GIẢNG BÀI: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC NHẤT - Full 10 điểm

Đây là b ản ghi lại lời giảng của giáo s ư A r t h u r Ma t t u c k a nd H a y n e s M i l l e r trên l ớp Để xem to àn b ộ bài gi ảng n ày b ạn có thể đến http://www mientayvn com > H ọc liệu mở > Học viện công nghệ Massachusetts > Toán h ọ c > Phương tr ình vi phân > chương I M I T O p e n C o u r s e W a r e h tt p:// o c w m i t e d u 18 03 D i f f e r e n ti a l E q u a t i o n s , S p r i ng 2 0 0 6 P l e a s e u s e t h e f o ll o w i ng c it a t i o n f o r m a t : A r t h u r Ma t t u c k a nd H a y n e s M i l l e r , 1 8 0 3 D i ff e r e n ti a l E q u a t i o n s , S p r i n g 20 0 6 (Ma s s a c h u se t t s I n s t i t u t e o f T e c hn o l o g y : M I T O p e n C o u r s e W a r e ) h tt p:// o c w m i t e d u ( a cc e ss e d M M D D , Y Y Y Y ) L i c e n s e : C r e a t i v e C om m o n s A tt r i b u ti o n - N o n c om m e r c i a l - Sh a r e A l ik e N o t e : P l e a s e u s e t h e a c t u a l d a t e y o u a c ces se d t h i s m a t e r i a l i n y o u r c it a t i o n F o r m o r e i n f o r m a t i o n ab o ut c i t i ng t h es e m a t e r i a l s o r o ur T e r m s o f U s e , v i s it : h tt p:// o c w m i t e d u / t e r m s M I T O p e n C o u r s e W a r e h tt p:// o c w m i t e d u 18 03 D i f f e r e n ti a l E q u a t i o n s , S p r i ng 2 0 0 6 T r a n s c r i p t – L e c t u r e 1 O K , l e t '''' s g e t s t ar t e d I '''' m a s s u m i ng t h a t , A, y o u w e n t r e c i t a t i o n y e s t e r da y , B , t h a t e v e n i f y o u d i d n'''' t , y o u k n o w h o w t o se p a r a t e v a r i a b l e s , a nd y o u k n o w h o w t o c o n s t r u c t s i m p l e m o d e l s , s o l v e p h y s i c a l p r o b le m s w i t h d i ffe r e n t i a l e q u a t i o n s , a nd p o s s i b l y e v e n s o lv e t h e m S o , y o u s h o u l d h a v e l e a r n e d t h a t e it h e r i n h i g h sc h o o l , o r 18 01 h e r e , o r , y e a h S o , I '''' m g o i ng t o s t a r t f r o m t h a t p o i n t , a s s u m e y o u k n o w t h a t I ''''m n o t g o i ng t o t e l l y o u w h a t d i f fe r e n ti a l e q u a t i o ns a r e , o r w h a t mo d e li ng i s I f y o u s t il l a r e u n c e r t a i n ab o ut t h o s e t h i n g s , t h e b o o k h a s a v e r y l o ng a nd g oo d e x p l a n a t i o n o f i t J u s t r e a d t h a t s t u ff S o , w e a r e t a l k i ng a b o ut f i r s t o r d e r O D E s Vâng, chúng ta hãy b ắt đầu Tôi gi ử sử rằng, A, bạn đ ã đi đ ến buổi ôn b ài ngày hôm qua, B, cho dù b ạn không đến, bạn biết cách tách biến, v à b ạn biết cách để xây dựng m ột mô h ình đơn gi ản, giải các b ài toán v ật lí với các ph ương tr ình vi phân, và th ậm chí có th ể giải chúng Vì v ậy, bạn đán g l ẽ đ ã ph ải học nó hoặc ở tr ư ờng phổ thông, hoặc 18 01 ở đây, h o ặc, vâng V ì v ậy, tôi sẽ bắt đầ u t ừ điểm đó, giả sử bạn biết điều đó Tôi s ẽ không định nghĩa lại ph ương tr ình vi phân là gì ho ặc mô h ình là gì N ếu bạn vẫn c òn chưa n ắm vững những thứ n ày, s ách đ ã nói r ất nhiều v à gi ải thích rất r õ ràng v ề nó Hãy đ ọc nó đi V ì v ậy, chúng ta sẽ nói về các ph ương tr ình vi phân b ậc nhất O D E: I '''' l l o n l y u s e t w o a c r o n y m s O D E i s o r d i n ar y d i ffe r e n t i a l e q u a t i o n s I t h i nk a l l o f M I T k n o w s t h a t , w h e t h e r t h e y '''' v e b ee n t a k i ng t h e c ou r s e o r n o t S o , w e a r e t a l k i ng ab o ut f i r s t - o r d e r O D E s , w h i c h i n s t a n d a r d f o r m , ar e w r it t e n, y o u i s o l a t e t h e d e r i v a t i v e o f y w i t h r e s p e c t t o , x , l e t '''' s s a y , o n t h e l e f t - h a nd s i d e , a nd o n t h e r i g h t - h a nd s i d e y o u w r i t e e v e r y t h i ng e l s e Y o u c a n'''' t a l wa y s d o t h i s v e r y w e l l , b ut f o r t o da y , I ''''m g o i ng t o a s s u m e t h a t i t h a s b e e n d o n e a nd it '''' s d o ab l e S o , f o r e x a m p l e , s o m e o f t h e o n e s t h a t w i l l b e c o n s i d e r e d e it h e r t o da y o r i n t h e p r o b l e m s e t a r e t h i n g s l i k e y '''' = x / y ODE: Tôi s ẽ chỉ d ùng hai t ừ viết tắc ODE l à phương tr ình vi phân th ư ờng Tôi nghĩ mọi ngư ời trong MIT n ày đ ều biết điều đó, cho d ù h ọ có học về khóa học n ày hay không Vì v ậy, chúng ta sẽ nói về các ph ương tr ình vi phân b ậc nhất, ở dạng ti êu chu ẩn, đ ư ợc viết, b ạn tách riêng đ ạo h àm c ủa y theo x, giả s ử rằng, ở vế trái, v à ở vế phải bạn viết mọi th ứ c òn l ại B ạn không t h ể lúc n ào c ũng l àm đư ợc nh ư th ế n ày , nhưng đ ối với hôm nay, tôi s ẽ giả s ử rằng nó đ ã đư ợc l àm và có th ể l àm đư ợc Vì v ậy, chẳng hạn, một số dạng s ẽ đư ợc xét ho ặc trong hôm nay hoặc trong xấp b ài t ập l à nh ững ph ương tr ình có d ạng y '''' = f( x , y ) T h a t ''''s p r e t t y s i m p l e T h e p r o b l e m s e t h a s y '''' = x - y ^ 2 An d , i t a l s o h a s y '''' = y - x ^ 2 T h e r e a r e o t h e r s , t o o N o w , w h e n y o u l o o k a t t h i s , t h i s , o f c o u r s e , y o u c a n s o l v e b y s e pa r a t i ng v a r i ab l e s S o , t h i s i s s o l v ab l e T h i s o ne i s - - a nd n e i t h e r o f t h es e c a n y o u s e pa r a t e v a r i ab l e s A nd t h e y l o o k e x t r e m e l y s i m il a r B u t t h e y a r e e x t r e m e l y d i s s i m i l ar T h e m o s t d i ss i m i l a r a b o ut t h e m i s t h a t t h i s o n e i s e a s il y s o lv a b l e And y o u w il l l e a r n , i f y o u d o n''''t k n o w a l r e ad y , n e x t t i m e n e x t Fr i da y h o w t o s o lv e t h i s o n e Cái đó khá đơn gi ản Xấ p bài t ập có bài y '''' = x - y ^ 2 Và, c ũng có b ài y '''' = y - x ^ 2 C ũng có những b ài khác n ữa Bây giờ, khi bạn xét cái n ày, đây, t ất nhi ên, b ạn có thể gi ải bằng ph ương pháp tách bi ến V ì v ậy, cái n ày có th ể giải đ ư ợc Cái n ày là - - và c ả hai cái này b ạn không thể tách biến V à trông chúng r ất giống nhau Nh ưng th ực sự chúng r ất khác nhau Sự khác nhau r õ r ệt nhất l à cái này có th ể giải đ ư ợc Và b ạn sẽ h ọc, nếu bạn ch ưa bi ết, lần tới thứ sáu tới cách để giải cái n ày T h i s o n e , w h i c h l o o k s a l m o s t t h e s a m e , i s u n s o l v ab l e i n a ce r t a i n s e n s e N a m e l y , t h e r e a r e n o e l e m e n t ar y f u n c t i o n s w h i c h y o u c a n w r it e d o w n, w h i c h w i l l g i v e a s o l u t i o n o f t h a t d i ffe r e n t i a l e q u a t i o n S o , r i g h t a wa y , o n e c o n f r o n t s t he m o s t s i g n i f i c a nt f a c t t h a t e v e n f o r t h e s i m p l e s t p o s s i b l e d i ffe r e n t i a l e q u a t i o n s , t h o s e w h i c h o n l y i n v o l v e t h e f i r s t d e r iv a t iv e , it '''' s p o s s i b l e t o w r it e d o w n e x t r e m e l y l o o k i ng s i m p l e g u y s Cái này, có v ẻ khá giống, nh ưng không th ể giải đ ư ợc theo một ý nghĩa n ào đó C ụ thể, không có nh ững h àm cơ b ản m à b ạn có thể viết ra, sẽ cho nghiệm của ph ương tr ình vi phân Vì v ậy, ngay t ức th ì , ngư ời ta đối mặt với sự kiện có ý nghĩa nhất l à th ậm chí cho dù đ ối với những ph ương tr ình vi phân đơn gi ản nhất , nh ững ph ương tr ình này ch ỉ liên quan đ ến đạo h àm b ậc nhất, có thể viết ra những thằng trông cực k ì đơn gi ản I '''' l l p ut t h i s on e up i n b l u e t o i n d i c a t e t h a t i t '''' s b a d W h oo p s , s o rr y , I m e a n, n o t re a l l y ba d , b ut r ec a l c i t r a n t I t '''' s n o t s o l v ab l e i n t h e o r d i n ar y s e n s e i n w h i c h y o u t h i n k o f a n e q u a ti o n i s s o lv a b l e An d , s i n c e t h o s e e q u a t i o n s ar e t h e r u l e r a t h e r t h a n t h e e x c e p t i o n , I ''''m g o i ng ab o u t t h i s f i r s t da y t o n o t s o l v i ng a s i n g l e d i f fe r e n ti a l e q u a ti o n, b ut i n d i c a t i ng t o y o u w h a t y o u d o w h e n y o u m e e t a b l u e e q u a t i o n li k e t h a t Tôi s ẽ đánh dấu cái n ày màu xanh lam đ ể cho biết rằng nó l à x ấ u Whoops, xin l ỗi, ý tôi là, không th ực sự xấu, nh ưng ngoan c ố Nó không ph ải không gi ải đ ư ợc theo nghĩa thông thư ờng nh ư b ạn th ư ờng nghĩ V à,b ởi v ì nh ững ph ương tr ình là theo quy t ắc chứ không ph ải là các ngo ại lệ, trong bu ổi đầu ti ên này tôi s ẽ không giải m ột ph ương tr ình vi phân đơn gi ản , mà ch ỉ ra cho bạn những g ì b ạn l àm khi b ạn gặp một ph ương tr ình xanh nh ư th ế W h a t d o y o u d o w i t h i t ? S o , t h i s f i r s t d a y i s g o i n g t o b e d e v o t e d t o g e om e t r i c wa y s o f l o o ki ng a t d i ff e r e n ti a l e q u a t i o n s a nd n um e r i c a l At t h e v e r y e n d , I '''' l l t a l k a l i tt l e b i t ab o ut n um e r i c a l w a y s And y o u'''' l l w o r k o n b o t h o f t h o s e f o r t h e f i r s t p r o b l e m s e t S o , w h a t '''' s o u r g e o m e t r i c v i e w o f d i ff e r e n ti a l e q u a t i o n s ? W e ll , it '''' s s om e t h i ng t h a t '''' s c o n t r a s t e d w it h t h e u s u a l p r o ce d u r e s , b y w h i c h y o u s o lv e t h i n g s a nd f i nd e l e m e n t ar y f u n c t i o ns w h i c h s o l v e t h e m I '''' l l c a l l t h a t t h e a n a l y t i c m e t h o d S o , o n t he on e h a n d , w e h a v e t h e a n a l y t i c i d e a s , i n w h i c h y o u w r i t e d o w n e x p l i c i t l y t h e e q u a ti o n, y '''' = f ( x , y ) B ạ n làm gì v ới nó? V ì v ậy, ngày đ ầu ti ên này s ẽ đư ợc d ành cho vi ệc d ùng nh ững ph ương pháp hình h ọc đ ể xét các phương tr ình vi phân và bi ểu diễn s ố V ào cu ối bu ổi, tôi sẽ nói m ột chút về ph ương pháp s ố V à b ạn sẽ l àm vi ệc tr ên c ả hai trong x ấ p bài t ập đầu ti ên Vì v ậy, cách nh ìn hình h ọc của chúng ta v ề các phương tr ình vi phân là nh ư th ế n ào? Vâng, đó là cái gì trái ng ư ợc v ới các th ủ tục thông th ư ờng, qua đó bạn giải m ọi thứ v à tìm th ấy các hàm cơ b ản giải chúng Tôi sẽ gọi đó l à phương pháp g i ải tích Vì v ậy, m ột mặt, chúng ta có nh ững ý t ư ởng phân tích, trong đó b ạn viết ra rõ ràng các ph ương tr ình, y ''''= f (x, y) An d , y o u l o o k f o r ce r t a i n f u n c t i o n s , w h i c h a r e c a l l e d i t s s o l u ti o n s N o w , s o t h e r e ''''s t h e O D E An d , y 1 o f x , n o t i c e I d o n '''' t u s e a s e p a r a t e l e t t e r I d o n '''' t u s e g o r h o r s o m e t h i ng l ik e t h a t f o r t h e s o l u t i o n b ec a u s e t he l e t t e r s m u l ti p l y s o q u i c k l y , t h a t i s , m u l ti p l y i n t h e s e n s e o f r abb i t s , t h a t a f t e r a w h i l e , i f y o u k e e p u s i ng d i f fe r e n t l e t t e r s f o r e a c h n e w i d e a , y o u c a n''''t f i g u r e o u t w h a t y o u '''' r e t a l k i ng a b o u t Và, b ạn t ìm các hàm nào đó, đư ợc gọi l à các nghi ệm c ủa nó Bây giờ, v ì v ậy đó là phương trình vi phân t h ư ờng V à, y1 x, chú ý tôi không s ử d ụng một kí tự riêng bi ệt Tôi không s ử d ụng g hoặc h hoặc thứ g ì đó tương t ự nh ư th ế cho nghiệm b ởi vì các ch ữ cái n hân quá nhanh, có ngh ĩa là, nhân trong ý ngh ĩa c ủa thỏ, sau một lúc , n ếu bạn tiếp tục sử dụng các ch ữ cái khác nhau cho mỗi ý t ư ởng mới, bạn không thể tìm ra nh ững g ì b ạn đang nói S o , I '''' l l u s e y 1 m e a n s , it '''' s a s o l u ti o n o f t h i s d i ffe r e n ti a l e q u a ti o n O f c o u r se , t h e d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n h a s m a n y s o l u t i o n s c o n t a i n i ng a n a r b i t r a r y c on s t a n t S o , w e '''' l l c a l l t h i s t he s o l u t i o n N o w , t h e g e o m e t r i c v i e w , t he g e o m e t r i c g uy t h a t c o rr e s p o n d s t o t h i s v e r s i o n o f w r i t i ng t h e e q u a t i o n, i s s o m e t h i ng c a l l e d a d i r e c t i o n f i e l d A n d , t h e s o l u t i o n i s , f r o m t he g e o m e t r i c p o i n t o f v i e w , s o m e t h i ng c a l l e d a n i n t e g r a l c u r v e S o , l e t m e e x p l a i n i f y o u d o n''''t k n o w w h a t t he d i r e c ti o n f i e l d i s I k n o w f o r s o m e o f y o u, I ''''m r e v i e w i ng w h a t y o u l e ar n e d i n h i g h s c h o o l T h o s e o f y o u w ho h a d t h e B C s yll a b u s i n h i g h s c h o o l s h o u l d k n o w t h es e t h i n g s B u t , i t n e v e r hu r t s t o g e t a li t t l e m o r e p r a c t i c e An d , i n a n y e v e n t , I t h i n k t h e c om p u t e r s t u f f t h a t y o u w i l l b e d o i ng o n t h e p r o b l e m s e t , a c e r t a i n a mo u nt o f i t s h o u l d b e n o v e l t o y o u Vì v ậy, tôi s ẽ sử dụng y1 với ngh ĩa l à, nó là m ột nghiệm của phương tr ình vi phân này T ất nhi ên, m ột ph ương tr ình vi phân có nhi ều nghi ệm ch ứa một hằng số t ùy ý Vì v ậy, chúng ta s ẽ g ọi đây l à nghi ệm Bâ y gi ờ, quan điểm h ình h ọc, đối t ư ợng h ình h ọc t ương ứng v ới phiên b ản n ày c ủa cách vi ết ph ương tr ình vi phân , đư ợc g ọi l à m ột trư ờng có hư ớng V à, t ừ quan điểm h ình h ọc, nghiệm đư ợc g ọi l à đư ờng cong tích phân Đ ể tôi giải thích n ếu bạn không biết trư ờng có h ư ớng l à gì Đ ối với một số bạn , có l ẽ l à tôi đang nh ắc l ại nh ữ ng gì mà b ạn đ ã h ọc ở tr ư ờng trung học Nh ững bạn đ ã h ọc ch ương tr ì nh h ọc BC ở trư ờng trung học chắc sẽ biết những cái n ày Tuy nhiên, không bao gi ờ l ãng phí n ếu bạn nh ận đ ư ợc một ít kiến thức thực tế h ơn Và, trong b ất cứ tr ư ờng hợp n ào , tôi ngh ĩ r ằng cá c phương pháp tính toán mà b ạn s ẽ th ực hiện tr ên x ấp b ài t ập , m ột lư ợng nhất định c ủa nó s ẽ mới lạ đối với bạn I t wa s n o v e l t o m e , s o w hy n o t t o y o u ? S o , w h a t ''''s a d i r e c t i o n f i e l d ? W e l l , t h e d i r e c t i o n f i e l d i s , y o u t a k e t h e p l a n e , a nd i n e a c h p o i nt o f t h e p l a n e - - o f c o u r s e , t h a t '''' s a n i m p o s s i b i li t y B u t , y o u p i c k s om e p o i n t s o f t h e p l a n e Y o u d r a w w h a t '''' s c a l l e d a l it tl e li n e e l e m e n t S o , t h e r e i s a p o i n t I t ''''s a l i t tl e li n e , a nd t h e o n l y t h i ng w h i c h d i s t i n g u i s h e s i t o u t s i d e