Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG…………………… Về phương pháp khơng cổ điển giải số phương trình vi phân bậc bậc hai LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI NĨI ĐẦU Phương trình vi phân mơ hình mơ tả tốt q trình chuyển động tự nhiên kĩ thuật Để nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thường tiếp cận theo hai hướng: nghiên cứu định tính giải số Mặc dù có lịch sử phát triển hàng trăm năm, cịn nhiều tốn cần giải quyết, giải số phương trình vi phân thường thu hút quan tâm mạnh mẽ nhà toán học nhà nghiên cứu ứng dụng Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường cố gắng tìm phương pháp hữu hiệu bảo đảm hội tụ, tính ổn định tính xác cao Để làm điều này, người ta thường tổ hợp phương pháp đa bước để nhận phương pháp có bậc hội tụ, tính ổn định cấp xác cao Phương pháp khơng cổ điển giải số phương trình vi phân thường bậc bậc hai M V Bulatov (và Berghe) đề xuất vòng năm năm trở lại nằm hướng Luận văn Về phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc bậc hai có mục đích trình bày phương pháp Bulatov Berghe theo tài liệu [4] (2009) [9]-[11] (2003-2008) Luận văn gồm ba Chương Chương trình bày số khái niệm phương pháp giải số phương trình vi phân Trong mục 1.2 Chương, chúng tơi trình bày phương pháp số cổ điển theo quan điểm quán xuất phát từ Quy tắc cầu phương Chương trình bày phương pháp không cổ điển (do Bulatov đề xuất vào năm 2003-2008) giải số hệ phương trình vi phân bậc nhất, phi tuyến tuyến tính, theo tài liệu [9]-[11] Chương trình bày phương pháp khơng cổ điển giải số hệ phương trình vi phân bậc hai, tuyến tính phi tuyến, theo báo M V Bulatov G V Berghe ([4], 2009) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Thông qua việc tính tốn đạo hàm, phân tích hàm nhiều biến vào chuỗi Taylor phép biến đổi chi tiết, chúng tơi cố gắng trình bày kết M V Bulatov G V Berghe cách rõ ràng chi tiết Để minh họa kiểm chứng lý thuyết, chúng tơi lập trình MATLAB tính tốn máy ví dụ M V Bulatov G V Berghe Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS-TS Tạ Duy Phượng (Viện Tốn học) Xin tỏ lịng cám ơn chân thành tới Thầy Tác giả xin tỏ lịng cám ơn Ban Chủ nhiệm , Thày Cơ cán khoa Toán- Cơ – Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học Cao học Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo cán bộ, giáo viên Học viện Quân y tạo điều kiện để tác giả hoàn thành tốt khóa học Cao học Và cuối cùng, xin cám ơn Gia đình, bạn bè thơng cảm, sẻ chia, hy sinh tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian học Cao học viết luận văn Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2009 Tác giả Vũ Thị Thanh Bình LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com CHƯƠNG Kiến thức chuẩn bị Trong Chương nhắc lại khái niệm giải số phương trình vi phân nhằm thuận tiện cho trình bày mục sau 1.1 Bài tốn Cauchy giải hệ phương trình vi phân Xét tốn Cauchy tìm nghiệm hệ phương trình x(t )  f ( x(t ), t ), t   0,1 (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x (0)  x0 , (1.2) f  x, t  , x  t  hàm