Cho J là một iđêan đơn thức của R,một phân tích m-bất khả quy của J là biểu diễn J = ∩ni=1Ji thành giao của cáciđêan m-bất khả quy, phân tích này được gọi là rút gọn nếu Ji* Ji′ với mọi
Iđêan đơn thức
Định nghĩa 1.1.1 Mộtiđêan đơn thức trongRlà một iđêan của Rđược sinh bởi các đơn thức theo các biếnX 1 , ,X d
(i) IđêanI= (X 3 ,Y 4 )Rlà một iđêan đơn thức.
(ii) Iđêan J= (Y 3 −X 4 ,X 4 )là một iđêan đơn thức vìJ = (Y 3 ,X 4 ).
(iii) Iđờan0 và Rlà cỏc iđờan đơn thức vỡ0= (/0)RvàR=1 R R=X 1 0 ãããX d 0 R.
Với mỗi iđêan đơn thức khác không I⊆R, ta ký hiệu[[I]]là tập hợp tất cả các đơn thức chứa trong I Khi đó tập hợp [[I]]⊂ R là một tập vô hạn nhưng không là iđêan Theo định nghĩa, ta có[[I]] =I∩[[R]].Hơn nữa, với mỗi iđêan đơn thức
Mệnh đề 1.1.3 ChoI vàJ là hai iđêan đơn thức củaR.
(ii)I= J nếu và chỉ nếu[[I]] = [[J]].
(iii) Cho I 1 , ,I n là các i đêan đơn thức củaR Khi đó
[[I 1+ .+I n ]] = [[I 1]]∪ .∪[[I n ]]. Định nghĩa 1.1.4 (i) Cho f vàglà các đơn thức củaR Khi đó f được gọi làbội đơn thứccủag nếu tồn tại một đơn thức h∈Rsao cho f =gh.
(ii) Với mỗi đơn thức f = X n = X 1 n 1 X d n d ∈ R, ta có bộ d-số tự nhiên n (n 1, ,n d )∈N d được gọi là véc tơ lũy thừa của f.
Cho d là một số nguyên dương Giả sử trên N d ta định nghĩa một quan hệ < như sau:m= (m 1, ,m d )1 Khi đóg∈J nếu và chỉ nếu g k ∈J [k]
Kết quả tiếp theo cho ta cách tìm dãy sinh đơn thức rút gọn của lũy thừa ngoặc của các iđêan đơn thức.
Mệnh đề 1.2.40 ChoJ là một iđêan đơn thức củaR, f 1 , , f n ∈[[J]]là một dãy sinh đơn thức rút gọn của J, và số nguyên cố định k > 1 Khi đó J [k] được sinh bởi dãy sinh đơn thức rút gọn f 1 k , , f n k
Bổ đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn hữu ích để kiểm tra sự chứa nhau hoặc sự bằng nhau của các lũy thừa ngoặc.
Bổ đề 1.2.41 Cho I và J là một iđêan đơn thức củaR và một số nguyên cố định k>1.
Kết quả tiếp theo cho thấy lũy thừa ngoặc giao hoán với phép toán giao của các iđêan đơn thức Ta đã biết rằng giao của các iđêan đơn thức cũng là iđêan đơn thức nên các iđêan ( T n i=1 J i ) [k] và T n i=1 J i [k] hoàn toàn được định nghĩa.
Mệnh đề 1.2.42 Cho J 1 , ,J n là các iđêan đơn thức của R Nếu k là một số nguyên dương thì( T n i=1 J i ) [k] = T n i=1 J i [k]
Phân tích bất khả quy của iđêan đơn thức
Trong chương này ta luôn ký hiệu R=A[X 1, ,X d ]là vành đa thứcd biến lấy hệ số trên vànhA.Cho các iđêan đơn thứcI vàJ, mục đích của chương này là tìm hiểu về các tính toán phân tích m-bất khả quy của các iđêan giaoI∩J, tổngI+J, tích IJ, chia (I :R J), m-rad(I), lũy thừa ngoặcI [K] từ các phân tích m-bất khả quy
I = T n j=1 I j và J = T m i=1 J i của I và J Từ đó trình bày một số thuật toán để tính toán phân tích m-bất khả quy của iđêan đơn thức bất kỳ trong trường hợp tổng quát Các kiến thức của chương này là một số kết quả của các chương 3, 6 và 7 của quyển sách [2].
