Chun đề :Thể tích khối đa diện ,khơi cầu,khối trụ,khối nón Dạng 1:Tính thể tích khối đa diện Bµi 1: Tính thể tích hình chóp tam giác SABC trường hợp sau: a) Cạnh đáy a, gãc ASB = 60o b) AB = a, SA = l c) SA = l, góc mặt bên mặt đáy S:a/VSABC= a3 a2 a2 ;b/ VSABC= 12 12 ;c/ VSABC= 3.tan tan Bài Cho lăng trụ ABCABC có độ dài cạnh bên = 2a, ABC vuông t¹i A, AB = a, AC = a Hình chiếu vuông góc A (ABC) trung ®iÓm BC TÝnh VA’ABC theo a? ĐS: VA’ABC= a3 Bài Hình chóp S.ABC có SA (ABC), SA = a ABC vuông cân có AB = BC =a B trung điểm SB C chân đường cao h¹ tõ A cđa ∆SAC a) tÝnh VSABC b) Chøng minh r»ng SC ⊥ (AB’C’) TÝnh VSAB’C’ ĐS:a/ VSABC= a3 b/ VSA’B’C’= a3 36 Bài 4.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a,cạnh bên AA’=b.Tam giác BAC’,B’AC tam giác vuông A a/ Cmr: Nếu H trọng tâm A’B’C’ AH (A’B’C’) b/ Tính VABC.A’B’C’ ĐS: VABC.A’B’C’= a 3b a Bài Hình chóp SABC có SA (ABC), ABC cân A, D trung ®iĨm BC, AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β TÝnh VSABC a sin sin ĐS:VSABC= 3(cos 2 sin ) Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a nửa đường thẳng Ax, Cy (ABCD) phía với mặt phẳng Điểm M không trùng với với A Ax, điểm N không trùng với C Cy Đặt AM = m, CN = n TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh chãp B.AMNC ĐS: a2 m n ThuVienDeThi.com Chuyên đề :Thể tích khối đa diện ,khơi cầu,khối trụ,khối nón Bµi 7: S.ABC có đáy tam giác cân A, BC =a, BAC ,các cạnh bên nghiêng ®¸y mét gãc α TÝnh VSABC ĐS: VSABC= a cot 24 cos Bµi 8: SABCD cã đáy ABCD hình bình hành SABCD = góc đường chéo = 60o cạnh bên nghiêng đáy góc 45o Tính VSABCD 3 ĐS: VSABCD= Bµi 9: SABC cã SA = SB = SC = a ASB = 60o, BSC = 90o, CSA = 120o a) Chøng minh r»ng ∆ABC vu«ng b) TÝnh VSABC ĐS: a3 12 Bµi 10: SABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o SAC SBD tam giác có cạnh = Tính thể tÝch khèi chãp SABCD ĐS: VSABCD= Bµi 11: SABCD có đáy hình thang vuông A D, SAD cạnh = 2a, BC = 3a Các mặt bên lập với đáy góc Tính VSABCD ĐS: VSABCD= 5a 3 Bµi 12: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a , (SAB) (ABCD) M, N trung ®iĨm AB, BC TÝnh VSBMDN ĐS: VSBMDN= a3 3 Bµi 13: SABCD có ABCD hình thang với AB = BC = CD = AD; SBD vuông S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy SB = 8a, SD = 15a TÝnh VSABCD ĐS: VSABCD=170 3a Bài 14: hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SCD cân S nằm mặt phẳng (ABCD) SAB có SA = a, ASB = nằm mặt phẳng lập với (SCD) mét gãc α TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SABCD ThuVienDeThi.com Chun đề :Thể tích khối đa diện ,khơi cầu,khối trụ,khối nón ĐS:VSABCD= a sin cos3 Bài 15: Hình chóp S.ABCD có ABC vuông t¹i B, SA (ABC) ACB =60o, BC = a, SA = a , M trung điểm SB TÝnh thĨ tÝch MABC ĐS: VMABC= a3 Bµi 16: Hình chóp SABCD có ABCD hình vuông tâm O, SA (ABCD), AB = a, SA = a H, K hình chiếu vuông góc cđa A trªn SB, SD Chøng minh r»ng: SC (AHK) tính thể tích hình chóp OAHK a3 S: VOAHK= 27 Bài 17: Hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a , SA = a, SA (ABCD) M, N trung điểm AD SC {I} = BM ∩ AC TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp ANIB ĐS: VANIB= a3 36 Bài 18 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, (SAD) (ABCD), SAD Gi M, N, P trung ®iĨm SB, BC, CD TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp CMNP S: VCMNP= a3 96 Bài 19: Cho hình trụ có đáy hai hình tròn tâm O O bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn tâm O lấy A, Trên đường tròn tâm O’ lÊy B cho AB = 2a TÝnh thÓ tích hình chóp OOAB S: VOOAB= a3 12 Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhËt; AB = a,AD = 2a; SA (ABCD); SB, ( ABCD) 600 Điểm M thuộc cạnh SA, AM = (BCM) ∩ SD ={ N} TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.BCNM a 3 10 3a S: VS.BCNM= 27 Bài 21: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình thang; BAD ABC = 90o; AB = BC = a; AD = 2a; SA (ABCD); SA = 2a M, N trung điểm SA SD Chứng minh BCMN hình chữ nhật tính thể tích hình chóp S.BCNM S: VS.BCNM= a3 Bài 22: Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 cã ABC tam giác vu«ng AB = AC = a; AA1 = a M lµ trung điểm AA1 Tính thể tích lăng trụ MA1BC1 ThuVienDeThi.com Chun đề :Thể tích khối đa diện ,khơi cầu,khối trụ,khối nón a3 ĐS: VMA1BC1 12 Bµi 23: Tø diện ABCD có AB = x có cạnh l¹i b»ng a.TÝnh thĨ tÝch tø diƯn theo x b.Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACD) c Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhÊt ĐS: a/ VABCD= 1 x x b/ d(B,(ACD))= x x 12 c/ VMax= x Bµi 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ABCD SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khèi nµy lµ lín nhÊt 1 a xh ĐS: VSABH= 2 ,VMax= a h 12 a x a x tức M trùng D Bài 25: Hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vuông góc với đáy ABC SA = a.Điểm M thuộc cạnh AB Đặt ACM Hạ SH vuông góc với CM a)Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện SAHC b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH TÝnh thĨ tÝch khèi tø diƯn SAKI ĐS: a/ MaxVSAHC= a3 a sin 2 , b/ VSAKI= 12 24(1 sin ) Có thể tính thể tích khối đa diện nhờ việc chia thành khối nhỏ bổ sung thêm Bµi 26: Cho tø diƯn ABCD có cặp cạnh đối đôi AB = CD =a, AC = BD = b, AD = BC = c TÝnh thÓ tÝch ABCD (a b c )(a c b )(b c a ) 12 Bµi 27: Chứng minh VABCD = AD.BC.MN.Sin Trong ABCD tứ diện có MN độ dài đoạn vuông góc chung cặp cạnh đối AD CB, = AD, BC S: VABCD= Bài 28: Cho hình chóp SABC có tất góc phẳng đỉnh A B tam diện AB = a TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp SABC ĐS: VSABC= a3 sin sin sin 2 12 cos 2 Bµi 29: Cho lăng trụ tam giác ABCABC có đáy ABC tam giác đều, cạnh a AA = AB = AC Cạnh AA tạo với đáy góc 60o Tính thể tích lăng trụ ABCABC ThuVienDeThi.com Chuyờn :Th tớch khối đa diện ,khơi cầu,khối trụ,khối nón a3 ĐS: V= Bài 30: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AC = b, C = 60o BC ', AA'C'C = 30o Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: V= 6b3 Dạng 2: Tỉ số thể tích Bµi 31: Chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC mặt phẳng (P) chứa AM //BD chia hình chóp thành hai phn Tính tỉ số thể tích hai phần S: 1/2 Bài 32: Hình chóp SABCD có đáy hình vuông, SA (ABCD) SC , SAB = α Mặt ph¼ng (P) qua A vuông góc SC chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần ĐS: sin 2 sin 2 Bµi 33: SABCD hình chóp tứ giác cạnh a, đường cao h Mặt phẳng qua AB (SDC) chia hỡnh chóp làm hai phn Tính tỉ số thể tích hai phần S:3/5 Bài 34: Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a M trung điểm CD, N trung ®iĨm A’D’ TÝnh tØ sè thĨ tÝch hai phÇn (MNB) chia hình lập phương S: 55/89 Bài 35: Cho tø diƯn SABC lÊy M, N thc c¹nh SA, SB cho SM SN , Mặt MA NB phẳng qua MN // SC chia tứ diện thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần S: 4/5 