Bộ tài liệu Chuyên Đề Toán 12: Khối Đa Diện Và Thể Tích Khối Đa Diện gồm phần ôn tập kiến thức liên quan và các bài tập và ví dụ có đáp án và hướng dẫn giải chi tiết giúp các em học sinh dễ dàng ôn tập. Bộ tài liệu được soạn thảo dưới dạng file Word và file PDF có tổng cộng 74 trang.
1 Chủ đề KHỐI ĐA DIỆN Vấn đề KIẾN THỨC CẦN NHỚ A – PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Chứng minh đường thẳng d song song mp(α ) ( d ⊂ (α ) ) Cách Chứng minh d //d ′ d ′ ⊂ (α ) Cách Chứng minh d ⊂ ( β ) ( β )//(α ) Cách Chứng minh d (α ) vng góc với đường thẳng vng góc với mặt phẳng Chứng minh mp(α ) song song với mp( β ) Cách Chứng minh mp(α ) chứa hai đường thẳng cắt song song với ( β ) (Nghĩa đường thẳng cắt mặt song song với đường thẳng mặt phẳng kia) Cách Chứng minh (α ) ( β ) song song với mặt phẳng vng góc với đường thẳng Chứng minh hai đường thẳng song song: Cách Hai mặt phẳng (α ) , ( β ) có điểm chung S chứa hai đường thẳng song song a b (α ) ∩ ( β ) = Sx //a //b Cách (α )//a , a ⊂ ( β ) ⇒ (α ) ∩ ( β ) = b //a Cách Hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng Cách Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho giao tuyến song song Cách Một mặt phẳng song song với giao tuyến mặt phẳng cắt nhau, ta giao tuyến song song Cách Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ vng góc với mặt phẳng song song với Cách Sử dụng phương pháp hình học phẳng: đường trung bình, định lí Thales đảo, cạnh đối tứ giác đặc biệt, … Chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α ) Cách Chứng minh đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm (α ) Cách Chứng minh d nằm trong hai mặt phẳng vng góc d vng góc với giao tuyến ⇒ d vng góc với mp lại Cách Chứng minh d giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với mặt thứ Cách Chứng minh đường thẳng d song song với a mà a ⊥ (α ) Cách Đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng song song vng góc với mặt phẳng lại Cách Chứng minh d trục tam giác ABC nằm (α ) Chứng minh hai đường thẳng d d ′ vuông góc: Cách Chứng minh d ⊥ (α ) (α ) ⊃ d ′ Cách Sử dụng định lí đường vng góc Cách Chứng tỏ góc d , d ′ 90° Chứng minh hai mặt phẳng (α ) ( β ) vng góc: Cách Chứng minh (α ) ⊃ d d ⊥ ( β ) Cách Chứng tỏ góc hai mặt phẳng (α ) ( β ) 90° Cách Chứng minh a // (α ) mà ( β ) ⊥ a Cách Chứng minh (α )// ( P ) mà ( β ) ⊥ ( P ) TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN B –CÁC CƠNG THỨC I TAM GIÁC Tam giác thường: 1 abc ① p ( p − a )( p − b)( p − c) S ∆= BC AH = AB AC.sin= A = pr = ABC 2 4R ② ③ AG = AM ( G trọng tâm) A S= S= S ∆ABC ∆ABM ∆ACM AB + AC BC − 2 ⑤ Định lí hàm số cosin: BC = AB + AC − AB AC.cos A a b c ⑥ Định lí hàm số sin: = = = R sin A sin B sin C Tam giác ABC cạnh a : ④ Độ dài trung tuyến: = AM G B H A C M canh ) (= a a 4 canh × a a ②= ③= AH = AG = AH A B C H 2 3 Tam giác ABC vuông A : 1 ① = S ∆ABC = AB AC AH BC 2 ② BC = AB + AC C B H ③ ④ HA2 = HB.HC BA2 = BH BC CA2 = CH CB ⑤ 1 ⑤ ⑥ ⑦ HA2 = HB.HC = + AH BC = AB AC 2 AH AB AC HB AB AC C ⑧ ⑨ = AM = BC ⑩ sin B = HC AC BC AB AC AB ⑪ cos B = ⑫ tan B = ⑬ cot B = AC BC AB Tam giác ABC vuông cân A A B BC ① = ② BC AB = AC AB = AC = A2 D II TỨ GIÁC Hình bình hành: