Bộ tài liệu Chuyên Đề Toán 12: Khối Đa Diện Và Thể Tích Khối Đa Diện gồm phần ôn tập kiến thức liên quan và các bài tập và ví dụ có đáp án và hướng dẫn giải chi tiết giúp các em học sinh dễ dàng ôn tập. Bộ tài liệu được soạn thảo dưới dạng file Word và file PDF có tổng cộng 74 trang.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
D ạ ng 1: Nh ậ n bi ế t v ề các kh ối đa diệ n l ồi, đề u
Câu 1 Số cạnh của tứ diện đều là
Câu 2 Khối đa diện đều loại { } 4;3 có bao nhiêu mặt
Câu 3 Hình bát di ện đề u thu ộ c lo ạ i kh ối đa diện đều nào sau đây
Câu 4 Khối lập phương là khối đa diện đều loại:
Câu 5 Kh ối đa diện đề u lo ạ i { } 5;3 có s ố m ặ t là:
Câu 6 Có bao nhiêu loại khối đa diện đều?
Câu 7 Khối đa diện đều nào sau đây có mặt không phải là tam giác đều?
A Thập nhị diện đều B Nhị thập diện đều C Bát diện đều D Tứ diện đều
Câu 8 S ố c ạ nh c ủ a m ộ t bát di ện đề u là:
Câu 9 Mỗi đỉnh của bát diện đều là đỉnh chung của bao nhiêu cạnh?
Câu 10 Mỗi đỉnh của nhị thập diện đều là đỉnh chung của bao nhiêu cạnh?
Câu 11 Khối mười hai mặt đều thuộc loại
Câu 12 Khối đa diện đều loại { } 3; 4 có số cạnh là:
Câu 13 Kh ối đa diện đề u lo ạ i { } 4;3 có s ố đỉ nh là:
Câu 14 Số cạnh của một hình bát diện đều là:
A Tám B Mườ i C Mườ i hai D Mườ i sáu
Câu 15 Hình bát di ện đều có bao nhiêu đỉ nh
Câu 16 Hình mườ i hai m ặt đề u thu ộ c lo ạ i kh ối đa diện nào sau đây ?
Câu 17 Số đỉnh của hình mười hai mặt đều là:
A Mười hai B Mười sáu C Hai mươi D Ba mươi
Câu 18 Hình muời hai mặt đều có bao nhiêu mặt
Câu 19 Số cạnh của hình mười hai mặt đều là:
A Mườ i hai B Mườ i sáu C Hai mươi D Ba mươi.
Câu 20 S ố đỉ nh c ủ a hình 20 m ặt đề u là:
A Mười hai B Mười sáu C Hai mươi D Ba mươi
Câu 21 Số đỉnh và số cạnh của hình hai mươi mặt là tam giác đều:
A 24 đỉnh và 24 cạnh B 24 đỉnh và 30 cạnh
C { } p q ; đỉnh và 30 cạnh D 12 đỉnh và 24 cạnh
Câu 22 Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều là
A Các đỉ nh c ủ a m ộ t hình t ứ di ện đề u B Các đỉ nh c ủ a m ộ t hình bát di ện đề u
C Các đỉ nh c ủ a m ột hình mườ i hai m ặt đề u D Các đỉ nh c ủ a m ột hình hai mươi mặt đề u
Câu 23 Kh ối đa diện đề u có tính ch ất nào sau đây:
A Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh
B Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt
D Ch ỉ c ầ n th ỏ a mãn m ộ t trong hai phát bi ể u câu A ho ặ c câu D
Câu 24 Tâm các m ặ t c ủ a m ộ t hình l ập phương là các đỉ nh c ủ a hình
A Bát diện đều B Tứ diện đều C Lục bát đều D Ngũ giác đều
Câu 25 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A Tâm t ấ t c ả các m ặ t c ủ a 1 hình l ập phương thì tạ o thành m ộ t hình l ập phương.
B Tâm t ấ t c ả các m ặ t c ủ a 1 hình t ứ di ện đề u thì t ạ o thành m ộ t hình t ứ di ện đề u
C Tâm tất cả các mặt của 1 hình tứ diện đều thì tạo thành một hình lập phương
D Tâm tất cả các mặt của 1 hình lập phương thì tạo thành một hình tứ diện đều
Câu 26 Cho kh ố i l ập phương Khẳng định nào sau đây là đúng.
