Latex toán 8 kntt tập 2

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Phân thức đại số

Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là biểu thức có dạng A

B, trong đó A, B là những đa thức và

B khác đa thức 0,Ađược gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

Nhận xét Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức với mẫu thức bằng1 Đặc biệt, số 0 và số1 cũng là phân thức đại số.

Hai phân thức bằng nhau

D gọi là bằng nhau nếuAãD=BãC.

Điều kiện xác định và giá trị của phân thức tại một giá trị đã cho của biến

Khi thay thế các biến trong phân thức đại số bằng những giá trị xác định, và thực hiện các phép tính, ta sẽ nhận được giá trị của phân thức đại số tại những giá trị đó.

Để tính giá trị của phân thức tại các giá trị đã cho của biến, ta cần thay thế các giá trị đó vào phân thức và tính toán biểu thức số thu được Điều này giúp xác định giá trị của phân thức A một cách chính xác.

B là điều kiện của biến để mẫu thức B khác0.

Ta chỉ cần quan tâm đến điều kiện xác định khi tính giá trị của phân thức.

Khi xét phân thức mà không nói gì thêm thì ta hiểu các biến chỉ nhận các giá trị làm cho phân thức xác định.

BB A CÁC DẠNG BÀI TẬP

Nhận biết phân thức, xác định tử thức và mẫu thức

21 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC cVí dụ 1 Chỉ ra các phân thức trong các biểu thức sau đây

Trong các biểu thức trên, 2x+ 1 x−3 ; ab a+b;x 2 + 2x+ 1;√

√x x+ 1 không phải là phân thức, vì √ x không phải là đa thức □ cVí dụ 2. a) Cách viết nào sau đây khôngcho một phân thức?

0 ; 0 x+ 1;x 3 −xy. b) Viết mẫu thức của mỗi phân thức trong các cách viết trên.

Lời giải. a) Trong các cách viết trên, y+z

0 không phải là phân thức b) Các phân thức 6y 3 z x 2 ;xy+z

−3 ; 0 x+ 1;x 3 −xy có mẫu lần lượt làx 2 ;−3;x+ 1;1.

□ cVí dụ 3 Trong các cặp phân thức sau, cặp phân thức nào có cùng mẫu thức?

Cặp phân thức có cùng mẫu thức là 5x+ 10

4(x−2) □ cVí dụ 4 Trong những biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức?

Biểu thức 2x + 1 và x + 4 là các đa thức, trong đó x + 4 khác đa thức 0, do đó biểu thức 2x + 1 x + 4 là phân thức Tương tự, xy và x + 2y cũng là các đa thức, với x + 2y khác đa thức 0, nên biểu thức xy x + 2y cũng là phân thức Cuối cùng, biểu thức 1/x không phải là đa thức.

Biểu thức 1/x không phải là đa thức, trong khi đó các đa thức như dox 2y + xy 2 và x - y đều là đa thức Do đó, biểu thức x^2y + xy^2/x - y được xác định là một phân thức Điều này cho thấy rằng không phải tất cả các biểu thức đều là đa thức, và việc phân loại chúng là rất quan trọng trong toán học.

1 x không phải là phân thức.

Điều kiện xác định và giá trị của phân thức tại một giá trị đã cho của biến

cVí dụ 5 Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức sau

Phân thức xác định khi x khác 2, tức là x ≠ 2 Đối với phân thức chứa x và y, điều kiện xác định là x + y khác 0, nghĩa là x và y phải thỏa mãn x + y ≠ 0 Ngoài ra, điều kiện xác định của phân thức còn bao gồm x + 2 khác 0, hay x ≠ -2 Cuối cùng, cần lưu ý về điều kiện xác định của phân thức 1.

2a+ 4 là2a+ 4̸= 0 hay a̸=−2. e) Điều kiện xác định của phân thức xy 2 x−2y là x−2y̸= 0 hay x̸= 2y.

□ cVí dụ 6 Viết điều kiện xác định của phân thức x+ 1 x−1 và tính giá trị của phân thức tạix= 2.

Lời giải. Điều kiện xác định của phân thức làx−1̸= 0hay x̸= 1.

Giá trị của phân thức tạix= 2 là 2 + 1

2−1 = 3 □ cVí dụ 7 Tính giá trị của phân thức x 2 −x−1 x 2 + 3x tại x= 2;x= 1.

○ Tại x= 2, phân thức có giá trị là 2 2 −2−1

○ Tại x= 1, phân thức có giá trị là 1 2 −2−1

□ cVí dụ 8 Cho phân thức P = x 2 −1

2x+ 1. a) Tính giá trị của phân thức tại x= 0;x= 1;x= 2. b) Tại x=−1

2 thì phân thức có xác định không? Tại sao?

21 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC a) Tạix= 0, P = 0−1

2 thỡ giỏ trị của mẫu thức là2ã Å

−1 2 ã + 1 =−1 + 1 = 0 nên phân thức không xác định.

□ cVí dụ 9 Tìm giá trị của phân thức x 2 −2x+ 1 x+ 2 tại x=−3, x= 1; a) xy−3y 2 x+y tại x= 3, y=−1. b)

Lời giải. a) Với x=−3, ta có

Hai phân thức bằng nhau

cVí dụ 10 Mỗi cặp phân thức sau đây có bằng nhau không? Tại sao? xy 2 xy+y và xy x+ 1; a) xy−y x và xy−x y ; b) A= 3x 2 −9x x 2 −9 vàB = 3x x+ 3; c) x

Lời giải. a) Ta có đ(xy 2 )ã(x+ 1) =x 2 y 2 +xy 2 (xy+y)ãxy=x 2 y 2 +xy 2

Do đú (xy 2 )ã(x+ 1) = (xy+y)ãxy.

Vậy xy 2 xy+y = xy x+ 1; b) Ta có đ(xy−y)ãy=xy 2 −y 2 xã(xy−x) =x 2 y−x 2

Do đú (xy−y)ãy ̸=xã(xy−x).

Vậy hai phân thức xy−y x và xy−x y không bằng nhau. c) Ta có ® 3x 2 −9x ã(x+ 3) = 3x 3 + 9x 2 −9x 2 −27x= 3x 3 −27x x 2 −9 ã3x= 3x 3 −27x.

Do đó 3x 2 −9x x 2 −9 = 3x x+ 3, hay A=B. d) Ta cú:xã(5x−5) = 5x 2 −5x và5ã x 2 −x

5 = x 2 −x 5x−5. e) Ta cú:(3 +x)ã2 = 6 + 2xvà(3 + 2x)ã1 = 3 + 2x Do6 + 2x̸= 3 + 2xnờn hai phõn thức 3 +x

2 không bằng nhau. f) Ta cú:(x+y)ã(x−y) =x 2 −y 2 và x 2 −y 2 ã1 =x 2 −y 2 nờn (x+y)ã(x−y) = x 2 −y 2 ã1 Vậy x+y x 2 −y 2 = 1 x−y. g) Ta cú:xã(x−1) =x 2 −1và x 2 −1 ã1 =x 2 −1 nờn xã(x−1) = x 2 −1 ã1 Vậy x x 2 −1 = 1 x−1. h) Ta có 1 x 2 +x+ 1 = 1−x

□ cVí dụ 11 Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, chứng tỏ rằng:

Lời giải. a) Ta cú3yã8x= 4ã6xy nờn 3y

4 = 6xy 8x b) Ta cú(x+y)ã9x 2 (x+y) = 3xã3x(x+y) 2 nờn x+y

□ cVí dụ 12 Chứng minh đẳng thức x−2

21 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC

Vế trái bằng vế phải Đẳng thức đã được chứng minh □ cVí dụ 13 Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong đẳng thức

Suy raA=xã(x−2) □ cVí dụ 14 Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy điền một đa thức thích hợp vào chỗ trống trong đẳng thức

Vậy đa thức cần tìm làx+ 1 □

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của phân thức

○ Vớia >0 (alà hằng số) P(x) =m+a[F(x)] 2 ≥m; giá trị nhỏ nhất củaP(x) bằngm khi F(x) = 0.

P(x) =m−a[F(x)] 2 ≤m; giá trị lớn nhất củaP(x)bằngm khi F(x) = 0.

○ Với a > 0 (a là hằng số), P(x) > 0 thì a

P(x) nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) khi P(x) lớn nhất (hoặc nhỏ nhất). cVí dụ 15. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức A= x 2 + 2x+ 3

4 b) Tìm giá trị lớn nhất của phân thức B = 4−4x 2 + 4x

4 có giá trị nhỏ nhất⇔x 2 + 2x+ 3có giá trị nhỏ nhất.

Mà x 2 + 2x+ 3 = (x+ 1) 2 + 2≥2, nên giá trị nhỏ nhất củax 2 + 2x+ 3là2 khi x=−1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của phân thứcA là 2

5 có giá trị lớn nhất⇔4−4x 2 + 4x có giá trị lớn nhất.

Mà 4−4x 2 + 4x= 5−(2x−1) 2 ≤5nên giá trị lớn nhất của 4−4x 2 + 4x là5khi x= 1

2. Vậy giá trị lớn nhất của B là 5

□ cVí dụ 16 Tìm giá trị lớn nhất củaP = 10 x 2 −2x+ 2.

Tử thức10>0 và mẫu thứcx 2 −2x+ 2 = (x−1) 2 + 1>0 nên P lớn nhất⇔x 2 −2x+ 2nhỏ nhất.

Màx 2 −2x+ 2 = (x−1) 2 + 1≥1, nên giá trị nhỏ nhất củax 2 −2x+ 2là1 khi x= 1.

Vậy giá trị lớn nhất củaP là 10

Vận dụng

cVí dụ 17 Cho hình chữ nhật ABCD và M N P Q như hình vẽ (các số đo trên hình tính theo đơn vị centimét).

P a) Viết phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhậtM N P Q. b) Tính giá trị của phân thức đó tại x= 2và tại x= 5.

Lời giải. a) Diện tớch của hỡnh chữ nhậtABCD là(x+ 3)ã(x+ 1).

Diện tớch của hỡnh chữ nhậtM N P Q là(x+ 1)ãx.

Do đú phõn thức biểu thị tỉ số diện tớch của hỡnh chữ nhậtABCDvà hỡnh chữ nhậtM N P Qlà(x+ 3)ã(x+ 1)

○ Với x= 2, phõn thức trờn cú giỏ trị là (2 + 3)ã(2 + 1)

□ cVí dụ 18 Giá thành trung bình của một chiếc áo sơ mi được một xí nghiệp sản xuất cho bởi biểu thức

C(x) = 0,0002x 2 + 120x+ 1000 x , trong đó x là số áo được sản xuất và C tính bằng nghìn đồng Tính C khi x= 100, x= 1000.

• Khi x= 100, giá thành trung bình mỗi áo sẽ là

Vậy giá thành trung bình mỗi áo là130,02 nghìn đồng.

• Khi x= 1000, giá thành trung bình mỗi áo sẽ là

Vậy giá thành trung bình mỗi áo là121,2 nghìn đồng.

Chị Hà đã đầu tư 80 triệu đồng để mở xưởng thủ công, với chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là 15 nghìn đồng Để biểu thị số tiền thực đã bỏ ra để sản xuất x sản phẩm, ta có phân thức: \( \frac{80 + 15x}{1000} \) (đơn vị: nghìn đồng) Chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm theo x được biểu diễn bằng phân thức: \( \frac{80 + 15x}{x} \) (đơn vị: nghìn đồng) Khi tính chi phí thực cho x = 100, ta có chi phí là 95 nghìn đồng, và cho x = 1.000, chi phí là 95 nghìn đồng Nhận xét cho thấy chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm không thay đổi khi x tăng, cho thấy hiệu quả kinh tế trong sản xuất quy mô lớn.

Lời giải cho bài toán này như sau: Đổi 80 triệu đồng thành 80.000 nghìn đồng a) Công thức tính số tiền thực (đơn vị là nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm là 80.000 + 15a*x (nghìn đồng) b) Công thức tính chi phí thực (đơn vị là nghìn đồng) để tạo ra 1 sản phẩm theo x là 80.000 + 15a*x (nghìn đồng).

○ Chi phí thực để tạo ra 1sản phẩm nếu x= 100là

○ Chi phí thực để tạo ra 1sản phẩm nếu x= 1 000là

Vậy chi phí thực để tạo ra 1sản phẩm sẽ ngày càng giảm nếu x ngày càng tăng.

C BÀI TẬP VẬN DỤNG cBài 1 Viết tử thức và mẫu thức của phân thức 5x−2

□ cBài 2 Trong các cặp phân thức sau, cặp phân thức nào có mẫu giống nhau?

Phân thức có mẫu giống nhau là x−1

3(x+ 2) □ cBài 3 Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức?

2x−1; 2x 2 −5x+ 3là các phân thức. x+√ x 3x+ 2 không phải là phân thức vì x+√ x không phải là một đa thức □ cBài 4 ChoA là một đa thức khác0 tùy ý Hãy giả thích vì sao 0

□ cBài 5 Viết điều kiện xác định của các phân thức sau

Để xác định phân thức, cần lưu ý các điều kiện sau: a) Phân thức xác định khi 2x − 6 ≠ 0, tức là x ≠ 3 b) Phân thức xác định khi x + 3y ≠ 0, tức là x ≠ −3y c) Phân thức 3x² − x + 7 là một đa thức, do đó xác định với mọi giá trị của x d) Cần xem xét điều kiện để giá trị của phân thức y.

