Nếu bạn thích, bạn có thể đặt một chỉ số d ưới, một, ở đó , để một ở đây hoặc không ở đó, để cho biết rằng bạn muốn nói đến một điểm cụ thể Tuy nhiên, sẽ tốt hơn nếu bạn không làm như vậy Nhưng, có một số khả năng gây nhầm lẫn Tôi thừa nhận điều đó Vì vậy, hệ số góc của trường có hướng, hệ số góc đó bằng bao nhiêu? Vâng, tiện thể, tôi đã tính toán trường có hướng Hệ số góc của nó tại điểm x, bất kể giá trị của x bằng bao nhiêu, và bất kể giá trị của y1 (x) bằng bao nhiêu, được thế vào vế
Trang 7phải của phương trình Vì vậy, hệ số góc của hàm này của đường cong đó của đồ thị sẽ bằng hệ số góc của trường có hướng Bây giờ, điều này nói lên cái gì?
Well, what's the slope of y1(x)? That's y1'(x) That's from the first day of 18.01,
calculus What's the slope of the direction field? This? Well, it's this And, that's with the right hand side So, saying these two guys are the same or equal, is exactly,
analytically, the same as saying these two guys are equal So, in other words, the proof consists of, what does this really mean? What does this really mean? And after you see what both really mean, you say, yeah, they're the same
Vâng, hệ số góc của y1(x) bằng bao nhiêu? Đó là y1 '(x) Điều này các bạn đã học trong buổi đầu của 18,01, giải tích Hệ số góc của trường có hướng bằng bao nhiêu? Cái này à? Vâng, nó là cái này Và, đó là với vế bên phải Vì vậy, nói rằng hai thằng này giống nhau hoặc tương đương nhau, thì chính xác, về mặt giải tích, giống như nói rằng hai thằng này bằng nhau Vì vậy, nói cách khác, chứng minh gồm có, cái này thực sự có ý nghĩa gì? Cái này thực sự có nghĩa gì? Và sau khi bạn hiểu được nó thật sự có ý nghĩa gì, bạn nói, yeah, chúng giống nhau
So, I don't how to write that It's okay: same, same, how's that? This is the same as that Okay, well, this leaves us the interesting question of how do you draw a
direction from the, well, this being 2003, mostly computers draw them for you
Nonetheless, you do have to know a certain amount I've given you a couple of
exercises where you have to draw the direction field yourself This is so you get a feeling for it, and also because humans don't draw direction fields the same way computers do So, let's first of all, how did computers do it? They are very stupid There's no problem
Vì vậy, tôi không biết cách viết nó Nó ổn: giống nhau, giống nhau, làm sao thế nhỉ? Cái này tương tự như cái đó Được rồi, tốt, cái này để lại cho chúng ta một câu hỏi thú vị về cách mà bạn vẽ một trường có hướng từ, vâng, đây là năm 2003, chủ yếu là máy tính vẽ chúng cho bạn Tuy nhiên, bạn phải biết một lượng nhất định Tôi đã đưa cho bạn một vài bài tập, trong đó bạn phải tự vẽ các tr ường có hướng Điều này giúp bạn có được một cảm giác về nó, và cũng bởi vì con người không vẽ trường có hướng giống như cách máy tính làm Vì vậy, trước hết chúng ta hãy xét, máy tính đã làm điều đó như thế nào? Chúng rất ngớ ngẩn Không có vấn đề gì
Since they go very fast and have unlimited amounts of energy to waste, the computer method is the naive one You pick the point You pick a point, and generally, they are usually equally spaced You determine some spacing, that one: blah, blah, blah, blah, blah, blah, blah, equally spaced And, at each point, it computes f(x, y) at the point, finds, meets, and computes the value of f of (x, y), that function, and the next thing
is, on the screen, it draws, at (x, y), the little line
Trang 8element having slope f(x, y) In other words, it does what the differential equation tells it to do
Bởi vì chúng hoạt động với tốc độ rất nhanh và không hạn chế về lượng năng lượng sử dụng, phương pháp máy tính là một phương pháp ngây thơ Bạn chọn điểm Bạn chọn một điểm, và nói chung, chúng thường cách đều nhau Bạn xác định khoảng cách n ào
đó, cái đó: blah, blah, blah, blah, blah, blah, blah, cách đều nhau Và, ở mỗi điểm, nó tính giá trị của f (x, y) tại điểm này, tìm, gặp, và tính giá trị của f (x, y), hàm đó, và điều tiếp theo là, trên màn hình, nó vẽ, tại(x, y),yếu tố đường thẳng nhỏ có hệ số góc
f (x, y) Nói cách khác, nó làm những gì mà các phương trình vi phân bảo nó làm
And the only thing that it does is you can, if you are telling the thing to draw the
direction field, about the only option you have is telling what the spacing should be, and sometimes people don't like to see a whole line They only like to see a little bit
of a half line And, you can sometimes tell, according to the program, tell the
computer how long you want that line to be, if you want it teeny or a little bigger Once in awhile you want you want it narrower on it, but not right now
Và thứ duy nhất mà nó làm là bạn có thể, nếu bạn đang nói thứ để vẽ trường có
hướng, tùy chọn duy nhất mà bạn có là cho biết khoảng cách sẽ bằng bao nhiêu, và thỉnh thoảng người ta không thích thấy toàn bộ một đường thẳng Họ chỉ thích thấy một ít của nửa đường thẳng Và thỉnh thoảng bạn có thể nói, theo chương trình, nói cho máy tính biết bạn muốn đường thẳng đó dài bao nhiêu, bạn muốn nó nhỏ hay lớn hơn một chút Thỉnh thoảng bạn muốn bạn muốn nó hẹp hơn, nhưng không phải ngay bây giờ
Okay, that's what a computer does What does a human do? This is what it means to
be human You use your intelligence From a human point of view, this stuff has
been done in the wrong order And the reason it's been done in the wrong order: because for each new point, it requires a recalculation of f(x, y) That is horrible The computer doesn't mind, but a human does So, for a human, the way to do it is not
to begin by picking the point, but to begin by picking the slope that you would like to see So, you begin by taking the slope Let's call it the value of the slope, C So, you pick a number C is two I want to see where are all the points in the plane where the slope of that line element would be two? Well, they will satisfy an equation
Được rồi, đó là những gì mà máy tính làm Còn con người làm như thế nào? Thế mới là con người Bạn sử dụng trí thông minh của bạn Từ quan điểm con ng ười, cái này đã được thực hiện theo thứ tự sai Và lý do nó được thực hiện theo thứ tự sai: v ì đối với mỗi điểm mới, cần phải tính toán lại f (x, y) Điều đó thật kinh khủng Các máy tính không bận tâm, nhưng một con người thì khác Vì vậy, đối với một con người, cách để làm điều đó không phải bắt đầu bằng cách chọn các điểm, m à bắt đầu bằng cách chọn hệ số góc mà bạn muốn thấy Vì vậy, bạn bắt đầu bằng cách chọn hệ số góc Chúng ta hãy gọi giá trị của hệ
số góc là C Vì vậy, bạn chọn một số C bằng hai Tôi muốn biết tất cả các điểm trong mặt phẳng mà ở đó hệ số góc của yếu tố đ ường thẳng bằng 2 nằm ở đâu? Vâng, chúng sẽ th õa mãn một phương trình
The equation is f(x,y) = C, in general So, what you do is plot this, plot the equation, plot this equation Notice, it's not the differential equation You can't exactly plot a differential equation It's a curve, an ordinary curve But which curve will depend; it's, in fact, from the 18.02 point of view, the level curve of C, sorry, it's a level curve
of f of (x, y), the function f of x and y corresponding to the level of value C
Nói chung,phương trình là f (x, y) = C Vì v ậy, những gì bạn làm là vẽ đồ thị cái này, vẽ đồ thị phương trình, vẽ đồ thị phương trình này Chú ý, nó không ph ải là phương trình vi phân Bạn không thể vẽ chính xác đồ thị ph ương trình vi phân Đó là một đường cong, một đường cong bình thường Nhưng đường cong sẽ phụ thuộc vào cái gì; trên thực tế, nó xuất phát từ quan điểm của 18.02, đường mức C, xin lỗi, nó là một đường mức của f(x, y), hàm
f của x và y tương ứng với mức giá trị C
But we are not going to call it that because this is not 18.02 Instead, we're going to call it an isocline And then, you plot, well, you've done it So, you've got this
