.uN0 : Tập hợp các số N0 NY t0uE : Đối ngẫu đại số của EE1 : Đối ngẫu topo của EEco1 : Không gian E1 với topo compact mởBpa, rq : Hình cầu mở tâm a bán kính rBpa, rq : Hình cầu đóng tâm
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUN TIỂU LUẬN MƠN GIẢI TÍCH PHỨC ĐỀ TÀI CÁC CƠNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY Báo cáo tiểu luận ĐẮK LẮK, NĂM 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUN TIỂU LUẬN MƠN GIẢI TÍCH PHỨC ĐỀ TÀI CÁC CƠNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY Báo cáo tiểu luận Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS THÁI THUẦN QUANG ĐẮK LẮK, NĂM 2016 DANH SÁCH HỌC VIÊN THỰC HIỆN 1q 2q 3q 4q 5q 6q 7q 8q 9q Huỳnh Đậu Mai Phương Đinh Như Mạnh Hùng Hoàng Văn Phung Nguyễn Hồng Quân Mai Đức Chung Lê Hồ Quang Minh Bùi Nguyễn Luân Trần Kông Long Vi Ánh Mừng Báo cáo tiểu luận i MỤC LỤC Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 2 Các công thức tích phân Cauchy Kết Luận 11 Báo cáo tiểu luận ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT N N0 E E1 Eco B a, r B a, r l1 c0 c0 intU U XK P E, F Hb E, F p q p q p p q q : : : : : : : : : : : : : : : u Báo cáo tiểu luận H pU q : H pU, F q : : NpNq tr t Yt u Tập hợp số tự nhiên N 1, 2, Tập hợp số N0 N Đối ngẫu đại số E Đối ngẫu topo E Không gian E với topo compact mở Hình cầu mở tâm a bán kính r Hình cầu đóng tâm a bán kính r Khơng gian Banach dãy số phức khả tổng tuyệt đối Không gian Banach dãy số phức hội tụ không Tập dãy số thực dương hội tụ không Phần U Bao đóng U Khơng gian Banach sinh K X Không gian đa thức từ E vào F Không gian hàm chỉnh hình bị chặn tập bị chặn E giá trị F Không gian hàm chỉnh hình U giá trị vơ hướng Khơng gian hàm chỉnh hình U giá trị F Tập đa số Trang : iii Mở đầu Trong tiểu luận biết cách xây dựng cơng thức tích phân Cauchy số hệ Báo cáo tiểu luận Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kết cần thiết, liên quan đến nội dung tiểu luận P Định nghĩa 1.0.1 Giả sử E, F khơng gian Banach cịn m N Ánh F gọi m- tuyến tính tuyến tính theo biến Nghĩa xạ A : E m với a a1 , a2 , , am E m j m, ánh xạ Ñ p tuyến tớnh Ô Ô qP Ej Q xj ẹ Apa1 , , aj 1 , xj , aj , , am q Báo cáo tiểu luận q p p q Kí hiệu: La m E, F L m E, F không gian vectơ ánh xạ m- tuyến tính m- tuyến tính liên tục từ E m vào F tương ứng Với A La m E, F , xác định P p q }A} sup }Apx1, , xmq} : xj P E, }xj } Ô 1, Ô j Ô m v gi chuẩn (suy rộng) A Khi m 1, ta viết La E, F La E, F L E, F L E, F Khi F K m m m m viết La E, K La E L E, K L E Cuối m 1, # viết thông thường La E E ,L E E p p q p q p q p q q p q p q p q p q p q Định nghĩa 1.0.2 Ánh xạ P : E Ñ F gọi đa thức m-thuần (thuần bậc m)nếu tồn A P La pm E, F q cho P pxq Axm @x P E p q Kí hiệu: Pa m E, F không gian vec tơ đa thức m- từ E tới F P m E, F không gian gồm đa thức m- liên tục p q Pa pmE, F q Đối với P P PapmE, F q, đặt }P } sup }P