vectơ n - chiều, hàm f xác định hình hộp vơ hạn D : 0, 1 R n Ở ta hiểu nghiệm theo nghĩa cổ điển địa phương, tức nghiệm (1.1)(1.2) hàm khả vi x (t )  0,   ,   cho x(t )  f ( x(t ), t )  0,   x(0)  x0 Cùng với toán (1.1), ta xét trường hợp hàm f ( x, t ) tuyến tính, tức f ( x, t )  B(t ) x  g (t ) , B(t ) ma trận cấp n  n , g (t ) vectơ n -chiều, tức hệ tuyến tính x(t )  B (t ) x  g (t ), t   0,1 (1.3) Ta giả thiết phần tử ma trận B(t ) , vectơ f  x, t  , g (t ) đủ trơn (có đạo hàm đến cấp cần thiết tính tốn) Khi theo định lí PicardLindelưf, hệ (1.1)-(1.2) có nghiệm x(t ) tồn đoạn  0,1 (nghiệm kéo dài tồn khoảng xác định, hay tồn nghiệm toàn cục, xem [8], trang 467) Lưu ý quan trọng giải số hệ phương trình (1.1)-(1.2) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.2 Giải số toán Cauchy Để chứng minh định lý tồn nghiệm hệ phương trình vi phân (1.1)-(1.2), ta xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ tới nghiệm toán (1.1)-(1.2) khoảng tồn nghiệm Có hai phương pháp xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ: phương pháp giải tích phương pháp số kết cho dạng bảng, phương pháp Euler, phương pháp Runge-Kutta, phương pháp đa bước, Dưới trình bày cách xây dựng cơng thức Euler, Runge-Kutta, xuất phát từ qui tắc cầu phương (xem, thí dụ, [2]) 1.2.1 Quy tắc cầu phương giải số phương trình vi phân Quy tắc cầu phương (basic quadrature rules) coi phương pháp quan trọng để tính tích phân Vì giải phương trình vi phân thường (1.1) với điều kiện ban đầu (1.2) tương đương với việc giải phương trình tích phân t (1.4) x(t )  x0   f ( x(s ), s )ds t0 nên ta sử dụng quy tắc cầu phương việc giải số phương trình vi phân Trong mục ta rằng, nhiều công thức sai phân cổ điển giải số phương trình vi phân suy từ quy tắc cầu phương Trước tiên ta nhắc lại quy tắc cầu phương (xem, thí dụ, [1]) b Nội dung quy tắc cầu phương là: để tính tích phân  f (t )dt ta thay f (t ) a đa thức nội suy (interpolating polynomial) Tích phân hàm f (t ) xấp xỉ tích phân hàm đa thức (tính xác) Giả sử ta có s điểm nội suy khác c1 , c2 , , cs khoảng  a , b  Đa thức nội suy Lagrange bậc nhỏ s có dạng (xem [1]): s  (t )   f (c j ) L j (t ) , j 1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com s L j (t )  (t  ci ) Khi  i 1,i  j (c j  ci ) b s f (t ) dt    j f (c j )  j 1 a b Các trọng số  j tính theo cơng thức  j   L j (t )dt a Nếu s  đa thức nội suy  (t )  f (c1 ) ta có: b a f (t )dt  (b  a) f (c1 ) Ta nói độ xác (precision) quy tắc cầu phương p quy tắc xác cho đa thức bậc nhỏ p , tức với đa thức Pk (t ) bậc nhỏ p ta có: b s  Pk (t )dt    j f (c j ) j 1 a Nếu b  a  0(h) sai số quy tắc cầu phương độ xác p 0(h p 1 ) Ta xét số trường hợp đặc biệt  Nếu chọn s  c1  a ta có cơng thức xấp xỉ tích phân diện tích hình chữ nhật ABCD (Hình 1.1): b  f (t )dt  (b  a) f (a) (1.5) a Nếu x (t ) nghiệm phương trình vi phân (1.1) - (1.2) (nghiệm phương trình tích phân (1.4)) thì: t h x (t  h )  x (t )   f ( x( s ), s )ds (1.6) t Kết hợp với công thức (1.5) ta đến công thức: x(t  h)  x(t )  h f ( x(t ), t ) (1.7) Gọi