NHỮNG SAI SÓT THƯỜNG GẶP CỦA SINH VIÊN KHI TÌM NGHIỆM RIÊNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT

Kỹ Thuật - Công Nghệ - Khoa học xã hội - Quản trị kinh doanh 1 MỤC LỤC Trang Lời cam đoan …………………………………………………………………………i Danh mục các từ viết tắt……..……………………………………………………….ii Tóm tắt kết quả đề tài………………………………………………………………..iii Summary……………………………………………………………………………..iv MỞ ĐẦU............................................................................................................... 3 1. Lí do chọn đề tài..................................................................................................... 3 2 Mục tiêu nghiên cứu................................................................................................ 4 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ......................................................................... 4 4 Phương pháp nghiên cứu ....................................................................................... 4 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn…………………………………………………..5 6. Cấu trúc của đề tài.................................................................................................. 5 NỘI DUNG Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄNError Bookmark not defined. 1.1. Tổng quan về bài toán......................................................................................... 6 1.1.1. Bài toán là gì? ............................................................................................... 6 1.1.2. Vị trí và chức năng của bài tập Toán........................................................... 7 1.1.3. Các yêu cầu của lời giải bài tập Toán.......................................................... 9 1.2. Khái quát về môn học PTVP .............................................................................10 1.2.1. Nội dung chương trình. ..............................................................................10 1.2.2. Một số đặc điểm cơ bản về PTVPTT không thuần nhất. .........................12 1.2.3. Các phương pháp tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất. .....16 1.3. Khảo sát thực trạng khả năng giải bài tập Toán tìm nghiệm riêng PTVPTT không thuần nhất của sinh viên SP Toán, trường Đại hoạc Đồng Tháp ...............18 1.3.1 Phương pháp khảo sát...................................................................................18 1.3.2. Kết quả khảo sát..........................................................................................18 1.3.3. Những sai sót cơ bản của sinh viên SP Toán trường Đại học Đồng Tháp khi tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất .......................................................20 Chương 2. CÁC BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC SAI SÓT KHI TÌM NGHIỆM RIÊNG CỦA PTVPTT KHÔNG THUẦN NHÂT ...........................................................................28 2 2.1. Các Nguyên tắc chỉ đạo việc sử dụng các biện pháp sư phạm nhằm hạn chế và sửa chữa các sai sót ...................................................................................................28 2.2.1. Nguyên tắc 1: Tính kịp thời .......................................................................28 2.2.2. Nguyên tắc 2. Tính chính xác ....................................................................28 2.2.3. Nguyên tắc 3: Tính giáo dục .......................................................................29 2.2. Các biện pháp khắc phục. .................................................................................29 2.3.1. Biện pháp 1: Trang bị đầy đủ, tính chính xác các kiến thức về việc tìm nghiệm của PTVPTT không thuần nhất........................................................................29 2.3.2. Biện pháp 2: Phân tích làm rõ các sai sót và giúp sinh viên khắc phục các sai sót đó. ........................................................................................................................34 2.3.3. Biện pháp 3: Rèn cho sinh viên về tính chính xác trong giải các bài toán tìm nghiệm liên quan đến các phép toán Đại số, Đạo hàm, Tích phân. ............................41 Chương 3. THỰC NGHIỆM..................................................................................45 3.1. Mục đích và nội dung thực nghiệm...................................................................45 3.2. Tổ chức thực nghiệm .........................................................................................45 3.2. Kết quả thực nghiệm ..........................................................................................46 KẾT LUẬN ..........................................................................................................48 TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................49 3 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Theo luật Giáo dục số 382005QH11, mục tiêu giáo dục: ”là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc.” Từ đó, đã góp phần thúc đẩy ngành giáo dục và đào tạo phải thay đổi, phát triển nhằm đáp ứng yêu cầu đặt ra. Để đào tạo được những công dân toàn diện về mọi mặt, một công dân có trình độ cao, đáp ứng theo xã hội công nghiệp hóa – hiện đại hóa đất nước phát triển theo hướng xã hội chủ nghĩa, thì theo luật Giáo dục số 382005QH11 nói chung trong đó có giáo dục Đại học cần “Đào tạo trình độ đại học giúp người học nắm vững kiến thức chuyên môn và có kỹ năng thực