CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

Chuyên đề phương trình vi phân cấ p 2 Biên so ạ n th ầy Lê Dũng Trí FB Tri Tri Le Xét phương trình Phương trình tuyế n tính c ấ p 2 h ệ s ố h ằ ng Phương trình tuyế n tính c ấ p 2 h ệ s ố h ằ ng có d ạ ng t ổ ng quát là: 1 2 " '''' ( ) x y a y a y e f x     (1) Cách gi ải xét phương trình đặc trưng 0 2 1 2    a k a k  N ế u phương trình đ ặ c trưng có 2 nghi ệ m th ự c phân bi ệ t k1,k2 x k x k e c e c y 2 1 2 1   N ếu phương trình đặc trưng có nghiệ m kép k1=k2=k kx e x c c y ) ( 2 1    N ế u phương trình đ ặ c trưng có nghi ệ m ph ứ c            i k i k 2 1 ) sin cos ( 2 1 x c x c e y x      Các e chú í y là nghi ệ m c ủ a pt tuy ế n tính c ấ p 2 thu ầ n nh ấ t h ệ s ố h ằ ng t ứ c là nghi ệ m c ủ a pt 0 '''' " 2 1    y a y a y r y r y Chúng ta dùng phương pháp hệ s ố b ất định để GPT (1) G ọ i nghi ệ m riêng c ủ a pt 1 là , để tìm đượ c các e c ầ n chú í -N ế u  1, 2 k k  thì r y = x e  g(x) N ế u  trùng v ớ i 1 trong 2 giá tr ị k1, ho ặ c k2 thì r y = x e  g(x) x N ế u  trùng v ớ i c ả k1 và k2 thì r y = x e  g(x) 2 x Chú í g(x) là 1 đa thứ c cùng b ậ c v ớ i f(x) Sau đó tính '''' r y và '''''''' r y xem r y là y , '''' r y là y’ và '''''''' r y là y’’ thay vào pt 1 ban đầ u tìm c ụ th ể r y =?  (quá trình tìm r y s ử d ụng đồ ng nh ấ t h ệ s ố ) K ế t lu ậ n v ậ y nghi ệ m c ủ a pt là y= y + r y Ví d ụ 1 Gi ải phương trình sau 3 2 " 3 '''' 2 ( ) x y y y e x x     (2) GI Ả I Xét phương trình đặc trưng 2 3 2 0 k k    có 2 1 2 1 2 1, 2 x x k k y c e c e      α = 3 1, 2 k k  , trườ ng h ợ p 1 r y = 3 2 ( ) x e Ax Bx C   vì f(x) = 2 x x  là đa thứ c b ậc 2 nên g(x) cũng là đa thứ c b ậc 2, 1 đa thứ c b ậ c 2 có d ạ ng 2 Ax Bx C   ta d ễ dàng tính đượ c '''' r y và '''''''' r y thay vào pt 2 thu đượ c A = ½ , B =-1, C =1 v ậ y r y = 3 2 1 ( 1) 2 x e x x   kl v ậ y nghi ệ m pt là y= 2 3 2 1 2 1 ( ) ( 1) 2 x x x c e c e e x x     Ví d ụ 2 Gi ải phương trình sau 2 " 4 '''' 4 x y y y xe    (3) Xét phương trình đặc trưng 2 4 4 0 k k    nghi ệ m kép 2 1 2 1 2 2 ( ) x k k y c c x e      ta có α = 2 t rùng v ớ i c ả k1, k2 và f(x)=x là 1 đa th ứ c b ậ c nh ấ t nên g(x) cũng s ẽ là đa th ứ c b ậ c nh ấ t v ậ y g(x)=Ax+B Theo lí thuy ết trên rơi vào trườ ng h ợ p 3 v ậ y r y = x 2 e 2x (Ax + B), tính '''' r y và '''''''' r y * th ế vào phương trình ( 3 ) ta tính đượ c 1 , 0 6 A B   v ậ y r y = 2 2 1 ( ) 6 x x x e KL v ậ y nghi ệ m pt là y= 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) 6 x x c c x e x x e   Ví d ụ 3 Gi ải phương trình sau " 3 '''' 2 y y y   = 3 x e (4) Xét phương trình đặc trưng 2 3 2 0 k k    có 2 1 2 1 2 1, 2 x x k k y c e c e      α = 3 1, 2 k k  , trườ ng h ợ p 1 r y = 3 x e A (Vì hàm f(x)=1 là đa thứ c b ậ c O Nên g(x) s ẽ là đa thứ c b ậ c O v ậ y g(x) có d ạ ng g(x)=A TA CÓ '''' r y = 3 x e 3A và '''''''' r y = 3 x e 9A Thay vào pt (4) ta có 3 x e 9A- 3 x e 9A+2 3 x e A = 3 x e A=1/2 V Ậ Y r y = 3 x e 1/2 Kl v ậ y nghi ệ m pt là y= 2 1 2 x x c e c e  + 3 x e 1/2 Chú í phươn g trình tuy ế n tính c ấ p 2 h ệ s ố h ằ ng d ạ ng 1 2 " '''' y a y a y   ( ) [ ( )(cos ( ) sin ] x x e f x e P x x Q x x        Cách gi ải ta cũng xét phương trình đặc trưng 0 2 1 2    a k a k nhu tren y  Cái khác so v ớ i d ạ ng toán trên n ằ m ở ch ỗ r y  N ế u α ± iβ không ph ả i là nghi ệ m c ủa phương trình đặc trưng thì [ ( )cos ( )sin ] x r y e H x x K x x       N ế u α ± iβ là nghi ệ m c ủ a c ủa phương trình đặc trưng thì  [ ( )cos ( )sin ] x r y x e H x x K x x      Tính '''' r y và '''''''' r y xem r y là y , '''' r y là y’ và '''''''' r y là y’’ thay vào pt 1 ban đầ u tìm c ụ th ể r y =?  (quá trình tìm r y s ử d ụng đồ ng nh ấ t h ệ s ố ) trong đó H(x) và K(x) là 2 đa thức có bậc =max bậc của 2 đa thức P(x) và Q(x)  Ví d ụ 1 gi ải phương trình sau " 9 18cos3 30sin 3 y y x x    (6) Phương trình đặc trưng 2 9 0 k   có nghi ệ m 1 2 3 , 3 k i k i    nên 1 2 ( cos3 sin 3 ) ox y e c x c x    0, 3     Ta có 3 i i      là nghi ệ m c ủa pt đặc trưng và p(x)=18 và Q(x)= - 30 đây là 2 đa thứ c b ậ c O NÊN H(x) và K(x) LÀ 2 ĐA THỨ C B Ậ C O H(x)=A K(x)=B ( cos3 sin 3 ) ox r y xe A x B x   ta tính '''' r y và '''''''' r y , thay vào pt (6) Tìm c ụ th ể đượ c 5, 3 A B   V ậ y nghi ệ m t ổ ng quát c ủa phương trình đầ u là Ví d ụ 2 gi ải phương trình sau " '''' sin 2 y y x    (8) Ta có 2 i i      không ph ả i là nghi ệ m c ủa pt đặc trưng vì phương trifnhd dặc trưng là 2 1 0 k   cho nghi ệ m 1 và -1 r y y y   ) 3 sin 3 3 cos 5 ( ) 3 sin 3 cos ( 2 1 x x x x c x c     ( 0, 2, ( ) 0, ( ) 1) P x Q x       P(x) và Q(x) đây là 2 đa thứ c b ậ c O nên H(x)=A và K(x)=B nên Tính '''' r y và '''''''' r y , thay vào pt (8) T hu đượ c 1 1 , 10 5 A B    v ậ y r y = 1 1 ( cos2 sin2 ) 5 10 x x   K ế t lu ậ n 1 1 ( ) 5 ( cos2 sin2 ) 1 2 5 10 ox x x y c e c e xe x x       cos 2 sin 2 r y A x B x  