h độ dài bước (stepsize) biến độc lập t ( h dương âm, h dương nghiệm xây dựng bên phải điểm t0 ngược lại, h âm LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com nghiệm xây dựng bên trái t0 ) Dưới ta coi h  , trường hợp h  xét tương tự f Từ cơng thức (1.7) ta có x1  x0  h f ( x0 , t0 ) ; D C a A b B x2  x1  h f ( x1 , t1 ) ; .; O xn 1  xn  h f ( xn , tn ) Đây cơng thức Euler tiến quen thuộc x Hình 1.1  Nếu chọn s  c1  b ta có cơng thức xấp xỉ tích phân diện tích hình chữ nhật ABEF (Hình 1.2): f F E O a A b B b  f (t )dt  (b  a) f (b) a Từ ta có: x(t  h)  x(t )  h f ( x(t  h), t  h) x Suy công thức Euler lùi: xn 1  xn  h f ( xn 1 , tn 1 ) Hình 1.2 Hai phương pháp Euler tiến Euler lùi phương pháp Runge-Kutta bậc (có độ xấp xỉ bậc nhất) f a b  Nếu chọn s  c1  ta có N M a A b B cơng thức xấp xỉ tích phân diện tích hình chữ nhật ABMN (Hình 1.3): t h  t O h h f ( x( s ), s)ds  h f ( x(t  ), t  ) 2 Từ ta có: ab x Hình 1.3 h h x(t  h)  x(t )  h f ( x(t  ), t  ) 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ cơng thức ta có h h xn 1  xn  h[ f ( x(tn  ), tn  ] 2 Đây phương pháp trung điểm (midpoind method)  Nếu chọn s  c1  a, c2  b L1 (t )  t b t a L2 (t )  ( a  b) (b  a ) Suy b b t b (t  b) 1   L1 (t )dt   dt  ( a  b) (a  b ) a a b  ba  ba a b b t a (t  a ) 2   L2 (t )dt   dt  (b  a ) (b  a ) a a a b Chứng tỏ b  f (t )dt  a ba [ f ( a )  f (b )] th Như xấp xỉ tích phân  f ( x( s ), s ) ds cơng thức (bởi diện tích hình t thang ABED, Hình 1.4) ta được: th  t f h f ( x( s ), s) ds  [ f ( x(t  h), t  h)  f ( x(t ), t )] E D Từ ta có cơng thức hình thang: h xn1  xn  [ f ( xn , tn )  f ( xn1 , tn1 )] O b B a A x Phương pháp điểm phương pháp hình thang hai phương pháp ẩn, Hình 1.4 chúng có độ xác p   Nếu chọn s  c1  a , c2  ab , c3  b thì, đặt h  b  a , ta có: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a b )(t  b ) ab L1 (t )   (t  )(t  b ), a b (a  )(a  b) h (t  L2 (t )  (t  a )(t  b) 4  (t  a )(t  b), ab ab (  a )(  b) h 2 ab ) ab L3 (t )   (t  a )(t  ) ab h (b  a )(b  ) (t  a )(t  Suy b b b a b a b 1   L1 (t )dt   (t  )(t  b)dt   (t  b  )(t  b)dt 2 h a h a a b b  a b (t  b)3 a  b (t  b ) 2 [( t  b )  ( )( t  b )] dt  [ ( ) ] 2 h a h2 a  (b  a )3 h  h 12 b b b 4 4 2   L2 (t )dt   (t  a )(t  b)dt   (t  a )(t  a  (a  b ))dt h a h a a b  4 (t  a )3 (t  a) 4h [  ( a  b)]  h a Do tính chất đối xứng (hoặc tính trực tiếp), ta có   1  h Từ tính tốn ta đến cơng thức Simpson: b h a f (t )dt  [ f (a)  f ( ab )  f (b )] Suy công thức xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com h h h x(t  h)  x(t )  [ f ( x(t ), t )  f ( x(t  ), t  )  f ( x(t  h), t  h)] 2 công thức sai phân h h h xn1  xn  [ f ( xn , tn )  f ( x(tn  ), tn  )  f ( xn 1 , tn 1 )] 2 Đây công thức ẩn phương pháp Runge-Kutta kinh điển cấp bốn (classical fourth-order Runge-Kutta method) 1.2.2 Phương pháp Runge-Kutta 1.2.2.1 Dẫn tới phương pháp Runge - Kutta Vì phương pháp ẩn địi hỏi bước phải giải phương trình phi tuyến, điều không đơn giản, nên ta cố gắng xây dựng công thức Runge-Kutta hiển từ công thức hình thang ẩn, cơng thức điểm ẩn công thức Runge-Kutta kinh điển cấp bốn ẩn tương ứng sau  Trong cơng thức hình thang ẩn: h xn 1  xn  [ f ( xn , tn )  f ( xn 1 , tn 1 )] , ta thay giá trị xn1 vế phải công thức Euler tiến: xˆn 1  xn  hf ( xn , tn ) Khi ta công thức: h xn 1  xn  [f ( xn , tn )  f ( xˆn 1 , tn 1 )] Công thức gọi phương pháp hình thang hiển (explicit trapezoidal method) h  Bằng cách sử dụng xấp xỉ bậc x(tn  ) theo phương pháp Euler tiến: xˆ n  xn  h f ( xn , t n ) thay vào công thức phương pháp trung điểm ẩn h h xn 1  xn  hf ( x(tn  , tn  ) 2 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  Hệ số h : 32   xi 1  01  d 02 Ai 1 xi1  2  01  dB 02 Ai1 xi1  120 2   01  dB  02 Ai1.2 xi1  01  d  02 Ai21.2 xi1  01  dB3  02 Ai 1 xi 1  2  5 2  01  dB  02 Ai 1 Ai1 xi 1  1  d  xi 1  11  01  d 12  2d 02 Ai 1 xi1 120 1  11  01  dB12  2dB 02 Ai1 xi1  11  01  dB 12  2dB 02 Ai1 xi1  2  0111  d 02 12 Ai21 xi1  11  1601  d 12  2dB3  02 Ai 1 xi 1   3 01 11  2dB 02 12 Ai 1 Ai1 xi 1  8 01  dB3  22  dB  02 Ai 1 xi 1   3 01  21  2dB 02  22 Ai 1 Ai1 xi 1  8 01  11  dB fi  1   1  d                                  01          0111 Ai 1 fi1  01      0111 Ai1 f i 1  dB 02  Ai 1 f i1  Ai1 f i 1  Từ (*) (**) suy x   t   A t  x  t   A  t  x  t   2A t  x  t   2A  t  x  t    A t  x t   f   t   A  t  x  t   3A  t  x  t   3A  t  x  t   A t  x  t   f   t   A  t  x t   3A  t  x  t   3A  t   A t  x  t   f  t   A t   A  t  x  t   A t  x  t   f   t    f   t   A  t  x t   3A  t  x  t   4A  t  A t  x  t   A2  t  x  t   3A  t  f  t   A t  f   t   f   t  Hệ số h viết lại sau:  d  1 Ai1 xi 1   d  1 Ai1 xi1   d  1 Ai1 Ai 1 xi 1   d  1 Ai21 xi1   d  1 Ai1 fi1 4 4 1   d  1 Ai 1 f i1   d  1 f i   d 02 Ai 1  Ai1 xi 1  Ai 1xi1  f i1   1  4        4  01  dB 02 Ai1  Ai 1 xi 1  fi 1   01  dB  02 Ai1 xi1  01     A  d  02 2 i 1 i 1 x   1 8 01  dB  02 Ai  dB  02 Ai 1 Ai1xi 1 1 xi 1  2   11  01  d 12  d  02 Ai 1  Ai1 xi 1  Ai 1 xi1  fi 1          1 1  01  dB12  2dB02 Ai1  Ai 1 xi 1  f i 1   11  8 01  dB 12  2dB 02 Ai1xi1 2     60 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com    0111  d 02 12 Ai21 xi1   3  1    8 01  dB3  22  dB3  02 Ai 1 xi 1  Ai 1 Ai1 xi 1  01  11  dB3 fi 1   dB 02 12 Ai 1 Ai1 xi 1    3 01  21  dB 02  22  1 1  16 01  6d 12  2dB  02 Ai 1 xi 1    01           01 11  dB 02 Ai 1 fi1  01   2  0111  dB02 Ai1 f i 1 1 1     d  1  8 01  dB  02  11  16  01  d 12  2dB 3 02  8 01  dB 3 22  dB3 02  Ai 1 xi 1 6 4  3     d  1   01  dB 02  11  8 01  dB 12  dB 02  Ai1 xi1                2    d  1  01  d 02  01  dB02  2  01  dB 02   1  11  01  2dB12  dB 02  11   01  d 12  2d 02 1 2 1  3 1  2dB 1  3   2dB02  22  Ai1 Ai 1 xi 1   2 1    d  1   01  d 02   01  d 02  11   01  d 12  d  02 4                         3 1   0111d 02 12  Ai21 xi 1    d  1  01  dB02   11   01  dB12  dB02   2           0111  dB 02  Ai1 f i 1   1    d  1   01  d 02  11   01  d 12  2d  02   01 4 2 01           01 11dB 02  Ai 1 fi 1   1     d  1  801  11  dB3  f i 1 4  1 1 8        d  1    01  11  dB3    Ai 1 xi 1  Ai 1 xi 