o f i t s p o s i ti o n i n t h e p l a n e , s o h e r e '''' s t he p o i n t , ( x , y ) , a t w h i c h w e a r e d r a w i ng t h i s li n e e l e m e n t , i s i t s s l o p e An d , w h a t i s i t s s l o p e ? I t s s l o p e i s t o b e f ( x , y ) And n o w , Y o u f i l l up t he p l a n e w i t h t h e s e t h i n g s u n t i l y o u '''' r e ti re d o f p u t t i ng t h e n i n S o , I '''' m g o i ng t o g e t ti re d p r e t t y q u i c k l y Nó m ới đối với tôi, vậy tại sao không m ới đối với bạn? Vậy, trư ờng có h ư ớng l à gì? Vâng, trư ờng có h ư ớng là, b ạn chọn một mặt phẳng, v à t ại mỗi điểm của mặt phẳng - t ất nhi ên, đó là m ột đi ều không thể Nhưng, b ạn chọn một số điểm của mặt phẳng B ạn v ẽ m ột yếu t ố đ ư ờng nhỏ Vì v ậy, đó là m ột điểm Nó l à m ột đ ư ờng nhỏ, v à th ứ duy nhất phân biệt các y ếu tố đ ư ờng thẳng với nhau , vì v ậy đây l à đi ểm, (x, y), tại đó chúng ta v ẽ yếu tố đ ư ờng th ẳng n ày, là h ệ số góc của nó V à, h ệ số góc c ủa nó l à gì? H ệ số góc c ủa nó l à f (x, y) Và bây gi ờ, bạn lấp đầy mặt phẳng v ới những th ứ n ày cho đ ến khi bạn mệt mỏi Vì v ậy, tôi sẽ c ảm thấy mệt mỏi khá nhanh chóng S o , I d o n ''''t k n o w , l e t ''''s n o t m a k e t h e m a l l g o t h e s a m e wa y T h a t s o r t o f s ee m s c h e a t i n g H o w ab o ut h e r e ? H e r e '''' s a f e w r a n d o m l y c h o s e n l i n e e l e m e n t s t h a t I p u t i n, a nd I p u t t e d t he s l o p e s a t r a n d o m s i n c e I d i d n''''t h a v e a n y p a r t i c u l a r d i f fe r e n ti a l e q u a ti o n i n m i n d N o w , t h e i n t e g r a l c u r v e , s o t h o s e a r e t h e l i n e e l e m e n t s T h e i n t e g r a l c u r v e i s a c u r v e , w h i c h g o e s t h r o u g h t h e p l a n e , a nd a t e v e r y p o i n t i s t a n g e n t t o t h e l i n e e l e m e nt t h e r e Vì v ậy, tôi không biết, chúng ta không làm cho t ất cả chúng đi theo c ùng đư ờng Đ i ều đó ph ần n ào có v ẻ nh ư gian l ận C òn ở đây thì sao ? Đ ây là m ột v ài y ếu tố đư ờng thẳng đ ư ợc ch ọn ngẫu nhi ên mà tôi đ ặt v ào, và tôi đ ặt hệ số góc ngẫu nhi ên b ởi v ì tôi không có b ất cứ phương tr ình vi phân đ ặc bi ệt nào trong đ ầu Bây gi ờ, các đư ờng cong tích phân, đó là nh ững y ếu tố đ ư ờng thẳng Đư ờng cong tích phân l à đư ờng cong nằm trong m ặt phẳng , và t ại mỗi điểm l à ti ếp tuyến với yếu tố đ ư ờng thẳng tại đó S o , t h i s i s t h e i n t e g r a l c u r v e H e y , wa i t a m i n u t e , I t h o u g ht t a n g e n t s w e r e t h e l i n e e l e m e nt t h e r e d i d n ''''t e v e n t o u c h i t W e ll , I c a n '''' t f i l l up t h e p l a ne w it h l i n e e l e m e n t s H e r e , a t t h i s p o i n t , t h e r e w a s a l i ne e l e m e n t , w h i c h I d i d n '''' t b o t h e r d r a w i ng i n An d , i t wa s t a n g e n t t o t h a t S a m e t h i ng o v e r h e re : i f I dr e w t h e l i n e e l e m e nt h e r e , I w o u l d f i nd t h a t t h e c u r v e h a d e x a c t l y t h e r i g h t s l o p e t h e r e Vì v ậy, đây l à đư ờng cong tích phân N ày, ch ờ một chút , tôi ngh ĩ tiếp tuyến l à y ếu tố đư ờng thẳng ở đó th ậm chí không chạm nó Vâng, tôi không thể làm đ ầy toàn b ộ m ặt ph ẳng với các yếu tố đ ư ờng thẳng Ở đây, v ào th ời đi ểm n ày, đ ã có m ột yếu tố đư ờng thẳng mà tôi chưa v ẽ Và, nó ti ếp tuyến với cái đó Đi ểm trên đây tương t ự : n ếu tôi v ẽ các y ếu tố đ ư ờng thẳng ở đây, tôi sẽ th ấy rằng đư ờng cong có h ệ số góc đúng như ở đó S o , t h e p o i nt i s t h e i n t e g r a l , w h a t d i s t i n g u i s h e s t h e i n t e g r a l c u r v e i s t h a t e v e r y w h e r e i t h a s t h e d i r ec ti o n, t h a t '''' s t h e wa y I '''' l l i n d i c a t e t h a t it '''' s t a n g e n t , h a s t h e d i r e c ti o n o f t h e f i e l d e v e r y w h e r e a t a l l p o i n t s o n t h e c u r v e , o f c o u r s e , w h e r e i t d o e s n '''' t g o I t d o e s n '''' t h a v e a n y m i s s i o n t o f u l f il l N o w , I s a y t h a t t h i s i n t e g r a l c u r v e i s t h e g r a p h o f t h e s o l u t i o n t o t h e d i f fe r e n ti a l e q u a t i o n I n o t h e r w o r d s , w r it i ng d o w n a n a l y t i c a l l y t h e d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n i s t h e s a m e g e om e t r i c a l l y a s d r a w i ng t h i s d i r e c t i o n f i e l d , a nd s o lv i ng a n a l y ti c a l l y f o r a s o l u t i o n o f t h e d i f fe r e n t i a l e q u a t i o n i s t h e s a m e t h i ng a s g e o m e t r i c a l l y d r aw i ng a n i n t e g r a l c u r v e S o , w h a t a m I s a y i n g ? Vì v ậy, vấn đề ở đây l à , đi ểm phân bi ệt các đ ư ờng cong tích phân l à ở khắp mọi n ơi là nó có hư ớng , đó là cách mà tôi s ẽ chỉ ra rằng nó l à ti ếp tuyến , có hư ớng của trư ờng ở kh ắp mọ i nơi ở t ất cả các điểm tr ên đư ờng cong T ất nhi ên, nơi mà nó không đi qua Nó không có b ất kỳ nhi ệm vụ n ào đ ể ho àn thành Bây gi ờ, tôi nói rằng đ ư ờng cong tích phân n ày là đ ồ thị của nghiệm của phương tr ình vi phân Nói cách khác, vi ết ra dạng giải tích c ủa phương tr ình vi phân v ề mặt h ình h ọc sẽ t ương đương v ới việc vẽ trư ờng có h ư ớng n ày, và gi ải bằng ph ương pháp gi ải tích nghiệm của phương tr ình vi phân tương đương v ới v ẽ một đ ư ờng cong tích phân v ề mặt h ình h ọc V ậy, tôi đang nói g ì ? I s a y t h a t a n i n t e g r a l c u r v e , a l l r i g h t , l e t m e w r i t e i t t h i s wa y I '''' l l m a k e a l it tl e t h e o r e m o u t o f i t , t h a t y 1 ( x ) i s a s o l u t i o n t o t h e d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n i f , a nd o n l y i f , t h e g r ap h, t h e c u r v e a s s o c i a t e d w it h t h i s , t h e g r a p h o f y 1 o f x i s a n i n t e g r a l c u r v e I n t e g r a l c u r v e o f w h a t ? W e l l , o f t h e d i r e c t i o n f i e l d a s s o c i a t e d w i t h t h a t e q u a ti o n B u t t h e r e i s n ''''t q u it e e n o u g h r o o m t o w r i t e t h a t o n t h e b o a r d B u t , y o u c o u l d p ut i t i n y o u r n o t es , i f y o u t a k e n o t e s S o , t h i s i s t h e r e l a ti o n b e t w e e n t h e t w o , t h e i n t e g r a l c u r v e s o f t h e g r a p hs o r s o l u t i o n s Tôi nói r ằng một đư ờng cong tích phân, đúng rồi , hãy đ ể tôi viết nó theo cách này Tôi s ẽ t ạo ra m ột định lý nh ỏ v ề điều đó , đó là y1 (x) là m ột nghiệm của phươ ng trình vi phân n ếu, v à ch ỉ nếu , đ ồ thị, đư ờng cong gắn v ới nó, đồ th ị của y1 ( x ) là m ột đ ư ờng cong tích phân Đư ờng cong tích phân của cái g ì ? Vâng, c ủa trư ờng có hư ớng gắn với phương t rình đó Nhưng không có đ ủ chổ trống để viết điều đó trên b ảng Tuy nhiên, b ạn có thể vi ết v ào trong v ở của bạn , n ếu bạn ghi chép V ì v ậy, đ ây là m ối quan hệ giữa hai cái , các đư ờng cong tích phân c ủa đồ thị hoặc các nghiệm N o w , w hy i s t h a t s o ? W e ll , i n f a c t , a l l I h a v e t o d o t o p r o v e t h i s , i f y o u c a n c a l l i t a p r o o f a t a l l , i s s i m p l y t o t r a n s l a t e w h a t e a c h s i d e r e a l l y m e a n s W h a t d o e s i t r e a l l y m e a n t o s a y t h a t a g i v e n f u n c ti o n i s a s o l u t i o n t o t h e d i ff e r e n ti a l e q u a t i o n ? W e l l , i t m e a ns t h a t i f y o u p l ug i t i n t o t h e d i f f e r e n ti a l e q u a ti o n, i t s a t i s f i e s it Ok a y , w h a t i s t h a t ? S o , h o w d o I p l ug i t i n t o t h e d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n a nd c h ec k t h a t i t s a t i s f i e s i t ? Bây gi ờ, tại sao đi ều đó l ại nh ư v ậy? Vâng, tr ên th ực tế, tất cả nh ững g ì tôi ph ải l àm đ ể ch ứng minh đi ều n ày là , c ũng ch ưa h ẳn là m ột chứng minh , ch ỉ đ ơn gi ản l à đ ể di ễn giải xem m ỗi vế thực sự có nghĩa g ì M ột hàm cho trư ớc l à m ột nghiệm của phương tr ìn h vi phân có ý ngh ĩa g ì ? Vân g, nó có ngh ĩa l à n ếu bạn thế nó vào trong phương tr ình vi phân, nó th ỏa m ã n phương tr ình vi phân đó Đư ợc rồi, đó l à gì? Vì v ậy, l àm cách nào đ ể thế nó vào các phương tr ình vi phâ n và ki ểm tra xem nó thỏa m ãn ph ương tr ình vi ph ân ? W e l l , d o i ng i t i n t h e ab s t r a c t , I f i r s t c a l c u l a t e i t s d e r i v a t i v e A nd t h e n, h o w w i l l i t l o o k a f t e r I p l u g g e d i t i n t o t h e d i f fe r e n t i a l e q u a t i o n? W e l l , I d o n ''''t d o a n yt h i ng t o t h e x , b u t w h e r e v e r I s e e y , I p l ug i n t h i s p a r t i c u l a r f un c t i o n S o , i n n o t a t i o n, t h a t w o u l d b e w r i t t e n t h i s wa y S o , f o r t h i s t o b e a s o l u t i o n m e a ns t h i s , t h a t t h a t e q u a ti o n i s s a t i s f i e d Ok a y , w h a t d o e s i t m e a n f o r t h e g r ap h t o b e a n i n t e g r a l c u r v e ? W e l l , i t m e a ns t h a t a t e a c h p o i n t , t he s l o p e o f t h i s c u r v e , i t m e a n s t h a t t h e s l o p e o f y 1 o f x s h o u l d b e , a t e a c h p o i n t , ( x 1 , y 1 ) I t s h o u l d b e e q u a l t o t he s l o p e o f t h e d i r e c ti o n f i e l d a t t h a t p o i n t Vân g, v ề khía cạnh lí thuyết th ực hiện nó , đ ầu ti ên tôi tính đ ạo h àm c ủa nó Và sau đó, nó s ẽ trông nh ư th ế n ào sau khi tôi th ế nó vào t rong phương tr ình vi phân? Vâng, tôi không làm gì đ ối với x, nhưng b ất cứ n ơi nào tôi th ấy y, tôi th ế v ào hàm c ụ thể n ày Vì v ậy, theo quy ư ớc, n ó s ẽ đư ợc viết theo cách này Vì v ậy, khi cái này là nghi ệm theo nghĩa n ày , thì phương trình đó đư ợc thõa mãn Đư ợc rồi, đ ồ thị l à m ột đ ư ờng cong tích phân có nghĩa l à gì ? Vâng, nó có ngh ĩa l à t ại mỗi điểm, hệ số góc c ủa đ ư ờng cong n ày, nó có ngh ĩa l à h ệ số góc c ủa y1 ( x ) s ẽ l à , t ại mỗi điểm (x1, y1) Nó s ẽ bằng hệ số góc của tr ư ờng vô h ư ớng t ại đi ểm đó And t h e n , w h a t i s t h e s l o p e o f t h e d i r ec ti o n f i e l d a t t h a t p o i n t ? W e ll , i t i s f o f t h a t pa r t i c u l a r , w e l l , a t t h e p o i n t , ( x , y 1 ) I f y o u l ik e , y o u c a n p ut a s u b sc r i p t , o n e , o n t h e r e , s e nd a on e h e r e o r a z e r o t h e r e , t o i n d i c a t e t h a t y o u m e a n a par t i c u l a r p o i n t B u t , i t l o o k s b e t t e r i f y o u d o n'''' t B u t , t h e r e ''''s s om e p o ss i b i l i t y o f c o n f u s i o n I a d m i t t o t h a t S o , t h e s l o p e o f t h e d i r ec ti o n f i e l d , w h a t i s t h a t s l o p e ? W e ll , b y t h e wa y , I c a l c u l a t e d t h e d i r e c t i o n f i e l d I t s s l o p e a t t he p o i nt wa s t o b e x , w h a t e v e r t h e v a l u e o f x w a s , a nd w h a t e v e r t h e v a l u e o f y 1 ( x ) w a s , s u b s t it u t e d i n t o t h e r i g h t - h a nd s i d e o f t h e e q u a t i o n S o , w h a t t h e s l o p e o f t h i s f u n c ti o n o f t h a t c u r v e o f t h e g r a p h s h o u l d b e e q u a l t o t h e s l o p e o f t h e d i r e c t i o n f i e l d N o w , w h a t d o e s t h i s s a y ? Và r ồi , h ệ số g óc c ủa tr ư ờng có h ư ớng tại đi ểm đó là gì? Vâng, nó là giá tr ị của h àm f t ại đi ểm đó, vâng , t ại điểm , (x, y1) N ếu bạn thí ch, b ạn có thể đặt một chỉ số d ư ới , m ột, ở đó , đ ể m ột ở đây ho ặc không ở đó , đ ể cho biết rằng bạn mu ốn nói đến một điểm cụ thể Tuy n hiên, s ẽ tốt h ơn n ếu bạn không làm như v ậy Nh ưng , có m ột số khả năng gây nhầm lẫn Tôi th ừa nh ận điều đó V ì v ậy, h ệ số góc của tr ư ờng có h ư ớng , h ệ số góc đó bằng bao nhiêu ? Vâng, ti ện thể , tôi đ ã tính toán trư ờng có hư ớng H ệ số góc của nó tại điểm x, b ấ t k ể giá tr ị c ủa x bằng bao nhi êu , và b ất kể giá trị của y1 (x) b ằng bao nhi êu , đư ợc th ế v ào v ế ph ải c ủa ph ương tr ình Vì v ậy, h ệ số góc của h àm này c ủa đ ư ờng cong đó c ủa đồ thị s ẽ b ằng hệ số góc của tr ư ờng có h ư ớng Bây gi ờ, điều n ày nói lên cái gì? W e l l , w h a t ''''s t h e s l o p e o f y 1 ( x ) ? T h a t '''' s y 1'''' ( x ) T h a t '''' s f r o m t h e f i r s t d a y o f 1 8 01, c a l c u l u s W h a t ''''s t h e s l o p e o f t h e d i r e c t i o n f i e l d ? T h i s ? W e l l , it '''' s t h i s An d , t h a t '''' s w i t h t h e r i g ht h a nd s i d e S o , s a y i ng t h e s e t w o g u y s a r e t h e s a m e o r e q u a l , i s e x a c t l y , a n a l y t i c a ll y , t h e s a m e a s s a y i ng t h es e t w o g u y s ar e e q u a l S o , i n o t h e r w o r d s , t h e p r o o f c o n s i s t s o f , w h a t d o e s t h i s re a l l y m e a n ? W h a t d o e s t h i s r e a ll y m e a n ? And a f t e r y o u s e e w h a t b o t h r e a l l y m e a n, y o u s a y , y e a h , t h e y '''' r e t h e s a m e Vâng, h ệ số góc c ủa y1 (x) b ằng bao nhi êu ? Đó là y1 ''''(x) Đi ều n ày các b ạn đ ã h ọc trong bu ổi đầu của 18,01, giải tích H ệ số góc của tr ư ờng có h ư ớng bằng bao nhi êu? Cái n ày à ? Vâng, nó là cái này Và, đó là v ới v ế b ên ph ải V ì v ậy, nói rằng hai thằng n ày gi ống nhau ho ặc t ương đương nhau , thì chính xác, v ề mặt giải tích , gi ống nh ư nói r ằng hai th ằng n ày b ằng nhau Vì v ậy, nói cách khác, ch ứng minh g ồm có, cái này th ực sự có ý nghĩa g ì ? Cái này th ực sự có nghĩa g ì? Và sau khi b ạn hi ểu đ ư ợc nó thật sự có ý nghĩ a gì , b ạn nói, yeah, chúng gi ống nhau S o , I d o n ''''t h o w t o w r i t e t h a t I t ''''s o k a y : s a m e , s a m e , h o w '''' s t h a t ? T h i s i s t h e s a m e a s t h a t Ok a y , w e l l , t h i s l e a v e s us t he i n t e r e s t i ng q u e s t i o n o f h o w d o y o u d r a w a d i r e c t i o n f r o m t h e , w e l l , t h i s b e i ng 2 0 0 3 , m o s t l y c o m p u t e r s d r a w t h e m f o r y o u N o n e t h e l es s , y o u d o h a v e t o k n o w a c e r t a i n a m o un t I '''' v e g iv e n y o u a c o u p l e o f e x e r c i s e s w h e r e y o u h a v e t o d r a w t he d i r e c t i o n f i e l d y o u r s e l f T h i s i s s o y o u g e t a f ee l i ng f o r it , a nd a l s o b e c a u s e hu m a n s d o n''''t d ra w d i r e c t i o n f i e l d s t h e s a m e w a y c o m p u t e r s d o S o , l e t ''''s f i r s t o f a ll , h o w d i d c o m p u