Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm các đại lượng chưa biết.. Áp dụng tính chất của dãy hai tỉ số bằng nhau để giải bài toán khác.. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận:.. T
TỈ LỆ THỨC
Tỉ lệ thức
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số a b = c d.
Tỉ lệ thức a b = c d còn được viết dưới dạng a:b=c:d.
Tính chất của tỉ lệ thức
Tính chất của tỉ lệ thức:
○ Nếuad (với a, b, c, d̸= 0) thì ta có bốn tỉ lệ thức: a b = c d; a c = b d; d b = c a; d c = b a.
Nhận xét Từ tỉ lệ thức a b = c d(a, b, c, d̸= 0) suy ra a= bc d; b= ad c ; c= ad b ; d= bc a.
BB A CÁC DẠNG BÀI TẬP
Nhận biết tỉ số - Tỉ lệ thức
cVí dụ 1 Thay tỉ số sau đây bằng tỉ số giữa các số nguyên:
□ cVí dụ 2 Thay tỉ số sau đây bằng tỉ số giữa các số nguyên:
□ cVí dụ 3 Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập tỉ lệ thức:
Vậy ta lập được tỉ lệ thức18 : 24 = 2,7 : 3,6 □ cVí dụ 4 Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập tỉ lệ thức:
Vậy ta lập được tỉ lệ thức(−10) : (−35) = 14
Tìm số chưa biết trong tỉ lệ thức
cVí dụ 5 Tìmx trong các tí lệ thức sau: x
□ cVí dụ 6 Tìmx trong các tỉ lệ thức sau
3 82 3 82 cVí dụ 7 Tìm tỉ số x y, biết x−y x+ 2y = 3
Lập tỉ lệ thức từ các số hoặc đẳng thức cho trước
cVí dụ 8 Lập một tỉ lệ thức từ các số sau
Do đó ta có tỉ lệ thức0,75 : 21
5 : 14 □ cVí dụ 9 Từ bốn số −2; 3;4;−6 có thể lập được một tỉ lệ thức không? Nếu có, hãy lập tất cả các tỉ lệ thức từ bốn số đó.
Từ (1), hoán vị ta được ba tỉ lệ thức khác là
□ cVí dụ 10 Cho năm số3;4;41
2;5;6 Hãy chọn ra bốn số để lập thành tất cả các tỉ lệ thức.
Từ bốn số này ta có thể lập thành các tỉ lệ thức sau
□ cVí dụ 11 Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể có được từ 4 số−25;−2;4;50.
Từ đó ta có thể viết được các tỉ lệ thức sau
□ cVí dụ 12 Cho sáu số 1;2;3; 4; 41
Hãy chọn bốn số từ sáu số đã cho để tạo thành một tỉ lệ thức Mỗi bộ bốn số cần được sắp xếp sao cho có thể thiết lập được một tỉ lệ thức hợp lệ.
Ta có thể lập được tất cả các bộ bốn số mà mỗi bộ bốn số này có thể lập thành một tỉ lệ thức Đó là
Để tìm tất cả các tỉ lệ thức từ tập hợp A = {4; 8; 16; 32; 64}, ta cần chọn 4 số khác nhau từ tập hợp này Các tỉ lệ thức có thể được xác định bằng cách xét các tổ hợp của 4 số trong A, đảm bảo rằng mỗi tỉ lệ thức đều có dạng a:b:c:d, với a, b, c, d là các số trong A Việc liệt kê tất cả các tỉ lệ thức sẽ giúp hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các số trong tập hợp.
Có 5 nhóm gồm4 số thuộc Alà {4; 8; 16; 32},{8; 16; 32; 64},{4; 8; 32; 64},{4; 16; 32; 64},{4; 8; 16; 64}.
○ Với bốn số {4; 8; 16; 32} ta cú8ã16 = 4ã32 Từ đú được 4tỉ lệ thức
○ Với bốn số {8; 16; 32; 64} ta cú 8ã64 = 16ã32 Từ đú được 4 tỉ lệ thức
○ Với bốn số {4; 8; 32; 64} ta cú4ã64 = 8ã32 Từ đú được 4tỉ lệ thức
○ Với các nhóm 4 số{4; 16; 32; 64} và{4; 8; 16; 64} không thành lập được tỉ lệ thức nào.
□ cVớ dụ 14 Lập tất cả cỏc tỉ lệ thức cú thể được từ đẳng thức3ã4 = 2ã6.
Các tỉ lệ thức là 3
2 □ cVí dụ 15 Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ tỉ lệ thức −4
5 82 5 82 cVớ dụ 16 Lập tất cả cỏc tỉ lệ thức cú thể thu được từ đẳng thức:18ã(−20) = (−8)ã45.
□ cVớ dụ 17 Lập tất cả cỏc tỉ lệ thức cú thể thu được từ đẳng thức:(−10)ã20 = (−25)ã8.
Chứng minh tỉ lệ thức
cVí dụ 18 Cho tỉ lệ thức a a+b = c c+d Chứng minh rằng a b = c d (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
Ta có a a+b = c c+d ⇒a(c+d) =c(a+b)⇒ac+ad+bc.
Vậyad, suy ra a b = c d □ cVí dụ 19 Cho tỉ lệ thức a b = c d Chứng minh rằng a+b a−b = c+d c−d (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
Ta đặt a b = c d=k Suy raa=kb;c=kd Khi đó a+b a−b = kb+b kb−b = b(k+ 1) b(k−1)= k+ 1 k−1 (1) c+d c−d = kd+d kd−d = d(k+ 1) d(k−1) = k+ 1 k−1 (2)
Các bài toán thực tế sử dụng tỉ lệ thức
Gọix(cm)là chiều dài của lá cờ Phương và các bạn dự định làm.
Ta có tỉ lệ thức 14 x = 2
Chiều dài của lá cờ là 21 cm Để gói 10 chiếc bánh chưng, bà Nam cần 5 kg gạo nếp Nếu bà muốn gói 45 chiếc bánh chưng để gửi cho người dân vùng lũ, bà cần tính toán số kilôgam gạo nếp cần thiết.
Gọixlà số kg gạo nếp để làm45 chiếc bánh chưng.
Ta có tỉ lệ thức: x
Để làm 45 chiếc bánh, cần sử dụng 22,5 kg gạo nếp Theo công thức, với mỗi 100 gram bột bánh, cần 15 gram nho khô.
36 gam nho khô thì cần bao nhiêu gam bột bánh để làm loại bánh đó?
Gọixlà số gam bột bánh cần dùng để làm với35 gam nho khô.
Ta có tỉ lệ thức: x
Để làm 12 kg mứt Tết, bác Nam cần 2 kg đường Nếu bác muốn làm 15 kg mứt Tết cùng loại, thì cần tính toán lượng đường cần thiết cho 15 kg.
Gọixlà số kg đường cần dùng để làm15 kg mứt tết.
Ta có tỉ lệ thức: x
Để làm 15 kg mứt Tết, cần 2,5 kg đường Nếu 15 thợ may hoàn thành một đơn hàng trong 20 ngày, để hoàn thành đơn hàng đó trong 12 ngày, cần tính số thợ may cần thiết, với giả định năng suất của các thợ may là như nhau.
Gọixlà số người thợ may cần có để hoàn thành đơn hàng trong 12 ngày.
Ta có tỉ lệ thức: x
Để hoàn thành đơn hàng trong 12 ngày, cần 25 thợ may Nếu muốn sửa xong một đoạn đường trong 5 ngày, trong khi 8 công nhân có thể hoàn thành công việc trong 10 ngày, thì cần tính toán số lượng công nhân cần thiết để đảm bảo tiến độ.
