Nghiên ứu động lự họ ụm ơ ấu khâu trên ủa máy mài nghiền hi tiết quang cnc mb 250

“Cơ sở phân tích động học cơ cấu thanh phẳng”, trong chương này tác giả trình bày tổng quát về phân tích động học cơ cấu cơ khí bất kỳ có một hoặc nhiều bậc tự do thông qua các ví dụ điể

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :

1 GS.TSKH NGUYỄN VĂN KHANG

2 PGS.TS NGUYỄN TRỌNG HÙNG

Hà Nội - Năm 2013

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Văn Khang (Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội)

và PGS.TS Nguyễn Trọng Hùng (Khoa Cơ khí, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên) và chưa được công bố trong bất cứ công trình nào khác Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực, trừ các phần tham khảo đã được nêu rõ trong luận văn

Tác giả luận văn

Vũ Xuân Trường

Trường Đại học Bách khoa Hà Nội) và PGS.TS Nguyễn Trọng Hùng (Khoa Cơ khí, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên) đã tận tình hướng dẫn tác giả định hướng nghiên cứu, tổ chức thực hiện và hoàn chỉnh luận văn

Tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến Ban lãnh đạo Viện Cơ khí và Viện đào tạo Sau đại học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thiện Luận văn này

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo khoa Cơ khí, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên nơi tác giả đang tham gia công tác giảng dạy, đã tạo điều kiện hết sức thuận lợi về thời gian, chuyên môn để tác giả an tâm học tập và hoàn thành Luận văn Cao học

Do năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên Luận văn không tránh khỏi những sai sót, tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo, các nhà khoa học và các bạn đồng nghiệp

Hà nội, ngày 15 tháng 03 năm 2013

Tác giả luận văn

Vũ Xuân Trường

LỜI CAM ĐOAN

CHƯƠNG I CƠ SỞ PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC CƠ CẤU THANH PHẲNG 1

1.1.2 Động học cơ cấu tay quay con trượt 7 1.1.3 Động học cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng 11 1.1.4 Cơ hệ một bậc tự do gồm nhiều chuỗi động kín 15 1.1.5 Tổng quát về phân tích động học cơ hệ một bậc tự do 17

1.2.1 Phân tích động học trong chuỗi động kín 20 1.2.2 Phân tích động học bằng phương pháp số 23 1.2.3 Phân tích động học tổng quát cho cơ cấu nhiều bậc tự do 25 1.2.4 Kết luận về phân tích động học cơ cấu nhiều bậc tự do 28

CHƯƠNG II NGHIÊN CỨU ĐỘNG HỌC CỤM CƠ CẤU KHÂU TRÊN CỦA

2.3 Phân tích động học cụm cơ cấu khâu trên máy mài nghiền MB-250 38

2.4 Xác định quỹ đạo, vận tốc, gia tốc tương đối của điểm bất kỳ thuộc đĩa

gá đối với đĩa mài

47

3.2 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của cụm khâu trên 61 3.3 Thuật toán tự động thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động 67

3.5.Trường hợp cụm cơ cấu khâu trên chuyển động trong mp thẳng đứng 73

PHỤ LỤC 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

(ξCi ηCi Tọa độ khối tâm khâu thứ i trong hệ tọa độ vật m

Bảng 2.1 Kết quả thực nghiệm (phục vụ phân tích động học) 38 Bảng 2.2 So sánh kết quả phân tích động học bằng hai phương pháp 47 Bảng 3.1 Kết quả thực nghiệm (phục vụ phân tích động lực học) 55 Bảng 3.2 Các kết quả tính toán trên phần mềm Inventor 2012 61

Hình 1.2 Mô hình động học của cơ cấu tay quay cần lắc 2

Hình 1.3 H ệ tọa độ vật và hệ tọa độ cơ sở để tính toán động học của điểm P

bất kỳ thuộc vật rắn quay quanh trục cố định 4

Hình 1.4 Cơ cấu tay quay con trượt điển hình 7

Hình 1.5 Véc tơ định vị, Hệ tọa độ vật, Hệ tọa độ cơ sở để xác định chuyển

động của điểm khảo sát P trên thanh truyền 10

Hình 1.6 Cơ cấu bốn khâu bản lề điển hình 11

Hình 1.7 Mô hình động học của cơ cấu bốn khâu bản lề điển hình 12

Hình 1.8 Véctơ định vị và hệ tọa độ vật để tính toán động học điểm P trên

Hình 1.9 Mô hình cơ cấu bốn khâu bản lề trong máy đột dập 16

Hình 2.2 Sơ đồ nguyên lý của máy mài nghiền MB-250 35

Hình 2.3 Mô hình cơ cấu bốn khâu đòn bản lề sử dụng trong máy mài nghiền

Hình 2.4 Mô hình cơ cấu bốn khâu đòn bản lề sử dụng trong máy mài nghiền

Hình 2.5 Mô hình động học cụm cơ cấu khâu trên 38

Hình 2.7 Đồ thị các phương trình liên kết 40

Hình 2.8 Thiết lập các hệ tọa độ khâu và các góc định vị khâu 44

Hình 2.9 Sơ đồ xác định vị trí tương đối của điểm P thuộc đĩa 4 so với đĩa 5 48

Hình 2.10 Sơ đồ xác định vị trí tương đối của điểm Q thuộc đĩa 5 so với đĩa 4 52

Hình 3.1 Các thi ết bị sử dụng khi thực nghiệm máy 54

Hình 3.2 M ột số hình ảnh thực nghiệm máy CNC MB-250 55

hiện đại hóa nền công nghiệp thì việc nghiên cứu động học, động lực học các cơ cấu máy là việc cần thiết và hết sức quan trọng

Mặt khác, hiện tác giả đang giảng dạy và sinh hoạt chuyên môn tại Bộ môn Kỹ thuật cơ sở, Khoa Cơ khí, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên Nhiệm vụ chuyên môn của tác giả là giảng dạy môn học Cơ học kỹ thuật và nghiên cứu ứng dụng tin học trong Cơ học kỹ thuật, bởi vậy việc lựa chọn đề tài này ngoài ý nghĩa góp phần vào nghiên cứu, tính toán, thiết kế máy cơ khí nói chung và các máy điều khiển số nói riêng, thì ý nghĩa quan trọng hơn cả đối với bản thân tác giả là việc nâng cao được trình độ và phục vụ đắc lực cho công việc giảng dạy môn Cơ học kỹ thuật và nghiên cứu ứng dụng tin học trong môn Cơ học kỹ thuật của tác giả

