Chuyên đề thể tích khối đa diện

(29.tr9 SBTHHNC12) Lấy một mặt phẳng vuông góc với cạnh bên của một khối lăng trụ.Hình chiếu của mặt đáy của khối lăng trụ trên mặt phẳng đó được gọi là thiết diện thẳng của khối lăng tr[r]

MỞ ĐẦU

Trong chủ đề tháng 9/2017 Hội Tốn Bắc Nam tơi xin trình bày số vấn đề thể tích khối đa diện

Chủ đề chia làm vấn đề: Vấn đề 1: Thể tích vật thể

Vấn đề 2: Thể tích khối chóp Vấn đề 3: Thể tích khối lăng trụ Vấn đề 4: Tỉ số thể tích

Mục lục

Mở đầu

THỂ TÍCH VẬT THỂ 2 0.1 Khái niệm

0.2 Tính chất

0.3 Thể tích khối hộp chữ nhật

THỂ TÍCH KHỐI CHĨP 4 0.4 Cơng thức tính thể tích khối chóp

0.5 Phương pháp

0.5.1 Tính chiều cao

0.5.2 Tính diện tích đáy

0.6 Ví dụ

0.7 Bài tập 12

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 16 0.8 Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ 16

0.9 Ví dụ 18

0.10 Bài tập 19

TỈ LỆ THỂ TÍCH 23 0.11 Phương pháp 23

0.12 Ví dụ 24

VẤN ĐỀ 1:THỂ TÍCH VẬT THỂ

0.1 Khái niệm

Thể tích vật thể K phần mà vật thể chiếm chổ khơng gian

Thể tích vật thể K kí hiệu : V

0.2 Tính chất

V số lớn thỏa mãn tính chất sau:

1 Hai khối đa diện thể tích

2 Thể tích khối lập phương V=1

0.3 Thể tích khối hộp chữ nhật

Cho khối hộp chữ nhậtABCD.A1B1C1D1với ba kích thướca, b, c; thể tích tính theo cơng thức: V abc

VẤN ĐỀ 2:THỂ TÍCH KHỐI CHĨP

0.4 Cơng thức tính thể tích khối chóp

V

3Bh (1)

B diện tích đáy h chiều cao

Đối với khối tứ diệnABCD V

6AB.CD.sinα.d (2)

α pAB, CDq

d khoảng cáchpAB, CDq

Đặc biệt khối tứ diện vuông OABCvuông tạiO

VO.ABC

1

0.5 Phương pháp

Để tính thể tích khối chóp ta cần tính chiều cao diện tích đáy

0.5.1 Tính chiều cao

Ta xác hóa chân đường cao

1) Hai đường xiên hai hình chiếu nhau, suy hình chóp có cạnh bên nha chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

2) Hai mặt phẳng vng góc với Đường thẳng nằm mặt phẳng mà vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng

Suy cách tìm hình chiếuH củaAtrên mppPq

• Tìm mặt phẳngpQqchứaAsao chopQq KpPq

• Xác định giao tuyến d (P) (Q)

• TrongpQqdựngAH Kd tạiH

3) Hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng giao tuyến vng góc với mặt phẳng

0.5.2 Tính diện tích đáy

a.Nếu tam giácABC vngở Ata có hệ thức lượng tam giác vngABC sau:

BC2 AB2 AC2

BH.BC AB2

CH.BC AC2

BH.HC AH2

AH.BC AB.AC

AM

2BC

sinB AC

BC

1

AH2

1

AB2

1

AC2

b.Hệ thức lượng tam giác thường

Định lí hàm số cos:a2 b2 c2 2bc.cosA

Định lí hàm số sin: a

sinA

b

sinB

c

sinC 2R

Cơng thức tính trung tuyếnAB2 AC2 2AM2 BC

2

c.Một số cơng thức tính diện tích

Diện tích tam giác

S

2a.ha

S

S p.r

S abc

4R

S apppaqppbqppcq

d.Diện tích hình thangS=pl bqh

2 với l độ dài đáy lớn, b độ dài đáy bé, h độ dài đường cao hình thang

e.Diện tích hình bình hành

S AD.DC.sinD

S AQ.BC

S AC.BD.sinα

Đặc biệt hình vngF GHI cóIJKF K

Hình bình hành P bất kìSON P

1 2Shbh

0.6 Ví dụ

Ví dụ 1 (bài 38 sbt trang 10)

