Nghiên ứu động họ và động lự họ điều khiển robot ứng dụng trên robot ku ka 62

Phân loại theo số bậc tự do trong tr-ờng công tác Rô bốt có hai hình thức chuyển động cơ bản làm chuẩn:  Chuyển động thẳng theo các trục x, y, z trong không gian Đề-các với các khớp lăn

Tr-ờng đại học bách khoa hà nội

MỤC LỤC

1 TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI 3

2 MỤC TIÊU VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ RÔ BỐT 5

1 KHÁI NIỆM VỀ RÔ BỐT 5

2 PHÂN LOẠI RÔ BỐT 6

2.1 Phân loại theo số bậc tự do trong trường công tác 6 2.2 Phân loại theo cấu trúc động học 6

2.2.1 Rô bốt nối tiếp (Serial manipulators) 7

2.2.2 Rô bốt song song (Parallel manipulators) 8

2.2.3 Rô bốt di chuyển (Mobile Robot) 9

2.2.4 Rô bốt dạng hình người (Humanoid Robot) 9

2.3 Phân loại theo hệ thống truyền động 10

2.3.1 Hệ truyền động gián tiếp 10

2.3.2 Hệ truyền động trực tiếp 10

2.4 Phân loại theo phương pháp điều khiển 10

2.5 Phân loại theo đặc điểm hoạt động 11

3 SƠ LƯỢC VỀ QUÁ TRÌNH PHÁT TRIỂN CỦA RÔ BỐT 11

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ TÍNH TOÁN ĐỘNG HỌC RÔ BỐT 13

1 CƠ SỞ LÍ THUYẾT ĐỘNG HỌC VẬT RẮN 13

1.1 Khả năng chuyển động của vật trong không gian 13

1.2 Biểu diễn hướng (Description of an Orientation) 14

1.3 Biểu diễn vị trí (Description of a Location) 16

2 PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT 16

2.1 Biểu diễn điểm 16

2.2 Biểu diễn mặt phẳng 17

2.3 Ma trận biến đổi đồng nhất 18

2.4 Các phép biến đổi đồng nhất 19

2.4.1 Phép tịnh tiến (Translation) 20

2.4.2 Phép quay (Rotation) 21

2.4.3 Phép quay quanh một trục bất kỳ 22

2.4.4 Ma trận quay Euler 23

Trang

3 Phương trình động học của rô bốt 24

3.1 Xác định quan hệ giữa các khâu 25

3.2 Hệ phương trình động học rô bốt bài toán thuận- 29

4.MA TRẬN JACOBIAN 34

5 MIỀN LÀM VIỆC CỦA TAY MÁY 38

CHƯƠNG 3: CƠ SỞ TÍNH TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC RÔ BỐT 41

1 CÁC TÍNH CHẤT CỦA VẬT RẮN 43

1.1 Khối tâm 43

1.2 Ma trận quán tính 43

2 ĐỘNG NĂNG CỦA TAY MÁY 45

3 PHƯƠNG TRÌNH LARGANGE LOẠI 2 46

3.1 Toạ độ suy rộng 47

3.2 Động năng 48

3.3 Thế năng U 50

3.4 Các lực suy rộng hay lực tổng quát 50

3.5 Phương trình động lực học tổng quát 51

CHƯƠNG 4: QUỸ ĐẠO TRONG CHUYỂN ĐỘNG CỦA RÔ BỐT 54 1.CÁC KHÁI NIỆM VỀ BÀI TOÁN QUỸ ĐẠO 54

2 CÁC DẠNG QUỸ ĐẠO THƯỜNG DÙNG 57

2.1.Quỹ đạo tuyến tính với cung ở hai đầu là Parabol 57

2.2 Quỹ đạo có hai cung ở hai đầu là Parabol 59

2.3 Quỹ đạo CS (Path with Cubis Segment) 60

CHƯƠNG 5: GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC, ĐỘNG LỰC HỌC CHO RÔ BỐT NỐI TIẾP 6 BẬC TỰ DO - KUKA KR6/2 61 1 TÍNH TOÁN ĐỘNG HỌC RÔ BỐT KUKA KR 6/2 61

1.1 Phương trình động học thuận 62

1.2 Phương trình động học ngược 67

1.2.1 Phương trình động học ngược Vị trí - 68

1.2 Phương trình động học ngược Hướng -

71 1.3 Tính toán động học vận tốc ma trận Jacobian- 73

2 TÍNH TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC RÔ BỐT KUKA KR 6/2 82

2.1 Xem xét bài toán với cơ cấu có hai bậc tự do 83

2.2 Tính toán động lực học rô bốt Kuka KR 6/2 86

3 ỨNG DỤNG PHẦN MỀM SOLIDWORKS VÀ DYNAMIC

DESIGNER MOTIONS FOR SOLIDWORKS MÔ PHỎNG TÍNH

TOÁN ĐỘNG HỌC CHO RÔ BỐT KUKA KR6/2

89 3.1 Giới thiệu về phần mềm 89

3.2 Hướng dẫn thực hiện mô phỏng 89

CHƯƠNG 6: LẬP TRÌNH ĐIỀU KHIỂN RÔ BỐT KUKA KR6/2 - MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG ỨNG DỤNG THỰC TẾ 93 1 HƯỚNG DẪN KHỞI ĐỘNG RÔ BỐT 95

2 HƯỚNG DẪN LẬP TRÌNH ĐIỀU KHIỂN RÔ BỐT KUKA 96

2.1 Hệ toạ độ của rô bốt Kuka 96

2.2 Các dạng lập trình điều khiển rô bốt Kuka 98

2.2.1 Lập trình dạy điểm 98

2.2.2 Lập trình theo phần mềm 100

3 MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG ỨNG DỤNG THỰC TẾ 105

3.1 Lập trình điều khiển Rô bốt đi theo biên dạng trong mặt phẳng 105

3.2 Lập trình điều khiển Rô bốt đi theo các cạnh của hình hộp

107

3.3 Lập trình điều khiển Rô bốt định hướng và vị trí để lấy dấu quả cầu trong giàn không gian 109

Kết luận 111

Tài liệu tham khảo 112

Lời nói đầu Lời nói đầu

Ngày nay, rô bốt đã đ-ợc áp dụng và phát triển rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực nh-: hàng không, vũ trụ, công nghiệp, giao thông vận tải, cho