Gọixlà số người công nhân cần có để sửa xong đoạn đường đó trong 5 ngày.
Ta có tỉ lệ thức: x
Vậy cần16 người công nhân để sửa xong đoạn đường đó trong 5ngày □
C BÀI TẬP VẬN DỤNG cBài 1 Thay tỉ số sau đây bằng tỉ số giữa các số nguyên:
□ cBài 2 Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ sau bằng tỉ số giữa các số nguyên:
□ cBài 3 Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ sau bằng tỉ số giữa các số nguyên:
□ cBài 4 Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập tỉ lệ thức:
Vậy tỉ lệ thức là (−21)
1 ã □ cBài 5 Tìmx trong các tỉ lệ thức sau x
□ cBài 6 Tìmx trong các tỉ lệ thức sau: x
□ cBài 7 Tìm số hữu tỉx trong các tỉ lệ thức sau: x: 41
Lời giải. Áp dụng tính chất nhân chéo, ta có: a) x Å
9 82 9 82 cBài 8 Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể thu được từ đẳng thức:
□ cBài 9 Cho tỉ lệ thức 8
4,5 (1) Hãy hoán vị tỉ lệ thức này để được ba tỉ lệ thức khác.
□ cBài 10 Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được
Từ bốn số 3;4;15;20. a) b) Từ bốn trong năm số 2;3;5;6;9.
Lời giải. a) Ta cú3ã20 = 4ã15, suy ra
□ cBài 11 Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập thành một tỉ lệ thức:
Ta có các tỉ lệ thức 15
281281 □ cBài 12 Cho tập hợp các sốA ={3; 9; 27; 81; 243} Hãy liệt kê tất cả các tỉ lệ thức mà các số hạng của nó là bốn số khác nhau trong tập hợp A.
Có tất cả5 nhóm gồm 4số thuộc tập hợp A
○ Với 4số thuộc tập hợp {3; 9; 27; 81}, ta cú đẳng thức3ã81 = 9ã27 Từ đú ta được4 tỉ lệ thức
○ Với 4số thuộc tập hợp {3; 9; 81; 243}, ta cú đẳng thức3ã243 = 9ã81 Từ đú ta được 4tỉ lệ thức
○ Với 4số thuộc tập hợp {9; 27; 81; 243}, ta cú đẳng thức9ã243 = 27ã81 Từ đú ta được 4 tỉ lệ thức
○ Với 4số thuộc tập hợp {3; 9; 27; 243}và {3; 27; 81; 243} thì không thiết lập được tỉ lệ thức nào.
□ cBài 13 Cách giải sau đúng hay sai? Giải thích/ a) Bốn số 1,05 : 1,47; 42; 30 lập thành một tỉ lệ thức vì nếu sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần 1,05 0nên ta sẽ chứng minh k= 1, từ đó suy raa=b=c, bằng các cách sau:
Cách 4: Phương pháp so sánh.
Cóa, b, c >0 nên nếu a < b⇒ a b c > a(vô lí).
Vậya=b, suy raa=b=c □ cCâu 14 Cho tỉ lệ thức ab a+b = bc b+c Chứng minh tỉ lệ thức a b = b c với giả thiết c̸= 0.
Giả sử \( c \neq 0 \) và \( a, b, c \) là các số có hai chữ số với \( n, b, c > 0 \) Bằng cách hoán vị các trung tỉ và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có công thức \( \frac{ab}{bc} = \frac{a+b}{b+c} = \frac{ab-(a+b)}{bc-(b+c)} = 9a \).
Để chứng minh rằng (a;d) là ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên a và d, trước tiên cần xác định các số tự nhiên a, b, c và d khác 0 Kí hiệu (x;y) biểu thị ước chung lớn nhất và [x;y] là bội chung nhỏ nhất của hai số x và y Việc tìm hiểu mối quan hệ giữa các số này là cần thiết để khẳng định tính chất của (a;d).
Sử dụng tớnh chất của hai số tự nhiờn khỏc0 là(x;y)ã[x;y] =xãy, ta cú:
[a;d] □ cCâu 16 Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác0 Biếtablà số nguyên tố và ab bc = b c Tìm số abc.
Cóa, b, c >0, tương tự ví dụ 14, ta có a b = b c nên ac=b 2 Biếtablà một số nguyên tố có hai chữ số nên b∈ {1; 3; 7; 9}.
Doac=b 2 , ta xét từng trường hợp xảy ra:
○ b= 1⇒aãc= 1 vàa, c là cỏc chữ số ⇒a=c= 1 (loại, doa=ctrỏi đề bài).
○ b= 3⇒aãc= 9 = 1ã9 (doa̸=c)⇒ab= 13 do93 khụng là số nguyờn tố.
○ b= 7 vàb= 9 đều bị loại do dẫn đếna=c.
Vậyabc= 139 □ cCâu 17 Cho tỉ lệ thức abc a+bc = bca b+ca, chứng minh tỉ lệ thức a bc = b ca.
Ta có: abc a+bc = bca b+ca
⇔ a b = a+bc b+ca = a+bc−a b+ca−b = bc ca
□ cCâu 18 Cho dãy tỉ số ab+bc a+b = bc+ca b+c = ca+ab c+a , chứng minh rằnga=b=c.
Ta có: ab+bc a+b = bc+ca b+c = ca+ab c+a = 10a+b+ 10b+c+ 10b+c+ 10c+a+ 10c+a+ 10a+b a+b+b+c+a+b
Do đóa=b=c □ cCâu 19 Cho tỉ lệ thức ab bc = a c, chứng minh rằng a bbb b
| {z } n c = a c vớin là số tự nhiên.
| {z } n c do 9k= 10 n −1 □ cCâu 20 Tính giá trị củak, viết rằng: k= ab abc = bc bca = ca cab. a) k= abc ab+c = bca bc+a = cab ca+b. b)
Doab,bc,ca vàabc,bca,cab là các số có hai và ba chữ số nêna, b, c >0, suy ra a+b+c̸= 0.
Vìa+b+c̸= 0 nên áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
33 82 33 82 a) k= ab abc = bc bca = ca cab = ab+bc+ca abc+bca+cab = 11(a+b+c)
111. b) k= abc ab+c = bca bc+a = cab ca+b = abc+bca+cab ab+c+bc+a+ca+b = 111(a+b+c)
ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN
Đại lượng tỉ lệ thuận
Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a (với a khác 0) khi có mối quan hệ y = ax Điều này cũng có nghĩa là đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ 1/a, do đó, x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.
Tính chất
Nếu đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x thì:
○ Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (và bằng hệ số tỉ lệ): y1 x1
○ Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia: y1 y2
Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận
Để giải bài toán liên quan đến đại lượng tỉ lệ thuận, trước tiên cần nhận diện hai đại lượng tỉ lệ thuận trong đề bài Sau đó, ta có thể thiết lập các tỉ số bằng nhau và áp dụng tính chất của dãy tỉ số này để xác định các yếu tố chưa biết.
BB A CÁC DẠNG BÀI TẬP
Nhận biết đại lượng tỉ lệ thuận
cVí dụ 1 Theo bảng giá trị dưới đây, hai đại lượngx vày có phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận không? x 3 −4 8 −7 y 15 −20 40 −35 a) x 2 −3 7 −7 y 6 9 21 −21 b)
Lời giải. a) x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. b) x và y không phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
□ cVí dụ 2 Theo bảng giá trị dưới đây, hai đại lượngavà bcó phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận không? a 10 −20 25 −30 b 2 −4 5 −5 a) a 8 −4 12 −14 b 4 −2 6 7 b)
Lời giải. a) a vàbkhông phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận. b) a vàbkhông phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
□ cVí dụ 3 Các giá trị tương ứng củay vàx được cho trong bảng sau: x 2 5 8 15 y 14 35 56 105
Hỏi hai đại lượng y vàx có tỉ lệ thuận với nhau không?
