Khóa luận tốt nghiệp xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm và ứng dụng nhằm phát triển năng lực cho học sinh

HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN VŨ THỊ PHƯƠNG DUNG BÙI KIM TÙNG XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆPNGÀNH: SƯ PHẠM T

Mục tiêu nghiên cứu

Khóa luận này nhằm mục tiêu phân loại các dạng bài tập về đạo hàm, đồng thời xây dựng hệ thống bài tập phù hợp với các cấp độ nhận thức của học sinh Qua đó, giúp học sinh phát triển năng lực trong môn Toán một cách hiệu quả.

Nhiệm vụ nghiên cứu

Khóa luận nghiên cứu và trình bày các nội dung sau:

+ Hệ thống các kiến thức cơ bản về đạo hàm

+ Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm và ứng dụng nhằm phát triển năng lực cho HS.

Đóng góp của luận văn

Tổng hợp kiến thức về năng lực và cấp độ nhận thức giúp phân tích ý nghĩa của kiến thức đạo hàm trong chương trình phổ thông Việc hiểu rõ các khái niệm này không chỉ nâng cao khả năng học tập mà còn tạo nền tảng vững chắc cho việc áp dụng đạo hàm trong các lĩnh vực khác nhau.

Về mặt thực tiễn, khóa luận là tài liệu tham khảo cho GV và HS trong giảng dạy và học tập về khái niệm đạo hàm và ứng dụng

KIẾN THỨC CHUNG 1 Định nghĩa, vai trò và ý nghĩa của đạo hàm

Định nghĩa

1.1.1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

1.1.1.1 Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cho hàm số y  f x ( )xác định trên khoảng( , ) a b vàx 0 ( , ).a b

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

  thì giới hạn đó đƣợc gọi là đạo hàm của hàm số y  f x ( )tại điểm x 0 , ký hiệu là f x'( ) 0 hoặcy x'( ) 0 , tức là: 0 0

1.1.1.2 Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa

   Cách 2: Để tính đạo hàm của hàm số f tại điểmx 0 , ta thực hiện 4 bước:

Bước 1: Chox 0 số gia x, tính  y f x( 0  x) f x( 0 )

1.1.2 Định nghĩa đạo hàm cấp cao

Giả sử hàm số y  f x  có đạo hàm tại mỗi điểm x    a b ; Khi đó, hệ thức

Hàm số y = f'(x) được xác định trên khoảng (a;b) Nếu hàm y = f'(x) có đạo hàm tại x, thì đạo hàm của y được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là y'' hoặc f''(x).

+ Đạo hàm cấp 3 của hàm số y  f x  được định nghĩa tương tự và kí hiệu là '''y hoặc

+ Cho hàm số y  f x  có đạo hàm cấpn1, kí hiệu là f   n  1   x  n  , n  4 

Nếu f   n  1   x có đạo hàm thì đạo hàm của nó đƣợc gọi là đạo hàm cấp n của f x( ), kí hiệu lày   n hoặc f   n   x

Ý nghĩa

1.2.1.1 Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Hàm số y = f(x) được xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại điểm x₀ thuộc (a, b) Đồ thị của hàm số này là hình ảnh trực quan của hàm Đạo hàm tại điểm x₀ thể hiện hệ số góc của tiếp tuyến M₀T₀ tại điểm M₀ (x₀, f(x₀)).

Loại 1: Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểmM x y  0; 0 .

Loại 2: Phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

Loại 3: Tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước

Vận tốc tức thời là đạo hàm của vị trí theo thời gian

Chuyển động thẳng được mô tả bởi phương trình s = s(t), trong đó s(t) là một hàm số có đạo hàm Vận tốc tức thời tại thời điểm t₀ được xác định là đạo hàm của hàm số này.

Nếu điện cường Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q  Q t   với

QQ t là một hàm số có đạo hàm thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t 0là đạo hàm của hàm số Q  Q t  tạit 0 :I t   0 Q t'  0

1.2.3 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai Đạo hàm cấp hai f ''( ) t là gia tốc tức thời của chuyển động s  f t ( )tại thời điểm t

Chuyển động được xác định bởi phương trình s = f(t), trong đó s = s(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai Vận tốc tức thời tại thời điểm t được tính bằng v(t) = f'(t) Để xác định gia tốc, ta cần lấy đạo hàm lần thứ hai của hàm số này.

t tại t thì v t ( ) có số gia tương ứng làv Tỷ số v t

 đƣợc gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời giant Nếu tồn tại

 ta gọi v t '( ) ( ) t là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t Vì v t '( ) ( ) t nên( ) t  f ''( ) t

Vai trò của đạo hàm trong chương trình Toán phổ thông

Trong chương trình Giải tích THPT, đạo hàm và các ứng dụng của nó đóng vai trò quan trọng Đạo hàm là công cụ hữu ích để nghiên cứu các tính chất của hàm số, bao gồm tính đồng biến, nghịch biến, cực trị, lồi lõm và điểm uốn.

Phương pháp đạo hàm là công cụ hữu ích trong việc giải quyết nhiều bài toán đại số, bao gồm việc giải phương trình và bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, cũng như xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Vai trò của đạo hàm trong cuộc sống

Đạo hàm là một khái niệm quan trọng với nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như điện từ học, động lực học, kinh tế học, tràn chất lỏng, kiểu mẫu dân số và lý thuyết sắp hàng Công cụ này giúp giải quyết nhiều bài toán phức tạp, từ đó cho thấy sự ứng dụng rộng rãi của đạo hàm trong cuộc sống hàng ngày.

+ Nhiệt độ thay đổi trong thời gian nhất định

+ Vật tốc của một vật thể rơi tự do trong khoảng thời gian nhất định

+ Dòng điện qua mạch trong thời gian nhất định

+ Sự biến thiên của thị trường chứng khoán trong khoảng thời gian nhất định

+ Sự gia tăng dân số trong khoảng thời gian nhất định

+ Nhiệt độ gia tăng theo tỉ trọng trong bình gas

Sau đây, chúng tôi đƣa ra một số ví dụ điển hình:

Nếu Q(t) là hàm số biểu diễn điện tích trong một đoạn dây dẫn tại thời điểm t, thì đạo hàm Q'(t) sẽ cho biết cường độ dòng điện chạy qua đoạn dây đó.

Dễ thấy, khi xét khoảng thời gian giữa hai thời điểm t 1 , t 2 bất kì, lƣợng điện tích chạy qua tiết diện của đoạn dây là: Q t( ) 2 Q(t ) 1

Các khái niệm và phân loại cấp độ nhận thức

gian) trong khoảng thời gian này đƣợc định nghĩa nhƣ sau: 2 1

 Cường độ dòng điện tức thời I(t) ở một thời điểm t1 bất kì có thể được tính bởi giới hạn sau:

Trong Hóa học, chúng ta có các bài toán liên quan đến khái niệm đạo hàm đó là: bài toán về tốc độ phản ứng

 Các bài toán kinh tế :

Theo số liệu thống kê, doanh thu của công ty FPT từ năm 2010 được mô tả bằng hàm R(t) = 5t² + 7t + 90 tỷ đồng Để tính tốc độ thay đổi phần trăm doanh thu của công ty vào đầu năm 2016, ta cần xác định giá trị doanh thu tại thời điểm t tương ứng với năm 2016.

Bài toán cực tiểu của Bác Thợ Xây yêu cầu tìm kích thước tối ưu cho một bình chứa nước hình trụ có thể tích 160 m³ Đáy bình được làm bằng bê tông với chi phí 250.000 VND/m², thành bình bằng tôn giá 100.000 VND/m², và bề mặt bằng nhôm không han với giá 150.000 VND/m² Mục tiêu là xác định kích thước bình chứa sao cho tổng chi phí xây dựng là thấp nhất.

2 Các khái niệm và phân loại mức độ nhận thức

Các nhà tâm lý học định nghĩa năng lực là sự kết hợp của các đặc điểm và thuộc tính tâm lý của cá nhân, phù hợp với yêu cầu của một hoạt động cụ thể, nhằm đảm bảo hiệu quả cao trong hoạt động đó.

Năng lực được phân chia thành ba loại: năng lực chung, năng lực cốt lõi và năng lực chuyên môn Trong đó, năng lực chung cốt lõi là nền tảng thiết yếu để phát triển năng lực chuyên môn Năng lực chuyên môn thể hiện khả năng đặc trưng trong một lĩnh vực cụ thể, chẳng hạn như năng lực toán học hoặc năng lực ngôn ngữ.

Tuy nhiên, năng lực chung cốt lõi và năng lực chuyên môn không tách rời quan hệ chặt ch với nhau

2.2 Các mức độ nhận thức

Người học cần có khả năng nhớ lại các thông tin đặc biệt hoặc tổng quát về những quá trình, dạng thức và cấu trúc đã được học Ở cấp độ này, việc nhớ lại đúng những gì được hỏi là rất quan trọng.

Từ khóa đánh giá: Trình bày, nhắc lại, mô tả, liệt kê…

2.2.2 Thông hiểu Ở cấp độ nhận thức này người học cần nắm được ý nghĩa của thông tin, thể hiện qua khả năng diễn giải, suy diễn, liên hệ

Từ khóa đánh giá: Giải thích, phân biệt, khái quát hóa, cho ví dụ, so sánh…

Người học có khả năng áp dụng thông tin đã biết vào tình huống, điều kiện mới

Từ khóa đánh giá: Vận dụng, áp dụng, tính toán, chứng minh, giải thích, xây dựng…

Người học có khả năng phân chia nội dung và thông tin thành các phần nhỏ, giúp họ nhận diện các yếu tố, mối liên hệ và nguyên tắc cấu trúc của chúng.