isocline, except I'm going to use a solution curve, solid lines, only for integral curves
Trang 9When we do plot isoclines, to indicate that they are not solutions, we'll use dashed lines for doing them One of the computer things does and the other one doesn't But they use different colors, also There are different ways of telling you what's an
isocline and what's the solution curve So, and what do you do? So, these are all the points where the slope is going to be C
Nhưng chúng tôi sẽ không gọi nó như thế bởi vì đây không phải là 18.02 Thay vào đó,
chúng ta sẽ gọi nó là một đường đẳng tà Và sau đó, bạn vẽ, vâng, bạn hoàn thành nó Vì vậy, bạn đã có đường đẳng tà này, ngoại trừ tôi sẽ sử dụng một đ ường cong nghiệm,
các đường liền nét, chỉ cho các đ ường cong tích phân Khi chúng ta vẽ các đ ường đẳng tà,
để chỉ ra rằng chúng không phải l à nghiệm, chúng ta sẽ sử dụng cá c đường nét đứt để vẽ chúng Một trong hai cái máy tính làm được còn cái còn lại thì không Nhưng chúng cũng
sử dụng những màu sắc khác nhau Có nhiều cách khác nhau để nói cho bạn biết đ ường đẳng tà là gì và đường cong nghiệm là gì À, và bạn làm gì? Vì vậy, đây là tất cả những điểm có hệ số góc bằng C
And now, what you do is draw in as many as you want of line elements having slope
C Notice how efficient that is If you want 50 million of them and have the time, draw in 50 million If two or three are enough, draw in two or three You will be looking at the picture You will see what the curve looks like, and that will give you your judgment as to how you are to do that So, in general, a picture drawn that way, so let's say, an isocline corresponding to C equals zero
Và bây giờ, những gì bạn làm là vẽ thật nhiều như bạn muốn các yếu tố đường có độ dốc
C Chú ý đến tính hiệu quả Nếu bạn muốn 50 triệu đ ường và có thời gian, hãy vẽ 50 triệu Nếu hai hoặc ba là đủ, hãy vẽ hai hoặc ba Bạn sẽ nh ìn vào ảnh Bạn sẽ thấy đường cong trông như thế nào, và nó sẽ cho bạn sự suy xét về cách thức để bạn l àm điều đó Vì vậy, nói chung, một bức tranh đ ược vẽ theo cách đó, vì vậy, giả sử rằng, một đường đẳng tà tương ứng với C bằng không
The line elements, and I think for an isocline, for the purposes of this lecture, it would be a good idea to put isoclines Okay, so I'm going to put solution curves in pink, or whatever this color is, and isoclines are going to be in orange, I guess So, isocline, represented by a dashed line, and now you will put in the line elements of, we'll need lots of chalk for that So, I'll use white chalk
Các yếu tố đường, và tôi nghĩ đối với một đường đẳng tà, đối với mục đích của bài giảng này, nó sẽ là một ý tưởng tốt để đặt các đường đẳng tà Được rồi, do đó, tôi sẽ tô các đường cong nghiệm màu hồng, hoặc bất cứ màu sắc nào, và các đường đẳng tà có màu da cam, tôi đoán vậy Vì vậy, các đường đẳng tà, được biểu diễn bằng các đường nét đứt, và bây giờ bạn sẽ đặt các yếu tố đường vào, chúng ta sẽ cần rất nhiều phấn cho điều đó Vì vậy, tôi sẽ sử dụng phấn trắng
Y horizontal? Because according to this the slope is supposed to be zero there And
at the same way, how about an isocline where the slope is negative one? Let's
suppose here C is equal to negative one Okay, then it will look like this These are supposed to be lines of slope negative one Don't shoot me if they are not So, that's
Trang 10the principle So, this is how you will fill up the plane to draw a direction field: by plotting the isoclines first
Y ngang? Bởi vì theo đây hệ số góc được cho là bằng 0 ở đó Và tương tự, các đường đẳng
tà mà hệ số góc của nó bằng trừ 1 th ì sao? Hãy giả sử ở đây C bằng trừ 1 Đ ược rồi, sau đó
nó sẽ trông như thế này Đây là những đường được giả sử là có hệ số góc bằng trừ 1 Đừng bắn tôi, nếu chúng không phải V ì vậy, đó là nguyên tắc Vì vậy, đây là cách bạn sẽ làm đầy mặt phẳng để vẽ trường có hướng: bằng cách đầu tiên vẽ các đường đẳng tà