Diện tích: = S ABCD BC AH AB AD.sin A = A C H B Hình thoi: B D • Diện tích: = S ABCD = AC.BD AB AD.sin A C • Đặc biệt: ABC= 60° BAC = 120° tam giác ABC , ACD ①= S ∆ABC Hình chữ nhật: S ABCD = AB AD Hình vng: • Diện tích: S ABCD = AB A D A D B C B C A • Đường chéo: AC = AB ( AD + BC ) AH Hình thang: S ABCD = B H D C Vấn đề KHỐI ĐA DIỆN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Khối lăng trụ khối chóp • Khối lăng trụ phần khơng gian giới hạn hình lăng trụ kể hình lăng trụ Tên gọi: khối lăng trụ + tên mặt đáy • Khối chóp phần khơng gian giới hạn hình chóp kể hình chóp Tên gọi: khối chóp + tên mặt đáy • Khối chóp cụt phần khơng gian giới hạn hình chóp cụt kể hình chóp cụt F E S D A B C F′ E′ D C D′ A′ B′ C′ KHỐI LĂNG TRỤ LỤC GIÁC A B KHỐI CHÓP TỨ GIÁC Khái niệm hình đa diện khối đa diện Khái niệm hình đa diện Hình đa diện hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất i Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung ii Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác • Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện • Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện • Khái niệm khối đa diện • Khối đa diện phần khơng gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện • Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền ngồi khối đa diện • Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện ứng với đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền khối đa diện • Mỗi khối đa diện xác định hình đa diện ứng với Ta gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… khối đa diện theo thứ tự đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngồi…của hình đa diện tương ứng • Khối đa diện gọi khối lăng trụ giới hạn hình lăng trụ • Khối đa diện gọi khối chóp giới hạn hình chóp • Khối đa diện gọi khối chóp cụt giới hạn hình chóp cụt • Tương tự ta có định nghĩa khối n − giác; khối chóp cụt n − giác, khối chóp đều, khối hộp,… • Tên khối lăng trụ hay khối chóp đặt theo tên hình lăng trụ hay hình chóp giới hạn TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 – KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN d Miền ngồi Điểm Điểm ngồi → N M Ví dụ: Các hình khối đa diện: Các hình khơng phải khối đa diện: Hai đa diện Phép dời hình khơng gian Trong khơng gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M ′ xác định gọi phép biến hình khơng gian • Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm tùy ý • Phép tịnh tiến theo vectơ v phép biến hình biến điểm M thành điểm M ′ cho MM ′ = v Kí hiệu Tv • • Phép đối xứng qua mặt phẳng ( P ) phép biến hình biến điểm thuộc ( P ) thành nó, biến điểm M không thuộc ( P ) thành điểm M ′ cho ( P ) mặt phẳng trung trực MM ′ • Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng ( P ) biến hình ( H ) thành ( P ) gọi mặt phẳng đối xứng ( H ) • Phép đối xứng tâm O phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M ′ cho O trung điểm MM ′ • Nếu phép đối xứng tâm O biến hình ( H ) thành O gọi tâm đối xứng (H ) Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ là phép biến hình biến điểm thuộc đường thẳng ∆ thành nó, biến điểm M khơng thuộc ∆ thành điểm M ′ cho ∆ đường trung trực MM ′ • Nếu phép đối xứng qua đường thẳng ∆ biến hình ( H ) thành ∆ gọi trục • đối xứng ( H ) Nhận xét: • Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình • Phép dời hình biến đa diện ( H ) thành đa diện ( H ′ ) , biến đỉnh, cạnh, mặt ( H ) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng ( H ′ ) Hai hình • Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình • Đặc biệt, hai đa diện gọi có phép dời hình biến đa diện đa diện Lắp ghép phân chia khối đa diện Nếu khối đa diện ( H ) hợp hai khối đa diện ( H1 ) ( H ) cho ( H1 ) ( H ) khơng có chung điểm ta nói phân chia khối đa diện ( H ) thành hai khối đa diện ( H1 ) ( H ) Khi ta nói ghép hai khối đa diện ( H1 ) ( H ) để khối đa diện ( H ) S Ví dụ Với khối chóp tứ giác S ABCD , ta xét hai khối chóp tam giác S ABC S ACD Ta thấy rằng: • Hai khối chóp S ABC S ACD khơng có điểm chung (tức không tồn điểm khối chóp A D điểm khối chóp ngược lại) C • Hợp hai khối chóp S ABC S ACD khối chóp S ABCD B • Vậy khối chóp S ABCD phân chia thành hai khối chóp S ABC S ACD hay hai khối chóp S ABC S ACD lắp ghép thành khối chóp S ABCD Ví dụ Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ • Cắt khối lăng trụ ABC A′B′C ′ mặt phẳng ( A′BC ) A' C' B' Khi đó, khối lăng trụ phân chia thành hai khối đa diện A′ ABC A′BCC ′B′ • Nếu ta cắt khối chóp A′BCC ′B′ mặt phẳng ( A′B′C ) A C ta chia khối chóp A′BCC ′B′ thành hai khối chóp A′BCB′ A′CC ′B′ B Như khối lăng trụ ABC A′B′C ′ chia thành ba khối tứ diện A′ABC , A′BCB′ , A′CC ′B′ Nhận xét: Mỗi khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện Ví dụ Với hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ ta chia thành khối tứ diện sau • DA′D′C ′ • A′ABD • C ′BCD • BA′B′C ′ • BDC ′A′ A B D C D' A' B' C' TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Một số kết quan trọng Kết 1: Một khối đa diện có mặt Kết 2: Mỗi hình đa diện có đỉnh Kết 3: Cho ( H ) đa diện mà mặt đa giác có p cạnh Nếu số mặt (H ) lẻ p phải số chẵn Chứng minh: Gọi m số mặt khối đa diện ( H ) Vì mặt ( H ) có p cạnh nên m mặt có pm cạnh Nhưng cạnh cạnh chung hai đa giác nên số cạnh pm ( H ) c = Vì m lẻ nên p phải số chẵn Kết 4: (suy từ chứng minh kết 3): Cho ( H ) đa diện có m mặt, mà mặt pm Kết 5: Mỗi khối đa diện có mặt tam giác tổng số mặt phải số chẵn Chứng minh:Gọi số cạnh số mặt khối đa diện c m Vì mặt có ba cạnh cạnh cạnh chung hai mặt nên ta có số cạnh đa 3m 3m diện c = (có thể áp dụng kết để suy c = ) 2 Suy 3m = 2c ⇒ 3m số chẵn ⇒ m số chẵn Một số khối đa diện có kết mà số mặt 4, 6, 8, 10 : + Khối tứ diện ABCD có mặt mà mặt tam giác + Xét tam giác BCD hai điểm A, E hai phía mặt phẳng ( BCD ) Khi ta có đa giác p cạnh Khi số cạnh ( H ) c = lục diện ABCDE có mặt tam giác + Khối bát diện ABCDEF có mặt tam giác + Xét ngũ giác ABCDE hai điểm M , N hai phía mặt phẳng chứa ngũ giác Khi khối thập diện MABCDEN có 10 mặt tam giác Kết 6: Mỗi khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện Kết 7: Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung cạnh Kết 8: Nếu khối đa diện có đỉnh đỉnh chung cạnh số đỉnh phải số chẵn Tổng quát : Một đa diện mà đỉnh đỉnh chung số lẻ mặt tổng số đỉnh số chẵn Kết 9: Mỗi hình đa diện có cạnh Kết 10: Khơng tồn hình đa diện ó cạnh Kết 11: Với số nguyên k ≥ ln tồn hình đa diện có 2k cạnh Kết 12: Với số nguyên k ≥ ln tồn hình đa diện có 2k + cạnh Kết 13: Khơng tồn hình đa diện có + Số mặt lớn số cạnh ; + Số đỉnh lớn số cạnh ; Kết 14: Tồn khối đa diện có 2n mặt tam giác Khối tứ diện có mặt tam giác Ghép hai khối tứ diện (một mặt tứ diện ghép vào mặt tứ diện kia) ta khối đa diện H có mặt tam giác Ghép thêm vào H khối tứ diện ta khối đa diện H có mặt H H tam giác Bằng cách ta khối đa diện 2n mặt tam giác B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1: NHẬN DẠNG KHỐI ĐA DIỆN Câu Cho hình khối sau: Hình (a) Hình (b) Hình (c) Hình (d) Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), hình đa diện A hình (a) B hình (b) C hình (c) D hình (d) Câu Cho hình khối sau: Hình (a) Hình (b) Hình (c) Hình (d) Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), hình khơng phải đa diện A hình (a) B hình (b) C hình (c) D hình (d) Câu Cho hình khối sau : Hình (a) Hình (b) Hình (c) Hình (d) Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), số hình đa diện A B C D Câu Cho hình khối sau: (a) (b) (c) (d) Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), hình khơng phải đa diện lồi A hình (a) B hình (b) C hình (c) D hình (d) TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Câu Cho hình khối sau: (a) (b) (c) (d) Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), số đa diện lồi A B C D Câu (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2) Hình đa diện khơng có tâm đối xứng? A Tứ diện Câu C Hình lập phương D Lăng trụ lục giác (ĐỀ MINH HỌA LẦN 3) Hình đa diện hình vẽ bên có mặt? A Câu B Bát diện B 10 C 12 D 11 (ĐH VINH LẦN năm 2017) Trong khơng gian có loại khối đa diện hình vẽ Khối tứ diện Khối lập phương Bát diện Hình 12 mặt Hình 20 mặt Mệnh đề sau đúng? A Mọi khối đa diện có số mặt số chia hết cho B Khối lập phương khối bát diện có số cạnh C Khối tứ diện khối bát diện có tâm đối xứng D Khối mười hai mặt khối hai mươi mặt có số đỉnh DẠNG 2: TÍNH CHẤT CỦA HÌNH ĐA DIỆN Câu Phát biểu sau đúng? A Khối đa diện S A1 A2 An có n + mặt B Khối đa diện S A1 A2 An có n + cạnh C Khối đa diện S A1 A2 An có n đỉnh D Khối đa diện S A1 A2 An có n cạnh Câu 10 Phát biểu sau đúng? A Hình tứ diện có đỉnh, cạnh, mặt C Hình tứ diện có đỉnh, cạnh, mặt B Hình tứ diện có đỉnh, cạnh, mặt D Hình tứ diện có đỉnh, cạnh, mặt Câu 11 Phát biểu sau đúng? A Hình lập phương có đỉnh, 12 cạnh, mặt B Hình lập phương có đỉnh, 12 cạnh, mặt C Hình lập phương có 12 đỉnh, cạnh, mặt D Hình lập phương có đỉnh, cạnh, 12 mặt Câu 12 Phát biểu sau đúng? A Hình bát diện có đỉnh, 12 cạnh, mặt B Hình bát diện có đỉnh, 12 cạnh, mặt C Hình bát diện có 12 đỉnh, cạnh, mặt D Hình bát diện có đỉnh, cạnh, 12 mặt Câu 13 Phát biểu sau đúng? A Hình mười hai mặt có 20 đỉnh, 30 cạnh, 12 mặt B Hình mười hai mặt có 30 đỉnh, 12 cạnh, 12 mặt C Hình mười hai mặt có 30 đỉnh, 20 cạnh, 12 mặt D Hình mười hai mặt có 30 đỉnh, 12 cạnh, 30 mặt Câu 14 Phát biểu sau đúng? A Hình hai mươi mặt có 30 đỉnh, 12 cạnh, 20 mặt B Hình hai mươi mặt có 20 đỉnh, 30 cạnh, 12 mặt C Hình hai mươi mặt có 12 đỉnh, 30 cạnh, 20 mặt D Hình hai mươi mặt có 30 đỉnh, 20 cạnh, 12 mặt