Từ khóa: Phân tích, lý giải, so sánh, lập biểu đồ, phân biệt, hệ thống hóa…

Người học có khả năng đưa ra nhận định, phán quyết của bản thân đối với một vấn đề dựa trên các chuẩn mực, các tiêu chí đã có

Đánh giá và cho ý kiến là những kỹ năng quan trọng giúp người học đạt được cấp độ nhận thức cao nhất Qua việc tổng hợp và so sánh các thông tin, người học có khả năng tạo ra cái mới và xác lập những thông tin, sự vật mới dựa trên những kiến thức đã có.

Từ khóa: Thiết lập, tổng hợp, xây dựng, thiết kế, đề xuất…

Trong dạy học toán, việc thiết kế bài tập dựa trên các mức độ nhận thức là rất quan trọng nhằm giúp học sinh phát triển năng lực Chúng tôi đã xây dựng các bài tập theo các cấp độ nhận thức để tối ưu hóa quá trình học tập của học sinh.

Thực trạng việc dạy học giải bài tập đạo hàm và ứng dụng ở các trường THPT 1 Về việc học của học sinh

3.1 Về việc học của học sinh:

Mặc dù hầu hết học sinh nhận thức được tầm quan trọng của môn Toán, nhưng chất lượng học tập vẫn chưa cao và không đồng đều Chất lượng ổn định chủ yếu ở các lớp chọn và nâng cao, trong khi các lớp chương trình chuẩn thường có chất lượng thấp Nguyên nhân chính là năng lực học sinh trong các lớp không đồng đều, và các bài tập trên lớp cùng sách giáo khoa chưa phù hợp với đối tượng học sinh.

Học sinh thường gặp phải những sai sót cơ bản trong quá trình học Toán, như lỗi trong các phép biến đổi đơn giản và cách giải phương trình, bất phương trình Sự thiếu hụt kiến thức này dẫn đến việc học sinh dễ chán nản và không hứng thú với môn học Khả năng tiếp thu của học sinh còn hạn chế và chưa linh hoạt trong việc xử lý các tình huống Toán học đơn giản, khiến kết quả học tập không đạt yêu cầu.

+ Đa phần HS chƣa xác định đúng động cơ và mục đích học tập, không thể hiện đƣợc ý thức phấn đấu, vươn lên

Việc học toán, đặc biệt là đạo hàm, thường khiến học sinh chưa nhận thức được ứng dụng thực tiễn của nó Sự hạn chế trong khả năng liên hệ giữa lý thuyết và thực tế làm cho học sinh khó khăn trong việc thấy được ý nghĩa thực sự của việc học toán.

3.2 Về giảng dạy của giáo viên:

GV chưa cung cấp đủ bài tập phù hợp để hỗ trợ học sinh yếu, kém trong việc hiểu rõ các khái niệm đã học Các bài tập ở mức độ nhận biết và thông hiểu rất hiếm khi xuất hiện trong các ví dụ minh họa cho bài giảng cũng như trong bài tập về nhà.

+ GV thường đưa ra câu hỏi nêu vấn đề nhưng chưa thực sát tình huống thực tế

Trong quá trình giảng dạy, giáo viên thường tập trung vào việc truyền đạt khối lượng kiến thức lớn, mà ít chú trọng đến việc hướng dẫn học sinh khám phá và lĩnh hội kiến thức một cách chủ động.

+ Trong quá trình giảng dạy thực tập tại các trường THPT chúng tôi nhận thấy nhiều

Một số giáo viên chuẩn bị bài giảng chưa thật sự công phu và chưa tập trung vào trọng tâm, dẫn đến việc chưa khơi dậy được niềm say mê và hứng thú học tập của học sinh Điều này ảnh hưởng đến việc hình thành động cơ học tập đúng đắn cho các em.

Để khắc phục những hạn chế trong dạy học, giáo viên nên thiết kế bài tập minh họa trên lớp và bài tập về nhà theo các mức độ nhận thức khác nhau: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp và vận dụng cao Việc này giúp học sinh nắm vững nội dung kiến thức, từ những em yếu kém đến những em khá, giỏi đều có thể hiểu được các khái niệm cơ bản, tạo cơ hội học tập công bằng cho tất cả học sinh trong một tiết học.

Chương II XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG NHẰM PHÁT

TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH

Bài tập liên quan đến khái niệm đạo hàm

Hoàn thành bài trắc nghiệm về định nghĩa đạo hàm qua các câu hỏi sau đây:

Câu 1: Cho hàm sốy f x( )x 2 3x Giá trị của hàm số tạix 0 3 là?

Câu 2: Cho hàm sốy f x( ) Số gia của đối số tạix 0 là?

Câu 3: Cho hàm sốy f x( ) Số gia hàm số tạix 0 là?

Câu 4: Cho hàm sốy f x( )xác định tạix 0 Đạo hàm của hàm sốy f x( )tạix 0 là?

 (nếu tồn tại giới hạn)

 (nếu tồn tại giới hạn) Đáp án: D.

Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống

Câu 1: Cho hàm sốy f x( )x 2 3x Số gia của đối số tạix 0 3 là ………? Đáp án:   x x 3

Câu 2: Cho hàm sốy f x( )x 2 3x Số gia của hàm số tạix 0 3 là ………? Đáp án:  y f(3  x) f(3)   3 x 2 x

Câu 3: Cho hàm sốy f x( )x 2 3x xác định tạix 0 3 Khi đó

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số f x    x 2  2 x  1tại x 0 1bằng định nghĩa?

Bài giải: Hàm số f x    x 2  2 x  1 xác định trong một lân cận củax 0 1 Ta có:

 Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số f x    x 2  x tại x 0 0bằng định nghĩa?

Bài giải: Giả sửxlà …(1)… tạix 0 0 Ta có:

KLTN kinh tế học Đáp án:

(1): số gia của đối số

Tính đạo hàm của hàm số y  f x ( ) tại điểm x 0 bằng định nghĩa

Ta thực hiện một trong hai cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Giả sửxlà số gia của đối số tạix 0 Tính  y f x  0  x  f x   0

Cách 2: Hàm số y  f x   xác định trong một lân cận củax 0

 Bài tập 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số f x    2 x 2  4 x  1 tại x 0 1

Giả sửxlà số gia của đối số tạix 0 1 Ta có:

Hàm số f x    2 x 2  4 x  1 xác định trong một lân cận củax 0 1 Ta có:

Bài tập 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số   4 7

Giả sửxlà số gia của đối số tạix 0  2 Ta có:

 xác định trong một lân cận củax 0  2 Ta có:

Bài tập 3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số   2 1

Giả sửxlà số gia của đối số tạix 0 3 Ta có:

 xác định trong một lân cận củax 0 3 Ta có:

   Tính đạo hàm hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số có đạo hàm tại điểm x 0

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x 0

Bước 2: Tính đạo hàm bên trái:

Bước 3: Tính đạo hàm bên phải:

 Bước 4: Nhận xét hoặc giải f x '( 0  )  f x '( 0  ), từ đó đưa ra kết luận

Bài tập 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số   2 3 1

Vì f '(1 )   f '(1 )   1nên hàm số y  f x ( ) có đạo hàm tại điểm x 0 1và f '(1)   1

Bài tập 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số   sin 0

Vậy hàm số y f x( ) có đạo hàm tại điểm x 0 0và f '(0) 1 

Bài tập 3: Cho hàm số  

Xác định a để hàm số trên có đạo hàm tại 0 1 x  2 Tính đạo hàm tại điểm đó

  Để hàm sốy f x( ) có đạo hàm tại điểm 0 1 x  2, trước hết hàm sốy f x( ) phải liên tục tại điểm 0 1 x  2, do đó:

Hàm sốy f x( )có đạo hàm tại điểm 0 1 x  2 và

Bài tập 4: Cho hàm số

Tìm a b, để f x ( ) có đạo hàm tại điểm x 0 1

  Để hàm sốy f x( ) có đạo hàm tại điểm x 0 1, trước hết hàm sốy f x( ) phải liên tục tại điểmx 0 1, do đó:

Hàm sốy f x( ) có đạo hàm tại điểm x 0 1  f '(1 )   f ' 1      a 2

Vậy hàm sốy f x( ) có đạo hàm tại điểm x 0 1 khi và chỉ khi a  2, b   1.

Tính đạo hàm của hàm số y  f x ( ) trên khoảng   a b , bằng định nghĩa

Ta thực hiện theo các bước sau:

Lưu ý: Trong phép tính này điểm x coi nhƣ cố định cònxthì tiến về 0

Bài tập 1: Tính đạo hàm của hàm sốy f x( )x 3 trên khoảng    , bằng định nghĩa

Với mọi x thuộc khoảng   ,  , ta có:

Vậy hàm số y  f x ( )có đạo hàm trên khoảng    ,  và f x '( )  3 x 2

Bài tập 2: Tính đạo hàm của hàm sốy f x( )x 3 5x 2 2x3trên khoảng  0,   bằng định nghĩa

Với mọi x thuộc khoảng 0,   , ta có:

Vậy hàm số y  f x ( )có đạo hàm trên khoảng  0,   và f x '( )  3 x 2  10 x  2.

Bài tập ứng dụng đạo hàm

2.1 Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số

Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số qua các câu hỏi sau đây:

Câu 1: Cho hàm sốy f x( )có đạo hàm trên khoảng K Hàm số f x( )đồng biến trên khoảng K khi nào?