t e r s d o i t ? T h e y a r e v e r y s t u p i d T h e r e ''''s n o p r o b l e m Vì v ậy, tôi không bi ết cách viết nó Nó ổn : gi ống nhau , gi ống nhau, l àm sao th ế nhỉ ? Cái này tương t ự nh ư cái đó Đư ợc rồi, tốt, cái này đ ể lại cho chúng ta m ột câu h ỏi thú vị v ề cách mà b ạn vẽ một tr ư ờng có h ư ớng từ , vâng , đây là năm 2003, ch ủ yếu l à máy tính v ẽ chúng cho b ạn Tuy nhi ên, b ạn phải biết m ột l ư ợng nh ất định Tôi đ ã đưa cho b ạn một v ài bài t ập, trong đó bạn phải tự vẽ các tr ư ờng có h ư ớng Đi ều n ày g iúp b ạn có đ ư ợc một cảm giác v ề nó, và c ũng bởi v ì con ng ư ời không v ẽ tr ư ờng có h ư ớng giống nh ư cách máy tính làm Vì v ậy, trư ớc hết chúng ta h ãy xét, máy tính đ ã làm đi ều đó như th ế n ào ? Chúng r ất ng ớ ngẩn Không có v ấn đề g ì S i n c e t h e y g o v e r y f a s t a nd h a v e u n l i m i t e d a m o un t s o f e n e r g y t o wa s t e , t h e c o m p u t e r m e t h o d i s t h e n a iv e o n e Y o u p i c k t h e p o i n t Y o u p i c k a p o i n t , a nd g e n e r a l ly , t h e y a r e u s u a l l y e q u a ll y s p a ce d Y o u d e t e r m i n e s o m e s p a c i n g , t h a t o n e : b l a h, b l a h, b l a h, b l a h , b l a h, b l a h, b l a h, e q u a l l y s pa ce d An d , a t e a c h p o i n t , i t c o m p u t e s f ( x , y ) a t t he p o i n t , f i n d s , m ee t s , a nd c o m p u t e s t h e v a l u e o f f o f ( x , y ) , t h a t f u n c t i o n , a nd t h e n e x t t h i ng i s , o n t he s c r ee n, i t d r a w s , a t ( x , y ) , t he li t t l e l i n e e l e m e nt h a v i ng s l o p e f ( x , y ) I n o t h e r w o r d s , i t d o e s w h a t t h e d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n t e l l s i t t o d o B ởi v ì chúng ho ạt động với tốc độ rất nhanh v à không h ạn chế về l ư ợng năng l ư ợng sử d ụng, ph ương pháp máy tính là m ột ph ư ơng pháp ngây thơ B ạn chọn đi ểm Bạn chọn m ột điểm, v à nói chung, chúng thư ờng cách đều nhau Bạn xác định khoảng cách n ào đó, cái đó: blah, blah, blah, blah, blah, blah, blah, cách đ ều nhau Và, ở mỗi điểm, nó tính giá tr ị của f (x, y) t ại điểm n ày, tìm, g ặp, v à tính giá tr ị của f (x, y), h àm đó, và đi ều tiếp theo l à, trên màn hình, nó v ẽ, tại(x, y),yếu tố đ ư ờng thẳng nhỏ có hệ số góc f (x, y) Nói cách khác, nó làm nh ững g ì mà các ph ương tr ình vi phân b ảo nó l àm And t h e o n l y t h i ng t h a t i t d o e s i s y o u c a n, i f y o u ar e t e ll i ng t h e t h i ng t o d r a w t h e d i r e c t i o n f i e l d , ab o ut t h e o n l y o p t i o n y o u h a v e i s t e l l i ng w h a t t h e s pa c i ng s h o u l d b e , a nd s o m e t i m e s p e o p l e d o n ''''t l ik e t o s e e a w h o l e li n e T h e y o n l y l ik e t o se e a l i tt l e b i t o f a h a l f l i n e An d , y o u c a n s om e t i m e s t e l l , a c c o r d i ng t o t h e pr o g r a m , t e l l t h e c o m p u t e r h o w l o ng y o u wa nt t h a t l i n e t o b e , i f y o u w a nt i t t e e ny o r a l i t t l e b i g g e r O n c e i n aw h i l e y o u wa nt y o u wa n t i t n a r r o w e r o n i t , b ut n o t r i g h t n o w Và th ứ duy nhất m à nó làm là b ạn có thể, nếu bạn đang nói thứ để vẽ tr ư ờng có hư ớng, t ùy ch ọn duy nhất m à b ạn có l à cho bi ết khoảng cách sẽ bằng bao nhi êu, và th ỉnh thoảng ng ư ời ta không thích thấy to àn b ộ m ột đư ờng thẳng Họ chỉ thích thấy m ột ít của nửa đư ờn g th ẳng V à th ỉnh tho ảng bạn có thể nói, theo ch ương tr ình, nói cho máy tính bi ết bạn muốn đ ư ờng thẳng đó d ài bao nhiêu, b ạn muốn nó nhỏ hay lớn hơn m ột chút Thỉnh thoảng bạn mu ốn bạn muốn nó hẹp h ơn , nhưng không ph ải ngay bây gi ờ Ok a y , t h a t '''' s w h a t a c om p u t e r d o e s W h a t d o e s a h u m a n d o ? T h i s i s w h a t i t m e a n s t o b e h u m a n Y o u u s e y o ur i n t e l li g e n c e F r o m a h u m a n p o i nt o f v i e w , t h i s s t u f f h a s b e e n d o n e i n t h e w r o ng o r d e r A nd t h e r e a s o n i t ''''s b e e n d on e i n t h e w r o ng o r d e r : b ec a u s e f o r e a c h n e w p o i n t , i t r e q u i r e s a r e c a l c u l a t i o n o f f ( x , y ) T h a t i s h o r r i b l e T h e c o m p u t e r d o e s n''''t m i n d , b u t a h u m a n d o e s S o , f o r a h u m a n, t he w a y t o d o i t i s n o t t o b e g i n b y p i c ki ng t h e p o i n t , b ut t o b e g i n b y p i c k i ng t he s l o p e t h a t y o u w o u l d l ik e t o s ee S o , y o u b e g i n b y t a k i ng t h e s l o p e L e t '''' s c a l l i t t h e v a l u e o f t he s l o p e , C S o , y o u p i c k a n u m b e r C i s t w o I wa n t t o s e e w h e r e a r e a l l t h e p o i n t s i n t h e p l a n e w h e r e t h e s l o p e o f t h a t l i n e e l e m e nt w o u l d b e t w o ? W e ll , t h e y w i l l s a t i s f y a n e q u a t i o n Đư ợc rồi, đó l à nh ững g ì m à má y tính làm Còn con ngư ời l àm như th ế n ào? Th ế mới l à con ngư ời B ạn sử dụng trí thông minh của bạn Từ quan điểm con ng ư ời, cái n ày đ ã đư ợc thực hi ện theo thứ tự sai V à lý do nó đư ợc thực hiện theo thứ tự sai: v ì đ ối với mỗi điểm mới, c ần phải tính toán l ại f (x, y) Điều đó thật kinh khủng Các máy tính không bận tâm, nhưng m ột con ng ư ời th ì khác Vì v ậy, đối với một con ng ư ời, cách để l àm đi ều đó không ph ải bắt đầu bằng cách chọn các điểm, m à b ắt đầu bằng các h ch ọn hệ số góc m à b ạn mu ốn thấy Vì v ậy, bạ n b ắt đầu bằng cách chọn hệ s ố góc Chúng ta h ãy g ọi giá trị của hệ s ố góc l à C Vì v ậy, bạn chọn một số C bằng hai Tôi mu ốn biết tất cả các điểm trong mặt ph ẳng m à ở đó hệ số góc của yếu tố đ ư ờng thẳng bằng 2 nằm ở đâu? Vâng, chúng sẽ th õa mãn m ột ph ươn g trình T h e e q u a t i o n i s f ( x , y ) = C , i n g e n e r a l S o , w h a t y o u d o i s p l o t t h i s , p l o t t he e q u a ti o n, p l o t t h i s e q u a t i o n N o t i c e , it '''' s n o t t h e d i f fe r e n ti a l e q u a t i o n Y o u c a n '''' t e x a c t l y p l o t a d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n I t '''' s a c u r v e , a n o r d i n a r y c u r v e B ut w h i c h c u r v e w i l l d e p e n d ; it '''' s , i n f a c t , f r o m t h e 1 8 0 2 p o i n t o f v i e w , t h e l e v e l c u r v e o f C , s o r r y , i t '''' s a l e v e l c u r v e o f f o f ( x , y ) , t h e f un c t i o n f o f x a nd y c o r r e s p on d i ng t o t h e l e v e l o f v a l u e C Nói chung,phương tr ình là f (x, y) = C Vì v ậy, những g ì b ạn l àm là v ẽ đồ thị cái n ày, v ẽ đồ th ị ph ương tr ình, v ẽ đồ thị ph ương tr ình này Chú ý, nó không ph ải l à phương tr ình vi phân B ạn không thể vẽ chính xác đồ thị ph ương tr ình vi phân Đó là m ột đ ư ờng cong, m ột đư ờng cong b ì nh thư ờng Nh ưng đư ờng cong s ẽ phụ thuộc vào cái gì ; trên th ực tế, nó xu ất phát t ừ quan điểm của 18 02, đ ư ờng mức C, xin lỗi, nó là m ột đ ư ờng mức của f(x, y), h àm f c ủa x v à y tương ứng với mức giá tr ị C B ut w e ar e n o t g o i ng t o c a l l i t t h a t b e c a u s e t h i s i s n o t 18 02 I n s t e ad , w e '''' r e g o i ng t o c a l l i t a n i s o c l i n e A nd t h e n, y o u p l o t , w e l l , y o u'''' v e d o n e i t S o , y o u '''' v e g o t t h i s i s o c li n e , e x c e p t I ''''m g o i ng t o u s e a s o l u t i o n c u r v e , s o li d li n e s , o n l y f o r i n t e g r a l c u r v es W h e n w e d o p l o t i s o c l i n e s , t o i n d i c a t e t h a t t h e y ar e n o t s o l u t i o n s , w e '''' l l u s e d a s h e d li n e s f o r d o i ng t h e m O n e o f t h e c om p u t e r t h i n g s d o e s a nd t he o t h e r o n e d o es n'''' t B ut t h e y u s e d i ffe r e nt c o l o r s , a l s o T h e r e a r e d i f fe r e nt wa y s o f t e l l i ng y o u w h a t ''''s a n i s o c li n e a nd w h a t '''' s t h e s o l u ti o n c u r v e S o , a nd w h a t d o y o u d o ? S o , t h es e a r e a l l t h e p o i n t s w h e r e t h e s l o p e i s g o i ng t o b e C Nhưng chúng tôi s ẽ không gọi nó nh ư th ế bởi v ì đây không ph ải l à 18 02 Thay vào đó, chúng ta s ẽ gọi nó l à m ột đ ư ờng đẳng t à Và sau đó , b ạn vẽ, vâng, bạ n hoàn thành nó Vì v ậy, bạn đ ã có đư ờng đẳng t à này, ngo ại trừ tôi sẽ sử dụng một đ ư ờng cong nghiệm, các đư ờng liền nét, chỉ cho các đ ư ờng cong tích phân Khi chúng ta vẽ các đ ư ờng đẳng t à, đ ể chỉ ra rằng chúng không phải l à nghi ệm, chúng ta sẽ sử dụng cá c đư ờng nét đứt để v ẽ chúng M ột trong hai cái máy tính làm đư ợc c òn cái còn l ại th ì không Nh ưng chúng c ũng s ử dụng những m àu s ắc khác nhau Có nhiều cách khác nhau để nói cho bạn biết đ ư ờng đ ẳng t à là gì và đư ờng cong nghiệm l à gì À , và b ạn l àm gì? Vì v ậy, đây l à t ất cả những đi ểm có hệ số góc bằng C And n o w , w h a t y o u d o i s d r a w i n a s m a n y a s y o u wa n t o f li n e e l e m e n t s h a v i ng s l o p e C N o t i c e h o w e f f i c i e nt t h a t i s I f y o u w a nt 5 0 m i ll i o n o f t h e m a nd h a v e t h e t i m e , d r a w i n 5 0 m il l i o n I f t w o o r t h r e e a r e e n o u g h , d r a w i n t w o o r t h r ee Y o u w il l b e l o o ki ng a t t h e p i c t u r e Y o u w i l l se e w h a t t h e c u r v e l o o k s l i k e , a nd t h a t w il l g i v e y o u y o u r j u d g m e nt a s t o h o w y o u a r e t o d o t h a t S o , i n g e n e r a l , a p i c t u r e d r aw n t h a t wa y , s o l e t '''' s s a y , a n i s o c l i n e c o rr e s p o n d i ng t o C e q u a l s z e r o Và bây gi ờ, những g ì b ạn l àm là v ẽ thậ t nhi ều nh ư b ạn muốn các yếu tố đư ờng có độ dốc C Chú ý đ ến tính hiệu quả Nếu bạn muốn 50 triệu đ ư ờng v à có th ời gian, h ãy v ẽ 50 tri ệu Nếu hai hoặc ba l à đ ủ, h ãy v ẽ hai hoặc ba Bạn sẽ nh ìn vào ảnh Bạn sẽ thấy đ ư ờn g cong trông như th ế n ào, và nó s ẽ cho bạn sự suy xét về cách thức để bạn l àm đi ều đó V ì v ậy, nói chung, một bức tranh đ ư ợc vẽ theo cách đó, v ì v ậy, giả sử rằng, một đ ư ờng đ ẳng t à tương ứng với C bằng không T h e l i n e e l e m e n t s , a nd I t h i nk f o r a n i s o c l i n e , f o r t h e p u r p o s e s o f t h i s l e c t u r e , i t w o u l d b e a g oo d i d e a t o p ut i s o c l i n e s O k a y , s o I ''''m g o i ng t o p ut s o l u t i o n c u r v e s i n p i n k , o r w h a t e v e r t h i s c o l o r i s , a nd i s o c li n e s ar e g o i ng t o b e i n o r a n g e , I g u es s S o , i s o c li n e , r e pr es e n t e d b y a da s h e d li n e , a nd n o w y o u w i l l p u t i n t he l i n e e l e m e n t s o f , w e '''' l l n e e d l o t s o f c h a l k f o r t h a t S o , I '''' l l u s e w h i t e c h a l k Các y ếu tố đ ư ờng, v à tôi ngh ĩ đối với một đ ư ờng đẳng t à, đ ối với mục đích của b ài gi ảng n ày, nó s ẽ l à m ột ý t ư ởng tốt để đặt các đ ư ờng đẳng t à Đư ợc rồi, do đó, tôi sẽ tô các đư ờng cong nghiệm m àu h ồng, hoặc bất cứ m àu s ắc n ào , và các đư ờng đẳng t à có màu da cam, tôi đoán v ậy V ì v ậy, các đ ư ờng đẳng t à, đư ợc biểu diễn bằng các đ ư ờng nét đ ứt, và bây gi ờ bạn sẽ đặt các y ếu tố đ ư ờng vào , chúng ta s ẽ cần rất nhiều phấn cho đi ều đó V ì v ậy, tôi sẽ sử dụng phấn trắng Y h o r i z o n t a l ? B e c a u s e a c c o r d i ng t o t h i s t h e s l o p e i s s u p p o s e d t o b e z e r o t h e r e A nd a t t h e s a m e w a y , h o w ab o ut a n i s o c l i n e w h e r e t he s l o p e i s n e ga t iv e o n e ? L e t '''' s s u pp o s e h e r e C i s e q u a l t o n e g a t i v e on e O k a y , t h e n i t w il l l o o k l ik e t h i s T h es e a r e s u pp o s e d t o b e li n e s o f s l o p e n e g a t i v e on e D o n '''' t s h o o t m e i f t h e y a r e n o t S o , t h a t '''' s t h e p r i n c i p l e S o , t h i s i s h o w y o u w i l l f i l l up t he p l a n e t o d r a w a d i r e c t i o n f i e l d : b y p l o t ti ng t he i s o c li n e s f i r s t Y ngang? B ởi v ì theo đây h ệ số góc đ ư ợc cho l à b ằ ng 0 ở đó V à tương t ự , các đư ờng đẳng tà mà h ệ số góc của nó bằng trừ 1 th ì sao? Hãy gi ả sử ở đây C bằng trừ 1 Đ ư ợc rồi, sau đó nó s ẽ trông nh ư th ế n ày Đây là nh ững đ ư ờng đ ư ợc giả sử l à có h ệ số góc bằng tr ừ 1 Đừng b ắn tôi, nếu chúng không phải V ì v ậy, đó l à nguyên t ắc V ì v ậy, đây l à cách b ạn sẽ l àm đ ầy m ặt phẳng để vẽ tr ư ờng có h ư ớng: bằng cách đầu ti ên v ẽ các đ ư ờng đẳng t à And t h e n , on c e y o u h a v e t h e i s o c l i n e s t h e r e , y o u w il l h a v e l i n e e l e m e n t s A nd y o u c a n d r a w a d i r e c t i o n f i e l d Ok a y , s o , f o r t he n e x t f e w m i n u t e s , I ''''d l ik e t o w o r k a c o u p l e o f e x a m p l e s f o r y o u t o s h o w h o w t h i s w o r k s o u t i n p r a c t i c e S o , t h e f i r s t e q u a ti o n i s g o i ng t o b e y '''' = - x / y Ok a y , f i r s t t h i n g , w h a t a r e t h e i s o c l i n e s ? W e l l , t h e i s o c li n e s ar e g o i ng t o b e y Và sau đó, m ột khi bạn có đ ư ờng đẳng t à ở đó, bạn sẽ có các yếu tố đ ư ờng V à b ạn có thể v ẽ một tr ư ờng có h ư ớng Đ ư ợc rồi, v ì v ậy, trong v ài phút sau, tôi mu ốn xét một v ài ví d ụ để cho các b ạn thấy điều n ày đư ợc tiến h ành trong th ực tế nh ư th ế nào Vì v ậy, phương tr ình đ ầu ti ên s ẽ l à y ''''= - x / y Đư ợc rồi, điều đầu ti ên, các đư ờng đẳng t à là gì? Vâng, các đư ờng đ ẳng t à s ẽ l à y … W e l l , - x / y = C M a y b e I b e t t e r m a k e t w o s t e p s o u t o f t h i s M i n u s x o v e r y i s e q u a l t o C B u t , o f c o u r s e , n o b o d y d r a w s a c u r v e i n t h a t f o r m Y o u '''' l l w a nt i t i n t h e f o r m y = - 1 / C * x S o , t h e r e ''''s o ur i s o c li n e W hy d o n ''''t I p ut t h a t up i n o r a n g e s i n c e it '''' s g o i ng t o b e , t h a t '''' s t h e c o l o r I '''' l l d r a w i t i n I n o t h e r w o r d s , f o r d i ff e r e nt v a l u e s o f C , n o w t h i s t h i ng i s a l i g n e d I t '''' s a li g n e d , i n f a c t , t h r o u g h t h e o r i g i n T h i s l o o k s pr e tt y s i m p l e O k a y , s o h e r e '''' s o u r p l a n e T h e i s o c l i n e s ar e g o i ng t o b e l i n e s t h r o u g h t h e o r i g i n And n o w , l e t '''' s p ut t h e m i n, s u pp o s e , f o r e x a m p l e , C i s e q u a l