15 = 7 Vậy hai đại lượng y vàx tỉ lệ thuận với nhau □ cVí dụ 4 Các giá trị tương ứng củay vàx được cho trong bảng sau: x 3 4 5 6 y −12 −16 20 24
Hỏi hai đại lượng y vàx có tỉ lệ thuận với nhau không?
Hai đại lượng y và x không tỉ lệ thuận với nhau Ví dụ, trong bảng dưới đây, các giá trị tương ứng của y và x được trình bày: khi x bằng 2, 4, 5, 7 thì y lần lượt là -3, -6, -7,5 và -10,5 Cần xem xét các khẳng định liên quan để xác định tính đúng sai của chúng.
(A) Đại lượngy tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ−3
(B) Đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ 2
2 Vậy hai đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ −3
2 Do đó khẳng định (A) đúng.
○ Theo chứng minh trên, hai đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượngx theo hệ số tỉ lệ−3
2 Do đó đại lượngxtỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ −2
3. Vậy khẳng định (B) sai về hệ số tỉ lệ.
Để giải bài toán, ta biết rằng x tỉ lệ thuận với y với hệ số tỉ lệ 3, tức là x = 3y Đồng thời, y tỉ lệ thuận với z với hệ số tỉ lệ -4, tức là y = -4z Để tìm mối quan hệ giữa x và z, ta thay y trong phương trình đầu tiên bằng biểu thức từ phương trình thứ hai Kết quả là x = 3(-4z) = -12z Do đó, x tỉ lệ thuận với z và hệ số tỉ lệ là -12.
Ta cóxtỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ 3 nên x= 3y; y tỉ lệ thuận vớiz theo hệ số tỉ lệ −4nên y=−4z.
Suy rax = -12z cho thấy x tỉ lệ thuận với z với hệ số tỉ lệ là -12 Ví dụ 7 nêu rõ m tỉ lệ thuận với n với hệ số tỉ lệ 5, trong khi n tỉ lệ thuận với p với hệ số tỉ lệ 2 Câu hỏi đặt ra là liệu m có tỉ lệ thuận với p hay không, và nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu.
Lời giải. mtỉ lệ thuận với p theo hệ số tỉ lệ là10 □
Tìm giá trị của một đại lượng tỉ lệ thuận khi biết giá trị của đại lượng kia
cVí dụ 8 Cho biếty và xlà hai đại lượng tỉ lệ thuận Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau: x x1 =−4 x2 =−1 x3 = 2 y y 1 = 20 y 4 = 2
Vìx vày là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên k= y 1 x1
−5 = 3 Vậy bảng được điền như sau x x1 =−4 x2 =−1 x3 = 2 x4 = 3 y y 1 = 20 y 2 = 5 y 3 =−10 y 4 = 2
□ cVí dụ 9 Cho biếtx vày là hai đại lượng tỉ lệ thuận Điền số thích hợp vào bảng sau: x 2 3 7 y −4 −10 12 −2
Viết công thức mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng x vày.
Mối quan hệ giữa hai đại lượng x và y được mô tả bằng công thức y = -2x, cho thấy y tỉ lệ nghịch với x Ví dụ 10 yêu cầu điền số thích hợp vào bảng với các giá trị của x và y, trong đó x có các giá trị -3, -4, và 2, tương ứng với y là -12, 16, và -20, 24.
Viết công thức mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng x vày.
Mối quan hệ giữa hai đại lượng x và y được mô tả bằng công thức y = 4x Trong trường hợp cụ thể, nếu đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x với hệ số tỉ lệ k = -2, thì có thể biểu diễn mối quan hệ này bằng phương trình y = -2x.
5 Cặp giá trị nào dưới đây là cặp giá trị tương ứng của hai đại lượng nói trên: x=−4;y= 10; a) b) x= 10;y=−4;
Vìy tỉ lệ thuận với xtheo hệ số tỉ lệ −2
5 ã(−4) = 1,6̸= 10 Vậy cặp giỏ trịx =−4; y= 10 khụng phải là cặp giỏ trị tương ứng của hai đại lượng nói trên. b) Khix= 10thìy=−2
5ã10 =−4 Vậy cặp giỏ trịx= 10;y =−4là cặp giỏ trị tương ứng của hai đại lượng nói trên.
□ cVí dụ 12 Cho biết hai đại lượng y vàx tỉ lệ thuận với nhau Nếux= 5 thìy=−4 Hai đại lượngy vàx liên hệ với nhau theo công thức nào?
Vì y và x tỉ lệ thuận với nhau nên k = y x = −4
5 Do đó hai đại lượng y và x liên hệ với nhau bởi công thức y=−4
Giải bài toán thực tế về hai đại lượng tỉ lệ thuận
cVí dụ 13 Cứ xay xát 50 kg thóc thì được 36 kg gạo Hỏi nếu xay xát 175 kg thóc thì được bao nhiêu ki-lô-gam gạo?
Khối lượng thóc Khối lượng gạo
Khi xay xát thì khối lượng gạo tỉ lệ thuận với khối lượng xay xát.
Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận ta có 50
Vậy nếu xay xát175 kg thóc thì được 126 kg □ cVí dụ 14 Mua 6 gói kẹo thì hết45000đồng Khi đó với60000 đồng thì mua được mấy gói kẹo như thế?
Số tiền Số gói kẹo
Số tiền và số gói kẹo mua được là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận ta có 45000
Vậy với60000đồng thì mua được 8gói kẹo □ cVí dụ 15 Một ô tô chạy quãng đường225 kmtrong4,5giờ Với vận tốc đó xe chạy150 kmtrong bao lâu?
Với cùng một vận tốc thì quãng đường và thời gian xe chạy là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận ta có 225
Vậy xe chạy150 kmhết3 giờ □ cVí dụ 16 Hai bình nước cùng có dạng hình trụ với đáy là những hình tròn bằng nhau Chiều cao của cốc nhỏ bằng 2
3 chiều cao của cốc to và dung tích cốc nhỏ bé hơn dung tích cốc lớn là150ml Tính dung tích của mỗi cốc.
Vì hai cốc nước cùng có dạng hình trụ với đáy là những hình tròn bằng nhau và chiều cao của cốc nhỏ bằng 2
3 chiều cao của cốc to nên dung tích cốc nhỏ bằng 2
Cốc nhỏ có dung tích 300ml và cốc to có dung tích 450ml Hai bức tranh hình chữ nhật có chiều rộng bằng nhau, nhưng chiều dài bức tranh lớn gấp 3 lần chiều dài bức tranh nhỏ Để sơn toàn bộ bề mặt bức tranh nhỏ cần 250ml sơn, do đó lượng sơn cần để sơn bức tranh lớn sẽ gấp 3 lần, tức là 750ml.
Để sơn toàn bộ bề mặt của bức tranh lớn, cần 750ml sơn Một tỷ phú chia tài sản trị giá 10,5 tỷ đồng cho ba người con theo tỷ lệ 6:7:8 Câu hỏi đặt ra là mỗi người con sẽ nhận được bao nhiêu tiền.
Gọix;y;z (tỉ đồng) lần lượt là số tiên mỗi người con được chia.