2 L ịch sử nghiên cứu

• Ngoài nước:

Việc giải quyết bài toán động học, động lực học các cơ cấu trong các máy cơ khí, robot … sử dụng phương pháp số ứng dụng các phần mềm tính toán như Maple, Matlab, Adams, … đang rất được quan tâm tại các trường đại học ở nước ngoài

1 H Josephs, R L Huston, Dynamics of Mechanical Systems, CRS Press, Boca Raton 2002

2 B Paul, Analytical Dynamics of Mechanisms - A computer Oriented Overview Mechanism and Machine Theory, Vol 10 (1975), pp.481-507

3 S.K Dwivedy, P Eberhard, Dynamic analysis of flexible manipulator, a literature review, Mechanism and Machine Theory Vol 41 (2006), pp.749-777

4 Samuel Doughty (1988), Mechanics Of Machines, John Wiley & Sons,

NewYork

5 Jens Kotlarski, Bodo Heimann, Tobias Ortmaier: Experimental validation

of the influence of kinematic redundancy on the pose accuracy of parallel kinematic machines ICRA 2011: 1923-1929, 2011

Planning for Parallel Manipulators with Full Dynamic Modelling ICRA 2005: 411-416, 2005

…

• Trong nước:

Hiện nay, có rất nhiều các nhà khoa học trong nước đã và đang nghiên cứu về động học và động lực học hệ nhiều vật nói chung và bài toán động lực học cơ cấu nói riêng Có thể minh chứng bằng một số công trình sau:

1 Nguyễn Văn Khang (2007), Động lực học hệ nhiều vật, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật, Hà nội

2 Nguyễn Văn Khang, Chu Anh Mỳ (2011), Cơ sở Robot Công nghiệp, Nhà xuất bản giáo dục, Hà nội

3 Nguyen Van Khang (2011), “Kronecker product and new matrix form of Lagrangian equations with multipliers for constrained multibody systems”,

Mechanics Research Communications, 37(8), pp 294-299

4 Nguyen Van Khang, Do Tuan Anh, Nguyen Phong Dien, Tran Hoang Nam (2007), “Influence of trajectories on the joint torques of kinematically

redundant manipulators”, Vietnam Journal of Mechenics, 29(2), pp.65-72

5 Nguyen Van Khang, Nguyen Trong Hung, Ninh Duc Ton: Improve Processed Surface’s Precision of Optical Elements by Grinding under Kinematic Program Control, Technische Mechanik 28, Hefte 2, S 156-165, Magdeburg 2008

6 Nguyễn Thiện Phúc (2011), Robot Công nghiệp (in lần thứ 4), Nhà xuất bản Khoa học kỹ thuật, Hà nội

7 Nguyễn Phong Điền (2012), Bài giảng Nguyên lý máy, Trường Đại học Bách

khoa Hà nội 2012

8 Phạm Văn Sơn (2006), Về các điều kiện cân bằng khối lượng hệ nhiều vật,

Luận án Tiến sĩ Kỹ thuật, Trường Đại học Bách khoa Hà nội

cấu dạng này trước đây

Trong chương III, luận văn này thực hiện bài toán nghiên cứu về động lực học cụm cơ cấu khâu trên của máy mài nghiền chi tiết quang CNC MB-250, đây là luận văn đầu tiên nghiên cứu bài toán dạng này

3 M ục đích nghiên cứu, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Mục đích và phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu động học, động lực học cụm cơ cấu khâu trên của máy mài nghiền chi tiết quang CNC MB-250

• Đối tượng nghiên cứu: Cụm cơ cấu khâu trên của máy

4 Tóm t ắt nội dung thực hiện và đóng góp mới của tác giả

• N ội dung của luận văn gồm: Phần mở đầu, 03 chương nội dung và phần kết

luận kiến nghị Trong 03 chương nội dung:

Chương 1 “Cơ sở phân tích động học cơ cấu thanh phẳng”, trong chương này

tác giả trình bày tổng quát về phân tích động học cơ cấu cơ khí bất kỳ có một hoặc nhiều bậc tự do thông qua các ví dụ điển hình như cơ cấu tay quay - con trượt, cơ cấu

bốn khâu bản lề phẳng, …và đưa ra các kết luận trong phân tích động học cơ hệ phẳng bất kỳ

Chương 2 “Nghiên cứu động học cụm cơ cấu khâu trên của máy mài nghiền chi tiết quang CNC MB-250”, trong chương này tác giả giới thiệu về cấu tạo, nguyên

lý hoạt động và các thông số hình học của máy CNC MB-250 nói chung và cụm cơ cấu khâu trên nói riêng, từ đó sử dụng các phương pháp phân tích động học đã trình bày ở chương 1 áp dụng cho cụm cơ cấu khâu trên của máy

Chương 3 “Nghiên cứu động lực học cụm cơ cấu khâu trên của máy mài nghi ền chi tiết quang CNC MB-250”, trong chương này tác giả sử dụng phương trình

Lagrăng dạng nhân tử để thiết lập các phương trình vi phân chuyển động của cụm cơ cấu khâu trên Đặc biệt bằng việc sử dụng thuật toán tự động hóa thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động của GS.TSKH Nguyễn Văn Khang (Bộ môn Cơ học ứng dụng, Viện Cơ khí, Đại học Bách khoa Hà Nội) tác giả đã xây dựng được chương trình

cấu này

• Các đóng góp mới của tác giả:

- Phân tích động học cụm cơ cấu khâu trên bằng phương pháp ma trận Jacobi và phương pháp ma trận truyền

- Sử dụng phần mềm Maple phân tích động học

- Xây dựng được các bản vẽ 3D trên phần mềm Inventor của các khâu thành phần trong cụm cơ cấu khâu trên và tính toán được khối lượng, mômen quán tính khối lượng, tọa độ khối tâm từ cơ cấu máy thực