hành thành thạo, có khả năng làm việc độc lập, sáng tạo và giải quyết những vấn đề thuộc chuyên ngành được đào tạo.” Để làm được điều này, trước hết người học của trường Đại học Đồng Tháp cần có thái độ học tập đúng đắn, nghiêm túc trong thời kỳ chuyển hóa từ học tập theo chương trình niên chế sang chương trình hệ thống tín chỉ. Trong đó có ngành sư phạm Toán – một ngành đòi hỏi người học cần có thái độ nghiệm túc, tích cực, tự học và tự nghiên cứu. Cùng với sự đổi mới trong cách học, cách dạy của các phân môn trong chuyên ngành sư phạm Toán, môn học PTVP cũng không ngoại lệ. Đó là điều tất yếu, cách dạy và học cần đổi mới phù hợp với yêu cầu đặt ra, yêu cầu người học tích cực trong hoạt động học phải tự học hỏi như thế nào? Cách học ra sao? Làm sao để chiếm lĩnh tri thức mà không nhầm lẫn?.... Môn học PTVP dù đã được nghiên cứu cách đây khá lâu và tương đối hoàn chỉnh, chẳng hạn các dạng toán về phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi phân chậm và các ứng dụng của chúng trong lĩnh vực đời sống xã hội,… Do đó, việc vận dụng chúng cần chính xác, rõ ràng và không có sai sót. Tuy nhiên, trong quá trình nghiên cứu môn học này, chúng tôi thấy vẫn còn rất nhiều vấn đề cần lưu ý khi giảng dạy và học tập, vì đây không những là môn học bắt buộc 4 cho các lớp ĐHSToan, CĐSToan và các lớp ngoài chuyên ngành mà nó là công cụ hữu ích cho nhiều ngành khoa học khác. Đặc biệt, việc tìm nghiệm của lớp phương trình vi phân tuyến tính (PTVPTT) không thuần nhất đã có các bước giải tương đối rõ ràng, tuy nhiên người học vẫn còn rất nhiều sai sót khi viết nghiệm hoặc tính toán trong quá trình giải PTVP. Do đó tôi chọn đề tài “Những sai sót thường gặp của sinh viên khi tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất” nhằm góp một phần giúp người học tránh được những sai sót không nên có. 2. Mục tiêu nghiên cứu - Xác định các sai sót cơ bản của người học khi giải bài tập Toán tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất. - Đưa ra một số biện pháp nhằm hạn chế và khắc phục các sai sót của người học khi tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất. Để thực hiện mục tiêu trên, đề tài cần giải quyết các vấn đề + Cần hiểu được bài tập toán là gì? + Bài tập toán có vị trí, chức năng như thế nào? + Bài tập toán có các yêu cầu gì? + Những sai sót nào mà người học thường gặp khi tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất? + Những giải pháp nào giúp người học hạn chế và khắc phục các sai sót đó? 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Nghiên cứu các sai sót thường gặp của người học tìm nghiệm của PTVPTT không thuần nhất. + Phạm vi nghiên cứu: Người học 6 lớp ĐHSToan09AB; CĐSToan 10A,B; .ĐHSToan 10A,B của trường Đại học Đồng Tháp. 4. Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lý luận, từ cơ sở lý luận làm sáng tỏ các vấn đề bài tập Toán, phân tích giúp người học hạn chế, phát hiện và sửa chữa sai sót khi tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất. + Phương pháp điều tra quan sát: thông qua việc giải bài tập, bài kiểm tra, phiếu điều tra trắc nghiệm tìm hiểu những vấn đề mà người học thường mắc sai sót. 5 + Phương pháp thực nghiệm: nhằm khẳng định tính chính xác của các sai sót cho người học khi tìm nghiệm riêng. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Nếu hệ thống được những sai sót thường gặp trong việc tìm nghiệm của PTVPTT không thuần nhất và đề xuất những phương pháp giải quyết phù hợp thì sẽ giúp người học học tốt hơn và giúp cho giảng viên dạy tốt hơn nội dung phần này, qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn PTVP. 6. Cấu trúc của đề tài Ngoài Mở đầu, kết luận, lời cam đoan và tài liệu tham khảo thì nội dung chính được trình bày trong 3 chương. Chương 1 Trình bày cơ sở lý luận và thực tiễn và đồng thời chỉ ra những sai sót thường gặp của Sinh viên trong quá trình tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất cấp n. Chương 2 Phân tích và đưa ra các biện pháp để người học khắc phục những sai sót trên. Chương 3 Đưa ra kết quả khảo sát thực nghiệm của các lớp đã giảng dạy các năm học 2010 – 2011 và 2011 – 2012. 6 NỘI DUNG Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Tổng quan về bài toán 1.1.1. Bài toán là gì? Bài toán được hiểu là: “Tất cả những câu hỏi cần giải đáp về một kết quả chưa biết cần, tìm bắt đầu từ một số dữ kiện, hoặc về một phương pháp cần khám phá, mà theo phương pháp này sẽ đạt được kết quả đã biết”(Từ điển Petit Robert, trích theo Lê Văn Tiến, 2005). Polya lại viết: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm hiểu một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trong thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay”. Ví dụ 1.1: Khi viết nghiệm riêng của một PTVPTT không thuần nhất, ta cần có những phải biết dữ kiện nào? Chẳng hạn, đối với phương trình 1 2 3'''''''''''' ( ) '''''''' ( ) '''' ( ) ( )y p x y p x y p x y f x    có hệ nghiệm cơ bản của PTVP thuần nhất là 1 2 3{ ; ; }y y y thì cách viết như thế nào? Hay cách viết nghiệm riêng của phương trình (4) 2 4 '''''''' 2 x y y x e   cần xét những tính chất nào? Hoặc khi viết nghiệm riêng của phương trình '''''''' 3 '''' 2 siny y y x x   ta cần những yếu tố nào? Rubinstein viết: “Một vấn đề hoặc một tình huống có vấn đề được xác định trước hết ở chỗ trong nó có cái chưa biết, cũng là cái lỗ hổng cần lấp đầy, có cái x nào đã cần được thay bởi giá trị tương ứng. Như vậy một tình huống có vấn đề luôn