1  f i 1   6 6  4   1 7     d  1    01  11  d  02  01  0111  d 12  dB 02   Ai21 xi1  Ai 1 fi 1 6 3  4  1  16    d  1    01  11  d  02   01  d 12  d 12  dB 02   Ai1 Ai 1xi 1  3          3     d  1    01  11  d  02  01  4      01 11  dB12  2dB 02   Ai 1 fi1  61 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hệ số h5 1 1 1   d  1    1  dB ;    d  1      d      1  d   dB ; 0 1 4 6   d  1  16     d     d   d   dB ; 0 1  3 3   d  1  01  11  d 02   01  2 0111  dB12  2dB02 4       Từ (3.10) (3.11) ta có  d  1  dB  2dB; 1 1 1 01  (d  1)  11  dB  (d  1)   d  1  dB  dB  dB 2 2 12 2   d  1  dB  dB; 12 2 d 1  dB  dB  dB 12  dB  2dB ; 11   02  B  12  dB 02  dB  dB12  dB3  dB Suy hệ số h5   Bd   3B  B    3 1 d d  112  12 B  B  B      3.12 Nếu tham số thoả mãn điều kiện (3.3), (3.5), (3.10) (3.11) sai số địa phương công thức (3.8) O( h ), lúc hệ số nghiệm hệ phương trình: 01  11   21  1; 02  12   22  1; d   11  01  dB;  d  1  11  d 12 ;  d  1  11  dB  2dB Nghiệm hệ 62 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  Hoặc d  0, 1 11  , 01  ,  21  12 12 (3.13) với tham số 12 ,  02 ,  22 , B tuú ý;  Hoặc  d  1  dB  2dB; 12   B  B; 11  1  d  1  dB  dB; 12 2 11 1  21   d   dB  dB; 12 12 2 1 02  B  ; 2B  22  B  B  2 01  (3.14) với tham số B tuỳ ý, d ≠ Nhận xét 3.1 Khi tham số thoả mãn điều kiện (3.13) cơng thức (3.8) trở thành: 5   1  Ri21xi1  Ri1 (2E  h2 Ai ) xi  Ri 1  E  h2 Ai1  xi1  h2Ri1  fi 1  fi  fi1  (3.15) 12 12     12 Ri 1  E  h Ai 1 12 Sau chia hai vế cơng thức (3.15) cho Ri 1 ta thu cơng thức tiếng Numerov có sai số địa phương O( h ) Nhớ lại t  ti 1  hB Đặt  S i 1  E  h  d    dB  12  1 U i 1  E  h  B  B  A   2   dB  A i  ;  Điều kiện (1.14) hai tham số tự ta có phương trình sai phân sau: 63 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com S i1  dUi21  yi1    5    Si1  2E  h2   d 1  dB2  2dB Ai   dUi1 2E  h2  B2  2B A  yi  6        (3.16)   1   Si1(E  h2  111d   6dB2 18dB Ai1  dUi1  E  h2  B2  B 1 A  yi1 12 2     h2  Si11 fi   dUi1  f  , hệ số tốn tử 1  fi  xác định công thức (3.14) Sai số địa phương công thức (3.16) O( h5 ) Bởi cịn hai tham số tự B d , nên cịn có ý nghĩa xét phương trình (3.12) Nghiệm hệ mở rộng là:  Hoặc 1 d  0, 11  ,  01  ,  21  12 12 , 02 ,  22 , B tuỳ ý Với nghiệm ta lại thu công thức Numerov  Hoặc d  1, B  0, 11  0,  01  0,  21  1, 12  0,  02  0,  22   Hoặc d  1, B  2, 11  0, 01  1,  21  0, 12  0,  02  1,  22  Hai trường hợp cho M i 1  Pi  Qi 1  g i 1  nên khơng có ý nghĩa  Hoặc 1  d ,  01   d  1 ,  21   d  1 , 6 12 12 2 1  1,   0,   d  1, B  1, 11  (3.17) Khi hệ số thoả mãn điều kiện (3.17) cơng thức (3.8) có sai số địa phương O( h6 ) Không thể chọn giá trị tương ứng d để tăng độ xác cao 3.1.3 Tính chất ổn định Với phương trình thử x  k x ta có 64 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com   xi 1  Rmm  xi  xi 1  ,   hk , hàm phân thức Rmm gọi hàm ổn định phương pháp  Khoảng hội tụ phương pháp  0,02    Rmm   0    02  Phương pháp ổn định - P Rmm    với số thực  Lưu ý phương pháp Numerov có bậc hội tụ cao lược đồ sai phân hai