Chuyên đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bộ tài liệu Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số Toán Lớp 12 File Word gồm 5 chuyên đề. Mỗi chuyên đề sẽ có phần ôn tập kiến thức liên quan và các bài tập và ví dụ có đáp án và hướng dẫn giải chi tiết giúp các em học sinh dễ dàng ôn tập.

CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Biết, hiểu cơng thức, quy tắc tính đạo hàm + Nắm vững tính đơn điệu hàm số + Thấy mối liên hệ biến thiên hàm số thơng qua đạo hàm + Biết quy tắc xét dấu học lớp 10 + Nhận biết mối liên hệ hàm số biết bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) biết bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) , đồ thị hàm số y = f ( x ) đồ thị hàm số y = f ' ( x )  Kĩ + Biết áp dụng công thức, quy tắc tính đạo hàm vào hàm số + Nhận diện bảng biến thiên, đồ thị hàm số đơn điệu khoảng cụ thể + Vẽ bảng biến thiên, đồ thị hàm số bản, hàm chứa trị tuyệt đối + Vận dụng tính chất hàm số trùng phương, hàm số bậc ba, hàm hữu tỷ vào giải nhanh toán trắc nghiệm x )) , y f (u ( x ) ± h ( x )) + Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( = biết bảng biến thiên đồ thị hàm số y = f ( x ) ( y = f ′ ( x ) ) I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình Cho hàm số f xác định khoảng (đoạn vẽ nửa khoảng) K Hàm số f gọi đồng biến (tăng) K ∀x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Dựa vào đồ thị ta thấy Hàm số đồng biến khoảng ( −1;0 ) Hàm số nghịch biến khoảng ( 0;1) Hàm số f gọi nghịch biến (giảm) K Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) Ta có bảng xét Trang ∀x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) dấu sau: x −∞ y′ + +∞ − + Ta thấy Hàm Định lí thuận Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Nếu f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K hàm số đồng biến số đồng biến khoảng 1   −∞;  ; (1; +∞ ) 3  1  Hàm số nghịch biến khoảng  ;1 3  Ví dụ 3: Cho hàm số g ( x ) = x − x + khoảng K a= > Nếu f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ K hàm số nghịch biến Hàm số có  ∆ = ( −5 ) − 4.2.6 = −23 < khoảng K ⇒ g ( x ) > 0, ∀x ∈  Nếu f ′ ( x ) = 0, ∀x ∈ K hàm số khơng đổi Chú ý: Định lí thuận dạng “mở rộng”: khoảng K f ′ ( x ) ≤ ∀x ∈ K dấu “=” hữu hạn điểm Định lí đảo K hàm số nghịch biến K Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Nếu hàm số f đồng biến khoảng K f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K Nếu hàm số f nghịch biến khoảng K f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K Lưu ý: - Hàm số f ( x ) đồng biến K đồ thị hàm số đường lên từ trái sang phải, biểu diễn bảng biến thiên dấu mũi tên hướng lên từ trái sang phải - Hàm số f ( x ) nghịch biến K đồ thị hàm số đường xuống từ trái sang phải, biểu diễn bảng biến thiên dấu mũi tên hướng xuống từ trái sang phải Xét dấu tam thức bậc hai g ( x ) = ax + bx + c Trang ( a ≠ 0) g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈  ⇔ g ( x ) > 0, ∀x ∈  ⇔ g ( x ) ≤ 0, ∀x ∈  ⇔ g ( x ) < 0, ∀x ∈  ⇔ { { { { a>0 ; ∆≤0 a>0 ; ∆ 0, ∀x ∈ ( 5; +∞ ) Vậy hàm số đồng biến khoảng ( 5; +∞ ) Chọn A Ví dụ Hàm số y= x + đồng biến khoảng đây? x A ( 0; +∞ ) B ( −2; ) D ( 2; +∞ ) C ( −2;0 ) Hướng dẫn giải Tập xác định D =  \ {0} Ta có y′ = x2 − x2 − ′ ⇒ y = ⇔ = ⇔ x = ±2 x2 x2 Bảng biến thiên x −∞ y′ + −2 0 − − −4 + +∞ +∞ +∞ y −∞ −∞ Từ bảng biến thiên suy hàm số đồng biến ( −∞; −2 ) ( 2; +∞ ) Trang Chọn D Ví dụ Cho hàm số f ( x )= (1 − x ) 2019 Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến  B Hàm số đồng biến ( −∞;0 ) C Hàm số nghịch biến ( −∞;0 ) D Hàm số nghịch biến  Hướng dẫn giải Tập xác định D =  Đạo hàm f ′ ( x= ) 2019 (1 − x ) Vì 2019 (1 − x ) 2018 2018 2018 (1 − x = )′ 2019.