3y+ 3 được xác định là 3y+ 3̸= 0. e) Điều kiện để giá trị của phân thức 4x x 2 + 16 được xác định là x 2 + 16̸= 0. f) Điều kiện để giá trị của phân thức x+y x−y được xác định là x−y̸= 0.

□ cBài 6 Viết điều kiện xác định của phân thức x 2 +x−2 x 3 + 2 Tính giá trị của phân thức trên lần lượt tại x= 0;x= 1;x= 2.

Lời giải. Điều kiện xác định của phân thức x 2 +x−2 là x 3 + 2̸= 0.

○ Giá trị của phân thức tại x= 0 là 0 2 + 0−2

□ cBài 7 Tìm giá trị của phân thức

Lời giải. a) Với x=−4 ta có

□ cBài 8 Vì sao các kết luận sau đây đúng?

□ cBài 9 Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau không? Tại sao?

Lời giải. a) Ta cú3acã2a 2 b= 6a 3 bcvà a 3 bã6c= 6a 3 bc.

Vậy 3ac a 3 b = 6c 2a 2 b. b) (3ab−3b 2 )ã2b= 6ab 2 −6b 3 và(a−b)ã6b 2 = 6ab 2 −6b 3

□ cBài 10 Tìm đa thức thích hợp thay vào ? trong các đẳng thức sau

□ cBài 11 Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:

Lời giải. a) Ta cú:3xã10y= 30xy và2ã15xy= 30xy nờn 3xã10y= 2ã15xy Vậy 3x

2 = 15xy 10y b) Ta cú:(3x−3y)ã2 = 6x−6y và(2y−2x)ã(−3) = 6x−6y nờn (3x−3y)ã2 = (2y−2x)ã(−3) Vậy 3x−3y

2 c) Ta có: x 2 −x+ 1 ãxã(x+ 1) =xã x 3 + 1 nên x 2 −x+ 1 x = x 3 + 1 xã(x+ 1).

□ cBài 12. a) Tìm đa thức A, cho biết A x−2 = x 2 + 3x+ 2 x 2 −4 b) Tìm đa thức M, cho biết M x−1 = x 2 + 3x+ 2 x+ 1

Dùng định nghĩa, ta có

□ cBài 13 Tìm giá trị lớn nhất của phân thứcP, biết P = 15 x 2 −2x+ 4.

Suy ra giá trị lớn nhất củaP là5khi x= 1 □

21 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC cBài 14 Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức Q, biếtQ= 18

−x 2 + 4x−7 nhỏ nhất khi 18 x 2 −4x+ 7 lớn nhất, mà 18 x 2 −4x+ 7 = 18

Vậy giá trị nhỏ nhất củaQ là−6khi x= 2 □ cBài 15 Tìm giá trị nguyên của x để phân thức 6

6 2x+ 1 nhận giá trị nguyên khi2x+ 1∈Ư(6).

Do đóx∈ {0; 1;−1;−2} □ cBài 16 Tìm số nguyên dươngnnhỏ nhất sao cho n−2

2n+ 1 khác 0 và không tối giản.

2n+ 1 khác0 và không tối giản khi nghịch đảo của nó 2n+ 1 n−2 tồn tại và không tối giản.

Vì 5 là số nguyên tố, phân số không tối giản khi n−2 là bội của 5, dẫn đến n−2 = 5 hay n = 7, với n là số nguyên dương nhỏ nhất Đối với bài 17, một ô tô chạy với vận tốc trung bình x (km/h) a) Biểu thức thời gian ô tô chạy hết quãng đường 120km là t = 120/x (giờ) b) Khi vận tốc trung bình của ô tô là 60 km/h, thời gian ô tô đi được 120km là t = 120/60 = 2 giờ.

Thời gian ô tô chạy quãng đường 120 km được tính bằng công thức t = 120 / v, trong đó v là vận tốc trung bình Khi ô tô di chuyển với vận tốc trung bình 60 km/h, thời gian để hoàn thành quãng đường này là t = 120 / 60, tương ứng với 2 giờ.

Bác Vinh bắt đầu hành trình từ Hà Nội đến huyện Tĩnh Gia (Thanh Hoá) lúc 6 giờ sáng Sau khi lái xe khoảng 60 km đến Phủ Lý (Hà Nam), bác dừng lại ăn sáng trong 20 phút Để đến Tĩnh Gia đúng giờ, bác phải tăng vận tốc thêm 10 km/h Nếu vận tốc ô tô trên quãng đường Hà Nội - Phủ Lý là 60 km/h, bác Vinh sẽ đến Tĩnh Gia vào lúc nào? Quãng đường tổng cộng từ Hà Nội đến Tĩnh Gia khoảng 200 km.

Lời giải. a) Thời gian bác Vinh chạy xe trên quãng đường Hà Nội - Phủ Lý là 60 x (giờ).

Quãng đường từ Phủ Lý đến Tĩnh Gia là 200−60 = 140 (km).

Thời gian bác Vinh chạy xe trên quãng đường Phủ Lý - Tĩnh Gia là 140 x+ 10 (giờ). b) Thời gian bác Vinh chạy xe trên quãng đường Hà Nội - Phủ Lý là 60

Thời gian bác Vinh chạy xe trên quãng đường Phủ Lý - Tĩnh Gia là 140

Vậy bác Vinh đến Tĩnh Gia vào lúc 9 giờ20 phút.

□ cBài 19 Để loại bỏ x (tính theo %) chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của một nhà máy, ước tính cần chi phí là 1,7x

100−x (tỉ đồng). a) Nếu muốn loại bỏ 90% chất gây ô nhiễm từ khí thải nhà máy thì cần chi phí là bao nhiêu? b) Viết điều kiện xác định của phân thức 1,7x

100−x Hỏi có thể loại bỏ được 100%chất gây ô nhiễm từ khí thải nhà máy hay không?

Lời giải. a) Muốn loại bỏ90% chất gõy ụ nhiễm từ khớ thải nhà mỏy thỡ cần chi phớ là 1,7xã90

100−90 = 15,3(tỉ đồng). b) Điều kiện xác định của phân thức là100−x̸= 0 hay x̸= 100.

Do đó, không thể loại bỏ được 100% chất thải gây ô nhiễm từ khí thải của nhà máy.

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Tính chất cơ bản của phân thức

— Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức0thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho

BãM (M là đa thức khỏc đa thức 0).

— Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho

○ Quy tắc đổi dấu: Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho

Rút gọn phân thức

Muốn rút gọn một phân thức, ta có thể:

○ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung

○ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Chú ý: Có khi cần đổi dấu ở tử hoặc mẫu để nhận ra nhân tử chung của tử và mẫu (lưu ý tới tính chất A=−(−A)).

Quy đồng mẫu nhiều phân thức

○ Tìm mẫu thức chung Muốn tìm mẫu thức chung, ta có thể làm như sau:

— Phân tích mẫu thức của các phân thức đã cho thành nhân tử

— Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số trong các mẫu thức của phân thức đã cho Nếu các nhân tử bằng số là những số nguyên dương, thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung sẽ là bội chung nhỏ nhất (BCNN) của chúng.

+ Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.

○ Quy đồng mẫu thức Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, ta có thể làm như sau:

— Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung

— Tìm nhân tử phụ của mỗi phân thức

— Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Rút gọn phân thức

cVí dụ 1 Rút gọn các phân thức sau:

□ cVí dụ 2 Rút gọn phân thức

□ cVí dụ 3 Rút gọn phân thức

22 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC x 2 + 2x x 2 + 4x+ 4; c) x 2 y−xy 2 x 2 −y 2 d)

□ cVí dụ 4 Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy giải thích vì sao có thể viết:

(xy−x)ã(−1) = y−x x−xy Vậy x−y xy−x = y−x x−xy. c) 3x+y y = (3x+y)ãy yãy = 3xy+y 2 y 2

Chứng minh đẳng thức

○ Phân tích tử và mẫu của phân thức ở vế trái (vế phải) của đẳng thức đã cho rồi rút gọn phân thức.

○ So sánh kết quả ở hai vế. cVí dụ 5 Chứng minh các đẳng thức sau: x−y y 2 −x 2 = −1 x+y; a) 2x

□ cVí dụ 6 Chứng minh đẳng thức

Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh □ cVí dụ 7 Chứng tỏ hai phân thức a 2 −b 2 a 2 b+ab 2 và a−b ab bằng nhau.

Ta có a 2 −b 2 a 2 b+ab 2 = (a−b)(a+b) ab(a+b) = a−b ab □

Tính giá trị biểu thức

○ Rút gọn biểu thức đã cho.

○ Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn, rồi thực hiện các phép tính. cVí dụ 8 Cho phân thức P = x 3 −x

(1 +xy) 2 −(x+y) 2 vớix̸=±1 vày̸=±1. a) Rút gọn phân thức P. b) Tìm giá trị của biểu thức P vớix=−12, y= 99.

□ cVí dụ 9 Cho phân thức Q= x 2 −4y 2 ã(x−2y) x 2 −4xy+ 4y 2 với x̸= 2y. a) Rút gọn phân thức Q. b) Tính giá trị của phân thức tại x=−9998vày=−1.

22 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC a) Rút gọn phân thức

□ cVí dụ 10 Biếtx > y >0 và3x 2 + 3y 2 = 10xy TínhP = y−x y+x.

XétP 2 = x 2 +y 2 −2xy x 2 +y 2 + 2xy mà3x 2 + 3y 2 = 10xy hay x 2 +y 2 = 10

Mặt khácx > y >0nên P 0.

Nhận xét Sẽ là thiếu sót nếu ta chỉ có a=b=c.

Quy đồng mẫu thức

Xem phần trọng tâm kiến thức. cVí dụ 15 Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau:

Lời giải. a) Mẫu thức chung là36x 2 y 2 z 2

□ cVí dụ 16 Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau:

3(x+ 5)(x−5) b) Rút gọn các phân thức đã cho, ta được x x+ 1; 3 x(x+ 1); 2 x 2 MTC: x 2 (x+ 1). x x+ 1 = xãx 2

(x+ 1)x 2 = x 3 x 2 (x+ 1) 3 x(x+ 1) = 3x x 2 (x+ 1) 2 x 2 = 2(x+ 1) x 2 (x+ 1) Nhận xét Trước khi quy đồng, bạn nên rút gọn phân thức (nếu có thể).

□ cVí dụ 17 Quy đồng mẫu thức hai phân thức 3

= 2xã(x+ 1) 2 Mẫu thức chung là10x 2 (x+ 1) 2

Nhân tử phụ của5x 3 + 5x 2 là

Nhân tử phụ của2x 3 + 4x 2 + 2x là

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có

□ cVí dụ 18 Quy đồng mẫu thức hai phân thức 1

3(x−1)(x+ 1)(x 2 +x+ 1) □ cVí dụ 19 Quy đồng mẫu thức các phân thức: 1

Nhân tử phụ của các mẫu thức trên lần lượt là:x+ 2;x−2 ;3.

Vận dụng

cVí dụ 20 Cho hình chữ nhật ABCD và M N P Q như hình vẽ (các số đo trên hình tính theo đơn vị centimét).

P a) Viết phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhậtM N P Q. b) Tính giá trị của phân thức đó tại x= 2và tại x= 5.

Lời giải. a) Diện tớch của hỡnh chữ nhậtABCD là(x+ 3)ã(x+ 1).

Diện tớch của hỡnh chữ nhậtM N P Q là(x+ 1)ãx.

Do đú phõn thức biểu thị tỉ số diện tớch của hỡnh chữ nhậtABCDvà hỡnh chữ nhậtM N P Qlà(x+ 3)ã(x+ 1)

Chị Hà đã đầu tư 80 triệu đồng để mở xưởng thủ công, với chi phí sản xuất cho mỗi sản phẩm là 15 nghìn đồng Để biểu thị số tiền thực đã bỏ ra để sản xuất x sản phẩm, ta có phân thức: \(\frac{80 + 15x}{1000}\) (đơn vị là nghìn đồng) Chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm theo x được biểu thị bằng phân thức: \(\frac{80 + 15x}{x}\) (đơn vị là nghìn đồng) Khi tính toán chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm với x = 100, ta có chi phí là 95 nghìn đồng; với x = 1.000, chi phí giảm xuống còn 95 triệu đồng Nhận xét cho thấy chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm sẽ giảm dần khi số lượng sản phẩm x ngày càng tăng.

Để giải quyết bài toán, ta có số tiền đổi là 80 triệu đồng, tương đương với 80.000 nghìn đồng a) Công thức biểu thị số tiền thực chi cho việc sản xuất x sản phẩm là 80.000 + 15a*x (nghìn đồng) b) Công thức biểu thị chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm theo x là 80.000 + 15a*x (nghìn đồng).

○ Chi phí thực để tạo ra 1sản phẩm nếu x= 100là

○ Chi phí thực để tạo ra 1sản phẩm nếu x= 1 000là

Vậy chi phí thực để tạo ra 1sản phẩm sẽ ngày càng giảm nếu x ngày càng tăng.