Câu 2: Cho hàm sốy f x( )có đạo hàm trên khoảng K Hàm số f x( )nghịch biến trên khoảng K khi nào?

Câu 3: Cho hàm số y f x( )có đạo hàm trên khoảng K và f x'( )  0, x K

D Vừa nghịch biến, vừa đồng biến trên khoảng K Đáp án: C

Câu 4: Hàm số đồng biến được biểu thị bằng mũi tên theo hướng:

A Đi lên từ trái sang phải

B Đi lên từ phải sang trái

C Đi xuống từ trái sang phải

D Đi xuống từ phải sang trái Đáp án: A

Câu 5: Hàm số nghịch biến được biểu thị bằng mũi tên theo hướng:

A Đi lên từ trái sang phải

B Đi lên từ phải sang trái

C Đi xuống từ trái sang phải

D Đi xuống từ phải sang trái Đáp án: C

Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống

Câu 1: Cho hàm sốy f x( )x 3 2x 2 4 Tập xác định của hàm số đã cho là ……… Đáp án: D

Câu 2: Cho hàm sốy f x( )x 3 2x 2 4 Đạo hàm của hàm số đã cho là ………… Đáp án: f x ' ( )3x 2 4x

Câu 3: Hoàn thành bảng biến thiên sau: x  -3 0 4  y' - 0 …(1)… 0 (2)… 0 + y

Câu 4: Dựa vào bảng biến thiên Hãy điền vào chỗ còn thiếu của nhận xét sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1)… và (2)… trên khoảng (; 4) Đáp án: (1): (4;)

Câu 5: Điền vào chỗ còn thiếu để đƣợc bài toán hoàn chỉnh

Xét sự biến thiên của hàm sốy f x( )2x 3 6x1

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng …(6)…; nghịch biến trên khoảng   1,1  Đáp án: (1): 6 x 2  6 (4): +

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y f x( )

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bước 3:Tìm các giá trị tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

Bước 4: Lập bảng biến thiên

Bước 5: Dựa vào bảng biến thiên kết luận về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Bài tập 1: Xét sự biến thiên của hàm sốyx 4 2x 2 3.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng   1, 0  và  1,  ; nghịch biến trên các khoảng

Bài tập 2: Xét sự biến thiên của hàm số

Vậy hàm số đồng biến trên D

Bài tập 3: Xét sự biến thiên của hàm số cos 1 cos 2 y  x  2 x

Hàm số tuần hoàn với chu kì2 nên chỉ xét trên đoạn có độ dài2 , chẳng hạn 0, 2  

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng 2 2 ; 2

 ; nghịch biến trên các khoảng 0 2 ; 2 2 k  3 k 

Tìm giá trị của tham số m để hàm số f x m( , )đồng biến (nghịch biến) trên D

Hàm số f x m( , )đồng biến (nghịch biến) trên D

     và f x'( )0có hữu hạn điểm thuộc D (*) Để giải quyết bài toán (*) ta thường đi theo hai hướng:

Hướng 1: Cô lập tham số để khảo sát, từ đó rút ra kết luận

Hướng 2: Đƣa f x'( )về dạng tích của các hàm bậc nhất, bậc hai để xét dấu

Bài tập 1: Tìm mđể hàm số 1 3 2 2 3 y3x mx  x m a) Đồng biến trên b) Đồng biến trên khoảng 0,  

HD: a) y'x 2 2mx1, y '  0 có tối đa 2 nghiệm

Hàm số đồng biến trên nên y'x 2 2mx   1 0( x )  ' m 2      1 0 1 m 1 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khi m    1,1  b) y '  0 có tối đa 2 nghiệm nên hàm số đồng biến trên khoảng 0,  

Trên khoảng  0,   dấu của f x '( )phụ thuộc vào dấu của tam thức 2x 2 2

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm f x( )nhƣ sau: x 0 1 

Từ bảng biến thiên suy ra 2 1( 0) 1

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  0,   khi m  1

Bài tập 2: Tìmmđể hàm sốyx 3 (m1)x 2 (2m 2 3m2)x2m 2 3đồng biến trên khoảng 2,  

Tập xác định: D , y '  3 x 2  2( m  1) x  (2 m 2  3 m  2) , y '  0 có tối đa 2 nghiệm Hàm số đồng biến trên 2,   do đó y '    0, x  2,  

Trong bài toán này không thể cô lập đƣợcmnên ta dùng cách 2

Hàm số đồng biến trên khi

Vậy 2, 3 m      2   hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 2,  

Bài tập 3 : Tìm mđể hàm sốy(m1)x 3 3(m1)x 2 3(2m3)x m nghịch biến trên

Hàm số nghịch biến trên nên y '    0, x

Nhận thấyy'chưa là tam thức bậc hai nên ta phải xét hai trường hợp:

+ TH1: m  1 khi đóy'    3 0, x nên hàm số nghịch biến trên

+ TH2: m  1 khi đóy'là tam thức bậc 2 nên hàm số nghịch biến trên

 Vậy m  1hàm sốy(m1)x 3 3(m1)x 2 3(2m3)x m nghịch biến trên

+ Nếu trongy'chỉ chứa tham sốmbậc nhất, ta s cô lập đƣợcmnên có thể dùng cách 1 để giải quyết bài toán

+ Nếu không cô lập đƣợcmvà dấu củay' là dấu của một tam thức bậc hai có chứa tham số, chúng ta thường dùng cách 2 để giải:

, D min , D ym   x m y  x , nếu tồn tại min y

, D max , D ym   x m y  x , nếu tồn tại max y

Ta xét hàm sốh x( ), lập bảng biến thiên, từ đó kết luận

Bài tập 1 : Chứng minh rằng:sin tan 2 , 0, x  x  x   x   2   

Xét hàm số: ( ) sin tan 2 , 0, h x  x  x  x   x  2 

Suy rah x( )đồng biến trên nửa khoảng 0,

+ Hàm sốh x( )đồng biến trên đoạn  a b , thì h a ( )  h x ( )  h b ( ),   x   a b ,

+ Hàm sốh x( )nghịch biến trên đoạn  a b , thì h a ( )  h x ( )  h b ( ),   x   a b ,

Bài tập 2 : Chứng minh rằng: cos 1 2 , 0

Suy ra h x( )đồng biến trên Do đóh x'( )0có không quá một nghiệm Mặt khách'(0)0nên x  0là nghiệm duy nhất củah x'( )0

Lập bảng biến thiên ta đƣợch x( )h(0)0

2.2 Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị

Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị qua các câu hỏi sau:

Câu 1: Nếu hàm số f x( )đạt cực đại tại điểm x 0 thì x 0 ,f x( ) 0 lần lƣợt đƣợc gọi là?

A Giá trị cực đại – Cực đại

B Cực đại – Giá trị cực đại

C Điểm cực đại – Giá trị cực đại

D Giá trị cực đại – Điểm cực đại Đáp án: C

Câu 2: Hàm số f x( )có đạo hàm trên khoảng( ; )a b và đạt cực đại hoặc cực tiểu tạix 0 thì:

Câu 3: Hàm số f x( )đạt cực đại tại điểmx 0 thì điểmx 0 đƣợc gọi là?

A Điểm cực đại của hàm số

B Điểm cực tiểu của hàm số

C Cực đại của hàm số

D Cực tiểu của hàm số Đáp án: A

Câu 1: Hòa thành bảng biến thiên sau: t  2 5  f '   t – 0 + 0 – f t  

Hàm số đạt cực đại tại …(3)…

Hàm số đạt cực tiểu tại …(4)… Đáp án: (1): CT (3): x  2

Câu 2: Dựa vào bảng biến thiên và điền nội dung còn thiếu ở phần nhận xét: Bảng biến thiên: x  –5 0 5  '( ) f x – 0 + 0 – 0 +

Hàm số f x( )đạt cực đại tại …(1)…, f CD  (2) (3) 

Hàm số f x( )đạt cực tiểu tại …(4)…, f CT  (5) (6)  Đáp án: (1): x  0 (2): f (0) (3): 6

Câu 3: Dựa vào nội dung phần nhận xét Hoàn thành bảng biến thiên: x  …(1)… …(2)… 

Hàm số f x( )đạt cực đại tại x  3, f CD  f(3) 15

Hàm số f x( )đạt cực tiểu tại x  1, f CT  f(1)0 Đáp án: (1): 3 (4): –

2.2.3.1 Phương pháp tìm cực trị hàm số bằng bảng biến thiên

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số f x( )

Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận

+ Nếu f x'( )đổi dấu từ – sang + khi qua điểmx 0(từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực đại tạix 0

+ Nếu f x'( )đổi dấu từ + sang – khi qua điểmx 0 (từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực tiểu tạix 0

+ Nếu f x'( )không đổi dấu khi qua điểmx 0 (từ trái sang phải) thì hàm số không đạt cực trị tạix 0

Bài tập 1: Tìm cực trị của hàm số ( ) 1 3 1 2 2 2

Hàm số đạt cực đại tại x   1và giá trị cực đại ( 1) 19

Hàm số đạt cực tiểu tại x  2và giá trị cực đại (2) 4

Bài tập 2: Tìm cực trị của hàm sốy f x( ) 2x 4 4x 2 6

Hàm số đạt cực đại tạix 1;x1và giá trị cực đạiy CD  f( 1) 8 Hàm số đạt cực tiểu tại x  0và giá trị cực đạiy CT  f(0)6

Bài tập 3: Tìm cực trị của hàm sốy f x( )3x 4 12x 3 16

Hàm số đạt tiểu đại tại x  3và giá trị cực tiểuy CT  f(3) 65 Hàm số đã cho không có cực đại

Bài tập 4: Tìm cực trị của hàm số ( ) 3

Vậy hàm số đã cho không có cực trị

Bài tập 5: Tìm cực trị của hàm số ( ) 2 2 1

Hàm số đạt cực đại tại x   2và giá trị cực đạiy CD  f( 2)  9

Hàm số đạt cực tiểu tại x  0và giá trị cực đạiy CT  f(0) 1

Từ các bài tập trên ta có nhận xét:

+ Đối với hàm bậc ba thì phương trình f x'( )0có 2 nghiệm phân biệt là điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị

Hàm bậc bốn có thể có một hoặc ba cực trị, do đạo hàm của nó là hàm bậc ba Cụ thể, hàm số sẽ có một cực trị khi phương trình f'(x) = 0 có một hoặc hai nghiệm (một nghiệm đơn hoặc một nghiệm kép) Ngược lại, hàm số sẽ có ba cực trị khi phương trình f'(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt.