Theo đề bài ta cóx+y+z= 10,5 và x
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có x
Mỗi người con được chia số tiền lần lượt là 3 tỷ đồng, 3,5 tỷ đồng và 4 tỷ đồng Ví dụ, bác An chia 84 chiếc bút chì vào ba hộp có kích cỡ nhỏ, trung bình và lớn, với số bút chì trong mỗi hộp tương ứng theo tỷ lệ 1:2:4 Cần tính toán số bút chì có trong từng hộp.
Số bút chì có trong các hộp nhỏ, trung bình và lớn lần lượt là12bút, 24 bút và48 bút □
Chia một số M thành những phần x, y, z tỉ lệ thuận với các số a, b, c cho trước
cVí dụ 20 Chia số850thành ba phần tỉ lệ thuận với 3,5,9.
Gọi ba phần cần tìm lần lượtx,y và z Do giả thiết ta có x+y+z= 850 (*) Theo đề bài ta có x
9. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra x
Vậy ba phần cần tìm là150,250và450 □ cVí dụ 21 Số đo các góc A,b B,“ C“của△ABC tỉ lệ thuận với2,3,4 Hãy tính số đo mỗi góc của tam giác đó.
Theo đề bài ta có Ab
4. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra Ab
Trong tam giác △ABC, các góc có số đo lần lượt là Ab = 40°, B“ = 60° và C“ = 80° Ví dụ 22 cho thấy độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ thuận với 4, 7, 9, trong đó cạnh nhỏ nhất là 20 cm Từ đó, ta có thể tính độ dài của cạnh lớn nhất.
Gọi độ dài các cạnh của tam giác lần lượtx (cm),y (cm),z (cm)vớix < y < z.
Theo đề bài ta có x
Do giả thiếtx= 20 (cm)nên x
Chiều dài cạnh lớn nhất của hình chữ nhật là 45 cm Trong ví dụ 23, chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật có tỉ lệ 5:3, với chu vi là 144 cm Từ thông tin này, ta có thể tính diện tích của hình chữ nhật.
Gọi chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật lần lượtx (m),y (m),x≥y.
Theo đề bài ta có x
3 và2 (x+y) = 144⇒x+y= 72 (m) (*) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có x
Vậy chiều dài là45 m, chiều rộng là27 m.
Do đú diện tớchS của hỡnh chữ nhật làS= 45ã27 = 1215 m 2
C BÀI TẬP VẬN DỤNG cBài 1 Cho biếtavàb là hai đại lượng tỉ lệ thuận Điền số thích hợp vào bảng sau: a 9 12 −27 b −3 5 −6 −9
Viết công thức mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng avà b.
Công thức:a=−3b □ cBài 2 Theo bảng giá trị dưới đây, hai đại lượngx vày có phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận không? x 4 −6 8 −2 y 6 −9 12 −3 a) x 4 −8 −12 24 y 1 −2 3 6 b)
Lời giải. a) x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
41 82 41 82 b) x và y không phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
□ cBài 3 Cho biếty vàx là hai đại lượng tỉ lệ thuận Hãy điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau: x 3 6 9 y 2 8
Vìx vày là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên k= y x = 2
Vậy bảng được điền như sau x 3 6 9 12 y 2 4 6 8
□ cBài 4 Các giá trị tương ứng của hai đại lượngy vàx được cho trong các bảng sau: x 1 2 3 4 y 2,5 5 7,5 −10 a) x −2 −1 1 3 y 8 4 −4 −12 b)
Hỏi hai đại lượng y vàx có tỉ lệ thuận không?
Do đó hai đại lượng y và x không tỉ lệ thuận với nhau. b) Ta có y x = 8
Do đó hai đại lượng y và x tỉ lệ thuận với nhau.
□ cBài 5 Cho các giá trị tương ứng củaxvà y trong bảng dưới.
Trong bảng II, các đại lượng x và y được kiểm tra để xác định xem chúng có tỉ lệ thuận với nhau hay không Để xác định mối quan hệ này, chúng ta cần tính toán và so sánh các giá trị của x và y Nếu x và y tỉ lệ thuận, chúng ta sẽ tìm ra hệ số tỉ lệ và viết công thức biểu thức thể hiện sự tương quan giữa chúng.
Vậy các đại lượng y và xtỉ lệ thuận với nhau. b) ta có y x = 5,2 0,65 = 8⇒y= 8x và hệ số tỉ lệ là8.
Nếu tất cả các tỉ số giá trị tương ứng củax vày đều bằng nhau thì hai đại lượngx vày tỉ lệ thuận với nhau. Bảng II.
3 Tìm giá trị tương ứng của y vớix, có thể dung1trong 2 tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Tìm giá trị củay tương ứng với x= 2.
3 Tương tự với các ô trống còn lại, ta có bảng sau x 1 2 3 4 5 y −2
Trong bài 7, chúng ta có hai đại lượng tỉ lệ thuận là x và y, với x1 = -1 và x2 = -3 Gọi y1 và y2 là hai giá trị tương ứng của đại lượng y, có mối quan hệ y1 - y2 = -2 Cần tìm các giá trị y1 và y2, đồng thời xác định công thức liên hệ giữa x và y.
Lời giải. a) Biết xvà y là hai đại lượng tỉ lệ thuận, suy ra y=kx (k̸= 0).
Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận,ta có y1
43 82 43 82 b) Vậy hai đại lượngx vày liờn hệ với nhau theo cụng thức y= (−1)ãx=−x.
Trong 30 kg thóc, số ki-lô-gam chất bột có trong đó là 24 kg, vì gạo từ 100 kg thóc cho 65 kg gạo và chất bột trong gạo chiếm 80% Để sản xuất 14,3 kg bún tươi, cần khoảng 6,5 kg thóc, bởi vì từ 1 kg gạo có thể chế biến thành 2,2 kg bún tươi.
Lời giải. a) Vì100kg thóc được65 kg gạo, suy ra tương quan giữa hai đại lượng thóc và gạo là tỉ lệ thuận.
Tiêu chuẩn (kg) Hiện thực (kg)
Theo tính chất đại lượng tỉ lệ thuận, ta có 30 x = 100
Chất bột chứa trong gạo là 80%, suy ra tương quan giữa hai đại lượng gạo và chất bột là tương quan tỉ lệ thuận.
Tiêu chuẩn (kg) Hiện thực (kg)
Theo tính chất đại lượng tỉ lệ thuận, ta có
Vậy trong 30 kg thóc có15,6kg chất bột. b) Từ1kg gạo làm được 2,2kg bún tươi, suy ra tương quan giữa gạo và bún tươi tỉ lệ thuận.
Gọi khối lượng gạo cần là x, ta có x
Gọi khối lượng thóc phải có là y, ta có y
Vậy để sản xuất ra 14,3kg bún tươi cần có 10 kg thóc.
Trong bài toán này, đội một gồm 35 người có khả năng đào 864m³ đất trong 16 ngày Để tính toán, ta cần xác định năng suất lao động của mỗi người trong đội Với 20 người của đội hai làm trong 14 ngày, chúng ta sẽ tìm ra khối lượng đất mà họ có thể đào dựa trên năng suất lao động tương đương.
Một người đào đất trong một ngày được tính là1công lao động.
Số đất đào được tỉ lệ thuận với số công thực hiện, với năng suất lao động được coi là hằng số Điều này có nghĩa là khi số công tăng, số đất đào được cũng tăng theo.