C BÀI TẬP VẬN DỤNG cBài 1 Dùng tính chất cơ bản của phân thức, giải thích vì sao

Lời giải. Áp dụng tính chất cơ bản của phân thức, ta có a) 2x+ 2 x 2 −1 = 2(x+ 1)

□ cBài 2 Tìm đa thức thích hợp thay cho dấu "?". y−x

4−x Do đó ? =x−y □ cBài 3 Tìmasao cho hai phân thức sau bằng nhau:

Do đó−a= 5 hay a=−5 □ cBài 4 Tìm mẫu thức chung của hai phân thức

Ta cóx 2 + 3x+ 2 =x 2 +x+ 2x+ 2 = (x+ 1)(x+ 2) x 2 + 4x+ 3 =x 2 +x+ 3x+ 3 = (x+ 1)(x+ 3) nên mẫu thức chung là (x+ 1)(x+ 2)(x+ 3) □ cBài 5 Rút gọn các phân thức sau:

□ cBài 6 Rút gọn mỗi phân thức sau:

□ cBài 7 Cho phân thứcP = x+ 1 x 2 −1. a) Rút gọn phân thức đã cho, kí hiệu Qlà phân thức nhận được. b) Tính giá trị của P và Qtại x= 11 So sánh hai kết quả đó.

□ cBài 8 Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

Lời giải. a) Ta cóx 3 −8 = (x−2)(x 2 + 2x+ 4)và 4−2x=−2(x−2).

(x−1)(x+ 1) 2 c) Ta chọn MTC là2x 2 y 4 Khi đó:

Ta chọn MTC là2xã(x−5)ã(x+ 5) Khi đú:

2xã(x−5)ã(x+ 5). e) Ta chọn MTC là(x−3y)ã(x+ 3y) Khi đú:

Ta chọn MTC là4ã(x−6)ã(x+ 6) Khi đú:

□ cBài 9 Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

Lời giải. a) Ta cóx+ 2 =x+ 2;x 2 −4x+ 4 = (x−2) 2 và 2−x=−(x−2).

□ cBài 10 Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau:

Lời giải. a) Mẫu thức chung là18x 2 y 3 Nhân tử phụ tương ứng là 18x 2 y 3 : 6xy 3 = 3x

□ cBài 11 Cho hai phân thức 9x 2 + 3x+ 1

16−x 2 a) Rút gọn hai phân thức đã cho. b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức nhận được ở câu a.

Ô tô chạy với vận tốc trung bình x (km/h) sẽ mất thời gian t (giờ) để hoàn thành quãng đường 120km Biểu thức tính thời gian này là t = 120/x Nếu vận tốc trung bình của ô tô là 60 km/h, thời gian để đi hết 120km sẽ là t = 120/60, tương đương với 2 giờ.

Thời gian ô tô chạy quãng đường 120 km được tính bằng công thức t = 120 / v, trong đó v là vận tốc trung bình Khi ô tô di chuyển với vận tốc 60 km/h, thời gian để hoàn thành quãng đường này là t = 120 / 60 = 2 giờ.

Vào lúc 6 giờ sáng, bác Vinh bắt đầu hành trình từ Hà Nội đến huyện Tĩnh Gia, Thanh Hoá Sau khi lái xe khoảng 60 km đến Phủ Lý, bác dừng lại ăn sáng trong 20 phút Để kịp giờ dự định, bác phải tăng tốc độ thêm 10 km/h cho quãng đường còn lại Nếu vận tốc ô tô trên quãng đường Hà Nội - Phủ Lý là 60 km/h, thời gian bác Vinh di chuyển từ Hà Nội đến Phủ Lý có thể được tính bằng phân thức Quãng đường từ Hà Nội đến Tĩnh Gia dài khoảng 200 km, và với vận tốc 60 km/h, bác Vinh sẽ đến Tĩnh Gia vào khoảng thời gian nhất định sau khi rời Phủ Lý.

Lời giải. a) Thời gian bác Vinh chạy xe trên quãng đường Hà Nội - Phủ Lý là 60 x (giờ).

Quãng đường từ Phủ Lý đến Tĩnh Gia là 200−60 = 140 (km).

Thời gian bác Vinh chạy xe trên quãng đường Phủ Lý - Tĩnh Gia là 140 x+ 10 (giờ). b) Thời gian bác Vinh chạy xe trên quãng đường Hà Nội - Phủ Lý là 60

Thời gian bác Vinh chạy xe trên quãng đường Phủ Lý - Tĩnh Gia là 140

Vậy bác Vinh đến Tĩnh Gia vào lúc 9 giờ20 phút.

□ cBài 14 Để loại bỏ x (tính theo %) chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của một nhà máy, ước tính cần chi phí là 1,7x

100−x (tỉ đồng). a) Nếu muốn loại bỏ 90% chất gây ô nhiễm từ khí thải nhà máy thì cần chi phí là bao nhiêu? b) Viết điều kiện xác định của phân thức 1,7x

100−x Hỏi có thể loại bỏ được 100%chất gây ô nhiễm từ khí thải nhà máy hay không?

Lời giải. a) Muốn loại bỏ90% chất gõy ụ nhiễm từ khớ thải nhà mỏy thỡ cần chi phớ là 1,7xã90

100−90 = 15,3(tỉ đồng). b) Điều kiện xác định của phân thức là100−x̸= 0 hay x̸= 100.

Do đó, không thể loại bỏ được 100% chất thải gây ô nhiễm từ khí thải của nhà máy.

PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Quy tắc: muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức

Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng của hai phân thức đó Ta thường viết tổng dưới dạng rút gọn.

Cộng hai phân thức khác mẫu

Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đổng mẫu thức rổi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Trừ hai phân thức

○ Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.

○ Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đổng mẫu thức rổi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Cũng như phép trừ phân số, ta có thể chuyển phép trừ phân thức thành phép cộng phân thức như sau:

Cộng, trừ nhiều phân thức đại số

Khi thực hiện phép trừ giữa các phân thức, ta có thể coi đó là việc cộng với phân thức đối Do đó, các biểu thức chứa phép cộng và trừ phân thức có thể được xem như chỉ bao gồm các phép cộng phân thức Ví dụ, biểu thức P = 2x + 1/(x + 1) + x/(x - 1) - 1/(x^2 - 1) có thể được viết lại một cách đơn giản hơn.

Phép cộng phân thức có các tính chất giao hoán và kết hợp tương tự như phép cộng phân số Do đó, khi thực hiện phép tính với biểu thức chỉ gồm các phép cộng phân thức, chúng ta có thể tự do đổi chỗ và nhóm các số hạng.

Trong các biểu thức ta có thể đổi chỗ các số hạng kèm theo dấu của nó.

○ Nếu trước dấu ngoặc có dấu “+” thì bỏ dấu ngoặc và giữ nguyên các số hạng.

○ Nếu trước dấu ngoặc có dấu "-" thì bỏ dấu ngoặc và đổi dấu các số hạng trong dấu ngoặc.

Cộng, trừ các phân thức cùng mẫu thức

○ Cộng,trừ các tử thức với nhau;

C cVí dụ 1 Thực hiện phép tính sau: x+y 3x +x−2y

□ cVí dụ 2 Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau: x+y xy +x−y xy ; a) x 2 + 5x x+ 2 −x−4 x+ 2; b) 3x+ 2y x 2 −y 2 − x x 2 −y 2 ; c) 5x 2 x−1 +5−10x x−1 d)

Lời giải. a) x+y xy +x−y xy = x+y+x−y xy = 2x xy = 2 y; b) x 2 + 5x x+ 2 −x−4 x+ 2 = x 2 + 5x−(x−4) x+ 2 = x 2 + 5x−x+ 4 x+ 2

□ cVí dụ 3 Thực hiện phép tính: x−7 x 2 y +y+ 7 x 2 y a) x−2y x 2 +xy + x+ 2y x 2 +xy. b) 3x−2y x+y −2x−3y x+y c)

23 PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC a) Ta có x−7 x 2 y +y+ 7 x 2 y = (x−7) + (y+ 7) x 2 y = x−7 +y+ 7 x 2 y = x+y x 2 y b) Ta có x−2y x 2 +xy + x+ 2y x 2 +xy = x−2y+x+ 2y x 2 +xy = 2x x 2 +xy = 2x x(x+y) = 2 x+y. c) 3x−2y x+y −2x−3y x+y = (3x−2y)−(2x−3y) x+y = 3x−2y−2x+ 3y x+y = x+y x+y = 1.

□ cVí dụ 4 Thực hiện phép tính: x−2y x−y − y y−x; a) x 2 +y 2 x 2 −y 2 − 2xy y 2 −x 2 ; b) 4x+ 3y x 2 −y 2 −3x+ 4y x 2 −y 2 , c)

□ cVí dụ 5 Rút gọn biểu thức sau

= x 2 +x+ 1 x 2 +x+ 1 = 1 Nhận xét Nếu mỗi phân thức có thể rút gọn được, bạn nên rút gọn trước khi thực hiện phép tính.

□ cVí dụ 6 Choa, b, c thõa mãnabc= 1 Tính

Thay1 cvào biểu thức, ta có

M = a ab+a+ 1+ abcãb bc+abcãb+abc+ c ac+c+abc

Lời giải tinh tế giúp rút gọn phân thức bằng cách giữ nguyên mẫu thức và thay số 1 vào vị trí hợp lý, từ đó đưa các phân thức về cùng mẫu.

○ Sử dụng kỹ thuật trên, bạn có thể giải được bài toán sau Cho a, b, c, d thỏa mãnabcd= 1 Tính giá trị của biểu thức

Cộng, trừ các phân thức không cùng mẫu thức

○ Quy đồng mẫu thức để đưa về các phân thức có cùng mẫu.

○ Cộng, trừ tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức. cVí dụ 7 Thực hiện phép tính:

1−x; a) 2x+ 1 x −y−1 y ; b) 1−x xy+x 2 + 1 x+y; c) 1 x 2 +xy + 1 xy+y 2 ; d) xy+ 5 x 2 +xy − y x+y; e) 2 a+ 1 a−3; f) 2x x 2 −4 − 1 x−2; g) x xy−y 2 − y x 2 −xy. h)

1−x = 5(1−x) x(1−x) + 3x x(1−x) = 5(1−x) + 3x x(1−x) = 5−2x x(1−x). b) 2x+ 1 x − y−1 y = (2x+ 1)y xy −x(y−1) xy = (2x+ 1)y−x(y−1) xy = xy+x+y xy c) 1−x xy+x 2 + 1 x+y = 1−x x(y+x) + 1 x+y = 1−x x(x+y) + x x(x+y) = 1−x+x x(x+y) = 1 x(x+y). d) 1 x 2 +xy + 1 xy+y 2 = 1 x(x+y) + 1 y(x+y) = y xy(x+y) + x xy(x+y) = x+y xy(x+y) = 1 xy. e) xy+ 5 x 2 +xy − y x+y = xy+ 5 x(x+y) − y x+y = xy+ 5 x(x+y) − xy x(x+y) = xy+ 5−xy x(x+y) = 5 x(x+y). f) 2 a+ 1 a−3 = 2(a−3) a(a−3)+ a a(a−3) = 2a−6 +a a(a−3) = 3a−6 a(a−3) = 3(a−2) a(a−3); g) 2x x 2 −4− 1 x−2 = 2x

(x+ 2)(x−2) = 1 x+ 2; h) x xy−y 2 − y x 2 −xy = x y(x−y)− y x(x−y) = x 2 xy(x−y)− y 2 xy(x−y) = x 2 −y 2 xy(x−y) = (x+y)(x−y) xy(x−y) = x+y xy

23 PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC cVí dụ 8 Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau: a a−3− 3 a+ 3; a) 1

□ cVí dụ 9 Thực hiện phép tính sau

□ cVí dụ 10 Thực hiện các phép tính sau

Tìm x thõa mãn đẳng thức cho trước

Chuyển hạng tử không chứax về một vế, ta được biểu thức củax.

Rút gọn biểu thức củax. cVí dụ 11 Tìm x biết x− 1 a+ 1 = 2 a 2 −1 (alà hằng số)

□ cVí dụ 12 Tìm x biết x+ 1 a 2 −a = a a−1; (alà hằng số).

□ cVí dụ 13 Nếu cho X+ a 2 + 2 ãa a 3 −1 −1 = 2 a 2 +a+ 1 thì X là phân thức nào?

Rút gọn và tính giá trị biểu thức

○ Sử dụng phép cộng, trừ phân thức để rút gọn biểu thức.

○ Thay giá trị của biến đã cho vào biểu thức đã rút gọn và thực hiện các phép tính. cVí dụ 14 Rút gọn biểu thức P = 1 x +1 y − 1 x

23 PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC cVí dụ 15 Rút gọn biểu thức P = 3

□ cVí dụ 16 Rút gọn biểu thức

Khi thực hiện phép tính cộng và trừ các phân thức đại số, nếu có hai đa thức ở mẫu đối nhau, bạn nên áp dụng quy tắc đổi dấu cho một trong hai phân thức đó để đơn giản hóa phép tính Ví dụ, với biểu thức (x−1)(x²+x+1) = x(x²+x+1), việc nhận diện và xử lý đúng các yếu tố này sẽ giúp bạn đạt được kết quả chính xác hơn.