đến những rô bốt siêu nhỏ chạy trong cơ thể con ng-ời làm nhiệm vụ khám chữa bệnh, đặc biệt là rô bốt có hình dáng con ng-ời nh- Asimo của Honda vv… Do đó, rô bốt đ-ợc rất nhiều n-ớc quan tâm phát triển nhằm tạo ra những ứng dụng mới phục vụ cho cuộc sống Rô bốt đ-ợc coi là sản phẩm cơ điện tử đó là sự tích hợp của một số ngành quan trọng: cơ khí, điện tử và công nghệ thông tin Chính vì thế mà sự phát triển của rô bốt gắn liền với sự phát triển của các ngành này Rô bốt công nghiệp có cấu trúc động học nối tiếp tuy đã đ-ợc nghiên cứu và phát triển rất mạnh song những tính toán và ứng dụng của nó luôn luôn là một lĩnh vực rất phong phú, đa dạng và đây cũng là loại rô bốt thông dụng nhất hiện nay Trong bản luận văn này sẽ tập trung đi nghiên cứu loại rô bốt này từ những lý thuyết của vấn đề động học,

động lực học vv sau đó đến vấn đề áp dụng trên một rô bốt cụ thể là Kuka …

KR 6/2

Nội dung luận văn bao gồm:

Ch -ơng 1: Giới thiệu tổng quan về rô bốt,

Ch -ơng 2: Cơ sở lý thuyết tính toán động học rô bốt: đ-a ra các lý

thuyết cơ bản nhất để nghiên cứu vấn đề động học rô bốt,

Ch -ơng 3: Giới thiệu về vấn đề động lực học rô bốt nhằm mục đích

phục vụ cho việc nghiên cứu điều khiển rô bốt theo các quy luật chuyển

động cho tr-ớc,

Ch -ơng 4: Vấn đề về thiết kế quỹ đạo chuyển động của rô bốt nhằm

cho việc điều khiển để đạt đ-ợc các yêu cầu kỹ thuật đặt ra,

Ch -ơng 5: p dụng tính toán động học, động lực học cho loại rô bốt ánối tiếp 6 bậc tự do - Kuka KR 6/2 từ đó có đ-ợc các thông số thiết kế cơ bản,

Ch -ơng 6: Điều khiển rô bốt Kuka KR 6/2 và một số bài toán trong

ứng dụng thực tế

Kết luận chung và h-ớng phát triển của đề tài

Trong suốt quá trình học tập nghiên cứu, tôi đã hoàn thành bản luận

văn d-ới sự h-ớng dẫn tận tình của thầy h-ớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Xuân Toàn Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn tới Ths D-ơng Minh Tuấn cùng toàn thể các thầy, cô trong Bộ môn Máy và Ma sát học và các

bạn đồng nghiệp cũng nh- các thầy cô giáo trong Khoa Cơ khí những ng-ời

đã giúp đỡ và đóng góp những ý kiến quý báu để tôi có thể hoàn thành bản luận văn này

Do trình độ và thời gian hạn chế, nên bản luận văn không tránh khỏi những sai xót, vì vậy rất mong nhận đ-ợc sự đóng góp của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp

Hà nội, 2004

Ngô Mạnh Hiến

5

Ch-ơng 1

Tổng quan về rô bốt

1 khái niệm về rô bốt

Ngày nay trong sản xuất, việc nâng cao năng suất và chất l-ợng sản phẩm

là hết sức quan trọng, giải pháp cho vấn đề này là ứng dụng rộng rãi các ph-ơng tiện tự động hoá trong các quá trình sản xuất Trên thế giới nói chung và các n-ớc phát triển nói riêng đã xuất hiện xu h-ớng tạo ra những dây chuyền và thiết

bị tự động có tính linh hoạt cao và hiện nay xu h-ớng này đã đạt đ-ợc khá nhiều kết quả khả quan Chính vì thế nhu cầu ứng dụng Rô bốt để tạo ra các hệ thống sản xuất tự động linh hoạt ngày càng trở lên cấp thiết

Năm 1921, nhờ sự trình diễn của các nghệ sĩ Tiệp khắc với con rối

“Robota” có tên gọi là lực sĩ (Force man) đã giúp cho các nhà kỹ thuật có ý t-ởng sáng chế ra cơ cấu máy móc bắt ch-ớc thao tác lao động cơ bắp của con ng-ời Chính từ đó, vào năm 1961 Mỹ cho ra thị tr-ờng một loại máy tự động vạn năng mới, đ-ợc gọi ng-ời máy công nghiệp có tên UNIMAT Từ đây công nghệ chế tạo rô bốt bắt đầu phát triển mạnh, chúng đ-ợc ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực trong cuộc sống

Định nghĩa rô bốt theo tiêu chuẩn VDI 2860/BRD:

“Rô bốt là một thiết bị có nhiều trục, thực hiện các chuyển động tự động

có thể ch-ơng trình hoá và nối ghép các chuyển động của chúng trong những khoảng cách tuyến tính hay phi tuyến của động trình Chúng đ-ợc điều khiển bởi các bộ hợp nhất nối ghép với nhau, có khả năng học và nhớ các ch-ơng trình; chúng đ-ợc trang bị dụng cụ hoặc các ph-ơng tiện công nghệ khác nhau để thực hiện các nhiệm vụ sản xuất trực tiếp và gián tiếp”

Các mẫu hình Rô bốt phải đảm bảo:

+ Thủ pháp cầm nắm, chuyển đổi tối -u

+ Khả năng làm việc khôn khéo

+ Kết cấu theo quy tắc Mô-đun hoá

2 Phân loại rô bốt

2.1 Phân loại theo số bậc tự do trong tr -ờng công tác

Rô bốt có hai hình thức chuyển động cơ bản làm chuẩn:

 Chuyển động thẳng theo các trục x, y, z trong không gian Đề-các với các khớp lăng trụ hay còn gọi là khớp tr-ợt ký hiệu là P

 Chuyển động quay quanh các trục x,y,z ký hiệu là R

Tuỳ thuộc số bậc tự do và cách tổ hợp P – R, Rô bốt sẽ hoạt động trong tr-ờng công tác với các hình khối khác nhau Ví dụ: Rô bốt có tr-ờng làm việc là hình trụ: RRP, RPP,