- Thiết lập được hệ phương trình vi phân chuyển động của cụm cơ cấu khâu trên và giải bài toán động lực học ngược cụm cơ cấu này trong hai trường hợp khác nhau: cơ hệ chuyển động trong mặt phẳng nằm ngang, và cơ hệ chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng

- Sử dụng phần mềm Maple phân tích động lực học cơ cấu

5 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình thực hiện Luận văn, tác giả sử dụng phương pháp thực nghiệm, phương pháp mô hình hóa và một số phương pháp số trong cơ học

• Phương pháp thực nghiệm: Khảo sát thực nghiệm và đo đạc các thông số hình

học, động học của máy CNC MB-250, trên cơ sở đó với sự hỗ trợ của phần mềm Autodesk Inventor tính toán khối lượng, mômen quán tính khối lượng và tọa độ khối tâm các khâu trong hệ tọa độ vật

• Phương pháp mô hình:

Tác giả đã sử dụng phương pháp mô hình, chuyển mô hình thực nghiệm về mô hình lý thuyết theo các yêu cầu cụ thể của lý thuyết mô hình để tính toán

• Phương pháp số: sử dụng các thuật toán như Newton-Raphson, Runge-Kutta,

thuật toán tự động hóa thiết lập các phương trình vi phân chuyển động của cơ

hệ trên cơ sở xây dựng các chương trình tính toán trên phần mềm Maple 16

CHƯƠNG I

CƠ SỞ PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC CƠ CẤU THANH PHẲNG

1.1 Cơ cấu thanh phẳng một bậc tự do

1.1.1 Tổng quan

Ở chương này sẽ trình bày bài toán phân tích động học cơ cấu thanh chỉ có

một bậc tự do Cần phải xác định các biến số ban đầu (tọa độ suy rộng) để xác định

hoàn toàn vị trí của tất cả các chi tiết máy Nếu cơ hệ có n bậc tự do cần phải chọn n

tọa độ suy động độc lập vừa đủ để xác định vị trí của hệ Đối với phân tích động

học, bậc tự do được kết hợp với một số hệ trục độ thích hợp (hệ quy chiếu), và được

coi như một giá trị đầu vào

Phân tích động học cơ cấu máy là việc thiết lập các phương trình mô tả vị trí,

vận tốc và gia tốc của tất cả các điểm cần khảo sát của cơ cấu với các giá trị cụ thể

của các tọa độ suy rộng ban đầu

Phần này sẽ trình bày chi tiết quá trình trên bằng một vài ví dụ đơn giản Ở

phần sau trong chương này sẽ trình bày hai cơ cấu phổ biến quan trọng: cơ cấu tay

quay con trượt và cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng Điều này được trình bày cụ thể ở

phần cơ cấu một bậc tự do liên quan đến cơ cấu mạch vòng

Ví dụ đầu tiên, ta xem xét bộ truyền động trục khuỷu - thanh truyền - píttông

được thể hiện ở hình 1.1 và trong mô hình động học của cơ cấu này ở hình 1.2 Cơ

cấu đơn giản này được tìm thấy trong rất nhiều các cơ cấu truyền động và nhiều

máy móc khác

Hình 1.1 Cơ cấu tay quay cần lắc

Khoảng cách giữa hai trục quay là c và bán kính của trục khủy là r Với các

kích thước c và r đã biết, nếu một giá trị được đưa ra để xác định vị trí của tay quay

là góc quay q 2 thì hệ hoàn toàn được xác định Bởi vậy, đây rõ ràng là cơ hệ một

bậc tự do Các biến vị trí chưa biết là góc quay q1 của cần lắc, và chiều dài b (thông

số xác định vị trí con trượt A so với cần lắc)

1

q

2

qc

Bước tiếp theo là giải các phương trình liên kết (1.2), (1.3) để tìm q 2 và b

Thông thường để giải các phương trình vị trí (dạng phi tuyến) ta thường sử dụng

phương pháp số, tuy nhiên trong một số trường hợp đơn giản ta chỉ cần thực hiện

một số phéo biến đổi cũng có thể xác định được các nghiệm

Chẳng hạn, khử b giữa hai phương trình trên ta tìm được:

coscos

b =

q (1.5) Chú ý rằng sẽ có những thời điểm sinq2 = 0 hoặc cosq2 = 0 Thậm chí, nếu

bởi vậy khoảng cách b luôn được xác định bằng cách sử dụng một trong hai biểu

1

2 1 2

( )( )

K q b

q

K q q

- Đạo hàm cấp một hai vế theo thời gian các phương trình vận tốc (1.6), (1.7) ta thu

được các phương trình gia tốc tương ứng:

2 2

q Thực tế điều này là đúng, và ý nghĩa của hai hệ số này

sẽ được thể hiện rõ ràng hơn khi sử dụng cách tiếp cận thứ hai của bài toán phân

( ) ( )

Khảo sát động học của điểm P bất kỳ thuộc vật rắn quay Dựng hệ tọa độ nền

Oxy và hệ tọa độ vật Oξη như hình 1.3 Gọi x , P y Plà tọa độ điểm P trong hệ tọa độ

nền, ξP,ηPlà tọa độ điểm P trong hệ tọa độ vật

Từ hình 1.3 ta có:

q q

y

q q

x

P P

P

P P

P

cossin

sincos

ηξ

ηξ

(

)cossin

(

q q

q y V

q q

q x V

P P

P Py

P P

P Px

ηξ

ηξ

K

q q

K

P P

Py

P P

Px

sincos

cossin

ηξ

ηξ

Px Px

K q V

K q V

(cos

sin

2 2

q q

q q q

q V a

q q

q q q

q V a

P P

P P

Py Py

P P

P P

Px Px

ηξ

ηξ

ηξ

ηξ

−

−+

Py

Px Px

Px

L q K q a

L q K q a

2 2







+

=

+

=

(1.21) Trong đó: L Pxvà L Py là các đạo hàm theo thời gian của các hệ số vận tốc K Px

và K Py

Các kết luận rút ra từ ví dụ trên

Phân tích động học cơ hệ một bậc tự do (SDOF) được thực hiện theo các bước sau:

- Bước 1: Thiết lập phương trình vị trí và và giải hệ các phương trình này

- Bước 2: Đạo hàm cấp một theo thời gian các phương trình vị trí ta thu

được các phương trình vận tốc tương ứng, từ đó giải hai phương trình vận

tốc hoặc với các hệ số vận tốc

- Bước 3 Xác định hai thành phần gia tốc bằng cách giải các phương trình

đạo hàm theo thời gian từ phương trình vận tốc Điều này có thể được

thực hiện đơn giản, hoặc sử dụng các hệ số vận tốc và hệ số gia tốc thu

Khi các phương trình vận tốc được viết dưới dạng ma trận, thì ma trận hệ số

cho các vận tốc chưa biết là:

Nó được gọi là ma trận Jacobi (J) Ma trận này được xem là hệ số của các

gia tốc chưa biết với các phương trình gia tốc viết dưới dạng ma trận Nếu giải

bằng phương pháp số với phương trình vị trí thì ma trận Jacobi sẽ được sử dụng

trong quá trình giải Sự xuất hiện của ma trận Jacobi trong ba quan hệ khác nhau

này không phải là ngẫu nhiên Bất cứ khi nào ma trận Jacobi được sử dụng, đánh

giá số với các đoạn mã tương tự, trong định dạng của một chương con nên được sử

dụng trong mỗi phân tích Trong mỗi trường hợp hệ phương trình (vị trí, vận tốc,

gia tốc) chỉ giải được miễn là xác định ma trận Jacobi khác ma trận không Có

những vị trí của điểm khảo sát mà ở đó ma trận Jacobi bằng không, thì tại các điểm

này yêu cầu phải có những xử lý đặc biệt Nhưng trên thực tế số lượng những điểm

này khá ít

1.1.2 Động học cơ cấu tay quay - con trượt

Một trong nhiều cơ cấu thông dụng quan trọng là cơ cấu tay quay - con trượt

Ta có thể bắt gặp cơ cấu này trong máy bơm, máy nén, động cơ, máy nghiền, máy

dập, máy phun Sự phân tích động học dưới đây được trình bày ở dạng tổng quát,

kết quả nghiên cứu có thể áp dụng cho bất kỳ cơ cấu tay quay - con trượt nào

Hình 1.4 Cơ cấu tay quay con trượt điển hình

Mô hình động học cho cơ cấu tay quay - con trượt điển hình được thể hiện

như hình 1.4 Tay quay chuyển động quay quanh trục cố định, gốc tọa độ của hệ

quy chiếu nằm trên trục quay, và con trượt chuyển động tịnh tiến khứ hồi dọc theo

đường song song với trục x Đây là cơ hệ có một bậc tự do.[5]

Phân tích vị trí

- Phương trình liên kết (dạng véctơ)

0

= +

OA (1.22)

- Phương trình liên kết (dạng chiếu)

0sin

sin

0cos

cos

2 1

2 1

c q q

r

x q q

r





(1.23)

Để giải hệ hai phương trình liên kết dạng đại số này có thể sử dụng phương

pháp số (chẳng hạn phương pháp Newton-Raphson) Ở đây, ta có thể dùng các biến

đổi toán học, ta thu được kết quả:

2 1

Vì góc quay q2luôn thuộc góc phần tư thứ nhất hoặc thứ tư, nên giá trị cơ sở

của hàm ngược arcsin được nghiệm đúng Phương pháp này có thể được kiểm tra

bởi chương trình con trong phương trình vị trí

Phân tích vận tốc

Đối tượng nghiên cứu tại bước này là hệ số vận tốc phụ thuộc vào vị trí K 2

và K x

Đạo hàm cấp một theo thời gian hai vế của các phương trình vị trí (1.23) ta

thu được các phương trình vận tốc tương ứng:

0coscos

0sin

sin

2 2 1 1

2 2 1 1

x q q q q r

cos

1sin

q r

q r q x

q q

Ma trận hệ số (2 x 2) ở vế trái của phương trình (1.25) là ma trận Jacobi cho

cơ cấu tay quay - con trượt

2

1

1 1 1 1

2

2 1

2

tancossin

cos

coscos

sin0

cos

1sin

q q r q r

q

q r q

q r

q r q

q q

Biểu thức biểu diễnxcó thể đơn giản hóa hơn nữa bằng cách sử dụng phương

trình vị trí thứ hai để thay thế r sin q1với sinq2 +c Sau vài phép biến đổi đại số,

kết quả cuối cùng là: x= q1(c+xtanq2)

q x c q

q r

q x q q K

Đạo hàm cấp một hai vế phương trình (1.24) theo thời gian ta có:

0 sin cos

sin cos

0 cos

sin cos

sin

2 2 2 2 2 1 2 1 1 1

2 2 2 2 2 1 2 1 1 1

= +

r

x q q q q q q r q q r

Khi ta biểu diễn (1.28) dưới dạng ma trận, ma trận Jacobi một lần nữa xuất

hiện trong ma trận hệ số ở vế trái của phương trình (ma trận cỡ 2 x 2):

2 1

1 2

1 1

1 1

cos cos

sin 0

cos

1 sin

q

q q

q r

q r q q r

q r q x

q q

q

L

L q K

K q x

1 2 1 2

vị trí q của K 2và K x Ta có:

( )

2 2 2 2

1 1

2 2 1 2

1 2

2

sincos

cos

tancos

sin

q L

q K

q r L

q K q

q r dq

K d L

q q

x

q q

V ị trí, vận tốc và gia tốc của điểm khảo sát bất kỳ

- Đối với những điểm thuộc tay quay, ta có thể áp dụng các kết quả đã nghiên cứu ở

phần 1.1

- Đối với những điểm thuộc con chạy, do con chạy chuyển động tịnh tiến, nên vai

trò của mọi điểm thuộc con chạy là như nhau nên vận tốc và gia tốc của các điểm

này lần lượt là x và x

- Xét điểm P bất kỳ thuộc thanh truyền (vật rắn chuyển động song phẳng): Dựng hệ

tọa độ nền Oxy và hệ tọa độ vật Oξη như hình 1.5 Gọi x , P y Plà tọa độ điểm P trong

hệ tọa độ nền, ξP,ηPlà tọa độ điểm P trong hệ tọa độ vật Từ hình 1.5 ta có:

Phân tích v ị trí

Véctơ định vị của điểm P là rP

:

( cos 1 cos 2 sin 2) ( sin 1 sin 2 cos 2)

j y i

x

r

P P

P P

p p

P

ηξ

Hình 1.5 Véc tơ định vị, Hệ tọa độ vật, Hệ tọa độ cơ sở để xác định chuyển

động của điểm khảo sát P trên thanh truyền

cossin

sin

2 2 2 2 1 1

2 2 2 2 1 1

j q q q q q q r

i q q q q q q r dt

r d V

P P

P P

P P

ηξ

−

−

=

++

2 2

2 1

sincos

cos

cossin

sin

q q

K q r K

q q

K q r K

P P

q Py

P P

q Px

ηξ

ηξ

Hệ số vận tốc phụ thuộc vào tọa độ của điểm P trong hệ tọa độ vật, góc quay

của thanh truyền và hệ số vận tốcK 2

Phân tích gia t ốc

Gia tốc của điểm P thu được bằng việc đạo hàm theo thời gian biểu thức cuối

cùng biểu diễn vận tốc ở trên:

(K i K j) (q L i L j) (q K q L ) (i q K q L )j q

2 1 1

2 1

=

Trong đó:

( ) ( cos sin ) ( sin cos ) sin

)

(

) sin cos

( cos

sin cos

)

(

2 2

2 2 2 2

2 1

2 2

2 2 2 2

2 1

q q

K q q

L q r dt

K

d

L

q q

K q q

L q r dt

K

d

L

P P

q P

P q Py

Py

P P

q P

P q Px

Px

ηξ

ηξ

ηξ

ηξ

+

−

− +

1.1.3 Động học cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng

Một trong những cơ cấu linh hoạt được sử dụng phổ biến là cơ cấu bốn khâu

bản lề Nó được sử dụng rộng rãi trong các máy cơ khí Cơ cấu bốn khâu bản lề

gồm có bốn khâu với chiều dài khâu không đổi Một kiểu điển hình của cơ cấu này

được thể hiện như trên hình 1.6:

Khâu giá

Tay quay

Tay quay Thanh truyền

Hình 1.6 Cơ cấu bốn khâu bản lề điển hình

Một trong bốn khâu được cố định được gọi là khâu giá, về mặt vật lý nó

không giống các khâu khác Tuy nhiên, nó hoạt động như một khâu và duy trì

khoảng cách giữa hai điểm chốt - nơi các khâu còn lại được lắp ráp Cơ cấu bốn

khâu bản lề là cơ cấu có một bậc tự do

Phân tích vị trí

Ký hiệu chiều dài các khâu là i (i=0 3) được thể hiện như trên hình 1.7

Cơ cấu bốn khâu bản lề được xác định hoàn toàn khi góc quay q 1 của tay

quay Hai biến động học còn lại là vị trí góc của cần lắc và tay quay còn lại lần lượt

coscos

,,

3 3 2 2 1 1 3 2 1

1

0 3 3 2 2 1 1 3 2 1

1

=+

+

=

=

−+

+

=

q q

q q

q q

f

q q

q q

q q

Hình 1.7 Mô hình động học của cơ cấu bốn khâu bản lề điển hình

Như đã đề cập ở trên, phương pháp số Newton - Raphson sẽ được sử dụng để

giải các phương trình vị trí, véc tơ chưa xác định trong phương pháp này là s, ở đây

Và véctơ còn lại: f =Col f q q q( 1( ,1 2, 3), f q q q2( ,1 2, 3))

Ma trận Jacobi cho hệ này được xác định như sau:

Sử dụng véctơ f và ma trận Jacobi vừa xác định, biến vị trí có thể được tính

toán bằng việc sử dụng các vòng lặp trên máy tính với yêu cầu bất kỳ về độ chính

xác

Yêu cầu khi sử dụng phương pháp Newton - Raphson là một ước tính ban

đầu cho mỗi biến chưa biết Ước tính này được xác định bằng phương pháp họa đồ,

hoặc tiên đoán

Phân tích vận tốc

Đạo hàm cấp một theo thời gian hai vế của phương trình (1.36) và viết lại

dưới dạng ma trận, ta được phương trình vận tốc:

1 1 1 3 2

3 3 2 2

3 3 2 2

cos

sincos

cos

sinsin

q

q q

q

q q q

q q

Chú ý rằng ma trận hệ số ở vế trái của phương trình (1.37) là ma trận Jacobi

Các hệ số vận tốc được xác định bằng việc chia cả hai vế của phương trình (1.37)

với q1:

2

1 1

1

q q

Đạo hàm theo thời gian các phương trình vận tốc ở trên ta thu được các

phương trình gia tốc tương ứng Với các kết quả được biểu diễn dưới dạng ma trận

và sau vài phép biến đổi, ta có:

3 3 2 3 2 2

2 2 2 2

1 1

1 1 2 1 1 1

1 1

1 3 2

3 3 2 2

3 3 2 2

sin

cossin

cos

sin

coscos

sincos

cos

sinsin

q

q q

q

q q

q

q q

q

q q

q

q q q

q q

2 1 3

2

L

L q K

K q q

3

2

dq dK dq dK L

L

(1.41)

Phân tích vị trí, vận tốc và gia tốc của điểm bất kỳ thuộc thanh truyền

Các phân tích được nghiên cứu ở đây sẽ cung cấp về vị trí, vận tốc và gia tốc

cho một điểm bất kỳ thuộc thanh truyền sau khi các biến động học phụ thuộc đã

được xác định Một kiểu tay quay con trượt phổ biến có sơ đồ động học như trên

hình 1.8 Dựng hệ tọa độ nền Oxy và hệ tọa độ vật Oξη như hình 1.8 Gọi x , P y Plà

tọa độ điểm P trong hệ tọa độ nền, ξP,ηPlà tọa độ điểm P trong hệ tọa độ vật

Hình 1.8 Véctơ định vị và hệ tọa độ vật để tính toán động học

điểm P trên thanh truyền

Véctơ định vị điểm P là rPđược biểu diễn như trên hình 1.8:

j y i

x

r

P P

P P

P P

1 1 2

2 1

+

=

(1.42) Với mỗi giá trị góc quay q1 cụ thể của tay quay, và các biến động học phụ

thuộc đã được xác định thì véctơ định vị của điểm P hoàn toàn được xác định

Vận tốc của điểm P được xác định bằng cách đạo hàm cấp một theo thời gian

véctơ định vị của điểm P Ta thu được kết quả như sau:

j K q i K q

j q q

q q

q q

i q q

q q

q q

j V i V r

V

Py Px

P P

P P

Py Px P P

2 2

2 2

1 1 1

2 2

2 2

1 1 1

sin cos

cos

cos sin

sin

+

=

− +

ηξ

(1.43)

Trong đó:

2 2 2

2 1

1

2 2 2

2 1

1

sincos

cos

cossin

sin

q K q

K q

K

q K q

K q

K

P P

Py

P P

Px

ηξ

ηξ

−+

đứng, chúng phụ thuộc vào q 2 , K 2 và tọa độ của điểm khảo sát P trong hệ tọa độ

vật

Tương tự như vậy, để thu được gia tốc của điểm khảo sát P ta đạo hàm cấp

một theo thời gian véctơ vận tốc thu được ở trên Thực hiện các biến đổi trung gian

ta thu được kết quả cuối cùng như sau:

j L q K q i L q K q

j a i a V a

Py Py

Px Px

Py Px P P

) (

= 1 + 12 + 1 + 12

+

=

=

(1.45) Trong đó các đạo hàm hệ số vận tốc là:

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 1 1

1

sincos

cossin

L q

K q

L q dq

K

d

L

P P

P P

Px

Px

ηη

2 2

2 2 2

2 1 1

1

cossin

sincos

L q

K q

L q dq

K

d

L

P P

P P

Py

Py

ηη

Các biến L Pxvà L Pylà các đạo hàm hệ số vận tốc theo phương ngang và

phương thẳng đứng của điểm P

1.1.4 Cơ hệ một bậc tự do gồm nhiều chuỗi động kín

Tất cả các cơ cấu được xét đến thời điểm này đã được trình bày trong

phương trình vị trí dạng véctơ (tương ứng với hai phương trình chiếu dạng đại số)

và có một bậc tự do Trong phần này chúng ta xét các cơ cấu có một bậc tự do,

nhưng gồm nhiều chuỗi động kín Với các cơ cấu này, các bước phân tích động học

hầu hết giống như đối với cơ hệ một bậc tự do có một chuỗi động kín, trừ một số

phương trình theo yêu cầu riêng

Khi viết các phương trình vị trí, chú ý các chuỗi động kín được sử dụng phải

độc lập nhau Trong ví dụ cho ở dưới dây, phân tích động học cho cơ hệ một bậc tự

do có hai phương trình vị trí độc lập Các chuỗi động bổ sung thêm có thể được

thiết lập, nhưng chúng không độc lập Để độc lập, mỗi chuỗi động nên bao gồm một

số phân đoạn không phải là một phần của bất kỳ vòng khác

Xét cơ cấu bốn khâu đòn khuỷu như hình 1.9 Cơ cấu này được sử dụng

trong các máy đột, dập Để đạt được điều này, tay quay chủ động có bán kính 1

quay quanh trục cố định với góc quay q1 Cơ cấu có một bậc tự do, với tọa độ suy

rộng độc lập vừa đủ là góc quay q1 của tay quay chủ động

Phân tích vị trí

Cơ hệ có hai chuỗi động kín được sử dụng là xác định như trên hình 1.9 Cơ

hệ có một chuỗi động thứ ba, nhưng các phương trình biểu diễn chuỗi động này đơn

thuần chỉ là sự kết hợp của các phương trình xác định hai chuỗi động đầu tiên

Hình 1.9 Mô hình cơ cấu bốn khâu bản lề trong máy đột dập

Các phương trình liên kết, bao gồm:

0cos

cos

0sinsin

0cossin

sin

0sincos

cos

4 4 3 3

4

4 4 3 3

3

3 3 2 2 1 1 2

3 3 2 2 1 1 1

=++

=

y q q

f

q q

f

q q

q y

f

q q

q x

Như vậy, ta có đồng thời bốn phương trình liên kết dạng phi tuyến với bốn

ẩn số là q2 ,q3 ,q4 và y Có thể giải hệ bốn phương trình trên bằng phương pháp bất

kỳ, nhưng trong trường hợp này nên sử dụng phương pháp số (chẳng hạn phương

pháp Newton- Raphson) với sự trợ giúp của các phần mềm máy tính như Matlab,

Maple 16, …

Việc phân tích vận tốc và gia tốc được thực hiện tương tự như đã trình bày

đối với hai cơ cấu điển hình ở trên là cơ cấu tay quay con trượt và cơ cấu bốn khâu

bản lề phẳng (có một chuỗi động kín)

1.1.5 Tổng quát về phân tích động học của cơ hệ một bậc tự do

Các ký hiệu cho bài toán phân tích động học tổng quát là:

q = véctơ các biến động học tổng quát

s i = các bi ến động học phụ thuộc, i:=1, 2, …, N 2

Phân tích vị trí

Các phương trình liên kết được viết dưới dạng vô hướng, với bất kỳ yêu cầu

nào tạo thành hệ phương trình phụ thuộc N 2, hệ phương trình phi tuyến thu được là:

( , , , , ) 0

N N

Hệ phương trình này phải được giải hoàn toàn bằng phương pháp giải tích

hoặc bằng phương pháp số Nếu sử dụng phương pháp số theo phương pháp

Newton-Raphson Véctơ giải pháp s và véctơ còn lại f , trong mỗi véctơ đều có

N N

Như đã trình bày ở các phần trên, ma trận Jacobi đóng một vai trò quan trọng

trong phương pháp số Newton-Raphson trong các phân tích động học về vị trí, vận

tốc, gia tốc

Phân tích vận tốc

Phương trình vận tốc thu được bằng việc đạo hàm theo thời gian phương

trình vị trí tương ứng bao gồm các liên kết (nếu có) Biểu diễn dưới dạng ma trận, ta





 (1.52) Các thành phần của ma trận hệ số sẽ thường là hàm của các biến vị trí Đây

là mối quan hệ ma trận phân vùng, tuy nhiên có thể tách thành hệ các phương trình