t o on e Vâng, - x / y = C Có l ẽ tốt h ơn là tôi nên làm riêng hai bư ớc ra ng oài đây Tr ừ x tr ên y b ằng C Nh ưng, t ất nhi ên, không ai v ẽ một đ ư ờng cong d ư ới dạng đó Bạn sẽ muốn nó có d ạng y= ( - 1 / C ) * x Vì v ậy, đó l à đư ờng đẳng t à c ủa chúng ta Tại sao tôi không t ô nó màu da cam vì nó s ẽ l à, đó là màu mà tôi đ ã v ẽ nó Nói cách khác, đối với các giá trị khác nhau c ủa C, bây giờ cái n ày đư ợc sắp h àng Nó đư ợc sắp h àng, trên th ực tế, qua g ốc tọa độ Điều n ày có v ẻ khá đ ơn gi ản Đ ư ợc rồi, do đó, đây l à m ặt phẳng của ch úng ta Các đư ờng đẳng t à s ẽ l à các đư ờng đi qua gốc tọa độ V à bây gi ờ, chúng ta h ãy đ ặt chúng vào trong, gi ả sử, ví dụ, C bằng một W e l l , i f C i s e q u a l t o o n e , t h e n it '''' s t he l i n e , y e q u a l s m i nu s x S o , t h i s i s t h e i s o c l i n e I '''' l l p u t , d o w n h e r e , C e q u a l s m i n u s o n e A n d , a l o ng it , n o , s om e t h i n g '''' s w r o n g I ''''m s o r r y ? C i s on e , n o t n e g a t iv e on e , r i g h t , t h a n k s T h a n k s S o , C e q u a l s o n e S o , i t s h o u l d b e li t t l e l i n e s e g m e n t s o f s l o p e o n e w i l l b e t h e l i n e e l e m e n t s , t h i n g s o f s l o p e o n e O K , n o w h o w ab o u t C e q u a l s n e ga ti v e o n e ? Vâng, n ếu C bằng một, do đó nó l à đư ờng, y bằng trừ x V ì v ậy, đây l à đư ờng đẳng t à Tôi s ẽ đặt, d ư ới đây, C bằng trừ một V à, d ọc theo nó, không, có cái g ì đó không ổn Tôi xin l ỗi? C l à m ột, không phải trừ một, đúng không, cám ơn C ảm ơn V ì v ậy, C bằng m ột V ì v ậy, có lẽ n ên là nh ững đo ạn nhỏ với hệ số góc bằng 1 sẽ l à nh ững yếu tố đ ư ờng, những cái có h ệ số góc bằng một Vâng, c òn C b ằng trừ một th ì sao? I f C e q u a l s n e ga t i v e o n e , t h e n i t ''''s t he li n e , y = x And s o , t h a t '''' s t h e i s o c l i n e N o t i c e , s t il l d a s h b ec a u s e t h es e ar e i s o c l i n e s H e r e , C i s n e g a t i v e on e And s o , t h e s l o p e e l e m e n t s l o o k l i k e t h i s N o ti c e , t h e y a r e p e r p e n d i c u l a r N o w , n o t i c e t h a t t h e y a r e a l wa y s g o i ng t o b e p e r p e n d i c u l a r t o t h e l i n e b ec a u s e t h e s l o p e o f t h i s l i n e i s m i n u s o ne o v e r C B u t , t h e s l o p e o f t h e li n e e l e m e nt i s g o i ng t o b e C T h o s e n u m b e rs , m i n us o ne o v e r C a nd C , a r e n e g a t iv e r e c i p r o c a l s An d , y o u k n o w t h a t t w o l i n e s w h o s e s l o p e s a r e n e ga t i v e r ec i pr o c a l s a r e p e r p e n d i c u l a r S o , t h e l i n e e l e m e n t s a r e g o i ng t o b e p e r p e n d i c u l a r t o t h es e A nd t h e r e f o r e , I h a r d l y e v e n h a v e t o b o t h e r c a l c u l a t i n g , d o i ng a ny mo r e c a l c u l a t i o n H e r e '''' s g o i ng t o b e a , w e ll , h o w ab o ut t h i s o n e ? N ếu C bằng trừ một, th ì đó là đư ờng, y = x V à như v ậy, đó l à đư ờng đẳng t à Chú ý, v ẫn c òn các đư ờng nét đứt v ì đây là nh ững đ ư ờng đẳng t à Ở đây, C bằng trừ 1 V à như v ậy, các yếu tố hệ số góc trông giống nh ư th ế n ày Chú ý, chúng vuông góc Bây gi ờ, chú ý r ằng chúng sẽ luôn vuông góc với đ ư ờng đ ẳng t à vì h ệ số góc của đ ư ờng n ày là tr ừ m ột tr ên C Nhưng h ệ số góc của y ếu tố đ ư ờng thẳng là C Nh ững con số n ày, tr ừ một trên C và C, nhân nhau b ằng trừ 1 V à, b ạn biết rằng hai đ ư ờng m à h ệ số góc của chúng nhân nhau b ằng trừ 1 vuông góc nhau V ì v ậy, các yếu tố đ ư ờng sẽ vuông góc với những cái này Và do đó, tôi th ậm chí hầ u như không ph ải bận tâm tính toán, l àm thêm b ất cứ tính toán nào n ữa Đây sẽ l à m ột, vâng, c òn cái này thì sao? H e r e '''' s a c o n t r o v e r s i a l i s o c l i n e I s t h a t a n i s o c li n e ? W e ll , wa i t a m i n u t e T h a t d o e s n '''' t c o r r e s p o nd t o a n yt h i ng l oo k i ng l i k e t h i s Ah - h a , b ut i t w o u l d i f I p ut C m u l t i p l i e d t h r o u g h b y C And t h e n, i t w o u l d c o r r e s p o nd t o C b e i ng z e r o I n o t h e r w o r d s , d o n''''t w r it e i t l i k e t h i s M u l ti p l y t h r o u g h b y C I t w i l l r e a d C y = - x And t h e n, w h e n C i s z e r o , I h a v e x e q u a l s z e r o , w h i c h i s e x a c t l y t he y - a x i s Dư ới đây là m ột đ ư ờng đẳng t à tinh t ế Đó l à m ột đư ờng đẳng t à ph ải không ? Vâng, ch ờ m ột chút Nó có v ẻ không li ên quan gì t ới biểu thức n ày Ah - ha, nhưng tôi s ẽ chỉ ra chúng tương đương b ằng cách nhân hai vế với C Và b ạn sẽ thấy, nó tương ứng với C bằng không Nói cách khác, không vi ết nó nh ư th ế n ày Nhân hai v ế với C Nó tương đương C y = - x Và sau đó, khi C b ằng không, tôi có x bằng không, nó chính là tr ục y S o , t h a t r e a ll y i s i n c l u d e d Ho w ab o ut t he x - a x i s ? W e ll , t h e x - a x i s i s n o t i n c l u d e d Ho w e v e r , m o s t p e o p l e i n c l u d e i t a n y w a y T h i s i s v e r y c o m m o n t o b e a s o r t o f s l o pp y a nd b e n d i ng t h e e dg e s o f c o r n e r s a l i t t l e b it , a n d h o p i ng n o b o d y w i l l n o t i c e W e '''' l l s a y t h a t c o r r e s p o n d s t o C e q u a l s i n f i n i t y I h o p e n o b o d y wa n t s t o f i g ht ab o u t t h a t I f y o u d o , g o f i g h t w i t h s om e b o d y e l s e S o , i f C i s i n f i n i ty , t h a t m e a n s t he l i t t l e l i n e s e g m e nt s h o u l d h a v e i n f i n i t e s l o p e , a nd b y c o mm o n c o n s e n t , t h a t m e a n s i t s h o u l d b e v e r t i c a l And s o , w e c a n e v e n c o u nt t h i s a s s o r t o f a n i s o c l i n e An d , I '''' l l m a k e t h e d a s h e s s m a l l e r , i n d i c a t e i t h a s a l o w e r s t a t u s t h a n t h e o t h e r s A n d , I '''' l l p ut t h i s i n , d o t h i s w e a s e l l y t h i ng o f p u t ti ng i t i n q u o t a t i o n m ar k s t o i n d i c a t e t h a t I '''' m n o t r es p o n s i b l e f o r it Vì v ậy, nó đúng là m ột đ ư ờng đẳng t à Còn tr ục x thì sao ? Vâng, tr ục x không ph ải l à đư ờng đ ẳng t à Tuy nhiên, dù sao đi n ữa h ầu hết mọi ng ư ời đ ều tính đến nó Đi ều n ày thông thư ờng phần n ào lu ộm thuộm và u ốn các c ạnh của các góc m ột ít, v à hy v ọng không ai sẽ chú ý Nó tương ứng với C bằng vô c ùng Tôi hy v ọng không ai muốn tranh lu ận v ề điều đó N ếu muốn , hãy tranh lu ận v ới ng ư ời khác V ì v ậy, nếu C bằng vô c ùng , có ngh ĩa l à các đo ạn nh ỏ sẽ có h ệ số góc bằng vô cùng , và theo như s ự đồng ý phổ biến , có ngh ĩa l à nó s ẽ nằm d ọc Và như v ậy, chúng tôi thậm chí có thể tính cái này như l à m ột loại đ ư ờng đẳng t à Và, tôi s ẽ l àm cho các d ấu gạch ngang nh ỏ h ơn, ch ỉ ra nó có một t ình tr ạng thấp h ơn nh ững cái khác Và , tôi s ẽ đặt cái n ày vào trong d ấu ngoặc kép để cho biết rằng tôi không xét nó Ok a y , n o w , w e n o w h a v e t o p ut i t t h e i n t e g r a l c u r v es W e ll , n o t h i ng c o u l d b e e a s i e r I ''''m l o o ki ng f o r c u r v e s w h i c h ar e e v e r y w h e r e p e rp e n d i c u l a r t o t h es e r a y s W e l l , y o u k n o w f r o m g e o m e t r y t h a t t h o s e a r e c i r c l e s S o , t h e i n t e g r a l c u r v e s a r e c i r c l e s An d , it '''' s a n e l e m e n t ar y e x e r c i s e , w h i c h I w o u l d n o t d e p r i v e y o u o f t h e p l e a s u r e o f S o lv e t h e O D E b y s e p a r a t i o n o f v a r i a b l es I n o t h e r w o rd s , w e '''' v e g o tt e n t h e , s o t h e c i r c l e s ar e o n e s w it h a ce n t e r a t t h e o r i g i n, o f c o u r s e , e q u a l s om e c o n s t a n t I '''' l l c a l l i t C 1, s o it '''' s n o t c o n f u s e d w i t h t h i s C T h e y l o o k l ik e t h a t , a nd n o w y o u s h o u l d s o lv e t h i s b y s e pa r a t i ng v a r i ab l e s , a nd j u s t c o n f i r m t h a t t h e s o l u t i o ns a r e , i n f a c t , t h o s e c i r c l e s Đư ợc rồi, bây giờ, chúng ta ph ải đặt nó v ào đư ờng cong tích phân Vâng, không có gì d ễ dàng hơn Tôi đang tìm đư ờng cong vuông g óc v ới các tia này ở m ọi n ơi Vâng, t ừ h ình h ọc b ạn biết rằng đó l à nh ững đ ư ờng tròn Vì v ậy, các đ ư ờng cong tích phân là các đư ờng tròn Và, nó là m ột bài t ập c ơ b ản , mà tôi s ẽ không t ư ớc đi của các b ạn niềm vui thích với nó Gi ải phương tr ình vi phân th ư ờng bằng ph ương pháp tách bi ến Nói cách khác, chúng ta đ ã nh ận đư ợc các đ ư ờng tr òn là nh ững cái mà tâm n ằm tại gốc tọa độ , t ất nhi ên, b ằng một h ằng số n ào đó Tôi s ẽ gọi nó l à C1, do đó, nó không nh ầm lẫn với C này Chúng gi ống nh ư th ế n ày, và bây gi ờ bạ n nên gi ải phương tr ình này b ằng ph ương pháp tách bi ến , và ch ỉ cần xác nh ận rằng trên th ực tế, các nghiệm l à nh ững v òng tròn O n e i n t e r e s t i ng t h i n g , a nd s o I c o n f i r m t h i s , I w o n''''t d o i t b e c a u s e I wa nt t o d o g e o m e t r i c a nd n u m e r i c a l t h i n g s t o d a y S o , i f y o u s o lv e i t b y s e p a r a t i ng v a r i a b l es , o ne i n t e r e s t i ng t h i ng t o n o t e i s t h a t i f I w r i t e t h e s o l u t i o n a s y = y 1 ( x ) , w e ll , i t '''' l l l o o k s o m e t h i ng l ik e t h e s q r t ( C 1 - x ^ 2 ) W e '''' l l m a k e t he x s q u a r e d b e c a u s e t h a t '''' s t h e w a y p e o p l e u s u a l l y p ut t h e r ad i u s M ột điều thú v ị, v à vì v ậy tôi xác nhận điều n ày, tôi s ẽ không l àm đi ều đó v ì tôi mu ốn l àm nh ững thứ h ình h ọc v à s ố ngày hôm nay Vì v ậy, nếu bạn giải nó b ằng cách tách các biến, m ột trong những điều thú vị cần l ưu ý là n ếu tôi viết những nghi ệm l à y = y1 (x), vâng , nó s ẽ có d ạng căn bậc hai của (C1 - x ^ 2) Chúng ta s ẽ tạo ra x b ình vì đó là cách ngư ời ta thư ờng đặt bán kính And s o , a s o l u t i o n, a t y p i c a l s o l u t i o n l oo k s l i k e t h i s W e ll , w h a t '''' s t h e s o l u t i o n o v e r h e r e ? W e ll , t h a t o n e s o l u t i o n w i l l b e g o e s f r o m h e r e t o h e r e I f y o u l i k e , i t h a s a n e g a t i v e s i d e t o i t S o , I '''' l l m a k e , l e t '''' s s a y , p l u s T h e r e ''''s a n o t h e r s o l u t i o n, w h i c h h a s a n e ga t i v e v a l u e B ut l e t ''''s u s e t h e o n e w i t h t he p o s i t iv e v a l u e o f t he s q u a r e r o o t M y p o i nt i s t h i s , t h a t t h a t s o l u ti o n, t h e d om a i n o f t h a t s o l u t i o n , r e a l l y o n l y g o e s f r o m h e r e t o h e r e It '''' s n o t t h e w h o l e x - a x i s I t ''''s j u s t a l i m it e d p i e c e o f t h e x - a x i s w h e r e t h a t s o l u t i o n i s d e f i n e d T h e r e '''' s no wa y o f e x t e n d i ng i t f u r t h e r A n d , t h e r e ''''s no wa y o f pr e d i c ti n g , b y l o o k i ng a t t h e d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n, t h a t a ty p i c a l s o l u t i o n wa s g o i ng t o h a v e a l i m it e d d o m a i n l ik e t h a t Và vì v ậy, nghiệm , nghi ệm thông th ư ờng sẽ có d ạng như th ế n ày Vâng, nghi ệm tr ên đây là gì? Vâng, m ột nghi ệm sẽ tương ứng với đồ thị t ừ đây đến đây N ếu bạn t hích, nó có m ột v ế âm c ủa nó Vì v ậy, tôi sẽ xét trư ờng hợp d ương Có m ột nghiệm khác , trong đó có m ột giá tr ị âm Nhưng chúng ta hãy s ử dụng nghiệm v ới giá trị dương c ủa căn b ậc hai V ấn đề c ủa tôi ở đây, nghiệm đó, mi ền nghi ệm đó , th ực sự chỉ đi từ đây đến đây Nó không ph ải toàn b ộ trục x Nó chỉ l à ph ần gi ới hạn của trục x ở đó nghiệm đó đư ợc xác định Không có cách nào đ ể mở rộng nó th êm n ữa Và, không có cách nào đ ể d ự đoán, bằng cách nh ìn vào phương tr ình vi phân, m ột nghi ệm thông th ư ờng sẽ có một miền giới hạn giống nh ư th ế I n o t h e r w o r d s , y o u c o u l d f i nd a s o l u ti o n, b ut ho w f a r o u t i s i t g o i ng t o g o ? S o m e ti m e s , i t '''' s i m p o s s i b l e t o t e l l , e x c e p t b y e i t h e r f i n d i ng i t e x p li c i t l y , o r b y a s ki ng a c o m p u t e r t o d r a w a p i c t u r e o f i t , a nd se e i ng i f t h a t g i v e s y o u s o m e i n s i g h t It '''' s o n e o f t h e m a ny d i f f i c u lt i e s i n h a n d l i ng d i f fe r e n t i a l e q u a ti on s Y o u d o n''''t k n o w w h a t t h e d om a i n o f a s o l u ti o n i s g o i ng t o b e u n t i l y o u'''' v e a c t u a l l y c a l c u l a t e d it Nói cách khác, b ạn có thể t ìm ra m ột nghi ệm , nhưng nó s ẽ đi xa ra ngo ài bao nhiêu ? Đôi khi, không th ể nói đ ư ợc , ngo ại trừ bằng cách ho ặc tìm ra nó m ột cách r õ ràng, ho ặc b ằ ng cách yêu c ầu một máy tính v ẽ một h ình ảnh của nó, v à xem nó có cho b ạn sự hiểu bi ết sâu sắc hay không Đó là m ột trong r ất nhiều khó khăn trong việc xử lý ph ương tr ình vi p hân B ạn không biết mi ền nghi ệm sẽ l à gì cho đ ến khi bạn thực sự đ ã tính toán nó N o w , a s l i g h t l y m o r e c o m p l i c a t e d e x a m p l e i s g o i ng t o b e , l e t ''''s s e e , y '''' = 1 + x - y It '''' s n o t a l o t m o r e c om p l i c a t e d , a nd a s a c om p u t e r e x e r c i s e , y o u w i l l w o r k w i t h, s t i ll , m o r e c o m p l i c a t e d o n e s B ut h e r e , t h e i s o c l i n e s w o u l d b e w h a t ? W e ll , I s e t t h a t e q u a l t o C C a n y o u d o t h e a l g e b r a i n y ou r h e a d ? A n i s o c l i n e w i l l h a v e t h

