Phương trình vi phân cấp 1

Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1.Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp tổng qt có dạng F(x, y, y’) = Ở đây: hay y’ = f(x,y) x biến độc lập, y(x) hàm chưa biết y’(x) đạo hàm Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp hàm y=φ(x,c) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Nghiệm nhận từ nghiệm tổng quát cho số c giá trị cụ thể gọi nghiệm riêng Nghiệm phương trình vi phân cấp nghiệm khơng nhận từ nghiệm tổng quát cho dù c lấy giá trị gọi nghiệm kỳ dị CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt VD: Xét phương trình vi phân cấp y' Ta có: dy y' y y (*) dx dy y dy y CuuDuongThanCong.com dx x c ( ĐK : y arcsin y 1) x https://fb.com/tailieudientucntt c y sin( x Trường hợp: y= c) Đây nghiệm tổng quát thỏa phương trình (*) nên nghiệm phương trình vi phân chúng không nhận từ nghiệm tổng quát nên nghiệm kỳ dị Bài toán Cauchy Bài tốn Cauchy tốn tìm nghiệm phương trình vi phân cấp kiện ban đầu y’=f(x,y) thỏa điều y(xo) = yo CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt VD: Xét tốn Cauchy Ta có: y' dy y dy y dx x dx x x ĐK :y dy dx y x y y' y c x, c ln y ln x thỏa y(1) = ln c , c 0 Từ điều kiện đầu y(1)=2 ta giải c=2 Vậy nghiệm toán thỏa điều kiện đầu y(1)=2 y=2.x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Nhận xét: Nghiệm toán Cauchy nghiệm riêng Các loại phương trình vi phân cấp 3.1 Phương trình tách biến a Dạng: f(x)dx + g(y)dy = b Cách giải: Bằng cách lấy tích phân ta nghiệm tổng quát phương trình là: f ( x ) dx CuuDuongThanCong.com g ( y ) dy c https://fb.com/tailieudientucntt VD: Giải phương trình vi phân xdx ydy xdx Ta có: x x ydy y y c c 2c nghiệm phương trình CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt c Một số phương trình vi phân cấp đưa dạng tách biến Phương trình dạng: y’=f(y) • Nếu f(y) ≠ phương trình đưa dạng tách biến: dy f ( y) • Nếu f(y) = dx có nghiệm y=b y=b nghiệm riêng phương trình CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt VD: Tìm nghiệm phương trình y' y thỏa điều kiện y Ta có: y' dx y y dy dy y CuuDuongThanCong.com y dy y y( ) 2 y ( ĐK : y dx dx https://fb.com/tailieudientucntt 1) y x Từ điều kiện đầu ta giải c y( ) 2 c=0 Vậy nghiệm toán Trường hợp: y y x không thỏa điều kiện đầu nên ta loại nghiệm CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt y' z' y Nhân vế phương trình đầu với y' y z' z x xy y ta được: ln x x ln x x (đây phương trình tuyến tính cấp 1) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt z(x) x[ ln x x z(x) y x[ ln x Trường hợp y 2 ln x x dx x c] c] cx thỏa mãn phương trình ta nhận nghiệm CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 3.5 Phương trình vi phân toàn phần a) Dạng: P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy Ở đây: P ( x , y ), Q ( x , y ) đạo hàm riêng hàm liên tục miền D thỏa mãn P y điều kiện Q x ; (x, y) Khi đó: U ( x , y ) thỏa dU b) Cách giải: Vì dU ( x , y ) nên U x CuuDuongThanCong.com P , U y D P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy Q https://fb.com/tailieudientucntt Từ U x Từ U y P Q U (x, y) y P ( x , y ) dx ( P ( x , y ) dx ) c '( y ) c( y) Q (x, y) Ta tính c ' ( y ) , từ suy c ( y ) cuối ta tìm hàm U ( x , y ) mà dU ( x , y ) P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy Suy nghiệm toán là: U ( x , y ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt c VD1: Giải phương trình vi phân: (x Vì y ) dx Q x P y (x y ) dy nên phương trình vi phân tồn phần Do đó: U (x, y) U x U y CuuDuongThanCong.com : dU P Q P ( x , y ) dx x x y y Q ( x , y ) dy (1 ) (2) https://fb.com/tailieudientucntt Từ (1) U ( x, y ) (x y 1) dx c( y) x U (x, y) U y x c '( y ) c'( y ) CuuDuongThanCong.com y y c( y) Vậy: U ( x , y ) xy x x c( y) y 3 3y x y c1 3 xy x 3y https://fb.com/tailieudientucntt c1 Nghiệm toán là: x 2 x y U (x, y) c2 3 y xy x 3y c1 xy x 3y c c2 3 VD2: Giải phương trình vi phân (x Vì P y Q x CuuDuongThanCong.com y ) dx (e y x ) dy nên PT vi phân tịan phần https://fb.com/tailieudientucntt Do : U ( x , y ) U x U y Từ (1) P Q : dU x e U (x, y) P ( x , y ) dx y y (1 ) (2) x (x Q ( x , y ) dy y ) dx c( y) U (x, y) U y CuuDuongThanCong.com x x c '( y ) xy x x c( y) e y https://fb.com/tailieudientucntt c'( y ) e y c( y) e y c1 Vậy U ( x , y ) x xy x e y c1 Vậy nghiệm phương trình x xy x e y c1 c2 x CuuDuongThanCong.com xy x e y c https://fb.com/tailieudientucntt c) Thừa số tích phân Khi phương trình P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy khơng phương trình vi phân tồn phần có hàm H ( x , y ) cho nhân vế phương trình với H ( x , y ) ta phương trình: H ( x , y ) P ( x , y ) dx H ( x , y ) Q ( x , y ) dy phương trình vi phân tồn phần Lúc này: Hàm H ( x , y ) gọi thừa số tích phân CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Nói chung khơng có phương pháp tổng qt để tìm thừa số tích phân Ta xét trường hợp đơn giản nhất: Nếu P Q y x f (x) Q Nếu đó: H (x, y) P Q y x H (x) e f ( x ) dx g ( y) P đó: H ( x , y ) CuuDuongThanCong.com H ( y) e https://fb.com/tailieudientucntt g ( y ) dy VD1: Giải phương trình vi phân (x Ta có: sin P y y ) dx x sin ydy sin y cos y ; Q x sin y Vậy khơng phải phương trình vi phân tồn phần Nhận xét: Q P y x Q x Do thừa số tích phân H ( x ) CuuDuongThanCong.com e dy x https://fb.com/tailieudientucntt x (x2 x sin 2 x y ) dx x sin ydy phương trình vi phân tồn phần Giải phương trình ta nghiệm tổng quát là: x sin x y c VD2: Giải phương trình vi phân ( y cos x CuuDuongThanCong.com 1) dx ( y sin x x ) dy y https://fb.com/tailieudientucntt Ta có: P y y cos x Q ; x y cos x y Vậy khơng phải phương trình vi phân tồn phần Nhận xét: Q x P y P y Do thừa số tích phân H ( x ) ( y cos x y CuuDuongThanCong.com ) dx e ( y sin x y dy y x ) dy y https://fb.com/tailieudientucntt y phương trình vi phân tồn phần Giải phương trình ta nghiệm tổng quát là: y sin x x y c  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... Giải phương trình vi phân xdx ydy xdx Ta có: x x ydy y y c c 2c nghiệm phương trình CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt c Một số phương trình vi phân cấp đưa dạng tách biến Phương. .. Cauchy nghiệm riêng Các loại phương trình vi phân cấp 3 .1 Phương trình tách biến a Dạng: f(x)dx + g(y)dy = b Cách giải: Bằng cách lấy tích phân ta nghiệm tổng quát phương trình là: f ( x ) dx CuuDuongThanCong.com... dx g2( y) g1( y ) dy https://fb.com/tailieudientucntt Nếu f ( x ) x=a x=a nghiệm y=b y=b nghiệm phương trình Nếu g 1( y ) riêng phương trình VD1: Tìm nghiệm phương trình x (1 Vì (1 y ) dx x ).(