Số đất đào được (m 3 ) Số công lao động Đội một 864 560 = 35ã16 Đội hai x 280 = 20ã14
Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta có
Đội hai gồm 20 người, mỗi người làm việc trong 14 ngày đã đào được 432m³ đất Biết rằng 78 người có thể hoàn thành một công việc trong 65 ngày, câu hỏi đặt ra là: a) Nếu năng suất lao động của mỗi người giống nhau, cần thêm bao nhiêu người để hoàn thành công việc trong 39 ngày? b) Nếu cải tiến công cụ để tăng năng suất lao động thêm 20%, cần giảm bao nhiêu người vẫn đảm bảo hoàn thành công việc trong 65 ngày?
Lời giải. a) Cùng một công việc thì số người và số ngày làm việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Ta có
Số người Số ngày làm việc
Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có
Để hoàn thành công việc trong 39 ngày, cần 130 người, do đó số người cần thêm là 52 (130 - 78 = 52) Khi giữ nguyên công việc và thời gian làm việc, năng suất lao động và số người có mối quan hệ tỉ lệ nghịch.
Năng suất lao động (%) Số người
Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có
Khi cải tiến công cụ để năng suất lao động tăng thêm 20% thì cần 65 người vẫn hoàn thành công việc mà
□ Trong bài toán này con số 65 ngày chỉ để minh họa cho số ngày là một số không đổi. cBài 11 Cà phê hạ giá231
7% Với số tiền trước đây mua được53,8kg cà phê thì nay mua được bao nhiêu kg cà phê hạ giá?
Theo đề bài ta có số tiền không đổi.
Mà số hàng×giá hàng=số tiền (hằng số) nên số hàng và giá hàng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau Ta có
Số hàng (kg) Giá hàng (%)
7 Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có
Với số tiền trước đây có thể mua 53,8kg cà phê, hiện tại có thể mua 70kg cà phê với giá hạ Để truyền động, người ta sử dụng dây cu-roa, xích hoặc bánh xe có răng Trong một bộ máy truyền động có hai bánh răng khớp nhau, nếu bánh xe thứ nhất có 65 răng và quay 36 vòng/phút, thì bánh xe thứ hai có 45 răng sẽ quay được bao nhiêu vòng/phút? Nếu muốn bánh xe thứ hai quay 78 vòng/phút, bánh xe thứ nhất cần thiết kế có bao nhiêu răng?
Trong quá trình chuyển động, hai bánh xe răng khớp vào nhau, dẫn đến mối quan hệ tỉ lệ nghịch giữa số răng và số vòng quay của bánh xe.
Số răng bánh xe Số vòng quay
Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có
Vậy số vòng quay của bánh xe thứ hai là 52vòng/phút. b) Tương tự ta có bánh xe thứ hai cần thiết kế có30 răng.
Trong bài 13, chúng ta biết rằng x tỉ lệ thuận với y với hệ số tỉ lệ 6, và y tỉ lệ thuận với z với hệ số tỉ lệ 7 Vậy câu hỏi đặt ra là x có tỉ lệ thuận với z hay không? Nếu có, hệ số tỉ lệ của x đối với z sẽ là bao nhiêu?
Trong bài toán này, tỉ lệ giữa x và z được xác định bởi hệ số tỉ lệ là 42 Bài 14 đề cập đến hai bình nước hình hộp chữ nhật có chiều dài và chiều rộng bằng nhau Thể tích của bình nhỏ là 500ml và bình lớn là 1 lít Biết chiều cao của bình lớn là 40 cm, chúng ta cần tính chiều cao của bình nhỏ.
Chiều cao của bình nhỏ là 20 cm Bạn Nhi chia 6,3 kg gạo vào ba túi với tỷ lệ 2:3:4 Tính khối lượng gạo trong mỗi túi dựa trên tỷ lệ này.
ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH
Đại lượng tỉ lệ nghịch
Nếu đại lượng ytỉ lệ nghịch với đại lượngx theo công thứcy= a x (alà hằng số khác0) thì ta nóiy tỉ lệ nghịch với xtheo hệ số tỉ lệ a.
Nếu y tỉ lệ nghịch với x với hệ số tỉ lệ a, thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo cùng hệ số a Điều này cho thấy hai đại lượng x và y có mối quan hệ tỉ lệ nghịch với nhau.
Nếu hai đại lượngx và y tỉ lệ nghịch với nhau thì:
○ Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (và bằng hệ số tỉ lệ): x 1 y 1 =x 2 y 2 =x 3 y 3 = .=ahay y 1
○ Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tì số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia: y1 y2
Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch
Để giải quyết bài toán liên quan đến đại lượng tỉ lệ nghịch, trước tiên cần xác định hai đại lượng tỉ lệ nghịch trong đề bài Sau đó, chúng ta có thể thiết lập các tỉ số bằng nhau và áp dụng tính chất của dãy tỉ số này để tìm ra các yếu tố chưa biết.
BB A CÁC DẠNG BÀI TẬP
Nhận biết đại lượng tỉ lệ nghịch
cVí dụ 1 Theo bảng giá trị dưới đây, hai đại lượngx vày có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? x 20 −10 4 2 y 3 −6 15 30 a) x 10 −4 50 −100 y 10 25 2 −1 b)
Lời giải. a) Đại lượng xvà y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. b) Đại lượng xvà y không phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
□ cVí dụ 2 Theo bảng giá trị dưới đây, hai đại lượngavà bcó phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? a 9 2 −3 −6 b 6 27 −18 −9 a) a 8 −4 16 32 b 4 −8 −2 1 b)
Lời giải. a) Đại lượng avàb là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. b) Đại lượng avàb không phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
□ cVí dụ 3 Các giá trị tương ứng của hai đại lượngy vàx được cho trong bảng sau: x 2 3 4 5 y 12 8 6 4,8 Hỏi hai đại lượng y vàx có tỉ lệ nghịch với nhau không?
Trong bài viết này, chúng ta thấy rằng hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau với hệ số tỉ lệ a = 24 Bảng dưới đây thể hiện các giá trị tương ứng của x và y: khi x = -2, y = -8; khi x = -1, y = -16; khi x = 4, y = 4; và khi x = 8, y = 2.
Hai đại lượngx và y có tỉ lệ nghịch với nhau hay không? Vì sao?
Thêm dòngxy vào bảng và điền các giá trị tương ứng cho nó ta được x −2 −1 4 8 y −8 −16 4 2 xy 16 16 16 16
Dựa vào kết quả trong bảng, ta kết luận rằng x và y có mối quan hệ tỉ lệ nghịch với nhau Ví dụ, các giá trị tương ứng của hai đại lượng y và x được thể hiện trong bảng sau: khi x lần lượt là -2, -3, 6, 9 thì y tương ứng là 27, 18, -8, 6.
Hỏi hai đại lượng y vàx có tỉ lệ nghịch với nhau không?
Ta cú6ã(−8) =−48̸= 9ã6 = 54 Vậy hai đại lượng y vàx khụng tỉ lệ nghịch với nhau □ cVí dụ 6 Bảng sau cho biết giá trị tương ứng củay vàx: x 2 3 4 6 y 6 4 3 2
Khi đó thì trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng, khẳng định nào sai?
55 82 55 82 a) Hai đại lượngy và x tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệa= 1
3. b) Hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệa= 12.
○ Ta cú xãy= 2ã6 = 3ã4 = 4ã3 = 6ã2 = 12 Vậy hai đại lượngy vàx tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ a= 12 Do đó khẳng định a)sai về hệ số tỉ lệ.
○ Theo chứng minh trên, hai đại lượng y vàx tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệa= 12 Do đó khẳng định b) đúng.