pxq} : x P E, }x} Ô v gi l chuẩn ( suy rộng) P Khi F K ta viết Pa m E, K Pa p q pmE q P pmE, Kq P pmE q Định nghĩa 1.0.3 Chuỗi lũy thừa từ E tới F điểm a P E chuỗi có ° dạng Pm px aq, Pm P Pa pm E, F q với m P N0 m Chú ý chuỗi lũy thừa Am P p Lsa m E, F ° m p aq viết Pm x q, Apm Pm ° m p aqm, Am x Ñ p q Định nghĩa 1.0.4 Giả sử U tập mở E Ánh xạ f : U F gọi chỉnh hình hay giải tích với a U tồn hình cầu B a, r U dãy đa thức Pm P m E, F cho P p p q f x P q ¸ m0 p aq Pm x Báo tiểu luận P Bpa, rqcáo hội tụ với x p q Kí hiệu: H U, F không gian véc tơ ánh xạ chỉnh hình từ U vào F Khi F C ta viết H U, C H U Dãy Pm định nghĩa xác định f a, ta kí hiệu Pm P m f a với m N0 Chuỗi ° m m p q p q p q pq p qp q P P m f a x a thông thường gọi chuỗi Taylor f a Ta kí hiệu pq m f paq P m f paq pmE, F q thỏa mãn A{ °8 Định lí 1.0.5 Cho R bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa m0 Pm px aq đó: A f a phần tử thuộc Ls (a) R xác định cơng thức Cauchy- Hadamard mlim sup }Pm } Đ8 pa; rq Ô r R (b) Chuỗi hội tụ tuyệt đối B Bổ đề 1.0.6 Cho pcm q8 m0 dãy F Nếu có r ¡ thỏa mản °8 m m0 cm λ với λ P K vi || Ô r thỡ cm vi m P N0 R m °8 p q °8 m Mệnh đề 1.0.7 Cho m0 Pm x m0 Am x chuỗi lũy thừa từ E vào F với bán kính hội tụ R Lấy e1 , , en E với e1 en 1, tập hợp m! Am eα1 eαnn cα α! với α α1 , , αn Nn0 với α m ta có ¡ p ¸ m0 qP p Pm ξ1 e1 P | | ξn en q ¸ } } } } cα ξ1α1 ξnαn α | | | | R{e Cả hai chuỗi hội tụ tuyệt đối vi | | | |Ô Ô r R {e Bổ đề 1.0.8 Cho Cα P F cho mổi α pα1 , , αn q P Nn0 Nếu có ° r ¡ thỏa mản chuỗi α cα λα1 λαn hội t tuyt i ti khụng |1 | Ô r, , |λn | r, cα vơi α Mệnh đề 1.0.9 P pE; F q H pE; F q Mệnh đề 1.0.10 Cho pfm q dãy E hội tụ đến không chúng ξ1 ξn ξ1 ξn r Báo cáo tiểu luận ¸ pϕ pxqq với x P E f pxq ta đặt f n m P H pE q m m P pq p Mệnh đề 1.0.11 Cho U tập mở E a E Với mổi f H U ; F cho fa : U a F định nghĩa fa t f a t với t U a ta có: (a) fa H U a; F P m fa t P m f a t với t U a m N0 (b) ánh xạ f fa vectơ không gian đẳng cấu H U ; F U a; F P P p p q Ñ P P p q pq p Ñ q q q P p q Hệ 1.0.12 Cho µ độ đo Borel hữu hạn không gian Hausdorff compact X Cho fn dãy ánh xạ liên tục từ X vào Y mà hội tụ X đến ánh xạ f Khi f liên tục p q » f dµ với mổi A P° A nlim Đ8 » fn dµ A Chương Các cơng thức tích phân Cauchy P p q P P P p q Định lí 2.0.13 Cho U tập mở E, f H U, F , a U, t E ¯ 0, r đó, với mổi λ 0; r ta r cho a ζt U với ζ có cơng thức tích phân Cauchy ¡ P p f a P p q q λt » p f a 2πi |ζ |r ζ p q P p q ζt dζ λ q ψ f a ζt hàm chỉnh hình Chứng minh Nếu ψ F hàm g ζ ¯ 0; r Bằng cơng thức tích phân Cauchy lân cận đỉa đóng hàm chỉnh hình biến phức ta có: p q tiểu luận Báo cáo ψ f pa q gpλq» 2πi λt với mổi λ pq p g ζ dζ λ | ζ |r ζ » ψ f a ζt dζ 2πi |ζ |r ζ λ q P 4p0; rq Vì F tách điểm F địi hỏi kết luận sau P p q Hệ 2.0.14 Cho U tập mở E, cho f H U; F ¯ 0; r Với Cho a U, t E r cho a ζt U với ζ λ 0; r ta có khai