Bài 36: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.ABC có cạnh đáy cạnh bên a M, N, E trung ®iĨm cđa BC, CC’, C’A’ TÝnh tØ sè thĨ tích hai phần lăng trụ (MNE) tạo S: Bài 37: Cho hình vuông ABCD cạnh 2a O = AC BD, Ox (ABCD) LÊy S Ox, S O cho mặt bên nghiêng u vi ỏy gúc 600 Mặt phẳng qua AC vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần ĐS:1/4 Dạng 3: Phương pháp thể tích:Chứng minh đẳng thức,Bất đẳng thức,Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng dựa vào thể tích Bµi 38: SABC cã SA = 3a, SA (ABC), ∆ABC cã AB = BC = 2a, ABC =120o TÝnh d(A,(SBC)) ĐS: 3a ThuVienDeThi.com Chun đề :Thể tích khối đa diện ,khơi cầu,khối trụ,khối nún Bài 39: SABC có đáy ABC tam giác ®Ịu c¹nh a , SA (ABC), SA =2a `TÝnh d(A, (SBC)) ĐS: 6a/5 Bµi 40: Cho tø diƯn ABCD cã AD (ABC); AC = AD = 4; AB = 3, BC = TÝnh d(A, (BCD)) ? ĐS: 12 34 Bµi 41: Cho tø diƯn ABCD cã AB = a; CD = b, cạnh lại b»ng c TÝnh d(A, (BCD)) 4c b a ĐS: a 4c b Bµi 42: Cho tø diƯn ABCD cã AB = CD = x cạnh lại a) Tính thĨ tÝch tø diƯn ABCD theo x b)TÝnh d(A, (BCD)) ĐS: a/V= x2 2x2 12 2x2 b/ x x2 Bµi 43: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a vµ BAC = o 120 Gọi M trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MB MA1 tớnh khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM) S: a Bµi 44: Cho tø diƯn OABC LÊy M n»m tam giác ABC, đường thẳng qua M // với OA, OB OC cắt mặt OBC, OCA, OAB A1, B1, C1 Chứng minh rằng: OA OB OC Bài 45: Giả sử M điểm nằm tứ diện ABCD Các đường thẳng MA, MB, MC, MD cắt mặt đối diƯn t¹i A1, B1, C1, D1 MA1 MB1 MC1 Chøng minh r»ng AA1 BB1 CC1 DD1 Bài 46: Cho hình chóp tứ giỏc SABCD cạnh SA, SB, SC ta lấy điểm A1, B1, C1 cho MA1 MB1 SA1 SA 23 ; MC1 SB1 SB MD1 12 ; SC1 SC Mặt phẳng qua A1, B1, C1 cắt SD D1 Chứng minh SD1 SD Thể tích khối cầu,Khối trụ,Khối nón Bµi 47: Cho lăng trụ tam giác có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên b Tính thể tích mặt cầu qua đỉnh lăng trụ ĐS: (4a 3b ) 18 ThuVienDeThi.com Chuyên đề :Thể tích khối đa din ,khụi cu,khi tr,khi nún Bài 48: Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 30o Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S: a Bài 49: Cho hình trụ có đáy đường tròn tâm O O tứ giác ABCD hình vuông nội tiếp đường tròn tâm O AA, BB đường sinh khối trụ Biết góc mặt phẳng (ABCD) đáy hình trụ 60o TÝnh thĨ tÝch khèi trơ ĐS: R3 Bài 50: Bên hình trụ có hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B thuộc đường tròn đáy thứ C, D thuộc đường tròn đáy thứ hai hình trụ ,mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ góc 45o Tính thể tÝch khèi trơ ĐS: 3 a 16 Bµi 51: Một hình trụ có diện tích toàn phần S = Xác định kích thước khối trụ ®Ĩ thĨ tÝch cđa khèi trơ nµy lín nhÊt ĐS: Vmax R=1,h=2 Bài 52: Một mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón cắt đường tròn đáy cung (P) tạo với đáy góc Cho khoảng cách từ tâm O đáy đến (P) a TÝnh thĨ tÝch cđa khèi nãn ĐS: a3 3sin cos cos Bµi 53: Cho hình nún đỉnh S, đường cao SO = h, bán kính đáy = R M SO cho SM=x.mp( ) qua M cắt hình nón theo đường tròn (C) , mp( )// mặt đáy 1.TÝnh thể tích khối nón có đỉnh S đáy (C) 2.Tìm x để thể tích lớn nht R2 x 2hx h x h h x 3 ĐS: V= b/ Vmax Bài 54: Cho hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao y, diện tích toàn phần Với x hình trụ tồn t¹i? TÝnh thĨ tÝch V cđa khèi trơ theo x tìm giá trị lớn V S: Hỡnh trụ tồn 0