Khi giải phương trình (x + 1)(x + 5) = 4(x + 3)(x + 1), bạn nên chú ý rằng trong quá trình cộng và trừ các phân thức đại số, việc rút gọn các phân thức có thể thực hiện được là rất quan trọng Hãy rút gọn trước khi thực hiện các phép toán để đơn giản hóa quá trình tính toán.

□ cVí dụ 18 Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

=−2 □ cVí dụ 19 Tính giá trị của biểu thức

Vớix= 0,75thì giá trị của P = 1

45 □ cVí dụ 20 Rút gọn biểu thức

□ cVí dụ 21 Cho a+b+c= 0 Rút gọn biểu thức a) A= a 2 a 2 −b 2 −c 2 + b 2 b 2 −a 2 −c 2 + c 2 c 2 −a 2 −b 2 ; b) B = 1 b 2 +c 2 −a 2 + 1 c 2 +a 2 −b 2 + 1 a 2 +b 2 −c 2

Lời giải. a) Ta có a=−b−c nên a 2 =b 2 + 2bc+c 2 ⇒a 2 −b 2 −c 2 = 2bc.

Tương tự ta có b 2 −a 2 −c 2 = 2ac c 2 −a 2 −b 2 = 2ab.

23 PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC

Vậy từ (1) và (2) ta có A= 3abc

2. b) Ta cób+c=−anên b 2 +c 2 + 2bc=a 2 ⇒b 2 +c 2 −a 2 =−2bc.

Tương tự ta có c 2 +a 2 −b 2 =−2ac a 2 +b 2 −c 2 =−2ab.

○ Bài toán không quá khó, chỉ sử dụng biến đổi một cách linh hoạt các mẫu thức mà cần sử dụng giả thiết.

○ Bạn nên nhớ đẳng thức đẹp: Cho a+b+c= 0 thì ta cóa 3 +b 3 +c 3 = 3abc.

Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến Chứng minh đẳng thức

a) Thực hiện phép cộng, trừ các phân thức để rút gọn biểu thức không còn chứa biến. b) Chứng minh đẳng thức

○ Từ đẳng thức đã cho ta biến đổi một vế bằng vế còn lại.

○ Hoặc biến đổi cả hai vế cùng bằng một biểu thức. cVí dụ 22 Chứng tỏ giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biếnx.

□ cVí dụ 23 Chứng tỏ giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biếnx, y. x 2 +y 2 −1 x 2 + 2xy+y 2 + 2y x+y + 1−2y 2 x 2 + 2xy+y 2

Ta có x 2 +y 2 −1 x 2 + 2xy+y 2 + 2y x+y + 1−2y 2 x 2 + 2xy+y 2 = x 2 +y 2 −1 + 1−2y 2 x 2 + 2xy+y 2 + 2y x+y

□ cVí dụ 24 Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến x.

Vậy giá trị biểu thứcA đã cho không phụ thuộc vào giá trị củax □ cVí dụ 25 Chứng minh đẳng thức x−5y 2x−3y − 24xy

□ cVí dụ 26 Chứng minh đẳng thức x x+y + 2xy x 2 −y 2 − y x+y = x 2 +y 2 x 2 −y 2

□ cVí dụ 27 Chứng minh đẳng thức a 2 + 3ab a 2 −9b 2 +2a 2 −5ab−3b 2

Từ (1) và (2) ta có vế trái bằng vế phải, suy ra điều phải chứng minh □

Vận dụng

Trong một cuộc đua thuyền dài 3 km giữa hai điểm A và B, mỗi đội sẽ thực hiện một vòng đua từ A đến B và quay trở lại A Đội đua có tốc độ (x + 1) km/h khi xuôi dòng từ A đến B và tốc độ (x - 1) km/h khi ngược dòng từ B về A.

Để tính tổng thời gian đi và về của đội đua thuyền, ta sử dụng biểu thức tổng thời gian là T = T_đi + T_về Chênh lệch thời gian giữa đi và về được tính bằng ΔT = T_đi - T_về Khi vận tốc v = 6 km/h, ta có thể thay giá trị này vào các biểu thức để tính toán cụ thể cho các đại lượng thời gian và chênh lệch thời gian.

Quãng đường từA đến B dài3km Ta có: Thời gian = quãng đường vận tốc

Khi xuôi dòng, tốc độ của đội đua là(x+ 1)km/h nên thời gian đi (thời gian xuôi dòng) là 3 x+ 1 h.

Khi ngược dòng, tốc độ của đội đua là(x−1)km/h nên thời gian về (thời gian ngược dòng) là 3 x−1 h.

○ Tổng thời gian đi và về của đội đua thuyền là 3 x+ 1+ 3 x−1 h.

○ Chênh lệch thời gian giữa đi và về là 3 x−1− 3 x+ 1 h.

○ Khi v= 6 km/h tức là x= 6 Khi đó

— Tổng thời gian đi và về của đội đua thuyền là 3

— Chênh lệch thời gian giữa đi và về là 3

Tức là đi khi đội đua thuyền đi về thời gian lâu hơn khi đội đi là 6

Một đoàn tàu chở khách đi quãng đường 500km, bao gồm 50km qua thành phố và 450km qua vùng rừng núi Tốc độ tàu khi chạy qua thành phố kém 30 km/h so với tốc độ khi chạy qua vùng rừng núi, với tốc độ vùng rừng núi được ký hiệu là x (km/h) Thời gian tàu chạy qua vùng rừng núi được tính bằng công thức 450/x Thời gian tàu chạy qua thành phố là 50/(x - 30) Tổng thời gian tàu chạy trên cả quãng đường là 500/x + 50/(x - 30).

Lời giải. a) Phân thức biểu thị thời gian tàu chạy qua vùng rừng núi là 450 x (giờ). b) Tốc độ tàu chạy qua thành phố làx−30 (km/h).

Phân thức biểu thị thời gian tàu chạy qua thành phố là 50 x−30 (giờ). c) Thời gian tàu chạy trên cả quãng đường là

Vậy phân thức biểu thị thời gian tàu chạy trên cả quãng đường là 500x−13500 x(x−30) (giờ).

Một tàu du lịch di chuyển xuôi dòng 15 km với vận tốc 10 km/h trong nước yên lặng, và dòng nước có vận tốc x km/h Thời gian tàu chạy xuôi dòng được tính bằng công thức \( t_{xuôi} = \frac{15}{10 + x} \) Sau đó, tàu quay ngược lại về điểm xuất phát, thời gian ngược dòng là \( t_{ngược} = \frac{15}{10 - x} \) Tổng thời gian tàu chạy là \( T = t_{xuôi} + t_{ngược} = \frac{15}{10 + x} + \frac{15}{10 - x} \) Khi vận tốc dòng nước là 2 km/h, ta thay x = 2 vào công thức tổng thời gian, từ đó tính được tổng thời gian tàu chạy.

Lời giải. a) Ta có vận tốc của tàu du lịch khi nước xuôi dòng là10 +x (km/h) (x > 0) Suy ra thời gian xuôi dòng là t x = 15

Tương tự vận tốc của tàu di lịch khi nước ngược dòng là 10−x (km/h) (x > 0) Suy ra thời gian ngược dòng là tn= 15

Vậy tổng thời gian tàu chạy là t= 15

100−x (h) b) Khi vận tốc dòng nước là2 km/h thay vào ta có t= 300

C BÀI TẬP VẬN DỤNG cBài 1 Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau: a−1 a+ 1+3−a a+ 1; a) b a−b + a b−a; b) (a+b) 2 ab −(a−b) 2 ab c)

Lời giải. a) a−1 a+ 1+ 3−a a+ 1 = a−1 + 3−a a+ 1 = 2 a+ 1; b) b a−b+ a b−a= b a−b − a a−b = b−a a−b =−1; c) (a+b) 2 ab −(a−b) 2 ab = (a 2 + 2ab+b 2 )−(a 2 −2ab+b 2 ) ab = 4ab ab = 4.

23 PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC c) xy x 2 −y 2 − x 2 y 2 −x 2 = xy x 2 −y 2 + x 2 x 2 −y 2 = xy+x 2 x 2 −y 2 = x(x+y)

□ cBài 3 Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

(x+ 1)(x−1) = −4x x 2 −1; c) x+y xy −y+z yz = z(x+y) xyz −x(y+z) xyz = xz+yz−xy−xz xyz = y(z−x) xyz = z−x xz ; d) 2 x−3− 12 x 2 −9 = 2(x+ 3)

□ cBài 4 Thực hiện các phép tính sau: x+ 2 x−1 −x−3 x−1 +x−4

□ cBài 5 Thực hiện phép tính

23 PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC cBài 7 Thực hiện phép tính

□ cBài 8 Thực hiện phép tính x 2 −3x+ 1 2x 2 + 5x−1−x 2

□ cBài 10 Thực hiện phép tính a) 1 x + 2 x+ 1+ 3 x+ 2− 1 x − 2 x−1 − 3 x+ 2. b) 2x−1 x + 1−x

□ cBài 11 Thực hiện phép tính a) x 2 + 4x+ 4 x 2 −4 + x

□ cBài 12 Thực hiện phép tính x−y xy +y−z yz +z−x zx a) x

Lời giải. a) Ta có: x−y xy +y−z yz +z−x zx = z(x−y) +x(y−z) +y(z−x) xyz

= zx−zy+xy−xz+yz−yx xyz

= (zx−xz) + (−zy+yz) + (xy−yx) xyz

2x−1 dưới dạng tổng một đa thức và một phân thức có tử thức là hằng số.

2x−1 Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của phân thức P là một số nguyên.

2x−1; x∈Z. ĐểP nhận giá trị nguyên thì 2x−1∈Ư(7).

−(5x−1) +(y−3)ã(5x+ 1) y−3 =−5x−1 + 5x+ 1 = 0 □ cBài 18 Cho (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 Rút gọn biểu thức

Từ(a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 , ta có a 2 +b 2 +c 2 + 2(ab+bc+ca) =a 2 +b 2 +c 2 nênab+bc+ca= 0.

Xéta 2 + 2bc=a 2 + 2bc−ab−bc−ca=a 2 −ab−ca+bc

Tương tự ta có b 2 + 2ac= (b−a)(b−c) c 2 + 2ab= (c−a)(c−b).

(a−b)(b−c)(c−a) Phân tích tử thức thành nhân tử, ta có

□ cBài 19 Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vàox.

2 □ cBài 20. a) Thực hiện phép tính 1 x− 1 x+ 1. b) Thu gọn biểu thức

Lời giải. a) 1 x(x+ 1). b) Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi áp dụng câu a.

□ cBài 21. a) Rút gọn biểu thức: A= 2x 2 + 1 x 3 + 1 + 1−x x 2 −x+ 1− 1 x+ 1; b) Tính giá trị của biểu thức A tạix=−3.

Lời giải. a) Rút gọn biểu thứcA như sau:

(x+ 1) (x 2 −x+ 1) = 1 x 2 −x+ 1. b) Điều kiện xác định của phân thức 1 x 2 −x+ 1 làx 2 −x+ 1̸= 0.

Do đó, giá trị của biểu thức Atại x=−3là 1

Trong bài toán này, hai phương tiện di chuyển từ thành phố A đến thành phố B, cách nhau 450 km Xe khách di chuyển với tốc độ x km/h, trong khi xe tải chạy với tốc độ y km/h, với điều kiện x > y Câu hỏi đặt ra là thời gian mà xe khách đến thành phố B sớm hơn xe tải là bao nhiêu giờ nếu cả hai xuất phát cùng lúc.

Quãng đường đi từ thành phốA đến thành phốB cách nhau450km.

Xe khách chạy với tốc độx km/h nên thời gian xe khách đi hết quãng đường AB là 450 x h.

Xe tải chạy với tốc độy km/h nên thời gian xe tải đi hết quãng đườngAB là 450 y h.

Thời gian xe khách đến thành phốB sớm hơn xe tải là 450 y −450 x = 450x−450y xy h □ cBài 23.

Ba hình hộp chữ nhật A, B, C có chiều dài, chiều rộng và thể tích được chỉ định Hình B và C có kích thước giống nhau, trong khi hình A có chiều rộng tương tự B và C Để tính chiều cao của các hình hộp chữ nhật, cần biểu thị chiều cao bằng các phân thức cùng mẫu số Tiếp theo, tính tổng chiều cao của hình A và C, cũng như chênh lệch chiều cao giữa hình A và B.

P Q a cm 3 b cm 3 x cm y cm z cm

Lời giải. a) Ta cúV =Chiều dài ã Chiều rộng ã Chiều cao⇒Chiều cao= V

Chiều dàiãChiều rộng Dựa vào Hỡnh2 ta thấy:

○ Khối hộp chữ nhật A có thể tích là acm 3 , chiều dài là x cm và chiều rộng là z cm nên chiều cao là a xz = ay xyz cm.

○ Khối hộp chữ nhật B có thể tích là b cm 3 , chiều dài là y cm và chiều rộng là z cm nên chiều cao là b = bx cm.