Rô bốt cần phải thao tác ngày càng khéo léo, tinh vi trong tr-ờng công tác của nó Số bậc tự do của Rô bốt có thể không hạn chế Tuy nhiên khi số bậc tự

do tăng lên sẽ kéo theo nhiều vấn đề kỹ thuật và kinh tế phải giải quyết Do đó việc chọn số bậc tự do và ph-ơng án tổ hợp để thiết lập không gian làm việc (tr-ờng công tác) của Rô bốt phải đảm bảo tính hợp lý và tính tối -u đối với tính năng kỹ thuật xác định của Rô bốt

2.2 Phân loại theo cấu trúc động học

Một ph-ơng pháp phân loại khác cho Rô bốt chính là phân loại theo cấu trúc hình học của chúng

Một Rô bốt đ-ợc gọi là Rô bốt tuần tự hay Rô bốt chuỗi hở nếu cấu trúc

động học của chúng có dạng một chuỗi động hở, gọi là Rô bốt song song (Paralell Robots) nếu cấu trúc động học của chúng là một chuỗi đóng, và gọi là Rô bốt hỗn hợp nếu nó bao gồm cả hai loại chuỗi hở và chuỗi đóng

7

2.2.1 Rô bốt nối tiếp (Serial manipulators)

Đây là dạng phổ biến nhất của rô bốt công nghiệp, nó có thể dạng chuỗi

hở hoặc chuỗi hở có vòng kín Th-ờng có dạng cấu trúc giống cánh tay ng-ời, là một chuỗi các khâu rắn liên kết với nhau bằng các khớp (joints) có dạng nh- vai, khuỷu và cổ tay Rô bốt này có -u điểm chính là vùng làm việc (workspace) rộng và linh động D-ới đây ta cũng đ-a ra các bộ phận chính của một rô bốt công nghiệp:

1 Đặc điểm cố hữu là độ cứng vững thấp để tạo một cấu trúc động học,

2 Sai số đ-ợc tích luỹ và đ-ợc khuếch đại từ khâu này sang khâu khác,

3 Do phải mang và chuyển động cùng các bộ dẫn động (th-ờng là các động cơ) có khối l-ợng là lớn nên tốc độ làm việc thấp,

4 Do vậy mà rô bốt mang đ-ợc tải thấp không cao (th-ờng khoảng vài chục kg)

Rô bốt loại này yêu cầu phải có ít nhất 6 bậc tự do trong không gian (ứng với 6 bậc tự do của vật thể) để có thể tiếp cận đ-ợc đối t-ợng ở vị trí bất kỳ với khả năng định h-ớng trong miền làm việc của nó Chính vì vậy chủ yếu là Rô bốt có 6 khớp Tuy nhiên, những ứng dụng của Rô bốt hiện nay trong công nghiệp là lắp ráp và vận chuyển phôi và sản phẩm trong quá trình sản xuất Các công việc mang đối t-ợng và đặt vào đúng vị trí hoặc cung cấp phôi liệu trong

các dây chuyền hoặc băng tải, xích tải thì chỉ cần Rô bốt có 4 bậc tự do là đủ: 1 bậc là dịch chuyển theo trục Z, 3 bậc còn lại dịch chuyển trong mặt phẳng (dịch chuyển dọc theo trục X và Y quay quanh Z) Với mục đích nh- thế này thì có một loại Rô bốt lắp ráp đặc biệt tuỳ chọn gọi là scara (Selective Compliance Assembly Robot Arm)

2.2.2 Rô bốt song song (Parallel manipulators)

Loại Rô bốt song song điển hình th-ờng có bàn di chuyển đ-ợc nối với giá

cố định bằng một số nhánh hay chân (Limb or Leg) Do vậy, các khâu chỉ chịu lực kéo hoặc lực nén, không có chịu uốn Th-ờng số chân chính bằng số bậc tự

do và các chân đ-ợc điều khiển bởi một nguồn phát động đặt trên giá cố định hoặc ngay trên thân của chân

đặt trên giá của khâu cuối cùng lớn hơn nh-ng chậm hơn so với tay máy chuỗi

- Do có tốc độ cao và chính xác cao nên có thể hoạt động nh- một máy phay Đây là một ứng dụng rất mới về rô bốt vì nó là kết hợp nguyên lý điều khiển rô bốt với nguyên lý cắt gọt kinh điển vào trong quá trình công nghệ, một

điều mà từ tr-ớc tới nay rô bốt ch-a hề có

- Từ các Rô bốt song song có thể xây dựng nên nhiều ứng dụng, nh- các mô phỏng ghế lái máy bay (Stewart, 1965), bàn khung lắp ráp (Reinholtz và Gokhale, 1987), bàn điều khiển dao hay bàn gá vật của máy phay (Arai và tập thể, 1991), các thiết bị định điểm (Gosselin và Hamel, 1994), và các máy chuyển

động có chân b-ớc (Waldron, 1984) Thời gian gần đây, các Rô bốt song song

9

đã đ-ợc phát triển mạnh, ứng dụng trong các trung tâm gia công nhiều bậc tự

do, tốc độ cao và độ chính xác cao

Hầu hết các Rô bốt song song sáu bậc tự do cho đến nay đều có sáu chân Nh-ng nó cũng có nh-ợc điểm vì gặp phải một số trở ngại nh- không gian làm việc nhỏ, các chân có thể va chạm lẫn nhau và việc thiết kế rất khó khăn Hơn nữa bài toán động học thuận là một vấn đề khó giải Có lẽ, các Rô bốt song song sáu chân, sáu bậc tự do với cấu trúc động học đóng đ-ợc công bố trên các tài liệu nghiên cứu mới chỉ là những dạng đặc biệt của Rô bốt Stewart-Ghough Platform tổng quát Trong những dạng đặc biệt này, các thành phần của khớp cầu đồng tâm vẫn còn t-ơng đối khó khăn trong việc chế tạo

2.2.3 Rô bốt di chuyển (Mobile Robot)

Nói một cách đơn giản, Rô bốt di chuyển là ô tô hoặc xe đạp với các bánh lái có 2 bậc tự do, tiến, lùi và quay của bánh, bậc thứ 2 là dẫn động các bánh (nh- các xe lăn điện) Rô bốt này hiện nay đ-ợc dùng trong chuyển chở vật liệu trong nhà máy rộng, trong cac bệnh viện, văn phòng cần chuyển giấy tờ,vv Trong tr-ờng hợp này mô hình mặt phẳng đủ để biểu diễn Rô bốt chuyển động

tự do

Nói một cách đơn giản, một Rô bốt dạng này nếu nó có dạng hình ng-ời

Nó có 2 chân, 2 tay, một đầu và dùng chúng trong các hoạt động nh- con ng-ời: chân dùng để chạy, tay dùng để cầm nắm, đầu để nhìn và nghe