A Là kh ối đa diện đề u lo ạ i { } 3; 4 B S ố đỉ nh c ủ a kh ố i l ập phương bằ ng 6
C S ố m ặ t c ủ a kh ố i l ập phương bằ ng 6 D S ố c ạ nh c ủ a kh ố i l ập phương bằ ng 8
Câu 27 Một hình lập phương có cạnh 4cm Người ta sơn đỏ mặt ngoài của hình lập phương rồi cắt hình
Câu 29 Một tứ diện đều có bao nhiêu trục đối xứng?
Câu 30 [ ĐỀ MINH H Ọ A L Ầ N 2] Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?
A T ứ di ện đề u B Bát di ện đề u C Hình l ập phương D Lăng trụ l ục giác đề u
D ạ ng 2 Tính toán m ộ t s ố thông tin liên quan đế n các kh ối đa diệ n l ồi, đề u
Câu 31 Tổng độ dài của tất các cạnh của một tứ diện đều cạnh a
Câu 32 Tính tổng diện tích các mặt của một khối bát diện đều cạnh a
Câu 33 Tính t ổng độ dài các c ạ nh c ủ a m ộ t kh ối mườ i hai m ặt đề u c ạ nh 2
Câu 34 Tính t ổ ng di ệ n tích các m ặ t c ủ a m ộ t kh ối hai mươi mặt đề u c ạ nh 2
Vấn đề 3: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I Th ể tích của khối đa diện
1 Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
2 N ếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện nh ỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện đó
3 Kh ối lập phương có cạnh bằng 1 thì thể tích cũng bằng 1
II Th ể tích của khối hộp chữ nhật
Kh ối hộp chữ nhật có ba kích thươc là a , b , c thì th ể tích của nó là:
Kh ối lập phương có cạnh bằng a có thể tích là: V = a 3
III Th ể tích của khối chóp
Kh ối chóp có diện tích đáy là S đáy và chi ều cao là h thì thể tích V của nó là:
3 đáy Đặc biệt: nếu tứ diện ABCD có AB , AC , AD đôi một vuông góc thì:
IV Th ể tích của khối lăng trụ
Th ể tích V của khối lăng trụ diện tích đáy là S đáy và chi ều cao là h là:
Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là cạnh bên
• Tính th ể tích của từ khối đa diện Chú ý sự lắp ghép các khối đa diện ⇒ t ỉ số
• Dùng công th ức: S.ABC
Chú ý: Ta ch ỉ dùng công thức này cho những khối chóp tam giác có chung đỉnh và chung cạnh bên
VI Hình chóp c ụt ABC A B C ′ ′ ′
C′ nh ậ t (ho ặ c hình vuông) và SA vuông góc v ới đáy
H1.1: Đáy, đườ ng cao, c ạ nh đáy, c ạ nh bên, m ặ t bên c ủ a hình chóp
1 Đáy: ABCD là hình vuông hoặc hình chữ nhật
3 Cạnh bên: SA, SB, SC, SD
4 Cạnh đáy: AB, BC, CD, DA
5 Mặt bên: ∆SAB là tam giác vuông tại A
∆SBC là tam giác vuông tại B
∆SCD là tam giác vuông tại D
∆SAD là tam giác vuông tại A
Để tính thể tích khối chóp S ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a, trong đó SA vuông góc với đáy và cạnh bên SC = 2a, ta áp dụng công thức tính thể tích chóp Thể tích V của chóp được tính bằng công thức V = (1/3) * diện tích đáy * chiều cao Diện tích đáy ABCD là a² và chiều cao SA là 2a, do đó thể tích khối chóp S ABCD sẽ là V = (1/3) * a² * 2a = (2/3) * a³.
Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, đườ ng cao SA = a và c ạ nh bên
SC = a Tính th ể tích kh ố i chop S ABCD theo a
Bài 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc v ới đáy Mặ t bên
( SAB ) là tam giác cân, c ạ nh bên SB = a 2 Tính th ể tích kh ố i chóp S ABCD theo a
Bài 2 yêu cầu tính thể tích của hình chóp S ABCD, trong đó đáy ABCD là hình vuông và các mặt bên SAB, SAD vuông góc với đáy Mặt bên SAC là tam giác cân với cạnh bên SC = a³ Để tính thể tích khối chóp S ABCD theo a, ta cần áp dụng công thức thể tích của hình chóp với đáy là hình vuông.
Bài 3 yêu cầu tính thể tích khối chóp S ABCD, trong đó đáy ABCD là hình vuông Hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy, với các cạnh bên SB = a5 và SC = a6 Để tính thể tích khối chóp này theo biến a, ta cần áp dụng công thức thể tích khối chóp và các thông số đã cho.