And then, once you have the isoclines there, you will have line elements And you can draw a direction field Okay, so, for the next few minutes, I'd like to work a
couple of examples for you to show how this works out in practice So, the first
equation is going to be y' = -x / y Okay, first thing, what are the isoclines? Well, the isoclines are going to be y
Và sau đó, một khi bạn có đường đẳng tà ở đó, bạn sẽ có các yếu tố đ ường Và bạn có thể
vẽ một trường có hướng Được rồi, vì vậy, trong vài phút sau, tôi muốn xét một vài ví dụ để cho các bạn thấy điều này được tiến hành trong thực tế như thế nào Vì vậy, phương trình đầu tiên sẽ là y '=-x / y Được rồi, điều đầu tiên, các đường đẳng tà là gì? Vâng, các đường đẳng tà sẽ là y…
Well, -x / y = C Maybe I better make two steps out of this Minus x over y is equal
to C But, of course, nobody draws a curve in that form You'll want it in the form y
= -1 / C * x So, there's our isocline Why don't I put that up in orange since it's
going to be, that's the color I'll draw it in In other words, for different values of C, now this thing is aligned It's aligned, in fact, through the origin This looks pretty simple Okay, so here's our plane The isoclines are going to be lines through the
origin And now, let's put them in, suppose, for example, C is equal to one
Vâng,-x / y = C Có lẽ tốt hơn là tôi nên làm riêng hai bước ra ngoài đây Trừ x trên y bằng C Nhưng, tất nhiên, không ai vẽ một đường cong dưới dạng đó Bạn sẽ muốn nó có dạng y= (-1 / C) * x Vì vậy, đó là đường đẳng tà của chúng ta Tại sao tôi không t ô nó màu da cam vì nó sẽ là, đó là màu mà tôi đã vẽ nó Nói cách khác, đối với các giá trị
khác nhau của C, bây giờ cái này được sắp hàng Nó được sắp hàng, trên thực tế, qua gốc tọa độ Điều này có vẻ khá đơn giản Được rồi, do đó, đây là mặt phẳng của chúng
ta Các đường đẳng tà sẽ là các đường đi qua gốc tọa độ Và bây giờ, chúng ta hãy đặt chúng vào trong, giả sử, ví dụ, C bằng một
Well, if C is equal to one, then it's the line, y equals minus x So, this is the isocline I'll put, down here, C equals minus one And, along it, no, something's wrong I'm sorry? C is one, not negative one, right, thanks Thanks So, C equals one So, it
should be little line segments of slope one will be the line elements, things of slope one OK, now how about C equals negative one?
Vâng, nếu C bằng một, do đó nó là đường, y bằng trừ x Vì vậy, đây là đường đẳng tà Tôi
sẽ đặt, dưới đây, C bằng trừ một V à, dọc theo nó, không, có cái g ì đó không ổn Tôi xin lỗi? C là một, không phải trừ một, đúng không, cám ơn Cảm ơn Vì vậy, C bằng một Vì vậy, có lẽ nên là những đoạn nhỏ với hệ số góc bằng 1 sẽ l à những yếu tố đường, những cái có hệ số góc bằng một Vâng, c òn C bằng trừ một thì sao?
If C equals negative one, then it's the line, y = x And so, that's the isocline Notice, still dash because these are isoclines Here, C is negative one And so, the slope
elements look like this Notice, they are perpendicular Now, notice that they are
always going to be perpendicular to the line because the slope of this line is minus one over C But, the slope of the line element is going to be C Those numbers,
minus one over C and C, are negative reciprocals And, you know that two lines
whose slopes are negative reciprocals are perpendicular So, the line elements are going to be perpendicular to these And therefore, I hardly even have to bother
calculating, doing any more calculation Here's going to be a, well, how about this one?
Nếu C bằng trừ một, thì đó là đường, y = x Và như vậy, đó là đường đẳng tà Chú ý, vẫn còn các đường nét đứt vì đây là những đường đẳng tà Ở đây, C bằng trừ 1 Và như vậy, các yếu tố hệ số góc trông giống nh ư thế này Chú ý, chúng vuông góc Bây gi ờ,