Gần đây, rô bốt loại này càng đ-ợc chế tạo giống con ng-ời cả về hình thức và khả năng Tất nhiên không một loại máy móc nào có thể bằng với sự thông minh của con ng-ời Ngày nay một số công ty của Nhật đã cho ra đời một số loại Rô bốt có thể nói nhiều ngôn ngữ, biết hát và làm một số công việc giống con ng-ời Rô bốt loại này có cấu trúc và điều khiển phức tạp nhất

2.3 Phân loại theo hệ thống truyền động

2.3.1 Hệ truyền động gián tiếp:

Các cơ cấu chấp hành đ-ợc nối với nguồn động lực thông qua các bộ truyền, các kết cấu truyền động cơ khí th-ờng gặp nh- hệ bánh răng th-ờng, hệ bánh răng hành tinh, hệ bánh răng sóng, dây đai, bộ truyền xích, phát triển cao hơn là bộ truyền vít - đai ốc bi, … Nh-ợc điểm của hệ này là bị mòn, tạo khe hở

động học dẫn đến tính phi tuyến và hiệu ứng trễ ngày càng cao hơn Mặt khác, hiệu suất truyền động sẽ giảm do tiêu hao công suất trên bộ truyền

2.3.2 Hệ truyền động trực tiếp:

Các cơ cấu chấp hành đ-ợc nối trực tiếp với nguồn động lực, do đó kết cấu

sẽ gọn nhẹ và hạn chế, loại bỏ đ-ợc các nh-ợc điểm của truyền động gián tiếp Mặt khác, những khó khăn đặt ra là cần thiết kế và chế tạo các động cơ có số vòng quay thích hợp và cho phép điều khiển vô cấp trên một dải rộng Đối với

động cơ b-ớc, cần tiếp tục nâng cao công suất bằng các giải pháp khác nhau để thích hợp với yêu cầu hoạt động của các cơ cấu chấp hành

Dựa vào tính chất đặc tr-ng của quỹ đạo điều khiển Có hai nguyên tắc

điều khiển cơ bản là:

• Điều khiển điểm

• Điều khiển quỹ đạo liên tục

• Điều khiển nhận dạng

• Điều khiển thích nghi

Hiện nay, Rô bốt cũng áp dụng điều khiển theo ch-ơng trình số NC (Numerical Control), vấn đề điều khiển còn gắn liền với kỹ thuật đầu cảm nhận

Từ đó còn có thể xem xét theo nguyên tắc cảm biến và nội suy

2.5 Phân loại theo các đặc điểm hoạt động

Các Rô bốt cũng có thể phân loại theo hoạt động tự nhiên của chúng Một vật rắn đ-ợc gọi là chuyển động phẳng nếu tất cả phần tử của nó nằm trong một mặt phẳng hay trong các mặt phẳng song song với nhau Một cơ cấu đ-ợc gọi là cơ cấu phẳng nếu tất cả các khâu của cơ cấu chuyển động trong một mặt phẳng hay trong các mặt phẳng song song với nhau Cơ cấu phẳng chỉ dùng các khớp thấp gọi là liên kết phẳng Trong các liên kết phẳng chỉ dùng đ-ợc hai loại khớp thấp là khớp quay và khớp tịnh tiến Các Rô bốt phẳng rất hữu dụng cho việc cầm nắm các đối t-ợng trên một mặt phẳng

Việc lựa chọn Rô bốt phụ thuộc vào ứng dụng, môi tr-ờng làm việc và các

3 Sơ l-ợc về quá trình phát triển của rô bốt:

Tuỳ theo chủng loại, mức độ điều khiển và khả năng nhận biết thông tin của rô bốt công nghiệp trên thế giới mà ng-ời ta phân ra thành các thế hệ sau:

Điều khiển theo chu trình dạng ch-ơng trình cứng không có khả

Thế hệ 1:

năng nhận biết thông tin,

Điều khiển theo chu trình dạng ch-ơng trình mềm b-ớc đầu có

Thế hệ 2:

khả năng nhận biết thông tin, bắt đầu từ 1972: Bắt đầu thời kỳ của các Rô bốt thế

hệ thứ hai: Rô bốt đ-ợc điều khiển bằng máy tính có các cơ quan cảm xúc là các cảm biến liên hệ ng-ợc Đại diện cho thế hệ này là Rô bốt SHAKEY của viện nghiên cứu STANFORD Nó là sự thể hiện tổng hợp của các thành tựu Khoa học

- Kỹ thuật - Công nghệ Cơ khí - Điện - Điện tử - Tự động điều khiển - Máy tính - Tin học

Trong giai đoạn những năm 80 và 90 với sự phát triển vũ bão của Khoa học - Kỹ thuật - Công nghệ - Quy mô của sản xuất và nghiên cứu khoa học, thế giới đã đ-ợc thừa h-ởng nhiều thành quả của nó, đặc biệt về máy tính và tin học làm thay đổi về chất các trang thiết bị, tổ chức điều hành sản xuất và đời sống nh-:

• Thiết kế với sự trợ giúp của máy tính CAD

• Sản xuất với sự trợ giúp của máy tính CAM

• Hệ thống sản xuất mềm, linh hoạt FMS

• Sản xuất tích hợp với máy tính CIM

• Điều hành - Quản lý chất l-ợng toàn diện

• Sản xuất không d- thừa

• Sản xuất với chiến l-ợc toàn cầu

Điều khiển theo dạng tinh khôn có khả năng nhận biết thông tin,

Thế hệ 3:

một số có chức năng nh- nghe nói, nhận biết, phân biệt, giống con ng-ời đó là các Rô bốt có Trình điều khiển thích nghi - Thông minh, Rô bốt có trí khôn …

Đây là rô bốt siêu tri thức

Thế hệ 4: Là rô bốt có tốc độ xử lý, tính toán cao gắn với kỹ thuật siêu cảm nhận tạo nên rô bốt có một số thao tác rất nhanh và phức tạp Ví dụ rô bốt đi bằng hai chân,

Thế hệ thứ 5: Rô bốt có trang bị máy tính có tốc độ của tia X (X ray)