bước, nhiên khoảng hội tụ hẹp,  0,  Trong mục ta nghiên cứu tính chất ổn định phương pháp (3.8) với hệ số (3.17) đem lại lược đồ phụ thuộc vào tham số d  có bậc bốn Vi 1  E  h2  d  1 Ai 1 ;   f i    d  1 fi 1  10  2d  fi   d  1 f i 1 12 12 Ta có   t  ti 1  12   02 h  ti 1  h  ti  A  Ai ,   h  d  1 f   f i , Li 1   E  Ai 1 dE   Vi 1 dE    12   Và với điều kiện (3.17) (3.8) viết lại thành V i 1    h2  dE xi1  Vi1  2E  10  2d  Ai   d 2E  h2 Ai 12          h2  E   d 1 Ai1   dE xi1 i 1  12       x  V i   h2 Vi1  fi   dfi  1.18 Áp dụng cơng thức (3.18) cho phương trình thử y  k y ta      d  1    d  1    2  E    dE x  E  E  10  2d    d E         i       12  12 12          x   i     d  1    2   E   E  d  1   dE  xi 1       12 12     Hay 65 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com    d  1    10  2d    E    E    d E   12 12    xi 1    2    d  1   E    dE 12       xi  xi 1  với   hk Như cơng thức (3.18) có hàm ổn định tương ứng    d  1    10  d        d E    E  E     12 12      R 22    2   d  1   E    dE 12     1  5  d  144  2 4 1  d  1 144  R 22    3 19  Ta có   R22     R 4  2d  4 2  d   2d       R     2d  144  0   36 144  9 Như công thức ứng với d  ổn định - P Với d  phương 4 pháp có khoảng hội tụ mở rộng so với công thức Numerov Bảng đưa số ví dụ để so sánh Nhận xét với d  ta nhận phương pháp Numerov d 2 d 2 0,5 4   6,58 d 2 d 6   7, 41 1,5 2 d 2 12  12  8, 78 12 Một số đồ thị R22 ( ) với d  2,5 Hình 3.1 Đồ thị phù hợp với lý thuyết trình bày 66 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hình 3.1 3.1.4 Thử nghiệm số Trong phần ta tính tốn theo lược đồ 3.18 với giá trị khác d để kết số hai ví dụ kiểm tra Chúng ta giả thiết thực lược đồ sai phân ta biết giá trị xác liệu đầu vào x0 x1 Ví dụ 3.1 Xét phương trình  2a a  x     x, t  t 67 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a với nghiệm tổng quát a x  t   C1e t  C2 e t  e 2 a t dt , C1 , C2 hai số tuỳ ý Cho C1  1, C2  0, t  1, 10  , a  20 Xây dựng đoạn [1,10] lưới với bước lưới h j  0.2 , j  1, 2,3 cho sai số erj  e2  y N j , N j  j hj Mã nguồn Chương trình cho Phụ lục Kết tính tốn cho Bảng d h = 0.1 h = 0.05 h = 0.025 2 6.3.10 3 5.8.10 4 4.5.10 5 2.9.104 3.1.10 5 2.4.10 6 5.2.10 3 5.2.10 4 4.10 5 7.7.10 3 7.9.10 4 6.2.105 1.2.102 1.3.103 1.10 4 Bảng Sai số cho x ví dụ với giá trị khác h d Ví dụ 3.2 Xét hệ phương trình x  k x  2ak cos  kt  , x    1, x    0; y  k y  2ak sin  kt  , y    0, y     k  a, t   0, 40  , với nghiệm xác x  cos  kt   at sin  kt  , y  sin  kt   at cos  kt  Trường hợp k  a  0, 0005 xét trước Trong Ví dụ này, ta xét giá trị k  Ta đưa vào đại lượng   t   x  t   y  t     at  Xây dựng đoạn  0, 40  lưới với bước 68 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com hj   , j  1, 2,3, 4j er j    40    h j  N j  , N j  40  j  h j Ta có cơng thức sai phân tương tự  h j  i   xi2  yi2 , giá trị xi , yi tính từ cơng thức (3.18) Với liệu đầu vào thỏa mãn điều kiện (3.17), phương pháp (3.18) cho bước tích phân (với số giá trị tham số d ) rộng đáng kể Ta lưu ý   d  lược đồ sai phân ổn