Khối hộp chữ nhật C có kích thước tương đương với khối hộp B, với chiều cao là bx xyz cm Tổng chiều cao của hai hình A và C được tính bằng công thức ay xyz + bx xyz = (ay + bx) xyz cm.

Ta có ay xyz − bx xyz = ay−bx xyz nên hìnhA cao hơn hìnhB là ay−bx xyz cm.

Một xí nghiệp dự định sản xuất 10.000 sản phẩm trong x ngày Tuy nhiên, xí nghiệp đã hoàn thành sớm hơn 1 ngày và sản xuất thêm 80 sản phẩm Để tính số sản phẩm xí nghiệp dự kiến sản xuất trong 1 ngày, ta có thể biểu thị bằng phân thức là 10.000/x Số sản phẩm thực tế xí nghiệp làm trong 1 ngày là 10.080/(x-1) Cuối cùng, số sản phẩm thực tế nhiều hơn số sản phẩm theo dự định là (10.080/(x-1)) - (10.000/x).

Trong một ngày, xí nghiệp dự định sản xuất 10.000 sản phẩm Tuy nhiên, số sản phẩm thực tế hoàn thành là 10.080, tăng thêm 80 sản phẩm so với kế hoạch.

Số ngày xí nghiệp đã hoàn thành trên thực tế là x−1 (ngày).

Số sản phẩm mà xí nghiệp sản xuất trong một ngày thực tế đạt 10.080 x−1 (sản phẩm) Điều này cho thấy số lượng sản phẩm thực tế nhiều hơn so với kế hoạch ban đầu của xí nghiệp.

Trong bài toán này, chúng ta có hai vòi nước chảy vào một bể trống Thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể ít hơn vòi thứ hai 2 giờ, ký hiệu thời gian vòi thứ nhất là x (giờ) a) Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x + 2 giờ b) Phần bể mà mỗi vòi chảy được trong 1 giờ lần lượt là 1/x và 1/(x + 2) c) Phần bể mà cả hai vòi chảy được trong 1 giờ là (1/x) + (1/(x + 2)).

Theo đề bài, vòi thứ nhất cần ít hơn 2 giờ để làm đầy bể so với vòi thứ hai khi hoạt động độc lập.

Hay thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể nhiều hơn thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là 2 giờ.

Do đó, thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x+ 2(giờ). b) Số phần bể mà vòi thứ nhất chảy được trong1 giờ là 1 x (bể).

Số phần bể mà vòi thứ hai chảy được trong 1 giờ là 1 x+ 2 (bể). c) Số phần bể mà cả hai vòi chảy được trong 1 giờ là

Để hưởng ứng phong trào Tết trồng cây, chi đoàn thanh niên dự định trồng 120 cây xanh Ban đầu, số đoàn viên của chi đoàn là x, và mỗi đoàn viên sẽ trồng số cây như nhau Khi thực hiện, chi đoàn được tăng cường thêm 3 đoàn viên, do đó số đoàn viên thực tế là x + 3 Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định là 120/x, trong khi theo thực tế là 120/(x + 3) Sự chênh lệch giữa số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định và thực tế được biểu thị bằng 120/x - 120/(x + 3).

Lời giải. a) Theo dự định, chi đoàn thanh niên trồng120cây xanh, ban đầu chi đoàn cóx đoàn viên.

Do đó, phân thức biểu thị số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định là 120 x (cây). b) Theo thực tế, chi đoàn được tăng cường thêm3 đoàn viên.

Khi đó, số đoàn viên của chi đoàn theo thực tế là x+ 3(đoàn viên).

Số cây mà mỗi đoàn viên trồng theo thực tế là 120x + 3 cây Sự khác biệt giữa số cây dự định và số cây thực tế mà mỗi đoàn viên trồng là một yếu tố quan trọng cần xem xét.

Vậy phân thức biểu thị số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định nhiều hơn số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế là 360 x(x+ 3) (cây).

Gia đình cô Lương nuôi ba con lợn, tất cả đều ăn cùng một loại thức ăn gia súc Biểu đồ cột dưới đây thể hiện số ngày mà mỗi con lợn tiêu thụ hết một bao thức ăn Để tính toán lượng thức ăn cần thiết cho cả ba con lợn trong x ngày (với x ∈ N*), chúng ta cần phân tích dữ liệu từ biểu đồ để đưa ra con số chính xác.

Dựa vào biểu đồ cột, ta có

○ Con lợn thứ nhất ăn 3 ngày hết1 bao thức ăn.

Khi đó, mỗi ngày con lợn thứ nhất ăn hết 1

Do đó, con lợn thứ nhất ăn trong xngày hết x

○ Con lợn thứ hai ăn 6 ngày hết1 bao thức ăn.

Khi đó, mỗi ngày con lợn thứ hai ăn hết 1

Do đó, con lợn thứ hai ăn trong x ngày hết x

○ Con lợn thứ ba ăn 4ngày hết 1bao thức ăn.

Khi đó, mỗi ngày con lợn thứ hai ăn hết 1

Do đó, con lợn thứ hai ăn trong x ngày hết x

Cả ba con lợn ăn trongx ngày(x∈N ∗ ) thì cần x

Vậy cả ba con lợn ăn trongxngày(x∈N ∗ ) thì cần 3x

PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Phép nhân các phân thức đại số

○ Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau

○ Phép nhân các phân thức có các tính chất:

— Phân phối đối với phép cộng: A

Phân thức nghịch đảo

○ Hai phân thức được gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng1.

B là phân thức khác0 thì A

B là phân thức nghịch đảo của phân thức B

Phép chia

B với phân thức nghịch đảo của C

Thực hiện phép nhân, phép chia các phân thức

cVí dụ 1 Thực hiện các phép tính sau:

24 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC b) 5x+ 5y 4x−4y ã 6x−6y

□ cVí dụ 2 Thực hiện phép tính sau x 2 −25 x 2 −3x : x 2 + 5x x 2 −9 ; a) −25x 2 y 5

□ cVí dụ 3 Thực hiện phép tính x+ 1 x+ 2 :x+ 2 x+ 3 : x+ 3 x+ 1.

Rút gọn biểu thức

Thực hiện phép nhân và phép chia các phân thức đại số để rút gọn biểu thức K Ví dụ, với biểu thức K = (x + 1)/(x - 1) - (x - 1)/(x + 1) + (x^2 - 4x - 1)/(x^2 - 1) + (x + 2003), chúng ta cần rút gọn K Bên cạnh đó, cần xác định các giá trị nguyên của x để K trở thành một số nguyên.

K= x 2 −1 x 2 −1ãx+ 2003 x Vậy K = x+ 2003 x b) Điều kiện xác định: x̸= 0;x̸= 1;x̸=−1 Ta cóK = 1 +2003 x Để K∈Zthì 2003 x ∈Z⇒x∈Ư(2003) vàx̸= 1;x̸=−1.

Vậy x∈ {−2003; 2003} thìK nhận giá trị nguyên.

□ cVí dụ 5 Thực hiện phép tính sau a) P = 12x+ 5 x+ 9 ã 4x+ 3

Lời giải. a) Dùng tính chất phân phối, ta có

30. b) Dùng tính chất phân phối, ta có

□ cVí dụ 7 Chox̸= 0,x̸=±2 Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức

Rút gọn biểu thức ta có

= 4x+ 8−3x+ 6 x 2 −4 ã x 2 x+ 14 = x+ 14 x 2 −4 ã x 2 x+ 14 = x 2 x 2 −4. Thayx=−3 vào biểu thức rút gọn ta được

24 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC

Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước

○ Tỡmx từ đẳng thứcx:A=B, ta cú x=AãB.

○ Tỡmx từ đẳng thứcAãx=B, ta cúx=B:A.

○ Rút gọn biểu thứcB :A dựa vào phép chia phân thức. cVí dụ 8 Tìm biểu thứcx, biết x: a 2 +a+ 1 2a+ 2 = a+ 1 a 3 −1.

□ cVí dụ 9 Tìmx, biết a+ 1 a+ 2ãx= a 2 −1 a 2 + 2a, vớialà hằng số; a̸= 1;a̸=−1;a̸= 0;a̸=−2.

Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến

Để rút gọn biểu thức không chứa biến, ta thực hiện phép tính các phân thức Ví dụ 10: Với điều kiện ab + bc + ca = 1, ta cần chứng minh rằng tích sau đây không phụ thuộc vào biến số.

Vậy giá trị biểu thứcA không phụ thuộc vào giá trị của biến □ cVí dụ 11 Cho a+b+c= 0 Chứng minh rằng tích sau không phụ thuộc vào biến số

M = 4bc−a 2 bc+ 2a 2 ã4ca−b 2 ca+ 2b 2 ã4ab−c 2 ab+ 2c 2 ; a) N 1 +a b ã Å

4bc−a 2 bc+ 2a 2 = 4bc−(b+c) 2 bc+ 2a(b+c) = −(b 2 −2bc+c 2 ) bc+a 2 −ab−ac = −(b−c) 2

M = 4bc−a 2 bc+ 2a 2 ã4ca−b 2 ca+ 2b 2 ã4ab−c 2 ab+ 2c 2 = −(a−b) 2 (b−c) 2 (c−a) 2

Vậy giá trị biểu thức M không phụ thuộc vào giá trị của biến. b) Ta có

Vậy giá trị biểu thức N không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Để tính tốc độ của tàu hỏa so với ô tô, ta có thể sử dụng công thức tốc độ = khoảng cách / thời gian Với khoảng cách từ thành phố A đến B là s km (s = 350 km), thời gian tàu hỏa là a = 5 giờ và thời gian ô tô là b = 7 giờ, ta có tốc độ của tàu hỏa là 350/5 = 70 km/h và tốc độ của ô tô là 350/7 = 50 km/h Từ đó, tốc độ của tàu hỏa gấp 70/50 = 1.4 lần tốc độ của ô tô.

Vận tốc tàu hỏa: s a (km/h).

Vận tốc tàu hỏa gấp vận tốc ô tô: s a: s b = s aãb s = b a (lần).

Giá trị cần tính là b a = 7

Máy A xát được x tấn gạo trong a giờ, trong khi máy B xát được y tấn gạo trong b giờ Công suất của máy A được biểu thị bằng biểu thức \(\frac{x}{a}\) tấn gạo mỗi giờ, và công suất của máy B là \(\frac{y}{b}\) tấn gạo mỗi giờ Để so sánh công suất của hai máy, ta có thể viết biểu thức \(\frac{\frac{x}{a}}{\frac{y}{b}} = \frac{x \cdot b}{y \cdot a}\), từ đó xác định công suất của máy A gấp bao nhiêu lần máy B Khi thay giá trị x=3, a=5, y=2, b=4 vào biểu thức này, ta tính được giá trị cụ thể của tỷ lệ công suất giữa hai máy.

Lời giải. a) Công suất máy A là x a, Công suất máy B là y b. b) Công suất của máy A gấp máy B: x a: y b = x aã b y = xb ay (lần). c) Tính giá trị biểu thức ở câu b khix= 3, a= 5, y = 2, b= 4. xb ay = 3ã4

Một ca nô di chuyển từ A đến B trên một đoạn sông dài 20 km, với tốc độ dòng nước là 3 km/h và tốc độ của ca nô là x km/h Thời gian ca nô đi xuôi dòng từ A đến B được tính bằng công thức: \( t_{xuôi} = \frac{20}{x + 3} \) Ngược lại, thời gian ca nô đi ngược dòng từ B về A là: \( t_{ngược} = \frac{20}{x - 3} \) Tỉ số của thời gian ca nô đi xuôi dòng và ngược dòng được biểu thị bằng phân thức: \( \frac{t_{xuôi}}{t_{ngược}} = \frac{\frac{20}{x + 3}}{\frac{20}{x - 3}} = \frac{x - 3}{x + 3} \).

Lời giải. a) Do tốc độ ca nô đi xuôi dòng làx+ 3( km/h) nên phân thức biểu thị thời gian ca nô đi xuôi dòng từ Ađến

Thời gian ca nô đi xuôi dòng từ A đến B là 20 x + 3 giờ, trong khi thời gian đi ngược dòng từ B về A được biểu thị bằng phân thức 20/(x - 3) giờ, với tốc độ ca nô đi ngược dòng là x - 3 km/h Tỉ số giữa thời gian ca nô đi xuôi dòng và thời gian đi ngược dòng là một yếu tố quan trọng trong việc phân tích hành trình.

20 = x−3 x+ 3ã Vậy phân thức biểu thị tỉ số thời gian ca nô đi xuôi dòng từ A đến B và thời gian ca nô đi ngược dòng từ

Bác Châu vay 1,2 tỷ đồng để mua nhà theo hình thức trả góp, với số tiền phải trả hàng tháng bao gồm cả gốc và lãi Để tính số tiền mà bác Châu phải trả mỗi tháng (x triệu đồng) dựa trên số tháng vay (y tháng) và lãi suất năm (r), ta có công thức: x = (gốc/tháng) + (gốc * lãi suất tháng) Từ đó, có thể suy ra lãi suất năm (r) theo x và y Cụ thể, với x = 30 triệu đồng và y = 48 tháng, lãi suất năm của khoản vay này được tính toán và cho biết là bao nhiêu phần trăm.