Những kết quả tiến bộ của Khoa học - Kỹ thuật - Sản xuất cho đến những năm 1970 đã dẫn đến sự hình thành khoa học về Rô bốt (Robotics) và Cơ - Điện

tử, từ đó cũng bắt đầu việc đào tạo các chuyên gia kỹ thuật thuộc lĩnh vực Rô bốt

và Cơ điện tử

Ch-ơng 2

cơ sở tính toán động học rôbốt

Khi khảo sát mối quan hệ giữa Rôbốt và các vật thể (hay là phôi- workpieces), không phải chỉ có vấn đề vị trí tuyệt đối của điểm, đ-ờng, mặt hoặc toàn bộ vật thể so với cơ cấu chấp hành cuối cùng của Rôbốt (bàn kẹp) mà còn

có vấn đề định h-ớng để có thể tiếp cận đ-ợc phôi

Để mô tả quan hệ về vị trí và h-ớng giữa Rôbốt và vật thể ta phải dùng

đến các phép biến đổi tọa độ và biến đổi đồng nhất

Để việc nghiên cứu các cơ cấu máy, Rôbốt, đ-ợc thuận lợi, chúng ta …xem xét một số kiến thức cơ sở Đó là các kiến thức cơ bản về động học

1 Cơ sở lí thuyết động học vật rắn

1.1 Khả năng chuyển động của vật rắn trong không gian

Cơ cấu đ-ợc tạo thành từ một số khâu nối với nhau bởi các khớp Số bậc tự

do của một cơ cấu phụ thuộc vào số các khâu, các khớp và loại khớp đ-ợc dùng

để cấu tạo nên cơ cấu đó Xét hai vật thể (hay hai khâu) A và B để rời trong không gian, gắn vào A một hệ tọa độ Đề-các Oxyz thì B sẽ có sáu khả năng

chuyển động t-ơng đối đối với A, hay nói cách khác là giữa A và B có sáu khả năng chuyển động t-ơng đối, gọi là sáu bậc tự do t-ơng đối

1.2 Biểu diễn h-ớng (Description of an Orientation)

Vị trí của một điểm và của một vật rắn đ-ợc biểu diễn trên các hệ toạ độ

đề các và trụ nh- thông th-ờng chúng ta hay gặp, nên sẽ đ-ợc đề cập khi ta dùng phép biến đổi đồng nhất D-ới đây chỉ xin nêu vấn đề biểu diễn h-ớng vì rất cần thiết trong nghiên cứu rô bốt

H-ớng của một vật rắn so với hệ cố định có thể biểu diễn bằng nhiều cách: D-ới đây chúng ta sẽ quan tâm tới các biểu diễn Cô-sin chỉ ph-ơng, biểu diễn theo một trục quay và biểu diễn theo góc Euler của hệ di chuyển so với hệ cố

định thông qua các véc-tơ đơn vị Ta đã biết rằng khi quay thì gốc tọa độ của hệ chuyển động quay có vị trí không đổi so với hệ tọa độ cố định

Trong các ký hiệu, chỉ số trên (A) là biểu thị hệ quy chiếu Khi ta xét liên

hệ với một vài hệ tọa độ thì chỉ số tiếp theo (chỉ số trên hoặc d-ới) đ-ợc dùng để chỉ hệ tọa độ véc tơ đ-ợc quy về

Biểu diễn Cô-sin chỉ ph-ơng

véc tơ đơn vị chỉ ph-ơng trên các trục tọa độ của hệ di chuyển B, nh- minh hoạ trên hình 2.3 Các véc-tơ u, v,w có thể tính trong hệ cố định A nh- sau:

y y y

z x x

w v u

w v u

w v

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

(2.6)

Với ARB là ma trận quay của hệ di chuyển B so với hệ cố định A Ma trận này cho phép xác định đầy đủ h-ớng của hệ B so với hệ A

Do điều kiện trực giao, chín phần tử của ma trận quay ARB chỉ còn lại ba phần tử

độc lập Do vậy nếu biết ba phần tử độc lập này thì ta xác định đ-ợc h-ớng của vật thể

1.3 Biểu diễn vị trí (Description of a Location)

Vị trí của một vật rắn có thể biểu diễn bằng một điểm gốc Q và h-ớng của

hệ di chuyển so với hệ cố định Trên hình vẽ 2.3, vị trí của điểm P trong hệ A

đ-ợc biểu diễn Ap OP= Cũng nh- vậy, vị trí của điểm P đó trong hệ B đ-ợc biểu diễn Bp OP= Để biểu diễn quan hệ giữa Ap và Bp, ta viết véc tơ OP là tổng của hai véc tơ:

ở đây OQ biểu diễn vị trí của điểm Q trong hệ cố định A

Ta có: Ap=AR pBB +Aq (2.12)

2 Phép biến đổi đồng nhất

2.1 Biểu diễn điểm

Trong không gian 3 chiều, một

điểm có thể đ-ợc biểu diễn bằng

nhiều véc tơ trong các hệ quy chiếu

khác nhau nó là véc tơ vị trí p và có

tọa độ trên hình vẽ với:

x y z

Nếu quan tâm đến vấn đề định h-ớng ta biểu diễn véc tơ p trong không gian 4 chiều

Với suất véc tơ là một ma trận cột:

a b p c w

Với w là một hằng số thực nào đó, w biểu diễn cho chiều thứ t- ngầm định

Nếu w = 1 dễ thấy rằng:

=> Đây là tr-ờng hợp đồng nhất cả về vị trí và h-ớng và hệ tọa độ đ-ợc gọi là hệ

đồng nhất, nên ta sẽ tập trung xét hệ này

Với w = 0 dễ thấy: px py pz → 

, ,

w w wGiới hạn thể hiện rõ nét là các h-ớng của các trục tọa độ chỉ h-ớng Nếu 

w là một hằng số nào đó khác 0 và 1 thì việc biểu diễn điểm trong không gian 4 chiều đ-ợc thích ứng với hệ mới cả về mô tả vị trí lẫn mô tả h-ớng

2.2 Biểu diễn mặt phẳng

Phần mặt phẳng có các tọa độ xác định có thể biểu diễn bởi một ma trận hàng

Nếu p biểu diễn một điểm q thuộc P ta có tích vô h-ớng

2.3 Ma trận biến đổi đồng nhất

Ma trận biến đổi đồng nhất là một ma trận 4 x 4, đ-ợc định nghĩa là phép

ánh xạ của một phép biến đổi đồng nhất véc tơ vị trí từ một hệ tọa độ sang một

hệ tọa độ khác Ma trận biến đổi đồng nhất có thể phân chia thành bốn phân khu nh- sau