Chứng minh công thức (2)V

6AB.CD.sinα.d

Chứng minh

Ví dụ 2 Cho chóp S.ABC Tam giác ABC cân B, AC=a,ABCz 120o SA=SB=SC, (SA,(ABC))=60o TínhV

Dựng hình bình hành ABCE

đAE // mp(BCD) Ta cóVABCD

1

3SBCDdpA;pBCDqq

3SBCDdpE;pBCDqq=VE.BCD(1)

VEBCDVB.ECD

1

3SECDdpB;pECDqq

6CD.AB.sinpCD, ABq.dpAB, CDq(2)

Từ (1) (2)ñV

6AB.CD.sinα.d

Giải

Gọi H hình chiếu S (ABC) Vì SA=SB=SC nên HA=HB=HC

Gọi M trung điểm ACñ H P BM

HA hình chiếu SA (ABC)

đ(SA,(ABC))=(SA,HA)=60o

đ zSHA 60o

S4ABC

1

2BA.BC.sin120

Ta có AC

sin120o

AB

sin30o ñ AB

a?3

3 ñS4ABC

a2?3

12 Theo định lí sin trong4ABC: a

sin120o 2HA

ñ HA a

?

3

Trong tam giác vng SHA có SH=HA.tan60o=a Kết luận :VSABC

1

3.SABC.HA

a3?3

36

Ví dụ 3 Cho chóp S.ABC Tam giác ABC vuông B, BC=a, AC=2a, SA vuông với mp(ABC), SA=a?3 H hình chiếu A SB TínhVHABC

Trong (SAB) dựng HK song song với SA thể tích khối chóp H.ABC tính là:

VHABC

1

3HK.SABC

+)Tính HK Xét tam giác ABC vng B có:AB?AC2BC2a?3

Tam giác SAB có:AS ABa?3

suy tam giác SBA cân A, nên SH đường cao đồng thời trung tuyến, nên suy H trung điểm SB suy HK đường trung bình tam giác SAB

ñHK

2AS

a?3

+)SABC

1

2AB.BC 2a

2?3

VậyVHABC

1

3HK.SABC

a3

[.]

Ví dụ 4 (Bài 33 sbt trang 10): Cho khối chóp tam giác S.ABC có chiều cao h góc ASB bằng2ϕ Hãy tính thể tích khối chóp

Giải

Giả sử O tâm tam giác ABC Khi SOK(ABC) SO=h

Gọi K trung điểm AB Đặt AK=x Khi SK=x.cotϕ, OK=x.tan30o ?x

3

h2SK2OK2 x

2

3 p3cot

2ϕ1q

ñx2 3h

2

3cot2ϕ1

Ta cóSABC

AB2.sin60o

2 x

2?3, suy ra

VS.ABC

1

3SABC.h

x2?3 h

h3?3 3cot2ϕ1

Ví dụ 5 (Bài 36 sbt trang 10): Khối chóp S.ABC có SAK(ABC) ; đáy tam giác ABC cân A, độ dài trung tuyến AD a, cạnh bên SB tạo với đáy góc α tạo với mặt (SAD) gócβ Tính thể tích khối chóp

Ví dụ 6 (Đề thi đại học khối A năm 2014) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SD=3a

AB hình chiếu SB mp(ABC) nênSBAz α Dễ thấy BDK(SAD) nên hình chiếu SB mp(SAD) SD

ñ {BSDβ

Do SAB SDB tam giác vng nên ta cóSB BD sinβ ,SB AB

cosα, suy AB

2

cos2α

BD2

sin2β

AB2BD2

cos2αsin2β

a2

cos2αsin2β

ñBDa asinβ cos2αsin2β

SDBDcotβa acosβ cos2αsin2β

SA?SD2AD2 a asinα

cos2αsin2β

Vậy :VS.ABC

1

3SABC.SA

3.a

asinβ

a

cos2αsin2β

asinα

a

cos2αsin2β

a3sinα.sinβ 3pcos2αsin2β

a)Tính thể tích S.ABCD

Gọi M trung điểm AB, dễ thấy SMK(ABCD)

Theo định lí Pythagore thìM D2 M A2 AD2 pa

2q

2

a25a

4

Lai có tam giác SMD vng M, SMK(ABCD) nên suy

SM2SD2M D2 p3a

2 q

25a

4 a

2ñSMa.

Do , ta đượcVS.ABCD

1

3.SM.SABCD 3a

3

b)Tính khoảng cách từ A đến (SBD) Ta cóVA.SBDVS.ABD

1

2VS.ABCD

a3

6

Kẻ MKKBD với KPBD, mà BDKSM nên ta có BDK(SMK), suy DBKSK

Măt khác, tam giác MBK vuông cân K, suy MK=a

?

nên SK=3a

?

Do đó,SSBD

1

2.SK.BD

3a?2 a

? 3a

2

4

Vây khoảng cách cần tìm d(A,(SBD))=3VA.SBD SSBD p

3.a

3

6 q: p3a2

4 q 2a

3

0.7 Bài tập

1 (THPTQG-2017): Cho khối chópS.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SC tạo với pSABq góc300. Tính thể tích V khối chóp cho

2 (THPTQG-2017): Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi

thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnhAcó thể tích V Tính V

3 (THPTQG-2017): Tính thể tích V khối chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB a, AD a ?3, SA vng góc với đáy

pSBCqtạo với đáy góc600

4 (THPTQG-2017): Xét khối tứ diệnABCD có cạnhAB xvà cạnh cịn lại bằng2?3 Tìmxđể khối tứ diệnABCD đạt giá trị lớn

5 (THPTQG-2017): Cho khối chóp S.ABC có SA vng với đáy,

SA 4, AB 6, BC 10, CA Tính thể tích V khối

chópS.ABC

6 (THPTQG-2017): Tính thể tích V khối chópS.ABCD có đáy hình vng cạnha,SAvng góc với đáy khoảng cách từA

đến mặt phẳngpSBCqbằng a?22

7 (THPTQG-2017): Xét khối chópS.ABC có đáy tam giác vng cân tạiA,SAvng góc với đáy, khoảng cách từAđến mặt phẳng

pSBCqbằng Gọiαlà góc hai mặt phẳngSBAvàABC, tính cosαkhi thể tích khối chópS.ABC nhỏ

8 (THPTQG-2017): Cho khối chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên 2a Tính thể tích V khối chóp

S.ABC

10 Bài 39 sbt tr 10: cho khối chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA=2a Gọi B’, D’ hình chiếu A SB SD Mặt phẳngpAB1D1qcắtSC

tạiC1 Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

11 Bài 40 sbt tr 10: Tính thể tích khối tứ diện ABCD có cặp cạnh đối nhau:

AB CD a, AC BD b, AD BC c

12 Bài 42 sbt tr 11: Cho đường trịn đường kính AB nằm mp(P) điểm M di động đường trịn đường thẳng vng góc với mp(P) tai A, lấy điểm S Mặt phẳng (Q) qua A vng góc với SB K cắt SM H Tìm vị trí M để thể tích khối

chóp S.AHK lớn Chứng minh cung AM nhỏ

hơn cungBM

13 Đề thi đai học khối A năm 2013: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân A, ABCz 30o, SBC tam giác cạnh a mặt bênSBCvuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chópS.ABCvà khoảng cách từ điểmCđếnmppSABq

VS.ABC

a3

16

d(C,(SAB))=3VS.ABC

SSAB

14 Đề thi dh khối B 2013: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm măt phẳng vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp

S.ABCD khoảng cách từ điểm A đếnmppSCDq

Hướng dẫn

VS.ABCD

a3?3

6

d(A,(SCD))=HI

VẤN ĐỀ 3:THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

0.8 Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ

1 Khối lăng trụ tam giác

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’

Xét mp(AB’C’) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành hai khối chóp: A.A’B’C’ A.BCC’B’.Do đó:

VABC.A1B1C1 VA.A1B1C1 VA.BCC1B1

Trong đó:VA.A1B1C1

1

3.SA1B1C1.AA

VA.BCC1B1 VA.CC1B1 VA.BCB1

VA.CC1B1 VA1.B1C1C VC.A1B1C1

1

3.SA1B1C1.CC

VA.BCB1

1

3.SABC.BB Từ suy :

VABC.A1B1C1

1

3.SA1B1C1.AA S

A1B1C1.AA1pdoSABC SA1B1C1 AA’ =

BB’ = CC’)

2 Thể tích khối lăng trụ bất kì

V Bh

B diện tích đáy h chiều cao

3 Một số hình lăng trụ đặc biệt:

a) Hình lăng trụ đứng: Lăng trụ có cạnh bên vng với đáy b) Hình lăng trụ : Lăng trụ đứng đáy đa giác c) Hình hộp : Lăng trụ đáy hình bình hành

d) Hình hộp đứng: Lăng trụ đứng đáy hình bình hành

4.Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng tứ diện vng:(Áp dụng để tính đường cao)

Suy ra, H trực tâm tam giác ABC Khi đó, đặt h = d(O,(ABC)) ta có

h2

1

OA2

1

OB2

1

OC2

0.9 Ví dụ

Ví dụ 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng A ,AC=a,ACBz 60o, (BC,(AA’C’C)) =30o.Tính AC’ thể tích khối lăng trụ

Hướng dẫn :

+Chứng minh B’CK(AA’C’C).Suy raA{1CB1=(BC,(AA’C’C)) =30o

+Tính AC’ dựa vào4A’B’C vuông A +V AA1.SABC

Đáp số:A’C = 3a, V=a3?6

Ví dụ 2:Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, điểm A’ cách A,B,C ; (A’A,(ABC))=60o

a.Tính thể tích khối lăng trụ cho b.Chứng minh BCC’B’ hình chữ nhật c.Tính diện tích xung quanh lăng trụ

+Gọi H hình chiếu A’ xuống (ABC) A’A = A’B = A’C suy H trọng tâm4ABC +Gọi M trung điểm BCñHPAM

+Theo cách dựng:A{1AH pA1A,pABCqq 60o

+V = A’H.S4ABC

+Theo tính chất hình lăng trụ.Ta có BCC’B’ hình bình hành, chứng minh BCC’B’ có góc vng đnó hình vng

+SxqSBCC1B1 SACA1C1 SABB1A1

Đáp số:V = a

3?3

4 ,Sxq

a2.p2 ?13q ?

3

0.10 Bài tập

1 (THPTQG-2017):Cho lăng trụ đứngABC.A1B1C1 cóBB1 a, đáy

ABC tam giác vng cân B AC a?2 Tính thể tích V khối lăng trụ cho

2 (THPTQG-2017):Cho khối lăng trụ đứngABC.A1B1C1có đáyABC

là tam giác cân với AB BC a, ABC" 1200, mặt phẳng

pAB1C1q tạo với đáy góc 600 Tính thể tích V khối lăng trụ cho

3 (ĐMH-2017): Tính thể tích V khối lập phươngABCD.A1B1C1D1

biếtAC1 a?3

trụ ngoại tiếp lăng trụ cho

5 (ĐMH-2017): Tính thể tích V khối lăng trụ tam giác có tất cạnh bằnga

6 (18.tr28 SBTHHNC12) Tính thể tích khối lăng trụ n-giác có tất cạnh a

ĐS:V

4na 3cotπ

n

7 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng AB=BC=a.Cạnh bên AA’=a?2.Gọi M trung điểm BC.Tính theo a thể tích khối trụ

ABC.A’B’C’ khoảng cách AM B’C

8 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB=a, AC=2a,AA1 2a

?