Trong bài toán này, chúng ta có hai tỷ lệ nghịch: x tỷ lệ nghịch với y theo hệ số tỷ lệ 20 và x tỷ lệ nghịch với z theo hệ số tỷ lệ 16 Để xác định mối quan hệ giữa y và z, ta cần tìm hiểu xem y có tỷ lệ thuận hay tỷ lệ nghịch với z và xác định hệ số tỷ lệ tương ứng.
Ta cóy tỉ lệ nghịch vớix theo hệ số ti lệ 20 nêny= 20 x ; xtỉ lệ nghịch với ztheo hệ số tỉ lệ 16 nên x= 16 z Suy ray= 20
4z, hay y tỉ lệ thuận vớiz theo hệ số tỉ lệ là 5
Trong bài toán này, chúng ta có hai tỉ lệ nghịch: x tỉ lệ nghịch với y với hệ số tỉ lệ là -10, và x cũng tỉ lệ nghịch với z với hệ số tỉ lệ là 15 Câu hỏi đặt ra là tỉ lệ giữa z và y là tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch, và hệ số tỉ lệ giữa chúng là bao nhiêu?
Ta cóy tỉ lệ nghịch vớix theo hệ số tỉ lệ −10 nên y= −10 x ; xtỉ lệ nghịch với ztheo hệ số tỉ lệ 15 nên x= 15 z Suy ray= −10
3 z, hayy tỉ lệ thuận vớiz theo hệ số tỉ lệ là −2
Tìm giá trị của một đại lượng tỉ lệ nghịch khi biết giá trị của đại lượng kia
cVí dụ 9 Cho biếtx vày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Điền số thích hợp vào bảng sau: x 3 1 −2 y −4 18 12 −1
Viết công thức mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng x vày.
Mối quan hệ giữa hai đại lượng x và y được mô tả bằng công thức y = -12x, cho thấy chúng tỉ lệ nghịch Ví dụ, khi a và b là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, chúng ta có thể điền số thích hợp vào bảng với các giá trị a: 6, 9, -4 và b: -6, 3, -2, 12.
Viết công thức mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng avà b.
Mối quan hệ giữa hai đại lượng a và b được mô tả bằng công thức b = -36a Ví dụ, nếu y và x là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, chúng ta có thể điền số thích hợp vào bảng với các giá trị x1 = 8, x2 = 6, y1 = -9 và y3 = 18.
Vỡx vày là hai đại lượng tỉ lệ nghịc nờna=x1ãy1 = 8ã(−9) =−72.
Vậy bảng được điền như sau x x 1 = 8 x 2 = 6 x 3 =−4 y y 1 =−9 y 2 =−12 y 3 = 18
□ cVí dụ 12 Cho biếtx vày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Điền các số thích hợp vào ô trống trong bảng sau x 0,5 −1,2 4 6 y 3 −2 1,5
Vìx vày tỉ lệ nghịch với nhau nên ta giả sửxy =k.
Dựa vào thông tin trong cột thứ 6, ta có k = 4ã1,5 = 6, từ đó suy ra xy = 6 hay y = 6x Khi thay y = 6x vào dòng 2 cột 1, chúng ta có thể điền các thông tin tương ứng vào các ô trống Kết quả là bảng sau: x: 0,5, -1,2, 2, -3, 4, 6; y = 6x: 12, -5, 3, -2, 1,5, 1.
□ cVí dụ 13 Cho x vày tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệk= 1
Hãy biểu diễny theox. a) Tính giá trị củay khi x=− 1
Lời giải. a) Vìx vày tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệk= 1
□ cVí dụ 14 Cho biết hai đại lượng xvà y tỉ lệ nghịch với nhau và khix= 8 thìy= 15.
Tìm hệ số tỉ lệk. a) b) Hãy biểu diễny theo x.
Tính giá trị củay khi x= 6,x= 10. c)
Giải bài toán, ta có \( cúxy = k \) với \( k = 120 \) Theo đó, \( x \) và \( y \) tỉ lệ nghịch với nhau, dẫn đến \( xy = 120 \) hay \( y = \frac{120}{x} \) Sử dụng bảng dưới đây, ta tính giá trị của \( y \) khi \( x \) lần lượt là 6, 10, 20 và 12.
Hai đại lượng y và x là tỉ lệ nghịch với nhau với hệ số tỉ lệ a = 6 Để xác định cặp giá trị tương ứng, ta cần kiểm tra các giá trị x và y Cặp giá trị x = 12 và y = 2 có thể được xem xét, nhưng cặp giá trị x = 9 và y = 2 cũng cần được phân tích để tìm ra mối quan hệ tỉ lệ nghịch chính xác.
Vìy tỉ lệ nghịch vớix theo hệ số tỉ lệ a= 6 nên y= 6 x. a) Khix = 12thì y= 6
2 ̸= 2 Vậy cặp giá trịx = 12; y= 2 không phải là cặp giá trị tương ứng của hai đại lượng nói trên. b) Khix= 9 thìy = 6
3 là cặp giá trị tương ứng của hai đại lượng nói trên.
□ cVí dụ 16 Cho biết hai đại lượng y vàx tỉ lệ nghịch với nhau Nếu x=−3thì y= 8 Hỏi hai đại lượngy và xliên hệ với nhau theo công thức nào?
Vỡy vàx tỉ lệ nghịch với nhau nờna=xãy= (−3)ã8 = −24 Do đú hai đại lượng y vàx liờn hệ với nhau bởi cụng thứcxãy=−24 hay y= −24 x □
Giải bài toán thực tế về hai đại lượng tỉ lệ nghịch
cVí dụ 17 Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 60 km/hthì hết 2,5 giờ Lúc từB về A xe chạy với vận tốc 50 km/h thì mất bao lâu?
Trên cùng một quãng đường, vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch ta có 60
Thời gian xe chạy từ B về A là 3 giờ Để hoàn thành một công việc trong 10 ngày với 12 người, nếu muốn hoàn thành sớm hơn 2 ngày, cần tính toán số lượng người cần điều động thêm để duy trì năng suất như nhau.
Số ngày làm Số người làm
Với cùng một công việc thì số ngày làm và số người làm là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch ta có 10
. Vậy số người cần điều động thêm là15−12 = 3 người
□ cVí dụ 19 Một ô tô chạy từAđếnB với vận tốc50 km/hrồi chạy từB vềA xe chạy với vận tốc40 km/h.
Cả đi lẫn về mất 4giờ30 phút Tính thời gian đi và thời gian về.
Trên cùng một quãng đường, vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch ta có 50
Do giả thiết ta cóx+y= 4,5 giờ
(*) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra x
Thời gian xe chạy từ A đến B là 2 giờ, trong khi thời gian từ B về A là 2,5 giờ Nếu giá mỗi kg gạo loại II bằng 60% giá mỗi kg gạo loại I, hãy tính xem với số tiền đủ để mua 12 kg gạo loại I, bạn có thể mua được bao nhiêu kg gạo loại II.
Gọialà giá tiền gạo loại I (a >0).
Tổng số tiền để mua gạo12a.
Vì giá gạo loại II bằng 60% loại I, nên số gạo loại II mua được với cùng số tiền là
Giá mỗi chai nước lớn cao hơn 25% so với giá mỗi chai nước nhỏ Với số tiền đủ để mua 8 chai nước lớn, bạn có thể tính toán số lượng chai nước nhỏ mà có thể mua được.
Gọialà giá tiền mỗi chai nước lớn (a >0).