+ Đối với hàm số ( ) ax b , ( 0) y f x ac cx d

 vì hàm số có đạo hàm không đổi dấu trên tập xác định nên hàm số không có cực trị

+ Đối với hàm số ( ) ax 2 bx c, ( 0) y f x am mx n

 nếu có cực trị thì s có hai cực trị và giá trị cực đại luôn nhỏ hơn giá trị cực tiểu của hàm số

2.2.3.2 Phương pháp tìm cực trị hàm số bằng đạo hàm cấp 2

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số f x( )

Bước 2: Tìm đạo hàm f x'( )và giải phương trình f x'( )0 Kí hiệux i i ( 1, 2, ) là các nghiệm của nó

+ Nếu f ''( )x i 0thì hàm số đạt cực đại tạix i

+ Nếu f ''( )x i 0thì hàm số đạt cực tiểu tạix i

Bài tập 1: Tìm cực trị của hàm sốy f x( )  x 3 3x 2 2

''(0) 6 0 f   nên hàm số đạt cực tiểu tại x  0và giá trị cực tiểu lày CT  f(0)2

'' 2 6 0 f    nên hàm số đạt cực đại tại x  2 và giá trị cực đại lày CD  f(2)6

Bài tập 2: Tìm cực trị của hàm số ( ) cos 1 cos 2 1 y  f x  x  2 x 

Tập xác định:D f x '( )   sin x  sin 2 x sin 0

Do đó hàm số đạt cực đại tạixk,k và giá trị cực đại là   cos 1

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại 2 2 , x   3  k  k  và giá trị cực tiểu là

2.3 Ứng dụng đạo hàm chứng minh phương trình có nghiệm

Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để chứng minh phương trình có nghiệm qua các câu hỏi sau đây:

Câu 1: f x'( )0có tối đa 1 nghiệm trên D thì số nghiệm tối đa của f x( )0trên D là:

Câu 2: Nếu f x'( )0có đúng 2 nghiệm trên D thì số nghiệm của f x( )0trên D là:

D Nhiều hơn 3 nghiệm Đáp án: A

Câu 3: Nếu f x( )0có 3 nghiệm trên D thì số nghiệm của f x'( )0trên D là:

D Có đúng 2 nghiệm Đáp án: A

Câu 4: Nếu f x'( )0vô nghiệm trên D thì số nghiệm của f x( )0trên D là:

Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống

Câu 1: Cho hàm số f x  có đạo hàm trên  a b ; và f x   có n nghiệm (n là số nguyên dương lớn hơn 1) trên  a b ; thì …… Đáp án: f '   x có ít nhấtn1nghiệm trên  a b ;

Câu 2: Nếu hàm số f x  có đạo hàm trên  a b ; và …… thì f x  có nhiều nhất một nghiệm trên  a b ; Đáp án: f '   x vô nghiệm trên  a b ;

Câu 3: Nếu f x  có đạo hàm trên  a b ; và f '   x có nhiều nhất n nghiệm (n là …(1)… ) trên  a b ; thì f x  có nhiều nhất …(2)… nghiệm trên  a b ; Đáp án: (1): số nguyên dương

Một số kiến thức về phương trình và nghiệm của phương trình Định lí Rolle:

Nếu f x( )là hàm liên tục trên đoạn  a b ; có đạo hàm trên khoảng  a b ; và f a ( )  f b ( ) thì tồn tại c    a b ; sao cho f c '( )  0

Hệ quả 1: Nếu hàm số f x  có đạo hàm trên  a b ; và f x   có n nghiệm (n là số nguyên dương lớn hơn 1) trên  a b ; thì f '   x có ít nhất n  1nghiệm trên  a b ;

Hệ quả 2: Nếu hàm số f x  có đạo hàm trên  a b ; và f '   x vô nghiệm trên  a b ; thì f x  có nhiều nhất 1 nghiệm trên  a b ;

Hệ quả 3: Nếu f x  có đạo hàm trên  a b ; và f '   x có nhiều nhất n nghiệm (n là số nguyên dương) trên  a b ; thì f x  có nhiều nhất n  1 nghiệm trên  a b ;

Các hệ quả trên đƣợc suy ra trực tiếp từ định lí Rolle và nó vẫn đúng nếu các nghiệm là nghiệm bội (khi f x  là đa thức)

Bài tập 1: Chứng minh phương trình3x 5 15x 8 0 có một nghiệm duy nhất

Hàm f x( )3x 5 15x8là hàm số liên tục và có đạo hàm trên

Suy ra tồn tạix 0 0;1 sao cho f x( ) 0 0 Nghĩa là phương trình f x( )0có nghiệm Mặt khác ta có f x'( ) 15 x 4 15  0, x nên hàm số đã cho luôn đồng biến

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất

Bài tập 2: Chứng minh phương trìnhx 13  x 6 3x 4 3x 2  1 0có nghiệm duy nhất

+ Với x    ;0  : f x '( ) 13  x 12  6 x 5  12 x 3  6 x  13 x 12  6 ( x x  1) 2  0 nên f đồng biến Bảng biến thiên:

Vậy trên  ; 0 phương trình f x( )0có nghiệm duy nhất

Vậy phương trình f x( )0có nghiệm duy nhất

Bài tập 3: Chứng minh phương trình2x 2 x 2 11có một nghiệm duy nhất

Hàm f x ( )  2 x 2 x  2xác định và liên tục trên  2;  

Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng 2;  

Hàm số liên tục trên đoạn  2;3 có f (2)  0, (3) 18 f 

Vì0 11 18   nên theo định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại số thực

  2;3 c sao cho f c( ) 11 tức là một nghiệm của phương trình f x( )0 Vì hàm số đồng biến trên 2;  nên c là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Bài tập 4: Chứng minh phương trìnhx 5   x 2 0có nghiệm duy nhất và nghiệm đó lớn hơn 9 8

Lập bảng biến thiên thì phương trình có nghiệm duy nhất làx 0 và nghiệm đó là dương

Vìx 0 là nghiệm của phương trình f x( )0nênx 0 5   x 0 2 0 x 0 5 x 0  2 2 2x 0

(Dấu bằng không xảy ra)

Bài tập 5: Chứng minh phương trìnhx 5  x 2 2x 1 0 có đúng một nghiệm

Hàm số f x( )liên tục trên  1;  

Suy ra hàm số f x( )liên tục trên đoạn  1; 2

Khi đó hàm số f x( )có nghiệm trên khoảng  1; 2 (2)

Suy ra hàm số f x( )đồng biến trên  1;   (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm

2.4 Ứng dụng đạo hàm giải phương trình

Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để giải phương trình qua các câu hỏi sau đây:

Câu 1: x 0 là nghiệm của phương trình f x( )0 khi và chỉ khi:

Câu 2: Cho f x( )là số hàm liên tục trên đoạn  a b ; có đạo hàm trên khoảng  a b ; và

D Tồn tại c    a b ; sao cho f c ( )  0 Đáp án: A

Câu 3: Giả sử hàm số f x ( )đồng biến( nghịch biến) trên khoảngIvà tồn tạix 0 Isao cho f x   0 0 thì ?

A Phương trình f x( )0 0có nghiệm duy nhất x 0I

B Phương trình f x'( ) 0 0có nghiệm duy nhất x 0 I

C Phương trình f x( )0có nghiệm duy nhất x 0 I

D Phương trình f x'( )0có nghiệm duy nhất x 0 I Đáp án: C

Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống

Câu 1: Cho hàm số f x( )liên tục và xác định trên đoạn   1; 2  Có f '   x     0, x  1; 2 

Suy ra hàm số f x  …(1)… trên …(2)…

Khi đó: x 0 là …(3)… của phương trình Đáp án: (1): đồng biến (3): nghiệm duy nhất

Câu 2: Tồn tạix 0  sao cho f '( x 0 )  0 Ta có: f ''   x    0, x

Suy ra …(1)… có tối đa 1 nghiệm trên

 f x  có …(2)… Đáp án: (1): f x'( )0 (2): tối đa 2 nghiệm trên

Hàm số và đạo hàm là những khái niệm cơ bản trong toán học Theo định lý 1, nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng I, thì: a) nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc I, hàm số f(x) sẽ đồng biến trên khoảng I; b) nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc I, hàm số f(x) sẽ nghịch biến trên khoảng I.