5.ABCz

120o, M trung điểmCC1.Chứng minh: MBK M A1,tính khoảng cách từ A tớimppA1BMq

9 Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ cạnh a ,AA{1D1 {AA1B1

{

BAD ap0o   α   90oq.TínhVABCD.A1B1C1D1

10 Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chữ nhật AB=a, AD=a ?3.Hình chiếu vng góc A’ lên mp(ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc mp(ADD’A’) (ABCD) là60o a TínhVABCD.A1B1C1D1

b.Khoảng cách từ B’ đến mp(A’BD) theo a

CC’ tạiA1, B1vC1.BiếtAA1 a, BB1 b, CC1 c

a Tính thể tích hai phần khối lăng trụ phân chia mặt phẳng (P)

b.Với điều kiện a, b, c thể tích hai phần nhau?

12 (23.tr9 SBTHHNC12) Cho khối lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có khoảng cách hai đường thẳng AB A’D độ dài đường chéo mặt bên

a.Hạ AKKA’D (KPA’D).Chứng minh AK=2 b.Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’

13 (24.tr9 SBTHHNC12) Đáy khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ tam giác Mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy góc30o tam giác A’BC có diện tích 8.Tính thể tích khối lăng trụ

14 (25.tr9 SBTHHNC12) Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình bình hành và{BAD 45o Các đường chéo AC’ DB’ tạo với đáy góc 45o 60o.Hãy tính thể tích khối lăng trụ biết chiều cao

15 (27.tr9 SBTHHNC12) Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB =?3, AD =?7.Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 45o 60o.Hãy tính thể tích khối hộp biết cạnh bên

mặt bên ABB’A’ có diện tích 4.Khoảng cách cạnh CC’ mặt (ABB’A’) 7.Hãy tính thể tích khối lăng trụ

17 (29.tr9 SBTHHNC12) Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C có đáy ABC tam giác vng cân với cạnh huyền AB ?2.Cho biết mặt phẳng (AA’B) vng góc với mặt phẳng (ABC), AA’ =?3, gócB{1AB

nhọn, góc mặt phẳng (A’AC) mặt phẳng (ABC) bằng60o.Hãy tính thể tích khối lăng trụ

18 (29.tr9 SBTHHNC12) Lấy mặt phẳng vng góc với cạnh bên khối lăng trụ.Hình chiếu mặt đáy khối lăng trụ mặt phẳng gọi làthiết diện thẳng khối lăng trụ Chứng minh thể tích khối lăng trụ tích diện tích thiết diện thẳng với độ dài cạnh bên

19 (41.tr10 SBTHHNC12) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có đáy a, chiều cao h.Tính thể tích khối chóp A.BC’A’

20 (52.tr12 SBTHHNC12) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C mà đáy tam giác vuông B có AB=a, BC = b, AA’ = c (c2 ¥ a2 b2).Một mặt phẳng (P) qua A vng góc với CA’

VẤN ĐỀ 4:TỈ LỆ THỂ TÍCH

0.11 Phương pháp

SB1BC

SABC

B1B AB

SAB1C1

SABC

AB1 AB

AC1 AC

VA1.ABC

VS.ABC

A1A SA

VS.A1B1C1

VSABC

SA1 SA

SB1 SB

Chứng minh (4) Ta cóVS.A1B1C1

VS.ABC

VA1.SB1C1

VA.SBC

A1H1 AH

SSB1C1

SSBC SA1 SA SB1 SB SC1 SC đpcm

0.12 Ví dụ

Ví dụ 1 Cho chóp S.ABC , SA vng với mp(ABC), SA=2a Tam giác ABC vng C, AB=2a,CABz 30o H,K hình chiếu A SC SB TínhVHABC vàVS.AHK

Giải

Ta có AC=AB.cos30oa?3

đVSABC

1

1

2.AB.AC.sin30

o.SA a

3?3

3 VHABC VSABC HC SC HC.SC SC2 AC2 SC2 VHABC

7.VS.ABC

a3?3

7 (đvtt) VSAHK SH SC SK SB 2

đVS.AHK

2

Ví dụ 2 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ M, N trung điểm cạnh AA’ cạnh BB’ Tính VM N C1CBA