Bài 4 yêu cầu tính thể tích của hình chóp S ABCD, trong đó đáy ABCD là hình vuông và hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy Tam giác SBD là tam giác đều cạnh a Để tính thể tích khối chóp, cần áp dụng công thức V = (1/3) * diện tích đáy * chiều cao.
H1.2: Góc gi ữ a c ạ nh bên và m ặ t đáy
1 Góc gi ữa cạnh bên SB và m ặt đáy ( ABCD ) b ằng α :
Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) (gt)
⇒ Hình chiếu của SB lên ( ABCD ) là AB
⇒ ( SB ABCD , ( ) ) = ( SB AB , ) = SBA = α
2 Góc gi ữa cạnh bên SD và m ặt đáy ( ABCD ) b ằng α :
Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) (gt)
⇒ Hình chiếu của SD lên ( ABCD ) là AD
⇒ ( SD ABCD , ( ) ) = ( SD AD , ) = SDA = α
3 Góc gi ữa cạnh bên SC và m ặt đáy ( ABCD ) b ằng α :
Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) (gt)
⇒ Hình chiếu của SC lên ( ABCD ) là AC
⇒ ( SC ABCD , ( ) ) = ( SC AC , ) = SCA = α
Hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, với SA vuông góc với đáy Góc giữa cạnh bên SB và đáy là 30° Để tính thể tích khối chóp S ABCD theo a, ta áp dụng công thức tính thể tích hình chóp.
Ví dụ 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình ch ữ nh ậ t và AB = a Hai m ặ t bên ( SAB ) và
( SAD ) cùng vuông góc v ới đáy Tính thể tích kh ố i chóp S ABCD theo a bi ế t SA = a và góc gi ữ a c ạ nh bên SD và đáy bằ ng 60°
Để tính thể tích của khối chóp S ABCD với đáy ABCD là hình vuông, ta biết rằng SA = a và góc giữa cạnh bên Hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy Thể tích của khối chóp có thể được xác định bằng công thức V = (1/3) * diện tích đáy * chiều cao Diện tích đáy ABCD là a^2, và chiều cao là độ dài SA Do đó, thể tích khối chóp S ABCD được tính là V = (1/3) * a^2 * a = (1/3) * a^3.
Bài 5: Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với đáy Góc giữa cạnh bên SC và đáy bằng 30° Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh AB.
AD Tính thể tích của khối chóp S MBCN theo a
Bài 6 yêu cầu tính thể tích khối chóp S ABCD, trong đó đáy ABCD là hình vuông cạnh a và chiều cao SA = 3a Để giải bài toán, cần xác định góc giữa các cạnh bên của hình chóp với đáy Thể tích khối chóp được tính bằng công thức V = (1/3) * diện tích đáy * chiều cao, trong đó diện tích đáy là a^2.
Bài 7 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a và SA vuông góc với đáy
Góc gi ữ a c ạ nh bên SC và đáy bằ ng 60° TÍnh th ể tích kh ố i chóp S ABCD theo a bi ế t 4
H1.3: Góc gi ữ a c ạ nh bên và m ặ t bên
1 Góc gi ữa cạnh bên SB và m ặt bên ( SAD b ) ằng α :
⇒ Hình chiếu của SB lên ( SAD ) là SA
⇒ ( SB SAD , ( ) ) = ( SB SA , ) = BSA = α
2 Góc gi ữa cạnh bên SD và m ặt bên ( SAB b ) ằng α :
⇒ Hình chiế u c ủ a SD lên ( SAB ) là SA
⇒ ( SD SAB , ( ) ) = ( SD SA , ) = DSA = α
3 Góc gi ữa cạnh bên SC và m ặt bên ( SAB b ) ằng α :
⇒ Hình chiế u c ủ a SC lên ( SAB ) là SB
⇒ ( SC SAB , ( ) ) = ( SC SB , ) = BSC = α
4 Góc gi ữa cạnh bên SC và m ặt bên ( SAD b ) ằng α :
⇒ Hình chiế u c ủ a SC lên ( SAD ) là SD
⇒ ( SC SAD , ( ) ) = ( SC SD , ) = DSC = α
5 Góc gi ữa cạnh bên SB và m ặt phẳng ( SCD b ằng α ) :
⇒ Hình chiếu của SB lên ( SBC ) là SH
⇒ ( SB SCD , ( ) = ( SB SH , ) = BSC = α
Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a Đỉnh S vuông góc với đáy và góc giữa cạnh bên SC và mặt bên SAD bằng 30° Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a.