Mệnh đề 1 Giả sử hàm số f đồng biến( nghịch biến) trên khoảngIvà tồn tạix 0 Isao cho f x   0  0 thì phương trìnhf x( )0có nghiệm duy nhất x 0 I

Giả sử phương trình f x( )0có hai nghiệm x x 1, 2I

Khi đó: f x   1 0 và f x   2 0hàm số f đồng biến ( nghịch biến) trên khoảng I nên

Mệnh đề 2 Giả sử   x ,   x là hai hàm xác định trên khoảngI và với x  I thì

  thuộc khoảngK Nếu hàmF t( )đồng biến ( nghịch biến) trên khoảngKvà

Bài tập 1: Giải phương trình: 3x 2 6 x 3x 2  12 0 Điều kiện: 2 6

Xét hàm số f x    3 x   2 6   x 3 x 2  12 trên đoạn 2;6

Suy ra hàm số f x    3 x   2 6   x 3 x 2  12 đồng biến trên khoảng 2;6

Suy ra x2là nghiệm duy nhất của phương trình.

Từ cách giải trên, ta nhận thấy phương trình có một nghiệm bằng 2 nên có thể dùng cách phân tích để đƣa về cách giải sau

Bài tập 2: Giải phương trình: x   4 x   4 2 x 2    16 10 0 Điều kiện: x4

Xét hàm số f x    x   4 x   4 2 x 2   16 10 trên nửa đoạn    4; 

Suy ra: f x    x   4 x   4 2 x 2   16 10 đồng biến trên  4;  

  5 0 f  Suy ra x5là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài tập 3: Giải phương trình: 3 x 5 x 6x2

Xét hàm số f x    3 x  5 x  6 x  2 trên f '   x  3 ln 3 5 ln 5 6 x  x 

Suy ra, tồn tạix 0  sao cho f '( x 0 )  0 f ''   x  3 x   ln 3 2  5 x   ln 5 2    0, x

 f x  có tối đa 1 nghiệm trên nên f x ( )  0có tối đa 2 nghiệm trên và f   1      3 5 6 2 0 ; f   0     1 1 2 0

Suy ra phương trình có hai nghiệm làx0,x1

Bài tập 4: Giải phương trình:  4 x 2  1  x    x 3  5 2  x  0 Điều kiện: 5 x 2

Xét hàm số f t    t t   2    1 t 3 t với t  và f '   t  3 t 2     1 0, t R

Suy ra f t     t 3 t đồng biến trên

Bài tập 5: Giải phương trình: x 3 2x 3 3x  2 2 0

' 3 1 0, f t  t     t Suy ra f t     t 3 t đồng biến trên

Vậyx 2,x1 là hai nghiệm của phương trình

Bài tập 6: Giải phương trình: 2 x  1  2 x 2  x  ( x  1) 2

Xét hàm số f t    2 t  t với t  f '   t  2 ln 2 1 0, t     t

Suy ra: f t    2 t  t đồng biến trên

Vậyx1là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài tập 8: Giải phương trình: 3 2 2

Xét hàm số f t  log3 tt với t  0 '   1 1 0, 0 f t ln 3 t

Vậyx 2,x 1là hai nghiệm của phương trình

2.5 Ứng dụng đạo hàm giải bất phương trình

Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm giải bất phương trình qua các câu hỏi sau đây:

Câu 1: Hàm số y  f x ( )đồng biến (tăng) trên K và x x 1 , 2 K x, 1 x 2 , kết luận nào sau đây đúng?

Câu 2: Hàm số y  f x ( )nghịch biến (giảm) trên K và x x 1 , 2 K x, 1 x 2 , kết luận nào sau đây đúng?

Câu 3: Hàm số y  f x ( )đồng biến (tăng) trên K và f x( ) 1  f x( ) 2 thì:

D Chƣa thể kết luận Đáp án: B

Câu 4: Cho hàm số y  f x ( )có đạo hàm trên K đồng thời f '( ) x    0, x K , phương trình

'( ) 0 f x  vô nghiệm trên K hoặc có nghiệm rời rạc trên K Khi đó ta khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số y  f x ( )nghịch biến trên K

B Hàm số y  f x ( )đồng biến trên K

C Hàm số y  f x ( )không đổi trên K

D Cả 3 ý trên đểu sai. Đáp án: B

Câu 5: Cho hàm số y  f x ( )nghịch biến trên K, khi đó phát biểu nào sau đây đúng?

A Hàm số y  f x ( )có đạo hàm trên K đồng thời phương trình f '( ) x  0vô nghiệm trên K hoặc có nghiệm rời rạc trên K

B Hàm số y  f x ( )có đạo hàm trên K đồng thời phương trình f '( ) x  0vô nghiệm trên K hoặc có nghiệm rời rạc trên K và f '( ) x    0, x K.

C Hàm số y  f x ( )có đạo hàm trên K đồng thời phương trình f '( ) x  0vô nghiệm trên K hoặc có nghiệm rời rạc trên K và f '( ) x    0, x K.

D Hàm số y  f x ( )có đạo hàm trên K đồng thời f '( ) x    0, x K. Đáp án: C

Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống

Câu 1: Hoàn thành bài giải sau:

Nhận xét: Vớix3thì vế trái của (*) nhận giá trị bằng 0

Xét hàm số f x ( )  x   6 2 x   2 5liên tục trên nửa khoảng (2)…

Do f x'( ) (3) 0,    x (1, )nên hàm số f x( )đồng biến trên [1,)

Như vậy, bất phương trình (*) f x( ) f(3) x 3

Kết hợp với điều kiện ta nhận các nghiệm 1 x 3 Đáp án: (1): x1 (2): [1,)

Câu 2: Hoàn thành bài giải sau:

Nhận xét: Với x 1thì vế trái của (*) nhận giá trị bằng …(1)…

Xét hàm số f x( )    x 5 x 3 1 3x 4 liên tục trên nửa khoảng , 1

'( ) (2) 0, , f x     x  3 nên f x ( ) đồng biến trên nửa khoảng , 1

Như vậy, bất phương trình (*)  f x ( )  f ( 1)     x 1

Kết hợp với điều kiện của bất phương trình ta nhận được , 1 x      3    Đáp án: (1): 0 (2): 5 4 3 2 3

PHƯƠNG PHÁP CHUNG Định nghĩa: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên một khoảng, đoạn:

+ Hàm số y  f x ( )đồng biến (tăng) trên K nếux x 1, 2K,x 1 x 2 f x( )1  f x( )2

+ Hàm số y  f x ( )nghịch biến (giảm) trên K nếux x 1 , 2 K,x 1  x 2 f x( ) 1  f x( ) 2

Cho hàm số y  f x ( )có đạo hàm trên K đồng thời phương trình f '( )x 0vô nghiệm trên K hoặc có nghiệm rời rạc trên K Khi đó:

+ Hàm số y  f x ( )đồng biến trên K khi và chỉ khi f '( )x   0, x K

+ Hàm số y  f x ( )nghịch biến trên K khi và chỉ khi f '( )x   0, x K

Phương pháp giải bất phương trình bằng cách sử dụng đạo hàm

Nếu hàm số y  f x ( )tăng liên tục trên K (K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) thì:

Nếu hàm số y  f x ( )giảm liên tục trên K (K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) thì:

Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau: a) 3 3 2 5 2 6

Ta dễ dàng chứng minh đƣợc f x ( )là hàm nghịch biến

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là: 1 3 x 2

Xét hàm số f x( ) x 3 3x 2 6x16 4x , ta có:

Mặt khác f   1  2 3 Do vậy bất phương trình: ( ) 2 3f x   f(1) x 1 Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là: 2  x 1 Bài tập 2: Tìm tập nghiệm của bất phương trình

 x 3  2 x 2   x ( 3 x  3) 3  2( 3 x  3) 2  3 x  3 (*) Đặt y  3 x  3thì y  0, khi đó:(*)x 3 2x 2  x y 3 2yy (**) Xét hàm số f t( ) t 3 2t 2 t

'( ) 3 2 4 1 f t  t  t (có lúc âm, lúc dương với t1)

Trở lại kết hợp x 3  2 x 2  5 x   6 (3 x  4) 3 x  3vàx 1ta suy ra đƣợc:

Nhƣ vậy với t là biến đặc trƣng chox2 vày0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 3 21

2.6 Ứng dụng đạo hàm giải hệ phương trình.

Câu 1: Hàm số y  f x ( )có f x '( )    0 x Khi đó y  f x ( )đồng biến trên khoảng nào?

D Cả ba ý trên đều sai Đáp án : C

Câu 2: Hàm số y  f x ( )có f x '( )    0 x Khi đó y  f x ( ) đồng biến hay nghịch biến trên khoảng nào?

D Cả ba ý trên đều sai Đáp án: C

Câu 3: Biết hàm số f t      t 3 t nghịch biến trên Nếu a 3   a b 3  b kết luận nào sau đây đúng:

D Đáp án khác Đáp án: A

Câu 4: Biết hàm số f t     t 3 t đồng biến trên Nếu a 3   a b 3  b kết luận nào sau đây đúng:

D Đáp án khác Đáp án: A

Câu 5: Hàm số f t     t 2 t  1 đồng biến trên khoảng nào ?