luôn chứa cái gì đã còn là ẩn - trong quan hệ với cái đã cho - cần được xác định dưới dạng hiện”. Ông cũng viết “Bài toán là sự phát biểu vấn đề bằng lời”. Chẳng hạn, để viết nghiệm tổng quát của PTVPTT không thuần nhất, ta cần biết những gì? Ngoài cách viết nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất, còn cách viết nghiệm khác không? Có phải mọi PTVPTT không thuần nhất đều có thể sử dụng phương pháp hệ số bất định để tìm nghiệm riêng? Ví dụ 1.2 Để viết được nghiệm riêng của phương trình '''''''' 3 '''' 2 x y y y xe   bằng phương pháp hệ số bất định, trước hết phải nhận xét được hàm ( ) x f x xe có gì đặc biệt? Rõ ràng hàm f(x) có  =1 là nghiệm phương trình đặc trưng, nên phương trình đã 7 cho có một nghiệm riêng: 2 ( ) x y Ax Bx e  ; tương tự, phương trình 2 '''''''' 3 '''' 2 x x y xy y xe   có phải cũng được một nghiệm riêng: 2 ( ) x y Ax Bx e  ? Bài toán là yêu cầu cần có để đạt được mục đích nào đó. Với cách hiểu này bài toán đồng nghĩa với đề toán, bài tập, câu hỏi, vấn đề, nhiệm vụ,….Mục đích nêu trong bài toán có thể là một tập hợp bất kỳ (của các số, các hình, các biểu thức,..) hoặc sự đúng đắn của một hoặc nhiều kết luận…. 1.1.2. Vị trí và chức năng của bài tập Toán a. Vị trí Dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với người học, có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài tập Toán ở hầu hết các học phần là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp người học nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc giải bài tập Toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy và học toán. Trong thực tiễn dạy học, bài tập Toán được sử dụng với những dụng ý khác nhau. Một bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ để làm việc với nội dung mới. Ví dụ trong việc xác định nghiệm riêng của phương trình '''''''' 3 '''' 2 x y y y xe   , ta có thể viết nghiệm riêng bằng phương pháp biến thiên hằng số: 2 1 2( ) ( )x x y C x e C x e  . Tuy nhiên, để viết nghiệm riêng của phương trình '''''''' 3 '''' 2 sinx y y y xe x    bằng phương pháp biến thiên hăng số thì không phải dễ; hoặc để củng cố hoặc kiểm tra,…. .Chẳng hạn, khi nghiên cứu xong vấn đề về nghiệm riêng của PTVP bằng phương pháp hệ số bất định, có thể cho người học viết nghiệm riêng của các phương trình sau: a. '''''''' 3 '''' 2 x y y y xe   ; b. '''''''' 3 '''' 2 siny y y x x   ; c. '''''''' siny y x x  ; d. '''''''' 2 '''' 2 sinx y y y xe x    ; e. 3 '''''''''''' 3 '''''''' 3 4y y x x    ; f.  3 '''''''''''' 3 '''''''' 3 4 cosy y x x x    , … 8 Tất nhiên, việc giải một bài tập cụ thể thường không nhằm vào mục đích nào đó mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu. Mỗi bài tập Toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay tàng ẩn những chức năng khác nhau. Chẳng hạn, khi viết nghiệm riêng của phương trình '''''''' 3 '''' 2 x y y y xe   ta cần xét điều kiện gì? Hay dựa vào đâu để viết chính xác nghiệm riêng phương trình '''''''' 3 '''' 2 siny y y x x   . Tóm lại vị trí của bài tập Toán là hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học Toán. b. Chức năng Chức năng dạy học - Bài tập củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo những vấn đề lý thuyết đã học (khái niệm, định lí, quy tắc,…). Qua đó người học hiểu sâu hơn và biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết những tình huống cụ thể. Chẳng hạn, có thể đưa ra các bài tập tương tự, Ví dụ1.3 Giải các phương trình sau a) '''''''' 3 '''' 2 x y y y xe   ; b) '''''''' 3 '''' 2 siny y y x x   ; c) '''''''' siny y x x  ; d) '''''''' 2 '''' 2 sinx y y y xe x    ; e) 3 '''''''''''' 3 '''''''' 3 4y y x x    ; f)  3 '''''''''''' 3 '''''''' 3 4 cosy y x x x    . - Có khi bài tập lại là một định lí, vì lí do nào đó không đưa vào lí thuyết. Cho nên qua việc giải bài tập người học mở rộng được tầm hiểu biết của mình. Chức năng giáo dục Qua việc giải bài tập mà hình thành cho người học thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của con người lao động mới (sáng tạo, kỉ luật, cần cù, chịu khó, óc thẩm mỹ). Chức năng phát triển Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho người học, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ và hình thành những phẩm chất tư duy khoa học. 9 Ví dụ 1.4 Giúp người học có năng lực nhận biết chính xác các cách viết nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất; Chẳng hạn viết chính xác các nghiệm riêng phương trình a) '''''''' 3 '''' 2 siny y y x x   có nghiệm riêng là ( ) cos ( )s inxy Ax B x Cx D    . (Vì i   = i không là nghiệm phương trình đặc trưng) b) '''''''' siny y x x  có nghiệm riêng là cos sinxy Ax x Bx  . (Vì i   = i không là nghiệm phương trình đặc trưng) c) '''''''' x y y xe  có nghiệm riêng là ( ) x y Ax B e  . (Vì  = 1 không là nghiệm phương trình đặc trưng) d) 3 '''''''''''' 3 4y y x x    có nghiệm riêng là 3 2 y Ax Bx Cx D    . (Vì  = 0 không là nghiệm phương trình đặc trưng) Chức năng kiểm tra Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học toán, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của người học. Trên thực tế các chức năng trên không bộc lộ riêng lẻ mà nó kết hợp chặt chẽ thống nhất. 1.1.3. Các yêu cầu của lời giải bài tập Toán Theo GS TS Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn toán, Nhà xuất bản Đại học sư phạm. Lời giải một bài toán có các yêu cầu sau a. Lời giải một bài toán phải không có sai sót Kết quả cuối cùng phải là một đáp án đúng, một biểu thức phải