Giá tiền của mỗi chai nước nhỏ là a
5 Tổng số tiền để mua nước8a.
Số chai nước loại nhỏ mua được với cùng số tiền là
Một ô tô di chuyển từ A đến B với vận tốc 60 km/h và quay về A với vận tốc 48 km/h Thời gian cho cả chuyến đi, không tính thời gian nghỉ, là 13 giờ 30 phút Tính độ dài quãng đường AB.
Giả sử ô tô đi từA đến B với vận tốc 60 km/h với thời gian làt 1 giờ và ô tô đi từ B về A với vận tốc48 km/h với thời gian làt 2 giờ.
Vì vận tốc và thời gian của một chuyển động đều trên cùng một quãng đường là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên
Theo giả thiết ta cót 1 +t 2 = 13giờ 30phút= 131
Khi đó, từ dãy tỉ số(1)ta được t1
Độ dài quãng đường AB là 360 km Có ba nhóm học sinh tham gia trồng cây, mỗi nhóm đều có n học sinh Nhóm I hoàn thành trong 3 ngày, nhóm II trong 5 ngày, và nhóm III trong 6 ngày Biết rằng nhóm II có nhiều hơn nhóm III 1 học sinh, hãy xác định số học sinh của mỗi nhóm, với năng suất trồng cây của mỗi học sinh là như nhau.
Giả sử số học sinh của nhóm I, nhóm II, nhóm III theo thứ tự làx,y,z.
○ Nhóm I với x học sinh hoàn thành công việc trong3 ngày.
○ Nhóm II với y học sinh hoàn thành công việc trong 5ngày.
○ Nhóm III vớiz học sinh hoàn thành công việc trong 6ngày.
Theo giả thiết ta cóy−z= 1.
Vì số học sinh và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nênx,y,z tỉ lệ với 1
Nhóm I có 10 học sinh, nhóm II có 6 học sinh và nhóm III có 5 học sinh Ba đội công nhân sửa ba đoạn đường có chiều dài bằng nhau: đội thứ nhất hoàn thành trong 3 ngày, đội thứ hai trong 4 ngày, và đội thứ ba trong 9 ngày Đội thứ hai có 5 công nhân nhiều hơn đội thứ ba Tính số công nhân của mỗi đội với năng suất làm việc của các công nhân là như nhau.
Gọix;y;z (công nhân) lần lượt là số người của mỗi đội công nhân. Điều kiện:x;y;z nguyên dương.
Theo đề bài ta cóy−z= 5.
Vì ba đội sửa ba đoạn đường có cùng chiêu dài nên:
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có x 1 3
Ba xe khởi hành cùng lúc để vận chuyển nguyên liệu từ kho đến phân xưởng với thời gian di chuyển lần lượt là 10 giờ, 15 giờ và 25 giờ Vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn xe thứ hai 5 km/h Số công nhân của mỗi đội lần lượt là 12 người, 9 người và 4 người Từ thông tin này, chúng ta có thể tính toán vận tốc của từng xe.
Gọix;y;z (km/h) lần lượt là vận tốc của mỗi xe. Điều kiện:x;y;z là số dương.
Theo đề bài ta cóx−y= 5.
Vì ba xe xuất phát cùng lúc và cùng tuyến đường nên:
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có x 1 10
Vận tốc của mỗi xe lần lượt là15 km/h,10 km/h và6 km/h □
Chia một số M thành những phần x, y, z tỉ lệ nghịch với các số a, b, c cho trước
cVí dụ 26 Chia số200thành ba phần tỉ lệ nghịch với 7,4,2.
Gọi ba phần cần tìm lần lượtx,y và z Do giả thiết ta có x+y+z= 200 (*) Theo đề bài ta cú7ãx= 4ãy = 2ãz⇒ x
. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra x
Vậy ba phần cần tìm là32,56 và 112.
Nhận xét Bài toán trên ta có thể giải bằng cách khác như sau:
Theo đề bài ta cú7ãx= 4ãy = 2ãz⇒ 7ãx
14. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra x
Do đó ta cóx= 32,y= 56vàz= 112.
□ cVí dụ 27 Chia số116thành ba phần tỉ lệ nghịch với 1
Gọi ba phần cần tìm lần lượtx,y và z Do giả thiết ta có x+y+z= 116 (*)
Theo đề bài ta có 1
. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra x
Ba người A, B, C đã mua tổng cộng 5,75 mét vải để may áo cùng cỡ Khổ vải mà A, B, C đã mua lần lượt là 0,8 m, 0,9 m và 1,2 m Cần xác định số mét vải mà mỗi người đã mua.
Gọi số mét vải mỗi ngườiA,B,C mua tương ứng là x(m),y (m),z (m).
Với cùng một cỡ áo như nhau thì chiều dài của mảnh vải tỉ lệ nghịch với khổ rộng của mảnh vải.
Theo đề bài ta cú0,8ãx= 0,9ãy= 1,2ãz⇒ 0,8ãx
6. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra x
VậyA mua 2,25 mvải,B mua 2 mvải,C mua1,5 mvải □
C BÀI TẬP VẬN DỤNG cBài 1 Biếty vàx là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Hãy điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau: x 2 3 4 y 18 −6
Vỡx vày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nờna=xãy nờn a= 2ã18 = 36.
Vậy bảng được điền như sau x 2 3 4 −6 y 18 12 9 −6
63 82 63 82 cBài 2 Cho biếtavàb là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Thay mỗi dấu “?” trong bảng sau bằng số thích hợp. a 15 10 −30 b −20 −6 60 −50
Viết công thức mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng avà b.
Mối quan hệ giữa hai đại lượng a và b được mô tả bằng công thức b = -300a Để xác định xem hai đại lượng x và y có phải là tỉ lệ nghịch hay không, ta cần xem xét bảng giá trị: khi x = -8, y = 8; x = 2, y = -32; x = -4, y = 16; và x = 1, y = -64 Ngoài ra, trong trường hợp khác, khi x = 4, y = 30; x = -8, y = -15; x = -12, y = 10; và x = 24, y = 5.
Lời giải. a) x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. b) x và y không phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
□ cBài 4 Các giá trị tương ứng của hai đại lượngyvàx được cho trong các bảng sau Hỏi hai đại lượngy và x có tỉ lệ nghịch không? x 2 −3 4 24 y −12 8 6 −1 a) x 1 2 4 −5 y 10 5 2,5 −2 b)
Do đó hai đại lượng y và x không tỉ lệ nghịch với nhau. b) Ta cúxãy= 1ã10 = 2ã5 = 4ã2,5 = (−5)ã(−2) = 10 Do đú hai đại lượng y vàx tỉ lệ nghịch với nhau.
□ cBài 5 Cho hai đại lượngx vày tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệk= 16.
Hãy biểu diễny theox. a) Tính giá trị củay khi x=−1
Lời giải. a) Vìx vày tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệk= 16nên xy= 16hay y= 16 x. b) Với x=−1
□ cBài 6 Cho biết hai đại lượngx vày tỉ lệ nghịch với nhau và khix= 2 thì y= 9. a) Tìm hệ số tỉ lệ k. b) Hãy biểu diễn y theox. c) Tính giá trị của y khi x=−2,x= 1,x= 3,x= 8.
Giải bài toán, ta có cúxy = k nờn k = 2ã9 = 18 Theo đó, x và y tỉ lệ nghịch với nhau với hệ số tỉ lệ k = 18, dẫn đến xy = 18 hay y = 18/x Sử dụng bảng dưới đây, ta tính giá trị của y theo các giá trị x = -2, 1, 3, 8, với kết quả tương ứng là y = 18, -9, 6, 9, 4.
