Latex toán 8 kntt tập 2

THẦY NGUYỄN BỈNH KHÔI PHÂN DẠNG & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÀI LIỆU HỌC TẬP - THEO SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG TOÁN TOÁN 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 54 55 56 59 60 57 58 11 12 KHOI-MATH 10 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 36 35 34 33 32 27 31 30 29 28 26 25 24 23 University KHOI-MATH 0909461641 KN TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ TẬP MỤC LỤC SÁCH TOÁN KẾT NỐI TRI THỨC MỤC LỤC Chương PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Bài 21 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A Trọng tâm kiến thức 1 Phân thức đại số Hai phân thức Điều kiện xác định giá trị phân thức giá trị cho biến B Các dạng tập Dạng Nhận biết phân thức, xác định tử thức mẫu thức Dạng Điều kiện xác định giá trị phân thức giá trị cho biến Dạng Hai phân thức Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn phân thức Dạng Vận dụng C Bài tập vận dụng Bài 22 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 14 A Trọng tâm kiến thức 14 Tính chất phân thức 14 Rút gọn phân thức 14 Quy đồng mẫu nhiều phân thức 14 B Các dạng tập 15 Dạng Rút gọn phân thức Dạng Chứng minh đẳng thức Dạng Tính giá trị biểu thức 15 16 17 Dạng Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến Dạng Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước 18 19 Dạng Quy đồng mẫu thức 20 Dạng Vận dụng 21 C Bài tập vận dụng 23 Bài 23 PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 28 A Trọng tâm kiến thức 28 Cộng hai phân thức mẫu thức 28 Cộng hai phân thức khác mẫu 28 Trừ hai phân thức 28 Cộng, trừ nhiều phân thức đại số 28 B Các dạng tập 29 Dạng Cộng, trừ phân thức mẫu thức 29 Dạng Cộng, trừ phân thức không mẫu thức 31 /101 Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – 0909 461 641 i MỤC LỤC SÁCH TOÁN KẾT NỐI TRI THỨC Dạng Dạng Dạng Dạng Tìm x thõa mãn đẳng thức cho trước 33 Rút gọn tính giá trị biểu thức 33 Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến Chứng minh đẳng thức 36 Vận dụng 38 C Bài tập vận dụng 39 Bài 24 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 51 A Trọng tâm kiến thức 51 Phép nhân phân thức đại số 51 Phân thức nghịch đảo 51 Phép chia 51 B Các dạng tập 51 Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Thực phép nhân, phép chia phân thức 51 Rút gọn biểu thức 52 Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước 54 Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị biến 54 Vận dụng 55 C Bài tập tự luyện 57 LUYỆN TẬP CHUNG 63 A Trọng tâm kiến thức 63 B Các dạng tập 63 Dạng Dạng Dạng Dạng Tìm điều kiện biến để phân thức xác định 63 Tìm giá trị x để phân thức 63 Rút gọn biểu thức 64 Vận dụng 65 C Bài tập vận dụng 66 ÔN TẬP CHƯƠNG VI 72 A Bài tập rèn luyện 72 B Bài tập bổ sung 78 i/101 Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – 0909 461 641 Chương PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN KẾT NỐI TRI THỨC Chûúng PHÂN THỨC ĐẠI SỐ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Baâi AA 21 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ TRỌNG TÂM KIẾN THỨC Phân thức đại số A , A, B đa thức B B khác đa thức 0, A gọi tử thức (hay tử), B gọi mẫu thức (hay mẫu) Một phân thức đại số (hay nói gọn phân thức) biểu thức có dạng Nhận xét Mỗi đa thức coi phân thức với mẫu thức Đặc biệt, số số phân thức đại số Hai phân thức Hai phân thức A C gọi A · D = B · C B D C A = A · D = B · C B D Điều kiện xác định giá trị phân thức giá trị cho biến Khi thay biến phân thức đại số giá trị (sao cho phân thức xác định), thực phép tính ta nhận giá trị phân thức đại số giá trị biến Như vậy, để tính giá trị phân thức giá trị cho trước biến ta thay giá trị cho trước biến vào phân thức tính giá trị biểu thức số nhận Điều kiện xác định phân thức A điều kiện biến để mẫu thức B khác B Ta cần quan tâm đến điều kiện xác định tính giá trị phân thức Khi xét phân thức mà khơng nói thêm ta hiểu biến nhận giá