thỏa mãn các yêu cầu đề ra. Kể cả các bước trung gian cũng phải là một đáp số đúng. Như vậy lời giải không thể chứa những sai sót khi tính toán, vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận. Thông thường người học sai sót do các nguyên nhân sau: - Kiến thức toán học - Phương pháp suy luận bài toán như suy diễn và quy nạp. - Tính toán sai do sử dụng ngôn ngữ, ký hiệu chưa đúng với yêu cầu của đề toán đặt ra. Ví dụ 1.5 Khi viết nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất, người học cần xác định những mục tiêu nào của nội dung môn học phải có, biết phát triển như thế nào? Chẳng hạn, cách viết nghiệm riêng phương trình ( ) ( 1) 1 1.... '''' ( )n n n ny a y a y a y f x      10 khi biết hàm ( ) ( )x mf x e P x   , với Pm(x) là đa thức bậc m và  không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì phương trình đã cho có một nghiệm ( )x my e P x   , bây giờ ( ) ( )mf x P x chỉ là một đa thức, thì cách viết nghiệm riêng như thế nào? b. Lời giải phải có cơ sở lý luận Khi giải một bài toán cần tuân thủ những quy tắc sau: - Luận đề phải nhất quán. - Luận cứ phải đúng. - Luận chứng phải logic. c. Lời giải phải đầy đủ Khi giải một bài toán không được bỏ sót một trường hợp nào, một khả năng nào, một chi tiết nào. Giảng viên yêu cầu người học xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra của bài toán. d. Lời giải phải đơn giản nhất Khi giải một bài toán cần phải tìm ra nhiều cách giải khác nhau, sau đã chọn cách giải ngắn nhất, hay nhất và hợp lý nhất. 1.2. Khái quát về môn học PTVP 1.2.1. Nội dung chương trình Chương I: PHƯƠNG TÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 1.1. Phương trình vi phân cấp một 1.1.1. Các khái niệm mở đầu 1.1.2. Điều kiện Lipsit, dãy xấp xỉ Picard – Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 1.2.Các phương trình vi phân cấp một thường gặp 1.2.1. Phương trình biến số phân ly và phân ly được 1.2.2. Phương trình thuần nhất 1.2.3. Phương trình tuyến tính và phương trình Becnuli 1.2.4. Phương trình Ricati 1.2.5. Phương trình vi phân toàn phần, thừa số tích phân 1.3. Các phương trình vi phân cấp một chưa giải ra đạo hàm 1.3.1. Phương trình không chứa hàm cần tìm 1.3.2. Phương trình không chứa biến số độc lập 11 1.3.3. Phương trình tổng quát – Phương trình Lagrange và phương trình Clairaut 1.4. Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân – Quỹ đạo trực giao 1.4.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 1.4.2. Tìm nghiệm kỳ dị bằng phương pháp p - biệt tuyến 1.4.3. Tìm nghiệm kỳ dị bằng phương pháp c - biệt tuyến Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 2.1. Các khái niệm – Điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm 2.1.1. Các khái niệm ban đầu 2.1.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 2.1.3. Các phương trình vi phân cấp cao giải được bằng cầu phương 2.2. Lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân cấp n 2.2.1. Các khái niệm 2.2.2. Lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp n 2.2.3. Phương trình vi phân tuyến tính không thuầ nhất 2.3. Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng cấp n 2.3.1. PTVPTT thuần nhất cấp n với hệ số hằng 2.3.2. PTVPTT không thuần nhất cấp n với hệ số hằng 2.3.3. Một số tính chất về PTVPTT cấp hai Chương 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 3.1 Hệ phương trình vi phân cấp một 3.1.1. Các khái niệm 3.1.2. Mối quan hệ giữa PTVP cấp n và hệ gồm n PTVP cấp một 3.1.3. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 3.1.4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử và phương pháp tổ hợp giải tích 3.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một 3.2.1. Hệ PTVP tuyến tính thuần nhất 3.2.2. Hệ PTVP tuyến tính không thuần nhất 3.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một với hệ số hằng 3.3.1. Hệ PTVP tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng 3.3.2. Hệ PTVP tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng 12 1.2.2. Một số đặc điểm cơ bản về PTVPTT không thuần nhất a. Các khái niệm 3, tr132-180 Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp n là PTVP có dạng ( ) ( 1) 0 1 1( ) ( ) .... ( ) '''' ( ) ( )n n n na x y a x y a x y a x y x       với 0{ ( )} , ( )n i ia x x  là những hàm liên tục trên I  R và 0 ( ) 0a x  , Ix  . Gọi ( ) ( 1) 1 1L ( ) .... ( ) '''' ( )n n n ny y p x y p x y p x y      là toán tử vi phân tuyến tính. Suy ra ( ) ( 1) 1 1L ( ) .... ( ) '''' ( ) ( )n n n ny y p x y p x y p x y f x       , (1.1) với 0 01 ( ) ( ) p ( ) , ( ) . ( ) ( ) n i i i a x x x f x a x a x          Định nghĩa 1.2 Nếu ( ) 0f x  , Ix  thì ( ) ( 1) 1 1( ) .... ( ) '''' ( ) 0n n n ny p x y p x y p x y      (1.2) được gọi là PTVPTT thuần nhất cấp n. Định nghĩa 1.3 Nếu   1 p ( ) n i i i x a   là những hằng số thì phương trình (1.1) được viết lại ( ) ( 1) 1 1.... '''' ( ) ( )n n n ny a y a y a x y f x      (1.3) phương trình (1.3) được gọi là PTVPTT không thuần nhất cấp n với hệ số hằng Nếu phương trình (1.3) có ( ) 0f x  thì phương trình ( ) ( 1) 1 1.... '''' 0n n n ny a y a y a y      được gọi là PTVPTT thuần nhất cấp n với hệ số hằng số. Định nghĩa 1.4 Phương trình 1 1 1.... 