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN cBài 1 Tính

□ cBài 2 Thực hiện các phép tính sau

□ cBài 3 Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

99 □ cBài 4 Hãy điền phân thức thích hợp vào dấu trong đẳng thức sau

1 xã x x+ 1ãx+ 1 x+ 2ãx+ 2 x+ 3ãx+ 3 x+ 4ãx+ 4 x+ 5ã .= 1.

1 xã x x+ 1ãx+ 1 x+ 2ãx+ 2 x+ 3ãx+ 3 x+ 4ãx+ 4 x+ 5 = 1 x+ 5.

Vậy phân thức cần điền làx+ 5 □ cBài 5 Chox+y+z= 1 Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến số

Ta có xy+z=xy+z(x+y+z) =xy+xz+yz+z 2 = (z+x)(z+y).

Tương tự ta có yz+x= (x+y)(x+z) zx+y= (y+x)(y+z).

Vậy giá trị biểu thứcP không phụ thuộc vào giá trị của biến □ cBài 6 Thực hiện các phép tính a) A= 1 4 + 4

. Áp dụng kết quả, ta được

+1 4 ô Áp dụng kết quả vào B, ta tính đượcB= 1

(x+ 2)(x−2)ãx−2 x+ 3 = 3 x+ 2. b) 5x 2 + 10xy x 2 + 2xy+ 4y 2 : x+ 2y x 3 −8y 3 = 5x(x+ 2y) x 2 + 2xy+ 4y 2 ã(x−2y)(x 2 + 2xy+ 4y 2 ) x+ 2y = 5x(x−2y).

□ cBài 9 Thực hiện phép chia a) A= x+y+z

□ cBài 10 Hãy điền phân thức thích hợp vào dấu trong đẳng thức sau x x+ 1: x+ 1 x+ 2 : x+ 2 x+ 3 : x+ 3 x+ 4 : x+ 4 x+ 5: .= 1.

Kết quả của4phép chia đầu là x x+ 1 : x+ 1 x+ 2 : x+ 2 x+ 3: x+ 3 x+ 4 : x+ 4 x+ 5 = x x+ 1ãx+ 2 x+ 1ãx+ 3 x+ 2ãx+ 4 x+ 3ãx+ 5 x+ 4 = x(x+ 5)

Vậy phân thức cần điền vào chỗ trống là x(x+ 5)

Bài 13 đề cập đến việc Tâm đạp xe từ nhà đến câu lạc bộ câu cá với quãng đường 15 km và tốc độ x (km/h) Trong lượt về, do thuận chiều gió, tốc độ tăng thêm 4 km/h Để tính tổng thời gian T cho cả hai lượt đi và về, ta có thể sử dụng công thức T = (15/x) + (15/(x+4)) Hiệu thời gian t giữa lượt đi và lượt về được biểu thị bằng t = (15/x) - (15/(x+4)) Khi x = 10, ta có thể tính giá trị cụ thể cho T và t.

Lời giải. a) Viết biểu thức biểu thị tổng thời gianT hai lượt đi và về.

Vậy T = 15 x + 15 x+ 4. b) Viết biểu thức biểu thị hiệu thời giant lượt đi đối với lượt về: t= 15 x − 15 x+ 4. c) TínhT vàtvới x= 10.

Trong bài 14, một xí nghiệp có kế hoạch sản xuất 120 tấn hàng trong x ngày Nhờ vào cải tiến kỹ thuật, xí nghiệp đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 1 ngày và sản xuất thêm 5 tấn hàng Số tấn hàng xí nghiệp dự định làm trong 1 ngày được tính bằng 120/x Số tấn hàng thực tế xí nghiệp làm trong 1 ngày là 125/(x-1) Tỷ số giữa số tấn hàng thực tế và số tấn hàng dự định trong 1 ngày là (125/(x-1)) / (120/x).

Trong bài toán này, số tấn hàng mà xí nghiệp dự định sản xuất trong một ngày là 120x tấn Tuy nhiên, số tấn hàng thực tế mà xí nghiệp sản xuất trong một ngày là 120x - 1 + 5 tấn Tỉ số giữa số tấn hàng thực tế và số tấn hàng dự định được tính bằng công thức: (120x - 1 + 5) : 120x = (5x + 115) : (x - 1).

□ cBài 15 Một xe ô tô chở hàng đi từ địa điểm A đến địa điểm B hếtx giờ Sau khi trả hàng tại địa điểm

Để giải bài toán này, ta biết rằng quãng đường từ A đến B dài 160 km Gọi tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B là v1 và tốc độ khi chạy từ B về A là v2 Thời gian xe chạy từ A đến B là \(\frac{160}{v1}\) giờ, trong khi thời gian xe chạy từ B về A là \(\frac{160}{v2}\) giờ Theo đề bài, thời gian quay ngược trở lại từ B về A là \(x - 1\) giờ Do đó, ta có thể viết phân thức cho tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B là \(v1 = \frac{160}{t1}\) và từ B về A là \(v2 = \frac{160}{t2}\) Cuối cùng, tỉ số của tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B và từ B về A là \(\frac{v1}{v2} = \frac{t2}{t1}\).

Tốc độ xe ô tô khi di chuyển từ A đến B là 160x km/h, trong khi tốc độ khi quay trở lại từ B về A là 160x−1 km/h Tỉ số giữa tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B và tốc độ khi trở về từ B về A được tính toán dựa trên hai giá trị này.

Bác Châu vay 1,2 tỉ đồng từ ngân hàng để mua nhà theo hình thức trả góp, với số tiền phải trả hàng tháng bao gồm cả gốc và lãi Nếu bác Châu trả 15 triệu đồng mỗi tháng trong vòng 10 năm, câu hỏi đặt ra là lãi suất năm (tính theo %) là bao nhiêu.

Bác Châu cần xác định tổng số tiền thực tế phải trả chênh lệch so với khoản vay 1,2 tỷ đồng Trong công thức tính lãi suất năm, hai biến x và y phải thỏa mãn các điều kiện x > 0, y > 0, và xy > 1200 Ý nghĩa thực tiễn của các điều kiện này là đảm bảo rằng cả x và y đều có giá trị dương, đồng thời sản phẩm của chúng phải lớn hơn 1200, phản ánh tính khả thi và hợp lý trong việc xác định lãi suất.

Số tiền bác Châu phải trả hàng tháng là 15.120 = 1 800( triệu đồng)=1,8 (tỉ đồng).

Số tiền chêch lệch so với số tiền thực tế là 600triệu đồng. b) x là số tiền trả hàng tháng nên x >0. y là số tháng trả hết tiền nên y >0.

1200 ở đây được hiểu hiểu là1200triệu hay1,2 tỉ đồng khi trả cho ngân hàng thì ngân hàng phải có lời để duy trì hoạt động do đó xy >1200.

○ Mỗi biểu thức là một phân thức hoặc biểu thị một dãy phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên những phân thức gọi là biểu thức hữu tỉ.

○ Nhờ các quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức, ta có thể biến đổi biểu thức hữu tỉ thành một phân thức.

○ Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 là điều kiện để giá trị của phân thức được xác định.

Tìm điều kiện của biến để phân thức xác định

Để xác định giá trị của biến sao cho mẫu thức khác 0, chúng ta cần tìm các giá trị của biến mà không làm cho mẫu thức trở thành 0 Ví dụ, với giá trị cụ thể của biến x, chúng ta sẽ xem xét các giá trị nào của x làm cho phân thức được xác định.

Lời giải. a) Giá trị của phân thức 5x

3x−6 được xác định khi3x−6̸= 0 hay 3x̸= 6, suy rax̸= 2. b) Giá trị của phân thức x−2 x 2 + 8x được xác định khix 2 + 8x̸= 0 hay x(x+ 8)̸= 0, suy ra x̸= 0 vàx̸=−8. c) Giá trị của phân thức x 2 −1

16x 2 −25 được xác định khi16x 2 −25̸= 0 hay x 2 ̸= 25

Dạng 2 Tìm giá trị của xđể phân thức bằng 0 Giá trị của phân thức bằng 0khi tử có giá trị bằng 0 và mẫu có giá trị khác0.

A(x) B(x) = 0 khi A(x) = 0 vàB(x)̸= 0. cVí dụ 2 Tìm giá trị củax để giá trị phân thức sau bằng0. x 2 −1 x 2 + 2x+ 1; a) x 2 −5x+ 6 x 2 −4 b)

Phân thức bằng0khi tử thức bằng 0, mẫu thức khác 0. a) x 2 −1 x 2 + 2x+ 1 = 0 khi ®x 2 −1 = 0

24 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC b) x 2 −5x+ 6 x 2 −4 = (x−2)(x−3)

Dạng 3 Rút gọn biểu thức

Thực hiện phép nhân và phép chia các phân thức đại số để rút gọn biểu thức. cVí dụ 3 Rút gọn biểu thức

Lời giải. Điều kiệnx̸= 0;x̸= 1;x̸= 2 Ta có

□ cVí dụ 4 Cho biểu thứcA Å x+ 2 x 2 −x + x−2 x 2 +x ã ãx 2 −1 x 2 + 2. Rút gọn A. a) b) Tính giá trị củaA vớix= 100.

□ cVí dụ 5 Rút gọn biểu thức a) A Å

2 y +2 z 1 xy + 1 yz + 1 zx + (x+y+z) 2 Åy 2 −yz+z 2 x + x 2 y+z − 3yz y+z ã ã

= 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 −2xy−2yz−2xz+x 2 +y 2 +z 2 + 2xy+ 2yz+ 2zx

Hôm qua, thanh long có giá bán là a đồng mỗi kilôgam Hôm nay, giá thanh long đã giảm 1000 đồng mỗi kilôgam Với số tiền b đồng, hôm nay bạn có thể mua được nhiều hơn bao nhiêu kilôgam thanh long so với hôm qua?

Gọia−1000(đồng) là số tiền mỗi kilôgam thanh long ngày hôm nay.

Số kilôgam thanh long mua được với số tiềnbđồng ngày hôm qua là b a kilôgam.

Số kilôgam thanh long mua được với số tiềnbđồng ngày hôm nay là b a−1000 kilôgam.

Số kilôgam thanh long mua được nhiều hơn hôm qua là b a− b a−1000 kilôgam Hai người thợ cùng sơn một bức tường, trong đó người thứ nhất hoàn thành công việc chậm hơn người thứ hai 2 giờ Gọi x là thời gian mà người thứ nhất cần để sơn xong bức tường Phân thức biểu thị tổng số phần của bức tường mà người thứ nhất sơn trong 3 giờ và người thứ hai sơn trong 4 giờ theo x được viết như sau: (3/x) + (4/(x−2)).

Gọixlà số giờ mà người thứ nhất một mình sơn xong bức tường.

⇒1 giờ người thứ nhất sơn được 1 x bức tường.

⇒3 giờ người thứ nhất sơn được 3 bức tường.

⇒người thứ hai một mình sơn xong bức tường mất x−2giờ.

⇒1 giờ người thứ hai sơn được 1 x−2 bức tường.

Do đó, số phần của bức tường sơn được mà người thứ nhất sơn trong3giờ và người thứ hai sơn trong 4giờ là

Từ năm 2000 đến năm 2006, số tiền A (triệu đô la Mỹ) mà người Mỹ chi cho việc mua sắm đồ ăn và đồ uống khi ra ngoài, cùng với dân số P (triệu người) của Mỹ, được xác định theo công thức nhất định.

Trong đó,t là số năm tính từ năm2000,t= 0 tương ứng với năm 2000.

(Nguồn: U.S Bureau of Economic Analysis and U.S Census Bureau)

Viết phân thức biểu thị (theo t) số tiền bình quân hằng năm mà mỗi người Mỹ đã chi cho việc mua đồ ăn, đồ uống khi ra khỏi nhà.

Số tiền bình quân hằng năm mà mỗi người Mỹ đã chi cho việc mua đồ ăn, đồ uống khi ra khỏi nhà là

C BÀI TẬP VẬN DỤNG cBài 1 Giá trị của phân thức 2x−1 x 2 −4 được xác định khi nào?

Giá trị của phân thức 2x−1 x 2 −4 được xác định khix 2 −4̸= 0 hay (x+ 2)(x−2)̸= 0, suy rax̸=±2 □ cBài 2 Tìm giá trị củax để giá trị của phân thức

Lời giải. a) 2x 2 + 10x+ 12 x 3 −4x = 2(x+ 2)(x+ 3) x(x+ 2)(x−2) = 0khi ®2(x+ 2)(x+ 3) = 0 x(x+ 2)(x−2)̸= 0 suy rax=−3. b) x 3 +x 2 −x−1 x 3 −2x 2 +x = (x+ 1) 2 (x−1) x(x−1) 2 = 0 khi ®(x+ 1) 2 (x−1) = 0 x(x−1) 2 ̸= 0 suy ra x=−1.

□ cBài 3 Thực hiện các phép tính sau. a) 1 xy + 1 yz + 1 zx; b) x

Lời giải. a) 1 xy + 1 yz + 1 zx = z xyz + x xyz + y xyz = x+y+z xyz ; b) x 2x−y + y

□ cBài 4 Thực hiện các phép tính sau. a) 4x−6 5x 2 −xã25x 2 −10x+ 1

□ cBài 5 Thực hiện các phép tính sau. a) 4x 2 −1 16x 2 −1 Å 1 2x+ 1+ 1

9−x 2 +4x+ 8 x+ 3. a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P tại x= 7. c) Chứng tỏ P = 3 + 2 x+ 3 Từ đó tìm tất cả các giá trị nguyên củax sao cho biểu thức đã cho nhận giá trị nguyên.