Iđêan đơn thức bất khả quy và sự phân tích
Trước hết, ta nhắc lại các khái niệm về iđêan bất khả quy trên vành giao hoán
Akhác không có đơn vị.
Một iđêan J (A được gọi là iđêan bất khả quy nếu tồn tại hai iđêanJ 1 và J 2 sao cho J = J 1 ∩J 2 thì J = J 1 hoặc J = J 2 NếuA là một vành Noether thì luôn tồn tại các iđêan bất khả quyJ 1, ,J n sao choJ =∩ n i=1 J i và được gọi làsự phân tích bất khả quycủa J, phân tích này được gọi làrút gọn nếuJ 6=∩ i 6 =i ′ J i với mọi chỉ sối ′
Bây giờ, ta sẽ quan tâm tới phân tích bất khả quy của iđêan đơn thức trên vành đa thứcR=A[X 1, ,X d ]. Định nghĩa 2.1.1 Một iđêan đơn thứcJ (R làm-bất khả quy nếu có hai iđêan đơn thứcJ 1 ,J 2 sao choJ =J 1 ∩J 2 thìJ =J 1 hoặcJ =J 2
Ví dụ 2.1.2 ĐặtR=A[X,Y],choI = (X,Y 2 )R.Vì(X,Y 2 )R⊆(X,Y)Rnên ta có thể viếtI = (X,Y 2 )R∩(X,Y)R Theo định nghĩa, I là iđêan đơn thức m-bất khả quy.
Bổ đề sau cho ta thấy quá trình phân tích một iđêan đơn thức thành giao không tầm thường của các iđêan đơn thức như thế nào.
Bổ đề 2.1.3 Cho J là một iđêan đơn thức của R với dãy sinh đơn thức rút gọn là f 1 , , f k Giả sử rằng f k =X 1 e g,trong đó e>1 và X 1 không là ước củag và g6=1.Đặt I = (f 1 , , f k − 1 ,X 1 e )R vàI ′ = (f 1 , , f k − 1 ,g)R.Khi đóJ =I∩I ′ và
J (I và J( I ′ Đặc biệt, J là m-bất khả quy.
Bằng cách áp dụng Bổ đề 2.1.3 trong chứng minh quy nạp, ta có thể sắp xếp lại các biến nếu cần thiết để có thể giả sử rằnge 1 , ,e t ≥1và cáce i =0với mọi i>t, ta được một kết quả là mở rộng của Bổ đề 2.1.3 như sau.
Bổ đề 2.1.4 ChoJ là một iđêan đơn thức củaRvới dãy sinh đơn thức rút gọn là f 1 , , f k Giả sử rằng f k =X e Khi đó J = T d j=1 (f 1 , , f k − 1 ,X e j j )R. Định lý sau đây cho phép ta dễ dàng kiểm tra một iđêan đơn thức có là m-bất khả quy hay không. Định lý 2.1.5 ChoJ là một iđêan đơn thức khác không của R IđêanJ là m-bất khả quy nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên dươngk,t 1 , ,t k ,e 1 , ,e k sao cho
Ví dụ 2.1.6 Đặt R=A[X,Y,Z,W] Khi đó theo định lý trên các iđêan đơn thức
I = (X,Y 2 )R,J = (Y 3 ,Z,W 2 ) là các iđêan đơn thức m-bất khả quy.