D Cả 3 ý trên đều sai Đáp án: C

Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chổ trống

Câu 1: Giải hệ phương trình: 1 7 4

KLTN kinh tế học Đáp án:

Câu 2: Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 ( )( 2)

Suy ra f t    2 t  t 3 đồng biến trên khoảng (2)

Bài tập 1: Giải hệ phương trình: 2 2

Suy ra: f x    x 2   91 x   2 x 2 đồng biến trên khoảng  2; 

  3 3 2 91 3 2 3 2 10 1 9 0 f           x 3 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài tập 2: Giải hệ phương trình: 2 1

Suy ra: f t     t t 2    2 t 2 3 t  1 đồng biến trên khoảng    ; 

Suy ra hàm số f x    3 x  1  3     x 1  2 x  2 đồng biến trên khoảng x     ; 

  1 3 1 1 3   1 1 2 2 1 1 2 2 0 1 f               x là nghiệm duy nhất của phương trình Nghiệm của hệ: x = y = 1

Bài tập 3: Giải hệ phương trình: 3 3

KLTN kinh tế học Điều kiện: 1 2

Suy ra: f t     t 3 t đồng biến trên khoảng    ; 

Suy ra hàm f x    4 x   1 4 x 2   1 1 đồng biến trên 1 ;

  là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài tập 4: Giải hệ phương trình:  2 3   4 3  2 0

Suy ra f t    t t  2  3 đồng biến trên

Bài tập 5: ( Khối A – 2010) Giải hệ phương trình:  2   

Suy ra f t     t 3 t đồng biến trên

2 0 2 f          x là nghiệm duy nhất của phương trình 4 2 5 2 2 2 2 3 4 7 0 x     2  x      x  

Bài tập 6: Giải hệ phương trình:

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

 Hệ đã cho có nghiệm là 3 ; 1 ; 1 ; 3

2.7 Ứng dụng đạo hàm tìm tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm

Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm tham số cho các phương trình, bất phương trình và hệ phương trình thông qua những câu hỏi sau đây.

Câu 1: Nếu hàm số y  f x ( )luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y  g x ( ) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và f x g x ( ), ( )liên tục trên D thì số nghiệm trên

D của phương trình f x ( )  g x ( )có thể có là:

B Không nhiều hơn một nghiệm

D Đáp án khác Đáp án: B

Câu 2: Nếu hàm số y  f x ( )luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình trên D: ( )f x kvới k là hằng số là:

A Không nhiều hơn một nghiệm

D Đáp án khác Đáp án: A

Câu 3: Cho hàm số 1 3 2 1, 1 y  3 x  x  mx  m  chọn câu trả lời đúng:

A Hàm số luôn nghịch biến trên

B Hàm số nghịch biến trên miền D có chứa đường thẳngx1

C Hàm số luôn đồng biến trên

D Cả 3 ý trên đều sai Đáp án: D

   x là phương trình hoành độ giao điểm của:

D Cả 3 ý trên đều sai Đáp án: A

Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống

Câu 1: Tìm m để phương trình: 3 x 2   m 2 x có nghiệm khi x    0,1

Từ bảng biến thiên ta suy ra phương trình (1) có nghiệm khi : 1 1 m 3

Câu 2: Tìm m phương trình : 9 2x  2  x 2  m có nghiệm khi [0, ] 9 x  2

Từ bảng biến thiên ta suy ra phương trình (1) có nghiệm khi : 9 10

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, Định lý 1 khẳng định rằng nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến và liên tục trên miền D, thì phương trình f(x) = k chỉ có tối đa một nghiệm trên D, và f(x) = f(y) chỉ xảy ra khi x = y với mọi x, y thuộc D Định lý 2 bổ sung rằng nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến, trong khi hàm số y = g(x) luôn nghịch biến hoặc đồng biến và liên tục trên D, thì phương trình f(x) = g(x) cũng chỉ có tối đa một nghiệm trên D.

Khi gặp phương trình \( F(x) = 0 \) và có thể biến đổi thành dạng \( f(x) = g(x) \), trong đó \( f \) và \( g \) không đồng nhất về tính đơn điệu, ta cần tìm một nghiệm của phương trình và chứng minh rằng nghiệm đó là duy nhất Việc ứng dụng đạo hàm trong các bài toán tham số là rất quan trọng để xác định tính chất của nghiệm.

Khi giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình và hệ phương trình, chúng ta thường gặp phải những bài toán có tham số Đây là dạng bài toán phổ biến mà nhiều người học cần chú ý.

HS thường gặp khó khăn trong việc xác định tham số cho phương trình có nghiệm, có k nghiệm, hoặc nghiệm đúng với mọi x thuộc tập D Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu các dạng toán phổ biến và phương pháp giải quyết chúng một cách hiệu quả.

Vì đây là phần đã cần đến kỹ năng vận dụng nhiều nên bài tập chủ yếu ở mức độ thông hiểu và vận dụng

2.7.3.1 Bài tập về phương trình a) Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f x ( )  g m ( )có nghiệm trên D

Để giải bài toán tìm nghiệm tương đương của hai hàm số y = f(x) và y = g(m), ta cần dựa vào tính chất cắt nhau của hai đồ thị Bước đầu tiên trong quá trình này là lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x).

Bước 2: Từ bảng biến thiên suy ra kết luận

Bài tập: Tìm m để phương trình3 1x 2 2 x 3 2x 2  1 m (1) trên 1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 1

Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm củad y: mvà

Phương trình có nghiệm duy nhất khi 4 3 3 22 m 2

KLTN kinh tế học b) Dạng 2: Phương trình cũng chứa tham số nhưng không ở dạng f x ( )  g m ( )

Phương pháp: Ta tìm cách cô lập m đưa về dạng trên Bài tập dạng này tương đối đa dạng và nhiều

Bài tập 1: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt x 2  mx   2 2 x  1

 Nếu x = 0 thì phương trình (1) vô nghiệm

    x Phương trình (2) là phương trình hoành độ giao điểm của d y: mvà đồ thị

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 1 ; \ 0   x     2      d y: mcắt

Từ bảng biến thiên ta có: 9 m  2

Bài tập 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 9   x x 2 9x m (1)

HD: Điều kiện: 0 x 9 PT (1) trở thành x  9 x 2 x(9x)   x 2 9x m

Xét hàm số ( ) 2 2 9, 0 9 f t     t t   t 2 Ta có: f t '( )    2 t 2 ; f t '( )    0 t 1

Phương trình (1) có nghiệm x    0;9 Phương trình (3) có nghiệm 9

Bài tập 3: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm

Xét hàm số f t( ) 3t 2 2t, t   0;1  Ta có: '( ) 6 2 ; '( ) 0 1 f t    t f t    t 3 Bảng biến thiên: t

Phương trình (1) có nghiệm x     1;  Phương trình (3) có nghiệm 1 1 m 3

Bài tập 4: Cho phương trình 2 2 1 2 2

2 log xlog x  3 m(log x3) (1) Tìm m để phương trình có nghiệm x   32;  

Từ điều kiện của x, ta có:log 2 x 5 log 2 x 3 2nên m0

(1) log 2 2 x2log 2 x 3 m(log 2 x3) log 2 2 x2log2 x 3 m 2 (log2 x3) 2  2

KLTN kinh tế học Đặt t log ;2 x t5 Phương trình (2) trở thành 2 2 3 2 ( 3) 2 2 1

Phương trình (1) có nghiệm x  32;    Phương trình (3) có nghiệm t    5; 

Kết hợp với điều kiện m0, ta có : 1 m 3

Để giải phương trình bậc hai theo biến t, cần kiểm tra nghiệm t có thỏa mãn điều kiện t ≥ 5 hay không Phương pháp sử dụng bảng biến thiên cho phép thực hiện việc này một cách đơn giản và hiệu quả.

Bài tập 5: Tìm m để phương trình9 1   1 x 2   m  3 3  1   1 x 2  2 m   1 0 có nghiệm thực

Khi đó, phương trình đã cho trở thành: 2  3  2 1 0 2 3 1

Suy raf t( ) là hàm số đồng biến trên  3;9 Do đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

Bài tập 6: Cho phương trình 3 tan x  1 sin  x  2cos x   m  sin x  3cos x  (1)

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất 0; x  2 

   , khi đósin x  0, cos x  0, tan x  0 ,sin x  3cos x  0

Phương trình (1) 3 tan 1 sin 2 cos 3 tan 1 tan 2 sin 3cos tan 3 x x x x m x m x x x

  (2) Đặt t  tan x t ,  0 Phương trình (2) trở thành3 1 2 , 0

2 Ứng mỗit0thỏa mãn phương trình (3), ta được đúng một nghiệm 0; x  2

Do đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất thỏa 0; x  2

  khi và chỉ khi phương trình

(3) có duy nhất nghiệm t0 Từ bảng biến thiên ta có: m2

Bài tập 7: Tìm m để phương trình 6 x x 3 mx (1) có nghiệm

Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình(1) nên (1) 6 x 3 x m x x

Từ bảng biến thiên ta có: Phương trình (1) có nghiệm 1 1

   Bài tập 8: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có hai nghiệm thực phân biệt:

Yêu cầu bài toán quy về chứng minh phương trình (*) có một nghiệm trong(2;  ) Biến đổi (*)  m x 3 6x 2 32

Xét hàm số f x( ) x 3 6x 2 32vớix2 Ta có: f x'( )3x 2 12x  0, x 2 và lim ( ) x f x

Từ bảng biến thiên suy ra m 0phương trình (*) có đúng một nghiệmx2

Vậy phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt m 0

2.7.3.2 Bài tập về hệ phương trình a) Dạng 1: Hệ phương trình trong đó một phương trình của hệ không chứa tham số

Để giải quyết phương trình không chứa tham số, trước tiên ta cần tìm tập nghiệm cho hệ một ẩn Từ phương trình này, ta có thể rút ẩn này qua ẩn kia Kết quả là nghiệm của hệ sẽ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai mà ta đã tìm được trước đó.