(3−x) (x+ 3)+ 4x+ 8 x+ 3 = 3−x+ 4x+ 8 x+ 3 = 3x+ 11 x+ 3 b) Thayx= 7 vào biểu thứcP ta được P = 3ã7 + 11

10. c) P = 3x+ 11 x+ 3 = 3x+ 9 + 2 x+ 3 = 3 + 2 x+ 3. Với xnguyên, P nhận giá trị nguyên khi (x+ 3)∈ Ư(2) ={±1;±2}.

Vậy các giá trị nguyên của x đểP nguyên là{−5;−4;−2;−1}.

2−x. a) Rút gọn N. b) Tìm giá trị nguyên của x để N nhận giá trị nguyên.

(x−2)(x+ 2) = −1 x+ 2. b) Để N nhận giá trị nguyên thì x+ 2∈Ư(−1).

Suy ra x+ 2∈ {−1; 1}hay x∈ {−3;−1}, thỏa mãn điều kiện.

Vậy với x∈ {−3;−1} thìN nhận giá trị nguyên.

□ cBài 8 Rút gọn các biểu thức sau a) A ù 1 a 2 + 1 b 2 + 2 a+bã Å1 a+1 b ãò ã ab (a+b) 2 b) B ù 1 (2x−y) 2 + 2

Lời giải. a) A ù1 a 2 + 1 b 2 + 2 a+b ã Å1 a+1 b ãò ã ab (a+b) 2 ù1 a 2 + 1 b 2 + 2 ab ò ã ab (a+b) 2

□ cBài 9 Rút gọn biểu thức sau x x−y − y x+y y x−y + x x+y

Trên một dòng sông, một con thuyền di chuyển với tốc độ (x + 3) km/h khi đi xuôi dòng và (x - 3) km/h khi đi ngược dòng, với điều kiện x > 3 Trong phần a), thuyền xuất phát từ bến A, đi xuôi dòng trong 4 giờ và ngược dòng trong 2 giờ Cần tính quãng đường thuyền đã đi và khoảng cách từ thuyền đến bến A sau khi hoàn thành hành trình Ở phần b), thuyền đi xuôi dòng đến bến B cách bến A 15 km, nghỉ 30 phút, sau đó quay về bến A.

A Sau bao lâu kể từ lúc xuất phát thì thuyền quay về đến bến A?

Lời giải. a) Quãng đường thuyền đi xuôi dòng trong 4 giờ là4(x+ 3) (km).

Quãng đường thuyền đi ngược dòng trong 2 giờ là 2(x−3)(km).

Quãng đường thuyền đã đi là 4(x+ 3) + 2(x−3) = 4x+ 12 + 2x−6 = 6x+ 6(km).

Vì lúc đầu thuyền đi xuôi dòng và quay về đi ngược dòng nên quãng đường còn cách bếnAlà4(x+3)−2(x−3) 4x+ 12−2x+ 6 = 2x+ 18(km). b) Đổi30 (phút) bằng 1

Thời gian thuyền đi xuôi dòng từ Ađến Blà 15 x+ 3 (h).

Thời gian thuyền đi ngược dòng từ BđếnA là 15 x−3 (h).

Thời gian thuyền đi kể từ lúc xuất phát đến khi thuyền quay về đến bếnA là 15 x+ 3+1

Một xưởng may lập kế hoạch sản xuất 80.000 bộ quần áo trong x ngày Nhờ cải tiến kỹ thuật, xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm 11 ngày và sản xuất vượt kế hoạch 100 bộ quần áo Để xác định số bộ quần áo mỗi ngày theo kế hoạch, ta có thể viết phân thức là 80.000/x Số bộ quần áo thực tế mỗi ngày xưởng may được là (80.000 + 100)/(x - 11) Biểu thức thể hiện số bộ quần áo mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn so với kế hoạch là [(80.000 + 100)/(x - 11)] - [80.000/x] Nếu theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng may 800 bộ quần áo, thì nhờ cải tiến kỹ thuật, mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn so với kế hoạch là [(80.000 + 100)/(x - 11)] - 800.

Theo kế hoạch, xưởng may dự kiến sản xuất 80.000 bộ quần áo trong x ngày, tương đương với số lượng 80.000/x bộ mỗi ngày Tuy nhiên, thực tế thời gian hoạt động của xưởng chỉ là x - 11 ngày, và số bộ quần áo hoàn thành là 80.100 bộ, tức là tăng thêm 100 bộ so với kế hoạch ban đầu.

Số bộ quần áo thực tế mà xưởng may sản xuất mỗi ngày dao động từ 80 đến 100 bộ, với công thức tính là 80 + 100x - 11 Sự chênh lệch giữa số bộ quần áo sản xuất thực tế và kế hoạch hàng ngày là một yếu tố quan trọng cần xem xét.

80 100 x−11− 80 000 x = 80 100x−80 000x+ 880 000 x(x−11) = 100x+ 880 000 x(x−11) (bộ). d) Theo kế hoạch, mỗi ngày xí nghiệp may800bộ quần áo nên 80 000 x = 800 suy rax= 100.

Khi đó, số bộ quần áo mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn so với kế hoạch là

□ cBài 12 Một xe ô tô đi từ Hà Nội đến Vinh với vận tốc trung bình là60 km/h và dự kiến sẽ đến Vinh sau

5 giờ chạy xe Tuy nhiên, sau22

Xe chạy từ Hà Nội đến Vinh trong 3 giờ với vận tốc 60 km/h, tổng quãng đường là 180 km Sau khi dừng nghỉ 20 phút, thời gian còn lại để đến Vinh đúng giờ là 2 giờ 40 phút Quãng đường còn lại sau khi dừng nghỉ là 120 km Nếu xe tăng vận tốc thêm x (km/h) ở chặng thứ hai, thời gian thực tế xe chạy hết quãng đường Hà Nội - Vinh được biểu diễn bằng P = (180 - 60 * 3) / (60 + x) Tính giá trị của P cho x lần lượt là 5, 10 và 15 cho thấy thời gian thực tế xe chạy sẽ giảm theo việc tăng vận tốc ở chặng thứ hai.

○ Nếu tăng vận tốc thêm5km/h thì xe đến Vinh muộn hơn dự kiến bao nhiêu giờ?

○ Nếu tăng vận tốc thêm10km/h thì xe đến Vinh có đúng thời gian dự kiến không?

○ Nếu tăng vận tốc thêm15km/h thì xe đến Vinh sớm hơn dự kiến bao nhiêu giờ?

Lời giải. a) Độ dài quóng đường Hà Nội - Vinh:60ã5 = 300km. b) Độ dài quóng đường cũn lại sau khi dừng nghỉ:300−60ã22

60 +x. d) Thay x= 5 vào biểu thứcP ta được P = 3 + 140

13 Như vậy xe sẽ đến Vinh muộn hơn 67

13 giờ nếu tăng vận tốc thêm 5 km/h.

Thay x= 10 vào biểu thức P ta được P = 3 + 140

70 = 5 Như vậy xe sẽ đến đúng giờ dự kiến nếu tăng vận tốc thêm 10km/h.

15 Như vậy xe sẽ đến Vinh muộn hơn 5−73

24 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC ÔN TẬP CHƯƠNG VI

A BÀI TẬP RÈN LUYỆN cBài 1 Rút gọn phân thức

Lời giải. y 2x 2 −xy + 4x y 2 −2xy = y x(2x−y) + 4x y(y−2x) = y 2 −4x 2 xy(2x−y) = (y+ 2x)(y−2x) xy(2x−y) = −(2x+y) xy

4x 2 −y 2 Chứng tỏ rằng giá trị biểu thứcP không phụ thuộc giá trị của biếny.

Vậy giá trị biểu thứcP không phụ thuộc vào giá trị của biến y □ cBài 4 Tính giá trị của biểu thứcM = x−xy−y+y 2 y 3 −3y 2 + 3y−1, vớix=−3

1−1 2 ã2 = 5 □ cBài 5 Tính giá trị biểu thứcQ= x−y x+y, biếtx 2 −2y 2 =xy vàx̸= 0;x+y̸= 0.

Từx 2 −2y 2 =xy ta có x 2 −xy−2y 2 = 0⇔(x+y) (x−2y) = 0.

3 □ cBài 6 Tính giá trị biểu thức sau

Lời giải. Đặtx= 2003, ta có

= x 3 + 10x 2 + 31x+ 30 x 2 + 5x+ 4 (x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)(x+ 4)(x+ 5) Phân tích đa thức thành nhân tử ta được

Phương pháp giải bài toán này sử dụng đại số bằng cách đặt x = 2003 và sau đó thực hiện rút gọn phân thức đại số Nhiều biểu thức số cũng có thể được giải quyết tương tự thông qua các kỹ thuật đại số.

□ cBài 7 Choa1;a2;a3; ; a2007;a2008 là2008 số thực thỏa mãn a K = 2K+ 1 (K 2 +K) 2 vớiK = 1; 2; 3; .2008.

24 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC cBài 8 Cho a b+c+ b c+a+ c a+b = 1 Chứng minh rằng a 2 b+c + b 2 c+a+ c 2 a+b = 0.

Nhận xét về mẫu thức b+c, c+a, a+b cho thấy chúng không thể cùng dấu, từ đó kết luận rằng trong ba số a, b, c phải có ít nhất một số âm và ít nhất một số dương.

□ cBài 9 Biếtx̸=−y,y̸=−z,z̸=−x, rút gọn biểu thức sau

Nhận xét rằng x 2 −yz (x+y)(x+z) = x 2 +xy−xy−yz

(x+y)(x+z) = x x+z− y x+y. Tương tự ta có y 2 +xz (y+x)(y+z) = y x+y − z y+z z 2 +xy (z+x)(z+y) = z y+z− x x+z.

□ cBài 10 Biếtx,y,z đôi một khác nhau, chứng minh rằng y−z (x−y)(x−z) + z−x

Tương tự ta có z−x (y−z)(y−x) = 1 y−z + 1 x−y; x−y (z−x)(z−y) = 1 z−x + 1 y−z.Công vế theo vế ta được điều phải chứng minh.

Kỹ thuật trong bài này là tách mỗi phân thức ở vế trái thành tổng hai phân thức có mẫu giống với mẫu ở vế phải Ngoài ra, việc quy đồng mẫu thức từng vế cũng mang lại kết quả đẹp mắt.

□ cBài 12 Cho biểu thứcA= x x−5 − 10x x 2 −25− 5 x+ 5. a) Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x= 9.

Lời giải. a) Tập xác địnhx̸=±5.

□ cBài 13 Cho biểu thứcB Å 4 x 3 −4x+ 1 x+ 2 ã : 2x−4−x 2 2x 2 + 4x a) Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức B. b) Tính giá trị của B tạix= 1.

24 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thứcB nhận giá trị nguyên.

Lời giải. a) Tập xác địnhx̸= 0;x̸=±2.

2−1 = 2. c) ĐểB nhận giá trị nguyên thì 2−x∈Ư(2)⇒2−x∈ {2;−2; 1;−1} ⇔x∈ {0; 4; 1; 3}. Đối chiếu với tập xác định suy ra B nhận giá trị nguyên khix∈ {4; 1; 3}.

1− x 2 + 4 x 2 +x+ 1 ã a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của P tại x=−6. c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.

Lời giải. a) Tập xác địnhx̸= 1.

Do đó, P nhận giá trị nguyên khix−3∈Ư(3)⇒x−3∈ {3;−3; 1;−1} ⇒x∈ {6; 0; 4; 2}.

Vậy với x∈ {6; 0; 4; 2}thì P nhận giá trị nguyên.

3−x a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị Q tại|x|= 3. c) Tìm giá trị nguyên của x để Qnhận giá trị nguyên.

Lời giải. a) Tập xác địnhx̸= 3;x̸= 4.

(x−3)(x−4) = −3(x−2) x−4 b) Ta có|x|= 3⇔ ủx= 3 (loại) x=−3 (nhận).

Do đó, Qnhận giá trị nguyên khi x−4∈Ư(6)⇒x−4∈ {6;−6; 3;−3; 2;−2; 1;−1} ⇒x∈ {10;−2; 7; 1; 6; 2; 5; 3} Đối chiếu với tập xác định suy ra Q nhận giá trị nguyên khix∈ {10;−2; 7; 1; 6; 2; 5}.

□ cBài 16 Cho a 1 ;a 2 ; ; a 9 được xác định bởi công thức a k = 3k 2 + 3k+ 1

Hãy tính giá trị của tổng1 +a1+a2+ .+a9.

24 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC cBài 17 Tính

□ cBài 18 Đặta+b+c= 2p Chứng minh rằng

□ cBài 19 Biếta̸=−b,b̸=−c,c̸=−a Chứng minh rằng b 2 −c 2 (a+b)(a+c) + c 2 −a 2

Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh □

BB A BÀI TẬP BỔ SUNG cBài 20 Cho a+b+c= 0 vàa,b,cđều khác 0 Rút gọn biểu thức

Bình phương hai vế, ta đượca 2 +b 2 + 2ab=c 2 nên a 2 +b 2 −c 2 =−2ab.