đại số tuyến tính được giải cho các biến vận tốc phụ thuộc

q

     (1.56) Nếu hệ số vận tốc được xác định bằng dạng hàm số, có thể đạo hàm trực tiếp

để xác định đạo hàm hệ số vận tốc Nếu hệ số vận tốc được xác định bằng phương

pháp số, phép đạo hàm này là không thể thực hiện Với tiếp cận phương pháp số để

xác định đạo hàm hệ số vận tốc, đầu tiên ta xem xét quan hệ xác định véctơ cột của

các hệ số vận tốc:

q (1.57) Trong đó J là ma trận Jacobi Ma trận này được hiểu một cách rõ ràng như

một véctơ cột ở vế phải

Đạo hàm phương trình trên theo q ta có:

s s

d

q q q q (1.58) Đạo hàm hệ số vận tốc xuất hiện, bởi vậy phương trình được giải:

các phương trình tuyến tính , một lần nữa ma trận Jacobi đóng vai trò như một ma

trận hệ số

Vị trí, vận tốc, và gia tốc của điểm bất kỳ

Vận tốc của điểm P được xác định bằng việc đạo hàm hai phương trình vị trí

theo thời gian Hệ số vận tốc và các đạo hàm hệ số vận tốc được xác định cho điểm

P Bằng cách này vị trí, vận tốc và gia tốc của điểm P được xác định

1.2 Cơ cấu thanh phẳng nhiều bậc tự do

Cơ cấu thanh và các máy cơ khí khác có nhiều bậc tự do yêu cầu nhiều hệ qui

chiếu tổng quát phải bằng số bậc tự do Cơ hệ không được xác định đầy đủ cho tới

khi tất cả các hệ qui chiếu tổng quát được xác định Đối với việc phân tích động

học, việc này có nghĩa là sẽ có nhiều biến động học Điều này có ảnh hưởng tương

đối ít tới phân tích vị trí Nhưng nó làm phức tạp tới việc phân tích vận tốc và đặc

biệt là phân tích gia tốc

Trong phần 1.1, đối với các cơ hệ một bậc tự do, các phương pháp phân tích

động học đã được trình bày cụ thể Nó bao gồm các biến động học chính và các

biến động học phụ thuộc, các phương trình vị trí, phương pháp số Newton-Raphson

trong kỹ thuật, ma trận Jacobi và các phương trình vận tốc, phương trình gia tốc, hệ

số vận tốc, đạo hàm hệ số vận tốc, hệ tọa độ vật, … Ở phần 1.2 chúng ta sẽ đi

nghiên cứu cơ hệ có nhiều bậc tự do, phần này sẽ có một vài công cụ lý thuyết mới

được trình bày, tất cả các công cụ này được thể hiện rõ ràng thông qua các ví dụ cụ

thể

1.2.1 Phân tích động học trong chuỗi động kín

Như trong phần 1.1, phân tích động học cho các cơ hệ có thể được thực hiện

trong các chuỗi động kín Trong ví dụ hai bậc tự do sau đây, vị trí, vận tốc và gia

tốc đối với các biến động học phụ thuộc được xác định trong các chuỗi động kín

Xét cơ cấu bốn khâu bản lề trượt được thể hiện trong hình 1.10 Nó khác cơ

cấu bốn khâu bản lề thông thường ở điểm nối chốt giữa tay quay thứ hai và cần lắc

là một con trượt, bởi vậy khoảng dịch chuyển b thay đổi

B

C

0



Hình 1.10 Cơ cấu bốn khâu bản lề trượt

Cơ hệ có hai bậc tự do được xác định bởi hai tọa độ suy rộng độc lập là góc 𝑞𝑞1

và 𝑞𝑞2 của hai tay quay Các đại lượng vị trí phụ thuộc là góc q3và lượng dịch

chuyển b của con trượt Điểm P là điểm khảo sát động học trên cần lắc, vị trí của nó

được xác định bởi hệ tọa độ vật Oξη Xác định vị trí, vận tốc và gia tốc cho các

biến động học phụ thuộc thực hiện giống như việc xác định chuyển động của điểm

khảo sát P

Phân tích vị trí

Phương trình liên kết có dạng:

sin

0cos

coscos

2 2 3 1

1 2

0 2 2 3 1

1 1

=

−+

=

=

−

−+

=

q q

b q f

q q

b q f

1 1 2 2 0

1 1 2 2 3

coscos

sinsin

tan

q q

q q

cos

coscos

q

q q

sincos

0sinsin

cossin

2 2 2 3 3 3 1

1 1

2 2 2 3 3 3 1

1 1

=

−+

+

=+

−+

−

q q q q q b q q

q q q q q b q q

Khi hệ phương trình vận tốc (1.61) được thể hiện dưới dạng ma trận, ma trận

hệ số ở vế trái của phương trình là được nhận ra là ma trận Jacobi

2 2 1 1

2 2 1

1 3

3 3

3 3

coscos

sinsin

sincos

cossin

q

q q q

q q

b

q q q

b

q q

3 1 1 3 1 1

3 1 2 3 1 1 3

sin cos

cos cos

q

q q q q

q

q q b q q b b

3 1 2 3 1 1

2 1

32 31

sin cos

cos cos

q q q

q

q q b q q b K

K

K K

b b

q q

2 1

32 31 3

q

q K K

K K b

q

b b

q q

Tổng quát cho trường hợp hệ có nhiều bậc tự do, hệ số vận tốc sẽ được thể

hiện ở dạng ma trận hình chữ nhật, nói đúng hơn là một véctơ cột kết hợp với hệ số

vận tốc của cơ hệ một bậc tự do

Phân tích gia tốc

Gia tốc được xác định bằng việc đạo hàm cấp một theo thời gian phương trình

thể hiện các biến vận tốc phụ thuộc ở trên của ma trận hệ số vận tốc và các biến vận

2 1

32 31

2 2 2 1

2 1

32 31

1 1 2 1

2 1

32 31 3

q

q K K

K K dq

d q q

q K K

K K dq

d q q

q K K

K K b

q

b b

q q b

b

q q b

b

q q

Trong trường hợp cơ hệ có nhiều bậc tự do, số các ma trận đạo hàm hệ số vận

tốc xuất hiện bằng đúng số bậc tự do của hệ

Phân tích vị trí, vận tốc và gia tốc của một điểm P bất kỳ

Hệ tọa độ vật của điểm P được xác định sau khi các biến động học phụ thuộc

được xác định

3 3

1 1

3 3

1 1

cossin

sin

sincos

cos

q q

q y

q q

q x

P P

P

P P

P

ηξ

ηξ

−+

=

−+

=





(1.67)