Để tính thể tích khối chóp S ABCD với đáy ABCD là hình vuông và các mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy, ta cần biết rằng góc giữa cạnh bên SB và mặt bên SAD là 30° Với chiều cao SA = a, thể tích khối chóp S ABCD được tính bằng công thức V = (1/3) * diện tích đáy * chiều cao Diện tích đáy ABCD là a², do đó thể tích khối chóp sẽ là V = (1/3) * a² * a = (1/3) * a³.
Bài 9 yêu cầu tính thể tích khối chóp S MBCD, với S là đỉnh chóp và ABCD là đáy hình vuông Đáy ABCD có cạnh a, và SA vuông góc với đáy Góc giữa cạnh bên SD và mặt bên SAB là 30° M là trung điểm của cạnh AB, từ đó ta có thể áp dụng công thức tính thể tích khối chóp để giải bài toán này.
Để tính thể tích của hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, với hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy, và góc giữa cạnh bên SC và mặt bên (SAB) bằng 45°, ta áp dụng công thức tính thể tích hình chóp Thể tích khối chóp S ABCD được tính bằng công thức V = (1/3) * diện tích đáy * chiều cao Diện tích đáy là a², và chiều cao có thể xác định từ góc 45° và độ dài cạnh a.
H1.4: Góc gi ữ a m ặ t bên và m ặ t đáy
1 Góc gi ữa mặt bên ( SBC và m ) ặt đáy ( ABCD b ) ằng α :
⇒ ( ( SBC ), ( ABCD ) ) = ( AB SB , ) = SBA = α
2 Góc gi ữa mặt bên ( SCD và m ặt đáy ) ( ABCD b ằng ) α :
⇒ ( ( SCD ), ( ABCD ) ) = ( AD SD , ) = SDA = α
3 Góc gi ữa mặt phẳng ( SBD và m ) ặt đáy ( ABCD b ) ằng α :
Đáy ABCD là hình ch ữ nhật:
Trong ( ABCD ) , v ẽ AH ⊥BD t ạ i H ⇒ BD⊥SH (?)
⇒ ( ( SBD ), ( ABC D) ) = ( AH SH , ) = SHA = α
Chú ý: N ếu AB < AD thì điểm H ở gần B hơn
N ếu AB AD > thì điểm H ở gần D hơn
Đáy ABCD là hình vuông:
⇒ ( ( SBD ), ( ABCD ) ) = ( SO AO , ) = SOA = α
Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a Đỉnh SA vuông góc với đáy, và góc giữa mặt bên SCD và đáy là 30 độ Tính thể tích khối chóp S ABCD theo cạnh a.
Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy Góc giữa mặt phẳng SBD và đáy là 60 độ Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a.
Bài 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 và SA vuông góc với đáy
Góc giữa mặ bên ( SBC ) và mặt đáy bằng 60° Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a
Bài 12 yêu cầu tính thể tích của hình chóp S ABCD, trong đó đáy ABCD là hình vuông có cạnh a Hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy, trong khi các mặt bên còn lại tạo với đáy một góc 45° Để tính thể tích khối chóp, cần áp dụng công thức thể tích cho hình chóp với đáy là hình vuông và chiều cao từ đỉnh đến đáy.
Bài 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông Góc giữa mặt phẳng ( SBD ) và đáy b ằ ng 60° Tính th ể tích kh ố i chóp S ABCD theo a , bi ế t BD =2 a 2
1 Kho ảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD )
Trong mp SAD ( ) , v ẽ AH ⊥ SD t ạ i H
2 Kho ảng cách từ B đến mặt phẳng ( SCD )
Vì AB // ( SCD ) nên d B SCD ( , ( ) ) = d A SCD ( , ( ) )
3 Kho ảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC )
Trong mp SAB ( ) , vẽ AH ⊥ SB tại H
4 Kho ảng cách từ D đến mặt phẳng ( SBC )
Vì AD // ( SBC ) nên d D SBC ( , ( ) ) = d A SBC ( , ( ) )
5 Kho ảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD )
Đáy ABCD là hình ch ữ nhật:
• Trong ( ABCD ) , vẽ AI ⊥ BD tại I
Chú ý: N ếu AB < AD thì điểm I ở gần B hơn
N ếu AB > AD thì điểm I ở gần D hơn
Đáy ABCD là hình vuông:
6 Kho ảng cách từ C đến mặt phẳng ( SBD )
Vì O là trung điể m c ủ a AC nên d C SBD ( , ( ) ) = d A SBD ( , ( ) )