Iđêan m-bất khả quy theo nghĩa nào đó là iđêan đơn thức đơn giản nhất, trong đó chúng không viết được thành giao không tầm thường của các iđêan đơn thức. Tuy nhiên trong vành đa thức bất kỳ, một iđêan đơn thức là bất khả quy thì cũng là m-bất khả quy, nhưng điều ngược lại nhìn chung không đúng Ví dụ trong vành
Z6[X]iđêan0 là m-bất khả quy nhưng lại là khả quy trongZ6[X] Định lý sau cho ta điều kiện của vành Ađể điều ngược lại cũng đúng. Định lý 2.1.7 ChoAlà một trường, và đặtR=A[X 1 , ,X d ].Một iđêan đơn thức khác khôngJ (Rlà bất khả quy nếu và chỉ nếu nó là m-bất khả quy.
Tương tự phân tích bất khả quy, một kết quả quan trọng sau được chứng minh bởi Emmy Noether cũng cho phép đưa ra khái niệm phân tích bất khả quy rút gọn. Định lý 2.1.8 NếuJ (Rlà một iđêan đơn thức thì có các iđêan đơn thức m-bất khả quy J 1 , ,J n của Rsao choJ =∩ n i=1 J i Định nghĩa 2.1.9 Cho J ( R là một iđêan đơn thức Một phân tích m-bất khả quy củaJ là biểu diễn J =∩ n i=1 J i trong đó mỗiJ i là m-bất khả quy, sự phân tích này là rút gọn nếu J ( ∩ i 6 = j J i với mọi chỉ số j = 1, ,n Hơn nữa, phân tích m-bất khả quy rút gọn là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các nhân tử và ta ký hiệu tập các iđêan đơn thức m-bất khả quy trong phân tích m-bất khả quy rút gọn củaJ làirr(J).
Ví dụ 2.1.10 Đặt R= A[X,Y] Cho J = (X 4 ,XY 2 ,Y 3 )R Khi đó, các phân tích m-bất khả quy củaJ
= (X,Y 3 )R∩(X 4 ,Y 2 )R∩(X 2 ,Y 2 )R là không rút gọn vì (X 4 ,Y 2 )R ⊆(X,Y)R, (X 4 ,Y 2 )R⊆ (X 2 ,Y 2 )R Rõ ràng rằng sự phân tích m-bất khả quy không rút gọn củaJ là không duy nhất.
Mặt khác, vì ta có X ∈(X,Y 3 )R\(X 4 ,Y 2 )RvàY 2 ∈(X 4 ,Y 2 )R\(X,Y 3 )R nên (X,Y 3 )R((X 4 ,Y 2 )Rvà(X 4 ,Y 2 )R((X,Y 3 )R.Do đó phân tích m-bất khả quy
J = (X,Y 3 )R∩(X 4 ,Y 2 )R là rút gọn và duy nhất.
Sau đây là một thuật toán để tìm phân tích m-bất khả quy rút gọn.
Thuật toán 2.1.11 ĐặtR=A[X 1, ,X d ].ChoJ là một iđêan đơn thức có phân tích m-bất khả quy là J =∩ n i=1 J i Chú ý rằngn>1.
Bước 1: Kiểm tra xem phân tíchJ =∩ n i=1 J i đã rút gọn chưa.
Bước 1a: Nếu với mọi chỉ số jvà j ′ sao cho j6= j ′ ,ta cóJ j *J j ′ thìJ =∩ n i=1 J i là rút gọn; trong trường hợp này, thuật toán dừng lại.
Bước 1b: Nếu tồn tại chỉ số j và j ′ sao cho j6= j ′ ta có J j ⊆J j ′ thìJ =∩ n i=1 J i là không rút gọn; trong trường hợp này, ta tiếp tục bước 2.
Bước 2: Nếu tồn tại chỉ số j,j ′ sao cho j6= j ′ và J j ⊆ J j ′ thì ta loại bỏ iđêan
J j ′.Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết j ′ =n và sắp xếp lại các chỉ số sao choJ j ⊆J j ′ với je t i
(X t e 1 t1 − n t1 , ,X t e k tk − n tk )R nếu với mọi i∈ {1, ,k} sao cho n t i e i
Nếu có một chỉ sốisao chon i >e i thì f ∈J, vì thế(J : R f) =Rtheo Mệnh đề1.2.26, (iii).
Bây giờ giả sử với mỗi i∈ {1, ,k} ta cón i