trị làm cho phân thức xác định BA CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Nhận biết phân thức, xác định tử thức mẫu thức 1/101 Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – 0909 461 641 21 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TỐN KẾT NỐI TRI THỨC c Ví dụ Chỉ phân thức biểu thức sau 2x + ; x−3 ab ; a+b x + 2x + 1; √ √ x x+1 5; Lời giải √ 2x + ab Trong biểu thức trên, ; ; x2 + 2x + 1; phân thức x−3 a+b √ √ x khơng phải phân thức, x khơng phải đa thức Biểu thức x+1 □ c Ví dụ a) Cách viết sau không cho phân thức? 6y z xy + z y + z ; ; ; ; x3 − xy x −3 x+1 b) Viết mẫu thức phân thức cách viết Lời giải a) Trong cách viết trên, b) Các phân thức y+z phân thức 6y z xy + z ; ; ; x3 − xy có mẫu x2 ; −3; x + 1; x −3 x + □ c Ví dụ Trong cặp phân thức sau, cặp phân thức có mẫu thức? a) 4x3 −20x ; 3y 5y b) 5x − 10 5x − 10 ; x2 + x −1 c) 5x + 10 − 2x 4x − 4(x − 2) Lời giải Cặp phân thức có mẫu thức 5x + 10 − 2x 4x − 4(x − 2) □ c Ví dụ Trong biểu thức sau, biểu thức phân thức? 2x + a) x+4 xy b) x + 2y c) x x +1 d) x2 y + xy x−y e) x2 − x Lời giải a) Do 2x + x + đa thức đa thức x + khác đa thức nên biểu thức b) Do xy x + 2y đa thức đa thức x + 2y khác đa thức nên biểu thức 2x + phân thức x+4 xy phân thức x + 2y 1 phân thức c) Do biểu thức đa thức nên biểu thức x x x +1 d) Do x2 y + xy x − y đa thức đa thức x − y khác đa thức nên biểu thức 2/101 x2 y + xy phân thức x−y Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – 0909 461 641 Chương PHÂN THỨC ĐẠI SỐ e) Do biểu thức SÁCH TOÁN KẾT NỐI TRI THỨC x2 − đa thức nên biểu thức phân thức x x □ Dạng Điều kiện xác định giá trị phân thức giá trị cho biến c Ví dụ Viết điều kiện xác định phân thức sau a) 3x + ; x−2 b) x−y ; x+y c) x−3 ; x+2 d) ; 2a + e) xy x − 2y Lời giải a) Phân thức xác định x − ̸= hay x ̸= b) Phân thức xác định x + y ̸= (nghĩa giá trị x y thoả mãn x + y ̸= 0) c) Điều kiện xác định phân thức x + ̸= hay x ̸= −2 d) Điều kiện xác định phân thức 2a + ̸= hay a ̸= −2 2a + e) Điều kiện xác định phân thức xy x − 2y ̸= hay x ̸= 2y x − 2y □ c Ví dụ Viết điều kiện xác định phân thức x+1 tính giá trị phân thức x = x−1 Lời giải Điều kiện xác định phân thức x − ̸= hay x ̸= 2+1 Giá trị phân thức x = = 2−1 c Ví dụ Tính giá trị phân thức □ x2 − x − x = 2; x = x2 + 3x Lời giải ○ Tại x = 2, phân thức có giá trị 22 − − = 2 +3·2 10 ○ Tại x = 1, phân thức có giá trị 12 − − −1 = +3·1 □ c Ví dụ Cho phân thức P = x2 − 2x + a) Tính giá trị phân thức x = 0; x = 1; x = b) Tại x = − phân thức có xác định không? Tại sao? Lời giải 3/101 Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – 0909 461 641 21 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN KẾT NỐI TRI THỨC 0−1 = −1 2·0+1 −1 Tại x = 1, P = = 2·1+1 22 − = Tại x = 2, P = 2·2+1 a) Tại x = 0, P = Å ã 1 + = −1 + = nên phân thức không xác định b) Với x = − giá trị mẫu thức · − 2 □ c Ví dụ Tìm giá trị phân thức a) x2 − 2x + x = −3, x = 1; x+2 b) xy − 3y x = 3, y = −1 x+y Lời giải a) Với x = −3, ta có (−3)2 − 2(−3) + 9+6+1 16 = = = −16 −3 + −1 −1 Với x = 1, ta có 12 − · + = = 1+2 b) Với x = 3, y = −1, ta có · −1 − · (−1)2 · −1 − · −3 − −6 = = = = −3 + −1 2 □ Dạng Hai phân thức c Ví dụ 10 Mỗi cặp phân thức sau có khơng? Tại sao? a) xy xy ; xy + y x+1 b) xy − y xy − x ; x y c) A = 3x2 − 9x 3x B = ; x −9 x+3 d) x2 − x x ; 5x − e) 3+x ; + 2x f) x+y ; 2 x −y x−y g) x ; x2 − x−1 h) 1−x = ; x2 + x + 1 − x3 i) 1+x = − x2 1−x Lời giải ® (xy ) · (x + 1) = x2 y + xy a) Ta có (xy + y) · xy = x2 y + xy Do (xy ) · (x + 1) = (xy + y) · xy xy xy Vậy = ; xy + y x+1 ® (xy − y) · y = xy − y b) Ta có x · (xy − x) = x2 y − x2 Do (xy − y) · y ̸= x · (xy − x) xy − y xy − x Vậy hai phân thức không x y 4/101 Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – 0909 461 641 Chương PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN KẾT NỐI TRI THỨC
3x2 − 9x · (x + 3) = 3x3 + 9x2 − 9x2 − 27x = 3x3 − 27x c) Ta có
x2 − · 3x = 3x3 − 27x

Vậy 3x2 − 9x · (x + 3) = x2 − · 3x 3x2 − 9x 3x Do = , hay A = B x −9 x+3