□ cBài 7 Cho biết hai đại lượngx vày tỉ lệ nghịch với nhau và khix= 4 thì y= 9. a) Tìm hệ số tỉ lệ k. b) Hãy biểu diễn y theox. c) Tính giá trị của y khi x=−9,x=−6,x= 3,x= 12,x= 36.
Giải bài toán, ta có: a) Cúxy = k nờn k = 4ã9 = 36 b) Theo tỉ lệ nghịch, ta có xy = 36, từ đó suy ra y = 36/x c) Sử dụng bảng dưới đây để tính giá trị của y theo x: khi x = -9, -6, 3, 12, 36 thì y lần lượt là -4, -6, 12, 3, 1.
□ cBài 8 Cho biếtx vày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Điền các số thích hợp vào ô trống trong bảng sau x −20 −12 2 3 4 5 y −5 10
Vìx vày tỉ lệ nghịch với nhau nên ta giả sửxy =k.
Dựa vào thông tin trong cột thứ ba, ta có k = (-12) × (-5) = 60, từ đó suy ra xy = 60 hay y = 60/x Khi thay y = 60/x vào dòng 2 cột 1, ta có thể điền các thông tin tương ứng vào các ô trống, cụ thể như sau: bảng giá trị x là -20, -12, 2, 3, 4, 5, 6 và giá trị y tương ứng là 60/x, với các kết quả -3, -5, 30, 20, 15, 12, 10.
65 82 65 82 cBài 9 Cho biếtx vày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Điền các số thích hợp vào ô trống trong bảng sau x −9 −1 3 y −27 27
Vìx vày tỉ lệ nghịch với nhau nên ta giả sửxy =k.
Dựa vào thông tin trong cột thứ ba, ta có k = (-1) × (-27) = 27, từ đó suy ra xy = 27 hay y = 27/x Khi thay y = 27/x vào dòng 2 cột 1, ta có thể điền các thông tin tương ứng vào các ô trống, cụ thể như sau: bảng x có các giá trị -9, -1, 1, 3, và y tương ứng là -3, -27, 27, 9.
□ cBài 10 Các giá trị tương ứng củax vày được cho trong bảng sau x 2 3 5 6 y 15 10 6 5
Hai đại lượngx và y có tỉ lệ nghịch với nhau hay không? Vì sao?
Thêm dòngxy vào bảng và điền các giá trị tương ứng cho nó ta được x 2 3 5 6 y 15 10 6 5 xy 30 30 30 30
Từ bảng kết quả, ta rút ra kết luận rằng x và y có tỉ lệ nghịch với nhau Bài 11 yêu cầu xác định tỉ lệ nghịch của y với x theo hệ số tỉ lệ 7, và x tỉ lệ nghịch với z theo hệ số tỉ lệ -5 Cần xác định xem y có tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với z, cũng như tìm ra hệ số tỉ lệ tương ứng.
Thể tích chai lớn gấp 140% thể tích chai nhỏ Với cùng một lượng nước, nếu làm đầy 20 chai nước lớn, ta có thể tính được số chai nước nhỏ có thể được làm đầy.
Với cùng một lượng nước, 20 chai nước lớn có thể được thay thế bằng 28 chai nước nhỏ Trong bài toán, ba nhóm thợ may cùng sản xuất một số lượng áo giống nhau, trong đó nhóm thứ nhất hoàn thành trong 10 giờ, nhóm thứ hai trong 12 giờ và nhóm thứ ba trong 20 giờ Đặc biệt, nhóm thứ ba có ít hơn nhóm thứ nhất 3 người Từ đó, ta cần tính số lượng thợ may của mỗi nhóm, với giả định rằng năng suất của các thợ may là như nhau.
Mỗi nhóm thợ may có số lượng lần lượt là 6, 5 và 3 người Bài toán yêu cầu tìm số gói bánh trong mỗi hộp, với bốn hộp bánh có giá bằng nhau và tổng cộng 34 gói bánh Giá mỗi gói bánh trong các hộp lần lượt là 3000 đồng, 6000 đồng, 8000 đồng và 12000 đồng.
Mỗi hộp bánh chứa 16, 8, 6 và 4 gói Trong bài toán, 20 công nhân hoàn thành công việc trong 6 giờ Nếu thêm 4 công nhân, thời gian hoàn thành công việc sẽ giảm xuống bao nhiêu giờ?
Gọix giờ là thời gian là xong công việc khi thêm 4công nhân.
Trong cùng một công việc nên số lượng công nhân và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch ta có 20
. Vậy thời gian sẽ làm xong sớm hơn là6−5 = 1 giờ
□ cBài 16 Chia số7567thài ba phần tỉ lệ nghịch với:
Lời giải. a) Gọi ba phần cần tìm lần lượtx,y và z Do giả thiết ta có x+y+z= 7567 (∗).
Theo đề bài ta cú 4ãx= 7ãy = 6ãz⇒ 4ãx
14. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra x
Vậy ba phần cần tìm là 3381,1932và2254. b) Gọi ba phần cần tìm lần lượtx,y và z Do giả thiết ta có x+y+z= 7567 (∗).
Theo đề bài ta có 2
80. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra x
Vậy ba phần cần tìm là 2115,1692và3760.
□ cBài 17 Một một ô tô đi từ Ađến B với vận tốc ô tô là50 km/h Lúc đi từB vềA xe chạy với vận tốc là
60 km/h Biết thời gian về ít hơn thời gian đi là 30phút Tính thời gian đi và thời gian về.
,y giờ lần lượt là thời gian ô tô đi từA đến B và ngược lại.
Do giả thiết ta cóx−y= 0,5 giờ
Vì trong cùng một quãng đường thời gian và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch ta có 50
50. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra x
Gọi vận tốc và thời gian xe tải đi trên ba chặng đường lần lượt làv1, v2, v3, t1, t2, t3.
Vì ba chặng đường dài bằng nhau nên cùng quãng đường, vận tốc thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Ta có t1 :t2:t3 = 1 v 1 : 1 v 2 : 1 v 3 = 1
60 = 3 : 5 : 2. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có t1
Trong bài toán này, một người đi siêu thị hoa quả với một số tiền nhất định và tính toán rằng số tiền đó có thể mua được 3kg nho, 4kg táo hoặc 5kg mận Biết rằng 3kg táo đắt hơn 2kg mận là 210.000 đồng, chúng ta cần tìm giá tiền của mỗi loại trái cây Suy ra, giá của từng loại trái cây sẽ được xác định dựa trên mối quan hệ giữa giá táo và mận, từ đó có thể tính được giá nho.
Gọi giá tiền nho, táo, mận làx, y, z (đồng/kg) Ta có3y−2z= 21000.
Với cùng một số tiền, bạn có thể mua 3 kg nho, 4 kg táo hoặc 5 kg mận, cho thấy mối quan hệ tỉ lệ nghịch giữa giá tiền và khối lượng Điều này có thể được biểu diễn bằng phương trình 3x = 4y = 5z.
5 = 20 : 15 : 12 (hoặc cú thể biến đổi như sau3xã 1
12). Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có x
Giá nho, táo và mận lần lượt là 200.000 đồng/kg, 150.000 đồng/kg và 120.000 đồng/kg Một nhân viên văn phòng có khả năng đánh máy 160 từ trong 2,5 phút Để đánh được 800 từ, người đó sẽ cần thời gian là bao nhiêu phút, với giả định rằng thời gian đánh máy các từ là như nhau?
Gọix(phút) là thời gian cần thiết để người đó đánh được 800từ (x >0).
Vì thời gian và số từ đánh được tỉ lệ nghịch với nhau nên ta có: x