Đạo hàm cấp một theo thời gian phương trình (1.67), các vận tốc thành phần

−

+

−+

2 1

2 1

2 1

3 3

32 3

3 31

1 1

3 3

32 3

3 31

1 1

2 1

2 1

32 31

3 3

3 3

2 1

1 1

1 1

3

3 3

3 3

2 1

1 1

1 1

sincos

sincos

cos

cossin

cossin

sin

0sincos

0cossin

0cos

0sin

0sincos

0cossin

0cos

0sin

q

q K K

K K

q

q q q

K q q

K q

q q

K q

q K

q

q

q K K

K K q

q

q q

q

q q

q

b

q q

q

q q

q

q q

q y

x

Py Py

Px Px

P P

q P

P q

P P

q P

P q

b b

q q P

P

P P

P P

P P

ηξ

ηξ

ηξ

ηξ

ηξ

ηξ

ηξ

Như vậy:

Px Px P

Py Py P

điểm P Chú ý một lần nữa rằng nó là một ma trận chữ nhật không phải là một vectơ

cột

Với q 3 và b đã được xác định, thì cách nhanh nhất để xác định gia tốc dài của

điểm P là đơn giản để đạo hàm phương trình vận tốc theo thời gian:

Quá trình phân tích vị trí là chính xác, bắt đầu với các phương trình vị trí Giải

pháp này thu được từ phương pháp Newton-Raphson; để thực hiện nó yêu cầu đặt

ra phải có ma trận Jacobi, điều này có thể thu được trực tiếp hoặc một phần của việc

phân tích vận tốc Các phương trình vị trí được đạo hàm theo thời gian để thu được

các phương trình vận tốc tương ứng Từ đó để xác định các đại lượng vận tốc chưa

biết, các phương trình vận tốc được viết dưới dạng ma trận như sau:

thuộc Các ma trận trong phương trình này là J, ma trận Jacobi, s là véctơ cột chưa

biết, các vận tốc thứ cấp, B, ma trận chữ nhật của các hệ số, và q là véctơ cột của

các vận tốc chính Ma trận hệ số vận tốc K được xác định bởi công thức:

Để tính toán hiệu quả và giảm sai số làm tròn, ma trận hệ số vận tốc thu được

như phương pháp giải hệ các phương trình tuyến tính:

Các biến gia tốc phụ thuộc thu được từ việc đạo hàm phương trình biến vận

tốc phụ thuộc của ma trận hệ số vận tốc và vec tơ cột của các vận tốc chính Nói

chung, các phần tử của ma trận hệ số vận tốc là các hàm của tất cả các biến động

học chính, vì vậy quy tắc dây chuyền được áp dụng đối với việc đạo hàm này

Phương trình kết quả đối với các biến gia tốc phụ thuộc như sau:

Như đã phân tích trong phần 1.1, ma trận Lilà ma trận đạo hàm từng phần

của hệ số vận tốc, tương tự như các véctơ đạo hàm hệ số vận tốc đã tìm trong các cơ

hệ một bậc tự do Đạo hàm theo các biến ban đầu được biểu hiện bằng chỉ số i Câu

hỏi tiếp theo là làm thế nào thu được ma trận số Li

Ma trận hệ số vận tốc được xác định bởi quan hệ:

JK = B trong đó các phần tử của ma trận Jacobi và ma trận vế phải B được biết một cách rõ

ràng Phương trình này được đạo hàm theo biến ban đầu điển hình q i với kết quả:

đạo hàm yêu cầu Lưu ý rằng hệ số là ma trận Jacobi Các giải pháp chính cho đạo

tuyến tính Với các ma trận đạo hàm hệ số vận tốc đã xác định, các biến gia tốc phụ

thuộc có thể được đánh giá từ biểu thức vừa khai triển Đối với ví dụ sau, các biến

vị trí phụ thuộc, các vận tốc và các gia tốc được xác định như vị trí khối tâm hệ và

các vận tốc

1.2.3 Phân tích động học tổng quát cho cơ cấu nhiều bậc tự do

Như đã trình bày ở các ví dụ trước, có nhiều cơ cấu có nhiều hơn một bậc tự

do Như các cơ cấu có thể liên quan một hoặc nhiều hơn các chuỗi véctơ vị trí, như

đã được trình bày Trong phần này, các phân tích đã chứng minh trong các ví dụ

trên được tóm tắt trong dạng tổng quát Ký hiệu như sau:

N 1 = số hệ tọa độ tổng quát

N 2 = số hệ tọa độ phụ thuộc

q i = các t ọa độ tổng quát, i = 1, 2, …, N 1

s i = các t ọa độ phụ thuộc, i = 1, 2, …, N 2

Phân tích vị trí

Phân tích vị trí bắt đầu bằng cách xây dựng các phương trình liên kết dưới

dạng vô hướng, như đã thực hiện với trường hợp cơ hệ có một bậc tự do Điều này

đưa đến một hệ các phương trình phi tuyến tính:

cho các tọa độ phụ thuộc N2 chưa biết Các tọa độ này được giải trong chuỗi động

kín hoặc số sử dụng phương pháp Newton-Raphson Thực tế rằng có nhiều tọa độ

tổng quát không ảnh hưởng tới giải pháp cho các tọa độ phụ thuộc vì tất cả các giá

trị tọa độ tổng quát được định vị Véctơ giải pháp vị trí s, và véctơ còn lại f, được

N N

Tầm quan trọng của ma trận Jacobi trong giải pháp Newton-Raphson của các

phương trình vị trí, vận tốc, gia tốc, và đánh giá số của các đạo hàm hệ số vận tốc

đã được đề cập và trình bày tại các phần trước

Phân tích vận tốc

Các phương trình vận tốc thu được bằng cách đạo hàm theo thời gian các

phương trình vị trí (và bất kỳ các phương trình liên kết cần thiết) Đạo hàm này có