định với   0;6   1 d  lược đồ sai phân ổn định với    0;12 P-ổn định với d  Mã nguồn Chương trình cho phần Phụ lục Kết tính tốn cho giá trị d bước h j k  5, a  0.0005 cho Bảng j 1 j2 j 3 j4 1.9.102 9.8.10 5 3.8.10 7 4.2.102 3.4.10 4 1.3.106 2.3.102 5.9.10 4 2.3.106 5.6.10 2 2.8.103 8.3.103 3.2.10 6 1.0.101 1.3.102 1.0.103 4.2.106 d * * 5.2.10 3 Bảng Chú thích Dấu * kí hiệu sai số lớn 106 3.2 Phương pháp khơng cổ điển giải số hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp hai Các kết 3.1 mở rộng cho hệ phi tuyến bậc hai sau Xét hệ phương trình phi tuyến bậc hai x(t )  g ( x(t ), t ), x(0)  x0 , x(0)  x0 , t  0,1 (3.20) Tương tự lược đồ (3.2), ta viết lược đồ sai phân sau cho toán (3.20):   xi 1  xi  xi 1  h 01 g  xi 1 , ti 1   11g  xi , ti    21g  xi 1 , ti 1  (3.21) 69 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Để giải hệ (3.21) ta áp dụng phương pháp Newton để nhận công thức M ij xij1  lij với M ij  E  h  01 J xij1 , ti 1            lij  yi  yi 1  h 01 g x ij 1 , ti 1  J xij11 , ti 1 xij11  11g x ij 1 , ti 1   21 g  xi 1 , ti 1  Ở số j kí hiệu số bước lặp J ( x, t )   x g ( x, t ) Viết lại hệ thao tác tương tự (3.6), ta nhận hệ phương trình đại số tuyến tính  lij   M ij  j   xi 1    , E   mij  (3.22) mij  xi  xi 1  h g ( xi , ti ) Hệ (3.22) khơng có nghiệm cổ điển Ta cố gắng tìm “nghiệm” hệ (3.22) tương tự 3.1, tức nhân hai vế (3.22) với ma trận  M ij dE  Kết ta nhận hệ không suy biến M ij   dE xij1  M ij lij  dmij (3.23) Ở ta chọn xi01  xi làm xấp xỉ ban đầu Mặc dù kết lý thuyết cho hệ phi tuyến chưa thật trọn vẹn, ví dụ [4] rằng, lược đồ (3.23) tỏ hiệu 70 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com KẾT LUẬN Luận văn trình bày phương pháp giải số không cổ điển giải tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân bậc M V Bulatov đề nghị gần (2003-2008) phương pháp giải số toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân bậc hai khơng cổ điển M V Bulatov G V Berghe (2009) Mặc dù kết lý thuyết cho hệ phi tuyến bậc hai phương pháp tổng quát không đối xứng cho hệ tuyến tính hệ phi tuyến chưa thật trọn vẹn, ví dụ [4] rằng, lược đồ (3.23) tỏ hiệu Vì phương pháp Bulatov (và Berghe) đề xuất đáng đựoc quan tâm tiếp tục phát triển Trong trình trình bày kết trên, chúng tơi phải tính tốn cơng phu, tỷ mỷ cẩn thận chứng minh lý thuyết (phân tích hàm nhiều biến vào chuỗi Taylor, diễn giải chi tiết công thức), đồng thời lập trình MATLAB thực tính tốn máy nhằm kiểm nghiệm lại bốn ví dụ [4] [11] Tiếc khơng có đủ thời gian để chúng tơi sử dụng phần mềm tính tốn Maple để tính tự động đạo hàm sử dụng sở Grobner để giải hệ phương trình đa thức nảy sinh lược đồ mở rộng kết [4] [9][11] Hy vọng vấn đề tiếp tục nghiên cáu thời gian tới 71 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Tạ Duy Phượng (2009), Một số Chương Giải tích số thực hành tính tốn, Giáo trình Cao học, Viện Tốn học, Hà Nội [3] U M Ascher, L R Petrold (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM [4] M V Bulatov, G V Berghe (2009), Two-step fourth order methods for