VM N C1A1B1

Giải

GọiVM N C1CBAV1;VM N C1A1B1 V2

Khi VM N C1A1B1 V2 VC1.A1B1N M VC1.M N B1

VC1.M A1B12VC1.M A1B1 2VM.C1A1B1

2 3B

h

2 3V ñV2

1 3V ñ

V1

V2

2

Ví dụ 3 Bài 24sgk tr29 Khối chópS.ABCDcó đáy hình bình hành,

M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng pPq qua AM, song song với BD chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

0.13 Bài tập

1 Bài 16 sgk trang 28: Hãy chia khối tứ diện thành hai khối tứ diện cho tỉ số thể tích hai khối tứ diện số k>0 cho trước

2 Bài 23sgk tr29 Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên ba đường thẳngSA, SB, SC lấy ba điểmA1, B1, C1khác vớiS GọiV

Giải

Gọi O tâm ABCD (SCA) SOXAM=G

ñG trọng tâm tam giác SAC (SBD) VậySG

SO

2

Vì mp(P) song song với BD nên cắt mp(SBD) theo giao tuyến qua G D’B’{{BD (với B’PSB D’PSD) Suy raSB

1 SB SD1 SD SG SO

Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, Khối chóp S.AB’MD’ khối đa diện ABCDB’MD’ Ta có :

VS.AB1D1

VSABD SA SA SB1 SB SD1 SD 3 ñ VS.AB1D1

VSABCD

2

VS.M B1D1

VSCBD SM SC SB1 SB SD1 SD 2 3

ñ VS.M B1D1

VSABCD

Từ suy

ñ VS.AB1M D1

VSABCD

VS.AB1D1 VS.M B1D1

VS.ABCD 9

Vậy VSAB1M D1

VABCDB1M D1

1 minh rằng: V V1 SA

SA1

SB

SB1

SC

SC1

3 Bài 25 sgk trang 29: Chứng minh có phếp vị tự tỉ số k biến tứ diện ABCD thành A’B’C’D’ VA1B1C1D1

VABCD |

k|3

khối tứ diện thành hai phần Tính thể tích phần Bài sgk trang 31: Cho khối tứ diện ABCD, E F trung

điểm hai cạnh AB CD Hai mặt phẳng (ABF) (CDE) chia khối tứ diện ABCD thành khối tứ diện

a Kể tên khối tứ diện

b Chứng tỏ khối tứ diện tích

c Chứng tỏ ABCD khối tứ diện khối tứ diện nói

6 Bài sgk trang 31: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có diện tích đáy S AA’=h

Một mp(P) cắt cạnh AA’, BB’, CC’ tạiA1, B1, C1 BiếtAA1

a, BB1 b, CC1 c

a Tính thể tích hai phần khối lăng trụ phân chia mặt phẳng (P)

b Với điều kiện a, b, c thể tích hai phần

7 Bài sgk trang 31Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ M trung điểm cạnh AB Mặt phẳng (B’C’M) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

8 Bài sgk trang 31: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA a, đáy tam giác vng cân có AB=BC=a Gọi B’ trung điểm SB, C’ chân đường cao hạ từ A tam giác SAC

a Tính thể tích khối chóp S.ABC

b Chứng minh SC vng góc với mp(AB’C’) c Tính thể tích khối chóp S.AB’C’

B’, D’ trung điểm SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tìm tỉ số thể tích hai khối chóp S.AB’C’D’ S.ABCD 10 Bài 44sbt tr 11: Khối chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi

M, N, P lầ lượt trung điểm AB, AD, SC Chứng minh mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai phần tích

11 Bài 45 sbt tr 11:Cho khối chóp tứ giác S.ABCD Một mp(α) qua A, B trung điểm M cạnh SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng

12 Bài 47 sbt tr 11: Cho điểm M cạnh SA, điểm N cạnh SB khối chóp tam giác S.ABC cho SM

M A

1 2,

SN

N B Mặt

phẳng (α) qua MN song song với SC chia khối chóp thành hai phần Tìm tỉ số thể tích hai phần

13 Bài 50 sbt tr 11:Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm tứ diện cách mặt tứ diện khoảng r GọihA, hB, hC, hD

lần lượt khoảng cách từ điểm A, B, C, D đến mặt đối diện Chứng minh

1

r

1

hA

1

hB

1

hC

1