Bài tập 1: Tìm m để hệ phương trình 2 0 (1)

Ta thấy (2) là phương trình không chứa tham số nên ta s giải (2) trước

Hệ (I) có nghiệm khi (3) có nghiệm y  2

  y   đồng biến trên các khoảng

Suy ra hệ có nghiệm khi và chỉ khi m  ( ; 2]  (4,  )

Bài tập 2: Tìm m để hệ phương trình

Suy ra hàm số f t  nghịch biến trên   2; 2  (3)

Ta có: x và y – 2 cùng thuộc đoạn   2; 2  và f x ( )  f y (     2) x y 2

Thay vào (2) ta được phương trình3 4x 2 4x 2 m (4)

Hệ phương trình đã cho có nghiệmphương trình (4) có nghiệm x thuộc   2; 2 

Từ bảng biến thiên ta có :   16 m 6

Bài tập 3: Tìm m để hệ phương trình sau có ba cặp nghiệm phân biệt

Vìx0không là nghiệm phương trình Nên x xy  1 xy  1 x 2

Thay vào phương trình (1) ta được:

Hệ có ba cặp nghiệm khi (3) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãnx1

V bảng biến thiên ta kết luận phương trình (3) có ba nghiệm phân biệt:

4 3 m     hệ phương trình có ba cặp nghiệm phân biệt b) Dạng 2: : Hệ phương trình trong đó cả 2 phương trình đều chứa tham số

Bài tập 1: Tìm m để hệ phương trình 1 1

 Suy ra hàm số y  f t ( )đồng biến trên  0;1 Khi đó : f x ( )  f y ( )   x y

Thay vào hệ ta đƣợc : x  1    x m 1 , x    0;1 (2)

Ta có : ; '( ) 0 1 1 f x     x x   x 2 Bảng biến thiên: x

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi phương trình (2) có nghiệm duy nhất

Từ bảng biến thiên ta có: m   1 2   m 2 1 

Bài tập 2: Tìm m để hệ phương trình 2 3 2 ( 2) 2

Hệ đã cho trở thành 2 (2 1) 0 (2)

Hệ phương trình (1) có nghiệm khi phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn 1 u   4

Từ bảng biến thiên ta có : 2 3 m   2 Bài tập 3: Tìm m để hệ phương trình

Hệ phương trình (1) có nghiệm khi phương trình (2) có nghiệm thỏa 0 v 3

Từ bảng biến thiên ta có: 3 1 1

2.7.3.3 Bài tập về hệ bất phương trình

Bài tập 1: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

Ta thấy (1) là bất phương trình một ẩn nên ta s đi giải bất phương trình này

Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi (2) có nghiệm x  [1; 4]

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm   8 m 19

Bài tập 2: Xác định giá trị tham số m để hệ phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

2 2 5 log ( 1) log ( 1) log 4 (1) log ( 2 5) log x x 2 5 (2) x x x x m  

Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x    1;3 Đặt t  log ( 2 x 2  2 x       5) 2 t 3, x (1;3)

Từ cách đặt t ta có: (x1) 2  2t 4

Do đó với mỗi giá trị t  (2;3)cho ta một giá trị x  (1;3).

Suy ra phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt x    1;3 khi phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt t  (2;3)

Suy ra phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt (2;3) 25 6 6 25

2.8 Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức

Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức sau: Câu 1: Cho f x( )đồng biến trên  a b ; và f x ( )  f a ( ) Kết luận nào sau đây đúng?

D Đáp án khác Đáp án: B

Câu 2: Cho f x( )nghịch biến trên  a b ; với mọi x  b ta có thể khẳng định:

D Đáp án khác Đáp án: B

Câu 3: Cho m n ,  0,bất đẳng thức(m n ) 2 4mntương đương với bất đẳng thức nào?

D Tất cả đều đúng Đáp án: B

Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống:

Câu 1: Chứng minh bất đẳng thức:e x  1 x khi x0

Từ bảng biến thiên suy ra: f x ( )   0, x ( ( ) f x  0tại x0)

Câu 2: Chứng minh: sinxx khi x0 sin x   x sin x   x 0 khi x  0 Đặt f x ( )  sin x  x ; D ; f x '( )  (1)    0 x 0

Từ bảng biến thiên suy ra f x ( )  0khi x0hay sinxxkhi x0 Đáp án: (1):cosx1 (2): 0

Từ bảng biến thiên suy ra:

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số và kết hợp với những bất đẳng thức quen thuộc

Tính đơn điệu của hàm số, ta thường sử dụng:

( ) f x đồng biến trên [a; b] thì f x ( )  f a ( )với mọi x a 

( ) f x nghịch biến trên [a; b] thì f x ( )  f b ( )với mọi xb

Những bất đẳng thức thường gặp:

1 Bất đẳng thức AM – GM (Arithmetic Mean-Geometric Mean) hay ta thường gọi là bất đẳng thức Cauchy ( Cô si)

Nếu là các số x x x 1, , , ,2 3 x n không âm thì x 1 x 2 x 3 x n n 1 2 3 n x x x x n

Lưu ý: Các trường hợp riêng của bất đẳng thức AM – GM

+ , ,a b clà các số không âm

  ab , bất đẳng thức viết dưới dạng khác là:

2 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Nếua a a 1 , 2 , 3 , ,a b b b n , , 1 2 , , , 3 b n là các số thực thì:

(quy ƣớc mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0)

4 Các bất đẳng thức phụ quen thuộc

2.8.3.1 Bất đẳng thức một biến số a) Dạng 1: Khảo sát trực tiếp cực trị của hàm số để tìm tập giá trị của hàm số

Bài tập: Cho số nguyên dương n Chứng minh rằng 1

(Bộ đề tuyển sinh Đại học)

 Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số f x( )lnxtrên 2 ; 2 n n  1  suy ra   c  2 ; 2 n n  1  sao cho ( ) (2 1) (2 )

Từ (1), (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh

Chú ý: Định lý Lagrange:(định lý về giá trị trung bình)

Nếu hàm số f x ( )liên tục trên [a,b]có đạo hàm trong khoảng ( , ) a b thì tồn tại ít nhất một số c  ( , ) a b sao cho f b ( )  f (a)  f c b a '( )(  )

Nếu f b ( )  f a ( )thì phương trình f x '( )  0có nghiệm x   c ( , ) a b

(Sách giáo khoa phổ thông đã có đề cập đến ứng dụng một phần của định lý này

Cụ thể sách giáo khoa đại số và giải tích 11 cơ bản định lí 3 trang 138) b) Dạng 2: Sử dụng tính đơn điệu

Trong một số bài toán, việc đạo hàm nhiều lần liên tiếp là cần thiết, và có thể cần khảo sát thêm các hàm số phụ Để đánh giá tính đơn điệu của hàm số, chúng ta thường áp dụng các phương pháp cụ thể.

+ f x ( )đồng biến trên   a b ; thì f x ( )  f a ( ) với mọi x  a

+ f x ( )nghịch biến trên  a b ; thì f x ( )  f b ( ) với mọi x  b

Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi x0ta có

Ta có: f  ( ) 1 cos x   x    0, x  0;    f  ( ) x  f  (0)  0, nên f ’   x đồng biến trên

 0;   Suy ra f x  ( )  f  (0)   0 f x ( ) đồng biến trên 0;  

Lại có f  ( ) x  f  (0)  0vớix0 Ta có: sinx x (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh

Bài tập 2: Cho , ,a b x0và ab Chứng minh rằng b x b a x a b x b

Do đó g(x) nghịch biến trên 0;   Suy ra: ( ) lim ( ) lim ln 0 x x a x b a g x g x b x a x

Vậy f x  ( )    0, x 0, nên f(x) đồng biến trên  0;   Suy ra f x    f   0 c) Dạng 3: Kết hợp với các BĐT khác nhƣ BĐT AM – GM, BĐT Cauchy – Schwarz, BĐT Chebyshes,…

Bài tập1: Chứng minh rằng nếu 0 x 2

HD: Áp dụng BĐT AM – GM có 2 sin x 2 tan x 2 2 sin x 2 tan x Ta chứng minh: sin tan 1 sin tan 2

Xét hàm số f x( )sinxtanx2x liên tục trên 0;

   thìcosxcos 2 xvà theo BĐT AM – GM có 2 1 2 cos 2 x os c x

Do đó f x  đồng biến trên 0;

Suy ra f x ( )  f (0)  0hay sinxtanx2x với mọi 0; x  2

   Bài tập 2: Cho a b ,    0;1 Chứng minh rằng

Nên hàm số f '   x đồng biến trên [0;1] Suy ra phương trình f '   x  0có nhiều nhất một nghiệm trên (0; 1)

+ Nếu phương trình f '   x  0vô nghiệm thì f x  đơn điệu trên [0;1] Khi đó:

+ Nếu phương trình f '   x  0có nghiệm duy nhất xx 0 Khi đó: vì f '   x đồng biến trên [0;1] nên f    x    0, x  0; x 0  và f    x    0, x   x 0 ;1

Do đó x 0 là điểm cực tiểu của hàm số

Mặt khác f x  liên tục trên [0;1] nên             max0;1 max 0 ; 1 1 f x  f x  f f 