B (AB)

R q(3 1) T

Thành phần ma trận 3 x 3 nằm ở phía trên bên trái ARB xác định h-ớng của

hệ di chuyển B đối với hệ cố định A Thành phần ma trận 3 x 1 phía trên bên phải Aq(3x1) xác định vị trí gốc của hệ tọa độ di chuyển đối với hệ cố định Thành phần ma trận (1 x 3) phía d-ới bên trái thể hiện một biến đổi đồng nhất phối cảnh và phần tử phía d-ới bên phải (1x1) là hệ số tỉ lệ Đối với bài toán 

chuyển đổi phối cảnh bằng không See Nevatia (1982) đã đ-a ra các biểu diễn cụ thể hơn về ma trận này D-ới đây là các phép biến đổi dùng biểu diễn ma trận

đồng nhất Ma trận chuyển đổi đồng nhất có dạng nh- sau:

với

B (AB)

2.4 Các phép biến đổi đồng nhất (Transformation)

Các ma trận biến đổi đồng nhất có thể đ-ợc tổ hợp nhiều lần với nhau để

có đ-ợc ma trận biến đổi đồng nhất hỗn hợp Tuy nhiên, phải đặc biệt l-u ý khi nhân các ma trận do nó không có tính chất giao hoán Thêm vào đó, một vấn đề nữa gặp phải là vật rắn có thể quay quanh một trục của hệ cố định và cũng nh- vậy nó có thể quay quanh trục gắn với hệ di chuyển

Biểu diễn các phép biến đổi

Cho: U - véc tơ cần biến đổi

H - véc tơ dẫn biểu diễn bằng một ma trận gọi là ma trận chuyển đổi

Ta có: V = H.U - véc tơ đã biến đổi

Gọi P là mặt phẳng chứa điểm biến đổi biểu diễn bởi U

Q là mặt phẳng chứa điểm biến đổi biểu diễn bởi V

Ta có:

P.U = Q V = 0 (theo định nghĩa)

Đây là điều kiện luôn tồn tại trong các phép biến đổi Nếu gọi H-1là ma trận nghịch đảo của ma trận chuyển đổi H, ta có các hệ quả sau:

P.H.H-1U = P.U

Viết lại: P.H.H-1U = P.U = Q.V

Nh-ng: H.U = V

P.H-1= Q hoặc Q H = P

Các phép biến đổi th-ờng dùng là:

 Phép biến đổi tịnh tiến (Translation)

x a w

2.4.2 Phép quay (Rotation)

Giả sử ta cần quay một điểm hoặc

một vật thể nào xung quanh trục tọa độ nào

Chú ý: Khi thay đổi thứ tự quay một điểm lần l-ợt qua hai trục tọa độ thì

ta đ-ợc hai kết quả khác nhau

W' = Rot(y,90 )Rot(z,90 )U W = Rot(z,90 )Rot(y,90    )U

2.4.3 Phép quay quanh một trục bất kỳ

Để quay hệ trục tọa độ Ouvw một góc quanh trục bất kỳ r với các véc tơ thành phần là rx, ry, rz, r đi qua gốc O Một cách thuận tiện khi quay hệ Ouvw quanh r là bằng cách thay vào đó ta quay nó quanh 1 trục tọa độ thuộc hệ Ouvw hay Oxyz đây ta gán r ứng với trục z ở

1 Ta quay hệ Ouvw

Các b-ớc nh- sau: Theo (hình vẽ 2.8):

- Quay quanh OX một góc (trục r nằm trên mặt phẳng xz)

- Quay quanh OX một góc (trục r trùng với z)

- Quay quanh OZ (tức r) một góc 

- Làm ng-ợc lại các b-ớc ở trên Ta lại quay qua OY một góc và OX một góc - 

Ta có kết quả ma trận chuyển sau:

Rot(r, ) = Rot(x,- ) Rot(y, ) Rot(z,   ) Rot(y,- ) Rot(x, )  

- Quay một góc xung quanh trục z 

- Quay tiếp một góc xung quanh trục y mới là y’

- Cuối cùng quay một góc xung quanh trục z mới là z’’

Một phép quay khác cũng th-ờng sử dụng đó là: Roll, Pith và Yaw

z z’



 z’’

2.4.5 Biểu diễn hệ tọa độ

Giả sử cần tịnh tiến gốc tọa độ đề các O(0, 0, 0) theo một véc tơ dẫn

H = 4i - 3j + 7k Kết quả của phép biến đổi là:

Trong quá trình hoạt động hệ tọa độ gắn liền trên các khâu của Rôbốt cũng chuyển động quay quanh một trục (đối với khớp quay) hay dịch chuyển tịnh tiến (đối với khớp tịnh tiến) nh- trên ta thấy rõ mối liên hệ giữa hệ tọa độ cố

định với các hệ tọa độ trung gian di động cùng với các khâu chấp hành của Rôbốt

3.1 Xác định quan hệ giữa các khâu

Để giải bài toán xác định vị trí, ta cần phải tìm các ma trận i-1Ai là ma trận chuyển đổi tọa độ từ khâu i-1 sang khâu i Một Tay máy có nhiều khâu cấu thành liên kết các khâu kế tiếp nhau thông qua các khớp phát động Gốc chuẩn của Tay máy là khâu số không và không đ-ợc coi là một trong sáu khâu Khâu một đ-ợc nối với khâu chuẩn bởi khớp một và không có khớp ở đầu mút của khâu cuối cùng Khâu chỉ có ý nghĩa khi nó duy trì mối quan hệ cố định giữa các khớp của Tay máy, đ-ợc đặt ở đầu mút của khâu

Thông số của khâu theo Denavit-Hartenberg (DH)

Bất kỳ một khâu nào cũng đ-ợc đặc tr-ng bởi hai kích th-ớc:

+ Độ dài pháp tuyến chung ai

+ Góc giữa các trục trong mặt phẳng vuông góc với ai: i

+ Khoảng cách giữa hai đ-ờng pháp tuyến chung đo theo trục khớp: di+ Góc tạo bởi hai đ-ờng vuông góc chung trên một trục khớp đo trên mặt phẳng vuông góc với trục khớp: i