(1 − x ) ( −2 x ) ≥ , ∀x ∈  nên dấu đạo hàm dấu với ( − x ) x=0 Ta có f ′ ( x )= ⇔   x = ±1 Ta có bảng biến thiên −1 −∞ x f ′( x) + f ( x) + +∞ − − 0 −∞ −∞ Vậy hàm số đồng biến ( −∞;0 ) Chọn B Chú ý: Dấu hiệu mở rộng kết luận khoảng đồng biến ( −∞;0 ) Ví dụ Cho hàm số f ( x ) = x3 + x + x + cos x Với hai số thực a, b cho a < b Khẳng định sau đúng? A f ( a ) = f ( b ) B f ( a ) > f ( b ) C f ( a ) < f ( b ) D f ( a ) ≥ f ( b ) Hướng dẫn giải Tập xác định D =  Ta có f ′ ( x ) = x + x + − sin x = ( x + x + 1) + ( − sin x ) > 0, ∀x ∈  Suy f ( x ) đồng biến  Do a < b ⇒ f ( a ) < f ( b ) Trang Chọn C Ví dụ Hàm số y = x − x − đồng biến khoảng đây? A ( −∞; −1) B ( −1;3) C (1; +∞ ) D ( 3; +∞ ) Hướng dẫn giải Tập xác định D =  Ta có y = x − x − = ( x − x − 3) ⇒ y′ = ( x − ) ( x − x − 3) (x − x − 3) y′ = ⇔ x − = ⇔ x = ; y′ không xác định x = −1; x = Ta có bảng biến thiên −1 −∞ x y′ − + +∞ y +∞ − + +∞ 0 Hàm số đồng biến khoảng ( −1;1) ( 3; +∞ ) Chọn D Chú ý: - Vì f ( x ) = - Đạo hàm y′ = f ( x ) nên xét tính đơn điệu hàm số y = f ′( x) f ( x) f ( x) f ( x ) để suy kết Bài tốn Xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) cho hàm số y = f ′ ( x ) Phương pháp giải Thực theo ba bước sau: Bước Tìm giá trị x mà f ′ ( x ) = giá trị làm cho f ′ ( x ) khơng xác định Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm  f ′= ( x ) x ( x − 1) Hàm số cho đồng biến khoảng Bước Lập bảng biến thiên xét dấu trực tiếp A (1; +∞ ) B ( −∞;0 ) ; (1; +∞ ) đạo hàm C ( 0;1) D ( −∞;1) Bước Kết luận tính đơn điệu hàm số Hướng dẫn giải y = f ( x ) (chọn đáp án) x=0 Ta có f ′ ( x ) = ⇔ x ( x − 1) = ⇔  x = Ta có bảng xét dấu x f ′( x) −∞ − +∞ − + Trang Vậy hàm số đồng biến khoảng (1; +∞ ) Chọn A Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − 1) ( − x ) Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng nào, khoảng đây? A ( −1;1) B (1; ) C ( −∞; −1) D ( 2; +∞ ) Hướng dẫn giải x=2 Ta có f ′ ( x )= ⇔   x = ±1 Bảng xét dấu −∞ x −1 f ′( x) − − +∞ + − Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng (1; ) Chọn B Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( 0;3) có tính chất f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0;3) f ′ ( x ) = , ∀x ∈ (1; ) Tìm khẳng định khẳng định sau A Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( 0; ) B Hàm số f ( x ) không đổi khoảng (1; ) C Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng (1;3) D Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( 0;3) Hướng dẫn giải Vì f ′ ( x ) = , ∀x ∈ (1; ) nên f ( x ) hàm khoảng (1; ) Trên khoảng ( 0; ) , (1;3) , ( 0;3) hàm số y = f ( x ) thỏa f ( x ) ≥ f ′ ( x ) = , ∀x ∈ (1; ) nên f ( x ) không đồng biến khoảng Chọn B Bài tốn Xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) cho bảng biến thiên đồ thị Phương pháp giải Khi cho bảng biến thiên: - Trên khoảng ( a; b ) f ′ ( x ) mang dấu + Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: (dương) ta kết luận f ( x ) đồng biến ( a; b ) Trang - Trên khoảng ( c; d ) f ′ ( x ) mang dấu − (âm): x ta kết luận f ( x ) nghịch biến ( c; d ) y′ −∞ + y Khi cho đồ thị: đồ thị đường lên từ trái sang phải ( a; b ) 0 − +∞ + −∞ - Hàm số f ( x ) đồng biến ( a; b ) hàm số có −2 − −1 −∞ Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng - Hàm số f ( x ) nghịch biến ( a; b ) hàm số đây? có đồ thị đường xuống từ trái sang phải A ( −∞;0 ) B ( 0; ) ( a; b ) D ( 2; +∞ ) C ( −2;0 ) - Trong trường hợp: Hàm số f ( x ) hàm ( a; b ) (không đổi) Hướng dẫn giải hàm số có đồ thị Dựa vào bảng biến thiên, ta có y′ > 0, ∀x ∈ ( 0; ) ⇒ đường song song trùng với trục Ox ( a; b ) hàm số đồng biến ( 0; ) Chọn B Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau x −∞ y′ y +∞ − − +∞ f ( 2) −∞ Hỏi bảng biến thiên bảng biến thiên hàm số hàm số đây? A y = − x3 + x − 12 x B y =x3 − x + 12 x D y = − x2 + 4x − C y = − x3 + x − x Hướng dẫn giải Xét hàm số y = − x3 + x − 12 x y′ =−3 x + 12 x − 12 =−3 ( x − ) ≤ 0, ∀x ∈  , thỏa mãn Xét hàm số y =x3 − x + 12 x y′ = x − 12 x + 12 = ( x − ) ≥ , ∀x ∈  , không thoả mãn Xét hàm số y = − x3 + x − x Trang 10