ôn tập phương trình vi phần cấp 1 với các nội dung dưới đây Phương trình phân ly biến số( phương trình tách biến) , Phương trình đẳng cấp, Phương trình tuyến tính cấp 1 , Phương trình Bernoull , Phương trình vi phân toàn phần , PTVP với thừa số tích phân
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1.Phương trình phân ly biến số( phương trình tách biến) ∫ 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 => F(y) = G(x) + C Phương trình đẳng cấp 𝑦 Đặt 𝑣 = 𝑦′ = 𝑣 + 𝑥 𝑣’ 𝑥 Thay vào phương trình => 𝑣′𝑥 + 𝑣 = 𝐹(𝑣) => 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑑𝑣 𝐹(𝑣)−𝑣 Phương trình tuyến tính cấp 𝑦′ + 𝑝(𝑥) 𝑦 = 𝑞(𝑥) Nghiệm tống quát 𝑦(𝑥) = 𝑒 ∫ −𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ( ∫ 𝑞(𝑥) 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 ) 4.Phương trình Bernoulli 𝑦′ + 𝑝(𝑥) 𝑦 = 𝑞(𝑥) 𝑦 ∝ Đặt 𝑣 = 𝑦1−∝ => 𝑣′ + (1 − ∝) 𝑝(𝑥) 𝑣 = (1−∝)𝑞(𝑥) 5.Phương trình vi phân toàn phần 𝑃 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑑𝑦 = Kiểm tra 𝑃′𝑦 = 𝑄′𝑥 𝑥 𝑦 0 Cách 1: Nghiệm ∫𝑥 𝑃(𝑥, 𝑦0 )𝑑𝑥 + ∫𝑦 𝑄(𝑥0 , 𝑦)𝑑𝑦 = 𝐶 Cách 2: ∃𝑢: 𝑑𝑢 = 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 𝑢 = ∫ 𝑃𝑑𝑥 = +𝐶𝑦 { 𝑢′𝑦 = ( +𝐶𝑦 )′𝑦 = 𝑄 => 𝐶𝑦 =? PTVP với thừa số tích phân 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 𝜑(𝑥) = 𝑄′𝑥 − 𝑃′𝑦 ∝ (𝑥) = 𝑄 𝑄′𝑥 − 𝑃′𝑦 𝑃 =>𝜇(𝑥) = 𝑒 − ∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥 =>𝜇(𝑦) = 𝑒 ∫∝(𝑦)𝑑𝑦 Nhân vế phương trình (1) với 𝜇(𝑥) 𝜇(𝑦) Một số tích phân đặc biệt