Hình 2.10 Thông số của một khâu

(khâu i)

Hình 2.11 Cách xây dựng hệ tọa độ cho hai khâu liên tiếp

Ng-ời ta th-ờng gọi ai và i là chiều dài và góc xoắn của khâu

Để khảo sát vị trí của từng điểm trên mỗi khâu đặc biệt là vị trí của bàn kẹp, ta chọn các hệ tọa độ cố định gắn liền với mỗi khâu

Trên Hình 2.11 trình bày cách xây dựng các hệ tọa độ đối với hai khâu

động liên tiếp i và i + 1

Tóm lại: Cách xác định các thông số DH và cách đặt các hệ toạ độ cho các khâu,

khớp trong tay máy nh- sau:

1) Bắt đầu từ khâu đầu tiên, đánh số khâu và khớp theo thứ tự tăng dần Khâu

đầu tiên đ-ợc đánh số là khâu 0 Ngoại trừ khâu đầu tiên và khâu cuối cùng

ra còn lại cứ mỗi khâu sẽ bao gồm 02 khớp nối với nó, khớp i nối khâu i với khâu i-1

2) Vẽ các đ-ờng vuông góc chung giữa các trục khớp, trừ trục của khâu đầu tiên và khâu cuối cùng, nh- vậy mỗi khớp sẽ có hai đ-ờng vuông góc chung, một với trục khớp (i-1) một với trục khớp (i+1)

3) Thiết lập hệ trục toạ độ cơ bản nh- sau: trục Z0 đ-ợc gắn với trục khớp đầu tiên, X vuông góc với trục Z , trục Y đ-ợc xác định thông qua quy tắc bàn

4) Thiết lập hệ trục toạ độ cuối cùng (thứ n) bằng cách trục Xn vuông góc với trục khớp cuối cùng Trục Zn th-ờng đ-ợc chọn theo h-ớng tiếp cận vật của khâu chấp hành cuối (dụng cụ)

5) Gắn các hệ trục toạ độ Đề các vào cuối các khâu nh- sau:

• Trục Zi đ-ợc gắn với trục khớp thứ (i+1)

• Trục Xi đ-ợc đặt dọc theo đ-ờng vuông góc chung giữa trục khớp thứ i

và (i+1), có chiều từ khớp i đến khớp i+1 Nếu hai trục song song với nhau thì có thể chọn Xi ở vị trí bất kỳ vuông góc với hai trục đó Trong tr-ờng hợp hai trục giao nhau, trục Xi có thể đ-ợc xác định theo chiều của tích véc tơ tích chéo (Zi−1.Zi) hoặc h-ớng đối diện, gốc đ-ợc đặt tại

điểm giao nhau

• Trục Yi đ-ợc xác định tuân theo quy tắc bàn tay phải

6) Xác định các thông số của khâu và liên kết giữa các khâu (ai, i, di, i) Trên cơ sở các hệ tọa độ đã ấn định cho tất cả các khâu liên kết có hệ thống ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa các hệ tọa độ nối tiếp nhau i và i +1 bởi các phép quay và tịnh tiến sau:

• Quay quanh trục Zi một góc i + 1 để trục Xi trở thành song song với trục

• Quay quanh trục Xi +1 một góc i + 1 để trục Zi Z i + 1

Từ các phép biến đổi đồng nhất trên đây, ta xây dựng đ-ợc ma trận biến

đổi tọa độ i-1A i từ hệ tọa độ i-1 sang hệ tọa độ i:

i-1A i = Rot(z, i) Trans(0, 0, di) Trans(ai, 0, 0).Rot(Xi, i)

sin cos cos sin cos a sin A

sin cos cos sin cos 0 A

Theo ph-ơng trình 2.25 thì ta hoàn toàn xác định đ-ợc tọa độ của một

điểm bất kỳ trên một khâu nào đó của Tay máy nếu nh- có đầy đủ các thông số

3.2 Hệ ph-ơng trình động học của rô bốt- bài toán thuận động học

Denavit đã gọi biến đổi đồng nhất mô tả quan hệ giữa một khâu với một khâu kế tiếp là một ma trận A Nói đơn giản hơn một ma trận A là một mô tả biến đổi đồng nhất bởi phép quay và phép tịnh tiến t-ơng đối giữa các hệ tọa độ của khâu 0A1 mô tả vị trí và h-ớng của khâu đầu, 1A2 mô tả vị trí và h-ớng thứ hai so với khâu đầu Nh- vậy vị trí và h-ớng vị trí và h-ớng của khâu thứ hai so với hệ tọa độ chuẩn đ-ợc đ-a ra bởi ma trận:

0T2 = 0A1.1A2 (2.26) Cũng nh- vậy 2A3 mô tả khâu thứ ba so với khâu thứ hai là:

0T3 = 0A1.1A2.2A3 = 0T2 2A3 (2.27) Tổng quát:

0Ti+1 = 0Ti iAi+1 Cũng theo Denavit, tích của các ma trận A đ-ợc gọi là ma trận T bỏ qua chỉ số nếu chỉ số đó bằng không

Cho một tay máy có sáu khâu chúng ta có:

0T6 = 0A1.1A2.2A3.3A4.4A5.5A6 (2.28) Một Rôbốt sáu khâu có thể có sáu bậc tự do và có thể đ-ợc định vị, định h-ớng tùy ý trong tr-ờng vận động của chúng Ba bậc tự do xác định vị trí thuần túy và ba bậc tự do xác định h-ớng mong muốn T6 là ma trận biểu diễn cả vị trí

và h-ớng của Tay máy

Ta đặt gốc tọa độ của hệ tọa độ mô tả tại trung tâm cách đều các ngón tay Gốc tọa độ này đ-ợc mô tả bởi véc tơ p

Ba véc tơ đơn vị mô tả h-ớng của bàn tay đ-ợc xác định nh- sau:

Véctơ z có h-ớng mà theo đó bàn tay tiếp cận đến đối t-ợng, đó là véctơ a Véc tơ y có h-ớng mà theo đó các ngón Tay máy nắm vào khi nắm bắt đối t-ợng, đó là véc tơ O

Véc tơ cuối cùng là véc tơ pháp tuyến n Từ đây ta có tích véc tơ:

n = O.a Chuyển vị T6 sẽ bao gồm các phần tử

định vị trí của các điểm trên các khâu để xác định giới hạn không gian làm việc của rô bốt

ph-ơng trình với ẩn là n, O, a và p Nh-ng trong đó do các véctơ n, o và a là trực giao với nhau từng đôi một (nh- đã xét