Đây ghi lại lời giảng giáo s Arthur Mattuck and Haynes Miller lớp Để xem tồn giảng bạn đến http://www.mientayvn.com > Học liệu mở > Học viện công nghệ Massachusetts > Tốn học > Phương trình vi phân > chương I MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 18.03 Differential Equations, Spring 2006 Please use the following citation format: Arthur Mattuck and Haynes Miller, 18.03 Differential Equations, Spring 2006 (Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare) http://ocw.mit.edu (accessed MM DD, YYYY) License: Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike Note: Please use the actual date you accessed this material in your citation For more information about citing these materials or our Terms of Use, visit: http://ocw.mit.edu/terms MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 18.03 Differential Equations, Spring 2006 Transcript – Lecture OK, let's get started I'm assuming that, A, you went recitation yesterday, B, that even if you didn't, you know how to separate variables, and you know how to construct simple models, solve physical problems with differential equations, and possibly even solve them So, you should have learned that either in high school, or 18.01 here, or, yeah So, I'm going to start from that point, assume you know that I'm not going to tell you what differential equations are, or what modeling is If you still are uncertain about those things, the book has a very long and good explanation of it Just read that stuff So, we are talking about first order ODEs Vâng, bắt đầu Tôi giử sử rằng, A, bạn đến buổi ôn ngày hôm qua, B, cho dù bạn không đến, bạn biết cách tách biến, v bạn biết cách để xây dựng mơ hình đơn giản, giải tốn vật lí với phương trình vi phân, chí giải chúng Vì vậy, bạn phải học trường phổ thơng, 18.01 đây, hoặc, Vì vậy, tơi điểm đó, giả sử bạn biết điều Tơi khơng định nghĩa lại phương trình vi phân mơ hình Nếu bạn chưa nắm vững thứ này, sách nói nhiều giải thích rõ ràng Hãy đọc Vì vậy, nói phương trình vi phân bậc ODE: I'll only use two acronyms ODE is ordinary differential equations I think all of MIT knows that, whether they've been taking the course or not So, we are talking about first-order ODEs, which in standard form, are written, you isolate the derivative of y with respect to, x, let's say, on the left-hand side, and on the right- hand side you write everything else You can't always this very well, but for today, I'm going to assume that it has been done and it's doable So, for example, some of the ones that will be considered either today or in the problem set are things like y' = x / y ODE: Tôi dùng hai từ viết tắc ODE phương trình vi phân thường Tôi nghĩ người MIT biết điều đó, cho dù họ có học khóa học hay khơng Vì vậy, nói phương trình vi phân bậc nhất, dạng tiêu chuẩn, viết, bạn tách riêng đạo hàm y theo x, giả sử rằng, vế trái, vế phải bạn viết thứ lại Bạn lúc làm này, hôm nay, giả sử làm làm Vì vậy, chẳng hạn, số dạng xét hôm xấp tập phương trình có dạng y' = f(x , y) That's pretty simple The problem set has y' = x - y^2 And, it also has y' = y - x^2 There are others, too Now, when you look at this, this, of course, you can solve by separating variables So, this is solvable This one is and neither of these can you separate variables And they look extremely similar But they are extremely dissimilar The most dissimilar about them is that this one is easily solvable And you will learn, if you don't know already, next time next Friday how to solve this one Cái đơn giản Xấp tập có y' = x - y^2 Và, có y' = y - x^2 Cũng có khác Bây giờ, bạn xét này, đây, tất nhiên, bạn giải phương pháp tách biến Vì vậy, giải Cái - - hai bạn tách biến Và trông chúng giống Nhưng thực chúng khác Sự khác rõ rệt giải Và bạn học, bạn chưa biết, lần tới thứ sáu tới cách để giải This one, which looks almost the same, is unsolvable in a certain sense Namely, there are no elementary functions which you can write down, which will give a solution of that differential equation So, right away, one confronts the most significant fact that even for the simplest possible differential equations, those which only involve the first derivative, it's possible to write down extremely looking simple guys Cái này, giống, khơng thể giải theo ý nghĩa Cụ thể, khơng có hàm mà bạn viết ra, cho nghiệm ph ương trình vi phân Vì vậy, tức thì, người ta đối mặt với kiện có ý nghĩa l chí cho dù phương trình vi phân đơn giản nhất, phương trình liên quan đến đạo hàm bậc nhất, viết thằng trơng cực k ì đơn giản I'll put this one up in blue to indicate that it's bad Whoops, sorry, I mean, not really bad, but recalcitrant It's not solvable in the ordinary sense in which you think of an equation is solvable And, since those equations are the rule rather than the exception, I'm going about this first day to not solving a single differential equation, but indicating to you what you when you meet a blue equation like that Tôi đánh dấu màu xanh lam biết l xấu Whoops, xin lỗi, ý là, không thực xấu, ngoan cố Nó khơng phải khơng giải theo nghĩa thơng thường bạn thường nghĩ Và,bởi phương trình theo quy tắc khơng phải ngoại lệ,trong buổi khơng giải phương trình vi phân đơn giản, mà cho bạn bạn làm bạn gặp phương trình xanh What you with it? So, this first day is going to be devoted to geometric ways of looking at differential equations and numerical At the very end, I'll talk a little bit about numerical ways And you'll work on both of those for the first problem set So, what's our geometric view of differential equations? Well, it's something that's contrasted with the usual procedures, by which you solve things and find elementary functions which solve them I'll call that the analytic method So, on the one hand, we have the analytic ideas, in which you write down explicitly the equation, y' = f(x,y) Bạn làm với nó? Vì vậy, ngày dành cho việc dùng phương pháp hình học để xét phương trình vi phân biểu diễn số Vào cuối buổi, nói chút phương pháp số Và bạn làm việc hai xấp tập Vì vậy, cách nhìn hình học phương trình vi phân nào? Vâng, trái ngược với thủ tục thơng thường, qua bạn giải thứ tìm thấy hàm giải chúng Tơi gọi l phương pháp giải tích Vì vậy, mặt, có ý tưởng phân tích, b ạn viết rõ ràng phương trình, y '= f (x, y) And, you look for certain functions, which are called its solutions Now, so there's the ODE And, y1 of x, notice I don't use a separate letter I don't use g or h or something like that for the solution because the letters multiply so quickly, that is, multiply in the sense of rabbits, that after a while, if you keep using different letters for each new idea, you can't figure out what you're talking about Và, bạn tìm hàm đó, gọi nghiệm Bây giờ, phương trình vi phân thường Và, y1 x, ý tơi khơng sử dụng kí tự riêng biệt Tôi không sử dụng g h thứ g ì tương tự cho nghiệm chữ nhân q nhanh, có nghĩa là, nhân ý nghĩa thỏ, sau lúc, bạn tiếp tục sử dụng chữ khác cho ý t ưởng mới, bạn tìm bạn nói So, I'll use y1 means, it's a solution of this differential equation Of course, the differential equation has many solutions containing an arbitrary constant So, we'll call this the solution Now, the geometric view, the geometric guy that corresponds to this version of writing the equation, is something called a direction field And, the solution is, from the geometric point of view, something called an integral curve So, let me explain if you don't know what the direction field is I know for some of you, I'm reviewing what you learned in high school Those of you who had the BC syllabus in high school should know these things But, it never hurts to get a little more practice And, in any event, I think the computer stuff that you will be doing on the problem set, a certain amount of it should be novel to you Vì vậy, tơi sử dụng y1 với nghĩa là, nghiệm phương trình vi phân Tất nhiên, phương trình vi phân có nhiều nghiệm chứa số tùy ý Vì vậy, gọi nghiệm Bây giờ, quan điểm hình học, đối tượng hình học tương ứng với phiên cách viết phương trình vi phân, gọi trường có hướng Và, từ quan điểm hình học, nghiệm gọi đường cong tích phân Để tơi giải thích bạn khơng biết trường có hướng Đối với số bạn, có lẽ tơi nhắc lại mà bạn học trường trung học Những bạn học chương trình học BC trường trung học biết n ày Tuy nhiên, khơng lãng phí bạn nhận kiến thức thực tế h ơn Và, trường hợp nào, nghĩ phương pháp tính tốn mà bạn thực xấp tập, lượng định lạ bạn It was novel to me, so why not to you? So, what's a direction field? Well, the direction field is, you take the plane, and in each point of the plane of course, that's an impossibility But, you pick some points of the plane You draw what's called a little line element So, there is a point It's a little line, and the only thing which distinguishes it outside of its position in the plane, so here's the point, (x,y), at which we are drawing this line element, is its slope And, what is its slope? Its slope is to be f(x,y) And now, You fill up the plane with these things until you're tired of putting then in So, I'm going to get tired pretty quickly Nó tơi, khơng bạn? Vậy, trường có hướng gì? Vâng, trường có hướng là, bạn chọn mặt phẳng, v điểm mặt phẳng - tất nhiên, điều khơng thể Nhưng, bạn chọn số điểm mặt phẳng Bạn vẽ yếu tố đường nhỏ Vì vậy, điểm Nó đường nhỏ, thứ phân biệt yếu tố đường thẳng với nhau, điểm, (x, y), vẽ yếu tố đường thẳng này, hệ số góc Và, hệ số góc gì? Hệ số góc f (x, y) Và bây giờ, bạn lấp đầy mặt phẳng với thứ bạn mệt mỏi Vì vậy, tơi cảm thấy mệt mỏi nhanh chóng So, I don't know, let's not make them all go the same way That sort of seems cheating How about here? Here's a few randomly chosen line elements that I put in, and I putted the slopes at random since I didn't have any particular differential equation in mind Now, the integral curve, so those are the line elements The integral curve is a curve, which goes through the plane, and at every point is tangent to the line element there Vì vậy, tơi khơng biết, khơng làm cho t ất chúng theo c ùng đường Điều phần gian lận Cịn sao? Đây vài yếu tố đường thẳng chọn ngẫu nhiên mà đặt vào, tơi đặt hệ số góc ngẫu nhiên tơi khơng có phương trình vi phân đặc biệt đầu Bây giờ, đường cong tích phân, yếu tố đường thẳng Đường cong tích phân đường cong nằm mặt phẳng, điểm tiếp tuyến với yếu tố đ ường thẳng So, this is the integral curve Hey, wait a minute, I thought tangents were the line element there didn't even touch it Well, I can't fill up the plane with line elements Here, at this point, there was a line element, which I didn't bother drawing in And, it was tangent to that Same thing over here: if I drew the line element here, I would find that the curve had exactly the right slope there Vì vậy, đường cong tích phân N ày, chờ chút, nghĩ tiếp tuyến yếu tố đường thẳng chí khơng chạm Vâng, tơi khơng thể làm đầy tồn mặt phẳng với yếu tố đ ường thẳng Ở đây, vào thời điểm này, có yếu tố đường thẳng mà tơi chưa vẽ Và, tiếp tuyến với Điểm tương tự: tơi vẽ yếu tố đường thẳng đây, thấy đường cong có hệ số góc So, the point is the integral, what distinguishes the integral curve is that everywhere it has the direction, that's the way I'll indicate that it's tangent, has the direction of the field everywhere at all points on the curve, of course, where it doesn't go It doesn't have any mission to fulfill Now, I say that this integral curve is the graph of the solution to the differential equation In other words, writing down analytically the differential equation is the same geometrically as drawing this direction field, and solving analytically for a solution of the differential equation is the same thing as geometrically drawing an integral curve So, what am I saying? Vì vậy, vấn đề là, điểm phân biệt đường cong tích phân khắp nơi có hướng, cách mà tơi tiếp tuyến, có hướng trường khắp nơi tất điểm đường cong Tất nhiên, nơi mà khơng qua Nó khơng có nhiệm vụ để hồn thành Bây giờ, tơi nói đường cong tích phân n ày đồ thị nghiệm phương trình vi phân Nói cách khác, viết dạng giải tích phương trình vi phân mặt hình học tương đương với việc vẽ trường có hướng này, giải phương pháp giải tích nghiệm phương trình vi phân tương đương với vẽ đường cong tích phân mặt hình học Vậy, tơi nói gì? I say that an integral curve, all right, let me write it this way I'll make a little theorem out of it, that y1(x) is a solution to the differential equation if, and only if, the graph, the curve associated with this, the graph of y1 of x is an integral curve Integral curve of what? Well, of the direction field associated with that equation But there isn't quite enough room to write that on the board But, you could put it in your notes, if you take notes So, this is the relation between the two, the integral curves of the graphs or solutions Tơi nói đường cong tích phân, , để tơi viết theo cách Tơi s ẽ tạo định lý nhỏ điều đó, y1 (x) nghiệm phương trình vi phân nếu, nếu, đồ thị, đường cong gắn với nó, đồ thị y1(x) đường cong tích phân Đường cong tích phân g ì? Vâng, trường có hướng gắn với phương trình Nhưng khơng có đ ủ chổ trống để viết điều bảng Tuy nhiên, bạn viết vào bạn, bạn ghi chép Vì vậy, mối quan hệ hai cái, đường cong tích phân đồ thị nghiệm Now, why is that so? Well, in fact, all I have to to prove this, if you can call it a proof at all, is simply to translate what each side really means What does it really mean to say that a given function is a solution to the differential equation? Well, it means that if you plug it into the differential equation, it satisfies it Okay, what is that? So, how I plug it into the differential equation and check that it satisfies it? Bây giờ, điều lại vậy? Vâng, thực tế, tất tơi phải làm để chứng minh điều là, chưa chứng minh , đơn giản để diễn giải xem vế thực có nghĩa g ì Một hàm cho trước nghiệm phương trình vi phân có ý nghĩa gì? Vâng, có nghĩa bạn vào phương tr ình vi phân, thỏa mãn phương trình vi phân Được rồi, gì? Vì vậy, làm cách để vào phương trình vi phân kiểm tra xem thỏa m ãn phương trình vi phân? Well, doing it in the abstract, I first calculate its derivative And then, how will it look after I plugged it into the differential equation? Well, I don't anything to the x, but wherever I see y, I plug in this particular function So, in notation, that would be written this way So, for this to be a solution means this, that that equation is satisfied Okay, what does it mean for the graph to be an integral curve? Well, it means that at each point, the slope of this curve, it means that the slope of y1 of x should be, at each point, (x1,y1) It should be equal to the slope of the direction field at that point Vâng, khía cạnh lí thuyết thực , tơi tính đạo hàm Và sau đó, trơng sau tơi vào phương trình vi phân? Vâng, tơi khơng làm x, nơi thấy y, tơi vào hàm cụ thể Vì vậy, theo quy ước, viết theo cách Vì vậy, nghiệm theo nghĩa này, phương trình thõa mãn Được rồi, đồ thị đường cong tích phân có nghĩa l gì? Vâng, có