Chuyên đề phương trình vi phân cấ p 2 Biên so ạ n th ầy Lê Dũng Trí FB Tri Tri Le Xét phương trình Phương trình tuyế n tính c ấ p 2 h ệ s ố h ằ ng Phương trình tuyế n tính c ấ p 2 h ệ s ố h ằ ng có d ạ ng t ổ ng quát là: 1 2 " '''' ( ) x y a y a y e f x (1) Cách gi ải xét phương trình đặc trưng 0 2 1 2 a k a k N ế u phương trình đ ặ c trưng có 2 nghi ệ m th ự c phân bi ệ t k1,k2 x k x k e c e c y 2 1 2 1 N ếu phương trình đặc trưng có nghiệ m kép k1=k2=k kx e x c c y ) ( 2 1 N ế u phương trình đ ặ c trưng có nghi ệ m ph ứ c i k i k 2 1 ) sin cos ( 2 1 x c x c e y x Các e chú í y là nghi ệ m c ủ a pt tuy ế n tính c ấ p 2 thu ầ n nh ấ t h ệ s ố h ằ ng t ứ c là nghi ệ m c ủ a pt 0 '''' " 2 1 y a y a y r y r y Chúng ta dùng phương pháp hệ s ố b ất định để GPT (1) G ọ i nghi ệ m riêng c ủ a pt 1 là , để tìm đượ c các e c ầ n chú í -N ế u 1, 2 k k thì r y = x e g(x) N ế u trùng v ớ i 1 trong 2 giá tr ị k1, ho ặ c k2 thì r y = x e g(x) x N ế u trùng v ớ i c ả k1 và k2 thì r y = x e g(x) 2 x Chú í g(x) là 1 đa thứ c cùng b ậ c v ớ i f(x) Sau đó tính '''' r y và '''''''' r y xem r y là y , '''' r y là y’ và '''''''' r y là y’’ thay vào pt 1 ban đầ u tìm c ụ th ể r y =? (quá trình tìm r y s ử d ụng đồ ng nh ấ t h ệ s ố ) K ế t lu ậ n v ậ y nghi ệ m c ủ a pt là y= y + r y Ví d ụ 1 Gi ải phương trình sau 3 2 " 3 '''' 2 ( ) x y y y e x x (2) GI Ả I Xét phương trình đặc trưng 2 3 2 0 k k có 2 1 2 1 2 1, 2 x x k k y c e c e α = 3 1, 2 k k , trườ ng h ợ p 1 r y = 3 2 ( ) x e Ax Bx C vì f(x) = 2 x x là đa thứ c b ậc 2 nên g(x) cũng là đa thứ c b ậc 2, 1 đa thứ c b ậ c 2 có d ạ ng 2 Ax Bx C ta d ễ dàng tính đượ c '''' r y và '''''''' r y thay vào pt 2 thu đượ c A = ½ , B =-1, C =1 v ậ y r y = 3 2 1 ( 1) 2 x e x x kl v ậ y nghi ệ m pt là y= 2 3 2 1 2 1 ( ) ( 1) 2 x x x c e c e e x x Ví d ụ 2 Gi ải phương trình sau 2 " 4 '''' 4 x y y y xe (3) Xét phương trình đặc trưng 2 4 4 0 k k nghi ệ m kép 2 1 2 1 2 2 ( ) x k k y c c x e ta có α = 2 t rùng v ớ i c ả k1, k2 và f(x)=x là 1 đa th ứ c b ậ c nh ấ t nên g(x) cũng s ẽ là đa th ứ c b ậ c nh ấ t v ậ y g(x)=Ax+B Theo lí thuy ết trên rơi vào trườ ng h ợ p 3 v ậ y r y = x 2 e 2x (Ax + B), tính '''' r y và '''''''' r y * th ế vào phương trình ( 3 ) ta tính đượ c 1 , 0 6 A B v ậ y r y = 2 2 1 ( ) 6 x x x e KL v ậ y nghi ệ m pt là y= 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) 6 x x c c x e x x e Ví d ụ 3 Gi ải phương trình sau " 3 '''' 2 y y y = 3 x e (4) Xét phương trình đặc trưng 2 3 2 0 k k có 2 1 2 1 2 1, 2 x x k k y c e c e α = 3 1, 2 k k , trườ ng h ợ p 1 r y = 3 x e A (Vì hàm f(x)=1 là đa thứ c b ậ c O Nên g(x) s ẽ là đa thứ c b ậ c O v ậ y g(x) có d ạ ng g(x)=A TA CÓ '''' r y = 3 x e 3A và '''''''' r y = 3 x e 9A Thay vào pt (4) ta có 3 x e 9A- 3 x e 9A+2 3 x e A = 3 x e A=1/2 V Ậ Y r y = 3 x e 1/2 Kl v ậ y nghi ệ m pt là y= 2 1 2 x x c e c e + 3 x e 1/2 Chú í phươn g trình tuy ế n tính c ấ p 2 h ệ s ố h ằ ng d ạ ng 1 2 " '''' y a y a y ( ) [ ( )(cos ( ) sin ] x x e f x e P x x Q x x Cách gi ải ta cũng xét phương trình đặc trưng 0 2 1 2 a k a k nhu tren y Cái khác so v ớ i d ạ ng toán trên n ằ m ở ch ỗ r y N ế u α ± iβ không ph ả i là nghi ệ m c ủa phương trình đặc trưng thì [ ( )cos ( )sin ] x r y e H x x K x x N ế u α ± iβ là nghi ệ m c ủ a c ủa phương trình đặc trưng thì [ ( )cos ( )sin ] x r y x e H x x K x x Tính '''' r y và '''''''' r y xem r y là y , '''' r y là y’ và '''''''' r y là y’’ thay vào pt 1 ban đầ u tìm c ụ th ể r y =? (quá trình tìm r y s ử d ụng đồ ng nh ấ t h ệ s ố ) trong đó H(x) và K(x) là 2 đa thức có bậc =max bậc của 2 đa thức P(x) và Q(x) Ví d ụ 1 gi ải phương trình sau " 9 18cos3 30sin 3 y y x x (6) Phương trình đặc trưng 2 9 0 k có nghi ệ m 1 2 3 , 3 k i k i nên 1 2 ( cos3 sin 3 ) ox y e c x c x 0, 3 Ta có 3 i i là nghi ệ m c ủa pt đặc trưng và p(x)=18 và Q(x)= - 30 đây là 2 đa thứ c b ậ c O NÊN H(x) và K(x) LÀ 2 ĐA THỨ C B Ậ C O H(x)=A K(x)=B ( cos3 sin 3 ) ox r y xe A x B x ta tính '''' r y và '''''''' r y , thay vào pt (6) Tìm c ụ th ể đượ c 5, 3 A B V ậ y nghi ệ m t ổ ng quát c ủa phương trình đầ u là Ví d ụ 2 gi ải phương trình sau " '''' sin 2 y y x (8) Ta có 2 i i không ph ả i là nghi ệ m c ủa pt đặc trưng vì phương trifnhd dặc trưng là 2 1 0 k cho nghi ệ m 1 và -1 r y y y ) 3 sin 3 3 cos 5 ( ) 3 sin 3 cos ( 2 1 x x x x c x c ( 0, 2, ( ) 0, ( ) 1) P x Q x P(x) và Q(x) đây là 2 đa thứ c b ậ c O nên H(x)=A và K(x)=B nên Tính '''' r y và '''''''' r y , thay vào pt (8) T hu đượ c 1 1 , 10 5 A B v ậ y r y = 1 1 ( cos2 sin2 ) 5 10 x x K ế t lu ậ n 1 1 ( ) 5 ( cos2 sin2 ) 1 2 5 10 ox x x y c e c e xe x x cos 2 sin 2 r y A x B x
Chuyên đề phương trình vi phân cấp Biên soạn thầy Lê Dũng Trí FB Tri Tri Le Xét phương trình Phương trình tuyến tính cấp hệ số Phương trình tuyến tính cấp hệ số có dạng tổng quát là: y " a1 y ' a2 y e x f ( x) (1) Cách giải xét phương trình đặc trưng k a1k a2 Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm thực phân biệt k1,k2 y c1ek1x c2e k2 x Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép k1=k2=k y (c1 c2 x)ekx Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức k1 i k i y ex (c1 cos x c2 sin x) Các e í y nghiệm pt tuyến tính cấp hệ số tức nghiệm pt y"a1 y'a2 y Chúng ta dùng phương pháp hệ số bất định để GPT (1) Gọi nghiệm riêng pt -Nếu ,yr để tìm yr e cần í k1, k yr = e x g(x) Nếu trùng với giá trị k1, k2 yr = e x g(x).x Nếu trùng với k1 k2 yr = e x g(x) x Chú í g(x) đa thức bậc với f(x) Sau tính y 'r y ''r xem yr y , y 'r y’ y ''r y’’ thay vào pt ban đầu tìm cụ thể yr =? (quá trình tìm yr sử dụng đồng hệ số) Kết luận nghiệm pt y= y + yr Ví dụ Giải phương trình sau y " y ' y e3 x ( x x) (2) GIẢI Xét phương trình đặc trưng k 3k có k1 1, k2 y c1e x c2e2 x α=3 k1, k , trường hợp yr = e3 x ( Ax2 Bx C ) f(x) = x x đa thức bậc nên g(x) đa thức bậc 2, đa thức bậc có dạng Ax2 Bx C ta dễ dàng tính y 'r y ''r thay vào pt thu A= ½ , B=-1, C=1 yr = e3 x ( x x 1) kl nghiệm pt y= (c1e x c2e2 x ) e3 x ( x x 1) Ví dụ Giải phương trình sau y " y ' y xe2 x (3) Xét phương trình đặc trưng k 4k nghiệm kép k1 k2 y (c1 c2 x)e2 x ta có α = trùng với k1, k2 f(x)=x đa thức bậc nên g(x) đa thức bậc g(x)=Ax+B Theo lí thuyết rơi vào trường hợp yr =x2e2x.(Ax + B), tính y 'r * vào phương trình ( ) ta tính A , B y ''r yr = x ( x).e2 x KL nghiệm pt y= (c1 c2 x)e2 x x ( x).e2 x Ví dụ Giải phương trình sau y " y ' y = e3x (4) Xét phương trình đặc trưng k 3k có k1 1, k2 y c1e x c2e2 x α=3 k1, k , trường hợp yr = e3x A (Vì hàm f(x)=1 đa thức bậc O Nên g(x) đa thức bậc O g(x) có dạng g(x)=A TA CĨ y 'r = e3x 3A y ''r = e3x 9A Thay vào pt (4) ta có e3x 9A- e3x 9A+2 e3x A = e3x A=1/2 VẬY yr = e3x 1/2 Kl nghiệm pt y= c1e x c2e2 x + e3x 1/2 Chú í phương trình tuyến tính cấp hệ số dạng y " a1 y ' a2 y e x f ( x) e x [ P( x)(cos x Q( x).sin x] Cách giải ta xét phương trình đặc trưng k a1k a2 y nhu tren Cái khác so với dạng toán nằm chỗ yr Nếu α ± iβ nghiệm phương trình đặc trưng yr e x [ H ( x) cos x K ( x)sin x] Nếu α ± iβ nghiệm của phương trình đặc trưng yr x.e x [ H ( x) cos x K ( x)sin x] H(x) K(x) đa thức có bậc =max bậc đa thức P(x) Q(x) Tính y 'r y ''r xem yr y , y 'r y’ y ''r y’’ thay vào pt ban đầu tìm cụ thể yr =? (quá trình tìm yr sử dụng đồng hệ số) Ví dụ giải phương trình sau y " y 18cos3x 30sin 3x (6) Phương trình đặc trưng k có nghiệm k1 3i, k2 3i nên y eox (c1 cos3x c2 sin 3x) 0, 3 Ta có i 3i nghiệm pt đặc trưng p(x)=18 Q(x)=-30 đa thức bậc O NÊN H(x) K(x) LÀ ĐA THỨC BẬC O H(x)=A K(x)=B yr xeox ( A cos3x B sin 3x) ta tính y 'r y ''r , thay vào pt (6) Tìm cụ thể A 5, B Vậy nghiệm tổng quát phương trình đầu y y yr (c1 cos 3x c2 sin 3x) x(5 cos 3x sin 3x) Ví dụ giải phương trình sau y " y ' sin x (8) Ta có i 2i khơng phải nghiệm pt đặc trưng phương trifnhd dặc trưng k cho nghiệm -1 ( 0, 2, P(x) 0,Q (x) 1) P(x) Q(x) đa thức bậc O nên H(x)=A K(x)=B nên yr A cos x B sin x Tính y 'r y ''r , thay vào pt (8) Thu A 1 , B yr = 10 ( cos2x 1sin2x) 10 Kết luận y (c eox c ex)5xex ( cos2x 1sin2x) 10