linear ODEs of the second order, Numer Algorithms, 51, No4, pp 449-460 [5] E Hairer, S P Nørsett, G Wanner (1993), Solving Ordinary Differential Equations I Nonstiff Problems, Springer-Verlag [6] J D Lambert (1991), Numerical Methods for Ordinary Differential Systems The Initial value Problem, John Wiley & Son Ltd England [7] D Quiney (1987), An Introduction to the Numerical Solution of Differential Equations, John Wiley & Son Inc., England [8] J Stoer, R Burlisch (2002), Introduction to the Numerical Analysis, Springer- Verlag, New York [9] M В Булатов (2003), О построении 1-стадийного L-устойчивого метопа второго порядка, Дифференциальные уравнения, том 39, No4, с.554-556 [10] M В Булатов (2005) Построение неклассичиских многошаговых схем для линейнынх оду , Доклады академии наук, том 404, No1, с.11-13 [11] M В Булатов (2008), О построении неклассических разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений, Дифференциальные уравнения, том 44, No4, с.546-557 72 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC Lời nói đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài tốn Cauchy giải hệ phương trình vi phân 1.2 Giải số toán Cauchy 1.2.1 Quy tắc cầu phương giải số phương trình vi phân 1.2.2 Phương pháp Runge-Kutta 10 1.2.3 Phương pháp cổ điển đa bước 13 1.3 Mơ hình thử ổn định phương pháp số 14 1.3.1 Mơ hình thử 14 1.3.2 Ổn định phương pháp Euler 15 1.3.3 Ổn định phương pháp Runge-Kutta 17 1.3.4 Ổn định phương pháp đa bước 19 1.3.5 Ổn định phương pháp sai phân hữu hạn 19 2.Về phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân cấp 21 2.1 Phương pháp khơng cổ điển giải số hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp 21 2.1.1 Phương pháp tổng quát 21 2.1.2 Phương trình thử 25 2.1.3 Trường hợp đặc biệt 26 2.1.4 Thử nghiệm số 27 2.2 Phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 28 2.2.1 Phương pháp bước 28 2.2.2 Phương pháp đa bước 35 i 73 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Về phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân cấp hai 51 3.1 Phương pháp không cổ điển giải số cấp hai 51 3.1.1 Phương pháp cổ điển 51 3.1.2 Lược đồ sai phân 52 3.1.3 Tính chất ổn định 64 3.1.4 Thử nghiệm số 67 3.2 Phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình phi tuyến cấp hai 69 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72 Phụ lục 72 ii 74 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... CHƯƠNG Về phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân cấp Chương trình bày phương pháp Bulatov đề xuất giải số toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân cấp (xem [9]-[11]) tốt phương pháp. .. pháp cổ điển Phương pháp họ phương pháp bước, bậc hai, có phương pháp L-ổn định Nội dung Chương gồm hai mục Trong 2.1 chúng tơi trình bày phương pháp không cổ điển Bulatov đề xuất giải số hệ phương. .. thường tổ hợp phương pháp đa bước để nhận phương pháp có bậc hội tụ, tính ổn định cấp xác cao Phương pháp khơng cổ điển giải số phương trình vi phân thường bậc bậc hai M V Bulatov (và Berghe) đề