nghĩa điểm, hệ số góc đường cong này, có nghĩa hệ số góc y1(x) là, điểm (x1, y1) Nó hệ số góc tr ường vơ hướng điểm And then, what is the slope of the direction field at that point? Well, it is f of that particular, well, at the point, (x,y1) If you like, you can put a subscript, one, on there, send a one here or a zero there, to indicate that you mean a particular point But, it looks better if you don't But, there's some possibility of confusion I admit to that So, the slope of the direction field, what is that slope? Well, by the way, I calculated the direction field Its slope at the point was to be x, whatever the value of x was, and whatever the value of y1(x) was, substituted into the right-hand side of the equation So, what the slope of this function of that curve of the graph should be equal to the slope of the direction field Now, what does this say? Và rồi, hệ số góc trường có hướng điểm gì? Vâng, giá tr ị hàm f điểm đó, vâng, điểm, (x, y1) Nếu bạn thích, bạn đặt số d ưới, một, , để khơng đó, biết bạn muốn nói đến điểm cụ thể Tuy nhiên, tốt bạn không làm Nhưng, có số khả gây nhầm lẫn Tơi thừa nhận điều Vì vậy, hệ số góc trường có hướng, hệ số góc bao nhiêu? Vâng, tiện thể, tơi tính tốn trường có hướng Hệ số góc điểm x, giá trị x bao nhiêu, giá trị y1 (x) bao nhiêu, vào vế phải phương trình Vì vậy, hệ số góc hàm đường cong đồ thị hệ số góc tr ường có hướng Bây giờ, điều nói lên gì? Well, what's the slope of y1(x)? That's y1'(x) That's from the first day of 18.01, calculus What's the slope of the direction field? This? Well, it's this And, that's with the right hand side So, saying these two guys are the same or equal, is exactly, analytically, the same as saying these two guys are equal So, in other words, the proof consists of, what does this really mean? What does this really mean? And after you see what both really mean, you say, yeah, they're the same Vâng, hệ số góc y1(x) bao nhiêu? Đó y1 '(x) Điều bạn học buổi đầu 18,01, giải tích Hệ số góc trường có hướng bao nhiêu? Cái à? Vâng, Và, với vế bên phải Vì vậy, nói hai thằng n ày giống tương đương nhau, xác, mặt giải tích, giống nói hai thằng Vì vậy, nói cách khác, chứng minh gồm có, thực có ý nghĩa g ì? Cái thực có nghĩa gì? Và sau bạn hiểu thật có ý nghĩ a gì, bạn nói, yeah, chúng giống So, I don't how to write that It's okay: same, same, how's that? This is the same as that Okay, well, this leaves us the interesting question of how you draw a direction from the, well, this being 2003, mostly computers draw them for you Nonetheless, you have to know a certain amount I've given you a couple of exercises where you have to draw the direction field yourself This is so you get a feeling for it, and also because humans don't draw direction fields the same way computers So, let's first of all, how did computers it? They are very stupid There's no problem Vì vậy, tơi khơng biết cách viết Nó ổn: giống nhau, giống nhau, nhỉ? Cái tương tự Được rồi, tốt, để lại cho câu hỏi thú vị cách mà bạn vẽ trường có hướng từ, vâng, năm 2003, ch ủ yếu máy tính vẽ chúng cho bạn Tuy nhiên, bạn phải biết lượng định Tôi đưa cho bạn vài tập, bạn phải tự vẽ tr ường có hướng Điều giúp bạn có cảm giác nó, người khơng vẽ trường có hướng giống cách máy tính làm Vì vậy, trước hết xét, máy tính làm điều nào? Chúng ngớ ngẩn Khơng có vấn đề Since they go very fast and have unlimited amounts of energy to waste, the computer method is the naive one You pick the point You pick a point, and generally, they are usually equally spaced You determine some spacing, that one: blah, blah, blah, blah, blah, blah, blah, equally spaced And, at each point, it computes f(x, y) at the point, finds, meets, and computes the value of f of (x, y), that function, and the next thing is, on the screen, it draws, at (x, y), the little line element having slope f(x, y) In other words, it does what the differential equation tells it to Bởi chúng hoạt động với tốc độ nhanh không hạn chế lượng lượng sử dụng, phương pháp máy tính phương pháp ngây thơ Bạn chọn điểm Bạn chọn điểm, nói chung, chúng thường cách Bạn xác định khoảng cách n đó, đó: blah, blah, blah, blah, blah, blah, blah, cách Và, điểm, tính giá trị f (x, y) điểm này, tìm, gặp, tính giá trị f (x, y), hàm đó, điều là, hình, vẽ, tại(x, y),yếu tố đường thẳng nhỏ có hệ số góc f (x, y) Nói cách khác, làm mà phương trình vi phân bảo làm And the only thing that it does is you can, if you are telling the thing to draw the direction field, about the only option you have is telling what the spacing should be, and sometimes people don't like to see a whole line They only like to see a little bit of a half line And, you can sometimes tell, according to the program, tell the computer how long you want that line to be, if you want it teeny or a little bigger Once in awhile you want you want it narrower on it, but not right now Và thứ mà làm bạn có thể, bạn nói thứ để vẽ trường có hướng, tùy chọn mà bạn có cho biết khoảng cách bao nhiêu, người ta khơng thích thấy tồn đường thẳng Họ thích thấy nửa đường thẳng Và bạn nói, theo chương trình, nói cho máy tính biết bạn muốn đường thẳng dài bao nhiêu, bạn muốn nhỏ hay lớn chút Thỉnh thoảng bạn muốn bạn muốn hẹp hơn, khơng phải Okay, that's what a computer does What does a human do? This is what it means to be human You use your intelligence From a human point of view, this stuff has been done in the wrong order And the reason it's been done in the wrong order: because for each new point, it requires a recalculation of f(x, y) That is horrible The computer doesn't mind, but a human does So, for a human, the way to it is not to begin by picking the point, but to begin by picking the slope that you would like to see So, you begin by taking the slope Let's call it the value of the slope, C So, you pick a number C is two I want to see where are all the points in the plane where the slope of that line element would be two? Well, they will satisfy an equation Được rồi, mà máy tính làm Cịn người làm nào? Thế người Bạn sử dụng trí thơng minh bạn Từ quan điểm ng ười, thực theo thứ tự sai V lý thực theo thứ tự sai: v ì điểm mới, cần phải tính tốn lại f (x, y) Điều thật kinh khủng Các máy tính khơng bận tâm, người khác Vì vậy, ng ười, cách để làm điều bắt đầu cách chọn điểm, m bắt đầu cách chọn hệ số góc mà bạn muốn thấy Vì vậy, bạn bắt đầu cách chọn hệ số góc Chúng ta h ãy gọi giá trị hệ số góc C Vì vậy, bạn chọn số C hai Tôi muốn biết tất điểm mặt phẳng mà hệ số góc yếu tố đ ường thẳng nằm đâu? Vâng, chúng th õa mãn phương trình The equation is f(x,y) = C, in general So, what you is plot this, plot the equation, plot this equation Notice, it's not the differential equation You can't exactly plot a differential equation It's a curve, an ordinary curve But which curve will depend; it's, in fact, from the 18.02 point of view, the level curve of C, sorry, it's a level curve of f of (x, y), the function f of x and y corresponding to the level of value C Nói chung,phương tr ình f (x, y) = C Vì v ậy, bạn làm vẽ đồ thị này, vẽ đồ thị phương trình, vẽ đồ thị phương trình Chú ý, khơng ph ải phương trình vi phân Bạn khơng thể vẽ xác đồ thị ph ương trình vi phân Đó đường cong, đường cong bình thường Nhưng đường cong phụ thuộc vào gì; thực tế, xuất phát từ quan điểm 18.02, đ ường mức C, xin lỗi, đường mức f(x, y), h àm f x y tương ứng với mức giá trị C But we are not going to call it that because this is not 18.02 Instead, we're going to call it an isocline And then, you plot, well, you've done it So, you've got this isocline, except I'm going to use a solution curve, solid lines, only for integral curves When we plot isoclines, to indicate that they are not solutions, we'll use dashed lines for doing them One of the computer things does and the other one doesn't But they use different colors, also There are different ways of telling you what's an isocline and what's the solution curve So, and what you do? So, these are all the points where the slope is going to be C Nhưng chúng tơi khơng gọi nh khơng phải 18.02 Thay vào đó, gọi đường đẳng tà Và sau đó, bạn vẽ, vâng, bạn hồn thành Vì vậy, bạn có đường đẳng tà này, ngoại trừ sử dụng đ ường cong nghiệm, đường liền nét, cho đ ường cong tích phân Khi vẽ đ ường đẳng tà, để chúng l nghiệm, sử dụng cá c đường nét đứt để vẽ chúng Một hai máy tính làm cịn cịn lại khơng Nhưng chúng sử dụng màu sắc khác Có nhiều cách khác để nói cho bạn biết đ ường đẳng tà đường cong nghiệm À, bạn làm gì? Vì vậy, tất điểm có hệ số góc C And now, what you is draw in as many as you want of line elements having slope C Notice how efficient that is If you want 50 million of them and have the time, draw in 50 million If two or three are enough, draw in two or three You will be looking at the picture You will see what the curve looks like, and that will give you your judgment as to how you are to that So, in general, a picture drawn that way, so let's say, an isocline corresponding to C equals zero Và bây giờ, bạn làm vẽ thật nhiều bạn muốn yếu tố đường có độ dốc C Chú ý đến tính hiệu Nếu bạn muốn 50 triệu đ ường có thời gian, vẽ 50 triệu Nếu hai ba l đủ, vẽ hai ba Bạn nh ìn vào ảnh Bạn thấy đường cong trông nào, cho bạn suy xét cách thức để bạn l àm điều Vì vậy, nói chung, tranh đ ược vẽ theo cách đó, v ì vậy, giả sử rằng, đ ường đẳng tà tương ứng với C không The line elements, and I think for an isocline, for the purposes of this lecture, it would be a good idea to put isoclines Okay, so I'm going to put solution curves in pink, or whatever this color is, and isoclines are going to be in orange, I guess So, isocline, represented by a dashed line, and now you will put in the line elements of, we'll need lots of chalk for that So, I'll use white chalk Các yếu tố đường, nghĩ đường đẳng tà, mục đích b ài giảng này, ý tưởng tốt để đặt đ ường đẳng tà Được rồi, đó, tơi tơ đường cong nghiệm m àu hồng, màu sắc nào, đường đẳng tà có màu da cam, tơi đốn Vì vậy, đường đẳng tà, biểu diễn đ ường nét đứt, bạn đặt yếu tố đường vào, cần nhiều phấn cho điều Vì vậy, sử dụng phấn trắng Y horizontal? Because according to this the slope is supposed to be zero there And at the same way, how about an isocline where the slope is negative one? Let's suppose here C is equal to negative one Okay, then it will look like this These are supposed to be lines of slope negative one Don't shoot me if they are not So, that's the principle So, this is how you will fill up the plane to draw a direction field: by plotting the isoclines first Y ngang? Bởi theo hệ số góc cho Và tương tự, đường đẳng tà mà hệ số góc trừ th ì sao? Hãy giả sử C trừ Đ ược rồi, sau trơng Đây đường giả sử có hệ số góc trừ Đừng bắn tôi, chúng V ì vậy, nguyên tắc Vì vậy, cách bạn làm đầy mặt phẳng để vẽ trường có hướng: cách vẽ đường đẳng tà And then, once you have the isoclines there, you will have line elements And you can draw a direction field Okay, so, for the next few minutes, I'd like to work a couple of examples for you to show how this works out in practice So, the first equation is going to be y' = -x / y Okay, first thing, what are the isoclines? Well, the isoclines are going to be y Và sau đó, bạn có đường đẳng tà đó, bạn có yếu tố đ ường Và bạn vẽ trường có hướng Được rồi, vậy, vài phút sau, tơi muốn xét vài ví dụ bạn thấy điều tiến hành thực tế Vì vậy, phương trình y '=-x / y Được rồi, điều đầu tiên, đường đẳng tà gì? Vâng, đường đẳng tà y… Well, -x / y = C Maybe I better make two steps out of this Minus x over y is equal to C But, of course, nobody draws a curve in that form You'll want it in the form y = -1 / C * x So, there's our isocline Why don't I put that up in orange since it's going to be, that's the color I'll draw it in In other words, for different values of C, now this thing is aligned It's aligned, in fact, through the origin This looks pretty simple Okay, so here's our plane The isoclines are going to be lines through the origin And now, let's put them in, suppose, for example, C is equal to one Vâng,-x / y = C Có lẽ tốt tơi nên làm riêng hai bư ớc ngồi Trừ x y C Nhưng, tất nhiên, không vẽ đường cong dạng Bạn muốn có dạng y= (-1 / C) * x Vì vậy, đường đẳng tà Tại tơi khơng t màu da cam s ẽ là, màu mà tơi đ ã vẽ Nói cách khác, giá trị khác C, n ày hàng Nó hàng, thực tế, qua gốc tọa độ Điều đơn giản Được rồi, đó, mặt phẳng Các đường đẳng tà đường qua gốc tọa độ V bây giờ, đặt chúng vào trong, giả sử, ví dụ, C Well, if C is equal to one, then it's the line, y equals minus x So, this is the isocline I'll put, down here, C equals minus one And, along it, no, something's wrong I'm sorry? C is one, not negative one, right, thanks Thanks So, C equals one So, it should be little line segments of slope one will be the line elements, things of slope one OK, now how about C equals negative one? Vâng, C một, l đường, y trừ x Vì vậy, đường đẳng tà Tôi đặt, đây, C trừ V à, dọc theo nó, khơng, có g ì khơng ổn Tơi xin lỗi? C một, trừ một, không, cám ơn Cảm ơn Vì vậy, C Vì vậy, có lẽ nên đoạn nhỏ với hệ số góc l yếu tố đường, có hệ số góc Vâng, c ịn C trừ sao? If C equals negative one, then it's the line, y = x And so, that's the isocline Notice, still dash because these are isoclines Here, C is negative one And so, the slope elements look like this Notice, they are perpendicular Now, notice that they are always going to be perpendicular to the line because the slope of this line is minus one over C But, the slope of the line element is going to be C Those numbers, minus one over C and C, are negative reciprocals And, you know that two lines whose slopes are negative reciprocals are perpendicular So, the line elements are going to be perpendicular to these And therefore, I hardly even have to bother calculating, doing any more calculation Here's going to be a, well, how about this one? Nếu C trừ một, th ì đường, y = x Và vậy, đường đẳng tà Chú ý, cịn đường nét đứt đường đẳng tà Ở đây, C trừ V vậy, yếu tố hệ số góc trơng giống nh Chú ý, chúng vng góc Bây gi ờ, ý chúng ln vng góc với đ ường đẳng tà hệ số góc đường trừ C Nhưng hệ số góc yếu tố đường thẳng C Những số này, trừ C C, nhân b ằng trừ Và, bạn biết hai đường mà hệ số