2 □ cBài 21 Rút gọn biểu thức

Do đặc điểm của bài toán, ta không quy đồng mẫu tất cả các phân thức mà cộng lần lượt từng phân thức.

□ cBài 22 Rút gọn biểu thức

Để giải quyết bài toán, chúng ta không thể quy đồng mẫu cho tất cả các phân thức Thay vào đó, cần tách mỗi phân thức thành hiệu của hai phân thức và áp dụng phương pháp khử liên tiếp.

□ cBài 23 Xác định các số a,b,c sao cho

Thực hiện phép cộng ở vế phải của(1)ta được

(ax+b)(x−1) +c(x 2 + 1) (x 2 + 1)(x−1) = ax 2 −ax+bx−b+cx 2 +c

24 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC Đồng nhất phân thức trên với phân thức 1

□ cBài 25 Thực hiện các phép tính a) x+ 3 x+ 1−2x−1 x−1 − x−3 x 2 −1; b) 1 x(x+y)+ 1 y(x+y) + 1 x(x−y) + 1 y(y−x).

□ cBài 26 Thực hiện phép tính a) A= 1

24 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC d) Ta có

□ cBài 27 Choa,b,clà các số nguyên khác nhau đôi một Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên:

(a−b)(b−c)(a−c) Phân tích tử thành nhân tử a 3 (b−c) +b 3 (c−a) +c 3 (a−b) = a 3 b−a 3 c+b 3 c−b 3 a+c 3 (a−b)

VậyP =a+b+c □ cBài 28 Cho 3y−x= 6 Tính giá trị biểu thứcA= x y−2 +2x−3y x−6

20 = 0 Do đó,x=y=z= 0 □ cBài 30 Tìmx,y biết rằngx 2 +y 2 + 1 x 2 + 1 y 2 = 4.

Có bốn đáp án như bảng sau x 1 1 −1 −1 y 1 −1 1 −1

□ cBài 31 Cho biết 1 a +1 b +1 c = 2, (1) 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 = 2 (2) Chứng minh rằng a+b+cc.

Từ(1)suy ra 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 2 Å1 ab+ 1 bc+ 1 ca ã

Do(2)nên 1 ab+ 1 bc+ 1 ca = 1 suy ra a+b+c abc = 1.

Do đóa+b+cc □ cBài 32 Cho x a +y b +z c = 0, (1) và a x + b y + c z = 2 (2)

Tính giá trị biểu thức a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2

Từ(1)suy ra bcx+acy+abz= 0.

Từ(2)suy ra a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 + Åab xy + bc yz + ca zx ã

Do đó a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 = 4−2abz+acy+bcx xyz = 4 □ cBài 33 Cho (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 và a,b,c khác 0 Chứng minh rằng

Từ giả thiết suy raab+bc+ca= 0⇒b+c=−bc a.

Do đó ab+bc+ca abc = 0, tức là 1 a+1 b + 1 c = 0 Suy ra

□ cBài 34 Cho a b + b c+ c a = b a+ a c +c b Chứng minh rằng trong ba sốa,b,ctồn tại hai số bằng nhau.

Từ giả thiết suy ra a 2 c+b 2 a+c 2 b=b 2 c+a 2 b+c 2 a ⇒ a 2 (c−b)−a(c 2 −b 2 ) +bc(c−b) = 0

Để phân thức A = (2x^3 - 6x^2 + x - 8) / (x - 3) có giá trị là số nguyên, cần tìm các giá trị nguyên của x Tương tự, phân thức B = (x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 8x - 1) / (x^2 - 2x + 1) và phân thức C = (x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x - 2) / (x^2 + 2) cũng yêu cầu tìm giá trị nguyên của x để đảm bảo kết quả là số nguyên.

A nguyên khix nguyên, x−3 nguyên và nó là ước của5.

Suy ra x−3 = 1 hoặcx−3 =−1 hoặcx−3 = 5 hoặcx−3 =−5.

B nguyên khix nguyên, (x−1) 2 nguyên và nó là ước của3.

C nguyên khix nguyên, x 2 + 2nguyên và nó là ước của2.

□ cBài 36 Rút gọn biểu thức sau vớix= a

4−x 2 +a=a □ cBài 37 Rút gọn biểu thức

Ta cóA= 2 x + 2 y + 2 z+x 2 +y 2 +z 2 xyz = (x+y+z) 2 xyz = 0 □ cBài 38 Cho biết a+b−c ab −b+c−a bc −c+a−b ca = 0 Chứng minh rằng trong ba phân thức ở vế trái, có ít nhất một phân thức bằng0.

Ta có a+b−c ab −b+c−a bc −c+a−b ca = 0 ⇔ c(a+b−c)−a(b+c−a)−b(c+a−b) = 0

Vậya−b+c= 0hoặc a−b−c= 0 □ cBài 39 Xác định các số a,b,c sao cho: a) 1 x(x 2 + 1) = a x + bx+c x 2 + 1; b) 1 x 2 −4 = a x−2 + b x+ 2; c) 1

Lời giải. a) Ta có a x + bx+c x 2 + 1 = a(x 2 + 1) + (bx+c)x x(x 2 + 1) = (a+b)x 2 +cx+a x(x 2 + 1) Đồng nhất với phân thức 1 x(x 2 + 1) ta được

24 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC Đồng nhất với phân thức 1 x 2 −4 ta được

(x+ 1) 2 (x+ 2) Đồng nhất với phân thức 1

= (ab+bc+ca)bc+ca+ab abc −abcb 2 c 2 +c 2 a 2 +a 2 b 2 a 2 b 2 c 2

= (bc+ca+ab) 2 abc −b 2 c 2 +c 2 a 2 +a 2 b 2 abc

□ cBài 41 Cho a,b,c khác nhau đôi một và 1 a+ 1 b +1 c = 0 Rút gọn các biểu thức: a) M = 1 a 2 + 2bc + 1 b 2 + 2ac+ 1 c 2 + 2ab; b) N = bc a 2 + 2bc+ ac b 2 + 2ac+ ab c 2 + 2ab; c) P = a 2 a 2 + 2bc + b 2 b 2 + 2ac + c 2 c 2 + 2ab.

Từ giả thiết suy raab+bc+ac= 0 nên a 2 + 2bc=a 2 +bc+ (−ab−ac) =a(a−b)−c(a−b) = (a−b)(a−c).

Tương tự,b 2 + 2ac= (b−a)(b−c) và c 2 + 2ab= (c−a)(c−b). a) M = 1 a 2 + 2bc + 1 b 2 + 2ac+ 1 c 2 + 2ab

= b−c+c−a+a−b(a−b)(b−c)(a−c) = 0. b) N = bc a 2 + 2bc + ac b 2 + 2ac+ ab c 2 + 2ab

□ cBài 42 Cho các số a,b,c khác nhau đôi một và a+b c = b+c a = c+a b Tính giá trị biểu thức

Ta có a+b c = b+c a = c+a b = a+b+b+c+c+a a+b+c = 2(a+b+c) a+b+c Nếua+b+c̸= 0 thì tỉ số trên bằng2 Suy ra a+b= 2c, b+c= 2a.

Do đóa−c= 2(c−a) nên c=a, trái với đề bài.

Vậya+b+c= 0 Ta cóM = a+b b ãb+c c ãc+a a = −c b ã−a c ã−b a =−1 □ cBài 43 Cho a 3 +b 3 +c 3 = 3abcvàa+b+c̸= 0 Tính giá trị của biểu thức

Ta cóa 3 +b 3 +c 3 −3abc= (a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 −ab−bc−ca).

Doa 3 +b 3 +c 3 = 3abcvàa+b+c̸= 0nên đẳng thức trên trở thành a 2 +b 2 +c 2 −ab−bc−ca= 0.

Lại có a 2 +b 2 +c 2 −ab−bc−ca = (a 2 −2ab+b 2 ) + (b 2 −2bc+c 2 ) + (c 2 −2ca+a 2 )

Như vậy từa 2 +b 2 +c 2 −ab−bc−ca= 0 suy ra a=b=c.

3 □ cBài 44 Rút gọn biểu thức A Å

□ cBài 45 Rút gọn biểu thức B= 1 2

□ cBài 46 Rút gọn biểu thức 1

□ cBài 49 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥1, ta luôn có

2 □ cBài 50 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥1, ta luôn có

Nhận xét, với mọi số tự nhiênn≥2 ta luôn có 1 n 2 < 4 4n 2 −1 = 2 Å 1 2n−1− 1

Với mọi số tự nhiênn≥3, ta luôn có

Với mọi số tự nhiênn≥1, ta có 1 + 1 n(n+ 2) = n(n+ 2) + 1 n(n+ 2) = n 2 + 2n+ 1 n(n+ 2) = (n+ 1) 2 n(n+ 2). Khi đó

Do đóA b Tìm số nguyên dương ckhác bsao cho a 3 +b 3 a 3 +c 3 = a+b a+c.

Doa+b̸= 0,a+c̸= 0 nên từ a 3 +b 3 a 3 +c 3 = a+b a+c suy ra a 3 +b 3 a+b = a 3 +c 3 a+c ⇔ a 2 −ab+b 2 =a 2 −ac+c 2

Trong bài 85 của sách Toán 8 Kết Nối Tri Thức, chúng ta xem xét dãy số a1, a2, a3, với quy tắc a2 = (a1 - 1) / (a1 + 1), a3 = (a2 - 1) / (a2 + 1), và tiếp tục như vậy cho đến an Cần chứng minh rằng a1 = a5 Đồng thời, bài toán cũng yêu cầu xác định năm số đầu của dãy, với điều kiện a101 = 3.

Lời giải. a) Ta có a 3 Åa 1 −1 a1+ 1−1 ã : Åa 1 −1 a1+ 1+ 1 ã

2 =a 1 b) Theo cõu trờn ta suy raa1 =a5=a9 =ã ã ã=a1001= 3.

Từ đó ta tính được a 1 = 3;a 2 = 1

□ cBài 86 Tìm phân số m n khác0 và số tự nhiên k, biết rằng m n = m+k nk

Từ giả thiết suy ramnk=mn+nk Chia hai vế cho n, ta đượcmk=m+k Do đó m=k(m−1).

Như vậym chia hết cho m−1 Từ đó ta tìm được m= 0 (loại) vàm= 2 Khi đók= 2.

Rút gọn biểu thức

Thực hiện phép nhân và phép chia các phân thức đại số để rút gọn biểu thức. cVí dụ 3 Rút gọn biểu thức

Lời giải. Điều kiệnx̸= 0;x̸= 1;x̸= 2 Ta có

□ cVí dụ 4 Cho biểu thứcA Å x+ 2 x 2 −x + x−2 x 2 +x ã ãx 2 −1 x 2 + 2. Rút gọn A. a) b) Tính giá trị củaA vớix= 100.

□ cVí dụ 5 Rút gọn biểu thức a) A Å

2 y +2 z 1 xy + 1 yz + 1 zx + (x+y+z) 2 Åy 2 −yz+z 2 x + x 2 y+z − 3yz y+z ã ã

= 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 −2xy−2yz−2xz+x 2 +y 2 +z 2 + 2xy+ 2yz+ 2zx

Vận dụng

Hôm qua, giá thanh long là a đồng mỗi kilôgam Hôm nay, giá đã giảm 1000 đồng cho mỗi kilôgam Với cùng số tiền b đồng, hôm nay bạn có thể mua được nhiều hơn bao nhiêu kilôgam thanh long so với hôm qua?

Gọia−1000(đồng) là số tiền mỗi kilôgam thanh long ngày hôm nay.

Số kilôgam thanh long mua được với số tiềnbđồng ngày hôm qua là b a kilôgam.

Số kilôgam thanh long mua được với số tiềnbđồng ngày hôm nay là b a−1000 kilôgam.

Số kilôgam thanh long mua được nhiều hơn so với hôm qua là b a− b a−1000 kilôgam Hai người thợ cùng sơn một bức tường, trong đó người thứ nhất mất nhiều thời gian hơn người thứ hai 2 giờ Gọi x là số giờ mà người thứ nhất hoàn thành việc sơn bức tường Phân thức biểu thị tổng số phần của bức tường mà người thứ nhất sơn trong 3 giờ và người thứ hai sơn trong 4 giờ theo x được viết như sau.

Gọixlà số giờ mà người thứ nhất một mình sơn xong bức tường.

⇒1 giờ người thứ nhất sơn được 1 x bức tường.

⇒3 giờ người thứ nhất sơn được 3 bức tường.

⇒người thứ hai một mình sơn xong bức tường mất x−2giờ.

Do đó, số phần của bức tường sơn được mà người thứ nhất sơn trong3giờ và người thứ hai sơn trong 4giờ là

Từ năm 2000 đến 2006, số tiền hằng năm A (triệu đô la Mỹ) mà người Mỹ chi cho việc mua đồ ăn và đồ uống khi ra ngoài, cùng với dân số P (triệu người) của Mỹ, được mô tả bằng một công thức cụ thể.