Từ hai trường hợp ta có điều phải chứng minh

2.8.3.2 Bất đẳng thức có hai hay nhiều biến số a) Dạng 1: Khảo sát hàm đặc trƣng

Bài tập 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a b c, , 0 :a 2  b 2 c 2 1.Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 3 3

   b) 0x y z, ,  ,x  y z 1 Chứng minh:0 2 7 xy yz zx xyz 27

HD: a) Nhận xét: Vai trò của a,b,c trong vế trái là nhƣ nhau, nên ta có thể biến đổi từng nhóm trong vế trái thành những biểu thức “đồng dạng”

Từ giả thiết suy ra: 0 a 1,0 b 1,0 c 1

Xét hàm số f x    x  1  x 2 trên đoạn [0;1]

Từ bảng biến thiên suy ra:

KLTN kinh tế học b) Giả sử:0 1 z 3

2 (1 2 ) ( ) 1 ( ) 0 (1) xy  yz  zx  xyz  xy  z  z x  y  3 xy  z x  y 

2 x y xy  yz  zx  xyz  xy  z  z x  y          z  z x  y (Cauchy :x y 2 xy)

Từ bảng biến thiên suy ra ( ) 7 khi 0; 1

27 3 f z  z        hay 2 7 (2) xy  yz  zx  xyz  27

Từ (1),(2) suy ra:0 2 7 , , , 0, 1 xy yz zx xyz 27 x y z x y z

Để chứng minh bất đẳng thức có nhiều biến số bằng phương pháp đạo hàm, điều quan trọng nhất là chuyển đổi về một biến và khảo sát hàm số theo biến đó.

Bài tập 2: Chứng minh rằng a)

Ta có bảng biến thiên: x  1 

Từ bảng biến thiên suy ra f x    f   1   2, x Áp dụng câu a ta có: 2  

Cộng vế BĐT( 1), (2), (3) có: 2 1 2 1 2 1 1  3  3 x    x y    y z    z 2    x y z  Bài tập 3: Cho A, B, C là ba góc của một tam giác nhọn Chứng minh rằng

  tanAtanBtanC6 sinAsinBsinC 12 3

Xét hàm số: f x    tan x  6sin x  7 x trên 0;

Lập bảng biến thiên của f x( )trên 0;

      Áp dụng vào bài toán ta đƣợc:       3 4 3 7 f A f B f C  3

  tanA tanB tanC 6 sinA sinB sinC 12 3.

Nhận xét: Trong BĐT trên A, B, C bình đẳng nên ta kiểm tra đƣợc dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

   Vì vậy cần chọn một hàm số có dạng f x    tan x  6sin x kx  sao cho 0 f         3  Do đó k = -7 và tìm đƣợc hàm đặc trƣng cần xét

Bài tập 4: Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng: 8 a     8 b 8 c 2 a 2 b 2 c

(ĐH Quốc gia Hà Nội, 2000)

Xét hàm số f x      2 x 3  2 x  2 ln 2 x trên Ta có:

Bài tập 5: Chứng minh rằng: 2 1 2 1 , 0

Nên f là hàm nghịch biến trên 0;   Do đó f a      f b

Bài tập 6: Chứng minh rằng với x y ,    0;1 , x  y có: 1 ln ln 4   1

Nếuyxthì   1 ln ln 4   ln 4 ln 4

Nếuyxthì   1 ln ln 4   ln 4 ln 4

             Suy ra f x ( )tăng trên (0;1) Suy ra f y ( )  f x ( )nếuyxvà f y ( )  f x ( )nếuyx

Bài tập 7: Cho x  0, y  0và x + y = 1 Chứng minh rằng 2

Ta có y = 1 – x nên BĐT cần chứng minh là: 1 2,   0;1

Bài tập 8: Cho hai số x, y khác 0 thay đổi thỏa mãn x  y xy   x 2  y 2  xy   *

Nhận thấy x, y đối xứng nên đặt

  nên ta chỉ cần chứng minh: 3 u 4 u

Trên mỗi khoảng    ; 3  và  1;  ) do đó f u ( )  f (1),   u 1

Còn 0  f ( 3)   f u ( ) 1,     u 3, từ đó ta có điều phải chứng minh b) Dạng 2: Kết hợp với các BĐT khác nhƣ BĐT AM – GM, BĐT Cauchy – Schwarz, BĐT Chebyshes,… Đối với các bài toán phức tạp, ta cần phối hợp với phương pháp chặn khoảng các biến và các BĐT phụ khác nhƣ BĐT AM – GM, BĐT Cauchy – Schwarz… hoặc các đánh giá khác, hoặc phối hợp với các phương pháp khác như phương pháp tọa độ,

Bài tập 1: Cho các số x y z , ,    0;1 thỏa mãn xyz    1 x  1  y  1  z 

Ta có: xyz      1  x y z   xy  yz  zx   xyz

KLTN kinh tế học Áp dụng BĐT AM – GM ta có

27 f t   t t t ta đƣợcmin   3 f t  4 khi 1 x  y z 2 Bài tập 2: Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [1;4] vàx y x, z Tìm GTNN của biểu thức:

(Tuyển sinh Đại học khối A, 2011)

Trước hết ta chứng minh với mọi a b dương, ab1thì 1 1 2

Thật vậy, ta có (*)( ab1)( a b) 2 0luôn đúng do a,b dương và ab1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1 Áp dụng (*) với x, y thuộc đoạn [1;4] vàx y x, z ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z x y  z hoặc x 1 y  (1) Đặt x t t ,   1;2 y   , khi đó 2 2 2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 x 4 4; 1 t x y

Khi P ≥ 33, từ các biểu thức (1) và (2) suy ra rằng dấu bằng chỉ xảy ra khi x = 9, y = 1 và z = 2 Đối với dạng khảo sát hàm số theo từng biến, trong các bất đẳng thức nhiều biến, ta có thể chọn một biến làm biến số biến thiên và giữ cố định các biến còn lại, biến bài toán thành bất đẳng thức một biến.

Bài tập 1: Cho 0a b, 1 Chứng minh rằng:tan tana btanab

Giả sử ab Đặt f x    tan tan b x  tan bx với b   x 1

Ta có:   tan 2 2 os os b b f x c x c bx

Do0a b, 1nêntanb b 0và 1 2 1 2 os os c x c bx Suy ra f    x  0 , nên f đồng biến trên [b;1] Vì vậy với ab ta có f a      f b

Suy ra:tan tan a b  tan ab  tan 2 b  tan b 2   1 Đặt g x    tan 2 x  tan x 2

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Bài tập 2: Chứng minh rằng2  x 3  y 3  z 3    x y 2  y z 2  z x 2    3, x y z , ,    0;1

BĐT đã cho tương đương với f x    2 x 3  yx 2  z x 2  2  y 3  z 3   y z 2  3

Vì x0 nên x 1 0;1 Xét hai trường hợp: Nếux 2 0;1  f  x   0, x  0;1

Suy ra f x ( )giảm trên [0;1] Do đó:

Nếu x 2 0;1 thì ta có bảng biến thiên: x 0 x 2 1

Từ bảng biên thiên suy ra

Như vậy trong cả hai trường hợp ta đều có

 Nếuy 2 0;1 g y   0, y  0;1 Suy ra g y ( )giảm trên [0;1]

 Nếu y 2 0;1 thì ta có bảng biến thiên: y 0 y 2 1

Từ bảng biên thiên suy ra

Như vậy trong cả hai trường hợp ta đều có

2.9 Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2.9.1 Bài tập nhận biết

Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất qua các câu hỏi sau đây:

Câu 1: Cho hàm số xác định trên D Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên D nếu:

B f x ( )  M,   x Dvà x 0 Dsao cho f x( ) 0 M, ký hiệu: max D y  M

C f x ( )  M,   x Dvà x 0 Dsao cho f x( ) 0 M, ký hiệu:

D Cả ba ý trên đều sai Đáp án: B

Câu 2: Cho hàm số xác định trên D Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D nếu:

A f x ( )  m,   x Dvà  x 0 Dsao cho f x( ) 0 m, ký hiệu: min D y  m

C f x ( )  m,   x Dvà  x 0 Dsao cho f x( ) 0 m, ký hiệu:

D Cả ba ý trên đều sai Đáp án: A

Câu 3: Phát biểu nào sau đây sai?

A Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có GTLN và GTNN trên đoạn đó

B Mọi hàm số liên tục trên một khoảng đều có GTLN và GTNN trên khoảng đó

C Hàm số liên tục trên khoảng có thể không có GTLN và GTNN trên khoảng đó

D Một hàm số có thể có GTLN và không có GTNN hoặc ngƣợc lại Đáp án: B

Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống

Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: H  4 x 2  4 x  11

Suy ra minA (2) khi 1 x  2 Đáp án:

Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:G 5 x 2 2x4y 2 4y

Suy ra: maxG7 khi x1và y  (2)

KLTN kinh tế học Đáp án:

Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x ( ) x 4

Ta có f x ( )xác định và liên tục trên đoạn [1,3], f x '( )  (1)

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của trên đoạn [1,3] là:

2.9.3.1.Phương pháp đưa về một biến trong các bài toán hai biến

Để tìm mối quan hệ giữa giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức, cần biến đổi giả thiết và biểu thức cần tìm Việc đặt ẩn phụ hợp lý sẽ giúp đưa biểu thức đã cho về hàm một biến, từ đó dễ dàng khảo sát Khi thực hiện bước này, cần chú ý đến các yếu tố liên quan để đảm bảo tính chính xác trong quá trình phân tích.