góc chúng nhân trừ vng góc V ì vậy, yếu tố đường vng góc với Và đó, tơi th ậm chí khơng phải bận tâm tính tốn, l àm thêm tính tốn Đây một, vâng, cịn sao? Here's a controversial isocline Is that an isocline? Well, wait a minute That doesn't correspond to anything looking like this Ah-ha, but it would if I put C multiplied through by C And then, it would correspond to C being zero In other words, don't write it like this Multiply through by C It will read C y = - x And then, when C is zero, I have x equals zero, which is exactly the y-axis Dưới đường đẳng tà tinh tế Đó đường đẳng tà phải khơng? Vâng, chờ chút Nó khơng liên quan tới biểu thức Ah-ha, tơi chúng tương đương cách nhân hai vế với C Và bạn thấy, tương ứng với C khơng Nói cách khác, khơng vi ết Nhân hai vế với C Nó tương đương C y = - x Và sau đó, C khơng, tơi có x khơng, trục y So, that really is included How about the x-axis? Well, the x-axis is not included However, most people include it anyway This is very common to be a sort of sloppy and bending the edges of corners a little bit, and hoping nobody will notice We'll say that corresponds to C equals infinity I hope nobody wants to fight about that If you do, go fight with somebody else So, if C is infinity, that means the little line segment should have infinite slope, and by common consent, that means it should be vertical And so, we can even count this as sort of an isocline And, I'll make the dashes smaller, indicate it has a lower status than the others And, I'll put this in, this weaselly thing of putting it in quotation marks to indicate that I'm not responsible for it Vì vậy, đường đẳng tà Cịn trục x sao? Vâng, trục x khơng phải đường đẳng tà Tuy nhiên, dù hầu hết người tính đến Điều thơng thường phần luộm thuộm uốn cạnh góc ít, hy vọng khơng ý Nó tương ứng với C vơ Tơi hy vọng khơng muốn tranh luận điều Nếu muốn, tranh luận với người khác Vì vậy, C vơ cùng, có nghĩa đoạn nhỏ có hệ số góc vơ cùng, theo đồng ý phổ biến, có nghĩa nằm dọc Và vậy, chúng tơi chí tính loại đường đẳng tà Và, làm cho dấu gạch ngang nhỏ hơn, có tình trạng thấp khác Và, đặt vào dấu ngoặc kép biết tơi khơng xét Okay, now, we now have to put it the integral curves Well, nothing could be easier I'm looking for curves which are everywhere perpendicular to these rays Well, you know from geometry that those are circles So, the integral curves are circles And, it's an elementary exercise, which I would not deprive you of the pleasure of Solve the ODE by separation of variables In other words, we've gotten the, so the circles are ones with a center at the origin, of course, equal some constant I'll call it C1, so it's not confused with this C They look like that, and now you should solve this by separating variables, and just confirm that the solutions are, in fact, those circles Được rồi, bây giờ, phải đặt vào đường cong tích phân Vâng, khơng có dễ dàng Tơi tìm đường cong vng góc với tia nơi Vâng, từ hình học bạn biết đường trịn Vì vậy, đường cong tích phân đường trịn Và, tập bản, mà không tước bạn niềm vui thích với Giải phương trình vi phân thường phương pháp tách biến Nói cách khác, nhận đường tròn mà tâm nằm gốc tọa độ, tất nhiên, số Tơi gọi C1, đó, không nh ầm lẫn với C Chúng giống này, bạn nên giải phương trình phương pháp tách biến, cần xác nhận thực tế, nghiệm vòng tròn One interesting thing, and so I confirm this, I won't it because I want to geometric and numerical things today So, if you solve it by separating variables, one interesting thing to note is that if I write the solution as y = y1(x), well, it'll look something like the sqrt (C1 - x^2) We'll make the x squared because that's the way people usually put the radius Một điều thú vị, xác nhận điều n ày, không làm điều tơi muốn làm thứ hình học số ngày hơm Vì vậy, bạn giải cách tách biến, điều thú vị cần l ưu ý viết nghiệm y = y1 (x), vâng, có dạng bậc hai (C1 - x ^ 2) Chúng ta tạo x bình cách người ta thường đặt bán kính And so, a solution, a typical solution looks like this Well, what's the solution over here? Well, that one solution will be goes from here to here If you like, it has a negative side to it So, I'll make, let's say, plus There's another solution, which has a negative value But let's use the one with the positive value of the square root My point is this, that that solution, the domain of that solution, really only goes from here to here It's not the whole x-axis It's just a limited piece of the x-axis where that solution is defined There's no way of extending it further And, there's no way of predicting, by looking at the differential equation, that a typical solution was going to have a limited domain like that Và vậy, nghiệm, nghiệm thơng thường có dạng Vâng, nghiệm gì? Vâng, nghiệm tương ứng với đồ thị từ đến Nếu bạn thích, có vế âm Vì vậy, tơi xét trường hợp dương Có nghiệm khác, có giá trị âm Nhưng sử dụng nghiệm với giá trị dương bậc hai Vấn đề đây, nghiệm đó, miền nghiệm đó, thực từ đến Nó khơng phải tồn trục x Nó phần giới hạn trục x nghiệm xác định Khơng có cách để mở rộng thêm Và, khơng có cách để dự đốn, cách nh ìn vào phương trình vi phân, nghiệm thơng thường có miền giới hạn giống nh In other words, you could find a solution, but how far out is it going to go? Sometimes, it's impossible to tell, except by either finding it explicitly, or by asking a computer to draw a picture of it, and seeing if that gives you some insight It's one of the many difficulties in handling differential equations You don't know what the domain of a solution is going to be until you've actually calculated it Nói cách khác, bạn tìm nghiệm, xa ngồi bao nhiêu? Đơi khi, khơng thể nói được, ngoại trừ cách tìm cách rõ ràng, cách yêu cầu máy tính vẽ hình ảnh nó, xem có cho bạn hiểu biết sâu sắc hay không Đó nhiều khó khăn việc xử lý ph ương trình vi phân Bạn khơng biết miền nghiệm bạn thực tính tốn Now, a slightly more complicated example is going to be, let's see, y' = + x - y It's not a lot more complicated, and as a computer exercise, you will work with, still, more complicated ones But here, the isoclines would be what? Well, I set that equal to C Can you the algebra in your head? An isocline will have the equation: this equals C So, I'm going to put the y on the right hand side, and that C on the left hand side So, it will have the equation y = + x - C, or a nicer way to write it would be y = x + - C I guess it really doesn't matter Bây giờ, ví dụ phức tạp h ơn chút là, xét phương trình, y '= + x - y Nó khơng phức tạp nhiều, tập tính tốn, bạn làm, còn, phức tạp Nhưng đây, đường đẳng tà gì? Vâng, tơi đặt C Bạn làm đại số đầu bạn không? Một đường đẳng tà có phương trình: C Vì vậy, tơi đặt y phía bên tay phải, C bên vế trái Vì vậy, có phương trình y = + x - C, cách đẹp h ơn để viết y = x + - C Tơi đốn thực không quan trọng So there's the equation of the isocline Let's quickly draw the direction field And notice, by the way, it's a simple equation, but you cannot separate variables So, I will not, today at any rate, be able to check the answer I will not be able to get an analytic answer All we'll be able to now is get a geometric answer But notice how quickly, relatively quickly, one can get it So, I'm feeling for how the solutions behave to this equation Vì vậy, phương trình đường đẳng tà Chúng ta nhanh chóng vẽ trường có hướng Và ý, nhân đây, phương trình đơn giản, bạn khơng thể tách biến Vì vậy, tơi không, hôm mức độ nào, kiểm tra câu trả lời Tơi khơng thể nhận câu trả lời giải tích Tất làm nhận câu trả lời hình học Nhưng ý người ta nhận nhanh nh nào, tương đối nhanh Vì tơi cảm giác nghiệm phương trình hành vi All right, let's see, what should we plot first? I like C equals one, no, don't C equals one Let's C equals zero, first C equals zero That's the line y = x + Okay, let me run and get that chalk So, I'll isoclines are in orange If so, when C equals zero, y equals x plus one So, let's say it's this curve C equals zero How about C equals negative one? Then it's y = x + It's this curve Well, let's label it down here So, this is C equals negative one C equals negative two would be y equals x, no, what am I doing? Được rồi, xét, vẽ gì? Tơi thích C một, khơng, khơng chọn C Chúng ta chọn C khơng Đó đường y = x + Được rồi, để tơi chạy lấy phấn Vì vậy, tơi tơ đường đẳng tà màu da cam Nếu vậy, C khơng, y x cộng Vì vậy, giả sử đường cong này.C khơng Cịn C trừ sao? Đó đường y = x + Nó đường cong Vâng, đặt tên đây.Vì vậy, C trừ C trừ hai y x, không, làm gì? C equals negative one is y = x + That's right Well, how about the other side? If C equals plus one, well, then it's going to go through the origin It looks like a little more room down here How about, so if this is going to be C equals one, then I sort of get the idea C equals two will look like this They're all going to be parallel lines because all that's changing is the y-intercept, as I this thing So, here, it's C equals two That's probably enough All right, let's put it in the line elements All right, C equals negative one These will be perpendicular C equals zero, like this C trừ y = x + Đúng Vâng, cịn vế sao? Nếu C cộng một, vâng, qua gốc tọa độ Dường có thêm khoảng trống Cịn, C một, tơi phần nhận ý tưởng C hai trông Tất chúng đường song song v ì tất thay đổi mặt phẳng y, tơi làm điều Vì vậy, đường đẳng tà C hai Điều có lẽ đủ Được rồi, đặt yếu tố đường thẳng vào Được rồi, C trừ Những vng góc C số không, giống C equals one Oh, this is interesting I can't even draw in the line elements because they seem to coincide with the curve itself, with the line itself They write y along the line, and that makes it hard to draw them in How about C equals two? Well, here, the line elements will be slanty They'll have slope two, so a pretty slanty up And, I can see if a C equals three in the same way There are going to be even more slantier up And here, they're going to be even more slanty down This is not very scientific terminology or mathematical, but you get the idea Okay, so there's our quick version of the direction field All we have to is put in some integral curves now Well, it looks like it's doing this It gets less slanty here It levels out, has slope zero C Ồ, điều thú vị Tôi vẽ vào yếu tố đường chúng trùng với đường cong, với đường Họ viết y dọc theo đ ường thẳng, làm cho khó để vẽ chúng vào? Cịn C sao? Vâng, đây, yếu tố đường nghiêng Chúng có hệ số góc hai, đó, h nghiêng lên Và, tơi hiểu C ba theo cách Thậm chí hệ số góc tăng nhiều Và đây, chúng chí nghiêng xuống Đây thuật ngữ khoa học tốn học, bạn có ý tưởng Được rồi, phiên nhanh tr ường có hướng Bây giờ, tất phải làm đặt vào số đường cong tích phân Vâng, làm điều Nó trở nên nghiêng Nó khựng lại, có hệ số góc không And now, in this part of the plain, the slope seems to be rising So, it must something like that This guy must something like this I'm a little doubtful of what I should be doing here Or, how about going from the other side? Well, it rises, gets a little, should it cross this? What should I do? Well, there's one integral curve, which is easy to see It's this one This line is both an isocline and an integral curve Và bây giờ, phần phẳng này, hệ số góc dường tăng lên Vì vậy, phải làm điều giống Thằng phải làm điều giống Tơi nghi ngờ tơi làm Hoặc, cịn sang phía khác sao? Vâng, tăng lên, chút, qua ? Tơi nên làm gì? Vâng, có đường cong tích phân, dễ nhìn thấy Đó Đường đường đẳng tà đồng thời đường cong tích phân It's everything, except drawable, [LAUGHTER] so, you understand this is the same line It's both orange and pink at the same time But I don't know what combination color that would make It doesn't look like a line, but be sympathetic Now, the question is, what's happening in this corridor? In the corridor, that's not a mathematical word either, between the isoclines for, well, what are they? They are the isoclines for C equals two, and C equals zero How does that corridor look? Well: something like this Over here, the lines all look like that And here, they all look like this Đó tất thứ, ngoại trừ kéo [CƯỜI] vậy, bạn thấy đường tương tự Nó có hai màu cam màu hồng lúc Nhưng không bi ết kết hợp màu tạo Nó khơng giống đường, giao cảm Bây giờ, câu hỏi đặt là, điều xảy hành lang này? Trong hành lang, khơng phải thuật ngữ tốn học, số đường đẳng tà, tốt, chúng gì? Chúng đường đẳng tà có C hai, C khơng Hành lang trơng nào? Vâng: Ở đây, tất đường đẳng tà giống Và đây, tất chúng giống nh The slope is two And, a hapless solution gets in there What's it to do? Well, you see that if a solution gets in that corridor, an integral curve gets in that corridor, no escape is possible It's like a lobster trap The lobster can walk in But it cannot walk out because things are always going in How could it escape? Well, it would have to double back, somehow, and remember, to escape, it has to be, to escape on the left side, it must be going horizontally Hệ số góc hai V à, nghiệm khơng ma y xuất (chính l đây) Nó để làm gì? Vâng, bạn có thấy nghiệm xuất hành lang đó, đường cong tích phân xuất hành lang đó, khơng Nó giống bẫy tơm hùm Tơm hùm có th ể vào bên Nhưng khơng thể ngồi thứ ln ln vào bên Làm khỏi đó? Vâng, phải gập lưng lại, cách đó, nhớ, để thốt, có thể, để bên trái, ph ải theo chiều ngang But, how could it that without doubling back first and having the wrong slope? The slope of everything in this corridor is positive, and to double back and escape, it would at some point have to have negative slope It can't that Well, could it escape on the right-hand side? No, because at the moment when it wants to cross, it will have to have a slope less than this line But all these spiky guys are pointing; it can't escape that way either So, no escape is possible It has to continue on, there But, more than that is true So, a solution can't escape Tuy nhiên, làm th ế làm điều mà khơng gập lưng lại có hệ số góc sai? Hệ số góc thứ h ành lang dương, g ập lưng lại ra, số điểm cần phải có hệ số góc âm Nó khơng thể làm điều Vâng, bên tay phải khơng? Khơng, lúc muốn qua, phải có độ dốc nhỏ đường Nhưng tất gã khó tính hướng đến, khơng thể đường Vì vậy, khơng Nó phải tiếp tục đi, Tuy nhiên, hết thật Vì vậy, nghiệm