ở phần cô sin chỉ ph-ơng) nên thực ra

số ẩn của ph-ơng trình chỉ là 6 Các

ph-ơng trình này th-ờng là siêu việt, vì

vậy để giải chúng ng-ời ta th-ờng phải

xây dựng bài toán đối với một rô bốt cụ

thể để có lời giải thích hợp lý nhất

Hiện nay, hay dùng các ph-ơng pháp số

với sự trợ giúp của máy tính để giải nh-

các ph-ơng pháp lặp, Tuy nhiên đối

với mốt số bài toán lại có thể dùng ph-ơng pháp hình học khi có các trục quay song song hay đồng phẳng, hoặc dựa trên ph-ơng trình trên ng-ời ta chuyển vế từng ma trận ở vế phải rồi rút ra từng ẩn với công thức đơn giản hơn

Một số bài toán ng-ời ta lại dựa vào sự áp đặt tr-ớc h-ớng v-ơn tới của tay máy để biết tr-ớc các thành phần biểu diễn h-ớng, công việc còn lại chỉ là tìm vị trí bằng cách chuyển vị trí từ tay máy lần l-ợt theo các ma trận chuyển của từng khâu cho đến khi chuyển về

khâu cố định (khâu 0)

Công việc trên chính là

giải quyết bài toán thuận động

học của tay máy

c s 0 a c

s c 0 a s A

c s 0 a c

s c 0 a s A

ci = Cosi ; si = Sini c; ij = cos(i+j);

sij = sin(i+j); cijk = cos(i+j+k); sij k= sin(i+j+k)

sè cña kh©u cuèi ®-îc t×m Th«ng sè cßn l¹i ®-îc cho tr-íc, th-êng lµ vÞ trÝ mong muèn cña mét ®iÓm hoÆc h-íng cña mét ®-êng th¼ng t¹i kh©u cuèi cïng Lo¹i r« bèt nµy cã thÓ ®-îc dïng trong c«ng viÖc s¬n, hµn …

4 Ma trận Jacobian

Đặt xi = ji (q1, q2, q3, ) với i= 1,2,3, ,m Với m là số ph-ơng trình có n biến độc lập

Ta có

n n

i i

i i

q

j q

q

j q q

j q q

j



++



+



+

1 1với i = 1,2,3, m

m m

m

n n

q q

q

j q

j q j

q

j q

j q j

q

j q

j q j

x

x x

2 1

2 2

2 1 2

1 2

1 1 1

2 1

(2.37)

qJ

x = 

x = {x1, x2, x3, , xm}T

q = {q1, q2, q3, , qn}T

J = [m x n]

Ma trận Jacobian là ma trận chuyển đổi tuyến tính từ véc tơ vận tốc n chiều sang véc tơ vận tốc m chiều Chúng ta có thể biến các phần tử của J nh- là các hệ số ảnh h-ởng đến véc tơ x Phần tử thứ (i,j) của ma trận J mô tả cách chuyển đổi vi phân của qj sang vi phân xj Nói chung vectơ x là hàm phi tuyến của q, do vậy ma trận Jacobian cũng là một hàm của q Vì thế ma trận Jacobian

là phụ thuộc hình dạng của rô bốt Đối với một tay máy, ma trận Jacobian đ-ợc

định nghĩa nh- là ma trận hệ số chuyển đổi giữa vận tốc của khâu chấp hành cuối sang vận tốc thực tại mỗi khớp (tốc độ của khớp)

quay khớp với

i

i i

Vận tốc của khâu cuối cùng (End -Effector), xem trên hình 2.15 có thể

đ-ợc diễn đạt theo nhiều cách khác nhau, hầu hết th-ờng gặp đ-ợc định nghĩa là Jacobian theo hệ th-ờng và Jacobian hệ quay

+ Jacobian theo hệ th-ờng: ở đây vận tốc trạng thái của khâu chấp hành

đ-ợc biểu diễn theo các vận tốc dài của gốc tọa độ vn cùng với véc tơ vận tốc góc

n của khâu cuối:

n n

n 0

xv

Khi xét đến hệ tọa độ của khâu chấp hành, ta lấy một điểm bất kì trong khâu bàn kẹp có thể chọn làm điểm tham chiếu để biểu diễn cho khâu này theo

định nghĩa về vận tốc dài và vận tốc góc cho khâu chấp hành ta có:

x n

i i i

1 i i

vx

quay khớp với

J , , J ,

1 1

* 1 1

n 2

n

i i i

z J z

p z

J

J J

Vế trái của ph-ơng trình 2.43 là véc tơ [6 x 1] gồm các thành phần của vn,

n trong khi vế phải là ma trận Jacobian và véc tơ tốc độ quay qi i=1, 2,…n;

Jacobian thì h-ớng và vị trí của mỗi khớp phải đ-ợc xác định tr-ớc Điều này

đ-ợc thực hiện nh- sau:

* n

i i 1 i 1 i 0

* n 1 i

1 i

0 1 i

p r R p

1 0

0 R z

i i i

1

i

d

sa

ca

r biểu thị véc tơ

i 1

i− p véc tơ biểu diễn Oi1On trong hệ cố định

0Ri-1 Ma trận biến đổi quay từ khâu thứ i-1 về đến khâu 0

Khi đã biết ma trận Jacobian, ta có thể tính đ-ợc vận tốc của khâu cuối một cách trực tiếp từ ph-ơng trình (2.43) khi biết tốc độ quay của các khớp Ph-ơng trình (2.43) cũng có thể viết ng-ợc lại là

x J

q = −1Nh- vậy, khi biết đ-ợc vận tốc của khâu chấp hành cuối ta cũng có thể tính

đ-ợc vận tốc của các khớp với điều kiện là ma trận Jacobian phải khả đảo, có

nghĩa là det(J)  0

Tại những vị trí có det(J) = 0 ta nói rằng tay máy ở vị trí đặc biệt (hệ ph-ơng trình mất đi một số bậc tự do, do đó nó sẽ có vô số nghiệm) ở những vị trí này tay máy sẽ không chuyển động đ-ợc Trong thực tế phải tránh điều khiển tay máy vào gần những vùng này (vùng chết)

Để xác định những điểm đặc biệt này ta phải đi giải ph-ơng trình

det(J) = 0