triển chuổi dạng P P P p q ¡ P p f a Ở q λt » ¸ m P p q cm λm p q f a λt cm dζ 2πi |ζ |r ζ m Chuỗi hội tụ tuyệt đối với λ S r | |Ô | | | | r ta có f pa ζtq ¸ f pa ζtq f pa ζtq ζ λm ζ λ ζ λ ζm ζ m f bị chặn ta ζt : |ζ | ru, chuỗi hội tụ tuyệt đối | | r v || Ô s r Bằng hệ (1.0.12) ta tích phân số hạng Chứng minh Với λ để nhận được: » p f a |ζ |r ζ » q ¸ f pa ζtq λm dζ m ζ | ζ | r m ζt dζ λ | | ¤ s Áp dụng định lí Chuỗi cuối hội tụ tuyệt đối λ (2.0.13) ta có điều phải chứng minh P p q P P Hệ 2.0.15 Cho U tập mở E, f H U ; F , a U, t E ¯ 0; r Khi với m N0 ta có r cho a ζt U với ζ cơng thức tích phân Cauchy: ¡ P P p q p qp q » p P q Báo cáo tiểu luận P mf a t f a ζt dζ 2πi |ζ |r ζ m Chứng minh Vì f chỉnh hình ta cú khai trin chui dng p f a | |Ô q λt ¡ ¸ m0 m p qp q P f a λt ¸ m p qp q λm P m f a t với λ , đủ nhỏ Bằng cách so sánh khai triển chuỗi với khai triển chuỗi có từ hệ (2.0.14) áp dụng bổ đề (1.0.6) có bất đẳng thức Cauchy P p q P P Hệ 2.0.16 Cho L tập mở E, f H U ; F , a U, t E ¯ 0; r Khi với m N0 ta có r cho a ζt U với ζ bất đẳng thức Cauchy: ¡ P P p q }P mf paqptq} Ô rm sup }f pa ζt |ζ |r Hệ 2.0.17 Nếu P tích phân P q} P P pmE; F q với a, t P E có cơng thức pq P t » p q P a ζt dζ 2πi |ζ |1 ζ m p qp q P ptq Áp dụng hệ (2.0.15) Chứng minh Từ mệnh đề (1.0.9), P m P a t ta có điều cần chứng minh P p q Hệ 2.0.18 Cho P P m E; F Nếu P bị chặn c hình cầu mở B a; r P đồng thời bị chặn c hình cầu B 0; r p q p q Bây ta áp dụng kết vào việc nghiên cứu hạn chế ánh xạ chỉnh hình khơng gian n- chiều Trước hết ta đưa vào số khái niệm sau: Một đa đĩa Cn tích đĩa C Một đa đĩa mở với tâm a a1 , , an đa bán kính r r1 , , rn kí hiệu 4n a; r ¯ n a; r xác định Đa đĩa đóng kí hiệu p q p q p q p q 4n pa; rq tz P Cn : |zj aj | rj với j 1, , nu ¯ n pa; rq tz P Cn : |zj aj | Ô rj vi j 1, , nu a p0, , 0q r p1, , 1q viết đơn giản ¯ n p0; 1q ¯ n Tập hợp 4n p0; 1q 4n Báo tz P Cn cáo : |zj aj | tiểu rj với luận j 1, , nu chứa biên B 4n pa; rq 4n pa; rq kí hiệu Bo 4n pa; rq gọi biên đóng đa đĩa 4n pa; rq Định lí 2.0.19 Cho U tập mở E, cho f P H pU ; F q cho a P U, t1 , , tn P E r1 , , rn ¡ cho a ζ1 t1 ζn tn P U với ¯ n p0; rq Khi với λ P 4n p0; rq ta có cơng thức tích phân Cauchy ζP4 » f pa ζ1 t1 ζn tn q f pa λ1 t1 λn tn q p2πiqn B p0;rq pζ1 λ1q pζn λnq dζ1 ζn ¯ n p0; rq compact, tồn R1 ¡ r1 , , Rn ¡ rn Chứng minh Vì đa đĩa cho a ζ1 t1 ζn tn P U với ζ P 4n p0; Rq Nếu ψ P F hàm số g pζ1 , , ζn q ψ f pa ζ1 t1 ζn tn q với ζ P 4n p0; Rq n o chỉnh hình theo biến ζ1 , , ζn cố định biến cịn lại Áp dụng liên tiếp cơng thức tích phân Cauchy cho hàm chỉnh hình biến phức ta công thức ψ f pa p qn 2πi λ1 t1 » λn tn q » » dζ2 dζ1 ψ |ζ1 |r1 ζ1 λ1 |ζ2 |r2 ζ2 λ2 |ζn |rn f pa ζ1 t1 ζn λn ζn tn q dζ n vơi mổi λ P 4n p0; rq Vì hàm số pζ1, , ζnq Đ ψ pζf pa λ ζq1t pζ λζnqtnq 1 n n liên tục tập compact Bo 4n pa; rq, định lí Fubini cho phép thay