0n n n na a a         (1.4) được gọi là phương trình đặc trưng của PTVPTT thuần nhất cấp n với hệ số hằng. Định nghĩa 1.5 Hàm ( )y x  khả vi đến cấp n được gọi là nghiệm của phương trình (1.2) trên I khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện ( ) ( 1) 1 1( ) ( ) ( ) .... ( ) ''''( ) ( ) ( ) 0n n n nx p x x p x x p x x          , Ix  . Định nghĩa 1.6 Hàm 1 2( , , ,..., )ny x C C C  được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) khi và chỉ khi thỏa mãn 2 điều kiện: - Hàm 1 2( , , ,..., )ny x C C C  là nghiệm của phương trình (1.2), Ix  . 13 - Với mọi '''' '''''''' ( 1) 0 0 0 0( , , ,..., )n x y y y  ( 0 Ix  ) thỏa mãn ( ) ( ) 0 0( ), 0,1, 2,....,k k y y x k n   tồn tại duy nhất nghiệm   0 0 0 1 2, ,..., nC C C . Định nghĩa 1.7 Giả sử hệ hàm   1 y ( ) n i i x  khả vi đến cấp n-1 trên I  R , khi đó, định thức Wronsky của hệ hàm đã cho là W(x) = 1 2 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 2 y ( ) y (x) ............... y (x) y ''''(x) y ''''(x) .............. y ''''(x) .................................................. y (x) y (x) ........ y (x) n n n n n n x    Định nghĩa 1.8 Hệ n nghiệm   1 y ( ) n i i x  độc lập tuyến tính của phương trình (1.2) được gọi là hệ nghiệm cơ bản của nó. b. Các tính chất Định lý 1.1 + Nếu 1 2( ), ( )y x y x là nghiệm của phương trình (1.2) thì tổng 1 2( ) ( )y x y x là nghiệm của phương trình (1.2); + Nếu ( )y x là nghiệm phương trình (1.2) thì tích ( )Cy x với C là hằng số bất kỳ cũng là nghiệm của phương trình (1.2). Chứng minh + Ta có  ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , 0,1, 2,..., . k k k y y y y k n     ; Do 1 2L 0; L 0y y  , suy ra 1 2 1 2L L L 0y y y y    , nên 1 2y ( ) y (x)x  là nghiệm phương trình (1.2). + Ta có  ( ) ( ) 1 1 ; 0,1, 2,..., . k k Cy Cy k n   ; Do 1L 0;y  , suy ra 1 1LC L 0y C y  , nên 1Cy ( )x cũng là nghiệm phương trình (1.2). Nhận xét: Nếu   1 y ( ) m i i x  là hệ nghiệm phương trình (1.2) thì 1 ( ) m i i i y C y x    ; là nghiệm của phương trình (1.2). Định lý 1.2 Giả sử hệ hàm   1 y ( ) n i i x  là nghiệm của phương trình (1.2) khi đó điều kiện cần và đủ để hệ hàm   1 y ( ) n i i x  phụ thuộc tuyến tính trên I  R là định thức Wronsky W(x) = 0 với mọi x I . 14 Chứng minh Điều kiện cần: Theo giả thiết hệ hàm   1 y ( ) n i i x  phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại bộ giá trị   1 n i i   không đồng thời bằng 0 sao cho: 1 y ( ) 0 n i i i x    . Lấy đạo hàm 2 vế của đẳng thức trên đến cấp n-1, ta được 1 1 2 2 1 1 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 2 2 y ( ) + y (x) +.............+ y (x)=0 y ''''(x) + y ''''(x) +.............. + y ''''(x)=0 .................................................. y (x)+ y (x)+ ........ + y (x) 0 n n n n n n n n n x                   Do   1 n i i   không đồng thời bằng 0 nên W(x) = 1 2 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 2 y ( ) y (x) ............... y (x) y ''''(x) y ''''(x) .............. y ''''(x) .................................................. y (x) y (x) ........ y (x) n n n n n n x    = 0 Điều kiện đủ Giả sử W(x) = 1 2 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 2 y ( ) y (x) ............... y (x) y ''''(x) y ''''(x) .............. y ''''(x) .................................................. y (x) y (x) ........ y (x) n n n n n n x    = 0, x I Lấy bất kỳ 0x I và xét hệ phương trình đại số tuyến tính 1 1 0 2 2 0 0 1 1 0 2 2 0 0 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 0 2 2 0 0 y ( ) + y (x ) +.............+ y (x )=0 y ''''(x ) + y ''''(x ) +.............. + y ''''(x )=0 .................................................. y (x )+ y (x )+ ........ + y (x n n n n n n n n n x            ) 0        (1.5) Do W(x0) = 0, nên hệ phương trình có nghiệm không tầm thường  0 1 n i i   . Xét hàm: 0 0 0 1 1 2 2( ) y ( ) + y (x) +.............+ y (x)n ny x x    , (1.6) theo định lý 1.1 ta có y(x) là nghiệm của phương trình (1.2). Mặt khác,  0 1 n i i   là nghiệm của hệ phương trình (1.5), nên từ (1.5) và (1.6) ta có ( ) ( ) 0 0y ( ), 0,1, 2,..., -1k k y x k n   15 Do phương trình (1.2) có nghiệm tầm thường z(x) = 0 và thỏa mãn ( ) 0( )=0, 0,1, 2,..., -1k z x k n  . Nên theo định lý tồn tại và duy nhất nghiệm ta phải có ( ) ( )z x y x . Hay 0 0 0 1 1 2 2y ( ) + y (x) +.............+ y (x)=0n nx    . Vì  0 1 n i i   không đồng thời bằng 0 nên hệ hàm   1 y ( ) n i i x  phụ thuộc tuyến tính trên I  R . Nhận xét: Nếu hệ hàm   1 y ( ) n i i x  là nghiệm của phương trình (1.2) thì hoặc W(x) = 0 với mọi x I hoặc W(x) ≠ 0 với mọi x I . Định lý 1.3 Nếu   1 y ( ) n i i x  là hệ nghiệm cơ bản của phương trình (1.2) thì 1 1 2 2 ... n ny y C y C y C    là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2). Chứng minhTa có 1 1 2 2 ... n ny y C y C y C    là nghiệm của phương trình (1.2) Giả sử ( 1) ( 1) 0 0 0 0 0( ; ; ''''; '''''''';...; )n n x y y y y D    R thỏa y(x0) = y0; y’(x0) = y0’; y’’(x0) = y0’’; ….; y(n-1)(x0) = y0(n-1) Khi đó: 1 1 0 2 2 0 0 0 1 1 0 2 2 0 0 0 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 0 2 2 0 y ( ) + C y (x ) +.............+C y (x )=y y ''''(x ) + y ''''(x ) +.............. + y ''''(x )=y '''' .................................................. y (x )+ y (x )+ ........ + y n n n n n n n n n C x C C C C C C   ( 1) 0 0(x ) y n        (1.7) Do hệ   1 y ( ) n i i x  là hệ nghiệm cơ bản của phương trình (1.2) nên nó độc lập tuyến tính, suy ra: 1 0 2 0 0 1 0 2 0 0 ( 1) ( 1) ( 1) 1 0 2 0 0 y ( ) y ( ) ............... y ( ) y ''''( ) y ''''( ) .............. y ''''( ) 0; .................................................. y ( ) y ( ) ........ y ( ) n n n n n n x x x x x x x x x    hay hệ (1.7) có nghiệm duy nhất  0 1 C n i i . Nên 1 1 2 2 ... n ny y C y C y C    là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2). Tính chất 1.4 Nếu y là nghiệm tổng quát của PTVPTT thuần nhất (1.2) và y là một nghiệm của PTVPTT không thuần nhất (1.1) thì y y y  là nghiệm tổng quát của phương trình (1.1). Chứng minhGiả sử: 1 1 2 2 ... n ny y C y C y C    là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) và y là một nghiệm của phương trình (1.1), khi đó y y y  là nghiệm của phương trình (1.1), vì L L L Ly ( )y y y y f x     16 Ta cần chứng minh y y y  là nghiệm tổng quát: với mỗi điểm ( 1) ( 1) 0 0 0 0 0( ; ; ''''; '''''''';...; )n n x y y y y D    R thỏa y(x0) = y0; y’(x0) = y0’; y’’(x0) = y0’’; ….; y(n-1)(x0) = y0(n-1) Ta có: 1 1 0 2 2 0 0 0 0 1 1 0 2 2 0 0 0 0 ( -1) ( -1) 1 1 0 2 2 0 ( ) ( ) ............. ( ) ( ) ''''( ) ''''( ) .............. ''''( ) '''' ''''( ) .................................................. ( ) ( ) n n n n n n C y x C y x C y x y y x C y x C y x C y x y y x C y x C y x             ( -1) ( 1) ( 1) 0 0 0........ ( ) ( )n n n n nC y x y y x           Do 1 0 2 0 0 1 0 2 0 0 ( 1) ( 1) ( 1) 1 0 2 0 0 y ( ) y ( ) ............... y ( ) y ''''( ) y ''''( ) .............. y ''''( ) 0; .................................................. y ( ) y ( ) ........ y ( ) n n n n n n x x x x x x x x x    hay hệ trên có nghiệm duy nhất  0 1 C n i i . Nên y y y  là nghiệm tổng quát của phương trình (1.1) Tính chất 1.5 Nếu 1 2;y y lần lượt là các nghiệm tổng quát của PTVPTT không thuần nhất 1L ( )y f x và 2L ( )y f x thì 1 2y y y  là nghiệm tổng quát của phương trình 1 2L ( ) ( )y f x f x  . Đây được gọi là nguyên lý chồng chất nghiệm. Chứng minh tương tự tính chất 1.4 Tính chất 1.6 Nếu hàm y U iV  là nghiệm của phương trình ( ) ( 1) 1 1L .... '''' 0n n n ny y a y a y a y       với ,U V là các hàm thực thì ,U V là các nghiệm của phương trình L 0y  . Chứng minhTheo giả thiết: y U iV  là nghiệm của phương trình L 0y  nên L L L L 0y U iV U i V     suy ra vì L 0U  và L 0V  hay ,U V là các nghiệm của phương trình L 0y  . 1.2.3. Các phương pháp tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất Ta đã biết, để tìm được nghiệm tổng quát của PTVPTT không thuần nhất, trước hết cần có nghiệm tổng quát của PTVPTT thuần nhất và một nghiệm (nghiệm riêng) của PTVPTT không thuần nhất. Việc xác định có thể dựa vào các cách sau:  Phương pháp biến thiên hằng số đây là phương pháp tổng quát để tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất y : Giả sử phương trình ( ) ( 1) 1 1( ) .... ( ) '''' ( ) 0n n n ny p x y p x y p x y      17 có nghiệm tổng quát là 1 1 2 2 3 3 .... n ny C y C y C y C y     , khi đó phương trình ( ) ( 1) 1 1( ) .... ( ) '''' ( ) ( )n n n ny p x y p x y p x y f x      sẽ có một nghiệm: 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) .... ( )n ny C x y C x y C x y C x y     , với các hàm 1 2 3( ), ( ), ( ),...., ( )nC x C x C x C x được xác định từ hệ: '''' '''' '''' '''' 1 1 2 2 3 3 '''' '''' '''' '''' '''' '''' '''' '''' 1 1 2 2 3 3 '''' ( 2) '''' ( 2) '''' ( 1 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) .... ( ) 0 ( ) ( ) ( ) .... ( ) 0 ......................................................................... ( ) ( ) ( ) n n n n n n n C x y C x y C x y C x y C x y C x y C x y C x y C x y C x y C x y               2) '''' ( 2) '''' ( 1) '''' ( 1) '''' ( 1) '''' ( 1) 1 1 2 2 3 3 .... ( ) 0 ( ) ( ) ( ) .... ( ) ( ) n n n n n n n n n C x y C x y C x y C x y C x y f x                     (1.8)  Phương pháp hệ số bất định: phương pháp này thường dung cho những PTVPTT không thuần nhất với hệ số hằng, có vế phải là những hàm đặc biệt, mà nếu dùng phương pháp biến thiên hằng số sẽ gặp rất khó khăn trong quá trình xác định các hàm 1 2 3( ), ( ), ( ),...., ( )nC x C x C x C x . + Nếu hàm ( ) ( )x mf x e P x   , với Pm(x) là đa thức bậc m và  không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) khi đó phương trình (1.3) sẽ có một nghiệm: ( )x my e P x   với ( )mP x là đa thức bậc m có các hệ số được xác định, khi thế ( )x my e P x   vào phương trình (1.3) và áp dụng phương pháp hệ số bất định. + Nếu hàm ( ) ( )x mf x e P x   , với Pm(x) là đa thức bậc m và  là nghiệm bội k của phương trình đặc trưng (1.4) khi đó phương trình (1.3) sẽ có một nghiệm: ( )k x my x e P x   với ( )mP x cũng là đa thức bậc m có các hệ số được xác định tương tự như trên, tức là cũng thế ( )k x my x e P x   vào phương trình (1.3) và áp dụng phương pháp hệ số bất định. + Nếu hàm ( ) ( ) os ( )sin x m nf x e P x c x Q x x     , với Pm(x), Qn(x) là các đa thức lần lượt có bậc m và n. gọi ax{ , }s m n m và i   không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) khi đó phương trình (1.3) sẽ có một nghiệm: ( ) os ( ) sin x s sy e P x c x Q x x     với ( )sP x ; ( )sQ x là những đa thức bậc s có các hệ số được xác định, khi thế ( ) os ( ) sin x s sy e P x c x Q x x     vào phương trình (1.3) và áp dụng phương pháp hệ số bất định. 18 + Nếu hàm ( ) ( ) os ( ) sin x m nf x e P x c x Q x x     , với Pm(x), Qn(x) là các đa thức lần lượt có bậc m và n. gọi ax{ , }s m n m và i   là nghiệm bội k của phương trình đặc trưng (1.4) khi đó phương trình (1.3) sẽ có một nghiệm: ( ) os ( ) sin k x s sy x e P x c x Q x x     với ( )sP x ; ( )sQ x là những đa thức bậc s có các hệ số được xác định tương tự như trên. 1.3. Khảo sát thực trạng khả năng giải bài tập Toán tìm nghiệm riêng PTVPTT không thuần nhất của sinh viên SP Toán, trường Đại học Đồng Tháp 1.3.1 Phương pháp