Biên soạn thầy Lê Dũng Trí

FB Tri Tri Le

Xét phương trình Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng có dạng tổng quát là:

" ' x ( )

y  a y  a y  e f x (1) Cách giải xét phương trình đặc trưng k2a1ka2 0

x k x

e c e c

2

Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép k1=k2=k

kx

e x c c

y( 1 2 )























i k

i k

2 1

) sin cos

(c1 x c2 x e

Các e chú í y là nghiệm của pt tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng tức là nghiệm của pt

0 '

"  a1y  a2y 

y

r

Gọi nghiệm riêng của pt 1 là , để tìm được các e cần chú í -Nếu  k k1, 2 thì y =ex.g(x)

Nếu  trùng với 1 trong 2 giá trị k1, hoặc k2 thì yr=ex.g(x).x

Nếu  trùng với cả k1 và k2 thì yr= x

e g(x) 2

x

Chú í g(x) là 1 đa thức cùng bậc với f(x)

Sau đó tính y'r và y''r xem yr là y , y'r là y’ và y''r là y’’ thay vào pt 1 ban đầu tìm cụ thể yr=?

 (quá trình tìm yr sử dụng đồng nhất hệ số)

Kết luận vậy nghiệm của pt là y=y+yr

Ví dụ 1 Giải phương trình sau y" 3 ' 2 y  ye3x(x2x) (2)

GIẢI

Xét phương trình đặc trưng k23k 2 0 có k1 1, k2    2 y c e1 x c e2 2x

α = 3 k k1, 2, trường hợp 1 yr=e3x.(Ax2Bx C ) vì f(x) =x2 x là đa thức bậc 2 nên g(x) cũng là

đa thức bậc 2, 1 đa thức bậc 2 có dạng Ax2Bx C

ta dễ dàng tính được y'r và y''r thay vào pt 2 thu được A= ½ , B=-1, C=1

2

x

e x  x

1

2

c e c e e x  x

Ví dụ 2 Giải phương trình sau y" 4 ' 4 y  yxe2x(3)

Xét phương trình đặc trưng k24k 4 0 nghiệm kép

2

k  k    y c  c x e ta có α = 2 t rùng với cả k1, k2 và f(x)=x là 1 đa thức bậc nhất nên g(x) cũng sẽ là đa thức bậc nhất vậy g(x)=Ax+B

Theo lí thuyết trên rơi vào trường hợp 3 vậy yr =x 2 e 2x (Ax + B), tính y'r và y''r

* thế vào phương trình ( 3 ) ta tính được 1, 0

6

A B

vậy yr= 2(1 ) 2

6

x

1

6

c c x e x x e

Ví dụ 3 Giải phương trình sau y" 3 ' 2 y  y=e 3x(4)

Xét phương trình đặc trưng k23k 2 0 có k1 1, k2    2 y c e1 x c e2 2x

α = 3 k k1, 2, trường hợp 1 yr=e 3x.A (Vì hàm f(x)=1 là đa thức bậc O Nên g(x) sẽ là đa thức bậc

O vậy g(x) có dạng g(x)=A

TA CÓ y'r=e 3x.3A và y''r=e 3x.9A Thay vào pt (4) ta có e 3x.9A-e 3x.9A+2 e 3x.A =e 3x

A=1/2

VẬY yr= 3x

Kl vậy nghiệm pt là y=c e1 x c e2 2x+e3x.1/2

Chú í phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng dạng

" '

y a y a y ex ( )f x ex[ ( )(cosP x x Q x ( ).sinx]

Cách giải ta cũng xét phương trình đặc trưng k2a1ka2 0

 y nhu tren

Cái khác so với dạng toán trên nằm ở chỗ yr

 Nếu α ± iβ không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng thì

[ ( ) cos ( )sin ]

x

r

y  e H x  x  K x  x

 Nếu α ± iβ là nghiệm của của phương trình đặc trưng thì

 yr  x e x[ ( ) cos H x  x  K x ( )sin  x ]

Tính y'r và y''r xem yr là y , y'r là y’ và y''r là y’’ thay vào pt 1 ban đầu tìm cụ thể yr=?

 (quá trình tìm y sử dụng đồng nhất hệ số)

trong đó H(x) và K(x) là 2 đa thức có bậc =max bậc của 2

đa thức P(x) và Q(x)



Ví dụ 1 giải phương trình sau y" 9 y18cos3x30sin 3x(6)

Phương trình đặc trưng

2

9 0

k  i k   i nên   y eox( cos 3 c1 x c  2sin 3 ) x

3

NÊN H(x) và K(x) LÀ 2 ĐA THỨC BẬC O

H(x)=A

K(x)=B

( cos 3 sin 3 )

ox r

Tìm cụ thể được A5,B3

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đầu là

Ví dụ 2 giải phương trình sau y "    y ' sin 2 x (8)

Ta có    i   2 i không phải là nghiệm của pt đặc trưng vì phương trifnhd dặc trưng là k2 1 0

cho nghiệm 1 và -1

r

y  y  y

) 3 sin 3 3

cos 5

( )

3 sin 3

cos

( c 1 x  c 2 x  x x  x



(   0,   2, ( ) 0, ( ) P x  Q x  1)

P(x) và Q(x)

đây là 2 đa thức bậc O nên H(x)=A và K(x)=B nên

Tính y'r và y''r, thay vào pt (8)

5

Kết luận

cos 2 sin 2

r

y  A x  B x