d) Ta có: x · (5x − 5) = 5x2 − 5x · x2 − x = 5x2 − 5x nên x · (5x − 5) = · x2 − x x x2 − x Vậy = 5x − ® e) Ta có: (3 + x) · = + 2x (3 + 2x) · = + 2x Do + 2x ̸= + 2x nên hai phân thức 3+x không + 2x
f) Ta có: (x + y) · (x − y) = x2 − y x2 − y · = x2 − y
x+y = nên (x + y) · (x − y) = x2 − y · Vậy x −y x−y
g) Ta có: x · (x − 1) = x2 − x2 − · = x2 −
x nên x · (x − 1) = x2 − · Vậy = x −1 x−1 h) Ta có x2 1−x = · (1 − x3 ) = (1 − x)(x2 + x + 1) +x+1 − x3 i) Vì (1 + x)(1 − x) = (1 − x2 ) · nên 1+x = 1−x 1−x □ c Ví dụ 11 Dùng định nghĩa hai phân thức nhau, chứng tỏ rằng: a) 3y 6xy = ; 8x b) x+y 3x(x + y)2 = ; 3x 9x (x + y) c) x+1 x2 + 4x + = x+3 x + 6x + Lời giải a) Ta có 3y · 8x = · 6xy nên 3y 6xy = 8x b) Ta có (x + y) · 9x2 (x + y) = 3x · 3x(x + y)2 nên x+y 3x(x + y)2 = 3x 9x (x + y) c) Ta có
(x + 1) x2 + 6x + = (x + 1)(x + 3)2
(x + 3) · x2 + 4x + = (x + 3)(x + 3)(x + 1) = (x + 1)(x + 3)2

Do (x + 1) x2 + 6x + = (x + 3) · x2 + 4x + x+1 x2 + 4x + Suy = x+3 x + 6x + □ c Ví dụ 12 Chứng minh đẳng thức x−2 − x3 = −x x (x2 + 2x + 4) Lời giải 5/101 Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – 0909 461 641 21 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TỐN KẾT NỐI TRI THỨC Ta có x2 + 2x + = x2 + 2x + + = (x + 1)2 + > nên
(x − 2) · x2 + 2x + x−2 x3 − 8 − x3 = = = −x −x · (x2 + 2x + 4) −x (x2 + 2x + 4) x (x2 + 2x + 4) Vế trái vế phải Đẳng thức chứng minh □ c Ví dụ 13 Dùng định nghĩa hai phân thức nhau, tìm đa thức A đẳng thức x2 A x = −4 x+2 Lời giải Ta có
(x + 2) = x · x2 − A · (x + 2) = x · (x − 2) · (x + 2) Suy A = x · (x − 2) □ c Ví dụ 14 Dùng tính chất phân thức, điền đa thức thích hợp vào chỗ trống đẳng thức (x + 1)2 = x2 + x x Lời giải (x + 1)2 (x + 1)2 (x + 1)2 : (x + 1) x+1 Ta có = = = x +x x(x + 1) x(x + 1) : (x + 1) x Vậy đa thức cần tìm x + □ Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn phân thức ○ Với a > (a số) P (x) = m + a[F (x)]2 ≥ m; giá trị nhỏ P (x) m F (x) = P (x) = m − a[F (x)]2 ≤ m; giá trị lớn P (x) m F (x) = ○ Với a > (a số), P (x) > a nhỏ (hoặc lớn nhất) P (x) lớn (hoặc nhỏ P (x) nhất) c Ví dụ 15 a) Tìm giá trị nhỏ phân thức A = x2 + 2x + b) Tìm giá trị lớn phân thức B = − 4x2 + 4x Lời giải x2 + 2x + có giá trị nhỏ ⇔ x2 + 2x + có giá trị nhỏ Mà x2 + 2x + = (x + 1)2 + ≥ 2, nên giá trị nhỏ x2 + 2x + x = −1 Vậy giá trị nhỏ phân thức A = , đạt x = −1 a) A = b) B = 6/101 − 4x2 + 4x có giá trị lớn ⇔ − 4x2 + 4x có giá trị lớn Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – 0909 461 641 Chương PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN KẾT NỐI TRI THỨC Mà − 4x2 + 4x = − (2x − 1)2 ≤ nên giá trị lớn − 4x2 + 4x x = Vậy giá trị lớn B = 1, đạt x = □ c Ví dụ 16 Tìm giá trị lớn P = x2 10 − 2x + Lời giải Tử thức 10 > mẫu thức x2 − 2x + = (x − 1)2 + > nên P lớn ⇔ x2 − 2x + nhỏ Mà x2 − 2x + = (x − 1)2 + ≥ 1, nên giá trị nhỏ x2 − 2x + x = 10 Vậy giá trị lớn P = 10, đạt x = 1 □ Dạng Vận dụng c Ví dụ 17 Cho hình chữ nhật ABCD M N P Q hình vẽ (các số đo hình tính theo đơn vị centimét) A B M N x Q D x+1 x+1 P x+3 C a) Viết phân thức biểu thị tỉ số diện tích hình chữ nhật ABCD hình chữ nhật M N P Q b) Tính giá trị phân thức x = x = Lời giải a) Diện tích hình chữ nhật ABCD (x + 3) · (x + 1) Diện tích hình chữ nhật M N P Q (x + 1) · x Do phân thức biểu thị tỉ số diện tích hình chữ nhật ABCD hình chữ nhật M N P Q (x + 3) · (x + 1) (x + 1) · x b) ○ Với x = 2, phân thức có giá trị (2 + 3) · (2 + 1) = (2 + 1) · 2 ○ Với x = 5, phân thức có giá trị (5 + 3) · (5 + 1) = (5 + 1) · 5 □ c Ví dụ 18 Giá thành trung bình áo sơ mi xí nghiệp sản xuất cho biểu thức 0,0002x2 + 120x + 1000 C(x) = , x số áo sản xuất C tính nghìn đồng Tính C x x = 100, x = 1000 Lời giải 7/101 Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – 0909 461 641 87 Chương PHÂN THỨC ĐẠI SỐ b) N = = = = = c) P SÁCH TOÁN KẾT NỐI TRI THỨC ac ab bc + + + 2bc b + 2ac c + 2ab bc ac ab + + (a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b) bc(b − c) + ac(c − a) + ab(a − b) −c(a2 − b2 ) + c2 (a − b) + ab(a − b) = (a − b)(b − c)(a − c) (a − b)(b − c)(a − c) (a − b)(−ac − cb + c2 + ab) (a − b) [−c(a − c + b(a − c)] = (a − b)(b − c)(a − c) (a − b)(b − c)(a − c) (a − b)(b − c(a − c)) = (a − b)(b − c)(a − c) a2 a2 b2 c2 + + a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab b2 c2 a2 + + = (a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b) a2 (b − c) + b2 (c − a) + c2 (a − b) ab(a − b) − c(a2 − b2 ) + c2 (a − b) = = (a − b)(b − c)(a − c) (a − b)(b − c)(a − c) (a − b)(ab − ac − bc + c2 ) (a − b)(b − c)(a − c) = = = (a − b)(b − c)(a − c) (a − b)(b − c)(a − c) = □ a+b b+c c+a = = Tính giá trị biểu thức c a b Å ã  b  a c 1+ M = 1+ 1+ b c a c Bài 42 Cho số a, b, c khác đôi Lời giải a+b b+c c+a a+b+b+c+c+a 2(a + b + c) Ta có = = = = c a b a+b+c a+b+c Nếu a + b + c ̸= tỉ số Suy a + b = 2c, b + c = 2a Do a − c = 2(c − a) nên c = a, trái với đề a+b b+c c+a −c −a −b Vậy a + b + c = Ta có M = · · = · · = −1 b c a b c a □ c Bài 43 Cho a3 + b3 + c3 = 3abc a + b + c ̸= Tính giá trị biểu thức N= a2 + b2 + c2 (a + b + c)2 Lời giải Ta có a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) Do a3 + b3 + c3 = 3abc a + b + c ̸= nên đẳng thức trở thành a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = Lại có a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = (a2 − 2ab + b2 ) + (b2 − 2bc + c2 ) + (c2 − 2ca + a2 ) = (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 Như từ a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = suy a = b = c 3a2 3a2 Do đó, N = = = 2 (3a) 9a □ Å ãÅ ãÅ ã Å ã 1 1 c Bài 44 Rút gọn biểu thức A = − 1− − ··· − n Lời giải 87/101 Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – 0909 461 641 88 24 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN KẾT NỐI TRI THỨC Ta có Å ãÅ ãÅ ã Å ã 1 1 1·3 2·4 3·5 (n − 1)(n + 1) A = 1− 1− − ··· − = · · ··· n n2 · · · · · (n − 1) · · · · · (n + 1) n+1 n+1 = · = · = · · 4···n · · 4···n n 2n □ c Bài 45 Rút gọn biểu thức B = 12 32 52 (2n + 1)2 · · · · · 22 − 42 − 62 − (2n + 2)2 − Lời giải Ta có B = = 12 32 52 (2n + 1)2 12 32 52 (2n + 1)2 · · · · · = · · · · · 22 − 42 − 62 − (2n + 2)2 − 1·3 3·5 5·7 (2n + 1)(2n + 3) 2 2 1 · · · · · (2n + 1) = · 32 · 52 · · · (2n + 1)2 · (2n + 3) (2n + 3) □ c Bài 46 Rút gọn biểu thức 1 1 + + + ··· + 1·2 2·3 3·4 (n − 1)n Lời giải Ta có 1 1 + + + ··· + 1·2 2·3 3·4 (n − 1)n 1 1 1 1 − + − + − + ··· + − 2 3 n−1 n n−1 = 1− = n n = □ c Bài 47 Rút gọn biểu thức 1 1 + + + ··· + · 5 · 8 · 11 (3n + 2)(3n + 5) Lời giải 1 Ta có = (3n + 2)(3n + 5) Do Å = = ã 1 − 3n + 3n + 1 1 + + + ··· + · 5 · 8 · 11 (3n + 2)(3n + 5) Å ã 1 1 1 1 − + − + − + ··· + − 5 8 11 3n + 3n + Å ã 1 1 3n + − n+1 − = · = 3n + 2(3n + 5) 2(3n + 5) □ c Bài 48 Rút gọn biểu thức 1 1 + + + ··· + 1·2·3 2·3·4 3·4·5 (n − 1)n(n + 1) Lời giải Ta có ï ò 1 1 = − (n − 1)n(n + 1) (n − 1)n n(n + 1) Do 1 1 + + + ··· + 1·2·3 2·3·4 3·4·5 (n − 1)n(n + 1) 88/101 Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – 0909 461 641 89 Chương PHÂN THỨC ĐẠI SỐ = = SÁCH TOÁN KẾT NỐI TRI THỨC ï ò 1 1 1 1 − + − + − + ··· + − 1·2 2·3 2·3 3·4 3·4 4·5 (n − 1)n n(n + 1) ï ò 1 n(n + 1) − (n − 1)(n + 2) = · − = 2 n(n + 1) 2n(n + 1) 4n(n + 1) □ c Bài 49 Chứng minh với số tự nhiên n ≥ 1, ta ln có 1 1 + + + ··· + < 2 (2n) Lời giải Ta có Å ã 1 1 1 1 + + + · · · + = + + + · · · + 22 42 62 (2n)2 12 22 32 n2 Å ã 1 1 Suy A < 1+ + + ··· + 1·2 2·3 (n − 1)n 1 1 1 Lại có + + + ··· + =1+ − =2− ·Å 2 ·ã (n − 1)n n n 1 2− , suy A < Do A < n A= □ c Bài 50 Chứng minh với số tự nhiên n ≥ 1, ta ln có 1 1 + + + ··· + < 32 52 72 (2n + 1)2 Lời giải Ta có B= 1 1 1 1 + + + ··· + < + + + ··· + 32 52 72 (2n + 1)2 − 52 − 72 − (2n + 1)2 − Lại có = = = Do B < Å 1 1 + + + ··· + 32 − 52 − 72 − (2n + 1)2 − 1 1 + + + ··· + 2·4 4·6 6·8 2n(2n + 2) Å ã 1 1 1 1 − + − + − + ··· + − 2 4 6 2n 2n + Å ã 1 − 2 2n + ã 1 − , suy B < 2n + □ c Bài 51 Chứng minh với số tự nhiên n ≥ 2, ta ln có A= 1 1 + + + ··· + < 2 n Lời giải Nhận xét, với số tự nhiên n ≥ ta ln có Å ã 1 < = − n2 4n2 − 2n − 2n + Khi Å A 12 20 n(n + 1) Lời giải Với số tự nhiên n ≥ 2, ta có − n(n + 1) − n2 + n − (n − 1)(n + 2) = = = n(n + 1) n(n + 1) n(n + 1) n(n + 1) Khi Å ãÅ ãÅ ã Å ã 2 2 1·4 2·5 3·6 (n − 1)(n + 2) B = 1− · · ··· 1− 1− ··· − = 12 20 n(n + 1) 2·3 3·4 4·5 n(n + 1) Å ã · · · · · (n − 1) · · · · · (n + 2) n+2 = · = · = 1+ 2·3·4·n · · · · · (n + 1) n 3 n Do B > 90/101 □ Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – 0909 461 641 91 Chương PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN KẾT NỐI TRI THỨC c Bài 55 Rút gọn biểu thức A = 32 − 72 − 112 − 432 − · · · · · 52 − 92 − 132 − 452 − Lời giải Ta có A= 32 − 72 − 112 − 432 − · · 10 · 12 42 · 44 · · · · · = · · ··· = = 2 2 − − 13 − 45 − · · 10 12 · 14 44 · 46 46 23 □ c Bài 56 Chứng minh A = 23 + 33 + 43 + 93 + · · · · · < 3 3 −1 −1 −1 −1 Lời giải   (n + 1) (n − 0,5)2 + 0,75 n3 + (n + 1)(n2 − n + 1) Ta có = = n −1 (n − 1)(n2 + n + 1) (n − 1) [(n + 0,5)2 + 0,75] Khi 3(1,52 + 0,75) 4(2,52 + 0, 75) 5(3,52 + 0,75) 10(8,52 + 0,75) A = · · · · · 1(2,52 + 0,75) 2(3,52 + 0,75) 3(4,52 + 0,75) 8(9,52 + 0,75) · 10 3 90 · · · · · 10 1,52 + 0,75 · = · = · = · · · · · 9,5 + 0,75 · 91 91 Do A < □ c Bài 57 Chứng minh với số tự nhiên n ≥ 2, có B= 23 − 33 − 43 − n3 − · · ··· > +1 +1 +1 n +1 Lời giải   (n − 1) (n + 0,5)2 + 0,75 n3 − (n − 1)(n2 + n + 1) Với số tự nhiên n ≥ 2, ta có = = n +1 (n + 1)(n2 − n + 1) (n + 1) [(n − 0,5)2 + 0,75] Khi   (n − 1) (n + 0,5)2 + 0,75 1(2,52 + 0,75) 2(3,52 + 0,75) 3(4,52 + 0,75) B = · · ··· 3(1,52 + 0,75) 4(2,52 + 0, 75) 5(3,52 + 0,75) (n + 1) [(n − 0,5)2 + 0,75] · · · · · (n − 1) (n + 0,5) + 0,75 1·2 n2 + n + n2 + n + = · = · = · · · · · · (n + 1) 1,52 + 0,75 n · (n + 1) 3 n2 + n Do B > □



14 + 54 + 94 + · · · 214 + c Bài 58 Rút gọn biểu thức P = (3 + 4) (74 + 4) (114 + 4) · · · (234 + 4) Lời giải Ta có    n4 + = (n2 + 2)2 − 4n2 = (n2 − 2n + 2)(n2 + 2n + 2) = (n − 1)2 + (n + 1)2 + Khi P = = (02 + 1)(22 + 1) (42 + 1)(62 + 1) (82 + 1)(102 + 1) (202 + 1)(222 + 1) · · · · · (22 + 1)(42 + 1) (62 + 1)(82 + 1) (102 + 1)(122 + 1) (222 + 1)(242 + 1) +1 = 24 + 577 □ 91/101 Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – 0909 461 641 92 24 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN KẾT NỐI TRI THỨC c Bài 59 Rút gọn biểu thức M= a2 1 1 + + + − 5a + a − 7a + 12 a − 9a + 20 a − 11a + 30 Lời giải Ta có M 1 1 + + + (a − 2)(a − 3) (a − 3)(a − 4) (a − 4)(a − 5) (a − 5)(a − 6) 1 1 1 1 − + − + − + − a−3 a−2 a−4 a−3 a−5 a−4 a−6 a−5 1 − = a−6 a−2 (a − 2)(a − 6) = = = □ c Bài 60 Rút gọn biểu thức ã Å ã Å 1 1 n−1 n−2 n−3 : + + + ··· + + + + + ··· + n−2 n−1 n Lời giải Ta có = = = = = n−1 n−2 n−3 + + + ··· + + n−2 n−1 n − (n − 2) n − (n − 1) n−1 n−2 n−3 + + + ··· + + n−2 n−1 n n n n n + + + ··· + + − − − − ··· − − 1 n−2 n−1 n n n n + + + ··· + − (n − 1) n−1 n n n n n + + + ··· + + 2Å n−1 n ã 1 1 + + + ··· + + n n−1 n Do Å n−1 n−2 n−3 + + + ··· + + n−2 n−1 ã Å ã 1 1 + + + ··· + : = n n □ c Bài 61 Rút gọn biểu thức 1 1 + + + ··· + + A · (2n − 1) · (2n − 3) · (2n − 5) (2n − 3) · (2n − 1) · = 1 B + + + ··· + 2n − Lời giải Å ã 1 1 Ta có nhận xét = + k(2n − k) 2n k 2n − k Khi ïÅ ã Å ã Å ã Å ãò 1 1 1 1 A = + + + + ··· + + + + 2n 2n − 2n − 2n − 3 2n − 1 Å ã Å ã 1 1 1 1 B = · + + + ··· + = + + + ··· + = 2n 2n − n 2n − n 92/101 Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – 0909 461 641 93 Chương PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Do SÁCH TỐN KẾT NỐI TRI THỨC A = B n □ 1 c Bài 62 Cho abc = a + b + c = + + Chứng minh ba số a, b, c tồn số a b c Lời giải 1 ab + bc + ca + + suy a + b + c = a b c abc Mà abc = nên a + b + c = ab + bc + ca Để chứng minh ba số a, b, c tồn số 1, ta cần chứng minh Từ đẳng thức a + b + c = (a − 1)(b − 1)(c − 1) = Ta có (a − 1)(b − 1)(c − 1) = (ab − a − b + 1)(c − 1) = abc − ab − ac + a − bc + b + c − = (abc − 1) + (a + b + c) − (ab + bc + ca) Vì abc = a + b + c = ab + bc + ca nên biểu thức Do đó, tồn ba thừa số a − 1, b − 1, c − Vậy