khảo sát (Xem phần phụ lục 1) Môn học PTVP là môn học kế thừa và phát triển các môn học Giải tích cổ điển. Đồng thời lại là tiền đề cho các môn học khác, do đó để người học dễ dàng tiếp thu và hiểu sâu sắc môn học này, cần đưa ra các sai sót mà người học thường gặp, nhằm sửa chữa và khắc phục chúng. Ngoài ra, để đáp ứng yêu cầu dạy học theo chương trình hệ thông tín chỉ, và tạo điều kiện cho người học có thể tự nghiên cứu đồng thời tránh được những sai lầm về môn học này, chúng tôi đưa ra 24 câu khảo sát, và các bài kiểm tra giữa kỳ nhằm tìm hiểu về kiến thức cơ bản và quy trình tìm nghiệm PTVPTT không thuần nhất của 120 sinh viên ở các lớp ĐHSToan 09, CĐSToan 10A,B, nhằm tìm hiểu những bước mà sinh viên thường mắc sai sót nhất. 1.3.2. Kết quả khảo sát Qua khảo sát, ta thấy còn rất nhiều sinh viên chưa hiểu rõ bản chất của các khái niệm, tính chất nghiệm của PTVPTT không thuần nhất. Đặc biệt là cách biến thiên các hằng số, các dạng hệ số bất định,…Cụ thể qua bảng thống kê sau: Số sinh viên có đáp án đúngtỷ lệCâu SV trả lời sai tỷ lệ a b c d Nhận xét 1 89 74 31 26 Người học (SV) chưa nắm vững về các hằng số. 19 2 72 60 48 40 SV còn lúng túng trong việc biến thiên các hằng số 3 39 32 81 68 Vẫn còn SV chưa viết được nghiệm PTVPTT thuần nhất 4 56 47 64 53 SV còn chưa thành thạo khi biến thiên các hằng số 5 74 62 46 38 Vẫn còn sai sót trong các phép toán đại số. 6 94 78 26 22 Có nhiều SV còn chưa thành thạo các phép toán tích phân 7 43 34 77 64 Một số sai sót là do SV không nhìn kỹ nghiệm. 8 73 61 47 39 Nhiều SV không xây dựng được hệ phương trình đại số 9 90 75 30 25 Còn rất nhiều SV chưa thành thạo các phép toán đại số 10 85 71 35 29 Có nhiều SV còn chưa thành thạo các phép toán tích phân 11 88 73 32 27 Không nắm vững bản chất của hàm f(x). 12 47 39 73 61 SV chưa phân biệt  là nghiệm PT đặc trưng 13 52 43 68 57 Không nắm vững bản chất của hàm f(x). 14 76 63 44 37 Không nắm vững bản chất của hàm f(x). 15 97 81 23 19 Không nắm vững bản chất của hàm f(x). 16 94 78 26 22 Không nắm vững bản chất của hàm f(x). 20 17 93 77 27 23 Không nắm vững bản chất của hàm f(x). 18 80 67 40 33 Không nắm vững bản chất của hàm f(x). 19 91 76 29 24 Không nắm vững bản chất của hàm f(x). 20 88 73 32 27 Không nắm vững bản chất của hàm f(x). 21 44 37 76 63 Không nắm vững bản chất của hàm f(x). 22 74 62 46 38 Không nắm vững bản chất của hàm f(x). 23 89 74 31 26 Không nắm vững bản chất của hàm f(x). 24 76 63 44 37 Không nắm vững bản chất của hàm f(x). Bên cạnh đó, trong thời gian giảng dạy các lớp trên chúng tôi cho người học kiểm tra giữa kỳ mỗi lớp một bài để đánh giá kết quả nhận thức các nội dung đã học đồng thời phát hiện các sai sót để có thể hướng dẫn người học cách khắc phục và lấy cột điểm kiểm tra giữa kỳ thì kết quả như sau Kết quả điểm số giữa kỳ của 3 lớp Điểm Lớp Dưới 4 Từ 4đến dưới 5,5 Từ 5,5 đến dưới 7 Từ 7 đến dưới 8,5 Từ 8,5 trở lên LHP: MA412001; MA414501 và MA414502 (gồm 121sinh viên) TS: 14(sv) Tỷ lệ: 11,6 TS:34(sv) Tỷ lệ 28,1 TS:35 (sv) Tỷ lệ 28,9 TS: 24(sv) Tỷ lệ: 19,8 TS: 14(sv) Tỷ lệ: 11,6 21 1.3.3. Những sai sót cơ bản của sinh viên SP Toán trường Đại học Đồng Tháp khi tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất Qua những năm giảng dạy, kết quả khảo sát và kết quả kiểm tra giữa kỳ của người học các lớp ĐHSToan 09, CĐSToan10A,B; học kỳ I năm học 2011 – 2012 tại trường Đại học Đồng Tháp đã rút ra các vấn đề mà người học thường mắc sai sót. a. Hiểu không đầy đủ, chính xác lý thuyết khi tìm nghiệm riêng bằng phương pháp biến thiên hằng số Chúng ta biết rằng: khái niệm là một trong các sản phẩm của tư duy Toán học. Mỗi khái niệm đều có ý nghĩa và là cơ sở quan trọng là tiền đề cho những môn học tiếp theo. Do đó, việc người học không nắm vững các khái niệm và các nội dung khác của bài học sẽ dẫn tới sự hiểu biết không trọn vẹn, thậm chí sai lệch cả bản chất bài toán. Từ đó, các sai sót khi giải Toán xuất hiện, nếu chúng ta không kịp thời có những đổi mới về phương pháp dạy và học các khái niệm thì người học sẽ rất khó khăn trong việc lĩnh hội các khái niệm về Toán học. Khi tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính bằng phương pháp biến thiên hằng số. Người học thường mắc sai sót khi xác định các hàm số 1,2,3,....{ ( )}i iC x  từ các hệ phương trình chưa đúng hoặc còn hiểu sai sót về các hằng số hay các nghiệm của hệ nghiệm cơ bản của PTVPTT thuần nhất. Ví dụ 1.6: Tìm nghiệm riêng của phương trình '''''''' 3 '''' 2 cosx y y y xe x   . Ta có, nghiệm của PTVPTT thuần nhất 2 1 2 x x y C e C e    , khi đó phương trình có 1 nghiệm riêng 2 1 2( ) ( )x x y C x e C x e    , với các hàm 1 2( ), ( )C x C x được người học xác định sai sót S1: 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) 0 ( ) 2 ( ) cos x x x x x C x e C x e C x e C x e xe x           S2: 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) 0 ( ) 4 ( ) cos x x x x x C x e C x e C x e C x e xe x           S3: '''' '''' 2 1 2 '''' '''' 2 1 2 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 4 ( ) cos x x x x x C x e C x e C x e C x e xe x           22 Ví dụ 1.7 Phương trình '''''''' 3 '''' 2 x y y y x e    có nghiệm tổng quát của PTVP thuần nhất là: 2 1 2 x x y C e C e  , bằng phương pháp biến thiên hằng số, phương trình đã cho có nghiệm riêng 2 1 2( ) ( )x x y C x e C x e  với các hàm số 1 2( ), ( )C x C x được xác định sai sót: S1: '''' '''' 2 1 2 '''' '''' 2 1 2 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) x