khơng thể Once it's in there, it can't escape It's like, what they call those plants, I forget, pitcher plants All they hear is they are going down So, it looks like that And so, the poor little insect falls in They could climb up the walls except that all the hairs are going the wrong direction, and it can't get over them Well, let's think of it that way: this poor trap solution So, it does what it has to Now, there's more to it than that Because there are two principles involved here that you should know, that help a lot in drawing these pictures Principle number one is that two integral curves cannot cross at an angle Two integral curves can't cross, I mean, by crossing at an angle like that I'll indicate what I mean by a picture like that Sau vào đó, khơng thể Giống là, họ gọi lồi thực vật gì, tơi qn, n ắp ấm Tất chúng cảm thấy chúng xuống Vì vậy, trơng Và vậy, trùng tội nghiệp rơi vào Chúng leo lên thành tất sợi lông sai hướng, khơng thể vượt qua chúng Vâng, ngh ĩ vậy: nghiệm bẫy tội nghiệp Vì vậy, làm phải làm Bây giờ, q xác Bởi có hai nguyên tắc liên quan mà bạn nên biết, trợ giúp nhiều việc vẽ ảnh n ày Nguyên tắc số hai đường cong tích phân khơng thể qua góc Hai đường cong khơng thể qua, ý tơi là, cách qua góc nh Tơi tơi muốn nói qua ảnh giống Now, why not? This is an important principle Let's put that up in the white box They can't cross because if two integral curves, are trying to cross, well, one will look like this It's an integral curve because it has this slope And, the other integral curve has this slope And now, they fight with each other What is the true slope at that point? Well, the direction field only allows you to have one slope If there's a line element at that point, it has a definite slope And therefore, it cannot have both the slope and that one It's as simple as that So, the reason is you can't have two slopes The direction field doesn't allow it Well, that's a big, big help because if I know, here's an integral curve, and if I know that none of these other pink integral curves are allowed to cross it, how else can I it? Bây giờ, không? Đây nguyên tắc quan trọng Hãy khoanh tròn phấn trắng Chúng khơng thể qua hai đường cong tích phân, c ố vượt qua, vâng, trông giống Nó đường cong tích phân v ì có hệ số góc Và, đường cong tích phân khác có hệ số góc Và bây giờ, chúng đấu tranh với Hệ số góc thực điểm bao nhi êu? Vâng, trường có hướng cho phép bạn có hệ số góc Nếu có yếu tố đ ường điểm đó, có hệ số góc định Và đó, khơng th ể có hai hệ số góc Nó đơn giản Vì vậy, lý bạn khơng thể có hai hệ số góc Tr ường có hướng khơng cho phép Vâng, trợ giúp lớn, giúp đỡ lớn, tơi biết, l đường cong tích phân, tơi biết khơng có đường cong tích phân màu hồng khác phép qua nó, tơi cịn làm nữa? Well, they can't escape They can't cross It's sort of clear that they must get closer and closer to it You know, I'd have to work a little to justify that But I think that nobody would have any doubt of it who did a little experimentation In other words, all these curves joined that little tube and get closer and closer to this line, y = x And there, without solving the differential equation, it's clear that all of these solutions, how they behave? As x goes to infinity, they become asymptotic to, they become closer and closer to the solution, x Is x a solution? Yeah, because y equals x is an integral curve Vâng, chúng không th ể Chúng khơng thể qua Rõ ràng chúng phải ngày gần với Bạn biết, phải làm việc chút để biện minh cho điều Nh ưng tơi nghĩ khơng có nghi ngờ người làm thử nghiệm nhỏ Nói cách khác, tất đường cong tụ vào ống nhỏ ngày gần với đường này, y = x Và đó, khơng cần giải phương trình vi phân, rõ ràng thấy nghiệm nào? Khi x đến vô cùng, chúng trở thành tiệm cận với, chúng trở nên ngày gần với nghiệm x x nghiệm phải không? Vâng , y x đường cong tích phân Is x a solution? Yeah, because if I plug in y equals x, I get what? On the right-hand side, I get one And on the left-hand side, I get one One equals one So, this is a solution Let's indicate that it's a solution So, analytically, we've discovered an analytic solution to the differential equation, namely, Y equals X, just by this geometric process Now, there's one more principle like that, which is less obvious But you have to know it So, you are not allowed to cross That's clear But it's much, much, much, much, much less obvious that two integral curves cannot touch That is, they cannot even be tangent Two integral curves cannot be tangent x nghiệm phải không? Vâng , tơi vào phương trình vi phân y x, tơi nhận gì? Ở vế phải, tơi có V vế trái, tơi có Một với Vì vậy, nghiệm Chúng ta chứng tỏ nghiệm Vì vậy, mặt giải tích, đ ã phát nghiệm giải tích phương trình vi phân, cụ thể là, y x, quy trình hình học Bây giờ, có thêm nguyên tắc giống thế, rõ ràng Nhưng bạn phải biết Vì vậy, bạn khơng phép bỏ qua Điều rõ ràng Nhưng rất hiển nhiên hai đường cong tích phân khơng thể chạm Nghĩa là, chúng khơng thể tiếp xúc Hai đường cong tích phân không th ể tiếp xúc I'll indicate that by the word touch, which is what a lot of people say In other words, if this is illegal, so is this It can't happen You know, without that, for example, it might be, I might feel that there would be nothing in this to prevent those curves from joining Why couldn't these pink curves join the line, y equals x? You know, it's a solution They just pitch a ride, as it were The answer is they cannot that because they have to just get asymptotic to it, ever, ever closer They can't join y equals x because at the point where they join, you have that situation Tôi thơng qua từ chạm , mà nhiều người nói Nói cách khác, điều không hợp lệ, điều Nó khơng thể xảy Bạn biết, khơng có điều đó, ví dụ, là, tơi cảm thấy khơng có để ngăn chặn đường cong tụ lại Tại đường cong màu hồng tụ lại vào đường y x? Bạn biết, nghiệm Chúng diễn tả đường đi, điều Câu trả lời chúng khơng thể làm điều đó, chúng phải tiệm cận với ngày gần Chúng tụ vào đường y x nơi mà chúng tụ vào, bạn có trường hợp Now, why can't you to have this? That's much more sophisticated than this, and the reason is because of something called the Existence and Uniqueness Theorem, which says that there is through a point, (x0, y0), that y prime equals y' = f(x, y) has only one, and only one solution One has one solution In mathematics speak, that means at least one solution It doesn't mean it has just one solution That's mathematical convention It has one solution, at least one solution But, the killer is, only one solution Bây giờ, bạn khơng thể có điều n ày? Cái phức tạp nhiều so với này, lý định lý tồn nhất, nội dung qua điểm, (x0, y0), y phẩy y '= f (x, y) có một, v nghiệm Nó có nghiệm Theo ngơn ngữ tốn học , điều có nghĩa nghiệm Chứ khơng có nghĩa có nghiệm Đó quy ước tốn học Nó có nghiệm , nghiệm Nhưng, kẻ giết người là, có nghiệm That's what you have to say in mathematics if you want just one, one, and only one solution through the point (x0, y0) So, the fact that it has one, that is the existence part The fact that it has only one is the uniqueness part of the theorem Now, like all good mathematical theorems, this one does have hypotheses So, this is not going to be a course, I warn you, those of you who are theoretically inclined, very rich in hypotheses But, hypotheses for those one or that f(x, y) should be a continuous function Now, like polynomial, signs, should be continuous near, in the vicinity of that point Đó mà bạn phải nói tốn học bạn muốn diễn đạt một, một, nghiệm qua điểm (x0, y0) Vì vậy, kiện có một, l phần tồn Sự kiện có phần định lý Bây giờ, giống nh tất định lý tốn học , có giả thuyết Vì vậy, khơng phải khóa học giàu giả thuyết, cảnh báo người số bạn nghiêng lý thuyết Tuy nhiên, giả thuyết cho f (x, y) phải hàm liên tục Bây giờ, giống nh đa thức, dấu, nên liên tục gần, vùng lân cận điểm That guarantees existence, and what guarantees uniqueness is the hypothesis that you would not guess by yourself Neither would I What guarantees the uniqueness is that also, it's partial derivative with respect to y should be continuous, should be continuous near (x0, y0) Well, I have to make a decision I don't have time to talk about Euler's method I'll refer you to the, there's one page of notes, and I couldn't any more than just repeat what's on those notes So, I'll trust you to read that Điều đảm bảo tồn tại, đảm bảo tính giả thuyết mà bạn khơng tự đốn Tơi khơng Những g ì đảm bảo tính là, đạo hàm riêng phần y cần liên tục, nên liên tục gần (x0, y0) Vâng, phải đưa định Tơi khơng có thời gian để nói ph ương pháp Euler Tôi giới thiệu bạn đến, có trang ghi chú, v tơi khơng thể làm lặp lại trang ghi chép Vì vậy, tơi tin bạn đọc And instead, let me give you an example which will solidify these things in your mind a little bit I think that's a better course The example is not in your notes, and therefore, remember, you heard it here first Okay, so what's the example? So, there is that differential equation Now, let's just solve it by separating variables Can you it in your head? dy over dx, put all the y's on the left It will look like dy / (1 - y) Put all the dx's on the left So, the dx here goes on the right, rather That will be dx And then, the x goes down into the denominator So now, it looks like that Và thay vào đó, h ãy để tơi cho bạn ví dụ để củng cố thứ tâm trí bạn Tơi nghĩ khóa học tốt Ví dụ khơng có sách bạn, đó, nhớ, bạn nghe lần Được rồi, ví dụ gì? Vâng, phương trình vi phân Bây giờ, giải cách tách biến Có thể bạn làm điều đầu bạn? dy dx, đặt tất y sang bên trái Nó có dạng dy / (1 - y) Đặt tất dx sang trái Vì vậy, dx sang bên phải Đó dx Và sau đó, x xuống mẫu số Vì vậy, bây giờ, có dạng And, if I integrate both sides, I get the log of one minus y, I guess, maybe with a, I never bothered with that, but you can It should be absolute values All right, put an absolute value, plus a constant And now, if I exponentiate both sides, the constant is positive So, this is going to look like y (1 - y) = x And, the constant will be e^C1 And, I'll just make that a new constant, Cx And now, by letting C be negative, that's why you can get rid of the absolute values, if you allow C to have negative values as well as positive values Let's write this in a more human form So, y = - Cx Good, all right, let's just plot those So, these are the solutions Và, tơi lấy tích phân hai vế, tơi log trừ y, tơi đốn, vớ i một, không phiền hà điều đó, bạn Nó nên giá trị tuyệt đối Được rồi, đặt vào dấu giá trị tuyệt đối, cộng số Và bây giờ, mũ hóa hai vế , số dương Vì vậy, có dạng y(1 - y) = x Và, số e ^ C1 Nó số mới, tơi đặt l Cx Và bây giờ, cách đặt C âm , lý bạn để bỏ giá trị tuyệt đối, bạn cho phép C có giá trị âm giá trị dương Hãy viết điều dạng nhân văn h ơn Như vậy, y = - Cx Tốt, rồi, vẽ đồ thị Vì vậy, nghiệm It's a pretty easy equation, pretty easy solution method, just separation of variables What they look like? Well, these are all lines whose intercept is at one And, they have any slope whatsoever So, these are the lines that look like that Okay, now let me ask, existence and uniqueness Existence: through which points of the plane does the solution go? Answer: through every point of the plane, through any point here, I can find one and only one of those lines, except for these stupid guys here on the stalk of the flower Here, for each of these points, there is no existence There is no solution to this differential equation, which goes through any of these wiggly points on the y-axis, with one exception Đó phương trình dễ, phương pháp giải dễ dàng, cần tách biến Chúng giống gì? Vâng, tất đường thẳng mà giao điểm chúng điểm y Và, chúng có hệ số góc Vì vậy, đường giống Được rồi, để yêu cầu, tồn tính Sự tồn tại: điểm mặt phẳng mà nghiệm qua? Trả lời: qua điểm mặt phẳng, qua điểm đây, tơi tìm thấy đường này, ngoại trừ kẻ ngu ngốc cuống hoa Ở đây, điểm này, khơng có tồn Khơng có nghiệm phương trình vi phân qua điểm lăng quăng trục y, với ngoại lệ This point is oversupplied At this point, it's not existence that fails It's uniqueness that fails: no uniqueness There are lots of things which go through here Now, is that a violation of the existence and uniqueness theorem? It cannot be a violation because the theorem has no exceptions Otherwise, it wouldn't be a theorem So, let's take a look What's wrong? We thought we solved it modulo, putting the absolute value signs on the log What's wrong? The answer: what's wrong is to use the theorem you must write the differential equation in standard form, in the green form I gave you Let's write the differential equation the way we were supposed to It says dy / dx = (1 - y) / x Điểm cung cấp mức Tại điểm này, khơng phải khơng tồn sai Tính sai: khơng có tính Có r ất nhiều thứ qua Bây giờ, vi phạm định lí tồn phải khơng? Nó khơng thể vi phạm định lí khơng có trường hợp ngoại lệ Ng ược lại, khơng phải định lí Vì vậy, xem xét Có khơng ổn? Chúng tơi nghĩ chúng tơi giải theo modun, đặt dấu giá trị tuyệt đối tr ên log Có khơng ổn? Câu trả lời: Những sai để sử dụng định lý bạn phải viết phương trình vi phân dạng tiêu chuẩn, dạng màu xanh mà cho bạn Hãy viết phương trình vi phân theo cách mà phép Có dạng dy / dx = (1 - y) / x And now, I see, the right-hand side is not continuous, in fact, not even defined when x equals zero, when along the y-axis And therefore, the existence and uniqueness is not guaranteed along the line, x equals zero of the y-axis And, in fact, we see that it failed Now, as a practical matter, it's the way existence and uniqueness fails in all ordinary life work with differential equations is not through sophisticated examples that mathematicians can construct Và bây giờ, thấy, vế phải khơng liên tục, thực, chí khơng xác định x không, tức dọc theo trục y Và đó, tính tồn không đảm bảo dọc theo đường, x không trục y Và, thực tế, thấy sai Bây giờ, vấn đề thực tế, cách mà tính tồn sai tất công việc đời sống bình thường với phương trình vi phân khơng phải qua ví dụ phức tạp nhà tốn học tạo nên But normally, because f(x, y) will fail to be defined somewhere, and those will be the bad points Thanks Nhưng bình thường, f (x, y) khơng xác định nơi đó, điểm xấu Cảm ơn