tồn ba số a, b, c c Bài 63 Chứng minh x + y + z = a □ 1 1 + + = tồn ba số x, y, z a x y z a Lời giải Từ giả thiết suy a ̸= Khi xy + yz + zx 1 1 + + = hay = x y z x+y+z xyz x+y+z Suy (xy + yz + zx)(x + y + z) − xyz = Ta có (1) (xy + yz + zx)(x + y + z) − xyz = x2 y + xy + xyz + xyz + y z + yz + x2 z + xyz + xz − xyz = x2 y + xy + xyz + y z + xyz + yz + x2 z + xz = xy(x + y) + yz(x + y) + yz(x + z) + xz(x + z) = y(x + y)(x + z) + z(x + z)(x + y) = (x + y)(y + z)(z + x) Từ (1) suy (x + y)(y + z)(z + x) = Do x = −y y = −z z = −x ○ Với x = −y từ 1 1 + + = suy z = a x y z a ○ Với y = −z từ 1 1 + + = suy x = a x y z a ○ Với z = −x từ 1 1 + + = suy y = a x y z a Vậy tồn ba số x, y, z a c Bài 64 Các biểu thức x + y + z □ 1 + + có giá trị hay không? x y z Lời giải 93/101 Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – 0909 461 641 94 24 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN KẾT NỐI TRI THỨC 1 + + = x y z 1 xy + yz + zx 1 Ta có + + = Mà + + = nên xy + yz + zx = x y z xyz x y z Từ x + y + z = suy (x + y + z)2 = hay x2 + y + z + 2(xy + yz + zx) = Giả sử x + y + z = Vì xy + yz + zx = nên x2 + y + z = 0, suy x = y = z = Điều vơ lí Vậy x + y + z 1 , , không xác định x y z 1 + + khơng thể có giá trị x y z c Bài 65 Tính giá trị biểu thức M = □ 1 + + , biết x+2 y+2 z+2 2a = by + cz; 2b = ax + cz; 2c = ax + by a + b + c ̸= Lời giải Cộng theo vế ba đẳng thức 2a = by + cz; 2b = ax + cz; 2c = ax + by ta a + b + c = ax + by + cz = ax + 2a = a(x + 2) a = x+2 a+b+c b c = , = Tương tự, y+2 a+b+c z+2 a+b+c a+b+c Do M = = a+b+c Suy c Bài 66 Cho abc = Rút gọn biểu thức M = □ a b 2c + + ab + a + bc + b + ac + 2c + Lời giải Với abc = 2, ta có M = = a b 2c a ab 2c + + = + + ab + a + bc + b + ac + 2c + ab + a + abc + ab + a ac + 2c + abc ab a + ab + a + + = = a + ab + a + ab + a + ab + a + ab + □ c Bài 67 Cho abc = Rút gọn biểu thức N = a b c + + ab + a + bc + b + ac + c + Lời giải Với abc = 1, ta có N = = b c a ab c a + + = + + ab + a + bc + b + ac + c + a + ab + abc + ab + a ac + c + abc a ab a + ab + + + = = a + ab + a + ab + a + ab + a + ab + □ c Bài 68 Cho a a−b = , a ̸= 0, c ̸= 0, a − b ̸= 0, b − c ̸= Chứng minh c b−c 1 1 + = − a a−b b−c c Lời giải 94/101 Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – 0909 461 641 95 Chương PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN KẾT NỐI TRI THỨC Từ giả thiết suy a(b − c) = c(a − b) Ta có (1) 1 a−b+c + = c a−b c(a − b) 1 a−b+c − = b−c a a(b − c) (2) (3) Từ (1), (2), (3) suy điều phải chứng minh □ c Bài 69 Cho a + b + c = (a ̸= 0, b ̸= 0, c ̸= 0) Rút gọn biểu thức A = a2 b2 c2 + + bc ca ab Lời giải Ta có A = = a2 b2 c2 a3 + b3 + c3 (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) + 3abc + + = = bc ca ab abc abc 3abc = abc □ c Bài 70 Cho a + b + c = (a ̸= 0, b ̸= 0, c ̸= 0) Rút gọn biểu thức B= a2 b2 c2 + + a2 − b2 − c2 b2 − c2 − a2 c2 − a2 − b2 Lời giải Từ a + b + c = suy b + c = −a Khi b2 + 2bc + c2 = a2 hay a2 − b2 − c2 = 2bc Tương tự, b2 − c2 − a2 = 2ca, c2 − a2 − b2 = 2ab Do a2 b2 c2 a3 + b3 + c3 (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) + 3abc B = + + = = 2bc 2ca 2ab 2abc 2abc 3abc = = 2abc □ c Bài 71 Cho biết a + b + c = 0, tính giá trị biểu thức Å ãÅ ã a−b b−c c−a c a b + + + + A= c a b a−b b−c c−a Lời giải a−b b−c c−a Đặt M = + + , ta có c a b Å ã c b−c c−a c b2 − bc + ac − a2 c = 1+ + =1+ · M· a−b a−b a b a−b ab c (a − b)(c − a − b) 2c 2c3 = 1+ · =1+ =1+ a−b ab ab abc a 2a3 b 2b3 Tương tự, M · =1+ ,M· =1+ b−c abc c−a abc Do 2(a3 + b3 + c3 ) 2(a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) + 6abc A = 3+ =3+ abc abc 6abc = 3+ = + = abc □ 95/101 Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – 0909 461 641 96 24 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN KẾT NỐI TRI THỨC c Bài 72 Chứng minh rằng, (a2 − bc)(b − abc) = (b2 − ac)(a − abc) số a, b, c, a − b khác 1 + + = a + b + c a b c Lời giải Từ giả thiết suy a2 b − a3 bc − b2 c + ab2 c2 = ab2 − ab3 c − a2 c + a2 bc2 ⇒ ab(a − b) + c(a2 − b2 ) = abc2 (a − b) + abc(a2 − b2 ) ⇒ (a − b)(ab + ac + bc) = abc(a − b)(a + b + c) Chia hai vế cho abc(a − b) ̸= ta điều phải chứng minh c Bài 73 Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0, □ a b c + + = Chứng minh x y z ax2 + by + cz = Lời giải Từ x + y + z = suy x2 = (y + z)2 , y = (z + x)2 , z = (x + y)2 Do ax2 + by + cz = a(y + z)2 + b(z + x)2 + c(x + y)2 = a(y + 2yz + z ) + b(z + 2zx + x2 ) + c(x2 + 2xy + y ) = x2 (b + c) + y (a + c) + z (a + b) + 2(ayz + bzx + cxy) (1)   a b c Thay b + c = −a, a + c = −b, a + b = −c (do a + b + c = 0) thay ayz + bzx + cxy = + + = vào x y z (1) ta ax2 + by + cz = −ax2 − by − cz Cho nên 2ax2 + 2by + 2cz = hay ax2 + by + cz = c Bài 74 Cho □ xy + yz + zx + = = Chứng minh x = y = z x2 y z = y z x Lời giải 1 = y + = z + Do y z x 1 y−z 1 z−x 1 x−y ; y−z = − = ; z−x= − = x−y = − = z y yz x z xz y x xy Từ giả thiết suy x + (x − y)(y − z)(z − x) x2 y z Cho nên (x − y)(y − z)(z − x)(x2 y z − 1) = Vậy x − y = 0; y − z = 0; z − x = 0; x2 y z − = hay x = y = z; x2 y z = Suy (x − y)(y − z)(z − x) = c Bài 75 Cho □ a b c a2 b2 c2 + + = Chứng minh + + = b+c c+a a+b b+c c+a a+b Lời giải Nhân hai vế a b c + + = với a + b + c ta b+c c+a a+b a2 + a(b + c) b2 + b(c + a) c2 + c(a + b) + + = a + b + c b+c c+a a+b Suy 96/101 a2 b2 c2 a2 b2 c2 +a+ +b+ + c = a + b + c hay + + = b+c c+a a+b b+c c+a a+b Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – □ 0909 461 641 97 Chương PHÂN THỨC ĐẠI SỐ c Bài 76 Cho SÁCH TOÁN KẾT NỐI TRI THỨC b c a + + = Chứng minh b−c c−a a−b a b c + + = 2 (b − c) (c − a) (a − b)2 Lời giải a b c a b c b2 − ab + ac − c2 Từ + + = suy = + = b−c c−a a−b b−c a−c b−a (a − b)(c − a) b2 − ab + ac − c2 a Nhân hai vế với = ta b−c (b − c)2 (a − b)(b − c)(c − a) c2 − bc + ba − a2 c a2 − ca + cb − b2 b = ; = Tương tự, (c − a)2 (b − c)(c − a)(a − b) (a − b)2 (c − a)(a − b)(b − c) Cộng vế ba đẳng thức ta điều phải chứng minh c Bài 77 Cho x + a) x2 + □ = a Tính biểu thức sau theo a x ; x2 b) x3 + ; x3 c) x4 + ; x4 d) x5 + x5 Lời giải 1 = a, suy x2 + + = a2 hay x2 + = a2 − x x x Å ã Å ã 1 1 b) Ta có x3 + = x + − 3x · x+ = a3 − 3a x x x x Å ã 1 c) Ta có x + = x + − 2x2 · = (a2 − 2)2 − = a4 − 4a2 + x x x ãÅ ã Å 1 1 x3 + = x5 + + x + d) Ta có x2 + x x x x Suy Å ãÅ ã Å ã 1 1 x + = x + x + − x+ = (a2 − 2)(a3 − 3a) − a = a5 − 5a3 + 5a x x x x a) Từ x + □ Å ã Å ã 1 2 c Bài 78 Cho x − : x + = a Tính giá trị biểu thức x x Å ã Å ã 1 4 M = x − : x + theo a x x Lời giải Từ giả thiết suy a ̸= a+1 x4 − = a ⇒ x4 − = ax4 + a ⇒ (1 − a)x4 = a + ⇒ x4 = x +1 1−a Thay vào M ta Å ã Å ã a+1 1−a a+1 1−a (a + 1)2 − (1 − a)2 4a 2a M= − : + = = = 1−a a+1 1−a a+1 (a + 1)2 + (1 − a)2 2a + a +1 □ 97/101 Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – 0909 461 641 98 24 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN KẾT NỐI TRI THỨC c Bài 79 Cho x2 − 4x + = Tính giá trị biểu thức A = Lời giải Cách Ta có x2 − 4x + = ⇒ x2 − x + = 3x ⇒ x4 + x2 + x2 x2 − x + = x Mặt khác A= x4 + x2 + x2 − x + x2 + x + x2 + x + = · = · x2 x x x x2 − x + 2x x2 + x + = + = + = x x x x4 + x2 + (x2 + 1)2 − x (4x)2 − x2 Vậy A = · = 15 Cách Ta có A = = = = 15 x2 x2 x2 Ta thấy c Bài 80 Cho □ x x2 = a Tính M = theo a x2 − x + x4 + x2 + Lời giải Trường hợp Với x = a = M = Trường hợp Với x ̸= a ̸= Ta có M= x x x2 = · x +x +1 x −x+1 x +x+1 (1) Lại có x2 + x + x2 − x + 2x 1 + 2a = + = +2= x x x a a Từ (1) (2) suy M = a · Vậy M = a2 + 2a c Bài 81 Cho x = (2) a a2 = + 2a + 2a □ b2 + c2 − a2 a2 − (b − c)2 ,y= Tính giá trị biểu thức x + y + xy 2bc (b + c)2 − a2 Lời giải Ta xét biểu thức x + y + xy + = x(y + 1) + (y + 1) = (x + 1)(y + 1) (b + c)2 − a2 4bc Từ giả thiết suy x + = ; y+1= 2bc (b + c)2 − a2 Do đó, (x + 1)(y + 1) = Vậy x + y + xy + = 2, suy x + y + xy = c Bài 82 Tìm hai số tự nhiên a b cho a − b = □ a b Lời giải Đặt a − b = n, a = n, b (1) (2) a, b, n ∈ N, b ̸= Từ (1), (2) ta có bn − b = n nên b(n − 1) = n 98/101 Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – 0909 461 641 99 Chương PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN KẾT NỐI TRI THỨC ○ Nếu n = a = b Khi đó, theo (1) n = 0, loại ○ Với n ̸= 1, ta có b= n =1+ n−1 n−1 (3) Vì b ∈ N nên n − ước 1, suy (n − 1) ∈ {−1; 1} ◦ Với n − = −1 hay n = 0, từ (3) suy b = 0, loại ◦ Với n − = hay n = 2, từ (3), (2) suy b = 2, a = 4 Thử lại ta thấy − = Vậy a = 4, b = □ c Bài 83 Tìm hai số tự nhiên a b cho a − b = a 2b Lời giải Đặt a − b = n, a = n, 2b (1) (2) a, b, n ∈ N, b ̸= Từ (1), (2) ta có 2bn − b = n nên b(2n − 1) = n, suy b= n 2n − (3) ○ Với n = 0, từ (3) suy b = 0, loại ○ Với n ≥ 1, ta thấy n ≤ n + n − = 2n − n Vì b ∈ N nên ∈ N, suy n = 2n − hay n = Từ (3), (1) suy b = a = 2n − Thử lại ta thấy − = 2·1 Vậy a = 2, b = □ c Bài 84 Cho hai số nguyên dương a b, a > b Tìm số nguyên dương c khác b cho a3 + b3 a+b = 3 a +c a+c Lời giải Do a + b ̸= 0, a + c ̸= nên từ a3 + b3 a+b = suy 3 a +c a+c a3 + b3 a3 + c3 = a+b a+c ⇔ a2 − ab + b2 = a2 − ac + c2 ⇔ b2 − c2 = ab − ac ⇔ (b + c)(b − c) = a(b − c) Do b − c ̸= nên b + c = a Vậy c = a − b 99/101 □ Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – 0909 461 641 100 24 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN KẾT NỐI TRI THỨC c Bài 85 Cho dãy số a1 , a2 , a3 , cho a2 = a1 − a2 − an−1 − ; a3 = ; ; an = a1 + a2 + an−1 + a) Chứng minh a1 = a5 b) Xác định năm số đầu dãy, biết a101 = Lời giải a) Ta có ã Å ã a1 − a1 − −2 2a1 = −1 : +1 = : a1 + a1 + a1 + a1 + Å ã Å ã 1 −1 − a1 a1 − = − −1 : − +1 = : = a a a a1 Å ã Å ã 1 + a1 + a1 2a1 = −1 : +1 = : − a1 − a1 − a1 − a1 Å a3 a4 a5 a1 + a1 − a1 2a1 = = a1 =− b) Theo câu ta suy a1 = a5 = a9 = · · · = a1001 = 1 Từ ta tính a1 = 3; a2 = ; a3 = − ; a4 = −2; a5 = 3 □ c Bài 86 Tìm phân số m m m+k khác số tự nhiên k, biết = n n nk Lời giải Từ giả thiết suy mnk = mn + nk Chia hai vế cho n, ta mk = m + k Do m = k(m − 1) Như m chia hết cho m − Từ ta tìm m = (loại) m = Khi k = 2 Vậy phân số phải tìm có dạng k = n □ c Bài 87 Cho hai số tự nhiên a b (a < b) Tìm tổng phân số tối giản có mẫu 7, phân số lớn a nhỏ b Lời giải Tổng phải tìm A − B, ã Å ã Å ã Å ã Å 2 + a+ + ··· + b − + b− A = a+ 7 7 = [(7a + 1) + (7a + 2) + · · · + (7b − 2) + (7b − 1)] = [(7a + 1) + (7b − 1)] [(7b − 1) − (7a + 1) + 1] 14 = (a + b)(7b − 7a − 1) B = (a + 1) + (a + 2) + · · · + (b − 2) + (b − 1) = [(a + 1) + (b − 1)] [(b − 1) − (a + 1) + 1] = (a + b)(b − a − 1) Tính hiệu A − B ta 3(b2 − a2 ) 100/101 □ Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – 0909 461 641 101 Chương PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN KẾT NỐI TRI THỨC c Bài 88 Mức sản xuất xí nghiệp năm 2001 tăng a% so với năm 2000, năm 2002 tăng b% so với năm 2001 Mức sản xuất xí nghiệp năm 2002 tăng phần trăm so với năm 2000? Lời giải a Giả sử mức sản xuất xí nghiệp năm 2000 mức sản xuất năm 2001 + , mức sản xuất năm 2002 100 Å ã  b b a  a ab 1+ =1+ 1+ + + , 100 100 100 100 10000 ã Å a+b ab ab % □ tăng so với năm 2000 + hay a + b + 100 10000 100 c Bài 89 Một số a tăng m%, sau lại giảm n% (a, m, n số dương) số b Tìm liên hệ m n để b > a Lời giải. h i m  n  m  n  Ta có b = a + 1− nên b − a = a + 1− −1 100  100 100 100 n  m  1− > Điều kiện để b > a + 100 100 Rút gọn điều kiện ta 100(m − n) > mn □ c Bài 90 Chứng minh tổng sau không số nguyên với số tự nhiên n ≥ A= 1 1 + + + ··· + n Lời giải Gọi k số nguyên lớn cho 2k ≤ n Chọn mẫu chung 2k P P tích số lẻ khơng vượt q n Chỉ có thừa số phụ phân số k số lẻ, thừa số phụ khác chẵn Như vậy, sau quy đồng mẫu, mẫu số chẵn, tử số lẻ Do A khơng số ngun □ c Bài 91 Chứng minh tổng sau không số nguyên với số tự nhiên n ≥ B= 1 1 + + + ··· + 2n + Lời giải k Gọi k số nguyên lớn cho 3k ≤ 2n + Chọn mẫu chung P tích thừa số nguyên  P 1 tố lẻ khơng vượt q 2n + Chỉ có thừa số phụ phân số k không chia hết cho 3, thừa số phụ khác chia hết cho Như vậy, sau quy đồng mẫu, mẫu số chia hết cho 3, tử số khơng chia hết cho Do B không số nguyên □ 101/101 Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi – 0909 461 641