x x x x C x e C x e C x e C x e x e        . S2: '''' '''' 2 1 2 '''' '''' 2 1 2 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 4 ( ) x x x x x C x e C x e C x e C x e x e        S3: '''' '''' 2 1 2 '''' '''' 2 1 2 ( ) ( ) 0 ( ) 2 ( ) 0 x x x x C x e C x e C x e C x e       Ví dụ 1.8 Xét phương trình 4 '''''''' 4 sin 2 y y x   , có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất 1 2cos 2 sin 2y C x C x  . Khi đó, những sai sót của người học khí xác định các hàm 1 2( ), ( )C x C x của nghiệm riêng: 1 2( )cos2 ( ) sin 2y C x x C x x  từ hệ: S1: '''' '''' 1 2 '''' '''' 1 2 ( )cos2 ( ) sin 2 0 4 ( )( sin 2 ) ( )cos2 sin 2 C x x C x x C x x C x x x          S2 '''' '''' 1 2 '''' '''' 1 2 ( )cos2 ( ) sin 2 0 ( )( 2sin 2 ) 2 ( )cos2 0 C x x C x x C x x C x x        S3: '''' '''' 1 2 '''' '''' 1 2 ( )cos2 ( )sin 2 0 4 ( )c s 2 ( )sin2 sin 2 C x x C x x C x o x C x x x         b. Chưa phân biệt được PTVPTT với hệ số hằng và hệ số bất kỳ Đối với PTVPTT không thuần nhất với hệ số hằng, ngoài việc tìm nghiệm của riêng bằng phương pháp biến thiên hằng số, chúng ta có thể áp dụng phương pháp hệ số bất định, khi hàm f(x) ở vế phải của PTVPTT không thuần nhất có dạng đặc biệt. Từ vấn đề này, khi người học chưa hiểu rõ cách xác định nghiệm bằng phương pháp hệ số bất định của PTVPTT không thuần nhất với hệ số hằng, hay nguyên lý chồng chất nghiệm, hoặc những phương trình có vế phải chứa hàm lượng giác,…thì sẽ có rất nhiều sai sót trong việc xác định nghiệm. 23 Ví dụ 1.9 Xét phương trình 2 '''''''' 2 '''' 2 x x y xy y xe   có nghiệm tổng quát của PTVPTT thuần nhất là 2 1 2y C x C x  . Khi đó cách viết nghiệm riêng của phương trình đã cho: S1: ( ) x y Ax B e  , S2: 2 ( ) x y Ax Bx e  , S3: 2 x y Ax e . Ví dụ 1.10 Những sai sót của người học khi viết nghiệm riêng của phương trình x2y’’- xy’ - 3y = x2 S1: 2 y Ax Bx C   , S2: 2 y Ax Bx  , S3: 2 y Ax . c. Chưa hiểu sâu và chưa thuần thục khi tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất với hệ số hằng bằng phương pháp hệ số bất định Trong PTVPTT không thuần nhất với hệ số hằng, việc xác định nghiệm riêng của phương trình dựa vào hàm f(x) của vế phải phương trình đó, tức là dựa vào các tính chất về nghiệm của phương trình đặc trưng nhằm xây dựng nghiệm hoàn thiện và chính xác. Tuy nhiên khi chưa nắm vững và chưa hiểu sâu các tính chất này thì người học dễ bị nhầm lẫn và sai sót. Ví dụ 1.11 Xét phương trình '''''''' 2 '''' 3 2 cosy y y x x   , ta đã biết hàm ( ) 2 cosf x x x là dạng đặc biệt trong PTVPTT với hệ số hằng. Khi đó, việc viết nghiệm riêng sai sót của người học từ phương trình đã cho S1: cosy Ax x , S2: ( ) cosy Ax B x  , S3: cos siny Ax x Bx x  . Ví dụ 1.12 Xét phương trình '''''''' 2 '''' 2 2 cosx y y y e x   , khi đó, những sai sót của người học khi viết nghiệm riêng của phương trình đã cho S1 :   cos sin x y A x B x e  , S2 : cos x y A xe , S3 :   ( ) cos ( ) sin x y Ax B x Cx D x e    , 24 S4: ( ) cos x y Ax B xe  . Ví dụ 1.13 Xét phương trình '''''''' 2 '''' 3 2sin 3 cosy y y x x   , khi đó việc xác định nghiệm riêng sai sót của người học S1: cos sin 3y A x B x  , S2: cos siny A x B x  , S3: cos 3 sin 3y A x B x  , S4: 1 cos siny A x B x  và 2 cos3 sin 3y A x B x  . Ví dụ 1.14 Với phương trình '''''''' 2 '''' 3 sin x e y y y x    , thì sai sót của người học thường gặp khi viết nghiệm riêng của phương trình S1:   1 1 cos sin x y A x B x e    , S2: sinx y Ae x , S3:   cos sin x y A x B x e  . Ví dụ 1.15. Sai sót của người học khi viết nghiệm riêng của phương trình 2 (4) 2 2 4 '''''''' x e y y x   : S1: 2 2 x e y Ax  S2: 2 2 x e y Ax Bx C    S3: 2 2 ( ) x y Ax Bx C e   Ví dụ 1.16 Khi viết nghiệm riêng của phương trình (4) 2 4 '''''''' 2 x y y x e   người học có những sai sót: S1: 3 x y Ax e  S2: A 2 2 ( ) x y x Ax Bx C e    S3: 2 ( )y Ax Bx C   Ví dụ 1.17 Đối với phương trình '''''''' 3 '''' 2 x y y y xe    , người học thường mắc các sai lầm khi viết nghiệm riêng S1: x y Axe  S2: 2 ( ) x y Ax Bx C e    25 S3: 2 ( ) x y Ax Bx e   Ví dụ 1.18 Khi xét phương trình (4) 2 4 '''''''' 2y y x  thì các sai sót mà người học gặp phải khi viết nghiệm riêng S1: 4 y Ax S2: 2 y Ax Bx C   S3: 2 y Ax Ví dụ 1.19 Nghiệm riêng của phương trình '''''''' 3 '''' 2 sin cosy y y x x x    sẽ được người học xác định sai sót là: S1: ( ) sin cosy Ax B x C x   S2: sinx+ cosy Ax B x S3: s inx+ cosy Ax Bx x Ví dụ 1.20 Trong phương trình 4 '''''''' 4 sin 2 y y x   thì các cách viết nghiệm riêng sai sót của người học: S1: 2 2 ( )sin 2 ( ) cos 2y Ax Bx x Cx Dx x    S2: ( ) sin 2 ( ) cos 2y Ax B x Cx D x    S3: 2 ( )sin 2y Ax Bx x  . d. Người học chưa thành thạo và nhạy bén trong các phép toán đại số, đạo hàm, tích phân Trong quá trình tìm nghiệm riêng, cần có sự góp sức của các phép toán đại số, tích phân, đạo hàm,…do đó, nếu người học chưa thuần thạo các phép toán này chắc chắn sẽ có nhiều sai sót xảy ra. Ví dụ 1.21 Bằng phương pháp biến thiên hằng số, phương trình '''''''' 3 '''' 2 x y y y x e    , có một nghiệm riêng 2 1 2( ) ( )x x y C x e C x e  , với các hàm số 1 2''''( ), ''''( )C x C x của hệ: '''' '''' 2 1 2 '''' '''' 2 1 2 ( ) ( ) 0 ( ) 2 ( ) x x x x x C x e C x e C x e C x e x e        được xác định thì những sai sót của người học S1: '''' 1 '''' 2 2 ( ) 1 ( ) x x x C x xe C x xe e          26 S2:- '''' 1 '''' 2 2 ( ) 1 ( ) x x x C x xe C x xe e        S3: '''' 1 '''' 2 2 ( ) 1 ( ) x x x C x xe C x xe e       Ví dụ 1.22 Ta có, với '''' 1 '''' 2 2 ( ) 1 ( ) x x x...