Câu 15 Phát biểu sau đúng? A Nếu ABCD A′B′C ′D′ hình lăng trụ tứ giác ABCD A′B′C ′D′ hình lập phương B Nếu ABCD A′B′C ′D′ hình lăng trụ tứ giác AA′ = AB C Nếu ABCD A′B′C ′D′ hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ hình lăng trụ tứ giác D ABCD A′B′C ′D′ hình lăng trụ tứ giác ABCD A′B′C ′D′ hình lập phương Câu 16 Cho hình lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ Phát biểu sau đúng? A ABCD A′B′C ′D′ hình hộp ABCD hình chữ nhật B Nếu ABCD A′B′C ′D′ hình hộp ABCD hình chữ nhật C Nếu ABCD A′B′C ′D′ hình hộp AA′ ⊥ ( ABCD ) D ABCD A′B′C ′D′ hình hộp ABCD hình bình hành Câu 17 Trong mặt khối đa diện, số cạnh thuộc mặt tối thiểu A B C D Câu 18 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Số đỉnh số mặt hình đa diện ln ln B Số đỉnh hình đa diện ln lớn C Tồn hình đa diện có số cạnh gấp hai lần số đỉnh D Tồn hình đa diện có số cạnh nhỏ Câu 19 Một hình đa diện có mặt tam giác số mặt M số cạnh C đa diện thoả mãn A 3C = M B C C M ≥ C D 3M = 2C = M +2 Câu 20 Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung A năm mặt B bốn mặt C hai mặt D ba mặt TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 – KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 10 Câu 21 Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho để sau điền vào chỗ trống, mệnh đề sau trở thành mệnh đề “Số cạnh hình đa diện ln .số mặt hình đa diện ấy” A lớn B C nhỏ D nhỏ Câu 22 Cho hình đa diện Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A Mỗi đỉnh đỉnh chung ba cạnh B Mỗi mặt có ba cạnh chung C Mỗi cạnh cạnh chung ba mặt D Mỗi đỉnh đỉnh chung ba mặt Câu 23 Số đỉnh số mặt hình đa diện A lớn B lớn C lớn D lớn Câu 24 Số cạnh hình đa diện ln ln A lớn C lớn B lớn D lớn Câu 25 Trung điểm tất cạnh hình tứ diện đỉnh A hình lập phương B hình tám mặt C hình hộp chữ nhật D hình tứ diện Câu 26 Tâm mặt hình tám mặt đỉnh A hình lập phương B hình tám mặt C hình hộp chữ nhật D hình tứ diện Câu 27 Biết khối đa diện mà mặt hình tam giác Gọi n số mặt khối đa diện đó, lúc ta có A n số chia hết cho B n số chẵn C n số lẻ D n số chia hết cho Câu 28 Biết khối đa diện mà mặt hình ngũ giác Gọi C số cạnh khối đa diện đó, lúc ta có A C số chia hết cho B C số chẵn C C số lẻ D C số chia hết cho DẠNG 3: PHÉP BIẾN HÌNH Câu 29 Cho hình lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ Ảnh đoạn thẳng AB qua phép tịnh tiến theo véctơ AA′ A Đoạn thẳng C ′D′ B Đoạn thẳng CD C Đoạn thẳng A′B′ D Đoạn thẳng BB′ Câu 30 Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ O trung điểm đoạn thẳng AC ′ Ảnh đoạn thẳng BD qua phép đối xứng tâm O A Đoạn thẳng A′C ′ B Đoạn thẳng B′D′ C Đoạn thẳng A′B′ D Đoạn thẳng BB′ Câu 31 Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ Gọi ( P ) mặt phẳng qua trung điểm AC ′ vng góc với BB′ Ảnh tứ giác ADC ′B′ qua phép đối xứng mặt phẳng ( P) A Tứ giác ADC ′B′ B Tứ giác A′B′C ′D′ C Tứ giác ABC ′D′ D Tứ giác A′D′CB Câu 32 Cho hình chóp S ABCD Gọi O giao điểm AC BD Phát biểu sau A Khơng tồn phép dời hình biến hình chóp S ABCD thành B Ảnh hình chóp S ABCD qua phép tịnh tiến theo véc tơ AO C Ảnh hình chóp S ABCD qua phép đối xứng mặt phẳng ( ABCD ) D Ảnh hình chóp S ABCD qua phép đối xứng trục SO