tích phân lặp đa tích phân Và F tách điểm, ta có kết sau P p q P Hệ 2.0.20 Cho U tập mở E, f H U; F , a U, t1 , , tn E r1 , , rn cho a ζ1 t1 ζn tn U với ¯ n 0; r Khi với λ 4n 0; r tồn khai triển chuỗi có dạng ζ P P p q ¡ p f a λ1 t1 P p q ¸ α λn tn q cα λ1 P λαnn α cα » Báo p qn 2πi a ζt ζ t q cáof ptiểu luận dζ dζ ζ ζ 1 α1 1 Bo 4n p0;rq chuỗi bội tụ tuyệt đối với λ j n n αn n n P np0; sq ú Ô sj rj với | | |ζj | Chứng minh Chứng minh tương tự hệ (2.0.14) Thật λj rj với j 1, , n viết f pa λ1 t1 λn tn q ¸ α pζ1 λ1q pζn λnq α λ1 λαnn p f a || | ζ1 t1 ζn tn α1 1 nn q | |Ô chuỗi bội hội tụ tuyệt đối với ζj rj λj sj rj Bằng cách lấy tích phân số hạng chuỗi này, ta có kết luận sau từ định lí (2.0.19) P p q P Định lí 2.0.21 Cho U tập mở E, F H U; F , a U, t1 , , tn E r1 , , rn cho a ζ1 t1 ζn tn U với ¯ n 0; r Khi với m No đa số α Nn với α ζ m o có cơng thức tích phân Cauchy » α! f a ζ1 t1 ζn tn α1 m αn A f a t1 tn dζ1 dζn m! 2πi n Bo 4n p0;rq ζ1α1 ζnαn P pq P ¡ p q P P p p q q P | | Chứng minh Bởi mệnh đề (1.0.7) ta có khai triển chuỗi p f a λ1 t1 λn tn q ¸ m0 ¸ p qp P m f a λ1 t1 λn tn q cα λα1 λαnn α cα P | | p q Am f paqtα1 m! α! tαnn với mổi α Nn0 với α m Chuỗi bội hội tụ tuyệt đối ¯ n 0; Sau so sánh chuỗi mở rộng với chuỗi mở rộng đa đĩa phù hợp cho hệ (2.0.20), áp dụng bổ đề (1.0.8) ta có điều cần chứng minh P pmE; F q cho P A¯ P P pmE; F q.khi với P Nn0 với |α| m có cơng thức phân Hệ 2.0.22 Cho A LS a, t1 , , tn E α cực P » p cáo qn Báo α! m! 2πi Atα1 tαnn p tiểu luận P a |ζj |1 ζ1 t1 ζn tn α1 ζ1 ζnαn Chứng minh Áp dụng hệ (2.0.21) với f q dζ dζn P Ta nhắc lại điều sau tập A E có chứa gốc gọi cân ¯ Nếu a A ζx A với mổi x A mổi ζ mổi đĩa đơn vị đóng A gọi a-cân Nếu tập A a cân P P P P Định lí 2.0.23 Cho U tập mở a-cân E, cho f H U ; F với tập compact K U tồn lân cận V K U cho chuỗi Taylor f hội tụ đến f V đủ nhỏ p q P Chứng minh Cho K tập compact U tập hợp A ta p aq : x P K, ζ P 4¯ u ζ x chứa U , f hội tụ A Vì K compact nên ta tìm r l lân cận V K U cho tập hợp ¡ B ta p aq : x P V, ζ P 4¯ p0; rqu ζ x chứa U , f hội tụ B Vì viết p qs ¸ f ζ px aqs ζm m chuỗi hội tụ tuyệt đối với x P V |ζ | r sau tích phân qua vịng trịn |ζ | r áp dụng cơng thức tích phân Cauchy (2.0.13) (2.0.15) r f a ζ x a ζ ta kết luận p q f x ¸ m p qp aq P mf a x chuỗi hội tụ tuyệt đối với x PV Báo cáo tiểu luận 10 Kết Luận Như chúng tơi trình bày xong cơng thức tích phân Cauchy số hệ khơng gian Banach Tuy nhiên thời gian có hạn lượng kiến thức tương đối hẹp nên tiểu luận chắn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý từ q Thầy, Cơ bạn đọc Cuối chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy, PSG TS Thái Thuần Quang tận tìn dạy cho chúng em Báo cáo tiểu luận 11 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J Mujica (1986), Complex analysis in Banach spaces, North-Holland Math Studies, 120 Báo cáo tiểu luận 12